BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

d−¬ng thế hùng

phân tích hệ thanh phẳng có liên kết
nửa cứng, vết nứt v có độ cứng,
khối lợng phân bố ngẫu nhiªn
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 62.44.21.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

Hà Nội 2010


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

d−¬ng thế hùng

phân tích hệ thanh phẳng có liên kết
nửa cứng, vết nứt v có độ cứng,
khối lợng phân bố ngẫu nhiªn
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 62.44.21.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

Ng−êi h−íng dÉn khoa häc:
1. GS. TS. Lê xuân huỳnh

2. pgs.TS. Trần văn liên

Hà Nội 2010


I

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng
được ai cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Tác giả luận án

Dương Thế Hùng


II

MỤC LỤC
Lời cam đoan
Mục lục
Các ký hiệu và viết tắt
Danh mục các bảng biểu, hình vẽ

Trang

Mở đầu……………………………………………………….


1

Chương 1. TỔNG QUAN....................................................................

7

1.1

Về nghiên cứu động lực học ngẫu nhiên…………………...

7

1.2

Về nghiên cứu kết cấu có liên kết nửa cứng và vết nứt…...

11

1.2.1

Mơ hình cơ học của vết nứt…………………………………

11

1.2.2

Mơ hình liên kết nửa cứng ở hai đầu thanh…………………

14


1.2.3

Kết hợp hai mơ hình kết cấu có liên kết nửa cứng và vết nứt
vào một mơ hình chung……………………..………………

15

1.3

Một số kết quả của thế giới và ở Việt Nam có liên quan
đến đề tài nghiên cứu………………………………………..

16

1.4

Một số giả thiết được sử dụng trong luận án….…………..

20

1.5

Mục đích, phương pháp, phạm vi và đối tượng nghiên
cứu …………………………………………………………...

21

1.5.1

Mục đích và phương pháp nghiên cứu …………...………...


21

1.5.2

Phạm vi và đối tượng nghiên cứu …………..………………

22

Chương 2. XÂY DỰNG CÁC BIỂU THỨC KỲ VỌNG VÀ

23

PHƯƠNG SAI CỦA CHUYỂN VỊ VÀ ỨNG LỰC TRONG HỆ
THANH PHẲNG CÓ THAM SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LIÊN
KẾT NỬA CỨNG

2.1
2.1.1

Xác định hàm dạng của phần tử thanh có liên kết cứng ở
hai đầu……………………………………………………….

23

Hàm dạng của phần tử thanh chịu uốn……………………...

23



III
2.1.2

Hàm dạng của phần tử thanh chịu kéo (nén)………………..

27

2.1.3

Hàm dạng của thanh chịu uốn có xét đến yếu tố cản……….

30

2.1.4

Hàm dạng của thanh chịu kéo (nén) có xét đến yếu tố cản…

33

2.1.5

Phần tử thanh chịu uốn và kéo (nén)………………………..

36

Xây dựng MTĐCĐL của phần tử có liên kết cứng ở hai
đầu và có tham số ngẫu nhiên (PTL1)……...………………

36


2.2.1

MTĐCĐL của thanh khi khơng xét đến yếu tố cản………...

36

2.2.2

MTĐCĐL của thanh có xét đến yếu tố cản…………..……..

40

Xây dựng MTĐCĐL của phần tử thanh có liên kết nửa
cứng và có tham số ngẫu nhiên (PTL2, PTL3)……………..

42

2.3.1

Phần tử chịu uốn có liên kết nửa cứng (PTL2)….………….

43

2.3.2

Phần tử chịu kéo (nén) có liên kết nửa cứng (PTL2)….……

50

2.3.3


Phần tử chịu uốn và kéo (nén) có liên kết nửa cứng (PTL2)..

55

2.3.4

Phần tử thanh có liên kết nửa cứng và có vùng cứng (PTL3)

56

Xác định véc tơ lực nút tương đương của phần tử thanh
có liên kết nửa cứng và tham số ngẫu nhiên ……………...

58

2.4.1

Phần tử thanh có liên kết nửa cứng (PTL2)…………………

58

2.4.2

Phần tử có liên kết nửa cứng và có kể đến vùng cứng(PTL3)

58

Chuyển về hệ tọa độ chung…………………………………


59

2.5.1

Các ma trận chuyển hệ tọa độ địa phương về hệ tọa độ
chung………………………………………………………..

59

2.5.2

MTĐCĐL của phần tử trong hệ tọa độ chung………………

59

2.5.3

Véc tơ tải trọng nút của phần tử thanh trong hệ tọa độ chung

62

2.5.4

MTĐCĐL và véc tơ tải trọng nút của cả kết cấu trong hệ tọa
độ chung…………………………………………………….

62

Lựa chọn phương pháp giải bài toán động lực học ngẫu
nhiên………………………………………………………….


63

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6


IV
2.6.1

Nghịch đảo ma trận độ cứng tổng thể ………………………

63

2.6.2

Phương pháp khai triển Neumann…………………………..

63

2.6.3

Xác định biểu thức kỳ vọng và phương sai của chuyển vị

nút…………………………………………………………..

64

2.6.4

Xác định biểu thức kỳ vọng và phương sai của các thành
phần ứng lực………………………………………………...

64

Kết luận chương 2…………………………………………...

66

Chương 3. CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH NGẪU NHIÊN HỆ

67

2.7

THANH PHẲNG CĨ LIÊN KẾT NỬA CỨNG THEO
PHƯƠNG PHÁP MTĐCĐL

Sơ đồ khối của chương trình……………………………….

67

3.1.1


Về chương trình Maple12…………………………………...

67

3.1.2

Sơ đồ khối của phương pháp MTĐCĐL……………………

68

3.1.3

Sơ đồ khối của chương trình TK.mw……………………….

69

Chương trình phân tích hệ thanh phẳng có liên kết nửa
cứng và có yếu tố ngẫu nhiên theo phương pháp MTĐCĐL

70

3.2.1

Mơ tả chương trình TK.mw…………………………………

70

3.2.2

Số liệu đầu vào và kết quả đầu ra…………………………...


71

Kiểm tra độ tin cậy của chương trình TK.mw…………….

72

3.3.1

Kiểm tra số liệu đầu vào và đầu ra của chương trình……….

72

3.3.2

Kiểm tra kết quả tính tốn dầm có vết nứt chịu lực phân bố..

76

3.3.3

Kiểm tra kết quả tính tốn dầm có vết nứt chịu lực tập trung

76

3.3.4

Kiểm tra kết quả tính tốn dầm có vết nứt chịu mơmen…….

76


3.3.5

Kiểm tra tính tốn dầm hai đầu khớp chịu lực phân bố……..

77

3.3.6

Kiểm tra tính tốn dầm có nhiều vết nứt……………………

77

3.3.7

Kiểm tra kết quả tính khung phẳng có vết nứt……………..

79

3.1

3.2

3.3


V
3.3.8
3.4


Kiểm tra kết quả tính khung phẳng có liên kết nửa cứng .....

81

Kết luận chương 3…………………………………………...

85

Chương 4. PHÂN TÍCH DẦM CÓ VẾT NỨT VỚI ĐỘ CỨNG

86

VÀ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ NGẪU NHIÊN

Bài tốn dầm có một vết nứt, EI(x), m(x) ngẫu nhiên….....

86

4.1.1

Bài tốn dầm có một vết nứt, EI(x) ngẫu nhiên………………

86

4.1.2

Khảo sát sự thay đổi của chiều sâu vết nứt, tham số bé ε, tần
số của lực kích thích ω đến giá trị trung bình và phương sai
của chuyển vị, ứng lực………………………...……..………


94

4.1.3

So sánh bài tốn dầm có một vết nứt khi có EI(x) ngẫu nhiên
với bài tốn dầm có một vết nứt khi có m(x) ngẫu nhiên …...

96

Bài tốn dầm có nhiều vết nứt và EI(x), m(x) ngẫu nhiên..

98

4.2.1

Tính tốn giá trị kỳ vọng khi dầm chịu tải trọng tĩnh……...

99

4.2.2

Tính tốn giá trị trung bình và phương sai khi dầm chịu tải
101
trọng động…………………………………………………….

4.1

4.2

4.3


Đánh giá độ tin cậy về bền của dầm có vết nứt chịu uốn…

105

4.3.1

Khoảng an tồn và chỉ số độ tin cậy của phần tử kết cấu……. 105

4.3.2

Xác định độ tin cậy về bền của dầm chịu uốn……………….. 106

4.4

Kết luận chương 4…………………………………………... 108

Chương 5. PHÂN TÍCH KẾT CẤU KHUNG CÓ VẾT

109

NỨT, LIÊN KẾT NỬA CỨNG VỚI ĐỘ CỨNG VÀ
KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ NGẪU NHIÊN
5.1

Bài tốn khung có liên kết nửa cứng………………………

110

5.2


Bài tốn khung có liên kết nửa cứng và có tham số EI(x),
EA(x), m(x) ngẫu nhiên……………………………………

111

Tính tốn giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị…..…

112

5.2.1


VI
Tính tốn giá trị phương sai khi thay đổi tham số bé ε………

114

Bài toán xét đến ảnh hưởng của yếu tố cản, vết nứt, liên
kết nửa cứng và có tham số EI(x),EA(x),m(x) ngẫu nhiên

115

5.3.1

Tính giá trị kỳ vọng của chuyển vị nút khi thay đổi hệ số cản

116

5.3.2


Tính tốn giá trị kỳ vọng và tỉ số giữa độ lệch và kỳ vọng của 118
ứng lực……...………………………………………………...

5.2.2
5.3

5.4

Đánh giá độ tin cây về độ cứng của khung……….……….. 120

5.4.1

Đánh giá xác suất phá hoại theo sơ đồ điện……………….…. 120

5.4.2

Xác định xác suất phá hoại của khung theo điều kiện cứng…. 121

5.5

Kết luận chương 5…………………………………………... 122
KẾT LUẬN CHUNG…………………………………………………..

123

CÁC KIẾN NGHỊ VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO……..

125


DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ………...

126

TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………….

127

Phụ lục 1

Chương trình tính khung phẳng TK.mw được viết trên nền
chương trình Maple12………………………………………….

137

Phụ lục 2

Ứng lực và phương sai ứng lực ở mục 3.3.8 chương 3…………

Phụ lục 3

Chuyển vị và Ứng lực ở mục 5.1 chương 5……………..………


VII
CÁC KÝ HIỆU, VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN
MTĐCĐL

Ma trận độ cứng động lực


VC

Vùng cứng

LKNC

Liên kết nửa cứng

PTL1,PTL2,PTL3 Phần tử loại 1, phần tử loại 2, phần tử loại 3
β, γ, τ

Hệ số trong công thức hàm e mũ

ε1 , ε1 , ε1

Tham số bé

e1, e2, e3

Tham số bé

eu, ev

Ký hiệu phần tử

ρ

Mật độ khối lượng

cphi, cφ , cϕ


Độ cứng lò xo xoay

cu, cu

Độ cứng lò xo chuyển vị dọc trục

cv, cv

Độ cứng lò xo chuyển vị ngang trục

He, He

Ma trận quan hệ giữa chuyển vị của PTL2 và PTL3

Te

Ma trận chuyển tọa độ riêng về hệ tọa độ chung

N

Hàm dạng

Y(x,t)

Chuyển vị ngang trục phần tử

U(x,t)

Chuyển vị dọc trục phần tử


c1 , cc1, CC1

Hệ số cản vật liệu

c2 , c3 , c4

Hệ số cản vật liệu

L

chiều dài phần tử

j

số ảo j = −1

EI

Độ cứng uốn

EA

Độ cứng kéo (nén)

m

Khối lượng trên đơn vị dài



VIII
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU HÌNH VẼ
1- Danh mục các bảng
Bảng 3.1: So sánh giá trị kỳ vọng của chuyển vị theo TK.mw và Sap2000
Bảng 3.2: So sánh giá trị kỳ vọng của ứng lực theo TK.mw và Sap2000
Bảng 3.3: So sánh giá trị kỳ vọng của chuyển vị theo TK.mw và giải tích
Bảng 3.4. Giá trị ứng lực của khung có xét đến ảnh hưởng của vùng cứng
Bảng 3.5. Giá trị ứng lực của khung có xét đến ảnh hưởng của vùng
Bảng 3.6. Giá trị ứng lực của khung có xét đến ảnh hưởng của vùng cứng
Bảng 3.7. Giá trị mơ men tại vị trí số 8 khi cho ω thay đổi
Bảng 4.1. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 1
Bảng 4.2. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 2
Bảng 4.3. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 3
Bảng 4.4. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 4
Bảng 4.5. Giá trị kỳ vọng của ứng lực
Bảng 4.6. Giá trị phương sai của ứng lực
Bảng 4.7. Giá trị kỳ vọng của ứng lực khi thay đổi độ cứng vết nứt
Bảng 4.8. Giá trị phương sai của ứng lực khi thay đổi độ cứng vết nứt
Bảng 4.9. Giá trị kỳ vọng của ứng lực
Bảng 4.10. Giá trị phương sai của ứng lực
Bảng 4.11. Số liệu tính tốn
Bảng 4.12. Kết quả tính độ tin cậy
Bảng 5.1. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị số 10 (ứng với
trường hợp độ cứng liên kết nửa cứng bằng cu=cv=cϕ=123456)
Bảng 5.2. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị số 10 (ứng với
trường hợp độ cứng liên kết nửa cứng bằng cu=cv=cϕ=2*123456)
Bảng 5.3. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị số 10 (ứng với


IX

trường hợp độ cứng liên kết nửa cứng bằng cu=cv=cϕ=0,5*123456)
Bảng 5.4: Tham số bé ε thay đổi
Bảng 5.5. Giá trị kỳ vọng của chuyển vị nút khi có yếu tố cản thay đổi
Bảng 5.6. Giá trị kỳ vọng của chuyển vị thay đổi theo tần số kích thích ω
Bảng 5.7. Giá trị kỳ vọng của chuyển vị thay đổi theo chiều sâu vết nứt
Bảng 5.8. Giá trị kỳ vọng của chuyển vị thay đổi theo liên kết nửa cứng
Bảng 5.9. Giá trị kỳ vọng của ứng lực phần tử 1 và 2
Bảng 5.10. Ảnh hưởng của tỷ số độ lệch/kỳ vọng của ứng lực
Bảng 5.11. Kết quả tính độ tin cậy của khung theo tiêu chuẩn về độ cứng
2- Danh mục các hình vẽ
Hình 1.1. Tích phân trọng số với trường ngẫu nhiên một chiều
Hình 1.2. Tương quan của các tích phân trọng số
Hình 1.3. Mơ hình dầm có nhiều vết nứt được thay bằng các lị xo đàn hồi
Hình 1.4 Thanh có vết nứt mở hai phía và mơ hình lị xo tương đương
Hình 1.5. Mơ hình phần tử thanh có liên kết nửa cứng
Hình 1.6. Mơ hình phần tử thanh có liên kết nửa cứng và vết nứt
Hình 2.1. Mơ hình phần tử thanh chịu uốn
Hình 2.2. Mơ hình phần tử thanh chịu kéo (nén)
Hình 2.3. Mơ hình thanh chịu uốn và kéo (nén)
Hình 2.4. Mơ hình liên kết nửa cứng được coi là một “phần tử lò xo”
Hình 2.5. Mơ hình phần tử thanh chịu uốn có liên kết nửa cứng
Hình 2.6. Mơ hình phần tử thanh chịu kéo (nén) có liên kết nửa cứng
Hình 2.7. Mơ hình Phần tử đồng thời chịu uốn và kéo (nén) có liên kết nửa
cứng
Hình 2.8. Mơ hình phần tử thanh có liên kết nửa cứng có vùng cứng
Hình 3.1. Menu các lệnh của chương trình


X
Hình 3.2. Đưa ra các số liệu dưới dạng biểu thức

Hình 3.3. Đưa kết quả dưới dạng đồ thị
Hình 3.4. Tính tốn khung có ba phần tử
Hình 3.5. Sơ đồ tính dầm có vết nứt chịu tải trọng phân bố
Hình 3.6. Sơ đồ tính dầm có vết nứt chịu lực tập trung
Hình 3.7. Sơ đồ tính dầm có vết nứt chịu mơmen tập trung
Hình 3.8. Sơ đồ dầm hai đầu khớp có vết nứt chịu tải trọng phân bố
Hình 3.9. Sơ đồ dầm có nhiều vết nứt
Hình 3.10. Đồ thị góc xoay tại vết nứt thứ nhất khi cphi1 thay đổi
Hình 3.11. Đồ thị góc xoay tại vết nứt thứ nhất khi cphi2 thay đổi
Hình 3.12. Khung có liên kết nửa cứng
Hình 3.13. Khung liên kết nửa cứng có vùng cứng
Hình 3.14. Biểu đồ chuyển vị và độ lệch của chuyển vị nút số 8
Hình 4.1. Dầm có một vết nứt có tham số EI(x) ngẫu nhiên
Hình 4.2. Dầm conson
Hình 4.3. Chuyển vị nút số 4 thay đổi ứng với tần số thay đổi
Hình 4.4. Phương sai của chuyển vị nút số 4 ứng với tần số thay đổi
Hình 4.5. Phương sai thay đổi ứng với tần số và ε1 thay đổi
Hình 4.6. Dầm hai đầu khớp cố định
Hình 4.7. Dầm một đầu ngàm một đầu khớp di động
Hình 4.8. Dầm hai đầu ngàm
Hình 4.9. Kỳ vọng của chuyển vị nút số 2 khi cφ và ε1 cùng thay đổi
Hình 4.10. Phương sai của chuyển vị nút số 2 khi cφ và ε1 thay đổi
Hình 4.11. Đồ thị kỳ vọng của chuyển vị nút số 2 khi cϕ thay đổi
Hình 4.12. Đồ thị kỳ vọng của chuyển vị nút số 2 khi cϕ thay đổi, ω ở tần
số cao
Hình 4.13. Đồ thị phương sai của chuyển vị nút số 2 khi cϕ thay đổi


XI
Hình 4.14. Phương sai của chuyển vị số 4 thay đổi theo ε1 và ε2 khi


ω=10rad/s
Hình 4.15. Phương sai của chuyển vị số 4 thay đổi theo ε1 và ε2 khi

ω=20rad/s
Hình 4.16. Phương sai của chuyển vị số 4 thay đổi theo ε1 và ε2 khi

ω=100rad/s
Hình 4.17. Dầm có nhiều vết nứt có tham số ngẫu nhiên
Hình 5.1. Tính khung 2 nhịp 5 tầng
Hình 5.2. Tiết diện dầm và cột
Hình 5.3. Khung có liên kết nửa cứng và có tham số ngẫu nhiên
Hình 5.4. Sơ đồ tính khung


 
 
1 
 

MỞ ĐẦU
Cơ sở khoa học và thực tiễn của luận án
Khi phân tích kết cấu thanh, các liên kết dầm-cột thường được giả thiết là
cứng tuyệt đối hoặc là khớp lý tưởng. Tuy nhiên các khảo sát thực tế và các
nghiên cứu thực nghiệm đã chỉ ra rằng, các tiết diện thanh sát vị trí liên kết có
chuyển vị tương đối với nhau, do đó khơng thể xem các liên kết là cứng tuyệt
đối mà phải xem là các liên kết nửa cứng [1], [30], [41], [74], [90].
Mặt khác, trong kết cấu thường xuất hiện các vết nứt, khi tính tốn kết cấu,
các vết nứt này thường được mơ hình hóa bằng các lị xo đàn hồi có độ cứng
hữu hạn [10], [21], [27]. Do đó việc xây dựng mơ hình kết cấu có vết nứt và

có liên kết nửa cứng là một việc cần thiết phản ánh sự làm việc thực của kết
cấu.
Bên cạnh đó, các thơng số đầu vào của hệ kết cấu như độ cứng uốn EI(x),
độ cứng kéo nén EA(x) và phân bố khối lượng m(x) thay đổi theo quy luật
ngẫu nhiên, trong nhiều trường hợp có thể sử dụng mơ hình phân bố chuẩn.
Vì vậy việc kể đến yếu tố ngẫu nhiên sẽ cho ta đánh giá sự làm việc của kết
cấu sát thực và tin cậy hơn.
Việc xét đến đồng thời các yếu tố “liên kết nửa cứng, vết nứt” trong phân
tích “kết cấu có độ cứng và phân bố khối lượng ngẫu nhiên” chưa được đề cập
đến trong các tài liệu hiện có. Từ những yêu cầu thực tế và trên cơ sở tiếp thu
phát triển các kết quả đã công bố của các tác giả nghiên cứu từng yếu tố, đề
tài luận án được hình thành dựa trên các nội dung cơ bản sau đây:
Thứ nhất: Kết cấu có độ cứng uốn EI(x), độ cứng kéo (nén) EA(x) và khối
lượng phân bố m(x) là hàm ngẫu nhiên chứa các tham số bé. Dưới đây gọi
chung là kết cấu có tham số ngẫu nhiên. Các kết quả về nội dung này được
thấy trong các tài liệu [56], [57], [58], [59], [81], [82].
Thứ hai: Kết cấu có liên kết nửa cứng: Đây là hướng nghiên cứu được
 
 


 
 
2 
 

nhiều tác giả quan tâm với việc sử dụng phương pháp chuyển vị để xác định
ma trận độ cứng và lực nút tương đương [1], [29], [30], [41], [74].
Thứ ba: Kết cấu có vết nứt: Đây là hướng nghiên cứu được nhiều tác giả
trong và ngoài nước quan tâm [10], [21], [27], [51], [63], [78]. Kết cấu có vết

nứt thường được mơ hình hóa là lị xo đàn hồi có độ cứng phụ thuộc vào độ
sâu của vết nứt [23], [27], [28], [44], [51], [63], [68], [69], [78].
Nếu kết hợp ba hướng nghiên cứu trên khi phân tích kết cấu có liên kết nửa
cứng, vết nứt và tham số ngẫu nhiên sẽ mang lại nhiều kết quả phong phú và
phản ánh sát hơn sự làm việc thực tế của kết cấu, thông qua việc xem xét sự
ảnh hưởng lẫn nhau của các yếu tố vết nứt, liên kết nửa cứng, ngẫu nhiên. Tuy
vậy cho đến nay vấn đề này vẫn chưa thấy cơng trình nào cơng bố.
Tác giả đã chọn tiêu đề của luận án là “Phân tích hệ thanh phẳng có liên
kết nửa cứng, vết nứt và có độ cứng, khối lượng phân bố ngẫu nhiên”.
Luận án được thực hiện tại Bộ môn Cơ học kết cấu, Trường Đại học Xây
dựng dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Lê Xuân Huỳnh và PGS. TS.
Trần Văn Liên.
Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu
Luận án sẽ xây dựng mơ hình tổng qt để tính tốn kết cấu thanh phẳng có
vết nứt, liên kết nửa cứng và chứa tham số ngẫu nhiên là độ cứng uốn EI(x),
độ cứng kéo (nén) EA(x) và phân bố khối lượng m(x). Trong các trường hợp
riêng sẽ nhận lại được từng mơ hình do các tác giả khác đã cơng bố. Từ đó
luận án sẽ phân tích số để xác định các đặc trưng xác suất, cụ thể là giá trị kỳ
vọng và phương sai của chuyển vị (hoặc ứng lực). Sau đó luận án sử dụng các
phương pháp đã biết để đánh giá độ tin cậy của kết cấu.
Nhiệm vụ đặt ra của đề tài luận án gồm:
1- Xây dựng ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh có liên kết cứng
ở hai đầu với các biến ngẫu nhiên là độ cứng chống uốn EI(x), độ cứng
chống kéo (nén) EA(x) và phân bố khối lượng m(x). Trên cơ sở đó xây
 
 


 
 

3 
 

dựng ma trận độ cứng động lực cho phần tử thanh có liên kết nửa cứng
ở hai đầu.
2- Ghép nối các phần tử thanh để có được ma trận độ cứng động lực và lực
nút tương đương của toàn bộ kết cấu. Ma trận độ cứng động lực của kết
cấu lúc này gồm hai thành phần: tiền định và ngẫu nhiên.
3- Do ma trận độ cứng động lực của kết cấu có các thành phần ngẫu nhiên,
nên luận án sẽ dùng phương pháp khai triển Neumann để tìm biên độ
phức của các chuyển vị nút, từ đó tìm giá trị ứng lực trong kết cấu.
4- Để kiểm tra tính đúng đắn của thuật tốn, luận án sẽ lập trình tính tốn
kết cấu khung phẳng có liên kết nửa cứng và có tham số ngẫu nhiên để
tìm ra biên độ phức của chuyển vị nút và của ứng lực trên nền chương
trình Maple12. Trong một số bài tốn cụ thể tác giả cịn lập chương
trình đánh giá độ tin cậy về bền và cứng của kết cấu.
Nội dung luận án được trình bày trong năm chương:
Chương 1: Tổng quan
Chương một trình bày tổng quan các kết quả nghiên cứu đã công bố
của các tác giả trong và ngoài nước về các nội dung liên quan đến đề tài
của luận án là liên kết nửa cứng, vết nứt và độ cứng uốn EI(x), độ cứng
kéo (nén) EA(x) và khối lượng m(x) phân bố ngẫu nhiên.
Chương 2: Xây dựng các biểu thức kỳ vọng và phương sai của chuyển vị và
ứng lực trong hệ thanh phẳng có tham số ngẫu nhiên và liên kết nửa cứng.
Chương hai trình bày những tính tốn cụ thể để xây dựng ma trận độ
cứng động lực của phần tử thanh có liên kết cứng ở hai đầu, sau đó là
phần tử thanh có liên kết nửa cứng. Thiết lập ma trận độ cứng động lực
trong hệ tọa độ chung và các véc tơ lực nút tương đương của kết cấu. Sử
dụng phương pháp khai triển Neumann để nghịch đảo ma trận độ cứng
động lực tổng thể, ta nhận được biểu thức kỳ vọng và phương sai của

 
 


 
 
4 
 

chuyển vị nút và của ứng lực.
Chương 3: Chương trình phân tích ngẫu nhiên hệ thanh phẳng có liên kết
nửa cứng theo phương pháp ma trận độ cứng động lực.
Chương ba là bước cụ thể hóa các nội dung đã trình bày ở chương hai
thơng qua việc lập thuật tốn và chương trình tính tốn trên nền Maple
Version 12. Việc nhập số liệu, các bước tính tốn và việc đưa ra kết quả
tính tốn được viết gọn trong một File chương trình Maple có tên là
TK.mw. Kết quả của chương trình TK.mw cho ta giá trị kỳ vọng và
phương sai của chuyển vị nút, giá trị kỳ vọng và phương sai của ứng lực.
Chương ba cũng tiến hành kiểm tra độ tin cậy của chương trình TK.mw
thơng qua các bài tốn cụ thể.
Chương 4: Phân tích dầm có vết nứt với độ cứng và khối lượng phân bố
ngẫu nhiên.
Dầm là kết cấu cơ bản, là đối tượng hay gặp trong lý thuyết và trong
thực tế tính tốn. Chương bốn sẽ phân tích sự làm việc của dầm, được
xem là kết cấu bị nứt mà không xem xét đến ảnh hưởng của yếu tố liên
kết nửa cứng.
Khi xem xét ảnh hưởng của vết nứt trong dầm, ta giả thiết vết nứt có
vị trí và độ sâu đã được biết trước, nghĩa là, ta thực hiện bài tốn kiểm
tra dầm có vết nứt, nhằm phân tích ảnh hưởng của các thơng số như liên
kết tại gối tựa, ảnh hưởng của vị trí và độ sâu vết nứt, ảnh hưởng của tần

số lực kích thích v.v… đến giá trị chuyển vị và ứng lực của dầm. Kết quả
thu được sẽ góp một phần tạo ra cơ sở dữ liệu cho bài toán chẩn đốn
dầm có vết nứt.
Chương bốn sẽ nhận được các kết quả phân tích cụ thể cho các bài
tốn khác nhau của dầm và đánh giá độ tin cậy về độ bền của dầm chịu
uốn.

 
 


 
 
5 
 

Chương 5: Phân tích kết cấu khung có vết nứt, liên kết nửa cứng với độ
cứng và khối lượng phân bố ngẫu nhiên.
Kết cấu khung gắn với sự hình thành mối liên kết giữa dầm và cột
được xem có liên kết nửa cứng – thường hay gặp trong kết cấu thép hay
kết cấu bê tông cốt thép mà liên kết dầm-cột có sự cấu tạo đặc biệt. Vết
nứt hình thành trong dầm hay cột của kết cấu khung sẽ là hình ảnh của
mối nối giữa các đoạn dầm hay đoạn cột, hoặc là do các khuyết tật như
ăn mòn, rạn nứt, v.v…
Để đánh giá sự thay đổi của chuyển vị, ứng lực trong kết cấu khung
khi có sự hiện diện của vết nứt, liên kết nửa cứng và có tham số ngẫu
nhiên về độ cứng và phân bố khối lượng, chương năm sẽ xem xét một số
vấn đề sau: Kết cấu có liên kết nửa cứng và EI(x), EA(x), m(x) ngẫu
nhiên; Kết cấu có yếu tố cản, vết nứt, liên kết nửa cứng và EI(x),
EA(x), m(x) ngẫu nhiên; Đánh giá xác suất phá hoại của khung theo điều

kiện cứng.
Phần cuối là kết luận, kiến nghị, hướng nghiên cứu tiếp theo.
Luận án đã đạt được những kết quả mới như sau:
1. Kết hợp ba mơ hình tính tốn hệ thanh phẳng có vết nứt, liên kết nửa cứng
và phân bố ngẫu nhiên về độ cứng EI(x), EA(x) và khối lượng m(x) vào
một mơ hình chung. Kết quả của mơ hình chung là đã xây dựng được các
ma trận và các biểu thức:
- Ma trận độ cứng động lực D, DLK với sự bổ sung của ma trận hiệu chỉnh
B và KV thể hiện đặc trưng của liên kết nửa cứng và vết nứt;
c

- Véc tơ tải trọng nút, các biểu thức kỳ vọng và phương sai của chuyển vị,
ứng lực của phần tử;
2. Xây dựng sơ đồ thuật toán và lập chương trình tính kết cấu khung phẳng có

 
 


 
 
6 
 

tên TK.mw trên nền Maple12. Đặc điểm của chương trình TK.mw:
- Có khả năng phân tích tĩnh và động kết cấu khung phẳng có vết nứt, liên
kết nửa cứng và có chứa ba tham số ngẫu nhiên là độ cứng uốn EI(x), độ
cứng kéo (nén) EA(x) và phân bố khối lượng m(x).
- Chương trình đã được kiểm nghiệm, so sánh với kết quả đã cơng bố
trong trường hợp tính tốn tiền định (khi ε=0) bằng SAP2000 và nghiệm

giải tích. Kết quả đáng tin cậy.
3. Sử dụng chương trình TK.mw luận án đã xác định kỳ vọng và phương sai
của chuyển vị và ứng lực của dầm và khung chịu tải trọng tĩnh và động
dạng điều hịa có xét đến cản cho các bài tốn:
- Dầm có vết nứt;
- Khung có liên kết nửa cứng;
- Khung có liên kết nửa cứng và vết nứt;
- Từ đó xác định độ tin cậy về độ bền của dầm có vết nứt chịu uốn và xác
định độ tin cậy của khung về độ cứng.

 
 


 
 
7 
 

Chương một
TỔNG QUAN
Bài toán cơ học, theo viện sỹ người Nga Болотин В. В [87], [88], có thể
khái quát hóa theo mơ hình sau đây:  
Biến trạng thái x∈X của hệ cơ học liên hệ với tải trọng và tác động ngồi
d∈D thơng qua mơ hình hố A dưới dạng:
Ax=d

(1.1)

trong đó X là không gian của các tham số chưa biết x, D là khơng gian của

các tác động bên ngồi d. Không gian D bao gồm cả những dữ kiện thực
nghiệm đáng tin cậy và các trị số tiên đoán nhờ áp dụng phép tốn A: X→D.
Ta nói A là mơ hình hố, A(x) là mơ tả về các đại lượng đo lường cần thực
hiện. Trong các bài toán cơ học, X là biến trạng thái (chuyển vị, ứng suất,
biến dạng,...), D là tải trọng hay tác động ngồi, cịn A là đặc trưng của hệ
thống hay kết cấu được thể hiện bằng các phương trình đại số hay các phương
trình vi phân cùng với các điều kiện biên hay ban đầu tương ứng.
Việc giải quyết các bài toán của cơ học xem như đi tìm một trong ba đại
lượng trong phương trình (1.1).
1.1. Về nghiên cứu động lực học ngẫu nhiên
Trong bài tốn cơ học ngẫu nhiên, phương trình (1.1) cần được giải quyết
khi biết trước đặc trưng xác suất của hai trong ba đại lượng này, cần phải tìm
đại lượng cịn lại.
Tính tốn theo mơ hình ngẫu nhiên, nói chung, được cho là cung cấp nhiều
thơng tin về điều kiện làm việc thực và ứng xử của hệ hơn khi tính tốn theo
mơ hình tiền định. Với việc cung cấp nhiều thơng tin hơn, người kỹ sư có thể
thiết kế kết cấu có chi phí thấp nhưng độ an toàn cao hơn sau khi đánh giá

 
 


 
 
8 
 

được độ tin cậy theo các chỉ tiêu đã định sẵn. Tuy nhiên, do sự phức tạp của
tính tốn nên tuỳ theo hệ kết cấu và ý đồ đặt ra của người sử dụng, người ta
cần lựa chọn tính tốn theo mơ hình ngẫu nhiên cho phù hợp.

Khi nghiên cứu những hệ cơ học ngẫu nhiên, ta thường phải xét đến những
tham số ngẫu nhiên, thường do hai nguyên nhân: một là, do sự thay đổi của
những yếu tố ngẫu nhiên từ bên ngoài gọi là các tác động ngẫu nhiên; hai là,
những biến đổi từ các thông số và đặc tính hình học của hệ gọi là các biến
ngẫu nhiên bên trong hệ kết cấu.
Ví dụ về các tác động ngẫu nhiên (là tham số d trong phương trình (1.1)):
tải trọng gió lên ngơi nhà cao tầng và cầu, tải trọng sóng lên các kết cấu ngồi
khơi và các tàu biển, tải trọng lên hệ giảm sóc của xe cộ đi trên đường gồ ghề
và tác động lên kết cấu nền móng khi chịu động đất, các thay đổi ngẫu nhiên
này được mô tả tương đối cụ thể trong các tài liệu [15], [72], [83].
Các biến ngẫu nhiên bên trong hệ kết cấu (là mơ hình hóa A trong phương
trình (1.1)) được thể hiện ở các thơng số như kích thước hình học, hệ số đàn
hồi, mật độ khối lượng, hệ số cản của vật liệu trong kết cấu…Theo hướng này
có một số kết quả nghiên cứu đã cơng bố [56], [57], [58], [59], [81], [82].
Luận án này sẽ xem xét các biến ngẫu nhiên thuộc nhóm bên trong là độ cứng
và phân bố khối lượng để áp dụng cho kết cấu thanh có vết nứt với vị trí,
chiều sâu xác định và có liên kết nửa cứng với các hệ số độ cứng đàn hồi xác
định.
Người ta thường dùng các phương pháp sau để giải bài toán cơ học ngẫu
nhiên: phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp ma trận chuyển, phân tích
năng lượng thống kê và phương pháp phần tử biên. Nakagiri (1987) [75] và
Brenner (1991) [50] đưa ra cách tính tốn kết cấu có yếu tố ngẫu nhiên.
Benaroya và Rehak (1988) [49], Shinozuka và Yamazaki (1988) [79], Der
Kiureghian et al (1991) [60]… tập trung vào phương pháp phần tử hữu hạn và
kỹ thuật máy tính trong phân tích động học của kết cấu.
 
 


 

 
9 
 

Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp tương đối phổ biến và
tổng quát để giải bài toán cơ học ngẫu nhiên. Gần đây, người ta đã phát triển
phương pháp độ cứng động lực là sự mở rộng của phương pháp phần tử hữu
hạn trong các bài toán động để giải các bài toán tiền định và ngẫu nhiên. Luận
án này sẽ áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng độ cứng động lực
ngẫu nhiên để phân tích kết cấu khung phẳng.
Luận án sử dụng phương pháp giải bài toán động lực học ngẫu nhiên gồm
các tích phân có chứa biến ngẫu nhiên, gọi là “tích phân trọng số”, được sử
dụng trong các tài liệu [56], [57], [58], [59], [81], [82]. Khái niệm tích phân
trọng số được trình bày tóm tắt dưới đây [82].
Tích phân trọng số (weighted integrals)

Hình 1.1. Tích phân trọng số với trường ngẫu nhiên một chiều

Xét một trường ngẫu nhiên X(x) một chiều, đồng nhất, liên tục và phân
phối chuẩn Gauss như trên hình 1.1. Trường ngẫu nhiên này có giá trị kỳ
vọng bằng khơng, có hàm tự tương quan Rxx(ξ). Tích phân trọng số theo hàm
trọng số tiền định f(x) trong miền con của V được định nghĩa như sau:
X f ( xc' ) = ∫ f (u '− xc' ) X (u ')du '

(1.2)

V

Trong đó xc’ biểu thị một điểm trong miền V, u’ và xc’ là tọa độ trong hệ
tọa độ tổng thể. Phương trình (1.2) biểu thị tích phân trọng số Xf của biến


 
 


 
 
10 
 

ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, vì là kết quả tích phân của hàm ngẫu nhiên
gốc X(x). Hình 1.1 minh họa trường ngẫu nhiên một chiều, miền xác định có
độ rộng là T và xc’ được lựa chọn là tâm của miền xác định, trong trường hợp
này, phương trình (1.2) có thể được viết dưới dạng tọa độ địa phương ξ như
sau:
T /2

X f ( xc' ) =

∫

f (ξ ) X (ξ + xc' )dξ

(1.3)

−T /2

Đặc trưng của tích phân trọng số:
- Kỳ vọng:
E[ X f (xc' )] = 0


(1.4)

- Phương sai :
Var[ X f ( xc' )] =

T T
2 2

∫∫

f (ξ1 ) f (ξ2 ) RXX (ξ2 − ξ1 )dξ1dξ2

(1.5)

−T −T
2 2

Từ (1.5) thấy rằng hàm tương quan của tích phân trọng số khơng phụ thuộc
vào tọa độ vị trí xc’.
Véc tơ tích phân trọng số Xi(x’ci) mà thành phần thứ k là tích phân trọng số
của hàm tiền định fk(x); (k=1,2,…,N) được định nghĩa qua miền Vi như sau:
X i ( xci' ) = { X f 1 ( xci' )

X f 2 ( xci' ) ...

X fN ( xci' )}

T


(1.6)

Véc tơ này gồm N biến ngẫu nhiên được tính từ trường ngẫu nhiên gốc và
do đó có sự tương quan lẫn nhau.
Ma trận tương quan của véc tơ tích phân trọng số Xi(x’ci) trong miền con Ti
và Tj như trong hình 1.2, được tính theo cơng thức:

{

CXi X j

}

nm

= E ⎡⎣ X i ( xci' ) X tj ( xcj' ) ⎤⎦

nm

=

Ti
2

Tj
2

∫ ∫

f n (ξ i ) f m (ξ j ) RXX (ξ j − ξ i + Δ ij ) d ξ i d ξ j


(1.7)

− Ti − T j
2 2

 
 


 
 
11 
 

Trong đó Δij biểu thị khoảng cách quan hệ giữa miền con Vi và Vj và bằng
( xcj' − xci' ) .

Hình 1.2. Tương quan của các tích phân trọng số

1.2. Về nghiên cứu kết cấu thanh có liên kết nửa cứng và vết nứt
1.2.1. Mơ hình cơ học của vết nứt
Một dạng hư hỏng cục bộ hay gặp nhất trong các cấu kiện dầm, cột, bản
sàn của cơng trình là sự xuất hiện và hình thành các vết nứt. Khi thiết kế, các
phần tử kết cấu được coi là liên tục. Khi có vết nứt, tính chất cơ lý, độ cứng
của thanh có những gián đoạn nhất định, khơng cịn tính liên tục. Chuyển vị
của mặt cắt hoặc tiết diện nằm sát ở hai bên vết nứt khơng cịn được liên tục
mà sẽ có chuyển vị tương đối với nhau, nói cách khác, chúng được liên kết
với nhau bằng các liên kết mềm, có độ cứng hữu hạn. Như thế, vết nứt được
mơ hình hố thành những liên kết mềm, mà để đơn giản và phù hợp chung với

sơ đồ tính của kết cấu, ta có thể lấy là những liên kết đàn hồi tuyến tính:
chuyển vị tỷ lệ với tác động. Đối với hệ thanh, vết nứt được mơ phỏng bằng
các lị xo có độ cứng đàn hồi tương đương.
Năm 1978, Adams R.D., Cawley P. [47] đề xuất mơ hình lị xo để mơ tả hư
hỏng của dầm nhưng độ cứng của lò xo vẫn còn là một ẩn số chưa xác định.
Năm 1982, Ju F.D. [67] đã tìm mối liên hệ giữa tham số độ cứng này với mức
độ sâu vết nứt từ lý thuyết Cơ học phá huỷ. Các tác giả tiếp theo đã phát triển
mô hình lị xo cho các trường hợp khác nhau và có cả những nghiên cứu thực
nghiệm nhằm kiểm tra tính đúng đắn của mơ hình này [20], [21], [23]. Dưới

 
 


 
 
12 
 

đây, các mơ hình lị xo đàn hồi sẽ được dùng để mô tả hư hỏng trong các dầm
tiết diện chữ nhật có nhiều vết nứt. Đối với các tiết diện khác như hình trịn,
có thể tìm thấy mơ hình lị xo của vết nứt trong tài liệu [44].
Mơ hình dầm phẳng có nhiều vết nứt mở một phía
 
 

....

a2 


a1 

an 

h 

k1 

k2 

 

 

 

 

 

 

kn 
..

 
x=0 

x=L 


Hình 1.3. Mơ hình dầm có nhiều vết nứt được thay bằng các lị xo đàn hồi

Xét dầm có chiều dài L, tiết diện ngang hình chữ nhật có chiều rộng b,
chiều cao h, diện tích tiết diện A=b×h, mơmen qn tính I, môđun đàn hồi
Young E, hệ số Poisson ν. Trên dầm có n vết nứt mở 1 phía tại x1,x2,...,xn với
độ sâu a1,a2,...,an (hình 1.3) trong đó x0 = 0 < x1 < x 2 <.... < x n −1 < x n < L = x n +1 .
Đặt z = aj/h. Khi đó vết nứt tại vị trí xj được mơ hình hố bằng lị xo đàn hồi
có độ cứng, theo tài liệu [10] có dạng:
1 6π (1 −ν 2 )h
=
Ic ( z ) ; Ic ( z ) = 0.6272z2 −1.04533z3 + 4.5948z4 − 9.973z5 + 20.2948z6 −
Kj
EI
(1.8a)
− 33.0351z7 + 47.1063z8 − 40.7556z9 + 19.6z10

hoặc có dạng:
1
= 5.346hIc ( z ) ; Ic ( z ) = 1.8624z2 − 3.95z3 + 16.375z4 − 37.226z5 + 76.81z6 −
Kj
(1.8b)
−126.9z7 + 172z8 −143.97z9 + 66.56z10

Mơ hình thanh khơng gian có nhiều vết nứt mở hai phía
Xét thanh có chiều dài L, tiết diện hình chữ nhật có chiều rộng b và chiều
cao h, môđun đàn hồi E, hệ số Poisson ν. Trên thanh có vết nứt mở 2 phía với
a là độ sâu vết nứt (hình 1.4), γ =

a
là tỷ số giữa chiều sâu vết nứt mở 2

h/2

phía với một nửa chiều cao thanh. Khi đó, vết nứt tại vị trí xj được mơ hình