De va dap an mon toan chuyen KHTNVong12012
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (132.04 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>TĐ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012. MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I.. Câu II.. 1) Giải phương trình √ x+ 9+ 2012 √ x +6=2012+ √ ( x +9 ) ( x +6 ) 2) Giải hệ phương trình ¿ x 2+ y 2 +2 y=4 2 x+ y + xy=4 ¿{ ¿. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đẳng thức: ( x+ y+ 1 )( xy+ x + y ) =5+2 ( x + y ). 2) Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( √ x+1 ) ( √ y +1 ) ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P=. x2 y2 + y x. Câu III. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M. 1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng ba điểm N, P, D thẳng hàng 2)Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN. Câu IV. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a ≤ b ≤3 ≤ c ; c ≥ b+1 ; a+b ≥ c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=. 2 ab+a+ b+c (ab − 1) (a+1)(b+1)(c +1). Trường THCS 2 TT Thanh Ba. 1.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> TĐ HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu 1 a) ĐK : x ≥ -6 √ x+ 9+ 2012 √ x +6=2012+ √( x +9 ) ( x +6 ) √ x+ 9(1− √ x +6)+2012( √( x +6 ) −1)=0 (− √ x +9+2012)(√ ( x+6 ) − 1)=0. Vậy PT có hai nghiệm x = -5 ; x= 4048135 ¿ x + y +2 y=4(1) 2 x+ y + xy=4(2) ¿{ ¿ 2. b). 2. x 2 y 2 2 y 4 4 x 2 y 2 xy 8. Cộng vế với vế của hai PT được: x 2 y 2 4 x 4 y 2 xy 12 0 2. x y 4 4 x y 2 0. x y 2 x y 6 0 x y 2 * x y 6 ** Từ (*) có x 2 y thay vào PT (2) và giải PT được y1 0; y2 1 từ đó x 2; x2 1 . tìm được 1 Từ (**) có x y 6 thay vào PT (2) được PT vô nghệm. Vậy HPT đã cho có hai nghiệm x; y 1;1 ; 2;0 Bài 2: phần 1: ( x+ y+ 1 )( xy+ x + y ) =5+2 ( x + y ) ( x+ y+ 1 )( xy+ x + y ) =2 ( x + y +1 ) +3 ( x+ y+ 1 )( xy+ x + y −2 ) =3 (I). Hoặc. ¿ ¿ x + y +1=− 3 x+ y +1=−1 x+ y+ xy − 2=− 1 hoặc (II) x+ y+ xy − 2=− 3 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ x+ y +1=1 x + y +1=3 (III) x+ y+ xy − 2=3 hoặc (IV) x+ y+ xy − 2=1 ¿{ ¿{ ¿ ¿. Giải các hệ pt trên ta thấy hệ (II) có nghiệm (x;y) =(-1;-1) các hpt I; III; IV không thỏa mãn (x;y) nguyên. Trường THCS 2 TT Thanh Ba. 2.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> TĐ Vậy có duy nhất cặp số (x;y) =(-1;-1) thỏa mãn đề bài Phần 2: 3 3 Ta có ( √ x+1 ) ( √ y +1 )=¿ √ xy + √ x+ √ y +1 ≥3 √ √ xy √ x √ y+1=3 √ xy +1 3 √3 xy+ 1≥ 4 ⇔ √3 xy ≥1 ⇒ √ xy ≥1 x2 y2 x2 y2 + ≥2 =2 √ xy ≥ 2 y x xy. √ Vậy GTNN của P=2 x = y = 1 P=. Câu 3 D. A. O P. Q. B. C. N M 0 Có DNM PNM 90 => D; P; N thẳng hàng (đpcm) b) Có tứ giác MNPQ nội tiếp => NPM NQM Tứ giác MNAD nội tiếp =>NAM=NDM Mà NPM NAM PNA. a). NQM NDM QND PNA QND 0 PAD PQD 90 Có. . NP là phân giác QNA (1). . Tứ giác PQDA nội tiếp. QAP PQD Mà QPD MAN (cùng chắn cung MN của (O) ). Trường THCS 2 TT Thanh Ba. 3.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> TĐ ANP PAQ PA là phân giác QAN (2). Từ (1);(2) => P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN. Bài4: Không mất tính tổng quát ta có thể đặt ¿ a=1+ β> 0 b=2+ β> 0 c=3+ β> 0 ⇒ ¿{{ ¿. Q=. 2 ab+a+ b+c (ab − 1) (a+1)(b+1)(c +1). vµ kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. =. β 3+ 8 β 2 +18 β+ 10 β 3 +9 β 2 +26 β+ 24. a ≤ b ≤3 ≤ c ; c ≥ b+1 ; a+b ≥ c. ⇒0≤ β≤1. .. Do đó ta có bài toán mới sau : Cho 0 ≤ β ≤1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 3 2 Q = β3 + 8 β 2 +18 β+ 10 . ThËt vËy ta cã β +9 β +26 β+ 24 Víi mäi β ∈ [ 0; 1 ] th× 7 β 2+51 β +86>0 Mµ theo gi¶ thiÕt cã β ≥ 0 ⇒ β ( 7 β2 +51 β+ 86 ) ≥ 0 ⇔ 7 β 3 +51 β 2 +86 β ≥0 ⇔ ( 12 β 3 −5 β3 ) + ( 96 β 2 − 45 β 2) + ( 216 β −130 β ) ≥0 3 2 3 2 ⇔ 12 β + 96 β +216 β ≥5 β +45 β + 130 β ⇔ 12 β 3+ 96 β2 +216 β +120 ≥5 β 3 +45 β 2 +130 β+120 ⇔ 12 ( β 3+ 8 β2 +18 β +10 ) ≥5 ( β 3 +9 β 2+ 26 β+24 ) 3 2 β +8 β +18 β +10 5 5 v× β 3+ 9 β2 +26 β +24> 0 ⇔ 3 ≥ ⇒Q ≥ 2 12 β + 9 β +26 β +24 12 víi mäi β ∈ [ 0; 1 ] 5 .VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q lµ 12. khi a = 1 ; b = 2 ; c = 3 .. Bài giải trên của em có thể chưa chuẩn xác, mong nhận được sự góp ý của thầy cô giáo và các bạn. Thầy cô nào đã có đề và đáp án vòng 2 môn toán của trường Sư Phạm và KHTN thì gửi lên cho em với. Em xin cám ơn!!!!!. Trường THCS 2 TT Thanh Ba. 4.
<span class='text_page_counter'>(5)</span>
