Luong giac co ban va 250 bai toan co dap an chi tiet

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (476.71 KB, 50 trang )

(1)Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. A. 1. a. -. Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC Biên soạn: Trần Hải Nam – Trung tâm luỵện thi Tầm Cao Mới (tài liệu lưu hành nội bô) Phần II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Vấn đề 1: Tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ Hàm số y = sinx Tập xác địng D = R Tập giá trị T = [-1,1] Hàm số lẻ Chu kì: T0 = 2  T0 .   b. -. 2 a. y = sin(ax + b) có chu kỳ: y = sin(f(x)) xác định  f(x) xác định Hàm số y = cosx Tập xác địng D = R Tập giá trị T = [-1,1] Hàm số chẵn Chu kì: T0 = 2  T0 . 2 a.  y = cos(ax + b) có chu kỳ:  y = cos(f(x)) xác định  f(x) xác định c. Hàm số y = tanx   D  R\   k , k  Z  2  Tập xác địng. - Tập giá trị T = R - Hàm số lẻ - Chu kì: T0 = .  y = tan(ax + b) có chu kỳ:. T0 .  a.  f  x    k ( k  Z ) 2 y = tan(f(x)) xác định  xác định.  d. Hàm số y = tanx -. D  R\  k , k  Z . Tập xác địng Tập giá trị T = R Hàm số lẻ Chu kì: T0 = .  y = cot(ax + b) có chu kỳ:. T0 .  a. f x k ( k  Z )  y = cot(f(x)) xác định    xác định. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(2) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. Lưu ý: y = f1(x) có chu kỳ T1; y = f2(x) có chu kỳ T2 thì hàm số y = f1(x)  f2(x) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 Bài tập Bài 1: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số sau  2x  y  sin    x  1 a/. b/ y  sin x. 2. d/ y  1  cos x. e/.   y  cot  x   3  g/. 1. y y. c/ y  2  sin x   y  tan  x   6  f/. sin x  1 sin x cos( x   ). h/ Bài 2: Tìm giá trịn lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 1 i/ y = tan x  1.   2sin  x    1  4 a/ y =. b/ y  2 cos x  1  3. c/ y  sin x. 2 d/ y  4sin x  4sin x  3. 2 e/ y cos x  2sin x  2. 4 2 f/ y  sin x  2 cos x  1. g/ y = sinx + cosx h/ y = 3 sin 2 x  cos 2 x Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x. i/ y = sin x  3 cos x  3 c/ y = sinx + cosx f/ y = sinx.cosx. cos3 x  1. sin x  tan x g/ y = sin x  cot x. h/ y =. sin3 x. i/ y = tan x. x 3. 2 c/ y  sin x. Bài 4: Tìm chu kỳ của hàm số a/ y  sin 2 x d/. b/. y  sin 2 x  cos. x 2. g/ y  2sin x . cos3x ĐS. a/  .. b/ 6 . c/  .. y  cos. y  cos. 3x 2x  sin 5 7. e/ y  tan x  cot 3 x. f/. 2 h/ y  cos 4 x. i/ y = tan(3x + 1). d/ 4 . e/ . f/ 70 . g/  ..  . h/ 4. i/.  3. Bài 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số :  y 2sin 2 ( x  )  2 cos 2 x  cos 2 x 6 a.   y 2sin(2 x  )  4cos x cos( x  ) 3 3 c..   y 2sin( x  ) cos( x  )  sin 2 x 6 3 b. 6 6 d. y sin x  cos x  sin 4 x .. Bai 11. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 2.

(3) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 4sin 2 x. sin x  2  sin(2 x  ) 6 . cos x  3 a. b. c. 1  sin x y 2  cos x là số nguyên. Bài 11’. Tìm các giá trị của x để y. sin x  2 cos x  1 sin x  cos x  2 .. y. y. B. Phương trình lượng giác cơ bản I. Phương trinh lượng giác cơ bản 1. Phương trình sin x  sin   x   k 2 sin x  sin    (k  Z ) x      k 2   a. sin x  a. Ñieàu kieän :  1  a 1.  x arcsin a  k 2 sin x  a   (k  Z )  x   arcsin a  k 2 b. c. sin u  sin v  sin u sin( v)   sin u  cos v  sin u  sin   v  2  d.   sin u  cos v  sin u  sin  v    2 e.. Trường hợp đặc biệt:. sin x  0  x  k (k  Z ) sin x  1  x  sin x 1  x .   k 2 (k  Z ) 2.   k 2 (k  Z ) 2.  sin x 1  sin2 x 1  cos2 x  0  cos x  0  x   k (k  Z ) 2 cos x  cos  2. Phương trình. a. cos x  cos   x   k 2 (k  Z ). cos x  a. Ñieàu kieän :  1  a 1. b. cos x  a  x arccos a  k 2 (k  Z ) c. cos u  cos v  cos u cos(  v)   cos u  sin v  cos u  cos   v  2  d.   cos u  sin v  cos u  cos   v  2  e.. Đặc biệt: cos x  0  x .   k (k  Z ) 2. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(4) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. cos x 1  x  k 2 (k  Z ) cos x  1  x   k 2 (k  Z ) cos x 1  cos2 x 1  sin2 x  0  sin x  0  x k (k  Z ) 3. Phương trình tan x  tan . a. tan x  tan   x   k (k  Z ) b. tan x  a  x  arctan a  k (k  Z ) c. tan u  tan v  tan u tan( v)   tan u  cot v  tan u  tan   v  2  d.   tan u  cot v  tan u  tan   v  2  e.. Đặc biệt:. tan x  0  x  k (k  Z ).  tan x 1  x   k (k  Z ) 4 4. Phuơng trình cot x  cot . a. cot x  cot   x   k (k  Z ) b. cot x  a  x  arccot a  k (k  Z ) Đặc biệt   k (k  Z ) 2 π 3 ⇔ sin x=sin Ví dụ 1: sinx = √ 3 2 ⇔ ⇔ π π x= +k 2 π x= +k 2 π 3 3 ¿ ¿ π 2π x=π − +k 2 π x= + k 2 π 3 3 ¿ ¿ k ∈Z k∈Z ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 3     sin x  sin  sin x sin( ) 3 3 Ví dụ 2: sinx = 2      x  3  k 2  x  3  k 2  k Z  k Z  x     k 2  x  4  k 2   3 3 cot x  0  x . Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(5) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. ⇔. 1. Ví dụ 3: sin2x = 4. 1 2 x=arcsin +k 2 π 4 ¿ 1 2 x =π − arcsin +k 2 π 4 ¿ k∈Z ¿ ¿ ¿. Lưu ý: có thể viết nghiệp bằng cách khác π Ví dụ 4: cos(2x + 4 )=. −. 1 2. ⇔. ⇔ 1 1 x= arcsin +kπ 2 4 ¿ π 1 1 x= − arcsin + kπ 2 2 4 ¿ k∈Z ¿ ¿ ¿.    2 cos(2 x  )  cos cos(  ) cos 4 3 3 3. ⇔ ⇔ π 2π 5π 2 x+ = + k 2 π x= + kπ 4 3 24 ¿ ¿ π 2π 11 π 2 x + =− +k 2π x=− + kπ 4 3 24 ¿ ¿ k ∈Z k ∈Z ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1 ⇔ tan( x − 600 )=tan30 0 Ví dụ 5: tan(x – 600) = 3 √ ⇔ x −600 =300 +k 1800 k ∈ Z ⇔ x=900 +k 1800 k ∈ Z π π π ⇔ x= + arccot 5+kπ k ∈ Z Ví dụ 6: cot(x - 3 )= 5 ⇔ x − 3 =arccot 5+kπ k ∈ Z 3 0 0 0 0 Ví dụ 7 cot(x -75 ) = -1 ⇔ x −75 =− 45 + k 180 k ∈ Z ⇔ x=30 0+ k 1800 k ∈ Z. Ví dụ 8 : tan3x = tanx. Điều kiện. Ta có tan3x = tanx. ¿ π 3 x ≠ +kπ 2 π x ≠ +kπ 2 k ∈Z ¿{ ¿. ⇔ 3x = x +l π. ⇔. ¿ π π x ≠ +k 6 3 π x ≠ +kπ 2 k ∈Z ¿{ ¿ ⇔ x=l. π (l ∈Z ) 2. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = m π (m Z ) Ví dụ 9 : tan5x – cotx = 0. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 5.

(6) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. ¿ π 5 x ≠ + kπ 2 x ≠ kπ (k ∈ Z) ¿{ ¿. Điều kiện. Ta có . tan5x = cotx ⇔ x=. ⇔. ⇔ tan5x = tan(. π 12. ¿ π π x ≠ +k 10 5 x ≠ kπ (k ∈ Z ) ¿{ ¿ π − x¿ 2. ⇔. π. 5x = 2 − x + l π. (l. Z). π. +l 6 (l Z) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: π. π. x = 12 + l 6 (l Z) Bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương trình sau: π 2 2 a. cos(3x - 6 )= - √ b. cos(x -2) = 5 2. 5π. d. (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0. e. tan2x = tan 6. π 1 g. cot(4x - 6 )= √ 3 h. sin(3x- 450) = 2 x x k. (cot 3 -1)(cot 2 +1)= 0 l. cos2x.cotx = 0 π 2 n. sin(2x -150) = - √ p. sin4x = 3 2 π π r. cos2x cot(x - 4 )= 0 s. cos3x = 4. 1. c. cos(2x + 500) = 2 3 f. tan(3x -300) = - √ 3. i. sin(2x +100)= sinx 2x π m. cot( 3 + 5 )= -1 2. q. cos(x + 3) = 3 x. π. π. t. tan( 2 − 4 ¿=tan 8 v. sin3x + sin5x = 0. u. cos3x – sin2x = 0. Bài 2: Giải các phương trình sau: a. sin(2x -1) = sin(x+3) b. sin3x= cos2x c. sin4x + cos5x = 0 2 2 d. 2sinx + √ 2 sin2x = 0 e. sin 2x + cos 3x = 1 f. sin3x + sin5x = 0 0 0 g. sin(2x +50 ) = cos(x +120 ) h. cos3x – sin4x = 0 π. *i. tan(x - 5 ) + cotx = 0 Bài 3: Giải các phương trình sau:   cos  2 x   0 6  1)   sin  3 x   0 3 4) . 7). sin  3 x  1 . 1 2. *j. tan5x = tan3x.   cos  4 x   1 3  2) x  sin    1 5)  2 4 . 8). cos x  150 . . . 2 2.   cos   x   1 5  3)   sin   2 x   1  6)  6 x  3 sin     2 9)  2 3 . Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 6.

(7) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..   1 cos   2 x   2 11) tan  2 x  1  3 6  10)     tan  3 x    1 cot  2 x   1 6 3   13) 14). 12). cot 3 x  10 0 . . . 3 3. 0. 15) cos(2x + 25 ) =. . 2 2. Bài 4: Giải các phương trình sau: 1).     cos  x   cos  2 x   3 6   2). sin  3 x  1 sin  x  2 . sin x  1200  cos 2 x 0. . . 3) cos3 x sin 2 x. 4).     cos  2 x    cos  x   0 3 3   5)     tan  3 x   tan  x   4 6   7).  x sin 3 x  sin    0  4 2 6)     cot  2 x   cot  x   4 3   8). 9). 11). 10). sin x 2  2 x 0. . . 2. 13) cot x 1 cos x . cos x 2  x 0.  tan  x 12). tan  2 x  1  cot x 0. 14). 1 2. . 2. .  2 x  3 tan 2. sin2 x . 1 2.   sin2  x   cos2 x 4  16). 15) II. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG... Daïng asin2 x  b sin x  c  0. Ñaët t = sinx. Ñieàu kieän  1 t 1. a cos2 x  b cos x  c  0. t = cosx.  1 t 1. a tan2 x  b tan x  c  0. t = tanx. a cot 2 x  b cot x  c  0. t = cotx.  x   k (k  Z ) 2 x k (k  Z ). 2 Nếu đặt: t  sin x hoặc t  sin x thì điều kiện : 0  t 1.. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 7.

(8) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. Ví dụ 1: 2sinx – √ 2 = 0. ⇔. π x= +k 2 π 4 ¿ π x=π − +k 2 π 4 ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿. Ví dụ 2 : 2tanx – 5 = 0. ⇔. 2sinx =. ⇔. √2. √2. sinx =. 2. ⇔.  sinx = sin 4. π x= +k 2 π 4 ¿ 3π x= +k 2 π 4 ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿. ⇔. ⇔ 2tanx = 5. ⇔ tanx =. 5 2. ⇔ x = arctan. 5 2. + k π (k. Z). √ 3 cot x −3=0(1) ¿ 2 cos x − 1=0 (2) Ví dụ 3 : ( √ 3 cotx – 3)(2cosx –1) = 0 ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ π π (1) ⇔ √ 3 cotx = 3 ⇔ cotx = √ 3 ⇔ cotx = cot 6 ⇔ x = 6 + k π π x= +k 2 π 3 ¿ π 1 π x=− + k 2 π ⇔ cosx = cos ⇔ (2) ⇔ 2cosx =1 ⇔ cosx = 2 3 3 ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿. (k. Z). Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 8. Vậy nghiệm của phương trình là:. Ví dụ 4: 2sin2x – sin2x = 0 ⇔ 2sin2x – 2sinx.cosx = 0. π x = + kπ 6 ¿ π x= +k 2 π 3 ¿ π x=− + k 2 π 3 ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ ⇔ 2sinx(sinx – cosx) = 0.

(9) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. ⇔. ⇔. sin x=0 ¿ sin x − cos x=0 ¿ ¿ ¿ ¿ x=kπ ¿ π sin x=sin( − x ) 2 ¿ ¿ ¿ ¿. ⇔. x=kπ ¿ sin x=cos x ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ x=kπ ¿ π x= − x +k 2 π 2 ⇔ ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿. Ví dụ 5: 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 Đặt t = sinx ( điều kiện -1. 2t2 – 5t -3 = 0. 1. t. ⇔ t=3(loai) ¿ 1 t=− (nhân) 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. x=kπ ¿ π x= +kπ 4 ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿. 1) thay vào phương trình ta được:. Với t = - 2 ta được π x=− + k 2 π 6 ¿ 7π 1 π x= +k 2 π ⇔ sinx = sin(sinx = - 2 ) ⇔ 6 6 ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ π x=− + k 2 π 6 ¿ 7π Vậy nghiệm của phương trình là: x= 6 +k 2 π ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿. Ví dụ 6 : cot22x – 4cot2x -3 = 0. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 9.

(10) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. ⇔. cot 2 x =1 ¿ cot 2 x =3 ¿ ¿ ¿ ¿. ⇔. 2 x=arccot 1+ kπ ¿ 2 x =arccot 3+ kπ ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿. Vậy nghiệm của phương trình là:. ⇔. 1 x= arc cot 1+ k 2 ¿ 1 x= arc cot3+ k 2 ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿. π 2. 1 x= arc cot 1+ k 2 ¿ 1 x= arc cot3+ k 2 ¿ (k∈ Z) ¿ ¿. π 2 π 2. π 2. Ví dụ 7: 2cos2x +3sinx - 3 = 0 ⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0 ⇔ 2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0 ⇔ 2sin2x – 3sinx + 1 = 0. ⇔. sin x=1 ¿ 1 sin x= 2 ¿ ¿ ¿ ¿. π. * Với sinx = 1 ⇔ x = 2 +k 2 π ( k ∈ Z). 1. * Với sinx = 2. ⇔. π. sinx = sin 6. Vậy nghiệm của pt là:. Ví dụ 8 : tan4x + 4tan2x - 5 = 0. π x= +k 2 π 6 ¿ 5π x= +k 2 π 6 ¿ π x= +k 2 π 2 ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿. ⇔. π x= +k 2 π 6 ¿ 5π x= +k 2 π 6 ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(11) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí . 2. tan x=1 ¿ 2 tan x=−5 (loai) ¿ ¿ ¿ ¿. ⇔. ⇔. tan x=± 1. ⇔. π x=± + kπ (k ∈ Z ) 4. π Vậy nghiệm của pt là: x=± 4 + kπ ( k ∈ Z ) Ví dụ 9: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x) Ta có: 1 + sin2x = 2(cos4x + sin4x) = 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]  1 2   1  sin 2 x   = 2 – sin22x = 2 2. Vậy ta được phương trình sin22x + sin2x -1 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1  t  1 ta được phương trình:  1 5  1 5 2 . Giá trị 2 t2 + t – 1 = 0  t = < -1 nên bị loại..  1 5  1 5 2 2 Với t =  sin2x = .    1 5  1  x  arcsin    k 2 2    (k  Z )    1 5   1    k  x  2  2 arcsin  2   . Ví dụ 10: Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2. Điều kiện của phương trình là cosx  0 Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được: tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x)  tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x . tan3x + tan2x – 5tanx + 3 = 0. Đặt t = tanx ta được phương trình.  t 1  t3 + t2 – 5t +3 = 0  (t – 1)(t2 + 2t – 3) = 0   t  3.  x   k 4 * Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm ,kZ. * Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + k, k  Z Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có. các nghiệm x =.    x   k 4 (k  Z )   x =arctan   3  k . Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(12) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..  31   3 1 2 sin 3 x  cos3 x sin 2 x  sin x     cos x  3  2   2 3. Ví dụ 11: Giải phương trình: Ta biến đổi phương trình đã cho:.  3 1  2 3 3 2 sin 3 x  cos3 x  2sin x cos x  sin x  cos x  3 6  2  =0  3  sin x  . 2  2 3 sin 2 x cos x  sin x cos 2 x    cos3 x  sin 2 x cos x  3  3.  2  sin x  . (1)  sin x  cos x 0  2   sin 2 x  3 sin x cos x  2 cos 2 x 0 (2) 3 sin x cos x  cos 2 x  (sin x  cos x) 0 3 3  . .  3 sin x cos 2 x  0 . 3 Giải phương trình (1) ta được: x = 4 +k, k  Z 2 3 sinxcosx + 3 cos2x = 0. 2.  Giải phương trình (2): sin x + Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. + Nếu cosx  0, chia hai vế của phương trình cho cos2x, ta được: 2. tan x -. Giải phương trình, ta được: x =. 3 tan x . 2 0 3.    x   k (k  Z ) 6   x arctan  k.  3  x 4  k    (k  Z )  x   k 6   x arctan  k  Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = . Bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 4sinx – 3 = 0 b. 3cotx + √ 3 = 0 π. c. 1 - √ 3 tan(5x + 200) =0 2π. π. d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)= 4 f. cos(x + 5 )= 3 g. (2cosx + √ 2 )(tan(x +100) - √ 3 ) = 0 h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0 i. 8sinx.cosx.cos2x = √ 3 j. sin2x +2cox = 0 k. tan(x +1) – 2008=0 2 2 l. 3tan x + √ 3 tanx = 0 m. 4sin2x – sin 2x = 0 n. √ 3 - 2sin3x = 0 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(13) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. π. 3. p. cot(x + 4 ) = 1 q. cos2(x – 300) = 4 Bài 2: Giải các phương trình sau:. r. 8cos3x – 1 = 0. π. sin 2 x. a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x + 4 ) = -1. c. 1+cos 2 x =0. Bài 3: Giải các phương trình sau: a. 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin2x – 4sinx – 3 = 0 c. cot2x – 4cotx + 3 = 0 d. tan2x + (1 - √ 3 )tanx - √ 3 = 0 e. 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f. tan4x – 4tan2x + 3 = 0 g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h. cos2x + 9cosx + 5 = 0 3. i. sin22x – 2cos2x + 4 = 0 Bài 4: Giải các phương trình sau: 1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0. j. 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 2 4) tan x   1  3  tan x  3 0. 3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 2. 5) 4 sin x  2  3  1 sin x  3 0 7) tan2x + cot2x = 2 Bài 5: Giải các phương trình sau:. 3. 6) 4 cos x  3 2 sin 2 x 8cos x 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0. 1) 4sin23x + 2  3  1 cos3 x  3 = 4. 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 1. 2. 2 4) cos x. 2. 3) 4cos (2 – 6x) + 16cos (1 – 3x) = 13.   3  3  tan x  3  3 0 4. 3 5) cos x + tan2x = 9 1. 2 6) 9 – 13cosx + 1  tan x = 0. 2 7) sin x = cotx + 3. 2 8) cos x + 3cot2x = 5. 1. 4 9) cos2x – 3cosx = 10) 2cos2x + tanx = 5  sin 3 x  cos3 x  3  cos 2 x  sin x   1  2sin 2 x  5 Bài 6: Cho phương trình  . Tìm các nghiệm của phươngt  0 ; 2  4 cos2. x 2. trình thuộc . Bài 7: Cho phương trình cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của phươngt trình thuộc    ;   .     5 sin 4 x  sin4  x    sin 4  x     4  4 4 . Bài 8: Giải các phương trình. III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: 2 2 2 Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a  b c . b c  tan  cos  Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt a , ta được: sinx+tancosx= a Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(14) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. c cos   sinx cos  + sin  cosx= a. c cos  ñaët sin  .  sin(x+  )= a. 2 2 Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a  b , ta được:. a a 2  b2 a. Đặt:. 2. a b. 2. b. cos  ;. 2. a  b2. sin x . sin . cos  sin x  sin  cos x . b a2  b2. cos x . c a 2  b2. . Khi đó phương trình tương đương: c. a 2  b2. hay. sin  x    . ñaët. c a2  b2. sin . .. x t tan 2. Cách 3: Đặt Ví dụ 1 : √ 3 sinx + cosx = 2. Chia hai vế pt trên cho √ √ 3 2+12 = 2 ta được √3 sinx + 1 cosx = 1. 2 π π π ⇔ cos ⇔ .sinx + sin .cosx = 1 sin(x + )=1 6 6 6 π π π ⇔ x + 6 = 2 + k2 π ⇔ x = 3 + k2 π 2. Ví dụ 2 cos3x – sin3x = 1 2. Chia hai vế pt trên cho. −1 ¿ 2 1 +¿ = √¿. √ 2 ta được. 1 1 1 cos3x sin3x = √2 √2 √2 π π ⇔ cos cos3x - sin 4 sin3x = 4. ⇔ cos(3x +. π π ) = cos 4 4. ⇔. 1 √2. ⇔ cos(3x +. π π 3 x+ = +k 2 π 4 4 ¿ π π 3 x+ =− + k 2 π 4 4 ¿ ¿ ¿ ¿. Ví dụ 3: 3sin2x + 4cos2x = 5 Chia hai vế pt cho √ 32+ 4 2 = 5 ta được. π )= 4. 1 √2 x=k. ⇔. 2π 3. ¿ π 2π x=− + k 6 3 ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿. 3 4 sin2x + cos2x = 1 5 5 4 3 Đặt sin α = 5 , cos α = 5 ta được sin2x cos α + sin α cos2x = 1. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(15) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. ⇔. π. sin(2x + α ) = 1 ⇔ 2x + α = 2 + k2 π. Vậy nghiệm của phương trình trên là: x =. π 4. ⇔. x =. π 4. α. α. - 2 +k π 4. - 2 + k π (với sin α = 5 , cos α. 3. = 5 ) Ví dụ 4 ; √ 2 sinx – cosx = 3 Ta có √ 2 2 + (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm. Ví dụ 5: Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 Ta có: 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0  4cosx + 2 3 sinx + 2cos2x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0  2 3 sinx(cosx+1) + 2(cosx +1)2 = 0 2(cox +1)( 3 sinx + cosx + 1) = 0  cos x  1 0    3 sin x  cos x  1 0 .  x (2k  1)   x    k 2 3  (k  ). Ví dụ 6: Giải phương trình: 2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) Ta biến đổi phương trình đã cho:. 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0. 2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) -. 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0.  2 (cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos3x – sin2xcosx – 2cosx = 0  (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos2x – sin2x – 2) = 0  (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0  (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2 ) =0   2   cos  2 x    4 2    cos 2 x  sin 2 x  1 0      cos  x    1   cos x  sin x  2 0    4     x k   x    k  4  5  x   k 2 4 .     2 x  4  4  k 2   x     k 2  4 (k  Z). (k  Z). Bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương trình sau: Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(16) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. a. sinx + √ 3 cosx = √ 2 b. 2sinx – 5cosx = 5 c. 2cosx – sinx = 2 d. sin5x + cos5x = -1 e. 3sinx – 4cosx = 1 f. 2sin2x + √ 3 sin2x = 3 g. sin5x + cos5x = √ 2 cos13x h. sinx = √ 2 sin3x – cosx Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) cos x  3 sin x  2. 2). 4) sin x  cos x  2 sin 5 x. 5). sin x  cos x . 6 2. . . 3  1 sin x . 3) 3 cos3 x  sin 3x  2 3  1 cos x  3  1 0.   3 sin 2 x  sin   2 x  1 2 . 6) Bài 3 : Giải các phương trình sau: 2 1) 2sin x  3 sin 2 x 3. 3). 8cos x . 2) sin 8 x  cos6 x  3  sin 6 x  cos8 x . 3 1  sin x cos x. 4) cosx –. 5) sin5x + cos5x = 2 cos13x Bài 4: Giải các phương trình sau:.   3 sin x 2 cos   x  3 . 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6). 1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0 3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5 Bài 5: Giải các phương trình sau:     3 2 x  x  4  + sin  4  = 2 2) 1) 2sin .   3 cos 2 x  sin 2 x  2 sin  2 x   2 2  6. Bài 6: Tìm m để phương trình (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm Bài 7: Tìm m để phương trình (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. III. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d (*).  x   k 2 Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với .. + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=d(1+tan2x). 1    tan 2 x  1  x   k  2 2   Chú ý: cos x. Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d ⇔. a.. 1 −cos 2 x 2. + b.. sin 2 x 2. + c.. 1+cos 2 x =d 2. bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c Ví dụ 1: 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1  Với cosx = 0  2sin2x = 1 (vô lý vì sin2x+cos2x = 1 ) nói cách khác thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. ⇔. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(17) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..  Với cosx 0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x ta được: 2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x. ⇔. tan x=1 ¿ tan x=− 5 ¿ ¿ ¿ ¿. tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔. π x= +kπ 4 ¿ x=arctan (−5)+kπ ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿. ⇔. π x= +kπ 4 ¿ x=arctan (−5)+kπ ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿. Vậy nghiệm của phương trình là:. Ví dụ 2 : 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3 Cách 1 : Áp dụng công thức hạ bậc ta được 4. ⇔ ⇔. ⇔. 1+cos 2 x sin 2 x + 3. 2 2. –. 1 −cos 2 x =3 2. sin2x + cos2x = 1 π. √ 2 sin(2x + 4 ) = 1. π. π. sin(2x + 4 ) = sin 4. π. 1. sin(2x + 4 ) = √2. ⇔. π π 2 x + = +k 2 π 4 4 ¿ π 3π 2x+ = +k 2π 4 4 ¿ ( k ∈ Z) ¿ ¿. ⇔. ⇔. x=kπ ¿ π x= +kπ 4 ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿. Cách 2:  Với cosx = 0  -Sin2x = 3 (vô lý, vì….)  Với cosx 0 chia 2 vế cho cos2x. ta được phương trình tương đương 4  3 tan x  tan 2 x 3(1  tan 2 x)  4 tan 2 x  3tan x  1 0. Bài tập vận dụng Bài 1. Giải các phương trình: 2 2 a. 6 sin x  s inxcosx - cos x 2 2 c. 2 3cos x  6 s inxcosx = 3 + 3. 2 2 b. 2 sin 2 x  3 s in2xcos2x + cos 2 x 2 2 2 d. 4 sin x  3 3 sin 2 x  2cos x 4.    3  4 s inxcos  x -   4 sin  x    cosx + 2sin   x  cos  x +   1 2   2  e.. Bài 2. Giải các phương trình a.. . . 3 sin 2 x  8 s inxcosx + 8 3  9 cos 2 x 0. b.. sin 2 x  s in2x - 2cos 2 x . 1 2. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(18) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. . . 2 sin 2 x  3  3 s inxcosx +. c. Bài 3. Giải các phương trình 2 3 a. 2 sin x  4cos x 3 s inx. . . 3  1 cos 2 x  1. b. 2sin3x = cos3x.   sin3  x    2 s inx 4  c. 3. 1 d. 4sinx + 6cosx = cosx. d. 2sin3x = cosx. 3. e. sin x  cos x sin x  cos x Bài 4. Giải các phương trình 3 a. sin x sin 2 x  sin 3x 6cos x 3 3 2 c. cos x  4 sin x  3cosxsin x  s inx=0 3 e. cos 2 x sin x  cos x cos x  sin x Bài 5: Giải các phương trình sau: a. 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 c. 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 e. 4sin2x + 3 √ 3 sin2x – 2cos2x = 4 2 −1 g. √ 3 sinx.cosx – sin2x = √ 2. 1  t anx 1  sin 2 x g. 1+tanx 3 b. sin x  4 sin x  cosx 0 3 2 d. sin x  3cos x 3sin x cos x  2sin x 3 g. sin 3x  cos x cos x  sin x. b. 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1 d. 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3 f. sin3x + 2sin2x. cosx – 3cos3x = 0 i. 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0. Bài 6: Giải các phương trình sau: a. cos3x – cos4x + cos5x = 0 b. sin7x – sin3x = cos5x c. cos5x.cosx = cos4x d. sinx + 2sin3x = - sin5x e. 2tanx – 3cotx – 2 = 0 f. sin2x – cos2x = cos4x g. 2tanx + 3cotx = 4 h. cosx.tan3x = sin5x 2 i. 2sin x + (3 + √ 3 )sinx cosx + ( √ 3 - 1)cos2x = -1 j. tanx.tan5x = 1 Bài 7: Giải các phương trình sau: 2 2 1. 2sin x   1  3  sin x.cos x   1  3  cos x 1 2. 2. 3. 4sin x  3 3 sin x.cos x  2 cos x 4 2. 2 2 2. 3sin x  8sin x.cos x   8 3  9  cos x 0. 4.. sin 2 x  sin 2 x  2 cos2 x . 1 2. 2. 2 2 5. 2sin x  3  3  sin x.cos x   3  1 cos x  1 6. 5sin x  2 3 sin x.cos x  3cos x 2 2 2 7. 3sin x  8sin x.cos x  4 cos x 0. 9.. . 3  1 sin2 x  2 3 sin x .cos x   3  1 cos2 x 0. 11. cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0. 2 2 8.  2  1  sin x  sin 2 x   2  1 cos x  2 4 2 2 4 10. 3cos x  4sin x cos x  sin x 0. 12. 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0 3 sin x.cos x  sin 2 x . 21 2. 13. sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 14. 2 Bài 8: Tìm m để phương trình (m + 1)sin x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm Bài 9: Tìm m để phương trình (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vô nghiệm Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(19) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. IV. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng 1: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. t2  1 Cách giải: Đặt t= sinx+ cosx. Điều kiện  t   2 . Ta có sinx.cosx = 2 1 t2 Đặt t= sinx-cosx. Điều kiện  t   2 . Ta có sinx.cosx = 2.     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x    4  4     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x    4  4. Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0   t  cos x  sin x  2. cos  x   ; Ñk : 0  t  2.  4 Nếu. 1  sin x.cos x  (t 2  1). 2.  Ví dụ 1; Giải phương trình cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 Ta có: cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0  5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3 Đặt t = sinx + cosx (- 2  t  2 ), phương trình trở thành:  t 3(loai )  1  2  1 t  x    3t2 – 10t + 30 = 0   3  sinx + cosx = 3  sin  4  6    x   arcsin 4   3  x   arcsin 4 Giải ra ta được: . 2  k 2 6 2  k 2 6. (k  ). Ví dụ 2 Giải phương trình 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 =0 Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 = 0  2sinx (1-cos2x) + 2cos2x – 3cosx +1=0  (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0 (1)  cos x 1  2sin x cos x  2(sin x  cos x)  1 0 (2) .  Phương trình (1)cho ta nghiệm x = k2, k  Z  Giải phương trình (2), đặt t = sinx – cosx (- 2  t  2 ). Phương trình (2) trở thành: Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 1.

(20) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..  t 1  3(loai )  2 t – 2t – 2 = 0   t 1  3. Với t = 1 - 3 , giải ra ta được:   2 6   x   arcsin    k 2 4 2      x  5  arcsin  2  6   k 2    4 2   . (k  Z). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:    x k 2   x   arcsin  2  6   k 2    4 2      2 6 5  x   arcsin    k 2 4 2   . (k  Z). Bài tập vận dụng Bài 1. Gải các phương trình a. 3  s inx+cosx   2 sin 2 x  3 0 c.. sin 2 x  12  s inx - cosx   12 0. 3 sin 4 x e. 1 + sin32x + cos32x = 2. h. 1  t anx = 2 2 s inx Bài 2. Giải các phương trình a.. sin x  cos x  4sin 2 x 1. b. s inx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 3 3 d. sin x  cos x 1.   sin  x   sin3 x  cos 3 x g.  4  1 1 10 i. sinx + s inx + cosx + cos x = 3. b. sin x  1  cos x 1 1.   sin 2 x  2 sin  x   1 4  c. . 3. 3. e. sin x  cos x sin 2 x  sin x  cos x . Bài 3. Giải các phương trình. d. 2  sin 3x  cos 3x sin x  cos x . g. cos x sin x  sin x  cos x 1 .(ĐH QGHN 97). t anx+7  t anx +  co t x+7  co t x = -14 a.  b. 2 2 c. tan x  cot x  t anx + cotx 2 `. tan 3 x  cot 3 x . 1 3 sin 2 x. e. Bài 4. Giải các phương trình. tan 2 x  cot 2 x . 1  t anx + cotx  1 2. 3 3 2 2 d. tan x  cot x  tan x  cot x 1. g. 3  tan x  3  cot x 4 .. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 2.

(21) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. a. 2 sin 2 x  3 3  sin x  cos x   8 0 c 3  sin x  cos x   2sin 2 x  3 d. sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 Bài 5. Giải các phương trình a. sin 2 x  4  cos x  sin x  4 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 c.  1  2   1  sin x  cos x  sin 2 x. b. 2  sin x  cos x   3sin 2 x 2 c.  1  2   1  sin x  cos x  sin 2 x e.  1  2   sin x  cos x   sin 2 x 1  2 b. d. cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0.   2 sin  x   1  4. e. sin2x +  sin x  cos x  2 . . f.. 2  1 (sin x  cos x )  2 0. g. sin3x + cos3x = 1 +  2  2  sinx.cosx h. 2sin2x – 3 6 sin x  cos x  8 0 V. Phương trình đưa về phương trình tích: Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 Giải Điều kiện của phương trình là cos2x  0 và sin3x  0 Ta biến đổi 3tan2xcot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0  3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0  tan2x (3cot3x + 3 ) - 3 (3cot3x + 3 ) = 0  (3cot3x + 3 ) (tan2x - 3 ) = 0 2   3 3 x   k  3  cot 3x  3     3 x   k  tan 2 x  3  3  (k  ) 2    x  9 k 3   x   k  6 2 (k  )  . Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:. 2    k k 3 và x = 6 2,k x= 9. 1  tan x  2 sin x Bài 2: Giải phương trình: 1  cot x. Giải: Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 2.

(22) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx  0, sinx  0 và cot x  -1. Ta biến đổi phương trình đã cho: 1  tan x cos x  sin x sin x  2 sin x  .  2 sin x 1  cot x cos x sin x  cos x sin x  2 sin x  cos x 1    2  0 cos x   sinx  (Loại do điều kiện)  sin x 0   cos x  2 2  .   k 2 x= 4 , k    k 2 Giá trị x = - 4 , k  bị loại do điều kiện cot x  -1. Vậy nghiệm của của phương   k 2 trình đã cho là x = 4 , k .. Bài 3: Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x  (0,2) Giải: Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x  0, cos4x  0 và cos5x  0. sin 8 x 2sin 4 x  0 Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0  cos 3x cos 5 x cos 4 x 2sin 4 x cos 4 x 2sin 4 x  0  cos 3x cos 5 x cos 4 x  cos 2 4 x  cos 3x cos 5 x    0 cos 3x cos 4 x cos 5 x    2sin4x  sin 4 x 0   2sin4xsin2x = 0   sin x 0.   x k  4 x k   4  x k  x k   4  x  k    (k  ). Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là:  3 5 7 x1  ; x2  ; x3  ; x4  ; x5  4 4 4 4 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 2.

(23) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. III. BÀI TẬP: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: π 2 2 a. cos(3x )= - √ b. cos(x -2) = 6. 2. 5π. d. (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0. e. tan2x = tan 6. 1. c. cos(2x + 500) = 2 5 3 f. tan(3x -300) = - √ 3. π 1 g. cot(4x - 6 )= √ 3 h. sin(3x- 450) = 2 x x k. (cot 3 -1)(cot 2 +1)= 0 l. cos2x.cotx = 0 π 2 n. sin(2x -150) = - √ p. sin4x = 3 2 π π r. cos2x cot(x - 4 )= 0 s. cos3x = 4. i. sin(2x +100)= sinx 2x π m. cot( 3 + 5 )= -1 2. q. cos(x + 3) = 3 x. π. π. t. tan( 2 − 4 ¿=tan 8 v. sin3x + sin5x = 0. u. cos3x – sin2x = 0. Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a. sin(2x -1) = sin(x+3) b. sin3x= cos2x c. sin4x + cos5x = 0 2 2 2 d. 2sinx + √ sin2x = 0 e. sin 2x + cos 3x = 1 f. sin3x + sin5x = 0 0 0 g. sin(2x +50 ) = cos(x +120 ) h. cos3x – sin4x = 0 π. *i. tan(x - 5 ) + cotx = 0 *j. tan5x = tan3x IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG KHÁC Baøi 1. 1) sin2x = sin23x. Giaûi caùc phöông trình sau: 3 2) sin2x + sin22x + sin23x = 2. 2. 2. 2. 3 4) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2 2. 3) cos x + cos 2x + cos 3x = 1 Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau: 1 1) sin6x + cos6x = 4 1 + cos8x = 8. 2. 2. 2. 2) sin8x. 3) cos4x + 2sin6x = cos2x. 4) sin4x. 1 2 + cos4x – cos2x + 4sin 2x – 1 = 0 Baøi 3. Giaûi caùc phöông trình sau:. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 2.

(24) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx sinx(sinx – cosx) – 1 = 0 3) sin3x + cos3x = cos2x. 2). 4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x. 6) 8) sinx. + sin2x + sin3x = 2 (cosx + cos2x + cos3x) Baøi 4. Giaûi caùc phöông trình sau: 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 Baøi 5. Giaûi caùc phöông trình sau: 1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx Baøi 6. Giaûi caùc phöông trình sau: 1.   sin 2 x.sin  x    4  = cosx + sin3x 2. 1) sin3x + cos3x + 2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x Bài 19. Giải các phương trình a. cos5xcos3 = cosxcos7x b. sin2x - cos5x = cosx - sin6x c. cosx + cos11x = cos6x d. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x e. tanx + tan2x = tan3x Bài 20. Giải các phương trình 2. 2. 2. a. sin x  sin 5 x 2 sin 3x c. 8cos4x = 1 + cos4x e. 3cos22x - 3sin2x + cos2x 1  tan x 1  sin 2 x 1  tan x.   h.  Bài 21Giải các phương trình. s inx+sin3x+sin5x tan 2 3 x g. cosx+cos3x+cos5x. b.. cos 2 3 x  cos 2 4 x  cos 2 5 x . 3 2. d. sin4x + cos4x = cos4x 2 g. sin3xcosx - sinxcos3x = 8. i. tanx + tan2x = sin3xcosx 1 b. tan(x - 15 )cot(x - 15 ) = 3 0. 0. a. tanx = 1- cos2x c. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx d. 3sin4x + 5cos4x - 3 = 0 e. (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x g. 1 + sinxcos2x = sinx + cos2x 2 2 h. sin xtanx + cos xcotx - sin2x = 1 + tanx + cotx Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 2.

(25) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 3 i. sin x + sinxcos4x + cos 4x = 4 . 2. Baøi 1: Baøi 1: Baøi 2:. 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2011 cos 3x  sin 3x   5 sin x   cos 2x  3 x   0; 2   1  2sin 2x  [ĐH A02] Tìm : 2 2 2 2 [ĐH B02] sin 3x  cos 4x sin 5x  cos 6x x   0;14  cos 3x  4 cos 2x  3cos x  4 0 [ĐH D02] Tìm :.    0;  Baøi 3: [Dự bị 1 ĐH02] Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc  2  2  sin 4 x  cos 4 x   cos 4x  sin 2x  m 0. Baøi 4: Baøi 5:. sin 4 x  cos 4 x 1 1  cot 2x  5sin 2x 2 8sin 2x [Dự bị 2 ĐH02] 2  2  sin 2x  sin 3x tan 4 x  1  cos 4 x [Dự bị 3 ĐH02]. x  tan x  cos x  cos 2 x sin x  1  tan x.tan  2  Baøi 6: [Dự bị 4 ĐH02] 2 sin x  cos x  1 a Baøi 7: [Dự bị 5 ĐH02] Cho phương trình : sin x  2 cos x  3 1 a= 3 a) Giải phương trình với b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm.. Baøi 11:. 1 sin x 2 8cos x [Dự bị 6 ĐH02] cos 2x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2x 1  tan x 2 [ĐH A03] 2 cot x  tan x  4sin 2x  sin 2x [ĐH B03] x  x  sin 2    tan 2 x  cos 2 0 2  2 4 [ĐH D03]. Baøi 12:. [Dự bị 1 ĐH A03]. 3  tan x  tan x  2sin x   6 cos x 0. Baøi 13:. [Dự bị 2 ĐH A03]. cos 2x  cos x  2 tan 2 x  1 2. Baøi 8: Baøi 9: Baøi 10:. Baøi 14:. 6 2 [Dự bị 1 ĐH B03] 3cos 4x  8cos x  2 cos x  3 0  x  2  3 cos x  2sin 2     2 4  1 2 cos x  1 [Dự bị 2 ĐH B03]. . Baøi 15:. . cos 2 x  cos x  1. Baøi 16:. [Dự bị 1 ĐH D03]. sin x  cos x. 2  1  sin x . Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 2.

(26) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. Baøi 17:. cot x  tan x . 2 cos 4x sin 2x. Baøi 18:. [Dự bị 2 ĐH D03] 2 [ĐH B04] 5sin x  2 3(1  sin x) tan x. Baøi 19:. [ĐH D04]. Baøi 20: Baøi 21: Baøi 22: Baøi 23: Baøi 24: Baøi 25: Baøi 26: Baøi 27: Baøi 28: Baøi 29: Baøi 30: Baøi 31: Baøi 32: Baøi 33: Baøi 34: Baøi 35: Baøi 36: Baøi 37:.  2 cos x  1  2sin x  cos x  sin 2x  sin x sin x  sin 2x  3  cos x  cox2x  [Dự bị 1 ĐH A04] [Dự bị 2 ĐH A04] 1  sin x  1  cos x 1 4  sin 3 x  cos3 x  cos x  3sin x [Dự bị 1 ĐH B04] 1 1    2 2 cos  x   4  [Dự bị 2 ĐH B04] cos x sin x [Dự bị 1 ĐH D04] sin 4x sin 7x cos 3x cos 6x sin 2x  2 2  sin x  cos x   5 0 [Dự bị 2 ĐH D04] 2 2 [ĐH A05] cos 3x cos 2x  cos x 0 [ĐH B05] 1  sin  cos x  sin 2x  cos 2x 0    3  cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x    0 4  4 2  [ĐH D05] [Dự bị 1 ĐH A05] Tìm. x   0;  . 4sin 2. x  2. 3   3 cos 2x 1  2 cos 2  x   4  .   2 2 cos3  x    3cos x  sin x 0 4  [Dự bị 2 ĐH A05]   2 2 cos3  x    3cos x  sin x 0 4  [Dự bị 1 ĐH B05] cos 2x  1   tan   x   3 tan 2 x  cos 2 x 2  [Dự bị 2 ĐH B05] sin x  3  tan   x  2  2  1  cos x [Dự bị 1 ĐH D05]. [Dự bị 2 ĐH D05] sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  2 0 2  cos 6 x  sin 6 x   sin x cos x 0 2  2sin x [ĐH A06] x  cot x  sin x  1  tan x tan  4 2  [ĐH B06] [ĐH D06] cos 3x  cos 2x  cos x  1 0 cos 3x cos3 x  sin 3x sin 3 x . Baøi 38:. [Dự bị 1 ĐH A06]. Baøi 39:.   2sin  2x    4sin x  1 0 6  [Dự bị 2 ĐH A06]. Baøi 40:. [Dự bị 1 ĐH B06].  2sin. 2. 23 2 8. x  1 tan 2 2x  3  2 cos 2 x  1 0. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 2.

(27) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. Baøi 41:. cos 2x   1  2 cos x   sin x  cos x  0. [Dự bị 2 ĐH B06]. Baøi 43:. 3 3 2 [Dự bị 1 ĐH D06] cos x  sin x  2 sin x 1 3 2 [Dự bị 2 ĐH D06] 4sin x  4sin x  3sin 2x  6 cos x 0. Baøi 44:. [ĐH A07]. Baøi 42:.  1  sin x  cos x   1  cos x  sin x 1  sin 2x 2. Baøi 45: Baøi 46: Baøi 47: Baøi 48: Baøi 49: Baøi 50: Baøi 51: Baøi 52:. 2 [ĐH B07] 2sin 2x  sin 7x  1 sin x 2 x x  sin  cos    3 cos x 2 2 2   [ĐH D07]. [Dự bị 1 ĐH A07]. Baøi 54: Baøi 55: Baøi 56:. sin 2 x  sin x . 1 1  2 cot 2 x 2sin x sin 2 x. 2 [Dự bị 2 ĐH A07] 2 cos x  2 3 sin x cos x  1 3(sin x  3 cos x) 3x  5x   x  sin     cos     2 cos 2  2 4 2 4 [Dự bị 1 ĐH B07]. sin 2 x cos x  tan x  cot x [Dự bị 2 ĐH B07] cos x sin x    2 2 sin  x   cos x 1 12   [Dự bị 1 ĐH D07] [Dự bị 2 ĐH D07] (1  tan x)(1  sin 2 x) 1  tan x. 1  sin x Baøi 53:. 2. [ĐH A08]. 1.  7  4sin   x 3    4  sin  x   2  . 3 3 2 2 [ĐH B08] sin x  3 cos x sin x cos x  3 sin x cos x 2sin x  1  cos 2x   sin 2x 1  2 cos x [ĐH D08] [CĐ 08] sin 3x  3 cos 3x 2sin 2x. Baøi 58:. 2 [Dự bị 1 ĐH A08] tan x cot x  4 cos 2 x   2   sin  2 x   sin  x    4 4 2   [Dự bị 2 ĐH A08]. Baøi 59:.   1   2sin  x    sin  2 x    3 6 2   [Dự bị 1 ĐH B08]. Baøi 57:. Baøi 60: Baøi 61:. [Dự bị 2 ĐH B08] [Dự bị 1 ĐH D08]. 3sin x  cos 2 x  sin 2 x 4sin x cos 2. 4 sin 4 x  cos 4 x  cos 4 x  sin 2 x 0. . . Baøi 63:. tan 2 x  tan x 2    sin  x   2 tan x  1 2 4  [Dự bị 2 ĐH D08] (1  2sin x) cos x  3 [ĐH A09] (1  2sin x)(1  sin x). Baøi 64:. [ĐH B09]. Baøi 62:. x 2. sin x  cos x sin 2x  3 cos 3x 2  cos 4x  sin 3 x . Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 2.

(28) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. Baøi 65: Baøi 66:. [ĐH D09] 3 cos 5x  2sin 3x cos 2x  sin x 0 2 [CĐ 09] (1  2sin x) cos x 1  sin x  cos x.  1  s inx  cos2 x  sin  x  . Baøi 67:. [ĐH A10]. 1  t anx.   4. . 1 cos x 2. Baøi 73:.  s in2x+cos2 x  cos x  2 cos 2 x  s inx 0 [ĐH B10] [ĐH D10] sin 2 x  cos2 x  3sin x  cos x  1 0 1  sin 2 x  cos2 x  2 sin x sin 2 x 1  cot 2 x [ĐH A11] [DB A11] 9sin x  6 cos x  3sin 2 x  cos 2 x 8 [ĐH B11] sin 2 x cos x  sin x cos x cos2 x  s inx  cos x sin 2 x  2 cos x  s inx  1 0 t anx  3 [ĐH D11]. Baøi 74:. [DB D11]. Baøi 68: Baøi 69: Baøi 70: Baøi 71: Baøi 72:. 3 cos 2 x  2 cos x  sin x  1 0. --------------------------------------------------------------------------------. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 Bài 1 A.2002. Hướng dẫn giải cos 3x  sin 3x   5  sin x   cos 2x  3 x   0; 2  1  2sin 2x  Tìm :  (1) 1 sin 2 x  2 Điều kiện : cos 3x  sin 3x    sin x  2sin x sin 2x  cos 3x  sin 3x  5  sin x   5   1  2sin 2x  1  sin 2x     sin x  cos x  cos 3 x  cos 3 x  sin 3x  5   1  2sin 2 x    sin 3x  sin x  cos x   2sin 2 x cos x  cos x  5   5   1  2sin 2 x 1  2sin 2 x    . Kết qủa cos x cos.  3.    x  3  k 2 k    x    k 2  3 x   0; 2  Vì Nên nghiệm của phương trình :. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 2.

(29) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..  cos x(1  2sin 2 x)  5   5cos x 1  2sin 2 x   2 (1)  5cos x cos 2 x  3  2 cos x  5 cos x  3 0. x. 2 B.2002.  cos x 2 (L)   cos x  1 cos  2 3  2 2 sin 3x  cos 4x sin 2 5x  cos 2 6x 1  cos 6 x 1  cos8 x 1  cos10 x 1  cos12 x     2 2 2 2  cos12 x  cos10 x cos8 x  cos 6 x  2 cos x(cos11x  cos 7 x) 0   4 cos x.sin 9 x.sin 2 x 0. 3 D.2002. Tìm. x   0;14 . : cos 3x  4 cos 2x  3cos x  4 0 3 Ta có : cos 3x 4 cos x  3cos x (1)  cos 3 x  3cos x  4(1  cos 2 x ) 0. (1). k  x 9 k    x  k  2  x   k ; k   2 Vì x  (0;14)   3 5 7  x ; ; ;  2 3 2 2 .  4 cos3 x  8cos 2 x 0  4 cos 2 x  cos x  2  0  cos x 0. 4 DB 1 2002.    0; 2  Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc : 4 4 2  sin x  cos x   cos 4x  sin 2x  m 0 (1) 2 2 2  2 1  2sin x cos x  1  sin 2 x  2sin 2 x  m 0 (1)  3  m  3sin 2 2 x  2 sin 2 x 0  3t 2  2t  (m  3) 0 (2) với t sin 2 x. .  5 ;x  3 3. .   x   0;   2 x   0;    t   0;1  2 Ta có : Bài toán thành : Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 0;1 nghiệm thuộc đoạn   2 (2)  3t  2t m  3. y. 1. o . 1 3. 1 3. 1 1 x 2.  y 3t 2  2t (P)  y m  3 d Đặt  Số nghiệm của (2) là số giao điểm của d và (P). 2 t   0;1 Khảo sát hàm số : y 3t  2t y ' 6t  2 1 y ' 0  6t  2 0  t  3 1 BBT x  0 3  0  y'. 1. . Phương trình (2) có ít nhất một nghiện trên 0;1 đoạn   1   m  3 1 3 10  m  2 3. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 y – TT luyện0thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. . 1. 2.

(30) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 5 DB 2 2002. sin 4 x  cos 4 x 1 1  cot 2x  5sin 2x 2 8sin 2x Điều kiện : sin 2 x 0. (1). 1  2sin 2 x cos 2 x 1 1   cos 2 x  5 2 8 (1) 2 sin 2 x 5 5 5  1  cos 2 x   2  (1  cos 2 2 x) 5cos 2 x  2 2 8 4 9  cos 2 x  ( L)  9 2  cos 2 2 x  5cos 2 x  0   4  cos 2 x  1  2 6 DB 3 2002. tan. 4.  2  sin x 1 . 2. 2x  sin 3x. cos 4 x (1) cos x  0 Điều kiện : 4 4 2 (1)  sin x  cos x (2  sin 2 x)sin 3 x. sin 2 2 x (2  sin 2 2 x)sin 3 x 2  2  sin 2 2 x (2  sin 2 2 x)2sin 3 x  1.  (2  sin 2 2 x)(1  2sin 3 x) 0 1  1  2sin 3 x 0  sin 3 x  2 7 DB 4 2002. cos 2 x cos.  3.    2 x  3  k 2   x    k 2  3    x  6  k  k   x    k  6. sin 3 x sin.  6.    3 x  6  k 2   3 x  5  k 2  6  k 2   x 18  3   x  5  k 2  18 3 k . x  tan x  cos x  cos 2 x sin x  1  tan x.tan  2  (1)  cos x 0   x cos 2 0 Điều kiện : x x x sin x sin cos x cos  sin x sin x 2  2 2 1  tan x.tan 1  x x 2 cos x cos cos x cos 2 2 Ta có :. x  cos  x   1 2    x cos x cos x cos 2 (1).  tan x  cos x  cos 2 x . sin x cos x. cos x 1  x k 2 ; k  . Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(31) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 8 DB 5 2002.  cos x 0 (L)  cos x(1  cos x) 0    cos x 1 2sin x  cos x  1 a Cho phương trình : sin x  2 cos x  3 1 a= 3 a) Giải phương trình với b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm. Giải. 1 2sin x  cos x  1 1 a  3 , phương trình thành : sin x  2 cos x  3 3 (1) a)Với vì : sin x  2 cos x  3  0 x    6sin x  3cos x  3 sin x  2 cos x  3  5sin x  5cos x 0  sin x  cos x 0.   sin  x   0 4    x  k 4   x   k 4 k .     2 sin  x   0  sin  x   0 4 4   (1) 2sin x  cos x  1 a  sin x  cos x  1 a  sin x  2 cos x  3  b) sin x  2 cos x  3  (2  a) sin x  (2a  1) cos x 3a  1 (2) . Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm : 2 2 2  2  a    2a  1  3a  1  4a 2  6a  4 0 1 a 2 2 1 sin x 8cos 2 x. . 1 a 2 2. . 9 DB 6 2002. 10 A2003. (1). cos x 0  Điều kiện : sin x 0 1  sin 2 x  1 8sin 2 x cos 2 x 2 8cos x (1)   k  2sin 2 2 x  1 0  cos 4 x 0  4 x   k  x   2 8 4 cos 2x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2x 1  tan x 2 (1) sin 2 x  0   Điều kiện :  tan x  1  (1). Vì : sin x 0  x   m2 8 3 x   m2 8 ; m 5 x   m2 8 7 x  m 2 8. cos x cos 2 x  sin 2 x  1  sin x(sin x  cos x) sin x sin x 1 cos x. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(32) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. cos x  sin x cos x(cos 2 x  sin 2 x)   sin x(sin x  cos x) sin x sin x  cos x cos x  sin x  cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x) sin x  (cos x  sin x)  sin 2 x  sin x cos x  1 0 .  cos x  sin x 0  2  sin x  sin x cos x  1 0 cos x  sin x 0 . *. 11 B2003.   2 cos  x   0 4 .       cos  x   0  x    k  x   k ; k   4 4 2 4  1  cos 2 x sin 2 x sin 2 x  sin x cos x  1 0    1 0 2 2 *  sin 2 x  cos 2 x  3 0 ( vô nghiệm ) 2 cot x  tan x  4sin 2x  sin 2x (1) Điều kiện : sin 2 x 0 cos x sin x 2    4sin 2 x  sin x cos x sin 2 x (1) cos 2 x  sin 2 x 2   4sin 2 x  sin x cos x sin 2 x. . .  2 cos 2 x  4sin 2 2 x 2  2 cos 2 x  4 1  cos 2 2 x 2.  x   k ; k   4.  x k  k   x   k 3 .  cos 2 x 1  2 cos x  cos 2 x  1 0    cos 2 x  1 2  x  x  sin 2    tan 2 x  cos 2 0 2  2 4 (1) cos x  0 Điều kiện : 2. 12 D2003. . 1    sin 2 x 1  1  cos x    1  cos x    2  2   cos 2 x 2 . (1)   1  sin x  sin 2 x  1  cos x  cos 2 x. . . .   1  sin x  1  cos 2 x  1  cos x  1  sin 2 x. .   1  sin x   1  cos x   sin x  cos x  0   sin x 1  sin x 1    cos x  1   cos x  1    sin x  cos x 0  sin  x    0   4 .    x  2  k   x   k 2    x   k 4 . So với điều kiện : cos x 0 Nghiệm của (1) :  x   k 2  k   x    k 4 . Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(33) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 13 DB 1 A2003. 3  tan x  tan x  2sin x   6 cos x 0. (1). Điều kiện : cos x 0 sin x  sin x  2sin x cos x   3    6 cos x 0 cos x cos x   (1)  3cos 2 x  sin 2 x  1  2 cos x   6 cos 2 x 0  3cos 2 x  1  2 cos x   sin 2 x  1  2 cos x  0   1  2 cos x  3cos 2 x  sin 2 x 0. . . 1  cos x    1  2 cos x 0 2  cos 2 x  1   2 4  cos 2 x  1  4 cos x  1 0  4 1 1 2  1  cos x   cos 2 x  cos 2 2 3 14 DB 2 A2003. 15 DB 1 B2003. cos 2 x cos. 2 3. 2  2 x   k 2  3   2 x  2  k 2  3    x  3  k  k   x    k  3. cos 2x  cos x  2 tan 2 x  1 2. (1) cos x  0 Điều kiện : 2sin 2 x  cos 2 x   cos x 2 cos x (1) 2sin 2 x   cos x 2  cos 2 x 1  2sin 2 x cos x  1   2sin 2 x   1 1  cos x  cos x   2(1  cos 2 x)(1  cos x ) (1  cos x) cos x   1  cos x   2(1  cos x) 2  cos x  0.  x   k   x   k 2 3 .  cos x  1  cos x  1   2  cos x  1 2 cos x  5cos x  2  0  2  6 2 3cos 4x  8cos x  2 cos x  3 0  3(1  cos 4 x )  2 cos 2 x(4cos 4 x  1) 0  6 cos 2 2 x  2 cos 2 x(2 cos 2 x  1)(2 cos 2 x 1) 0  6 cos 2 2 x  cos 2 x(2 cos 2 x  1) cos 2 x 0  cos 2 x  3cos 2 x  cos 2 x(2 cos 2 x  1)  0. . 4. 2. .  cos 2 x 2 cos x  5cos x  3 0.  k   x 4  2   x k. k .  cos 2 x 0  4 2  2 cos x  5cos x  3 0   k cos 2 x 0  2 x   k  x   2 4 2 ; k  * Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(34) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..  cos 2 x 1 2 cos 4 x  5cos 2 x  3 0   2  sin 2 x 0  cos x  3 ( L)  2 * 16 DB 2 B2003.  2  3  cos x  2sin 2 cos x  1 1 cos x  2 Điều kiện :  (2 .  x      2 4  1. (1).     3) cos x  1  cos  x    2 cos x  1 2   .  2 cos x  . 2. 3 cos x  1  sin x 2 cos x  1. 3 cos x  sin x 0. 3 1   cos x  sin x 0  cos x cos  sin x sin 0 2 2 6 6       cos  x   0  x    k  x   k ; k   6 6 2 3  (1). 1 2 Vì : Nên nghiệm của phương trình : cos x . x. 4  k 2 ; k   3. . 17 DB 1 D2003. cos 2 x  cos x  1 sin x  cos x. 2  1  sin x . (1)   sin x  cos x  2 sin  x   0 4  Điều kiện : 2 (1)  (1  sin x)(cos x  1) 2(1  sin x)(sin x  cos x)   1  sin x   (1  sin x)(cos x  1)  2(sin x  cos x)  0   1  sin x   cos x  1  sin x cos x  sin x  2sin x  2 cos x  0.    x  2  k 2 k     x   k 2.   1  sin x   sin x  1  sin x cos x  cos x  0   1  sin x   (1  sin x)  cos x(1  sin x)  0. 18 DB 2 D2003.  sin x  1 2   1  sin x   1  cos x  0    cos x  1 2 cos 4x cot x  tan x  sin 2x (1) sin 2 x  0  cos 2 x 1 Điều kiện : 2 cos 4 x  cot x  tan x  sin 2 x (1).  x   k ; k   3. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(35) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. cos x sin x cos 4 x   sin x cos x sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x cos 4 x .  cos 2 x cos 4 x  2 cos 2 2 x  cos 2 x  1 0. 19 B2004.  cos 2 x 1( L)   cos 2 x  1 cos 2 2 3  5sin x  2 3(1  sin x) tan 2 x (1) Điều kiện : cos x 0 3sin 2 x  5sin x  2  (1  sin x) 1  sin 2 x (1)  (5sin x  2)(1  sin x) 3sin 2 x.    x  6  k 2 k    x  5  k 2  6. 1   sin x  sin   2sin x  3sin x  2 0  2 6   sin x  2  2 cos x  1  2sin x  cos x  sin 2x  sin x 2. 20 D2004.  (2 cos x  1)(2sin x  cos x) sin x(2 cos x  1)   2 cos x  1  sin x  cos x  0 1  cos x    2 cos x 1 2     2 sin  x    0  sin x  cos x 0    4 . 21 DB 1 A2004.    cos x cos 3   sin  x    0    4.    x  3  k 2 k    x    k  4. sin x  sin 2x  3  cos x  cox2x   sin x  sin 2 x  3 cos x  3 cos 2 x  sin x  . 3 cos x  3 cos 2 x  sin 2 x. 1 3 3 1 sin x  cos x  cos 2 x  sin 2 x 2 2 2 2.      sin  x   cos  2 x   3 6            sin  x   cos    2 x     sin  2 x   3 3  3   2       sin  2 x    sin  x   0 3 3     3x    sin  2  3  0  3x    x   2sin    cos   0    2 3 2      x  cos 2 0.  3x   2  3 k   x   k   2 2 2 k 2  x    9 3   x   k 2 k . Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(36) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 22 DB 2 A2004. 1  sin x  1  cos x 1 (1) TXĐ : D  Chú ý : 1  sin x 0 ; 1  cos x 0.  2  (sin x  cos x )  2 (1  sin x)(1  cos x) 1 (1)  2  (sin x  cos x)  2 1  (sin x  cos x)  sin x cos x 1. (2) t 1 sin x cos x  t  2 2 Đặt : t sin x  cos x ; ,khi đó : 2. (2)  1  t  2. t 2  2t  1 0 2.  1  t  2 (t  1)2 0  1  t  2 t  1 0 . 23 DB 1 B2004. 2 t  1 t  1.   2  k 2 k     x k 2. ( nhận xét và suy ra : t 1 )     t 1  sin x  cos x 1  cos  x   cos 4 4  (3)     x  4  4  k 2   x      k 2  4 4 k  3 3 4  sin x  cos x  cos x  3sin x (3).  4sin 3 x  4 cos3 x  cos x  3sin x 0  4sin 3 x  4 cos x(1  sin 2 x)  cos x  3sin x 0  4sin 3 x  3cos x  4sin 2 x cos x  3sin x 0  3(cos x  sin x)  4sin 2 x(cos x  sin x) 0. . 2. .  (cos x  sin x) 3  4sin x 0     2 cos  x  4  0     cos x  sin x 0  3  2   sin x  3  sin x  2   4  3  sin x  2  24 DB 2 B2004. 1 1    2 2 cos  x   cos x sin x 4 .    x  4  k k    x   k  3. (1). Điều kiện : sin 2 x 0.    sin x  cos x 2 2 cos  x   4  (1). Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(37) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 25 DB 1 D2004.   1     2 cos  x   2 2 cos  x   . sin 2 x 4 4 2      cos  x    1  sin 2 x  0 4        x    k  cos  x   0 4 2   k  4     2 x   k 2  sin 2 x  1  2 sin 4x sin 7x cos 3x cos 6x 1 1    cos11x  cos( 3 x)    cos 9 x  cos 3 x  2 2   cos11x  cos 3 x cos 9 x  cos 3 x  cos11x  cos 9 x 0   10 x   k   cos10 x 0 2  2 cos10 x cos x 0     cos x 0  x   k   2. 26 DB 2 D2004. 27 A2005.    x  4  k k    x    k  4  k  x  4 2.    x  20  k10 k    x   k  2. sin 2x  2 2  sin x  cos x   5 0. (1) Đặt t sin x  cos x với  2 t  2  t 3 2  t 2  2 2t  6 0    t  2 (1).  sin 2 x t 2  1. Với t  2  sin x  cos x  2     cos  x    1  x    k 2 k   4 4  2 2 cos 3x cos 2x  cos x 0 (1  cos 6 x ) cos 2 x 1  cos 2 x   0 2 2  cos 2 x  cos 6 x cos 2 x  1  cos 2 x 0  cos 6 x cos 2 x  1 0  cos8 x  cos 4 x  2 0 2.  2 cos 4 x  1  cos 4 x  2 0  cos 4 x 1  2 cos 4 x  cos 4 x  3 0    cos 4 x  3  2 1  sin  cos x  sin 2x  cos 2x 0  sin x  cos x  2 sin x cos x  2 cos 2 x 0. x. 5  k 2 ; k   4. x. k 2. ,k  . 2. 28 B2005.  (sin x  cos x)  2 cos x(sin x  cos x) 0  sin x  cos x 0  (sin x  cos x)  1  2 cos x  0    cos x  1 cos 2 2 3 .    x  4  k k    x 2  k 2  3. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(38) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 29 D2005.    3  cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x    0 4  4 2   3 1    1  2sin 2 x cos 2 x   sin  4 x    sin 2 x   0 2  2  2.  2  sin 2 2 x  cos 4 x  sin 2 x  3 0   sin 2 2 x  (1  2sin 2 2 x)  sin 2 x  1 0  sin 2 x 1  sin 2 x  sin 2 x  2 0    sin 2 x  2 x 3   4sin 2  3 cos 2x 1  2 cos 2  x   x   0;   2 4   Tìm của : 2. 30 DB 1 A2005.  2(1  cos x) . 3   3 cos 2 x 1  1  cos  2 x   2   3 cos 2 x 2  sin 2 x.  x   k ; k   4 3   cos  2 x   2    sin 2 x.  2  2 cos x    2 cos x  3 cos 2 x  sin 2 x. 31 DB 2 A2005 32 DB1 B2005. (chia 2 vế cho 2) 3 1     cos x  cos 2 x  sin 2 x  cos(  x) cos  2 x   2 2 6    2 x    x  k 2    6  cos  2 x   cos(  x)    6    2 x     x  k 2  6 5 k1 2   x  18  3  k1 ; k2    x  7  k 2 2  6 k1   5 17  k1   0;1  x  ; x   k  (0;  ) 18 18 Vì  1 k2   5  k2 1  x   k  (0;  ) 6 Vì  2   2 2 cos3  x    3cos x  sin x 0 4  3.       2 cos  x     3cos x  sin x 0 4     (cos x  sin x)3  3cos x  sin x 0. 5   x  18   x 17  18   x  5 6 .    x  2  k k    x   k   4.  cos3 x  sin 3 x  3cos 2 x sin x  3cos x sin 2 x  3cos x  sin x 0. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(39) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..  cos x 0  3  sin x  sin x 0  cos x 0    1  tan 3 x  3 tan x  3 tan 2 x  3(1  tan 2 x)  tan x(1  tan 2 x) 0.  sin 2 x 1    tan x 1 33 DB 2 B2005.  cos 2 x 0   tan x 1. cos 2x  1   tan   x   3 tan 2 x  cos 2 x (1) 2  Điều kiện : sin 2 x 0. 2sin 2 x   cot x  3 tan 2 x  cos 2 x (1) 1   tan 2 x 0  tan 3 x  1  tan x  1 tan x 34 DB 1 D2005. sin x  3  tan   x  2  2  1  cos x (1) Điều kiện : sin x 0 sin x cos x sin x  cot x  2   2 1  cos x sin x 1  cos x  cos x(1  cos x)  sin 2 x 2sin x(1  cos x).  cos x  cos 2 x  sin 2 x 2sin x(1  cos x)  cos x  1( L)  (1  cos x)  1  2sin x  0    sin x  1 sin  2 6  (1). x .   k ; k   4.   x   k 2  6 k    x  5  k 2  6. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 3.

(40) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 35 DB 2 D2005. sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  2 0  2sin x cos x  1  2sin 2 x  3sin x  cos x  2 0  2sin 2 x  (2 cos x  3) sin x  cos x  1 0 (1) Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến sin x 2 2 Ta có :  (2 cos x  3)  8(cos x 1) (2 cos x 1) 2 cos x  3  2 cos x  1  cos x  1  sin x  4   sin x  2 cos x  3  2 cos x  1  1 4 2 Nghiệm của (1) : .  .    x  6  k 2   x  5  k 2  k  6   x   k 2  2  x   k 2 .   x   k 2  1  6 sin x  sin   k  2 6  x  5  k 2  6.  1   sin x cos x  1  sin x  cos x 1  sin  x    sin 4 4 2  36 A2006. 2  cos 6 x  sin 6 x   sin x cos x 2  2sin x. (1) điều kiện :  2  sin  cos x   sin x cos x 0 6. (1). 0. sin x . 6.  3sin 2 2 x  1  2 1   sin 2 x 0 4   2  sin 2 x 1 2  3sin 2 x  sin 2 x  4 0    sin 2 x  4 3    sin 2 x 1  2 x   k 2  x   k ; k   2 4  37 B2006. x  cot x  sin x  1  tan x tan  4 2  (1) sin 2 x 0   x x 1 1  tan x.tan  cos 2 0 2 cos x Điều kiện : Ta có : cos x sin x 1   4  4 sin x cos x sin x cos x (1). 2 2. vì :. sin x . 2 2.    x  4  k 2   x  3  k 2  4 Nghiệm của (1) 5 x   k 2 ; k   4.    x 12  k k    x  5  k  12.   2 x   k 2  1  6  2sin 2 x 1  sin 2 x  sin   2 6  2 x  5  k 2  6. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(41) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 38 D2006. cos 3x  cos 2x  cos x  1 0  cos 3 x  cos x  cos 2 x  1 0  2sin 2 x sin x  2sin 2 x 0  2sin x  sin 2 x  sin x  0  2sin x(2sin x cos x  sin x) 0  sin x 0  2sin x  2 cos x  1 0    cos x  1 cos  2 3 .  x k  k   x   k 2 3 . 2. 39 DB 1 A2006. cos 3x cos3 x  sin 3x sin 3 x . 23 2 8. (1). Ta có : cos 3x 4 cos3 x  3cos x  cos3 x . 1  cos 3x  3cos x  4. 1  3sin x  sin 3x  4 1 2 3 2   cos 3x  cos 3 x  3cos x   sin 3 x  3sin x  sin 3 x    4 8 sin 3x 3sin x  4sin 3 x  sin 3 x . (1). 2 3 2 2 3 2  cos 2 x  3cos 3 x cos x  3sin 3 x sin x  sin 2 3 x 1  2 3 2  1  3  cos 3 x cos x  sin 3 x sin x  1  2 2    cos 4 x  sin  4 x   k 2 ; k   2 4 4  cos 3x  cos 3x  3cos x   sin 3x  3sin x  sin 3 x  . 40 DB 2 A2006.   2sin  2x    4sin x  1 0 6      2  sin 2 x cos  cos 2 x sin   4sin x  1 0 6 6  .  x k  k   x  7  k 2 6 . 3 sin 2 x  cos 2 x  4sin x  1 0.  2 3 sin x cos x  4sin x  2sin 2 x 0  2sin x. . . 3 cos x  sin x  2 0.  sin x 0    3 cos x  sin x  2 0. 41 DB 1 B2006.  k x   ;k   16 2.  2sin. 2.  x k   cos  x     1  6 . x  1 tan 2 2x  3  2 cos 2 x  1 0. điều kiện : cos 2 x 0. (1).  k x   ;k  6 2. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(42) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..   cos 2 x.tan 2 2 x  3cos 2 x 0  cos 2 x tan 2 2 x  3 0  tan 2 2 x 3. . .   tan 2 x tan   tan 2 x  3 3    tan 2 x tan      tan 2 x  3     3 (1) 42 DB 2 B2006. cos 2x   1  2 cos x   sin x  cos x  0  (cos 2 x  sin 2 x)  (1  2 cos x)(sin x  cos x) 0  (cos x  sin x)  cos x  sin x  2 cos x  1 0    cos  x   0  4  cos x  sin x 0       1   sin x  cos x 1 sin  sin  x    4 4 2         x  4  2  k  x  4  k        x    k 2   x   k 2 k     4 4 2    x    3  k 2  x   k 2 4 4  . 43 DB 1 D2006. cos 3 x  sin 3 x  2sin 2 x 1   sin x  cos x   1  sin x cos x  cos 2 x.   sin x  cos x   1  sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x   sin x  cos x   sin x  cos x  sin x cos x  1 0   sin x  cos x    1  sin x   cos x(1  sin x)  0   sin x  cos x   1  sin x   1  cos x  0. 44 DB 2 D2006.    x  4  k   x   k 2  2  x   k 2   ; k .     sin  x  4  0     sin x  cos x 0     sin x  1   x   k 2 2   cos x 1  x k 2   3 2 4sin x  4sin x  3sin 2x  6 cos x 0.    x  4  k   x    k 2 ; k    2  x k 2  .    x  2  k 2 k    x 2  k 2  3. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(43) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..  4sin 2 x(sin x  1)  6 cos x(sin x  1) 0  (sin x  1)(4sin 2 x  6 cos x ) 0  (sin x  1)  4(1  cos 2 x)  6 cos x  0. 45 A2007.   sin x  1  sin x  1     cos x 2 2  2 cos x  3cos x  2 0  1  cos x   2 2 2  1  sin x  cos x   1  cos x  sin x 1  sin 2x  cos x  sin 2 x cos x  sin x  cos 2 x sin x (sin x  cos x) 2 2.  (sin x  cos x)  sin x cos x(sin x  cos x)  (sin x  cos x) 0  (sin x  cos x)  1  sin x cos x  sin x  cos x  0  sin x  cos x 0  (sin x  cos x)(1  sin x)(1  cos x) 0  1  sin x 0  1  cos x 0 46 B2007. 2sin 2 2x  sin 7x  1 sin x  sin 7 x  sin x  2sin 2 2 x  1 0.  2 cos 4 x.sin 3x  cos 4 x 0  cos 4 x 0  cos 4 x  2sin 3x  1 0    sin 3x  1 sin  2 6  47 D2007.  k   x 8  4   x    k 2 ; k    18 3   x  5  k 2 18 3 . 2. x x   sin  cos   3 cos x 2 2 2   1  sin x  3 cos x 2.  sin x  3 cos x 1. 48 DB 1 A2007.    x  4  k   x   k 2 ; k    2  x k 2  .    x    k 2   1   3 6  sin  x    sin   3 2 6   x    5  k 2  3 6 1 1 sin 2 x  sin x   2 cot 2 x 2 sin x sin 2 x (1) điều kiện : sin 2 x 0.    x  2  k 2 k     x   k 2  6.  k x  ;k  4 2. 2 (1)  sin 2 x  sin 2 x sin x  cos x  1 2 cos 2 x. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(44) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..  sin 2 2 x  1  cos x (2sin 2 x  1) 2 cos 2 x   cos 2 2 x  cos 2 x.cos x  2 cos 2 x 0  cos 2 x (cos 2 x  cos x  2) 0  cos 2 x 0  cos 2 x (2 cos 2 x  cos x  1) 0   2  2 cos x  cos x  1 0 (VN ) 49 DB 2 A2007. 2 cos 2 x  2 3 sin x cos x  1 3(sin x  3 cos x)  2 cos 2 x  1  3 sin 2 x  2 3(sin x  3 cos x)  cos 2 x  3 sin 2 x  2 3(sin x  3 cos x) 1  1  3 3  2  2  cos 2 x  sin 2 x  6  sin x  cos x  2 2 2  2       2  2 cos  2 x   6 cos  x   3 6  .      1  cos 2  x   3cos  x   6 6        2 cos 2  x    3cos  x   0 6 6  . 50 DB 1 B2007.    cos  x          cos  x    2 cos  x    3 0    6  6      cos  x    3x  5x   x  sin     cos     2 cos 2  2 4 2 4     x  3x  5x    sin     sin        2 cos 2  2 4  2  4 2 . 2  k ; k   3.   0 6  3  6 2.    3x   3x   2 cos  x   sin     2 cos 4  2 2 2   3x 3x    2 cos  x   cos  2 cos 4 2 2 . 51 DB 2 B2007. x. 3x  cos 0  2 3x      cos  2  2cos  x    0   2  4   2     cos  x  4   2    sin 2 x cos 2 x  tan x  cot x cos x sin x (1) điều kiện : sin 2 x 0 cos 2 x.cos x  sin 2 x.sin x sin x cos x    sin x cos x cos x sin x (1).  k 2   x 3  3   x   k 2 ; k    2   x   k 2   x   k 2 ; k   3. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(45) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. cos x sin 2 x  cos 2 x  sin x cos x sin x cos x  cos x  cos 2 x 0 .  cos x  1 ( L)  2 cos x  cos x  1 0    cos x  1 2  2. 52 DB1 D2007.    2 2 sin  x   cos x 1 12          2  sin  2 x    sin  1 12  12   .    1   sin  2 x    sin  12  12 2          sin  x   sin  sin 2sin cos 12  4 12 6 12 . 53 DB1 D2007.    5    5   sin  x   cos cos    sin 12  12 12   2 12   5   2 x  12  12  k 2   2 x    7  k 2  12 12 (1  tan x)(1  sin 2 x) 1  tan x (1) điều kiện : cos x 0 cos x  sin x sin x  cos x  .(sin x  cos x) 2  cos x cos x (1).    x  4  k k    x   k   3.  (cos x  sin x )(sin x  cos x) 2 cos x  sin x  (cos x  sin x )  (cos x  sin x)(cos x  sin x)  1 0 2. 2.  (cos x  sin x )(cos x  sin x  1) 0  cos x  sin x 0  (cos x  sin x )(cos 2 x  1) 0    cos 2 x 1       cos  x   0 x    k     4 4 2    2 x  k  cos 2 x 1  54 A2008. 1  sin x. 1.  7  4sin   x 3    4  sin  x   2   (1) 3   sin  x   0 2   Điều kiện : sin x 0 và.    x  4  k k     x k.    x  4  k   x    k ; k    8   x  5  k 8 . Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(46) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 1 1   2 2(sin x  cos x) (1) sin x cos x 3   sin  x   cos x 2   Chú ý : .  1  7   sin   x   sin  x     sin x  cos x  4 2  4   1 1    2 2(sin x  cos x ) (1) sin x cos x sin x  cos x   2 2(sin x  cos x) sin x cos x 1    (sin x  cos x)   2 2  0  sin x cos x   sin x  cos x 0  1  2 sin 2 x    2  sin x  cos x    0   2   sin 2 x sin 2 x  sin       2  4 55 B2008. sin 3 x . 3 cos3 x sin x cos 2 x . 3 sin 2 x cos x.  sin x(cos 2 x  sin 2 x)  3 cos x(cos 2 x  sin 2 x) 0  cos 2 x(sin x  3 cos x) 0  cos 2 x 0  cos 2 x 0     sin  x    0  sin x  3 cos x 0 3   56 D2008. 2sin x  1  cos 2x   sin 2x 1  2 cos x  4sin x cos 2 x  sin 2 x 1  2 cos x  sin 2 x(2 cos x  1)  (1  2 cos x) 0  (2 cos x  1)(sin 2 x  1) 0  2 cos x  1    sin 2 x 1. 57 CĐ 2008.  k  x 4  2 k    x    k  3. sin 3x . 1   cos x  2   sin 2 x 1. 2   x  3  k 2 k    x   k   4. 3 cos 3x 2sin 2x. 1 3 sin 3 x  cos 3 x sin 2 x 2 2   3x     sin  3x   sin 2 x   3   3x   .  2 x  k 2 3 k     2 x  k 2 3.    x  3  k 2 k    x  4  k 2  15 5. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(47) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 58 DB 1 A2008. tan x cot x  4 cos 2 2 x (1) điều kiện : sin 2 x 0 cos x sin x    4 cos 2 2 x 0 sin x cos x (1) 2.  cos 2 x  2 cos 2 x sin 2 x 0  cos 2 x  sin 4 x.cos 2 x 0  cos 2 x 0  cos 2 x(1  sin 4 x) 0     sin 4 x  1. 59 DB 2 A2008.    2 x  2  k   4 x    k 2  4.   2   sin  2 x   sin  x    4 4 2   1 1   sin 2 x  cos 2 x    sin x  cos x 1 2 2  sin 2 x  sin x  (1  cos 2 x)  cos x 0  sin x (2 cos x  1)  2 cos 2 x  cos x 0  sin x (2 cos x  1)  cos x(2 cos x  1) 0  (2 cos x  1)(sin x  cos x) 0. 60 DB 1 B2008.  k   x 4  2 k    x    k  8 2.    x  3  k 2 k    x   k  4. 1  cos x    2 cos x  1 0 2    sin  x    0  sin x  cos x 0    4   1   2sin  x    sin  2 x    3 6 2    3  1 1  sin x  3 cos x   sin 2 x  cos 2 x   2  2  2 1  2sin 2 x 1  sin x  3 cos x  3 sin x cos x   2 2  3 cos x  1  sin x   sin x  1  sin x  0  (1  sin x)( 3 cos x  sin x) 0  sin x 1    3 cos x  sin x 0.    x  3  k k    x   k 2  2.    x  2  k 2   sin  x    0    3. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(48) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 61 DB 2 B2008. x 2  1  cos x   3sin x  cos 2 x  sin 2 x 4sin x   2    3sin x  cos 2 x  sin 2 x 2sin x  sin 2 x 3sin x  cos 2 x  sin 2 x 4sin x cos 2.  cos 2 x  sin x 0  2sin 2 x  sin x  1 0  sin x 1   sin x  1 sin      2  6. 62 DB 1 D2008. 63 DB 2 D2008.    x  2  k 2   x    k 2 ; k    6   x  7  k 2 6 . 4 sin 4 x  cos 4 x  cos 4 x  sin 2 x 0. . .  sin 2 2 x  2  4 1   1  2sin 2 x  sin 2 x 0 2    sin 2 x  1 2  4sin 2 x  sin 2 x  5 0    sin 2 x  5 ( L) 4  tan 2 x  tan x 2    sin  x   2 tan x  1 2 4  . x .   k ; k   4. (1) điều kiện : cos x 0. tan 2 x  tan x 1   sin x  cos x  tan 2 x  1 2. (1)  2 cos 2 x tan 2 x  tan x sin x  cos x. . .  sin 2 x  sin x cos x   2 cos 2 x   sin x  cos x cos 2 x    2sin x  sin x  cos x    sin x  cos x  0   sin x  cos x   2sin x  1 0.    x  4  k   x   k 2 ; k    6   x  5  k 2 6 .    sin  x   0   sin x  cos x 0 4     1   2sin x 1  sin x  2 cos 6 64 A2009. (1). sin x 1  (1  2sin x) cos x  1  3 sin x   (1  2sin x)(1  sin x) 2 (1) điều kiện :    1  2sin x  cos x  3(1  sin 2 x)(1  sin x). x .  k 2  18 3 ; k . Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(49) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ..  cos x  sin 2 x  3 1  sin x  2sin 2 x. . .  cos x  sin 2 x  3  cos 2 x  sin x   cos x . 3 sin x sin 2 x  3 cos 2 x. 1 3 1 3 cos x  sin x  sin 2 x  cos 2 x 2 2 2 2    2 x   x   k 2      6 3  cos  x   cos  2 x     3 6    2 x    x    k 2  6 3    x  2  k 2  k   x    k 2  18 3 . 65 B2009. sin x  cos x sin 2x  3 cos 3x 2  cos 4x  sin 3 x .  sin x 1  2sin 2 x  cos x sin 2 x  3 cos 3 x 2 cos 4 x. . .  sin x cos 2 x  cos x sin 2 x  3 cos 3 x 2 cos 4 x  sin 3 x  3 cos 3 x 2 cos 4 x 1 3 sin 3 x  cos 3x cos 4 x 2 2   4 x 3 x   k 2    6  cos  3 x   cos 4 x   6   4 x  3 x    k 2  6. . 66 D2009.    x  6  k 2 k    x    k 2  42 7. 3 cos 5x  2sin 3x cos 2x  sin x 0 . 3 cos 5 x   sin 5 x  sin x   sin x 0. . 3 cos 5 x  sin 5 x 2sin x. 3 1 cos 5 x  sin 5 x sin x 2 2     x   5x  k 2 6 x   k 2     3 3  sin   5 x  sin x    3   x  2  5 x  k 2   4 x  2  k 2  3 3  .  k   x  6  2 k    x    k  18 3. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 4.

(50) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí .. 67 CĐ 2009. (1  2sin x) 2 cos x 1  sin x  cos x  (1  4sin x  4sin 2 x) cos x 1  sin x  cos x  cos x  2sin 2 x  4sin 2 x cos x  1  sin x  cos x 0   2sin 2 x  1  sin x  2sin 2 x  1 0 1   sin 2 x  sin    2sin 2 x  1 (sin x  1) 0  2 6   sin x  1.    x  2  k 2   x    k ; k    12   x  5  k  12. Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844. 5.

(51)

Luong giac co ban va 250 bai toan co dap an chi tiet

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về