co luong tu thay Dau 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO. Chương hai: NHIỄU LOẠN. PhD. D.H.Đẩu. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chương hai: NHIỄU LOẠN 1. NHIỄU. LOẠN DỪNG KHÔNG SUY. BiẾN 2. NHIỄU LOẠN DỪNG CÓ SUY BiẾN 3.NHIỄU LOẠN SUY BiẾN BẬC CAO 4.ỨNG DỤNG CẤU TRÚC TINH TẾ -QUANG PHỔ PhD. D.H.Đẩu. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Địa chỉ gửi bài tập nhóm Không có nhóm bài tập giống hệt nhau Lecturer: Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Dept Tel: 84.71. 832061 01277 270 899. EP. PhD. D.H.Đẩu. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1. Nhiễu loạn không suy biến. Nhiễu loạn: Phương pháp làm đơn giản để giải gần đúng phương trình schrodinger khi toán tử Hamilton có dạng phức tạp hay bài toán hàm sóng nhiều chiều PhD. D.H.Đẩu 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER • Là phương trình xác định hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng: 2.  (   V̂) ( x , y, z, t ) E. ( x , y, z, t ) 2m Nghiệm chính xác của phương trình chỉ tìm ra khi toán tử thế năng có dạng đơn giản. Với bài toán thực tế, thế năng có dạng phức tạp, ta dùng phương pháp gần đúng: tính nghiệm bằng giải tích số (việc tính toán nhanh nhờ máy tính hỗ trợ) PhD. D.H.Đẩu. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN Thực tế: phương pháp nhiễu loạn là cách làm đơn giản toán tử thế năng (gọi là toán tử nhiễu loạn) để giải gần đúng PT Schrodinger tìm mức năng lượng và hàm sóng. Xem toán tử thế năng là một gia số nhỏ của toán tử năng lượng: 0. Ĥ Ĥ  Ĥ' (2.1). Chân dung Schrodinger. • Toán tử nhiễu loạn H’ xem là một biến thiên nhỏ PhD. D.H.Đẩu của toán tử năng lượng không nhiễu loạn H0 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1.1- Phương pháp nhiễu loạn không suy biến Điều kiện áp dụng: nghiệm của phương trình Schrodinger không nhiễu loạn đã được xác định:.  (0) (0)  Ĥ  ( r , t ) E n  n ( r , t ) (2.2) 0. (0) n. here :. . (0) n. Denote : . (0) n. . (0) m 0 n.  nm (2.3).  ; E. (0) n. E. 0 n. Ký hiệu (0) không phải là lũy thừa, nhưng có một số sách vẫn ghi giống lũy thừa 0. Đây là chỉ bậc nhiễu loạn, PhD. D.H.Đẩu 7 khi bậc bằng không tức là không có nhiễu loạn.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1.1- Phương pháp nhiễu loạn không suy biến En0 là các trị riêng ứng với các hàm riêng của toán tử Hamilton không nhiễu loạn, không suy biến vấn đề là tìm nghiệm (2.1)  Các trạng thái và mức năng lượng gần đúng cho:. Ĥn ( x, y, z, t ) E n .n ( x, y, z, t )  (Ĥ 0  Ĥ' )n ( x , y, z, t ) E n .n ( x, y, z, t ) (2.4) Phương trình 2.4 là tính năng lượng và hàm sóng trong trường hợp chính xác có xét đến nhiễu loạn PhD. D.H.Đẩu. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Nhiễu loạn dừng. STOP. Dừng: là không phụ thuộc thời gian  tức là trạng thái có xác suất ổn định Năng lượng là không đổi,  toán tử thế là không phụ thuộc PhD. D.H.Đẩu 9 thời gian.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Nhiễu loạn dừng và không suy biến Khi nói các trị riêng của toán tử H là không suy biến tức là một mức năng lượng ứng với 1 trạng thái. Bắt đầu, ta xem toán tử Hamilton gần đúng gồm 2 thành phần: 0. Ĥ Ĥ  Ĥ' (2.5). Ở đây, chọn  có giá trị nhỏ sau đó ta sẽ tăng dần giá trị của nó đến 1,0 Khi đó toán tử Hamilton sẽ đạt giá trị chính xác (2.4). Khai triển các hàm sóng n và năng lượng En thành dạng các chuỗi lũy thừa của  ta có: PhD. D.H.Đẩu. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Khai triển lũy thừa  n  (n0 )   (n1)  2  (n2 )  ...  n  (nn ) E n E. (0) n. (1) n. 2.  E   E. ( 2) n. n.  ...   E. (n ) n. (2.6) (2.7). Khi đó En(1) được gọi là số hiệu chỉnh bậc nhất đối với trị riêng năng lượng thứ n n(1) được gọi là hàm hiệu chỉnh bậc nhất đối với hàm sóng riêng thứ n Tương tự En(2) được và n(2) được gọi là số hiệu chỉnh bậc hai cho năng lượng và hàm sóng… PhD. D.H.Đẩu 11 Đưa 2.7,2.6, 2.5 vào 2.4, ta có 2.8:.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bậc của nhiễu loạn. . 0. (Ĥ  Ĥ' ) . (0) n.  . (1) n. 2.  . ( 2) n. n.  ...   . (n) n. . (E 0n  E (n1)  2 E (n2 )  ...  n E (nn ) ) x . (0) n.  . (1) n. 2.  . ( 2) n. n.  ...   . (n) n. (32.8). Nhân ra và gom nhóm theo lũy thừa của  ta có:. . . Hˆ 0 n0   ( Hˆ 0 n1  Hˆ ' n( 0 ) )  2 Hˆ 0 n( 2 )  Hˆ ' n(1)  ...  E0 n0   ( En0 n1  En1 n( 0 ) )  2 ( En( 0 ) n( 2 )  En(1) n(1)  En( 2 ) n( 0 ) )  ... (2.9). Trường hợp nhiễu loạn bậc không (không nhiễu loạn) Trong 2.9 cho thành phần 0 =1 ta quay lại PT: 0. Ĥ . (0) n. ( 0) PhD. D.H.Đẩu. E n . (0) n. ( 2. 2). 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Xét nhiễu loạn bậc nhất và bậc 2 • Từ phương trình 2.9 cho thành phần 1 • Ta có phương trình nhiễu loạn bậc nhất: 0. (1) n. ( 0) n. (0) n. (1) n. (1) n. (0) n. (Ĥ   Ĥ'  ) (E   E  ) (2.10) • Từ phương trình 2.9 cho thành phần 2 • Ta có phương trình nhiễu loạn bậc hai:. Ĥ  0. ( 2) n. .  Ĥ'  (n1) (E (n0)  (n2 )  E (n1)  (n1)  E (n2 )  (n0) ) (2.11). Và tương tự cho thành phần K ta có nhiễu loạn bậc K 13 PhD. D.H.Đẩu.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bài tập 1 w • Xét nhiễu loạn bậc nhất (PT 2.10) • Tìm giá trị hiệu chỉnh năng lượng bậc nhất En(1). PhD. D.H.Đẩu. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Hướng dẫn (thay ký hiệu giống lũy thừa) Lấy tích trong n0 với PT 2.10 (thực ra là nhân (n0)* sau đó lấy tích phân) ta có:  n0 Hˆ 0 n1   n0 Hˆ ' n0   n0 En0 n1   n0 En1 n0 right :. En0  n0  n1  En1  n0  n0. (2.12). Bên vế trái của 2.12 ta sử dụng Ho là Hermitian.  n0 Hˆ 0 n1   n0 Hˆ ' n0  Hˆ 0 n0  n1   n0 Hˆ ' n0 En0  n0  n1   n0 Hˆ ' n0. (2.13). So sánh 2.12 và 2.13 ta có: 1 n PhD. D.H.Đẩu. E . 0 n. 0 ˆ H ' n. (2.14 ) 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Kết luận về nhiễu loạn bậc nhất • Số hiệu chỉnh về năng lượng mức n trong nhiễu loạn bậc nhất (1) chính là giá trị trung bình của toán tử nhiễu loạn ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng không bị nhiễu loạn thứ n (số phía trên là chỉ bậc của nhiễu loạn). E. (1) n. 0 n.   Ĥ'  0 n. 0 n.  E n E  E PhD. D.H.Đẩu. (2.14) (1) n. (2.15) 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Bài tập 2w • Bài toán hạt tự do trong hố thế vuông có cạnh là a ( 0  x  a) với nghiệm là: 2 nx  (x)  sin( ) a a 2 2 2 n  ( 0) here : E n  2ma 2 (0) n. Xét trường hợp có nhiễu loạn là một thế V (có giá trị bé) như hình. Tính số hiệu chỉnh năng lượng Bậc nhất và cho biết các giá trị năng lượng có nhiễu loạn bậc nhất ở các mức 1,2,3. Chứng minh năng lượng chỉ PhD. D.H.Đẩu dời lên một giá trị như nhau. V a/2. a. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Hướng dẫn Sử dụng công thức 2.14 để xác định En1: a/2 1 n. 0 n. E   Ĥ' . 0 n.  0. 2  V a. 2 nx 2 nx sin( )(V) sin( )dx a a a a. a/2. nx 2 1 a V sin ( )dx  V   a a  2 2 2 0 2. Mức năng lượng chính xác thứ 1 (nhiễu loạn bậc nhất):. 12  2  2 V E 1 E  E    4 2ma 2 0 1. 1 1. 2 2 2 2 Mức năng lượng chính xác E E 0  E 1      V . 2 2 2 4 thứ 2: 2ma 2 2 2 2 Mức năng lượng chính xác 3   V 0 1 E 3  E 3  E 3    18. PhD. D.H.Đẩu thứ 3: 2 4 2ma.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Hàm sóng nhiễu loạn bậc nhất Xét PT nhiễu loạn bậc 1- 2.10 và chuyển vế các hàm: 0. 1 n. 0 n. 0 n. 1 n. 1 n. 0 n. (Ĥ   Ĥ'  ) (E   E  ) (2.10) 0. 1 n. 0 n. 1 n. 0 n. 1 n. Ĥ   E   Ĥ'   E  0. 0 n. 1 n. 1 n. (Ĥ  E )  (Ĥ' E ). 0 n. 0 n. (2.16). Khai triển hàm n1 ở vế trái thành tổ hợp tuyến tính các hàm ở trạng thái không nhiễu loạn: (1) chỉ bậc nhất 1 n. (1) mn.   c  m n. 0 m. (2.17) PhD. D.H.Đẩu. Không cần chọn m=n, Cho biết lý do 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Bài tập 3w - Giải tìm hàm riêng của nhiễu loạn bậc nhất Hãy đưa PT 2.17 vào 2.16  lấy tích trong k0 Từ đó tính hàm riêng: ( Hˆ 0  En0 ) n1  ( Hˆ ' En1 ) n0 (2.16) (1) 0 Left : ( Hˆ 0  En0 )  cmn m  m n. 1 0 ˆ  ( E  E )c   ( H ' En ) n 0 m. 0 n. (1) mn. 0 m. (2.18). m n. Lấy tích trong 2.18 với k0 với c(1) là hệ số KT bậc 1 0 0 (1) 0 0 ( E  E ) c    m n mn K m. m chạy đến k thì dừng lại. m n. 0 D.H.Đẩu PhD. ˆ ' 0  E 1  0  0   K0  ( Hˆ ' En1 ) n0    H K n n K n. (2.1920).

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Hàm sóng nhiễu loạn bậc nhất Từ PT 2.19 vế trái cho m=K nhưng K khác n (nếu không sẽ về 0 nhiễu loạn) số hạng cuối bên phải nhận trị không:. ( Ek0  En0 )ckn(1)   K0  ( Hˆ ' En1 ) n0   K0 Hˆ ' n0  0 (2.20) Từ đó tính được CKn(1). (1) ( Ek0  En0 )ckn   K0 Hˆ ' n0 . (1) ckn . Thay vào biểu thức hàm sóng 2.17: 1 n. (1) mn. 0 m.   c   m n. m n.   K0 Hˆ ' n0.  m0 Hˆ ' n0 0 n. 0 k. 0 n. (E  E ). 0 m.  . 0 PhD. m D.H.Đẩu m n. (E  E ). .  K0 Hˆ ' n0 0 n. 0 K. (E  E ). H 'mn 0  m ( En0  Em0 ). (2.21). (2.22) 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn bậc 1. PhD. D.H.Đẩu. Ma trận phòng máy tính toán SV. 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Ma trận chứa các phần tử nhiễu loạn bậc nhất • Phần tử ma trận của toán tử H’ tổng quát được viết lại là: 0 0 0* 0. c. (1).  . mk.  m Ĥ'  K m Ĥ' K dx H'mK    0 0 0 0  Em  EK  Em  EK  E 0m  E 0K. (2.23). Tập hợp các phần tử H’mk tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận của toán tử nhiễu loạn bậc nhất (các thành phần đường chéo là hiệu chỉnh năng lượng):. H'11 H'12 ... H'1n H 21 H'22 ... H'2 n MXH'  ... ... ... ... H'n1 HPhD. 'n 2 D.H.Đẩu ... H'nn. (2.24) 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Bài tập 4: Bài toán dao động tử (DĐT) 1D Giải bài toán DĐT 1D ta có kết quả là hàm sóng: m 2 u 0 ( x ) A 0 exp( x ) 2. .  exp( ax )dx   a  2. 1 E n ( n  )   2. m 2  m u m ( x ) (â  ) u 0 ( x ) (a  ) A 0 exp( x ) 2 1  d  â  [  imx ] 2m i dx m. Vấn đề là thế năng bị nhiễu loạn : V(x) = 0.5 kx2 Với k =(1+ )Ko. PhD. D.H.Đẩu. K /m = 2. (cho = 0.01). 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Bài tập 4w • A) Xác định hệ số A của hàm sóng cơ bản và toán tử nhiễu loạn H’ • B) Tìm các hàm sóng cơ bản và bậc 1 khi không xét nhiễu loạn • C) Tìm các mức năng lượng chính xác E0(0) và E1(0) nếu xét thêm nhiễu loạn (bậc nhất) • D) Tìm các hàm sóng cơ bản và hàm bậc 1 khi xét thêm nhiễu loạn (bậc nhất) PhD. D.H.Đẩu. 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Hint: Xác định biên độ hàm sóng cơ bản Dùng điều kiện chuẩn hóa để xác định biên độ hàm sóng cơ bản . u. m 2 u 0 ( x ) A 0 exp( x ) 2 Cho biết tích phân Gauss. 2 0. ( x )dx 1.  .  exp( ax )dx   a  2. Đáp án:  m  A 0     . 1/ 4.  m  u 0 ( x )     . 1/ 4. PhD. D.H.Đẩu. exp(. m 2 x ) 2 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Hàm sóng bậc nhất m 2  u1 ( x ) (â  ) u 0 ( x ) (a  )A 0 exp( x ) 2 1/ 4   1  d m  m    2 [  imx ]  exp( x )        2  2m i dx   1  m    2 m   . 1/ 4. m 2 m 2    {ixm. exp( 2 x }  imx. exp( 2 x ) 1/ 4. m 2  m   u1 ( x )  2m  x )  ix. exp( 2    PhD. D.H.Đẩu. 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Hint Ĥ Ĥ 0  Ĥ' (2.5) 2 1 1 1 2 2 (  x  K 0 x )   K 0 x  Ĥ'  K 0 x 2 2m 2 2 2 E 10   00 Ĥ'  00  .  m        . 1/ 2. m 2 1 m 2 2 exp( x )( K 0 x ) exp( x )dx  2 2 2. 1  m   K0  2   . 1 / 2 . 1  m   K0  2   . 1/ 2. . m 2 2 exp( x ) x dx      m  2    . 3/ 2. 2n 2 x exp(   x ).dx  . .  (2n  1)!!  ( 2 ) n. 1  K0 1    4 m 4 PhD. D.H.Đẩu. 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Tính năng lượng chính xác E11  10 Ĥ' 10  .  m   2m     . 1/ 2. m 2 1 m 2 2  x  . exp( x )( K 0 x ). exp( x )dx  2 2 2 2. 1  m   K 0 2m2   2   . 1 / 2 . 1  m   K 0 2m2   2   . 1/ 2. exp(. . m 2 4 x ) x dx . 3   m  4    . 5/ 2.  (2n  1) x exp( x ).dx  n  3 2 2  ( 2  )     2n. 2. 4. 1 1 Mức năng lương chính xác E 0 E  E ( )    2 4 thứ 0 (nhiễu loạn bậc nhất): Mức năng lương chính xác E E 0  E 1 ( 3 )  ?  1 1 1 thứ 1: PhD. D.H.Đẩu 29 2 0 0. 1 0.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Hàm sóng chính xác C(1) Kn . C(1) 01 .   0K Ĥ'  0n 0 k. . 0 n. (E  E )  00 Ĥ' 10 (E10  E 00 ). .  0K Ĥ'  0n 0 n. (2.21). 0 K. (E  E ).  m     . 1/ 4. 1/ 4. m 2 1 m 2  m  exp( x )( K 0 x 2 ) 2m  x )dx  (ix ). exp( 2 2 2     1/ 4. C. (1). 10. . 10 Ĥ'  00 0 0. 0 1. (E  E ).  . m 2 1  m   m  2m  x )( K 0 x 2 )  ( ix ). exp(    2  2        . 1/ 4. exp(. m 2 x )dx 2. Applied : the first order H'mn 0  m 0 0 ( E  E ) m n n m. 1) 1n   c (mn  0m   m n 0 0. 1 0. 0 0. (2.22). 0 ,1. (1) 0  0        c (m1)0  0m  00  c10 1 m n. 0 1. 1 1. 0 1. 0 ,1. 1        c (m11)  0m PhD. 10 D.H.Đẩu  c (011)  00 m n. 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Kết quả lưu ý C (1) 01 .  00 Ĥ' 10 0 1. 0 0. (E  E ). .  m     . 1/ 2. 1/ 4. 1/ 4. m 2 1 m 2  m  exp( x )( K 0 x 2 ) 2m  ( i  x ). exp(  x )dx  2 2 2     . . 2m 1  m  m 2 3  K0 x )x dx 0  (i) exp(  2       1/ 4. C (1)10 . 10 Ĥ'  00 ( E 00  E10 ).   1/ 2. m 2 1  m   m  2m  x )( K 0 x 2 )  ( ix ). exp(    2  2        . 1/ 4. exp(. m 2 x )dx 2. . 2m 1  m  m 2 3  K0 x )x dx 0  (i) exp(  2      . PhD. D.H.Đẩu. 31. .

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Xét tiếp nhiễu loạn bậc 2 • Từ phương trình 2.9 cho thành phần 2 • Ta có phương trình nhiễu loạn bậc hai:. Ĥ  0. 2 n. 1 n. . 0 n. 2 n. 1 n. 1 n. 2 n. 0 n.  Ĥ'  (E   E   E  ) (2.11). Mục đích của bài toán là tính mức năng lượng bổ chính là En2 và hàm sóng bổ chính n2 Phương pháp tương tự như nhiễu loạn bậc nhất  ta xem PhD. là D.H.Đẩu bài tập. 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Bài tập 5 w • Xét nhiễu loạn bậc hai PT 2.11 • Tìm giá trị hiệu chỉnh năng lượng bậc hai E n2 • Hướng dẫn: Tích chập n2 với 2.11 Sau đó chuyển vế rút gọn:. PhD. D.H.Đẩu. 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Hướng dẫn Lấy tích trong n0 với PT 2.11 (thực ra là nhân (n0)* sau đó lấy tích phân) ta có:  0n Ĥ 0  2n   0n Ĥ' 1n E 0n  0n  2n  E (n1)  0n 1n  E (n2 )  0n  0n  Ĥ 0  0n  2n   0n Ĥ' 1n. left : H : Hermitian. E 0n  0n  2n   0n Ĥ' 1n. (2.23). E 2n   0n Ĥ'  1n  E 1n  0n  1n. Khai triển n1 thành tổ hợp các n0 ta có: 1) 1) E1n  0n 1n E1n  c (mn  0n  0m E1n  c (mn .0 0 ( trucgiao) m n. sin ce : c. (1) kn. m n.  0K Ĥ'  0n.  H 'Kn  0  0 0 (E k  E n ) (E n  E 0K ) PhD. D.H.Đẩu. (2.21). E 2n   0n Ĥ' 1n. (234.24).

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Kết quả năng lượng bổ chính Khai triển n1 thành tổ hợp các n0 ta có: E 2n   0n Ĥ' 1n. 1) 1)   0n Ĥ'  c (mn  0m   c (mn  0n Ĥ'  0m m n. 1) note : c (mn . 2 n.  E . m n.  0m Ĥ'  0n 0 n. (2.21). 0 m. (E  E ).  0m Ĥ'  0n  0n Ĥ'  0m 0 n. m n. 0 m. (E  E ) PhD. D.H.Đẩu. . m n. . 0 m. Ĥ'  0 n. 0 n. 0 m. (E  E ). 2. (2.25) 35.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Bài tập 6w • Giải lại bài toán dao động tử điều hòa 1D (bài tập 4) trong trường hợp nhiễu loạn bậc hai để tính chính xác mức năng lượng E0: • E0 = E00 + E01 +2E02. PhD. D.H.Đẩu. 36.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Hint (hàm sóng cơ sở chỉ có 2) • Năng lượng bổ chính cho mức cơ bản E0: E 2n  .  0m Ĥ '  0n.  0n Ĥ'  0m. ( E 0n  E 0m ). m n. 1 1 E 0 E  E   E ( )     2 E 02 2 4 0 0. 1 0.  0m  E 02  . m n. . 2  Kx  10   2. 2. 2 0.  Kx 2   2. 2  0   0 Kx   0  00    m   2  ( E 00  E 0m ). 2  0   0 Kx   0  00    1   2  (E 00  E 10 )PhD. D.H.Đẩu. 0. 0. 37.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Bài tập 7 • Xét dao động tử điều hòa của một hạt mang điện có điện tích là q chịu tác dụng nhiễu loạn của điện trường E có thế nhiễu loạn là: H’=-qEx • Chỉ ra là ở nhiễu loạn bậc nhất thì các mức năng lượng không có thay đổi. Tính sự thay đổi năng lượng do nhiễu loạn bậc hai. • CM: PT Schrodinger có thể giải chính xác bằng cách đổi biến: x’=x-(qE/m2). Tính các giá trị năng lượng chính xác PhD. D.H.Đẩu. 38.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Lý thuyết nhiễu loạn có suy biến Xét suy biến với 2 trạng thái ứng với mỗi mức năng lượng E0 trong trường hợp không xét nhiễu loạn:  0A ,  0B. Ĥ 0  0A E 0  0A , Ĥ 0  0B E 0  0B. and  0A  0B 0 (2.27). Có thể xác định một tổ hợp tuyến tính của 2 hàm sóng này, đó cũng là nghiệm riêng của H0 :.  0  0A   0B.  Ĥ 0  0 E 0  0. (2.28). Vấn đề là làm sao xác định được trạng thái tạo bởi tổ hợp tuyến tính trên (xác định , ) . Khi có tổ hợp ta có thêm trạng thái mới  phá 2 mức suy biến  nhiều mức PhD. D.H.Đẩu 39 suy biến.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Vấn đề cần giải quyết • Cần giải chính xác bài toán schrodinger có dạng: 0. '. (Ĥ  Ĥ ) E Here :   0  1  2  2  ...  n  n. (2.29). E E 0  E1  2 E 2  ...  n E n. (2.30). • Đưa (2.29 và 2.30) vào PT schrodinger chính xác:. . . Ĥ 0  0   (Ĥ 0 1  Ĥ'  0 )  2 Ĥ 0  2  Ĥ ' 1  ...  E 0  0  (E1  0  E 0 1 )  2 (E 2  0  E1 1  E 0  2 )  ... (2.31) Vì số hạng đầu vế trái và vế phải bằng nhau (bỏ qua)Nếu xét nhiễu loạn bậc nhất: 0. 1. 0. 1. 0. 0. PhD. (Ĥ   Ĥ'  )  ED.H.Đẩu  E . 1. (2.32). 40.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> Nhiễu loạn suy biến hai cấp Lấy tích trong A0 với 2 vế 3.32. . 0 A. 0. 1. Ĥ   . 0 A. Ĥ' . 0. 0. 0 A. 1. 1. 0 A. 0. E    E   (2.33). Vì H là Hermitian nên tác dụng lên A0 cho ra E0 0 A.  Ĥ' . 0. 0 A. 1. 0 A. E   0 A. 0. 0. (khaitrien  ). 0 B. 1. 0 A. 0 A. 0 B.  Ĥ' (   ) E  (   ) 1. 0 A. right : left : E    0 A. left :   Ĥ' . 0 A. 0 A. 1. 0 A. E   . 0 A PhD. D.H.Đẩu.    Ĥ' . 0 B. 0 B. 1. E . 1. E  (2.34). 41.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> Tương tự nhân B0  0A Ĥ'  0 E1  0A  0. (khaitrien  0 ).  0B Ĥ' ( 0A   0B ) E1  0B  0A   0B left :   0B Ĥ'  0A    0B Ĥ'  0B E1  (2.35) Viết lại 2.34 và 2.35 theo thành phần matrix H’ của hai hàm suy biến ta có: 0 B.   Ĥ' . 0 A. 0 B.    Ĥ ' . 0 B.  H'AA MXH'   H'BA H'AA  H 'AB E1  (2.34) 1. . and : H'BA  H 'BB E PhD.(2D.H.Đẩu .35). H'AB   H'BB  42.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> Gỉai tường minh Nhân 2.35 cho H’AB ta có: 1. H'AB H'BA H'AB H'BB E H'AB (2.35). . E1 x (2.34) : E1  H'AB E1  E1  H'AA. . . .  {H'AB H'BA  E1 E1  H'AA }   H'AB H'BB 0. . . replace : H'AB  E1  H'AA . . . . . {H'AB H'BA  E1 E1  H'AA }   E1  H'AA H'BB 0. . .  {H'AB H'BA  (E1  H'BB ) E1  H'AA } 0 (2.36) PhD. D.H.Đẩu. 43.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> Bài tập 8w: Giải phương trình tính E1 • Chứng minh với  khác không ta có: E1  1 2 H'AA H'BB   H'AA H'BB   4H'AB .H'BA   2  E1  1 2 2 H'AA H'BB   H'AA H'BB   4 H'AB  2  (2.38) PhD. D.H.Đẩu. 44.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> Hướng dẫn • Từ PT 2.36 ta suy ra PT: 1. . . 1. H'AB H'BA  (E  H'BB ) E  H'AA 0 1 2. 1.  (E )  E (H'AA H'BB )  (H'AA H'BB  H'AB H'BA ) Và lưu ý:. H'AB  H'BA . PhD. D.H.Đẩu. *. (2.39). 45.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> Kết luận • Hai nghiệm của PT 2.38 là 2 giá trị bổ chính của cùng một mức năng lượng E0 • Nó tạo thành 2 mức năng lượng nhiễu loạn có suy biến. • Nếu  băng không  khi đó =1  PT 2.34 là: H' H' E1  H' 0 (2.40)  AA. AB. AB. 1. (2.35)  H'BA H'BB E  1 PhD. D.H.Đẩu.  H'BB E (2.41). 46.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> Bài tập 9W • Tính lại giá trị bổ túc năng lượng nếu . băng không  khi đó  =1. PhD. D.H.Đẩu. 47.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> Bài tập 10W • Giả sử hai trạng thái nhiễu loạn được mô tả bởi hai hàm là:.  0   A0    B0 (2.42)  ,  Nhận các giá trị từ 0 đến 1.0 theo PT : 1. H ' AA H ' AB E  (2.34) Chứng minh là:. a).  0  0 0. b).  0 Hˆ ' 0 0. c).  0 Hˆ ' 0 E1. PhD. D.H.Đẩu. 48.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> Xem lại các hàm trong hố thế vuông 2D có suy biến năng lượng • Bài toán hạt tự do trong hố thế vuông có cạnh là a ( 0  x, y  a) với nghiệm là: 2 nx ( 0) 2 ny  (x)  sin( ), ny ( y)  sin( ) a a a a 2 2 2 2 2 2 n nx  y  (0) (0) (0) (0) ( 0) here : E nx  ; E   E  E  E ny nx ny 2 2 2ma 2ma ( 0) nx. Xét năng lượng E có hai suy biến: Tính các mức năng lượng riêng bị suy biến?. E. PhD. D.H.Đẩu. (0) ny. 2. 2. 5   2ma 2. 49.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO. Chương hai : NHIỄU LOẠN 1. NHIỄU LOẠN DỪNG KHÔNG SUY BiẾN. 2. NHIỄU LOẠN DỪNG CÓ SUY BiẾN 3.NHIỄU LOẠN SUY BiẾN BẬC CAO 4.ƯNG DỤNG CẤU TRÚC TINH TẾ -QUANG PHỔ PhD. D.H.Đẩu. 50.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> Địa chỉ gửi bài tập nhóm Đánh máy càng dễ sửa và trao đổi Lecturer: Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Dept Tel: 84.71. 832061 01277 270 899. EP. PhD. D.H.Đẩu. 51.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> Ôn lại Nhiễu loạn có suy biến 2 cấp • Nhiễu loạn suy biến 2 mức có 2 bổ chính năng lượng.  0  0A   0B.  Ĥ 0  0 E 0  0. (2.28).  Equation :. . . {H'AB H'BA  (E1  H'BB ) E1  H'AA } 0 (2.36) if.  0  1 2 1 E   H'AA H'BB   H'AA H'BB   4H'AB H'BA   2  PhD. D.H.Đẩu. (2.38) 52.

<span class='text_page_counter'>(53)</span> Xác định các hệ số   Sử dụng phương trình vector (Đại số tuyến tính). H'AA  H'AB. H'AB    1     E   (2.34  2.35) H'BB    . H'AA  H'AB E. 1. and : H'AB  H'BB E. PhD. D.H.Đẩu. 53. 1.

<span class='text_page_counter'>(54)</span> Bài tập 11 • Xét bài toán hạt m trong hố thế vuông độ rộng a. Thế nhiễu loạn có dạng: • U= V0 exp(-x2 /a2) với -(a/2)< x < (a/2) • Giả sử mức năng lượng thứ nhất bị suy biến 2 cấp. Tính bổ chính năng lượng ở mức 1 dùng công thức 2.38 • Lưu ý H’ chỉ có trị khác zero nếu –a<x<+a PhD. D.H.Đẩu. 54.

<span class='text_page_counter'>(55)</span> Hướng dẫn Dùng nghiệm của hạt trong hố thế có dạng cơ bản là. 1 nx 1 nx  ( x)  cos( ) sin( ) a a a a (0) n. 1 1  A  B a a 2 2 2 n  ( 0) here : En  2 2ma PhD. D.H.Đẩu. 55.

<span class='text_page_counter'>(56)</span> Bài tập 12: Công thức tổng quát nhiễu loạn có suy biến bậc 2 Phương trình tính hai giá trị tuyến tính: H ' AA if : MXH ' AB  H ' BA H ' AA  H ' BA. H ' AB H ' BB. H ' AB H ' BB.   1     E   (2.44)  . Ý nghĩa: E1 là trị riêng của matrix MXH’ ứng với hai vector riêng là ,  PhD. D.H.Đẩu. 56.

<span class='text_page_counter'>(57)</span> Mở rộng • Viết phương trình 2.44 với nhiễu loạn có bậc là n >2 (thí dụ n=3). • Thảo luận và câu hỏi ôn tập PhD. D.H.Đẩu. 57.

<span class='text_page_counter'>(58)</span> Hint H ' AA if : MXH ' ABC  H ' BA H 'CA H ' AA  H 'BA H 'CA. H ' AB H 'BB H 'CB. H ' AB H 'BB H 'CB. H ' AC H ' BC H 'CC. H ' AC          1 H 'BC    E    (2.44)  H 'CC      PhD. D.H.Đẩu. 58.

<span class='text_page_counter'>(59)</span> Bài tập • Xét bài toán hạt trong hố thế vuông 3D cạnh là a và xét toán tử nhiễu loạn • H’= 0.1 V0 trong khoảng (0, a/4) • Tính mức năng lượng E=6.E1 (E1 năng lượng của BT 1D) Tính các thành phần của toán tử nhiễu loạn? • PhD. D.H.Đẩu. 59.

<span class='text_page_counter'>(60)</span> Nhiễu loạn suy biến bậc cao Phương pháp là giải bài toán tìm trị riêng của matrix vuông có nn thành phần ứng với n vector riêng (dùng máy tính)  các vector riêng (, , , …) là cơ sở để tạo tổ hợp tuyến tính của n các hàm suy biến if : MXH' . . H'11. ........ H ' n1. H'11. ...H'1n. H ' n1. ...H'nn. ........    ...H'1n     1 ...    E    (2.45) ...H'nn    ... ...    . H'   0 Ĥ'  0K. PhD.JK D.H.Đẩu j. .... 60.

<span class='text_page_counter'>(61)</span> Ví dụ: electron ở hố thế vuông 3D • Mạng tinh thể có độ dài theo các phương như nhau là a: a a. 0 if 0  x  a , and0  y  a , a V̂ ( x , y, z )  and0  z  a   otherwise PhD. D.H.Đẩu. 61.

<span class='text_page_counter'>(62)</span> Hàm sóng và năng lượng của electron ở hố thế vuông 3D Nghiệm của hàm sóng ở trạng thái dừng có dạng đơn giản là tích của các hàm 1D. 3 2. n y y n x x n z z  2  ( x, y, x )   sin( ) sin( ) sin( ) (2.46) a a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n   n   n y (0) x z  here : E n    2 2 2ma 2ma 2ma 2 2 2 2 2 2  ( n  n  n (2.47) x y z) 2 2ma (0) nx , ny , nz. PhD. D.H.Đẩu. 62.

<span class='text_page_counter'>(63)</span> SỰ SUY BiẾN Thực tế: MỨC NĂNG LƯƠNG cơ bản không bị suy biến vì chỉ có một giá trị như nhau: 2 2 nx = ny =nz =1 3   0 2.47  E1  2ma 2 • Mức năng lượng kích thích thứ nhất có suy biến bậc 3 2 2. 6  E  2ma 2 0 2. (n 2x  n 2y  n 2z 6). Có 3 hàm sóng khác nhau ứng mức năng lượng trên:.  A 112 ;  B 121;  C  211 (2.48) PhD. D.H.Đẩu. 63.

<span class='text_page_counter'>(64)</span> Khảo sát sự nhiễu loạn Xét toán tử nhiễu loạn được xác định:. a   V0 if 0  x  2 ,  Ĥ'  a and 0  y  2   0 otherwise  Sự hiệu chỉnh năng lượng ở mức E10 là được xác định từ bài toán nhiễu loạn không suy biến : 1 0. E  111. 1 ĤPhD. ' D.H.Đẩu 111  V0 4. (3.49). 64.

<span class='text_page_counter'>(65)</span> Bài tập 13W Chứng minh bài toán hố thế vuông 3D thỏa biểu thức 3.49: 1 0. E  111 Ĥ' 111. 1  V0 4. (2.49). h int : 3/ 2.  2   V0 a 1  V0 4. a/2. a/2. a. x 2 y 2 z sin ( )dx  sin ( )dy  sin ( )dz  a a a 0 0 0 2. PhD. D.H.Đẩu. 65.

<span class='text_page_counter'>(66)</span> Nhiễu loạn có suy biến bậc 3 Ở đây, mức năng lượng kích thích thứ nhất có 3 trạng thái suy biến  Tính các thành phần ma trận H’. Trước hết lưu ý: H'AA  112 H' 112. 1 H'BB H'CC  V0 4. (2.5). Cần tính các thành phần không trên đường chéo. H' AA MXH' ABC  H' BA H' CA. H' AB H' BB H' CB. Dễ dàng nhận thấy các thành phần H’AB =H’AC =0 PhD. D.H.Đẩu. H' AC H' BC H' CC 66.

<span class='text_page_counter'>(67)</span> Bài tập 14W Tính tường minh các thành phần matrix của H’ Và chứng minh là:. H'AA MXH 'ABC  H'AB H'CA. H'AB H'BB H'CB. H'AC 1 0 0 V0 H'BC  0 1 K 4 H'CC 0 K 1. here :K 0,7205  Cần giải tìm các vector riêng của matrix H’ PhD. D.H.Đẩu. 67.

<span class='text_page_counter'>(68)</span> Giải tìm các trị riêng Từ PT định thức giải tìm trị riêng 1.32 thay  cho  ta có: (H '11  ) H'12 ... H' 21 (H ' 22  ) ... . H ' n1. Từ đó ta có:. V0 4. . H ' n1. ... . ... (H' nn  ). (1  ). 0. 0. (1  ). .. K. .. .. .. .. 0. K. .. (1  ). Khai triển định thức: Các nghiệm riêng là:. H'1n H' 2 n. 0 (1.32). 0 0 (3.50). V0 (1  ) (1  ) 2  K 2 0 (3.51) 4. . . PhD. D.H.Đẩu 1 1,  2 1  K 1.7205 , 3 1  K 0,279568,.

<span class='text_page_counter'>(69)</span> Bài tập 15W • Tính chính xác 3 mức năng lượng kích thích thứ nhất sau khi xét sự tác động nhiễu loạn • So sánh kết quả với kết quả bài toán nhiễu loạn bậc nhất không suy biến 2 2 V V0 3   1 0 0 1 1,  E 1 E   1   2 4 4 2ma V0 3 2  2 V0 1 0  2 1  K 1.7205,  E 2 E   2    (1.7205), 2 4 4 2ma 2 2 V V0 3   1 0 0 3 1  K 0,2795,  E 3 E   2    (0.2795), 2 4 4 2ma (3.53) Như vậy sự nhiễu loạn làm dịch chuyển từ một mức D.H.Đẩu 69 năng lượng thành 3 mứcPhD. năng lượng khác nhau.

<span class='text_page_counter'>(70)</span> Bài tập 16 w • Xác định một tổ hợp tuyến tính chuẩn của các hàm suy biến trong mức năng lượng kích thích thứ nhất từ bài toán 15. H int :  0  A   B  C find , ,  : 1 0. 0 1. 0         K       (3.54)   0 K 1      PhD. D.H.Đẩu. 70.

<span class='text_page_counter'>(71)</span> Kết quả Với  =1 ta có:  =1,  =  = 0; Với  =1K ta có:  =0,  =   = 1/2(0.5); Như vậy, các tổ hợp nghiệm là:.  0 1 A  0 B  0 C  A  112  0 0 A   0 0 A . 1 2 1 2. B  B . 1 2 1 2. C  C . PhD. D.H.Đẩu. 1 2 1 2. ( B   C ) (3.54) ( B   C ). 71.

<span class='text_page_counter'>(72)</span> Bài tập 17 • Xét hệ lượng tử với 3 trạng thái mô tả bởi các hàm tuyến tính độc lập. Toán tử Hamiltion có dạng matrix như sau:. V 0 ˆ H 1. (1   ). 0. 0 . 0. (1   ) . . here :   1. PhD. D.H.Đẩu. 0 . . ..  . (1   ) (3.56). 72.

<span class='text_page_counter'>(73)</span> Bài tập 17 a) Xét trường hợp không nhiễu loạn (=0), xác định trị riêng và các vector riêng của toán tử H b) Giải chính xác trị riêng của H (=0.005) khai triển các trị riêng theo chuỗi lũy thừa của  (lấy đến bậc 2) c) Dùng LT nhiễu loạn không suy biến bậc nhất và bậc 2 để tìm trị riêng gần đúng cho trạng thái kích thích thứ nhất d) LT Có suy biến tìm hiệu chỉnh bậc nhất cho 2 trị riêng suy biến PhD. D.H.Đẩu 73.

<span class='text_page_counter'>(74)</span> 4. Ứng dụng: LT nhiễu loạn để phân tích cấu trúc tinh tế của quang phổ • Khảo sát lại nguyên tử Hydrogen: ta có toán tử Hamilton: 2. 2.  e H   2m 4 0 r. Cấu trúc tinh tế của quang phổ Hydrogen không phải do những hiệu chỉnh năng lượng khối lượng electron và nhân mà nó xuất phát từ 2 cơ chế khác nhau: 1- Hiệu chỉnh theo thuyết tương đối 2- Hiệu chỉnh năng lượng Spin quỹ đạo PhD. D.H.Đẩu. 74.

<span class='text_page_counter'>(75)</span> Các mức năng lượng So sánh với các mức năng lượng Borh (liên quan bán kính Borh a) thì cấu trúc tinh tế là khảo sát bài toán nhiễu loạn nhỏ so = 2 với:  được gọi là hằng số cấu trúc tinh tế: 2. e 1   4 0 c 137.036. (2.60). Một dịch chuyển năng lượng có hằng số 4 nhỏ hơn hằng số 2 là dịch chuyển Lamb liên quan đến sự lượng tử của trường Coublom. Hằng số bé hơn nửa của 4 là hằng số siêu cấu trúc liên quan đến sự tương tác từ giửa các PhD.electron D.H.Đẩu 75 momen lưỡng cực với và proton..

<span class='text_page_counter'>(76)</span> Các cấp độ cấu trúc Bảng sau cho ta biết độ lớn các HS. cautruc muc Borh : cautruc tinhte. : order :. : order :. dichuyen muc Lamb : order : Cautruc sieutinhte : order : PhD. D.H.Đẩu. 2. 4.  mc.  mc. 2. 2 5.  mc. 2. m 4 2  mc mP 76.

<span class='text_page_counter'>(77)</span> REVIEW: Các đại lượng tương đối tính Năng lượng nghỉ: Hạt có khối lượng m0 lúc đứng yên có năng lượng nghỉ: En= m0c2 Năng lượng tương đối tính: Hạt chuyển động với vận tốc gần v gần c thì E T bằng tổng năng lượng nghỉ và động năng tương đối (TT):. E T E n  TT . m 0c. 2. 1 . PhD. D.H.Đẩu. 2. ( v / c) 77.

<span class='text_page_counter'>(78)</span> Động năng TĐT 2. TT m 0 c [ Khối lượng TĐT. 1 1 . 2. mT   pT . Xung lượng TDT:.  1]; (  v / c). m0 1   m0v 1 . 2. 2. (  v / c) (  v / c). Biểu thức liên hệ xung lượng-năng lượng tương đối. 2 D.H.Đẩu ET2=PT2 cPhD. + m02c4. 78.

<span class='text_page_counter'>(79)</span> Động năng TĐT có thể viết: 2. 2. TT m T c  m 0 c ; Xung lượng TDT có thể viết:.   p T m T v ( v c). Năng lượng tương đối tính. E T m T c PhD. D.H.Đẩu. 2 79.

<span class='text_page_counter'>(80)</span> Hiệu chỉnh theo thuyết tương đối Trong công thức năng lượng số hạng đầu của Hamilton được xem là động năng (m là KL nghỉ) 2 1 P classical : T  m 0 v 2   for relativistic kinetic energy : 2 2m 0. TT E T  E n . m 0c 2 1  (). 2.  m 0c 2. ( v / c) (2.61). Số hạng đầu 2.16 là động năng tương đối tínhkhông tính thế năng nhưng chưa hiệu chỉnh TDT Số hạng thứ hai 2.16 là năng lượng nghỉ khác với năng lượng đóng góp vào chuyển động. PhD. D.H.Đẩu. 80.

<span class='text_page_counter'>(81)</span> Bài tập 18W Hiệu chỉnh động năng tương đối tính Sử dụng công thức tương đối tính chứng minh: p T2 c 2  m 2 c 4 E T2 (TT  mc 2 ) 2. (3.63) 2 (3.64) T.    T  p c 2m c  mc p    1 TT m0 c  1   p      T mc 1    1 m 0 c    mc     T. 2 T. 2. 2. 4. 2. 2. 2. T. T. Chứng minh: công thức tương đối tính sẽ quay về công thức cổ điển khi mà v <<c hay p << mc Khai triển T theo hàm mũ (p/mc) p là TDT 2 4   1 p  1 p  2 TT mc 1       ...  1 8  mc   D.H.Đẩu  2  mcPhD. . (2.65) 81.

<span class='text_page_counter'>(82)</span> Hướng dẫn. Vì : ET2 = PT2 c2 + m02 c4 2.  pTc  E T2  m 02 c 4 E T2     2 41 2  2 4 m0c m0c  m 0c  2. .  pTc  TT  m 0 c 2 E T2   1  2 4  2  2 4 m c m c m 0 0c  0  2. . . . 2. .  pT  TT  m 0 c 2 TT    1   1 2 2 m0c m 0c  m 0c .   TT m 0 c 2     .    pT     1   1  PhD.  D.H.Đẩu  m 0c    2. 82.

<span class='text_page_counter'>(83)</span> Hiệu chỉnh theo thuyết tương đối 2 4   1 p  1 p  2 TT mc 1       ...  1  2  mc  8  mc  . (2.65). Khử 1 và -1 (P là TDT) ta có: 2. 4. p p TT   ... (2.66) 3 2 2 m 8m c Theo 2.66 ta thấy số hạng đầu là động năng của Hamilton và tiếp sau là toán tử nhiễu loạn – thực chất là bậc thấp nhất của đại lượng tương đối tính cấu thành Hamilton: 4.  p̂ H r  3 2 (2.67) 8m c '. PhD. D.H.Đẩu. 83.

<span class='text_page_counter'>(84)</span> Hiệu chỉnh theo Thuyết tương đối của Einstein Theo LT nhiễu loạn bậc nhất năng lượng bổ chính được tính là:. 1 r. 0 r. E   Ĥ' . 0 r. . 4.  p̂ 1 0 0 4 0   r  3 3  r p̂  r 3 3 8m c 8m c 0 r. 1 2 0 2 0 p̂  p̂  r r 3 3 8m c. PhD. D.H.Đẩu. (2.68) 84.

<span class='text_page_counter'>(85)</span> Bài tập 19W- Tính hiệu chỉnh năng lượng trong nhiễu loạn bậc nhất 2. p̂  (E  V)  2m. (2.69). Thay 2.69 vào 2.68 và tính bổ chỉnh năng lượng bậc nhất 2. 2.  1 p̂ 0 p̂ 0 (2.68)  E  r r  3 2mc 2m 2m 1 r. 1 0 0  ( E  V ) r ( E  V ) r  3 2mc 1 1 2 1 2 2 Er  (E  V)  E  2E V  V 3 3 2mc 2PhD. mcD.H.Đẩu. . . (2.70) 85.

<span class='text_page_counter'>(86)</span> Bài tập 20: Tính tiếp mức bổ chính năng lượng Sử dụng công thức tính thế Coulomb:. e2 V 4 0 r. Chứng minh các giá trị trung bình của thế và của nhiễu loạn từ công thức 2.70 cho mức năng lượng Born có giá trị là. 1 1 2 2 2 E  ( E  V )  E  2 E V  V 2mc 3 2mc 3. . 1 r. . (2.70). e2 e2 1 e2 1 V    (a bankinh Borh 0,5 A) 2 4 0 r 4 0 r 4 0 n a V. 2. 2.  e     4 0 . 2. 2. 2.  e  1 1    2  (  0,5)n 3 a 2 r 4  0   PhD. D.H.Đẩu. 86.

<span class='text_page_counter'>(87)</span> Hướng dẫn • Quay lại nghiệm tổng quát của bài toán Hydrogen theo 3 biến (chương ôn tập): Người ta chứng minh được hàm sóng theo n,l,m. V   nm V. 2. e2 e2 1 e2 1  nm   40 r 40 r 40 n 2 a 2.  e   nm   4 0 r. 2. 2. 2.   e  1   nm   3 2 4  (   0 , 5 ) n a 0   PhD. D.H.Đẩu . 87.

<span class='text_page_counter'>(88)</span> Tính năng lượng bổ chính bậc nhất 1 r.  1 các kết quả  1 biếu2 thức 2.70: Thay vào 2. E . (E  V). 2. 2mc  E 2n  4n    2 2mc    1 2  2.   e  E  2  n .4 0 a  2 n. . 2mc.  E 2n 3  2  2mc . 2. E. .  2E V  V 2 .  4n  3     1  2 . (2.73). 2. Các vấn đề cần lưu ý là: sự hiệu chỉnh về tương đối tính Không tỉ lệ với E2 mà nó PhD. tỉ lệD.H.Đẩu với yếu tố E2/mc2. 88.

<span class='text_page_counter'>(89)</span> Hiệu chỉnh năng lượng tương tác Spin electron và từ trường quỹ đạo Trong cơ học mômen Spin đặc trưng cho khả năng tự quay của electron quanh chính nó. Chỉ có hai khả năng của electron: quay theo chiều ngược Kim đồng hồ  trục quay hướng lên Quay theo chiều cùng chiều Kim đồng hồ  trục quay hướng xuống Spin up Spin down. PhD. D.H.Đẩu. 89.

<span class='text_page_counter'>(90)</span> Năng lượng gọi là tương tác cập Spin - quỹ đạo Năng lương này do electron tham gia chuyển động spin S tạo ra momen từ Spin S Electron quay quanh nhân nên theo tính tương đối có thể xem electron đứng yên còn nhân quay quanh electron  sinh ra dòng điện phân tử (do proton chuyển động)  momen từ quỹ đạo (từ trường quỹ đạo BL) • Momen từ Spin S đặt trong từ trường quỹ đạo Bl sẽ tương tác sinh ra năng lương phụ:. H=- S BL PhD. D.H.Đẩu. (2.74) 90.

<span class='text_page_counter'>(91)</span> Bài tập 21 W Xác định từ trường quỹ đạo BL, giả sử nhân NGUYÊN TỬ Hydrogen có 1 proton (e, mhd=me) quay quanh electron ở bán kính r. Biểu diễn vector B theo vector momen xung lượng L. Check : for c 1 /  0 0   0 I 1 e  B  L (3.75) 2 3 2r 4 0 mc r PhD. D.H.Đẩu. 91.

<span class='text_page_counter'>(92)</span> Hướng dẫn Từ trường của dòng điện tròn tạo ra ở tâm là : B=0I/(2R) (R là bán kính quỹ đạo gần 0,5 A) I là độ lớn dòng điện = e.f Với f là tần số quay của electron (Cho Ve = 2,2 .108 cm/s) 0= 4 10-7 (SI) PhD. D.H.Đẩu. 92.

<span class='text_page_counter'>(93)</span> Bài tập 22W Xác định biểu thức tường minh của năng lượng tương tác spin electron và từ trường quỹ đạo 2.74 cho biết momen từ của electron là:.  e   S  S m   e2  1  2 2 3 S .L  H '   4 0  m c r. (2.76). Thực tế các tính toán là không chuẩn vì hệ qui chiếu gắn với electron là hệ không quán tính  PhD. D.H.Đẩu 93 cần có sự hiệu chỉnh Thomas (giảm ½.).

<span class='text_page_counter'>(94)</span> Review: Momen xung lượng toàn phần của electron    J L  S        J 2 (L  S).(L  S) L2  S2  2L.S  2 2 2 (2.77) Chuyển vế ta có: 2L.S J  L  S Trị riêng của tích L.S (2.77) có thể tính được là:. 2  j( j 1)  s(s 1)  ( 1) 2 Since : J  j( j  1), S  s(s  1), L  (  1) PhD. D.H.Đẩu. 94.

<span class='text_page_counter'>(95)</span> Bài tập 22W Chứng minh giá trị kỳ vọng sau đây:. 1 1 3 r  (2.78) 3 2 2 r (  1 )(  1)n a 2 h int : use Kramer' s relation s 1 S s S1 2 2 S 2 r  ( 2   1 ) a r  [( 2   1 )  s ] a r 0 2 n 4 take : s  1  PT ( 1)  1 1 1 1 2 2 1  (2  1)a 2  [(2  1)  1 ]a 0 2 3 n r r 4 r PhD. D.H.Đẩu. 95.

<span class='text_page_counter'>(96)</span> Bài tập 23W • Từ PT 2.76 hãy xác định gía trị H’ sau khi hiệu chỉnh Thomas:  e2  1    2 2 3 S.L (2.76) H'S O   8 0  m c r  e2  1   2 2 3 S.L H'S O   8 0  m c r. . . . .  e 2   2 j( j  1)  (  1)  3 4 1    2 2 3 r  8 0  2m c  e 2   2 j( j  1)  (  1)  3 4    2 2 2 2  8 0  2m c (  1 2 )(  1)n a 3 (E n ) 2 j( j  1)  (  1)  4 96 mc2 PhD. (D.H.Đẩu  1 )(  1)n 3a 3 2. . .

<span class='text_page_counter'>(97)</span> Nhận xét • Xét các hiệu chỉnh tương đối tính và hiệu chỉnh cập Spin-quỹ đạo chúng đầu giống nhau hệ số tỉ lệ 2 (E n ) • Nếu cộng cả hai hiệu chỉnh vào năng lượng 2 mc ta có cấu trúc tinh tế hoàn chỉnh • Và cấu trúc hoàn chỉnh tinh tế là:. E. 1 FS.   E 4n 3    2 2mc   1  2  2 n. PhD. D.H.Đẩu. 97.

<span class='text_page_counter'>(98)</span> Kết hợp các mức năng lượng Borh Kết hợp với CT năng lượng Borh: Chúng ta tính được các mức năng lượng tinh tế của H2.   13.6(eV)   n 3  (2.79) E nj  . 1   2 2  4 n n j 1 2   2. Mức tinh tế phá vỡ suy biến có nghĩa là không phải cùng một mức năng lượng n ta có L trạng thái khác nhau. Nên xét chính xác các mức năng lượng là thay đổi theo các chỉ số n và j PhD. D.H.Đẩu. 98.

<span class='text_page_counter'>(99)</span> Phân tích các mức năng lượng. PhD. D.H.Đẩu. 99.

<span class='text_page_counter'>(100)</span> Bài tập 24w • Kiểm tra các hệ thức sau đây xem có giao hoán nhau không:.   a ) Lˆ , S .Lˆ b) Lˆ , S .S   2 c) Lˆ , S .J d ) Lˆ , S .L  2  2 e) Lˆ , S .S f ) Lˆ.S , J.   .      . . Hint (L và S là thỏa hệ thức giao hoán) PhD. D.H.Đẩu.   100.

<span class='text_page_counter'>(101)</span> Bài tập 25 w • Dẫn ra PT 2.79 từ công thức 2.73. from : E. 1 FS. 2 n. E  3 2mc.  4n  3     1  2 . come to : En2 2mc 3.  4n  3    J1  2  PhD. D.H.Đẩu. 101.

<span class='text_page_counter'>(102)</span>