Mot so dang toan HSG 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>mét sè d¹ng to¸n hsg líp 12 I.BiÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm ph¬ng tr×nh ,hÖ ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh : 1.Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh: - C¸ch gi¶i: §a bµi to¸n vÒ d¹ng f ( x)=g (m) ( víi m lµ tham sè ) và dựa vào miền giá trị của hàm số f (x) để biện luận. Chó ý: Ph¬ng tr×nh f ( x)=g (m) cã nghiÖm khi vµ chØ khi min f ( x) ≤ g (m) ≤ max f ( x) . -C¸c vÝ dô : Câu 1. Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: √ x+1+ √ 8 − x + √(x +1)(8 − x)=m . Híng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn −1 ≤ x ≤8 . XÐt hµm sè f (x)= √ x +1+ √ 8− x+ √ ( x+ 1)(8 − x) trªn ®o¹n [-1;8]. Víi -1<x<8 , ta cã: f ' (x)=0 ⇔ x= 7 . 2 B¶ng biÕn thiªn 7 x. -1. f'(x). 8. 2 +. -. 0 9 3 2+. 2. f(x) 3. 3. Suy ra với 3 ≤m<3 √ 2+ 9 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt. 2 Câu 2. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm trên tập số thực a) 2 √ − x2 −2 x+3 −(m −1)( √ x +3+ √ 1 − x)+ m+1=0 ; b) (m− 3)√ x+(2 −m) x +3 −m=0 (HSG NA 2007-2008). Híng dÉn: a)§Æt t=√ x+3 − √ 1 − x , 2≤ t ≤ 2 √2 . 2 Ta cã t 2 −(m− 1) t+ m−3=0 ⇔ m= t + t −3 (*). t−1. 2. XÐt hµm sè f (t)= t +t −3 , víi t ∈(2 ; 2 √2) . 2. t −1. t −1 ¿ ¿ − 6+16 √ 2 ¿ f (2)=3 , f (2 √ 2)= , vµ ; 7 t 2 −2 t+ 2 f ' (t)= ¿ Suy ra 3 ≤ f (t)≤ − 6+16 √ 2 . 7 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi 3 ≤m ≤ −6 +16 √2 . 7 b)§Æt t=√ x , víi t ≥ 0 . PT g(x)=√ x+1+ √ 3 − x . ¿ √ x+1+ √ 3 − y =m Câu 3.Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm : √ y+ 1+ √3 − x =m . ¿{ ¿ Híng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn x , y ∈[− 1; 3] ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ⇔ √ x+1+ √3 − y =m HÖ PT (II) √ x+1 − √ 3 − x= √ y +1 − √ 3 − y ¿{. +Víi x=-1 hoÆc y=-1 kh«ng cã gi¸ trÞ m nµo tháa m·n. +Víi x=y=3 th× cã m=2 tháa m·n. +Víi x , y ∈(−1 ; 3) , ta xÐt hµm sè f (t)= √t+ 1− √3 − t , víi t ∈(−1 ; 3) . 1 1 + >0 . Ta cã f ' (t)= 2 √ t +1 2 √3 − t Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (-1;3). Suy ra √ x+1 − √ 3 − x= √ y +1 − √ 3 − y ⇔ x= y ; ¿. ⇔ √ x+1+ √ 3 − x=m,(∗) (III). x= y ¿{ ¿{ ¿ XÐt hµm sè g( x)=√ x+1+ √ 3 − x , víi x ∈[−1 ; 3] . Ta cã min g (t ) =2, max g (t) =2 √2 .. √ x+1+ √3 − y =m Hay √ x+1 − √ 3 − x= √ y +1 − √ 3 − y. [−1 ;3 ]. [− 1;3 ]. Suy ra 2≤ g(t )≤ 2 √2 . Suy ra ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm khi vµ chØ khi 2≤ m ≤2 √ 2 . Hay hÖ (III) cã nghiÖm khi vµ chØ khi 2≤ m ≤2 √ 2 . VËy (I) cã nghiÖm khi vµ chØ khi 2≤ m ≤2 √ 2 .. ¿ 2 x 2 + xy − y 2 =1 Câu 4.Tìm m để hệ sau có nghiệm: x 2 +xy + y 2=m . ¿{ ¿ ¿ 1 2t 2 +t − 1= 2 y x 1 Híng dÉn: §Æt t= . Ta cã m , víi t ∈(− ∞; −1)∪( ;+∞). 2 t + t+1= 2 y 2 y ¿{ ¿ 2 t + t+1 Suy ra m= 2 . 2t +t −1. 2.BÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh: - C¸ch gi¶i: §a bµi to¸n vÒ d¹ng f (x) ≥ g( m) hoÆc f (x) ≤ g(m) ( víi m lµ tham sè ) và dựa vào miền giá trị của hàm số f (x) để biện luận. Cô thÓ: a)BÊt ph¬ng tr×nh f ( x)≥ g( m) cã nghiÖm khi vµ chØ khi max f ( x)≥ g (m) . b)BÊt ph¬ng tr×nh f (x) ≤ g(m) cã nghiÖm khi vµ chØ khi min f (x)≤ g (m) . Chó ý: i)Bất phơng trình f ( x)≥ g( m) nghiệm đúng với mọi x ∈ D f ( x)≥ g (m) . khi vµ chØ khi min D ii)Bất phơng trình f (x) ≤ g( m) nghiệm đúng với mọi x ∈ D f (x) ≤ g(m) . khi vµ chØ khi max D -C¸c vÝ dô: Câu 5.Tìm m để bất phơng trình.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x 2 −2 x − m √ x 2 − 2 x +2− m≥ 0 cã nghiÖm x ∈ [ 0; 1+ √ 3 ] . Híng dÉn: §Æt t=√ x2 −2 x+ 2 , víi 1≤ t ≤ 2 . 2 Ta cã t2 −2 − mt −m ≥ 0 ⇔m≤ t −2 (*). t +1 2 t −2 XÐt hµm sè f (t)= , víi t ∈[1; 2] ; t+1 t+1 ¿2 ¿ , vµ f (1)= 1 , f (2)= 2 . ¿ 2 2 3 t +2 t+ 2 f ' (t )= ¿ 2 Suy ra bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi m≤ max f ( x ) ⇔m ≤ . 3 [1 ;2 ]. Câu 6.Tìm m để bất phơng trình 3+ √5 ¿ x < 0 x nghiệm đúng với mọi x ≤ 0 . 3 − √5 ¿ +¿. m. 2x +1+(2 m+ 1) ¿ 3+ √5 ¿ x < 0 Híng dÉn: Ta cã : 3 − √ 5 ¿ x +¿ m. 2x +1+(2 m+ 1)¿ 3+ √ 5 x ¿ <0 2 . 3− √ 5 x ¿ +¿ 2 ⇔ 2 m+(2 m+1)¿ 3+ √ 5 x 2 ¿ §Æt , víi 0<t ≤ 1 , ta cã : 2 m+ 2 m+1 +t< 0 ⇔ m< − t −1 (*) 2 t 2t +2 t=¿ 2 XÐt hµm sè f (t)= −t − 1 , víi 0<t ≤ 1 ; 2 t+2 2 2 t+2 ¿ ¿ ; f ( √2 −1)=1 − √ 2 ; f (1)=− 1 ; ¿ 2 −2 t 2 − 4 t+ 2 f ' (t )= ¿. B¶ng biÕn thiªn t. 0. 2 -1. f'(t). +. 0. 1 -. 1- 2 f(t) -. 1 2. -. 1 2. Suy ra bất phơng trình f (t)>m nghiệm đúng với mọi 0<t ≤ 1 khi và chỉ khi min f ( x)> m hay m<− 1 . ¿ VËy víi. 2 1 m<− bất phơng trình đã cho đợc nghiệm đúng với mọi 2. x≤0. ..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> x+ ¿ √ y =4 ¿ Câu 7. Cho hệ : √ ¿ √ x +7+ √ y +7 ≤ m .Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn ¿{ ¿ Híng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn 0 ≤ x ≤ 9; 0≤ y . §Æt t=√ x , víi 3 ≤t ≤ 4 . y=16 − 8 t+t 2 2 4 −t ¿ +7 ¿ ≤ m Ta cã (II). ¿ ¿ ¿ 2 √¿ √t + 7+ 2 4 − t ¿ +7 ¿ XÐt trªn ®o¹n [3;4]. f (t)= √ t 2+7 + √ ¿ HÖ (II) cã nghiÖm ⇔ min f (t) ≤ m⇔ m≥ 4 +2 √ 2 .. x≥9 .. [3 ;4 ]. Bµi tËp: Câu 8)Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: a) √4 2 x + √ 2 x +2 √4 6− x+ 2 √ 6 − x=m (§H2008A); b) f ( x) ; c) 0<x < π ;. 2 d) √ 4 − x+ √ x − 2− √ (4 − x)( x −2)=m .. Câu 9)Tìm m để phơng trình sau có nghiệm trên tập số thực : a) √ x+1+ √ x − 1− √ 5 − x − √ 18 −3 x=2 m+ 1 ; b) √ x+ √ 9 − x= √− x2 +9 x +m ; Câu 10. Tìm m để phơng trình a). sin 4 x +cos 4 x+cos 2 4 x=m. cã nghiÖm x ∈ − π ; π. [. ].. 4 4 b) cos 2 x −(2 m+1) cos x+ m+1=0 cã nghiÖm x ∈ π ; 3 π . 2 2 c) 2 cos x cos 2 x cos 3 x +m=7 cos 2 x cã nghiÖm x ∈ − 3 π ; − π . 8 8 d) sin x+ cos x+ 1 (tan x +cot x+ 1 + 1 )=m cã nghiÖm x ∈ 0 ; π 2 sin x cos x 2. (. ). [. ]. ( ). .. Câu 11. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm a) sin4 x +cos 4 x=mcos 2 4 x (HSG TØnh 2001-2002). b) msin x +(m+1)cos x= m. cos x. ;. 6 6 c) cos 2 x +sin 2x =m tan 2 x .. cos x − sin x. Câu 12. Tìm m để phơng trình a) e x +cos x=m+ x − x. 2. cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt.. 2 2 √ log2 x −2 log2 x −3=m(log2 x − 3). b) cã nghiÖm x ∈ ¿ . Câu 13.Tìm m để bất phơng trình : a) 4 x −m .2 x + m+3 ≤ 0 cã nghiÖm. b) log2 ( x 2 − 2 x +m)+ 8 √ log4 (x 2 − 2 x +m)− 10≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈[0 ; 2] ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2. 2. 2. c) m. 92 x − x −(2 m+1). 62 x − x + m. 4 2 x − x 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ¿∪ ¿ . d) log 5 ( x 2 +4 x +m)− log 5 (x 2 +1)<1 nghiệm đúng với mọi x ∈(2 ; 3) ; Câu 14.Tìm m để phơng trình sau có ba nghiệm thực 4 −|x− m| log √ 2( x2 −2 x+ 3)+2− x +2 x . log 1 (2|x − m|+ 2)=0 . 2. Câu 15.Tìm m để hệ sau có nghiệm : x +¿ √ y=4 ¿. √ ¿ √ x +7+ √ y +7=m. 2. .. ¿{ ¿. II.Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1.Ph¬ng tr×nh v« tØ: 1.1)Ph¬ng ph¸p lîng gi¸c hãa: NÕu trong ph¬ng tr×nh chØ chøa mét hoÆc hai lo¹i c¨n : √ a+ x , √ a − x , √ a2 − x 2 . và ta sẻ làm mất căn từ việc đặt x=a cos t , với t ∈[0 ; π ] nh sau: t t √ a+ x=√ a+ a cos t=√ a(1+cos t)= 2 a cos2 = √2 a . cos ;. √. 2. 2 t t √ a − x=√ a − a cos t =√ a(1 −cos t )= 2 a sin 2 =√ 2 a .sin ; 2 2 √ a2 − x 2=√ a2 −a2 cos t=√ a 2(1 − cos2 t)=√ a2 sin2 t=a cos t . C©u 16. Gi¶i ph¬ng tr×nh : (4 x2 −1) √ 1 − x 2=x ;. √. . Híng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn −1 ≤ x ≤1 . §Æt x=cos t , víi t ∈[0 ; π ] . Ta cã: (4 cos2 t −1) √ 1 −cos 2 t=cos t ⇔. (4 cos2 t −1)sint=cos t ⇔. sin 3 t=cos t ⇔. ⇔ π π t= +k 8 4 ¿ π π ⇔ sin 3 t=sin( − t) t = +kπ 2 4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ π kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn t ∈[0 ; π ] suy ra t= ,t= 3 π , t= 5 π vµ t= π . 8 8 8 4 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x=cos π = √ 2+ √ 2 ; x=cos 3 π = √ 2+√ 2( √ 2− 1) ; 8 2 8 2 π 2 5 π √ 2+ √ 2(1− √2) vµ x=cos = √ . x=cos = 4 2 8 2 π 3 t= −t +k 2 π 2 ¿ π 3 t=π −( −t )+ k 2 π 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. 1.2)Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu: Nếu hàm số f (x) đơn điệu thì : f ( x1 )=f (x 2)⇔ x 1=x 2 ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> C©u 17.Gi¶i ph¬ng tr×nh x 3+2 x=(5 −3 x) √5 − 3 x +2 √5 − 3 x . Gi¶i: Víi ®iÒu kiÖn x ≤ 5 . 3. 3. Xét hàm số f (t)=t +2t . Ta có hàm số f (t) đồng biến trên R. f ( x)=f ( √ 5 −3 x) ⇔ x= √ 5 −3 x ⇔ x≥0 x =5 −3 x 29− 3 ⇔ x= √ 2 ¿{ 2. Suy ra. .. VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x= √29 −3 . 2 1.3)Ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm vµ chøng minh kh«ng cßn nghiÖm kh¸c: C©u 18. Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+ √ x − 5+ √ x+7 + √ x +16=14 . Híng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn x ≥ 5 . Ta cã x=9 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. XÐt hµm sè f (x)= √ x + √ x −5+ √ x +7+ √ x +16 . Ta có hàm số f (x) đồng biến trên ¿ . Suy ra x=9 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh. C©u 19. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x −1+ √ x +1+ √ 2− x=x 2+ √ 2 (HSG NA 2010-2011) Híng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn −1 ≤ x ≤2 . Ta cã x=0 vµ x=1 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. XÐt f (x)=x 2 − x − √ x +1 − √ 2− x trªn kho¶ng (-1;2), ta cã 1 1 + ; 2 √ x+1 2 √ 2 − x f ' (x)=0 ⇔2(2 x −1) √( x+1)(2 − x )− √ 2 − x + √ x+1=0 ⇔ 2[( √ x +1+ √ 2− x) √ ( x+ 1)(2 − x )+ 1]( √ x+1 − √2 − x)=0 1 ⇔ (√ x +1 − √ 2 − x)=0 ⇔ x= . 2 f ' (x)=2 x − 1−. B¶ng biÕn thiªn 1 x f'(x). -1. 2. 2 -. 0. +. f(x). Suy ra x=0 vµ x=1 lµ hai nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh. 1.4)Phơng pháp đánh giá giá trị của hàm số: =f (x 0 )=a vµ min g(x )=g(x 0 )=a th× NÕu max f (x) D D. f (x)=g (x) ⇔ f (x )=a . g( x )=a ⇔ x=x 0 ¿{. C©u 20.Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x −2+ √ 4 − x=x 2 − 6 x+11 . Híng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn 2≤ x ≤ 4 . XÐt hµm sè f (x)= √ x − 2+ √ 4 − x vµ g( x)=x 2 −6 x +11 trªn ®o¹n [2;4]. =f (3)=2 vµ min g ( x )=g(3)=2 . Ta cã max f ([2x) ;4 ] [2 ;4 ].

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Suy ra. f ( x)=g ( x)⇔ f (x)=2 . g(x )=2 ⇔ x=3 ¿{. VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x=3 . 1.5)Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö liªn hîp: C©u 21.Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3=2 √ x +2+4 (§H2010D). Híng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn x ≥ −2 . Ta cã: x 3=2 √ x +2+4 ⇔ x 3 − 8=2 √ x +2− 4 ⇔ (x − 2)( x 2 +2 x + 4)=2( √ x +2− 2) . Ta thÊy ( √ x+2 −2)( √ x+ 2+ 2)=x −2 . Suy ra (x − 2)( x 2 +2 x+ 4)=2( √ x +2 −2) ( √ x+2 −2)( √ x+ 2+ 2)( x 2 +2 x+ 4)− 2( √ x+ 2− 2)=0 ⇔ (√ x +2 −2)[( √ x+ 2+ 2)(x 2 +2 x+ 4)−2]=0 ⇔ √ x+ 2− 2=0 ⇔ √ x+2=2 ⇔ x=2 . C©u 22.Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+1 − √ 2 − x+(4 x − 2) √ (x +1)(2− x )=0 (HSG TØnh NA 2010-2011). Híng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn −1 ≤ x ≤2 . Ta thÊy ( √ x+1 − √ 2 − x)( √ x +1+ √ 2− x)=2 x − 1 . Suy ra √ x+1 − √ 2 − x+( 4 x − 2) √(x +1)(2− x )=0 ⇔ (√ x +1 − √ 2 − x)[1+2( √ x+ 1+ √2 − x ) √ (x +1)(2 − x)]=0 1 ⇔ √ x+ 1− √2 − x=0 ⇔ √ x+ 1=√ 2− x ⇔ x = . 2 1.6)Phơng pháp vận dụng hằng đẳng thức: 3 3 3 3 +Từ hằng đẳng thức : a+b +c ¿ =a + b +c +3(a+ b)(b+ c)(c +a) , ta có. ¿ a+b +c ¿ 3=a 3+ b3 +c 3 ⇔(a+b)(b+ c)( c+ a)=0 . ¿ C©u 23.Gi¶i ph¬ng tr×nh: √3 3 x 2 − x+ 2001− √3 3 x 2 − 7 x+2002 − √3 6 x − 2003= √3 2002 .. Híng dÉn: §Æt a=√3 3 x 2 − x+2001 , b=− √3 3 x2 −7 x +2002 , c=− √3 6 x −2003 , ta cã: a+b +c ¿ 3=a 3+ b3 +c 3 . ¿ 3 3 3 3 Mµ a+b +c ¿ =a + b +c ⇔( a+b)(b+ c)(c+ a)=0. ¿. ⇔ a+b=0 ¿ b+ c=0 ¿ c +a=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. ⇔ a+b=0 ¿ b+ c=0 ¿ c +a=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. ⇒ 6 x −1=0 ¿ 3 x2 − x −1=0 ¿ 3 x2 −7 x +4004=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. ⇔ 1 x= 6 ¿ 1− √ 13 x= 6 . ¿ 1+ √ 13 x= 6 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. Bµi tËp : C©u 24.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) √ 1+ √1 − x 2=x (1+2 √1 − x 2 ) ; b) x 3 −3 x= √ x +2 ; c) 4 x 3 −3 x=√ 1− x 2 ; d) 4 x 3 −12 x2 +9 x −1= √2 x − x 2 . C©u 25.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau :.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> a) x 2 −3 x +1+ √ 2 x −1=0 (§H2006D). b) (4 x+2)(1+ √ x2 + x +1)+ 3 x (2+ √ 9 x 2+ 3)=0 . c) √ x2 −2 x+3 − √ x 2 −6 x +11= √ 3 − x − √ x − 1 . d) x √ x 2 − 8 x +23=( 4 − x ) √ x 2+ 7 . e) √ 8 − x − √ x +1 −2 x+7=0 . g) √ x −1 − √ 3 − x +2 x − 4=0 . 2 2 h) 3 √ 8 x +3+1=6 √ 2 x −2 x +1+8 x (HSG TØnh NA 2007) 3 i) 2 x 3−5 ¿ + x −3 ; k) 8 x 3+ 8 x − 4=√3 4 −6 x ; √ x − 2=¿ l) √3 3 x −5=8 x3 −36 x 2 +53 x −25 m) √3 6 x+1=8 x3 − 4 x − 1 ; 3 3 n) 9 x 2+12 x − 2=❑√ 3 x +8 ; p) x+ 1¿ =3 √3 x +5+2 . ¿ q) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän tháa m·n 2(cos 3 A+ cos 3 B)− 3(cos 2 A+ cos 2 B)+6(cos A +cos B)=5 . Chứng minh tam giác ABC đều. Híng dÉn: PT ⇔ (8 cos3 A −6 cos 2 A)+(8 cos3 B − 6 cos2 B)=−1 . XÐt f (t)=8 t 3 − 6 t2 trªn kho¶ng (0;1).. 1 1 Ta cã min f (t ) =f ( )=− . 2. (0 ;1). 2. C©u 26.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a) √ −2 x2 +8 x +42 − √ −2 x 2+ 6 x+20+ 9 x 2 −6 x − 1=0 ; b) √ x2 −2 x+5 − √ x 2 +4 x+8+ 4 x 2 +4 x − 4=0 ; C©u 27. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) √ x+1 − √ 2 − x+ 2 x 2 + x − 1=0 ; b) √ x+1 − √ 2 − x+ 8 x3 −1=0 ; c) 16 x3 −1= 4 x + 1 ; d) x 2 − √ x +2=2 .. √. 2. C©u 28. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) √3 3 x +1+ √3 5 − x+ √3 2 x − 9=√3 4 x − 3 ; b) √3 7 x +1 − √3 x 2 − x −8+ √3 x 2 − 8 x −1=2 ; c) √3 6 x+5+ √3 4 −3 x +√3 x −2=√3 4 x +7 . 1.7)Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh: C©u 29. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x 2+ √ x +12=12 ; b) √3 x+5+ √ 4 − x=3 . Híng dÉn: a)Víi ®iÒu kiÖn x ≥ −2 . §Æt u=x vµ v =√ x +12 , ta cã : ¿ u + v=12 v 2 −u=12 ⇔ ¿{ ¿ 2. ¿ u +v =12 (u+ v)(u − v +1)=0 ⇔ ¿{ ¿ 2. ¿ u + v=12 u − v+1=0 ⇔ ¿{ ¿ 2. ¿ u2 +u −11=0 v=u+1 ¿{ ¿. ⇔ 3 √ 5− 1 u= 2 . 3 √5+1 v= 2 ¿{. 3 5 −1 Suy ra x= √ . 2. b)Víi ®iÒu kiÖn x ≤ 4 . §Æt u= √3 x +5 vµ v =√ 4 − x , ta cã : ¿ u+ v=3 3 2 u +v =9 ⇔ ¿{ ¿. v=3− u 2 3 −u ¿ =9 ¿ ⇔ ¿ ¿ u3 +¿. ¿ v=3 −u u3 +u2 −6 u=0 . ¿{ ¿. 1.8)Phơng trình đẳng cấp bậc k đối với P( x) và Q(x) :.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> +D¹ng : aP( x )+ bQ ( x)+c √ P( x ). Q(x )=0 . +C¸ch gi¶i: KiÓm tra víi P( x)=0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm hay kh«ng. Với P(x)≠ 0 , chia cả hai vế của phơng trình cho P( x) ta đợc: b.. Q( x ) Q(x) +c . +a=0 P ( x) P( x ). √. . §Æt t =. √. Q(x ) . P(x). C©u 30. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 2 x 2 +5 x −1=7 √ x3 −1 ; b) √ x2 + x − 6+3 √ x −1=√ 3 x 2 −6 x +19 ; Híng dÉn: a)Víi ®iÒu kiÖn x ≥ 1 . Ta cã: 2 2 2 x 2 +5 x −1=7 √ x3 −1 ⇔ 2( x + x+ 1)+3( x −1)=7 √ (x −1)(x + x +1) . vµ víi x=1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Chia hai vế của phơng trình cho x-1 ta đợc: x2 + x +1 x 2 + x+ 1 x 2 + x+1 , víi . §Æt t ≥ √ 3 √3+3 , ta cã: 2. −7 . +3=0 t= x −1 x−1 x−1 2 2t −7 t+3=0 ⇔ t=3 . x 2 + x+1 Víi t=3 ⇒ =3 ⇔ x=4 ± √ 6 . x−1 b)Víi ®iÒu kiÖn x>2. Ta cã : √ x2 + x − 6+3 √ x −1=√ 3 x 2 −6 x +19 ⇔ x 2 + x − 6+9(x −1)+ 6 √(x 2+ x −6)(x −1)=3 x 2 −6 x +19 ⇔ − x2 +8 x − 17+3 √ (x +3)(x − 2)( x −1)=0 ⇔ −( x 2+ 2 x −3)+10( x − 2)+3 √ ( x 2 +2 x −3)(x −2)=0 .. √ √. √. Bµi tËp: C©u 31. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) x 2+ √ x +5=5 ; b) 2 √3 x +1+ √ 4 − 9 x=4 . c) x 2+ √ 5 − x=5 ; d) x 2+6 x +6+ √ x +5=0 . C©u 32. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 2(x 2 − 3 x +2)=3 √ x3 +8 ; b) √ 5 x 2 +14 x +9 − √ x 2 − x −20=5 √ x +1 .. 2.ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit: 2.1.Ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm vµ chøng minh nghiÖm duy nhÊt: x −1 C©u 33. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh sau: 2x +1+2 x ≥ 5 . Híng dÉn: x −1 x −1 Ta cã : 2x +1+2 x ≥ 5 ⇔ 2 x+1 +2 x −5 ≥ 0 . XÐt hµm sè f ( x)=2 x+1 +2 f ' (x)=2 x+1 ln 2+. B¶ng biÕn thiªn:. 1 2 x2. x− 1 x. x− 1 x. −5 , víi. . ln 2>0 ; vµ. x≠0 .. f (−1)=f (1)=0 ..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> x. 0. -1. -. 1. +. f'(x). +. + +. +. f(x) 0. 0. -3. Suy ra. -3. f ( x )≥ 0 ⇔ −1 ≤ x <0 ¿ x ≥1 . ¿ ⇔ x ∈¿ ∪ ¿ ¿ ¿ ¿. VËy nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ x ∈ ¿∪ ¿ . 2.2.Ph¬ng ph¸p chuyÓn thµnh hÖ: C©u 34. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 20102 x + √ 2010x +12=12 . (HSG TØnh NA 2010-2011). Hướng dẫn: §Æt u=2010 x vµ v =√ 2010 x +12 , u>0,v>0. ¿ ¿ ¿ ¿ u + v=12 u2 +v =12 u2+ v=12 u2 +u −11=0 2 v −u=12 (u+ v)(u − v +1)=0 u − v+1=0 Suy ra v=u+1 ⇔ ⇔ ⇔ ¿{ ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ Suy ra 2010 x = 3 √ 5 −1 ⇔ x =log 2010 3 √ 5 −1 . 2 2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x=log 2010 3 √ 5 − 1 . 2 x C©u 35.Gi¶i ph¬ng tr×nh: log5 (3+ √3 +1)=log 4 ( 3x +1) . 2. Híng dÉn: §Æt t=log5 (3+ √ 3 x +1)⇒ t=log 4 (3 x + 1) , ¿ 3+ √ 3 +1=5t 3 x +1=4 t ¿{ ¿ x. vµ. ⇔ 3+2t =5t 3 x +1=4 t ¿{. ⇔ 1 t 2 t 3. + −1=0 . 5 5 x t 3 +1=4 ¿{. ()(). t t XÐt hµm sè f (t)=3 . 1 + 2 − 1 , f (1)=0 .. (5) (5). 2.3.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: C©u 36. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:. log 3. x2 + x +1 =x 2 − 3 x +2 2 2 x − 2 x +3. Híng dÉn: Ta cã log3 (x 2 + x+ 1)− log3 ( 2 x 2 − 2 x +3)=x 2 − 3 x+2. .. ⇔ 3 5− 1 u= √ 2 . 3 √ 5+1 v= 2 ¿{.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ⇔ (x 2+ x +1)+ log 3 ( x 2+ x+1)=(2 x 2 −2 x+3)+ log3 ( 2 x 2 − 2 x +3). XÐt hµm sè f (t)=t +log 3 t , víi t> 0 , ta cã f ' (t)=1+ 1 >0 . Suy ra hµm sè t ln3 f (t) đồng biến trên khoảng (0 ;+∞) . Suy ra f ( x2 + x +1)=f (2 x 2 −2 x+3) ⇔ (x 2+ x +1)=(2 x 2 − 2 x +3) ⇔ x 2 − 3 x+2=0 ⇔ x=1 ¿ x=2 ¿ . ¿ ¿ ¿ ¿. 2.4.Phơng pháp đổi biến số: C©u 37.Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( √ 10+1 )log x − ( √ 10− 1 )log x = 2 x . 3 Híng dÉn: Ta cã : ( √ 10+1 )log x − ( √ 10− 1 )log x = 2 x ⇔ ( √10+1 )log x − ( √ 10 −1 )log x = 2 .3 log x 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. ⇔. (. √ 10+1. log3 x. ( 3 ) 10+1 t=( √ 3 ) −. √ 10 −1 3. log3 x. ). =. 3. 3. 2 . 3. log 3 x. §Æt. , với t> 0 , ta đợc:. 1 2 1+ 10 t − = ⇔3 t 2 − 2t − 3=0 ⇔ t= √ . t 3 3 log x 10+1 Víi t= 1+ √10 ⇒ √ 10+1 =√ ⇔ x=1 . 3 3 3. (. ). 3. Bµi tËp: C©u 38.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 3 x =2 x +1 ; b) 2003 x +2005 x =4006 x +2 (HSG TØnh NA 2004) ; c) log2 ( √ x + 3 )+ 2. x+ √ x−. 2. 3 4. =2 (HSG TØnh NA 2005).. d) x log 11 + 3log x =2 x . C©u 39.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 22 x − √ 2x +6=6 . b) log 22 x+ √ log2 x +1=1 . C©u 40.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 2x +5 x =2 − x +44 log2 (2+ 131 x −5 x ) ; b) 3 x =2 log3 (2 x +1)+ 1 . 7. 7. 3. 3 log 2 ( √ x +2+2) −3 log 2 x=x 3 − 2 √ x +2− 5 .. C©u 41.Gi¶i ph¬ng tr×nh: C©u 42.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:. logx 3. 5 a) 32 log x − 2 x 1+ log 3 −8 x 2=0 ; b) 2log x + 1 = ; 2 2 2.5.Phơng pháp đổi biến không hoàn toàn: C©u 43. Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) 4 x −(5+ x).2 x + 4 ( x+1)=0 ; d) 3 .25 x −2 +(3 x −10). 5 x− 2+ 3− x=0 ; b) 4 x −1 −(5+log 2 x) .2 x −1 +4 (log 2 x+1)=0 . 2. 2. 3. (). c) log22 x+1 +(4 − x)log 2 x+1 +1=0 ; g) (x+ 2) log23 (x +1)+ 4 ( x+1)log3 ( x +1) −16=0 . 2 x−3 2 x−3 2.6.Ph¬ng ph¸p ®a vÒ cïng c¬ sè: C©u 44. Gi¶i ph¬ng tr×nh:.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> a) log x+1 ( √ 8 − x − 2 x +7)= 1 ; 2. 2 b) log 2 (8 − x )+ log 1 ( √ x+1+ √1 − x)=2 ; 2. 8. x −1 ¿ =log 2 4 x 2 2 x −1 ¿ =4 ; d) . 1 2 log 2 x− 1( 2 x + x −1)+log x+1 ¿ log √ 2 (x+ 3)+ log 4 ¿ 2 4. c) 1. 2.7.Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö: C©u 45.Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) 4 2 x+ √ x+2 +2x =4 2+√ x+ 2+2 x +4 x −4 ; b) 2x + x − 4 . 2 x − x − 22 x +4=0 ; 3. c). 3. 2. 2. x+1 ¿2 ¿ ; ¿ x +x 1−x ¿ 4 +2 =2 2. 2. C©u 46.Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) 8 .3 x +3 .2 x =24+ 6x ; b) 12. 3 x +3 . 15 x −5 x+1=20 . III.Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 3.1.Ph¬ng ph¸p thÕ: C©u 47.Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:. (HSG B×nh §Þnh 2009-2010).. Híng dÉn: ¿ 10 6 x +xy = y + y √ 4 x +5+ √ y 2 +8=6 ¿{ ¿ 5. ¿ x 5 +xy 4 = y 10+ y 6 √ 4 x +5+ √ y 2 +8=6 . ¿{ ¿. 4. ⇔ 2 x= y √ 4 x +5+ √ x+ 8=6 ¿{. ⇔ x x + = y5+ y5 y y √ 4 x +5+ √ y 2 +8=6 ¿{ ⇔ ¿ x=1 y=1 ¿ ⇔ ¿ 2 ¿ x= y . x=1 x=1 ¿ ¿{ ¿ y=− 1 ¿ ¿ ¿ 5. (). ⇔ x =y y √ 4 x +5+ √ y 2 +8=6 ¿{. C©u 48.Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ 2 x +2 y + 3 y +3=0 2 y 3 +2 z2 +3 z +3=0 2 z 3 +2 x 2 +3 x+3=0 ¿{ { ¿ 3. a). Híng dÉn: a)XÐt hµm sè. 4. 2. f (t)=−. ; b). x − 1¿ ¿ x −1 − √ √ y=8− x2 ; c) ¿ ¿ y =¿. 13 2 √2 t +3 t +3 . 2. ¿ x (2+ 3 y)=1 3 x ( y −2)=3 . ¿{ ¿ 3.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 3 3 y 3 − 2 ¿3 y −2 ¿ ¿ ¿ c)XÐt hµm sè ; ; ¿ 81(8 y 3 +6 y 2 +2) 27(2+3 y ) f ' ( y)=− f ( y)= ¿ ¿ 3 Trªn (− ∞ ; √ 2) , f ( y)=0 cã duy nhÊt nghiÖm y=-1; Trªn ( √3 2;+ ∞) , f ( y)=0. cã duy. nhÊt nghiÖm y=2.. 3.2.Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh d¹ng: C©u 49. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: a). c). ¿ 2 x 3 + x 2 y + xy 2 − y3 =0 ; b) xy − √ 2 x + y +8=4 ¿{ ¿ ¿ 2 x 2 + x √ 2 x 2 +xy= y 2 xy 2 −(x + y )=√ 1− x 2 . ¿{ ¿. ¿ f (x ; y)=0 g( x ; y)=0 , trong đó f(x;y) đẳng cấp đối với x và y. ¿{ ¿. ¿ 2 2 2 2 x + x √ 2 x + xy= y 2 2 x +2 y +6 y − 2= √ x + y +8 ; ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>