hinh OXYZ hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ebook4Me.Net. BÀI 1 Caâu 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) : x  y  2  0 sao cho giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) :  2x  z  6  0. x 2  y 2  z 2  2x  2y  2z  1  0 là đường tròn có bán kính r = 1. Caâu 2: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B vaø B'C'. GIẢI Caâu 1: Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0  (P) : (m  2n)x  my  nz  2m  6n  0  . Maët caàu (S) coù taâm I(-1; 1; -1), baùn kính R = 2. (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1.  d(I; P)  R 2  r 2  3 .  m  2n  m  n  2m  6n 2. 2. (m  2n)  m  n. 2.  3.  4m  7n  3. 2m 2  5n2  4m.n. 2.  5m  22m.n  17n 2  0. . Cho n  1  5m 2  22m  17  0  m  1 hay m  . . (P ) : x  y  z  4  0 Vaäy, coù 2 maët phaúng (P):  1 (P2 ) : 7x  17y  5z  4  0. 17 5. Caâu 2: . Caùch 1:  Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng  AB  BC  CA  A / B/  B/ C/  C/ A /  a  các tam giác ABC, A/B/C/ là các tam giác đều.  Ta coù: B/ C/ // BC  B/ C / //(A / BC) /. . /. /. /. /. /. C/ B. /.  d(A B; B C )  d(B C ; (A BC))  d(F; (A BC))  BC  FD  BC  (A / BC) Ta coù:  / / /  BC  A D (A BC caân taïi A ). Dựng FH  A / D Vì BC  (A / BC)  BC  FH  H  (A / BC). . A/FD vuoâng coù:. C. A D B. 1 1 1 4 1 7 a 21  / 2  2  2  2  FH  . 2 2 FH AF FD 3a a 3a 7 a 21 Vaäy, d(A / B; B/ C / )  FH  7 Trang 1. F. H. /.  . . A/.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ebook4Me.Net. Caùch 2:  Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng  ABC, A/B/C/ là các tam giác đều cạnh a.  Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), a a 3   a a 3  / B ; ; 0  , C  ; ; 0  , A (0; 0; a), 2 2   2 2 . . C/. z a. A. /. B/. C. A. a a 3  / a a 3  B/  ; ; a, C   ; ; a 2 2   2 2  / / / / / Ta coù: B C // BC, B C // (A BC). D x. y. B.  d(B/ C/ ; A / B)  d(B/ C/ ; (A / BC))  d(B/ ; (A / BC))   a a 3   a a 3    / / ;  a, A C    ; ;  a  A B ; 2 2   2 2  2     a 3 3   3 2 2   [A / B; A / C]   0; a2 ;   a  0; 1;   a .n, với n   0; 1;    2  2   2    Phương trình mp (A/BC) qua A/ với pháp vectơ n : 3 0(x  0)  1(y  0)  (z  a)  0 2 3 a 3  (A / BC) : y  z  0  2 2 a 3 3 a 3 a 3  .a  2 2  2  a 21 .   d(B/ (A / BC))  2 7 3 7 1 4 2 a 21 .  Vaäy, d(A / B; B/ C / )  7. BÀI 2. Caâu 1: Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và đường thẳng x 1 y  2 z  3   () : 2 1 2 1. Tìm điểm M thuộc () để thể tích tứ diện MABC bằn g 3. 2. Tìm điểm N thuộc () để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất. Caâu 2: (1,0 ñieåm). Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ebook4Me.Net. Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuoâng goùc nhau.. GIẢI Caâu 1:.  x  1  2t  1. Phöông trình tham soá cuûa (D):  y  2  t z  3  2t   M  ( )  M(1  2t;  2  t; 3  2t)    AB  (2; 1; 2), AC  (2; 2;1)      [AB; AC]  (3;  6; 6)  3(1; 2;  2)  3.n , với n  (1; 2;  2)   Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ n : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0. 1   1 9 (3)2  (6)2  62  .  SABC  [AB; AC]  2 2 2  Đường cao MH của tứ diện MABC là khoảng từ M đến (ABC): 1  2t  2(2  t)  2(3  2t)  2 4t  11 MH  d(M(ABC))   3 1 4  4 1 9 4t  11 3  Thể tích tứ diện MABC bằng 3  V  . . 3 2 3 5 17  4t  11  6  t   hay t   . 4 4  3 3 1  15 9 11   Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø: M   ;  ;  hay M   ; ;   2 4 2  2 4 2 2. N  ( )  N(1  2t;  2  t; 3  2t) 1   1 2 3 2 32t 2  128t  146  (4t  8)2  9   SABN  [NA; NB]  2 2 2 2 3 2  max SABN   4t  8  0  t  2. 2  Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1). Caâu 2: S Caùch 1:  Goïi O laø taâm cuûa ABC I SA  SB  SC  Ta coù:  OA  OB  OC (ABC đều) A  SO là trục của đường tròn (ABC) C  SO  (ABC) O . Maø : AO  BC; SO  BC  BC  (SOA)  BC  SA. . Dựng BI  SA , suy ra: SA  (IBC)  SA  IC.  laø goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C).  BIC Trang 3. M. B.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ebook4Me.Net. . SOA vuoâng coù: SA 2  SO2  OA 2  h 2 . . Goïi M laø trung ñieåm BC Ta coù: BM  (SOA), BI  SA. a2 3h 2  a2 3h2  a2   SA  3 3 3.  IM  SA (định lý 3 đường vuông góc)  MIA  SOA AM a 3 3 3ah  h. .  2 2 SA 2 3h  a 2 3h2  a2  SAB  SAC (c.c.c)  IB  IC  IBC caân taïi I. 1  (SAB)  (SAC)  IBC vuoâng caân taïi I  IM  BC 2 3ah 1   a  3h  3h 2  a2 2 2 2 2 3h  a    a 6 .  9h2  3h 2  a2  h  6 a 6 .  Vaäy, h  z 6 Caùch 2:  Goïi H laø taâm cuûa ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC SA  SB  SC  Ta coù:  A  HA  HB  HC (ABC đều)  Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az z ñoâi moät vuoâng goùc A(0; 0; 0),  MI  SO.. . . S. C H. M. y. B. a a 3   a a 3   a 3   a 3  B ; ; 0 , C  ; ; 0  , H  0; ; 0  , S  0; ; h . 2 2 2 2 2 3           a 3    a a 3    a a 3  SA   0; ; h  , SB   ; ;  h  , SC    ; ;  h 3   2 6   2 6     ah 3 ah a2 3  a a  [SA; SB]    ; ;    (3h 3;  3h; a 3)   .n1 , 2 2 6  6 6   với n1  (3h 3;  3h; a 3).    ah 3 ah a2 3  a a  [SA; SC]    ; ;    (3h 3; 3h;  a 3)   .n 2 , 2 2 6  6 6   với n 2  (3h 3; 3h;  a 3) .    Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông SA; SB neân coù phaùp vectô    Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông SA; SC neân coù phaùp vectô    (SAB)  (SAC)  cos(n1; n2 )  0  . Trang 4.  n1 .  n2 ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ebook4Me.Net.    3h 3.3h 3  3h.3h  a 3(a 3)  0  27h 2  9h 2  3a2  0 . a 6  18h  3a  h  . 6 2. . Vaäy: h . 2. a 6 . 6. BÀI 3 Caâu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S):. 2x  2y  z  1  0 (d) :  ; x  2y  2z  4  0. (S) :x 2  y2  z2  4x  6y  m  0. Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho MN = 8. Caâu 2: Cho tứ diện OABC có đáy là OBC vuông tại O, OB = a, OC = a 3, (a  0) và đường cao OA  a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.. GIẢI Caâu 1: Maët caàu (S): (x  2)2  (y  3)2  z2  13  m coù taâm I(-2; 3; 0), bán kính R  IN  13  m , với m < 13.  Dựng IH  MN  MH  HN  4. .  . M. H. N. I.  IH  IN2  HN 2  13  m  16  m  3 , với m < -3. x  t  1  Phương trình tham số của đường thẳng (d):  y  1  t 2  z  1  t   1  1 (d) coù vectô chæ phöông u   1; ; 1  (2; 1; 2) vaø ñi qua ñieåm A(0; 1; -1)  2  2    AI  (2; 2; 1); [AI; u]  (3; 6;  6). Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ebook4Me.Net. . Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d):   [AI; u] 32  62  62 81 h    3.  2 2 2 u 9 2 1  2. . Ta coù: IH = h  m  3  3   m  3  9  m  12 (thoûa ñieàu kieän) Vaäy, giaù trò caàn tìm: m = -12..  Caâu 2:. Caùch 1: . Gọi N là điểm đối xứng của C qua O.. . Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)  OM // (ABN)  d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).. . Dựng OK  BN, OH  AK (K  BN; H  AK). . Ta coù: AO  (OBC); OK  BN  AK  BN. BN  OK; BN  AK  BN  (AOK)  BN  OH OH  AK; OH  BN  OH  (ABN)  d(O; (ABN)  OH . Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a 15       2  2  2  2  OH  2 2 2 2 2 2 OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a 5 . Vaäy, d(OM; AB)  OH . z. a 15 . 5. a 3 A. Caùch 2: . N. Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz ñoâi moät vuoâng goùc O(0; 0; 0), A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0),. a 3. a a 3   a 3 a 3 M ; ; 0  vaø N  0; ;  2 2  2 2   laø trung ñieåm cuûa AC. . .  . C. O M. B a x. MN là đường trung bình của ABC  AB // MN  AB // (OMN)  d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).   a a 3    a 3 a 3  OM   ; ; 0  , ON   0; ;  2 2  2 2      3a2 a2 3 a2 3  a2 3  a2 3  [OM; ON]   ; ; 3; 1; 1  n , với n  ( 3; 1; 1)  4 4  4 4  4  Phương trình mp (OMN) qua O với pháp vectơ n : 3x  y  z  0. . Trang 6. . y.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ebook4Me.Net. . Ta coù: d(B; (OMN)) . . Vaäy, d(AB; OM) . 3.a  0  0 3 11. . a 3 a 15  5 5. a 15 . 5. BÀI 4 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho maët phaúng () : 2x – y + z – 5 = 0. Vieát phöông trình maët phẳng (P) qua giao tuyến của () và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng 125 tọa độ một tứ diện có thể tích bằng . 36 Caâu 2: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o.. GIẢI Caâu 1: Phöông trình maët phaúng (xOy): z = 0  Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định bởi () và (xOy) có dạng: m(2x – y + z – 5) – nz = 0  (P) : 2mx  my  (m  n)z  5m  0  Giao điểm A, B, C của (P) và 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ: 5m  5   A  ; 0; 0  , B(0;  5; 0), C  0; 0;  mn 2    Thể tích tứ diện OABC bằng 1 1 5 5m 125 125  V  .OA.OB.OC  . .5.  6 6 2 mn 36 36 m  n  3m m  1, n  2  mn 3m    m  n  3m m  1, n  4 . Vaäy, coù 2 phöông trình maët phaúng (P): (P1 ) : 2x  y  3z  5  0 (m  1; n  2)  (P2 ) : 2x  y  3z  5  0 (m  1; n  4). Caâu 2: . Caùch 1:  Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC  AM  BC (ABC vuoâng caân) . Ta coù: SG  (ABC)  SG  BC .. . Suy ra: BC  (SAM) Dựng BI  SA  IM  SA và IC  SA  laø goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C).  BIC Trang 7. S. I. C. A. G. B. M.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ebook4Me.Net. . SAB  SAC (c.c.c)  IB  IC  IBC caân taïi I..  . 1 a 2 a 2 BC  ; AG  2 2 3 AM a 2 1 AIM ~ AGS  IM  SG.  x. .  AS 2 SG 2  AG 2 BC  a 2; AM  BM  MC .  IM  . 3ax 2 2 9x2  2a2. ax 2 2 x2 . 2a2 9. ..   30o  BM  IM.tg30o  a 2  3.3ax 2   60o  BIM Ta coù: BIC 2 2 9x 2  2a2  9x 2  2a2  3x 3  9x2  2a2  27x 2  18x2  2a2. a  9x 2  a2  x  . 3. a Vaäy, x  . z 3 Caùch 2: x  BC  a 2  Goïi M laø trung ñieåm BC a 2 a 2  AM  ; AG  2 3 F A  Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G G trên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuông E M a B  AG  AE 2  AE  AF  . 3 x  Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), a a  a a  C(0; a; 0), G  ; ; 0  , S  ; ; x  . 3 3  2 2    a a    2a a    a 2a   SA   ; ; x  , SB   ;  ;  x  , SC    ; ;  x  3 3 3   3   3 3  2    a  a a      [SA; SB]   0; ax;    a  0; x;    a.n1 , với n1   0; x;   3 3 3      a a2 a      [SA; SC]  ( ax; 0; )  a  x; 0;    a.n2 , với n 2   x; 0;   . 3 3 3      Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông SA, SB neân coù phaùp vectô    Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông SA, SC neân coù phaùp vectô . . Goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C) baèng 60o.. Trang 8. C y.  n1  n2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ebook4Me.Net.  cos60o  0  x2  1 a2  2 2 2 9x  a a Vaäy, x  . 3 . . a2 9. a a 3 3. a2  29 2 2 9x  a a x2  0  9 9. 0.x  x.0 . a  9x 2  a2  2a2  9x2  a2  x  . 3. BÀI 5 Caâu 1: Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) :. x 1 y z  2 vaø maët phaúng () : 2x – y – 2z = 0.   1 2 2. Caâu 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2 , SA vuông góc với (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF.. GIẢI Caâu 1: Goïi A(a; 0; 0)  Ox .   . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng () : d(A; ) . 2a. 22  12  22  () qua M 0 (1; 0;  2) vaø coù vectô chæ phöông u  (1; 2; 2)   Ñaët M 0 M1  u. . Do đó: d(A; ) là đường cao vẽ từ A trong tam giác AM 0 M1   [AM0 ; u] 2.SAM0 M1 8a2  24a  36  d(A;  )     M 0 M1 u 3. . Theo giaû thieát: d(A; ) = d(A; ). . 2a 3. 8a2  24a  36  4a2  8a2  24a  36  4a2  24a  36  0 3 3 2  4(a  3)  0  a  3. . 2a. . Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ebook4Me.Net.  Vaäy, coù moät ñieåm A(3; 0; 0). Caâu 2: Caùch 1:  Goïi M laø trung ñieåm cuûa BF  EM // AF     (SA; AF)  (EM; AF)  SEM .   . S. SAE vuoâng taïi A coù: SE2  SA 2  AE  a2  2a2  3a2  SE  a 3. H. 2a 2. 3 a 6  2 a 6  EM  BM  MF  ; BF  a 2  2 SB2  SA 2  AB2  a2  8a2  9a2  SB  3a  AF . A. K. C F. E. M B. SF 2  SA 2  AF 2  a2  6a2  7a2  SF  a 7   Áp dụng định lý đường trung tuyến SM trong SBF có: 1 SB2  SF 2  2.SM 2  BF 2 2 1 15a2  9a2  7a2  2SM2  .2a2  SM 2  2 2  Gọi  là góc nhọn tạo bởi SE và AF  AÙp duïng ñònh lyù haøm Coâsin vaøo SEM coù:. . 2. 2. 2.   ES  EM  SM  cos   cosSEM 2.ES.EM. 3a2 15a2  2 2   2  2. 2 2 a 6 2. .a 3 2. 3a2 .    45o..  . a 2 vaø AH  (SME) 2 Vì AF // ME  d(SE; AF)  d(AF; (SME))  AH. Dựng AK  ME; AH  SK. Ta có: AK  MF . 1 1 1 1 2 3 a 3    2  2  2  AH  2 2 2 AH SA AK a a a 3 a 3  Vaäy, d(SE; AF)  . 3 z Caùch 2: a S  Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a 2; a 6; 0), C(a 2; a 6; 0), S(0; 0; a), . SAK vuoâng coù:. a 2 a 6  E ; ; 0  ; F(0; a 6; 0) 2  2  a 2  ; a 6; 0  . vaø M   2  Trang 10. C. A x. F. E. M B. y.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ebook4Me.Net.  .   a 2 a 6   a 2    SE   ; ;  a  ; AF  (a; a 6; 0), SM   ; a 6;  a  2  2   2  Gọi  là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có:   cos   cos(SE; AF) . a 2 a 6  a 6. 0(a) 3a2 2 2 2   . 2 a 6.a 3 a2 3a2 2 2 0  6a  0.  a 2 2 0.. .    45o.    a2 6 a 2 3  a2 3 a2 3   [SE; SM]   ; 0;  ( 2; 0; 1)  n, với n  ( 2; 0; 1)   2 2  2 2  Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x  z  a  0.. . Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM) . . Vì AF // EM  AF //(SEM)  d(SE; AF)  d(A; SEM). . Vaäy, d(SE; AF) . . 00a 2 1. . a 2 3. a 3 . 3. ĐỀ 6. Caâu 1: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): (P): 2x  2y  z  m 2  3m  0 ;. (S) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  9 .. Tìm m để (P) tiếp xúc (S). Với m tìm được xác định tọa độ tiếp điểm. Caâu : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Chứng minh MAB cân và tính dieän tích MAB theo a. LỜI GIẢI Caâu 1: (P) : 2x  2y  z  m 2  3m  0 (S) : (x  1)2  (y  1)2  (x  1)2  9 coù taâm I(1; -1; 1) vaø baùn kính R = 3.. (P) tieáp xuùc (S)  d[I, (P)]  R. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Ebook4Me.Net. .  .  . 2.1  2.(1)  1.1  m 2  3m 22  22  12.  m 2  3m  1  9 m  2  3  m  3m  1  9   2    m  3m  1  9  m  5 2. Vậy, (P) tiếp xúc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi đó (P): 2x + 2y + z – 10 = 0 Đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình: x 1 y  1 z 1   2 2 1 x  3 2x  2y  z  10  0   Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:  x  1 y  1 z  1   y  1     2 2 1 z  2 Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2).. Caâu 2: Caùch 1:  Ta coù: SA  (ABC)  SA  AC.. . S. Do đó SAC vuông tại A có AM là 1 trung tuyeán neân MA  SC. 2 SA  (ABC) Ta laïi coù:   AB  BC (ABC vuoâng taïi B). M. A.  SB  BC (định lý 3 đường vuông góc).  . 1 Do đó SBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên MB  SC. 2 Suy ra: MA = MB  MAB caân taïi M. Dựng MH // SA và HK // BC (H  AC; K  AB). H K B. 1  MH  SA  a SA  (ABC) MH  (ABC)  2    vì:   BC  AB HK  AB  HK  1 BC  a  2 . MHK vuoâng taïi H coù: MK 2  MH2  HK 2  a2  a2  2a2  MK  a 2. 1 1 a2 2 Dieän tích MAB: SMAB  .MK.AB  .a 2.a  2 2 2 Caùch 2: z  ABC vuoâng taïi B coù: S 2a AC2  AB2  BC2  a2  4a2  5a2 .  AC  a 5 . M. Dựng BH  AC (H  AC), ta có: . AH . AB2 a2 a   AC a 5 5. H. A. C a 5. Trang 12. K x. a 5. B. y. C.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Ebook4Me.Net. .  . 1 1 1 5    2  2 2 2 BH AB BC 4a 2a  BH  5 Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc và  2a a  A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B  ; ; 0  5 5   a 5  ; a Tọa độ trung điểm M của SC là M  0;  2    a 5  3a ; a   MA  Ta coù: MA   0; 2 2     2a 3a 3a  MB    ; ; a   MB  . 2 5 2 5  . suy ra: MA = MB  MAB caân taïi M.    a2   2a2 2  ; ; a   [MA; MB]  a2 2  Ta coù: [MA; MB]   5  5  1   1 a2 2 .  Dieän tích MAB: SMAB  [MA; MB]  .a2 2  2 2 2. BÀI 7 Caâu 1: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng  (0o    90o ) . Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). Caâu 2: . Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng: x  2 t x  y  3  0  (d1) : y  t ; (d2) :  4x  4y  3z  12  0 z  4  Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2).. GIẢI Caâu 1: Caùch 1:  Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC.  Do S.ABC đều và ABC đều nên chân đường cao đỉnh S trùng với. S. A. Trang 13. C. . O. H B.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ebook4Me.Net. giao điểm ba đường cao là trực tâm O cuûa ABC vaø coù SBC caân taïi S.   . suy ra: BC  SH, BC  AH, neân SHA . 1 a 3 . Ta coù: OH  AH  3 6 SHO vuoâng goùc: SO  HO.tg .   . a 3 HO a 3 tg vaø SH   cos  6.cos  6. 1 1 a 3 a2 3 a3 tg tg.  Theå tích hình choùp S.ABC: V  .SO.SABC  . 3 3 6 4 24 1 a2 3 Dieän tích SBC: SSBC  .SH.BC  2 12.cos  Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC), ta có:. 1 3.V a3tg a2 3 a 3 V  .h.SSBC  h   3. :  sin  3 SSBC 24 12 cos  2 Caùch 2:  Vì S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao đỉnh S trùng với tâm O đường tròn (ABC).  Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Ta coù: -. 2 a 3 a 3 AM  vaø OM  3 3 6   AM  BC, SM  BC  SMA. z S. AO . C A.  O. .    . M. y. SOM vuoâng coù: B a 3 x SO  OM.tg  tg 6 Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), a a 3   a a 3   a 3   a 3   a 3 a 3  B ; ; 0 ,C  ; ; 0  ,M 0; ; 0 , O 0; ; 0  , S 0; ; tg 2 2 2 2 2 3 3 6          . -. 1 a3 tg Theå tích hình choùp: V  .SO.SABC  3 24   a a 3 a 3   ; tg  , BC  (a; 0; 0) Ta coù: BS    ;  6 6  2     a2 3 a2 3   [BS; BC]   0;  tg;  n 6 6  .  Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến n :  a  a2 3 a 3  a2 3  O x    tg  y  (z  0)  0  2 6 2 6   . Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Ebook4Me.Net. a 3 tg  0. 2 Khoảng cách d từ A đến (SBC):  (SBC) : tgy  z . . tg.O  O  d. a 3 tg 2. tg2   1. a 3 tg a 3 2   sin . 1 2 cos . Caâu 2:.  (d1) ñi qua ñieåm A(0; 0; 4) vaø coù vectô chæ phöông u1  (2; 1; 0)  (d2) ñi qua ñieåm B(3; 0; 0) vaø coù vectô chæ phöông u2  (3;  3; 0)   AB  (3; 0;  4)        AB.[u1; u2 ]  36  0  AB, u1 , u2 không đồng phẳng.  .  .   . Vaäy, (d1) vaø (d2) cheùo nhau.. x  3  t /  (d2) coù phöông trình tham soá:  y   t / z  0  Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) M  (d1 )  M(2t; t; 4) , N  (d 2 )  N(3  t / ;  t / ; 0)   MN  (3  t /  2t;  t /  t;  4)    MN  u1 2(3  t /  2)  (t /  t)  0  t /  1  M(2; 1; 4)   Ta coù:        / /  N(2; 1; 0) t  1 3  t  2t  (t  t)  0  MN  u2. 1 MN  2. 2 Vaäy, phöông trình maët caàu (S): (x  2)2  (y  1)2  (z  2)2  4. Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính R . BÀI 8 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz coù 2 maët phaúng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng: (d1):. x  5 y  3 z 1   ; 2 4 3. (d 2 ) :. x  3 y 1 z  2   2 3 4. Viết phương trình đường thẳng () song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2). Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Ebook4Me.Net. Caâu 2: Cho hình lập phương ABCD . A'B'C'D' cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và C'D'. Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN).. GIẢI Caâu 1:.  / / (P) có pháp vectơ n P  (3; 12;  3)  3(1; 4;  1)  3n P , với n P  (1; 4;  1)   (Q) coù phaùp vectô n Q  (3;  4; 9)   (d1) coù vectô chæ phöông u1  (2;  4; 3)  np  P  (d2) coù vectô chæ phöông u2  (2; 3; 4). .  .  . ( / )  (P)  (Q)  / / (P ) //(P), (Q )//(Q) Goïi:  / / (d1 )  (P ), (d 2 )  (Q )   / u  u. P. .  nq Q.   u. Q/. /.  u1.  u2. A /. Bd 2. d1. Suy ra () laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P ) vaø (Q/), vaø () // (/).  /  / () coù vectô chæ phöông u  [n P ; n Q ]  (32;  12;  16)  4(8;  3;  4)  4u , / với u  (8;  3;  4). /  mp (P/) coù caëp vectô chæ phöông u1 vaø u neân coù phaùp vectô:   / n P/  [u1; u ]  (25; 32; 26)  Phương trình mp (P/) chứa (d1) đi qua điểm A(-5; 3; -1)  (d1 ) với n P/ là: 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0  (P ) : 25x  32y  26z  55  0 /  mp (Q/) coù caëp vectô chæ phöông u2 vaø u neân coù phaùp vectô:   / n Q/  [u2 ; u ]  (0; 24;  18) /.  .  Phương trình mp (Q/) chứa (d2) đi qua điểm B(3; -1; 2)  (d 2 ) với n Q/ là: 0(x  3)  24(y  1)  18(z  2)  0 /  (Q ) : 4y  3x  10  0. . Ta coù: ( )  (P / )  (Q / ).. . 25x  32y  26z  55  0 Vậy, phương trình đường thẳng () :   4y  3z  10  0. Caâu 2: Caùch 1: . Boán tam giaùc vuoâng AA / M, BCM, CC/ N, A / D/ N baèng nhau (c.g.c) /.  A M  MC  CN  NA. /.  A / MCN laø hình thoi.. D/. A/. C/. N B/. Trang 16 D. C.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ebook4Me.Net. . Hai hình choùp B/A/MCN vaø B/.A/NC coù chung đường cao vẽ từ đỉnh B/ và SA / MCN  2.SA / NC neân: VB/ .A / MCN  2.VB/ .A / NC..  . 1 1 1 a3 a3 Maø: VB/ .ANC  VC.A/ B/ N  .CC/ .SA/ B/ N  .a. .a.a   VB/ .A/ MCN  . 3 3 2 6 3 1 Ta có: SA/ MCN  .A / C.MN, với A / C  a 3; MN  BC/  a 2 2  SA/ MCN . . a2 6 . 2. 1 Goïi H laø hình chieáu cuûa B/ treân (A/MCN), ta coù: VB/ .A/ MCN  .B/ H.SA / MCN 3 3 2 3.VB/ .A / MCN a a 6 a 6  B/ H   3. :  . SA / MCN 3 2 3. Caùch 2: . . . Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz ñoâi moät vuoâng goùc, A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0), D(0; 0; 0), A/(a; 0; a), B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a),  a   a  M  a; ; 0  , N  0; ; a   2   2    Ta coù: A / C  (a; a;  a), MN  (a; 0; a)   [A / C; MN]  (a2 ; 2a2 ; a2 )  a2 (1; 2; 1)    a2 .n với n  (1; 2; 1).. z / a D. A/. A a. M. x.  Phương trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) với pháp vectơ n : 1(x  0)  2(y  a)  1(z  0)  0. Khoảng cách d từ B/(a; a; a) đến mp(A/MCN): d. a  2a  a  2a 1 4 1. ĐỀ 9 Caâu 1: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: Trang 17. . C a y. D.  (A / MCN) : x  2y  z  2a  0.. . C/. N. 2a a 6  . 3 6. B.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Ebook4Me.Net. x  t x  t '   vaø (d2) : y  3t '  6 (d1) : y  4  t ; z  6  2t z  t '  1   Goïi K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm I(1; -1; 1) treân (d2). Tìm phöông trình tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1). Caâu 2: 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc .. GIẢI Caâu 1:  (d1) coù vectô chæ phöông u1  (1; 1; 2)  (d2) coù vectô chæ phöông u2  (1; 3; 1)     . .  K (d 2 )  K(t / ; 3t /  6; t /  1)  IK  (t /  1; 3t /  5; t /  2)   18  18 12 7  IK  u2  t /  1  9t /  15  t /  2  0  t /   K ;  ;  11  11 11 11  Giả sử () cắt (d1) tại H(t; 4  t; 6  2t), (H  (d1 ))   18 56 59  HK    t;   t;   2t  11 11  11    18 56 118 26 HK  u1  t t  4t  0  t   11 11 11 11   30 7 1  HK   4;  ;    (44;  30;  7). 11 11  11  18   x  11  44  12  Vậy, phương trình tham số của đường thẳng ():  y    30 . 11  7  z  11  7 . Caâu 2: Caùch 1:  Dựng SH  AB  Ta coù: (SAB)  (ABC), (SAB)  (ABC)  AB, SH  (SAB). S.  SH  (ABC) và SH là đường cao của hình chóp.  . Dựng HN  BC, HP  AC   SNH    SN  BC, SP  AC  SPH. B N H. SHN = SHP  HN = HP.. . . C P. Trang 18. A.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Ebook4Me.Net. . AHP vuoâng coù: HP  HA.sin 60o . a 3 . 4. a 3 tg 4 1 1 a 3 a2 3 a3 .tg.  tg  Theå tích hình choùp S.ABC : V  .SH.SABC  . 3 3 4 4 16 Caùch 2:  Dựng SH  AB  Ta coù: (SAB)  (ABC), (SAB)  (ABC)  B, SH  (SAB)  SH  (ABC) . SHP vuoâng coù: SH  HP.tg . . Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc  và ABC đều, nên suy ra H laø trung ñieåm AB. Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz z ñoâi moät vuoâng goùc, H(0; 0; 0), h S a   a  A  ; 0; 0  ; B   ; 0; 0  , 2   2 . .  . . .  a 3  C  0; ; 0  , S(0; 0; h), (h  0). 2   Phöông trình mp (ABC):  z = 0, với pháp vectơ n1  (0; 0;1) Phöông trình mp (SAC): x y z   1 a a 3 h. B H A x. a 2.   (SAC) : 2h 3x  2hy  a 3z  ah 3  0 với n 2  (2h 3; 2h; a 3) (SAC) tạo với (ABC) một góc : 00a 3 a 3 cos    2 2 2 0  0  1. 12h  4h  3a 16h 2  3a2 1 16h2  3a2 2   1  tg   cos2  3a2 3a2 tg2  a 3  h2   h tg 16 4 1 1 a 3 a2 3 a3 tg.  tg . Theå tích hình choùp S.ABC: V  .h.SABC  . 3 3 4 4 16. ĐỀ 10 Caâu 1: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: x  3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9 (1) :   ; ( 2 ):   7 2 3 1 2 1 Trang 19. C a 3 2. y.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Ebook4Me.Net. 1. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (3) đối xứng với (2) qua (1). 2. Xeùt maët phaúng ( : x + y + z + 3 = 0. Vieát phöông trình hình chieáu cuûa (2) theo phöông (1) leân maët phaúng ().   3. Tìm điểm M trên mặt phẳng () để MM1  MM2 đạt giá trị nhỏ nhất biết M1(3; 1; 1) vaø M2(7; 3; 9). Caâu 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc   120o , cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh AB'I vuông BAC tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).. GIẢI Caâu 1: 1. .    . x  3  7t1   (1 ) : y  1  2t1 coù vectô chæ phöông u1  (7; 2; 3) z  1  3t 1   x  7  7t 2 qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) vaø   ( 2 ) :  y  3  2t 2 coù vectô chæ phöông u 2  (1; 2;  1) z  9  t 2  Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân (1) H  (1 )  H(3  7t1; 1  2t1; 1  3t1 )   AH  (4  7t1;  2  2t1;  8  3t1 )   AH  u1   7(4  7t1 )  2(2  2t1 )  3(8  3t1 )  0. B A.  u1 H. .  K. A/ B/. .  t1  0  H(3; 1; 1) Gọi A/ là điểm đối xứng của A qua H  A/(-1; -1; -7) Gọi K là hình chiếu của B trên (1) và B/ là điểm đối xứng của B qua K. Tương tự như trên ta tìm được: 105 204   114 25 22  /  20 K ; ; ;   B  ;   31 31   31 31 31   31   11 74 13  1 1    A / B/   ;  ;    (11;  74; 13)  .a với a  (11;  74; 13) 31  31 31 31  31  Phương trình đường thẳng (3) đối xứng với (2) qua (1) chính là phương trình  đường thẳng A / B/ qua A/ với vectơ chỉ phương a . x 1 y 1 z  7  Vaäy, phöông trình chính taéc (3): .   11 74 13 2. Mặt phẳng () chứa (2) và () // (1)    () coù caëp vectô chæ phöông u1  ( 7; 2; 3), u2  (1, 2,  1)      [u1; u2 ]  (8;  4;  16)  4(2; 1; 4)   4n , với n  (2; 1; 4)   Phương trình mp () qua A(7; 3; 9) ( 2 ) với pháp tuyến n : () : 2x  y  4z  53  0  . Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Ebook4Me.Net. . Ta coù: ()  ()  ( 2/ ) laø hình chieáu cuûa (2) leân () theo phöông (1).. x  y  z  3  0 Vaäy, phöông trình hình chieáu ( 2/ ) :  2x  y  4z  53  0 3. Goïi I laø trung ñieåm M1M 2  I(5; 2; 5)     Ta coù: MM1  MM 2  2MI     MM1  MM2 nhoû nhaát  2MI nhoû nhaát . () M2 I.   .  M laø hình chieáu cuûa I treân () Phương trình đường thẳng () qua I  và vuông góc với () là: x  5  t  y  2  t z  5  t  Goïi M laø giao ñieåm cuûa () vaø () M  ( )  M(5  t; 2  t; 5  t) M  ( )  5  t  2  t  5  t  3  0  t  5  M(0;  3; 0). . Vaäy, ñieåm M caàn tìm: M(0; -3; 0).. .  u. M1. M0. M. Caâu 2: Caùch 1:  Goïi H laø trung ñieåm BC  AH  BC. . ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a  AH . a vaø 2. a 3  BC  a 3 2 IB/ C / vuoâng coù: a2 13a2 IB/ 2  IC/ 2  B/ C / 2   3a2  4 4 BH . .  .  . AIC. B/. C/ A/. a2 5a2 vuoâng coù: AI  IC  AC   a2  4 4 2. 2. 2. 5a2 13a2  2a2   IB/ 2 4 4 / (AB là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a) Vaäy, AB/I vuoâng taïi A. Ta coù: AI 2  AB/ 2 . I B. H C. 30o. A. 1 1 a 5 a2 10 .a 2  Ta coù: SAB/ I  .AI.AB/  . 2 2 2 4. . 1 1 a a2 3 SABC  .AH.BC  . .a 3  2 2 2 4 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB/I), theo công thức chiếu, ta có:. . cos  . SABC a2 3 a2 10 30  :   SAB/ I 4 4 10 Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Ebook4Me.Net. . Caùch 2:  Goïi H laø trung ñieåm BC  AH  BC  ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a. C/. z a. a a 3  BC  a 3 vaø BH  2 2 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0),. A/ B/.  AH . . C A. 60o. z. . . * *. a 3 a   a 3 a  / B B ; ; 0, C  ; ; 0  , A (0; 0; a),  2 2   2 2  a 3 a  /  a 3 a   a 3 a a B/  ; ; a, C   ; ; a, I  ; ;  2 2 2 2 2 2 2       /  a 3 a    a 3 a a  AB   ; ; a  , AI    ; ;   2 2   2 2 2  /  a 3  a 3  a a a 3a2 a2 2a2 .   .  a.     0 Ta coù: AB .AI   2  2  2 2 2 4 4 4  /  Vaäy, AB/I vuoâng taïi A.  AB  AI.  Phöông trình mp(ABC): z = 0 coù phaùp vectô n1  (0; 0; 1)  /  mp (AB/I) coù caëp vectô chæ phöông AB , AI , neân coù phaùp vectô:  /   a2 3a2 3 2a2 3  a2 a2  [AB ; AI]    ;  ;    (1; 3 3;  2 3)   .n 2 4 4  4 4  4  với n 2  (1; 3 3;  2 3) .. . Gọi  là góc giữa (ABC) và (AB/I), ta có:. cos  . 002 3 0  0  1. 1  27  12. Trang 22. I. . 2 3 30  . 10 40. H. y.

<span class='text_page_counter'>(23)</span>