HD de thi Toan KHTN 20082009

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Thi vµo §¹i HäcQuèc Gia Hµ néi-§¹i Häc KHoa häc Tù nhiªn. Vßng 1(Ngµy 12 th¸ng 6 n¨m 2008). C©u 1. x 2+ y 2=2 x x −1 ¿3 + y 3 =1 ¿ ¿ ¿{ ¿ 2 (2 x +7) √ 2 x +7=x +9 x +7. 1)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2)Gi¶i ph¬ng tr×nh. Gi¶i 2. 2. x + y =2 x x −1 ¿3 + y 3=1 ¿ ⇔ ¿ 1) x − 1¿ 2+ y 2 =1(1) ¿ 3 x −1 ¿ + y 3 =1(2) ¿ ¿ ¿ Từ 1 ta có: |x − 1|≤ 1 ⇒|x|≤2 ;| y|≤ 1 lấy PT(1) trừ PT (2) ta đợc PT. (x-1)2(2-x)+y2(1-y)=0 (*) 2 2 ta thÊy x −1 ¿ ≥ 0 ;(2 − x)≥ 0 ;(1 − y )≥ 0 ; y ≥ 0 ¿ để PT(*) thoả mãn thì. x −1 ¿2 (2 − x )=0 ¿ 2 y (1 − y )=0 ¿ ⇔ ¿ x=1 ¿ x=2 ¿ y=0 ¿ y=1 ¿ ¿ ¿ { ¿ ¿ ¿. để thoả mãn hệ ban đầu ta có các nghiệm sau (x;y)=(2;0);(1;1) 2)§KX§: x ≥ − 7 6.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x2 −2 x − 7=0 (1) ¿ x2 +12 x+ 42=0 (2) ¿ ¿ ¿ ¿ (2 x +7) √2 x +7=x 2 +9 x +7 ⇔ x 4 +10 x 3+ 11 x2 −168 x − 294=0 ⇔ (x 4 − 2 x 3 −7 x 2)+(12 x 3 − 24 x 2 − 84 x)+(42 x 2 − 84 x −294 )=0 ¿ ⇔ x 2 .(x 2 − 2 x −7)+12 x .( x 2 − 2 x −7)+42 .( x 2 − 2 x −7)=0 ¿ ⇔(x 2 −2 x −7).(x 2+ 12 x +42)=0 ⇔. PT(2) v« nghiÖm Vậy PT(1) có 2 nghiệm x 1=1− 2 √2 ; x2 =1+ 2 √ 2 đều thoả mãn ĐKXĐ C©u 2 1) Tìm tất cả các số có 4 chữ số : abcd thoả mãn đồng thời 2 điều kiện abcd chia hÕt cho 3 vµ abc − bda=650 2) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn p sao cho ph¬ng tr×nh 2x2 -(p+1)x+p+2008=0 cã c¸c nghiÖm lµ c¸c sè nguyªn Gi¶i: a) abc − bda=650  (100a-90b-10d)+(c-a)=650 (*)()10ca v× c=a nªn (*)  10a-9b-d =65 ⇔ (10a-10b)+(b-d)=65 ⇔ (b-d) ⋮ 5 mµ b-d { −5 ; 0 ; 5 } tõ 10a-9b-d =65 th× b 2 ; nªn b-d<5 *NÕu b=2 th× d=2 hoÆc 7 10a-18-2=65 ¿ 10a-18-7=65 ¿ ⇔ ¿ 10 a=85(loai ) 10a-9b-d =65  ¿ 10 a=90 ¿ ⇔ a=9 ¿ ¿ ¿ ¿ abcd =9297 ⇒ a+b +c +d=27 ⋮ 9. Tho¶ m·n. *NÕu b=1 th× d=1 hoÆc 6. 10a-9-1=65 ¿ 10a-9-6=65 ¿ ⇔ ¿ 10 a=75 (loai) 10a-9b-d =65  ¿ 10 a=80 ¿ ⇔ a=8 ¿ ¿ ¿ ¿ abcd =8186 ❑⇒ a+b+ c+ d=21. kh«ng. ⋮9. lo¹i.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> * NÕu b=0 th× d=0 hoÆc 5. 10a-0-0=65 ¿ 10a-0-5=65 ¿ ⇔ ¿ 10 a=65(loai) 10a-9b-d =65  ¿ 10 a=70 ¿ ⇔ a=7 ¿ ¿ ¿ ¿ abcd =7075 ⇒a+ b+c +d=19 VËy abcd =9297. kh«ng. ⋮9. lo¹i. b) Giả sử phơng trình 2x2 -(p+1)x+p+2008=0 có 2 nghiệm x1;x2 đều là số nguyên Theo định lý Vi-ét ta có ¿ p+1 x 1+ x2= (1) 2 p+2008 x 1 . x2= (2) 2 ¿{ ¿. Theo GT x1,x2, p lµ sè nguyªn nªn Tõ (1) ta cã P lÎ;tõ (2) ta cã p ch½n suy ra không tìm đợc P thoả mãn cả 2 điều kiện trên. C©u 3:. A 2. 1. K. I O 1. 2 1)Chøng minh t©m đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN trùng với tâm đờng B H N C trßn néi tiÕp tam gi¸c ABCM Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC ,BO,CO cắt AN,AM tại K và I Ta cã ∠ ABH= ∠ CAH ( cïng phô víi ∠ ACH) suy ra ∠ B1= ∠ A1 Ta cã ∠ BAK+ ∠ A1=900 ⇒ ∠ BAK+ ∠ B1=900 trong Δ BAK cã ∠ BAK+ ∠ B1=900 ⇒ ∠ BKA=900 hay BK AN. xÐt Δ BAN cã. ¿ BK ⊥ AN ∠ B 1 =∠ B2 BK lµ trung trùc cña AN (1) ⇒ ¿{ ¿. T¬ng tù ta cã CI lµ trung trùc cña AM (2) mµ BK c¾t CI t¹i O (3) Từ (1);(2);(3) ta có O là tâm đờng tròn ngoại tiếp Δ AMN (đpcm) 1) Gọi d1,d2 lần lợt là đờng thẳng vuông góc với BC tại M;N . Chøng minh r»ng.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> d1,d2 tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp tam giác ABC A 2. d1. 1. K. I P. d2. O. Q. 1. B. 2. M. H R. N. C. Ta có OM=ON nên  OMN cân tại O có OR là đờng cao nên OR là trung tuyến suy ra RM=RN=OP=OQ ta chứng minh đợc ∠ PRQ=90 0 nên OP=OQ=OR nên P và Q đều thuộc đờng tròn (O;OR) hay nên d1;d2 tiÐp xóc víi (O;OR) (®pcm) Câu 4 Giả sử a,b là các số nguyên dơng thay đổi thoả mãn ab+1 3 < a+b 2. H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P=. a3 b3 +1 a3 +b3. Gi¶i. ab  1 3   3a  3b  2ab  2  4ab  6a  6b  9  5 a b 2  2a(2b  3)  3(2b  3)  5  (2a  3)(2b  3)  5(*) Tõ (*) ta cã tån t¹i Ýt nhÊt a hoÆc b nhá h¬n 3 v× nÕu a ≥ 3; b ≥3 th× (2a-3)(2b-3) 9 m©u thuÉn víi (*) 3 3 3 b +1 -Gi¶ sö 0<a<3 xÐt a=1 th× a 3b +1 = =1 3 3. a +b. 1+b. xÐt a=2 thay vµo (*) (2a-3)(2b-3)=2b-3<5 suy ra b<4 3 3 3 8 b3 +1 8(b + 8)− 63 63 thay a=2 vµo P ta cã P= a 3b +1 = = =8 − 3 3 3. a +b. 8+b. 8+ b. 8+b3. để P lớn nhất thì b lớn nhất mà b nguyên b<4 suy ra b lớn nhất b=3 khi đó 31 63 63 31 1 P=8 − ≤ 8 − = 3 5 35 5 8+ b mµ . VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P=31 5. khi a=2;b=3 hoÆc a=3;b=2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Thi vµo §¹i HäcQuèc Gia Hµ néi-§¹i Häc KHoa häc Tù nhiªn. Vßng 2(Ngµy 13h¸ng 6 n¨m 2008. C©u 1 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. ¿ 2 x 2 y − y 2 x=1 8 x 3 − y 3=7 (1) ¿{ ¿. 2)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc y=x + √ 2(1− x) víi 0 ≤ x ≤1. Gi¶i 1) ta cã x=0,y=0 kh«ng lµ nghiÖm cña hÖ đặt x=ty ( t R ; t ≠ 0 ). 2. ¿ (1) ⇔ 2 t 2 y 3 − ty 3=1 3 3 3 8 t y − y =7. 2 t −t 1 ⇔ 3 = ⇔8 t 3 −1=14 t 2 −7 t ⇔ 8 t 3 −14 t 2 +7 t −1=0 8 t −1 7 ¿ ¿ ⇔(t −1)(2 t −1)( 4 t −1)=0 ⇔ ¿{ ¿ ¿ 3 2 x − x 3=1 8 x3 − x 3=7  Víi t=1 hay x=y thay vµo (1) ta cã ⇔ x 3=1 ⇔ x= y =1 ¿{ ¿ ¿ 3 4 x − 4 x 3=1 8 x 3 −8 x 3=7  Víi t= 1 hay y=2x thay vµo (1) ta cã 2 ⇔ 0 x 3=1(vonghiem) ¿{ ¿ 1  Víi t= hay y=4x thay vµo (1) 4 ¿ 8 x 3 − 16 x3 =1 8 x 3 −64 x3 =7 −1 3 ⇔x = ⇔ 8 ta cã −1 ¿ x= 2 y=−2 ¿{ ¿ VËy nghiÖm cña hÖ lµ : (x ; y )=(1; 1); −1 ; − 2 2. (. ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2)áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 số không âm 2(1-x) và 1 ta có. √ 2(1− x)≤ 3−2x 3 = 2 2 1 khi 2(1-x)=1 ⇔ x= 2. Nªn. y≤ x+. 2− 2 x +1 3− 2 x = 2 2. .Gi¸ trÞ lín nhÊt cña y= 3 2. ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn). C©u 2 1)T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 2x2 +y2 3xy +3x+2y+2=0 (1) 2) T×m c¸c sè nguyªn d¬ng a,b,c sao cho còng lµ sè nguyªn. P=. ( ab− 1)(bc − 1)(ac −1) abc. Gi¶i (1) ⇔ 2x2+3x(y+1)+y2+2y+2=0 (2) coi PT(2) lµ ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x tham sè y đê PT(2) có nghiệm nguyên điều kiện cần là Δ chính phơng Ta cã Δ=[ 3( y +1) ]2 − 8( y 2 +2 y+ 2)=9 y 2+18 y +9 − 8 y 2 −16 y −16= y 2 +2 y −7 Δ chính phơng; đặt Δ =k2 (k ∈ Z) Ta cã y2+2y+1-8=k2 ⇔ (y+1)2-k2=8 ⇔ (y-k+1)(y+k+1)=8 MÆt kh¸c ⇔ (y-k+1); (y+k+1) cïng tÝnh ch½n lÎ xÐt 8=2.4=(-2).(-4) ta cã Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm (x;y)=(-2;2);(2;-4) b)NÕu P= 0 th× tån t¹i 2 sè b»ng 1 sè cßn l¹i N ❑ NÕu P≠ 0 ( ab− 1)( bc − 1)(ac −1) (ab2 c − ab − bc+1)(ac −1) P= = abc abc a2 b2 c 2 − ab2 c − a2 bc+ ab− abc 2+ bc+ ac −1 P= abc abc(abc −a − b −c )+(ab+ bc+ ca)−1 P= abc 1 1 1 1 P=abc −a − b −c + + + − a b c abc 1 1 1 1 ⇒ + + − ∈Z a b c abc. Ta cã. 1 1 1 1 1 1 1 1 + + − >1 ⇔ + + > >1 a b c abc a b c abc Gi¶ sö 1<c b ≤ a ⇔ 1< 1 + 1 + 1 ≤ 1 + 1 + 1 = 3 ⇔ 3 > 1⇔ c< 3 a b c c c c c c. V× c nguyªn d¬ng 1<c<3 Nªn c=2 ta cã ⇔1< 1 + 1 + 1 ≤ 1 + 1 + 1 = 2 + 1 ⇔ 1 < 2 ⇔ b<4 a b 2 b b 2 b 2 2 b NÕu b=2 Lo¹i nªn b=3 Víi b=3 ta cã ⇔ 1< 1 + 1 + 1 = 1 + 5 ⇔ 1 > 1 ⇔ a<6 a 3 2 a 6 a 6 Thay a= 5 tho¶ m·n VËy (a,b,c)=(1;1;N);(2;3;5) vµ c¸c ho¸n vÞ. C©u3 Trang sau.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> C©u3 Q. A N. O I B. C. M. K. P. 1)Chøng minh ph©n gi¸c gãc KBQ vµ gãc KCQ ®i qua cïng mét ®iÓm trªn PQ xÐt Δ PBK ; ΔPQB.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ¿ ∠ BPK : chung 1 ∠ PBK =∠ PQB(¿ sdcungBK) cã Δ PBK đồng dạng với Δ PQB nên 2 ⇒ ¿{ ¿ PB BK PC CK = (1) tơng tự Δ PCK đồng dạng với Δ PQC nên = (2) PQ BQ PQ CQ Tõ (1)&(2) & PC=PB nªn BK = CK (3) BQ CQ IK BK = (4) mÆt kh¸c do BI lµ ph©n gi¸c gãc KBQ nªn IQ BQ tõ (3) vµ (4) suy ra IK =CK chøng tá IC lµ ph©n gi¸c gãc KCQ(®pcm) IQ CQ. 2) Chøng minh BC //AQ :Ta cã P,M,O th¼ng hµng vµ PO BC gäi PO c¾t AQ t¹i N Ta có Δ PCO vuông tại có CM là đờng cao nên PC2=PM.PO (5) .Mặt khác Δ PCK đồng dạng với Δ PQC nên PC2=PK.PQ(6) Từ (5) & (6) suy ra PM.PO=PK.PQ nên Δ PMK đồng dạng với Δ PQO ( c.g.c) ⇒ ∠ PKM= ∠ POQ ⇒ ∠ MKQ= ∠ NOQ mµ ∠ AOQ=2 ∠ MKQ nªn ∠ AOQ=2 ∠ NOQ , Δ AOQ cân có ON là phân giác nên ON là đờng cao Suy ra ON AQ hay PO AQ Ta cã. ¿ PO ⊥ AQ PO ⊥ BC ⇒BC // AQ ¿{ ¿. (®pcm). C©u 4 Cho ph¬ng tr×nh a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ............an-1x+an=0 (1) Trong đó các hệ số a1,a2,a3,.........,an-1,an chỉ nhận các giá trị 0;hoặc 1;hoặc-1 Vµ a0 0.Chøng minh r»ng nÕu x0 lµ nghiÖm cña (1) th× |x 0|<2. Gi¶i V× x0 lµ nghiÖm cña (1) nªn : a0x0n=-( a1x0 n-1 +a2x0 n-2+ ............an-1x0 +an)  a0 x0n  a1 x0n  1  a2 x0n  2  .........  an  1 x0  an  a1 x0n  1  a2 x0n  2  .........  an  1 x0  an a a a1 n 1 a2 n  2 x0  x0  .........  n  1 x0  n  x0n  1  x0n  2  .........  x0  1 (*) a0 a0 a0 a0.  x0n . Neu : x0 2  x0  1 1 n 0. (*)  x . VËy. ( x0n  1  x0n  2  .........  x0  1)( x0  1). |x n0|≤. x0  1. . x0n  1 x0  1. n 0. |x |−1 ≤ x n −1 v« lý | 0| x −1 | 0|. vËy |x 0|<2 (®pcm).

<span class='text_page_counter'>(9)</span>

<span class='text_page_counter'>(10)</span>