Giai PT vo ty cap THCS

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. môc lôc a . më ®Çu................................................................................................ 1/ Lí do chọn đề tài ..................................................................................... 2/ Mục đích nghiên cứu đề tài ................................................................... 3/ Ph¹m vi nghiªn cøu............................................................................... 4/ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu........................................................................ b . Nội dung đề tài.............................................................................. 1/ C¬ së lý luËn............................................................................................ 2/ T×nh h×nh thùc tiÔn................................................................................. 3/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh..................................................... 3.1 Kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh v« tØ............................................................... 3.2 Ph¬ng ph¸p chung.............................................................................. 3.3 ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n...................................... a. Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa ............................................................ b. Phơng pháp đa về pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối .............. c. Phơng pháp đặt ẩn phụ ....................................................................... d. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ............................................... e. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh .................................................. g. Phơng pháp bất đẳng thức................................................................... h.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.................................. i. Ph¬ng ph¸p sö dông dÊu “ = ” ë B§Tkh«ng chÆt............................. k. Mét sè PP kh¸c....................................................................................... 4/ KÕt qu¶..................................................................................................... c . kÕt luËn ........................................................................................... d - tµi liÖu tham kh¶o .................................................................... Trang 2 Trang 2 Trang 2 Trang 3 Trang 3 Trang 4 Trang 4 Trang 4 Trang 5 Trang 5 Trang 5 Trang 5 Trang 5 Trang 8 Trang 10 Trang 13 Trang 16 Trang 18 Trang 20 Trang 21 Trang 23 Trang 24 Trang 26 Trang 27. a. më ®Çu . 1. Lí do chọn đề tài : To¸n häc lµ m«n häc cã øng dông trong hÇu hÕt trong tÊt c¶ c¸c ngµnh khoa học tự nhiên cũng nh trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội. Vì vậy toán học có vị trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân trÝ .To¸n häc kh«ng chØ cung cÊp cho häc sinh (ngêi häc )nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n,nh÷ng kÜ n¨ng tÝnh to¸n cÇn thiÕt mµ cßn lµ ®iÒu kiÖn chñ yÕu rÌn luyÖn kÜ n¨ng t duy logic,mét ph¬ng ph¸p luËn khoa häc . Trong viÖc d¹y häc to¸n th× viÖc t×m ra ph¬ng ph¸p d¹y häc vµ gi¶i bµi tËp toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phơng pháp dạy häc gãp phÇn h×nh thµnh vµ vµ ph¸t triÓn t duy cña häc sinh .§ång thêi th«ng qua việc học toán học sinh đợc bồi dỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy để giải bài tập toán , đặc biệt là giải phơng trình vô tỉ . Hiện nay ngay từ lớp 7 học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ Q thành tập số thực R .Trong khi đó giáo viên khi dạy phơng trình vô tỉ thì ít khai. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. thác phân tích đề bài , mở rộng bài toán mới, dẫn đến học sinh khi gặp bài toán về giải phơng trình vô tỉ là lúng túng hoặc cha biết cách giải hoặc giải đợc nhng cha chặt chẽ mà còn mắc nhiều sai lầm về tìm tập xác định, khi nâng lên luỹ thừa, đa biểu thức ra ngoài dấu giá trị tuyệt đối . V× vËy ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy cho häc sinh th«ng qua viÖc gi¶i ph¬ng trình vô tỉ là cần thiết cho nên tôi xin đợc trình bày một phần nhỏ để khắc phục t×nh tr¹ng trªn vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng häc m«n to¸n cña häc sinh ë trêng THCS.. 2. Mục đích nghiên cứu của đề tài - Trang bÞ cho häc sinh mét sè kiÕn thøc vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ nh»m n©ng cao năng lực học môn toán,giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ. - Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham khảo giúp học sinh giải đợc một số bài tập . - Giải đáp đợc những thắc mắc, sữa chữa đợc những sai lầm hay gặp khi giải phơng trình vô tỉ trong quá trình dạy học . - Gióp häc sinh n¾m v÷ng mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n vµ ¸p dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập . Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của viÖc häc to¸n vµ häc tèt h¬n c¸c bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ .§ång thêi gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc .. 3. Ph¹m vi nghiªn cøu- §èi tîng nghiªn cøu : Ph¸t triÓn n¨ng lùc, t duy cña häc sinh th«ng qua c¸c bµi to¸n gi¶i ph¬ng trình vô tỉ đối với học sinh THCS. Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh khối 9 trong các giê luyÖn tËp ,«n tËp cuèi k× ,cuèi n¨m vµ cho c¸c k× thi ë trêng ,thi vµo cÊp 3.. 4. C¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vµ tiÕn hµnh : 4.1. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu : Tham kh¶o thu thËp tµi liÖu Ph©n tÝch,tæng kÕt kinh nghiÖm . KiÓm tra kÕt qu¶ chÊt lîng häc sinh . 4.2.Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh :. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. Th«ng qua c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n ®a ra ph¬ng ph¸p gi¶i vµ kh¾c phôc nh÷ng sai lÇm hay gÆp , c¸c d¹ng bµi tËp tù gi¶i .. b- nội dung đề tài 1/ C¬ së lý luËn: Trong đề tài đợc đa ra một số phơng trình vô tỉ cơ bản phù hợp với trình độ cña häc sinh THCS. Trang bÞ cho häc sinh mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n ¸p dông để làm bài tập . Rót ra mét sè chó ý khi lµm tõngph¬ng ph¸p . Chän läc mét sè bµi tËp hay gÆp phï hîp cho tõng ph¬ng ph¸p gi¶i , c¸ch biến đổi. Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến phơng trình vô tỉ . Tôi hi vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh ở trờng THCS trong việc học và giải phơng trình vô tỉ. Qua đó các em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc tình trạng định hớng giải bài toán sai hoặc còn lúng túng trong việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực hơn đạt kết quả cao trong kiểm tra. 2/ T×nh h×nh thùc tÕ 2.1. KÕt qu¶: Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trớc khi áp dụng đề tài với 40 học sinh tôi thÊy kÕt qu¶ tiÕp thu vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ nh sau: §iÓm díi 5 SL % 20 50%. SL 14. §iÓm 5 - 6 % 35%. §iÓm 7 - 8 §iÓm 9 - 10 SL % SL % 5 12,5% 1 2,5%. 2.2. Nguyªn nh©n cña thùc tÕ trªn: Đây là dạng toán tơng đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh cha đợc trang bÞ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i , nªn viÖc suy luËn cßn h¹n chÕ vµ nhiÒu khi kh«ng có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các em cµng khã gi¶i quyÕt.. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. 3/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh 3.1. Kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh v« tØ 3.1.1. Kh¸i niÖm: Ph¬ng tr×nh v« tØ lµ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu c¨n .. 3.1.2. C¸c vÝ dô : a) √ x −1=1 b) √ 3 x +7 − √ x +1=2 c) x − x +3 ❑√ x2 − x +1 =3 d). ¿ 3 3 x √ x −1 √ x 2 − 1 − =4 √3 x 2 −1 √3 x+ 1 ¿. 3. 2.Ph¬ng ph¸p chung : §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n ta t×m c¸ch khö dÊu c¨n . Cô thÓ : - T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh . - Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học. - Giải phơng trình vừa tìm đợc . - So s¸nh kÕt qu¶ víi §KX§ råi kÕt luËn nghiÖm . 3.3. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n:. a. Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa (B×nh ph¬ng hoÆc lËp ph¬ng hai vÕ ph¬ng tr×nh ): a.1. C¸c vÝ dô : * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : √ f (x )=g(x ) VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x+1=x −1 (1) §KX§ : x+1 0 ⇔ x -1 Víi x -1 th× vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh kh«ng ©m .§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm thì x-1 0 ⇒ x 1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình : x+1 = (x-1)2 ⇔ x2 -3x= 0 ⇔ x(x-3) = 0 . ¿ x=0 x=3 ¿{ ¿. ChØ cã nghiÖm x =3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x 1 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3 .. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. VÝ dô 2:. §KX§ :. Gi¶i ph¬ng tr×nh:. x+ √ x −1=13. ¿ (1) ⇔ √ x − 1=13 − x ¿ ¿ x≥1 ⇔ x ≤ 13 ⇔ ¿{ ¿. ¿ x − 1≥ 0 13 − x ≥ 0 ¿{ ¿. 1. x ≤ 13. (2). Bình phơng hai vế của (1) ta đợc : 2. 13 − x ¿ x −1=¿ 2. ⇔ x − 27 x+170=0. Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm x 1=10 vµ x 2=17 .ChØ cã x 1=10 tho· m·n (2) . VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x=10 * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : √ f (x )+ √ h( x)=g (x) Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ 1− x − √ 2+ x=1 (1) ⇔ √ 1− x=1+ √ 2+ x. VÝ dô 3:. 1− x ≥ 0 2+ x ≥0. §KX§:. x≤1 x ≥ −2. ⇔. ⇔. −2 ≤ x ≤1. Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc : 1− x=1+2 √2+ x +2+ x. ⇔. 2. x + x −1=0. Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm x= −1− √ 5 2. tho· m·n (2). VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x= −1− √ 5 2. 3. VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+1 + √3 7 − x=2 Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc:. (1). 3. x+ 1+7 − x+ 3 √ (x+1)(7 − x ). 2=8 ⇔. (x-1) (7- x) = 0 x =-1 ⇔ x =7 (đều thoả mãn (1 )). VËy x=−1 ; x=7 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : VÝ dô5: ⇔. √ f ( x )+ √ h( x)=¿. √ g (x). Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+1 - √ x −7 = √ 12− x √ x+1 = √ 12− x + √ x −7 (1). §KX§:. ¿ x+ 1≥ 0 12− x ≥ 0 x −7 ≥ 0 ⇔ ¿ x ≥ −1 x ≤ 12 x ≥7 ⇔ 1 ≤ x ≤12 ¿{{ ¿. Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2 √(12 − x)(x −7) (3) Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của phơng trình (3) ta đợc : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) ⇔ 5x2 - 84x + 352 = 0 Ph¬ng tr×nh nµy cã 2 nghiÖm x1 = 44 5. VËy x1 = 44 5. và x2 = 8 đều thoả mãn (2) .. vµ x2 = 8 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.. * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : √ f (x )+ √ h( x)=¿ √ g (x) + √ q(x ) VÝ dô 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x+1 + √ x+10 = √ x+2 + √ x+5 (1). §KX§ :. ¿ x+ 1≥ 0 x+ 10≥ 0 x+ 2≥ 0 x+5 ≥ 0 ¿{ { { ¿. . ¿ x ≥ −1 x ≥ −10 x ≥ −2 x ≥ −5 ¿{{{ ¿. . x ≥ -1 (2). Bình phơng hai vế của (1) ta đợc : x+1 + x+ 10 + 2 √ (x +1)( x +10) = x+2 + x+ 5 + 2 √( x +2)( x+5) (3) ⇔ 2+ √( x +1)( x +10) = √ (x +2)( x+5) Víi x -1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc √( x +1)( x +10) = 1- x §iÒu kiÖn ë ®©y lµ x -1 (4). Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. Ta chØ viÖc kÕt hîp gi÷a (2) vµ (4) ¿ x ≥ −1 x ≤ −1 ¿{ ¿. . x = 1 lµ nghiÖm duy nhÇt cña ph¬ng tr×nh (1).. a.2. NhËn xÐt : Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng tr×nh v« tØ quen thuéc, song trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cÇn chó ý khi n©ng lªn luü thõa bËc ch½n Víi hai sè d¬ng a, b nÕu a = b th× a2n = b2n vµ ngîc l¹i (n= 1,2,3.....) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng ph¸p nµy. Ngoµi ra cßn ph¶i biÕt phèi hîp vËn dông ph¬ng ph¸p nµy víi cïng nhiÒu ph¬ng ph¸p kh¸c l¹i víi nhau . a.3. Bµi tËp ¸p dông: 1. √ x2 − 4 = x- 2 2.. 2. = x+ 1. √ 1+ x √ x + 4. 3. √ 1− √ x + √ 4+ x =3 4. √3 x+ 45 - √3 x −16 =1 5. √ 1− x = √ 6 − x - √ −( 2 x +5) 3 3 3 6. √ x −1 + √ x −2 = 2 x  3. 7. √ x + √ x+ y = √ x −1 + √ x+ 4 b. Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối : b.1. C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ 9 x2 −24 x +16=− x +4 (1) ¿ 9 x −24 x+16 ≥ 0 −x+4≥ 0 ¿{ ¿ 2. §KX§:. Ph¬ng tr×nh (1). ⇔. ⇔. 3 x − 4 ¿2 ≥ 0 ∀ x ¿ x≤4 ¿ ¿ ¿. . x≤4. |3 x − 4| = -x + 4. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS ⇔. ¿ 3 x − 4=− x +4 3 x −4=x − 4 ¿{ ¿. . ¿ x=2 x=0 ¿{ ¿. Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x VÝ dô 2 :. Gi¶i ph¬ng tr×nh :. 4 ).. √ x2 − 4 x=4 + √ x2 −8 x +16 = 5. ¿ ∀x∉ R ¿ |x − 2| + |x − 4| = 5. §KX§: Phơng trình tơng đơng : LËp b¶ng xÐt dÊu :. x 2 4 x- 2 0 + + x- 4 0 + Ta xÐt c¸c kho¶ng : + Khi x < 2 ta cã (2) ⇔ 6-2x =5 2) ⇔ x = 0,5(tho¶ m·n x + Khi 2 x 4 ta cã (2) ⇔ 0x + 2 =5 v« nghiÖm + Khi x > 4 ta cã (2) ⇔ 2x – 6 =5 ⇔ x =5,5 (tho¶ m·n x > 4 ) Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5 VÝ dô 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x − 4 √ x −1+3 + √ x −6 √ x − 1+ 8 = 1 §KX§: x 1 Phơng trình đợc viết lại là :. √( x − 1)− 4 √ x −1+ 4 + √ x −1 −2 ¿2. . ¿. √¿. ( x  1)  6 x  1  9 = 1. +. √ x −1 −3 ¿2 ¿. =1. √¿. ⇔. |√ x −1 −2| + |√ x −1 −3| =1 (1) - NÕu 1 x < 5 ta cã (1) ⇔ 2- √ x −1 + 3 - √ x −1 = 1 ⇔ √ x −1 =2 ⇔ x= 5 kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt - NÕu 5 x 10 th× (1) ⇔ 0x = 0 Ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm - NÕu x> 10 th× (1) ⇔ -5 = 1 ph¬ng trinh v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm : 5 x 10 b.2. NhËn xÐt :. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dông gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ quen thuéc nh trªn song trong thùc tÕ cÇn lu ý cho häc sinh : -áp dụng hằng đẳng thức √ A 2 = | A| - Häc sinh thêng hay m¾c sai lÇm hoÆc lóng tóng khi xÐt c¸c kho¶ng gi¸ trÞ cña ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm . b.3. Bµi tËp ¸p dông : 1. √ x2 −6 x +9 + √ x2 +10 x+ 25 = 8. √ x2 +2 x+1 + √ x2 − 4 x+ 4 = √ x2 + 4 x+ 4 3. √ x+3+ 4 √ x − 1 + √ x+8 − 6 √ x −1 = 5 4. √ x+3+3 √2 x −5 + √ x −2 − √2 x −5 = 2 √ 2 2.. c.Phơng pháp đặt ẩn phụ: c..1. C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:. 2x2 + 3x +. √ 2 x 2 +3 x+ 9 =33. §KX§ : ∀ x R Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x2 + 3x +9 + √ 2 x 2 +3 x+ 9 - 42= 0 (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt ®iÒu kiÖn b¾t buéc cho Èn phô y) Ta đợc phơng trình mới : y2 + y – 42 = 0 ⇒ y1 = 6 , y2 = -7 .Cã nghiÖm y =6 tho¶ m·n y> 0 Từ đó ta có. √ 2 x 2 +3 x+ 9 =6. ⇔. 2x2 + 3x -27 = 0. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 3, x2 = - 9 2. Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho. VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x + √4 x = 12 §KX§ : x o §Æt √4 x = y 0 ⇒ √ x = y2 ta cã ph¬ng tr×nh míi y2 + y -12 = 0 ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ y= 3 vµ y = - 4 (lo¹i)  √4 x = 3 ⇒ x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho. VÝ dô 3:. Gi¶i ph¬ng tr×nh:. √ x+1 + √ 3− x - √(x +1)( 3− x) = 2 (1). Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. §KX§ :. ¿ x +1 ≥ 0 3−x≥0 ¿{ ¿. ¿ x ≥ −1 x≤3 ¿{ ¿. . §Æt √ x+1 + √ 3− x = t ⇒. √( x +1)( 3− x). 2 = t −4. . -1 ≤ x ≤ 3. 0 ⇒ t2 = 4 + 2 √( x +1)( 3− x). (2) .thay vào (2) ta đợc. 2. t2 – 2t = 0 ⇔ t(t-2) = 0. . t=0 ¿ t=2 ¿ ¿ ¿ ¿. + Víi t = 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. +Víi t = 2 thay vµo (2) ta cã : √( x +1)( 3− x) = 0 ⇒ x1 = -1; x2 = 3 (tho¶ m·n) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = 3 VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 5 √ x3 +1 = 2( x2 + 2) Ta cã. √ x3 +1 = √ x+1. √ x2 − x +1. §Æt √ x+1 = a 0 ; √ x2 − x +1 = b 0 vµ a2 + b2 = x2 + 2 Phơng trình đã cho đợc viết là 5ab = 2(a2 + b2) ⇔ (2a- b)( a -2b) = 0. . 2 a −b=0 ¿ a −2 b=0 ¿ ¿ ¿ ¿. + Trêng hîp: 2a = b ⇔ 2. √ x+1 = √ x2 − x +1 ⇔ 4x + 4 = x2 – x +1 ⇔ x2 – 5x -3 = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 5 − √37 ; x2 = 5+ √ 37 2. + Trêng hîp: a = 2b ⇔ √ x+1 = 2. 2. √ x2 − x +1. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS ⇔. x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0 ⇔ 4x2 -5x + 3 = 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x= 5+ √ 37 và x= 5 − √ 37 2. 2. √ 1− x 2. VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+1 + 2 (x+1) = x- 1 + √ 1− x + 3 (1) §Æt √ x+1 = u 0 vµ √ 1− x = t 0 §KX§: -1 x 1 th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh. u + 2u2 = -t2 + t +3ut ⇔ (u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0 ⇔ (u-t)(2u – t +1 ) = 0. . tho¶ m·n ®iÒu kiÖn -1 VÝ dô 6:. ¿ u=t 2u+ 1=t ¿{ ¿. x. ⇔. ¿ x+ 1= √ √ 1− x 2 √ x +1+1=√ 1 − x ¿{ ¿. ¿ x=0 24 x=− 25 ¿{ ¿. . 1 là nghiệm của phơng trình đã cho.. Gi¶i ph¬ng tr×nh:. √ x −2 √ x −1 + ❑√ x+2 √ x −1 =. x +3 2. §KX§ : x 1 §Æt √ x −1 = t 0 ⇒ x = t2 + 1 phơng trình đã cho trở thành t+1 ¿2 t −1 ¿2 + ¿ ¿ √¿ √¿ ⇔. ⇔. 2 = t +4. 2. 2 |t+ 1| + |t − 1| = t +4. 2. ¿ t 2 − 4 t+ 4=0 t 2=0 ¿{ ¿. (t. 1). . ¿ t=2 t=0 ¿{ ¿. . ¿ x=5 x=1 ¿{ ¿. §kX§: x≥ 1 Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5 c.2. NhËn xÐt :. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ .Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi hớng giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh : Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3) Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5) c.3. Bµi tËp ¸p dông: 1/ x2 – 5 + √ x2 −6 = 7 2/ x. √. 1 x. - 2x √3 x = 20. √3 x2 - 3 √3 x =20 4/ √ x3 +8 = 2x2 – 6x +4 3/. 5/ √ x+6 √ x − 9 + √ x −6 √ x − 9 = x +23 6 d. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch : d.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+10 x +21 = 3 √ x+3 + 2 √ x+7 - 6 (1) §KX§ : x -3 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng : √( x +3)(x+7) - 3 √ x+3 + 2 √ x+7 +6 = 0 ⇔ √ x+3 ( √ x+7 − 3¿ -2( √ x+7 − 3¿ ) =3 ⇔ ( √ x+7 − 3¿ ( √ x+3 − 2 ) =0 ¿. ⇔. √ x+7 − 3=0 √ x+3 − 2=0  ¿{ ¿. ¿ x +7=9 x+ 3=4 ¿{ ¿. . ¿ x=2 x=1 ¿{ ¿. §KX§. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √3 1− x + √ x+2 =1 §KX§ : x -2 §Æt √ x+2 = t 0 Khi dã √3 1− x = Ph¬ng tr×nh (1) ⇔ √3 3− t 2 + t = 1 ⇔ √3 3− t2 = 1- t ⇔. √3 3− t2. 3- t3 = (1-t) 3. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS ⇔. t3 - 4t2 + 3t + 2 =0 ⇔ (t-2) ( t2 -2t -1) = 0 Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2 √ 2 là nghiệm của phơng trình (1) VÝ dô3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (4x-1) ❑√ x2 +1 = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1) §Æt ❑√ x2 +1 =y ; y 0 (1) ⇔ (4x-1) y = 2y2 + 2x -1 ⇔ 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0 ⇔ ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0 ⇔ (y- 2x+1) (2y- 1) = 0 Giải phơng trình này ta tìm đợc x = 0 ; x = 4 là nghiệm của phơng trình (1) 3. VÝ dô4:. Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( √ 1+ x −1 )( √ 1− x +1 ) = 2x §KX§: -1 x 1 (1) đặt √ 1+ x = u (0 u √2 ) suy ra x = u2 -1 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh : (u -1 ) ( √ 2− u2+ 1¿ = 2 ( u2 -1) ⇔. (u -1 ){ ( ⇔. . (+) (+). ⇔. √ 2− u2+ 1¿ - 2 (u+1)} = 0 (u-1) ( √ 2− u2 − 2u −1 ¿ = 0 u −1=0 ¿ 2 2− u − 2u −1=0 √ ¿ ¿ ¿ ¿. u-1 = 0 ⇒ u =1 ( tho¶ m·n u 0 ) suy ra x = 0 tho¶ m·n (1) √ 2− u2 − 2u −1 = 0 ⇔ √ 2− u2 = 2u + 1. ¿ 2 u+1 ≥0 2− u2=(2u+ 1) ¿{ ¿. (tho¶ m·n v× u. 0). . 5u2 + 4u - 1 = 0. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. . ¿ u1=− 1< 0(loai) 1 u2= 5 ¿{ ¿. nªn cã x = u22 -1 = ( 1 )2 – 1 = − 24 tho· m·n ®iÒu kiÖn (1) 5. 25. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x = − 24 . 25. d.2.NhËn xÐt : Khi sử dụng phơng pháp đa về phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ ta cÇn chó ý c¸c bíc sau . + Tìm tập xác định của phơng trình . + Dùng các phép biến đổi đại số , đa phơng trình về dạng f(x) g(x) ….= 0 (gọi là phơng trình tích) . Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ; ….. là những ph ơng tr×nh quen thuéc. + NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh f(x) = 0 g( x) = 0 ;….. thuộc tập xác định . + BiÕt vËn dông,phèi hîp mét c¸ch linh ho¹t víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nh nhãm các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đa về phơng trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải . d.3.Bµi tËp ¸p dông: 1. √ x3 −7 x − 6 = 0. √ x2 − x − 2 - 2 √ x2 − x +2 = √ x −1 3. x(x+5) = 2 √3 x2 +5 x − 2− 2 4. 2( x2 + 2x + 3) = 5 √ x3 +3 x 2+ 3 x +2 2.. e. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh : e.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ 25− x 2 - √ 15− x2 =2 §KX§: 0 x2 15 §Æt:. √ 25− x 2 = a (a 0) (* ) √ 15− x2 = b ( b 0) ( ** ). Từ phơng trình đã cho chuyển về hệ phơng trình :. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS ¿. ¿ a −b=2 (a − b)(a+b)=2(a+b) a+b ≠ 0 ¿{{ ¿. ¿ a −b=2 a+b=5 ¿{ ¿. . Thay vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã 25 –x2 = 49 4. ±√. 51 2. (. §kX§ ) .. VÝ dô 2:. 7 2 3 b= 2 ¿{ ¿ a=. . ⇔. x2 = 51 4. ⇒. x=. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = ± √ 51 . 2. (5 − x) √ 5 − x+( x −3) √ x − 3 √ 5 − x+ √ x −3. Gi¶i ph¬ng tr×nh: §KX§ : 3 §Æt. x. =2. (1). 5. ¿ 5− x=u(u ≥ 0) √ √ x − 3=t (t ≥0) ¿{ ¿. Ph¬ng tr×nh (1 ) trë thµnh hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ u2+ t 2=2 u2 − ut + t 2=2 ¿{ ¿. . . VÝ dô3:. . ut = 0. ¿ u=0 t=0 ¿{ ¿. ¿ x=3 x=5 (thâa m·n ®iÒu kiÖn ) ¿{ ¿. VËy ph¬ng tr×nh ®É cho cã nghiÖm x =3 ; x= 5. Gi¶i ph¬ng tr×nh: √3 2− x + √ x −1 = 1 §KX§: x 1 3. §Æt. ¿. √ 2− x=u √ x −1=t(t ≥ 0) ¿{ ¿. Khi đó ta có u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nên u3 + t3 = 1. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS ¿ u+t=1(1) u3 +t 3=1(2) ¿{ ¿. Phơng trình đã cho đợc đa về hệ:. Tõ ph¬ng tr×nh (1) ⇒ u = 1 – t .Thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã : ( 1 – t )3 + t2 = 1 ⇔ t( t2 - 4t + 3 = 0. ⇔. ¿ t=0 t 2 − 4 t + 3=0 ¿{ ¿. t=0 t=1 t=3 ¿ no ¿{ ¿{ ¿. . Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x đã cho . VÝ dô 4:. x+ 1¿ ¿ 3 √¿. Gi¶i ph¬ng tr×nh:. 2. +. §Æt: √3 x+1 = a ;. 2. a =. x+ 1¿2 ¿ 3 √¿. b =. x −1 ¿ ¿ 3 √ ¿. 1 ) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x −1 ¿ ¿ 3 √¿. 2. +. √3 x2 −1 = 1. √3 x −1 = b nªn ta cã:. 2. 2. ab =. √3 x2 −1 . Ta đợc phơng trình : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1) ¿ a3=x +1 b3 =x −1 ¿{ ¿. Ta đợc phơng trình : a3 – b3 = 2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ a2 +b 2+ ab=1 a3 − b3 =2 ¿{ ¿. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. Tõ hÖ ph¬ng tr×nh ta suy ra a –b = 2 ⇒ b = a – 2 Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = 0 ⇒ a =1 Từ đó ta đợc x = 0 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 0 e.2.NhËn xÐt : Qua 4 vÝ dô trªn cho ta thÊy ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh cã nh÷ng ®iÓm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t duy hơn do đó phơng pháp này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ýmột số điểm sau: + T×m ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ph¬ng tr×nh + Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung . + Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình quen thuéc . Ngoµi ra ngêi häc cßn biÕt kÕt hîp ph¬ng ph¸p nµy víi ph¬ng ph¸p kh¸c nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức. e.3.Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1. 1 + x. 1 √2 − x 2. =2. 2. 2 √3 2 x −1 = x3+ 1 3. √3 1− x + √3 1+ x =1 4. √3 x −1 + √3 x −21 = √3 2 x −3 5. √ 4 − √ 4+ x = x g. Phơng pháp bất đẳng thức : g.1. Phơng pháp chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó phơng tr×nh v« nghiÖm . g.1.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x −1 - √ 5 x −1 = √ 3 x −2 (1). Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS ¿ x −1 ≥ 0 5 x −1 ≥ 0 3 x −2 ≥ 0 ¿{{ ¿. §KX§:. ¿ x ≥1 1 x≥ 5 2 x≥ 3 ¿{{ ¿. . Víi x 1 thì x < 5x do đó √ x −1 < √ 5 x −1 Suy ra vÕ tr¸i cña (1) lµ sè ©m , cßn vÕ ph¶i lµ sè kh«ng ©m . VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . VÝ dô2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x2 −6 x +11 + √ x2 −6 x +13 + √4 x2 − 4 x+5 = 3 + √ 2 x − 3¿ 2+ 2 + ¿ √¿. ⇔. Mµ. x − 3¿ 2+ 2 + ¿ √¿. x − 3¿ 2+ 4 ¿ √¿. x − 3¿ 2+ 4 ¿ √¿. +. x − 2¿ 2+1 ¿ 4 √ ¿. = 3 + √2. (*). 2. x − 2¿ +1 ¿ 4 √¿. +. √2 + √4 + 1 = 3 +. √2 ⇒. Vế phải của phơng trình đã cho lớn hơn vế trái . Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm . g.1.2.Bµi tËp ¸p dông: 1. ❑√ x −1 - ❑√ x+1 = 2 2.. √ x2 +6 = x - 2 √ x2 −1. 3. ❑√ 6 − x + ❑√ x+2 = x2 - 6x +13 g.2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế : g.2.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ 3 x 2 +6 x +7 + (1) Ta cã vÕ tr¸i cña (1). √ 5 x 2 +10 x+14 = 4 – 2x – x2. 2. √ 3 x 2 +6 x +7 + √ 5 x 2 +10 x+14 =. x+ 1¿ + 4 3¿ √¿. + √ 5(x+ 1)+9. √4 + √9. =5 VÕ ph¶i cña (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2 5 Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 .Do đó phơng trình (1) có nghiệm là x = -1. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. VÝ dô2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x − 4 + √ 6 − x = x2 -10x + 27 (1) §KX§: 4 x 6 XÐt vÕ ph¶i cña (1) ta cã : x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 2 víi mäi x vµ vÕ tr¸i cña (1). ( √ x − 4 − √ 6 − x )2 2. x−1 ¿ 6 −4 ¿2 √ ¿ ¿ √¿ ¿ ¿. =1 hay √ x − 4 + √ 6 − x. 2. V× vËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ : ¿ x 2 −10 x+27=2(∗) √ x − 4+ √ 6 − x =2(**) ¿{ ¿. Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta dîc x = 5 gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n (**) VËy x =5 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) g.2.2. Bµi tËp ¸p dông : 1. √ 3 x 2 −12 x +16 + √ y 2 − 4 y +13 = 5. √ 3 x 2 +6 x +12 + √ 5 x 2 −10 x+9 = 3-4x -2x2 3. x 2 −3 x +3,5 = √ (x 2 − 2 x +2)(x 2 − 4 x +4) 2.. h. Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số : h.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : √3 x −2 + √ x+1 = 3 (1) §KX§: x 1 Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phơng trình (1) Víi x > 3 th× √3 x −2 > 1 , √ x+1 > 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 3. Víi x< 3 vµ x -1 ⇔ -1 x 3 th× √3 x −2 < 1, √ x+1 < 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n 3. VËy x= 3 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh : √5 x2 +28 + 2 √3 x2 +23 + √ x −1 + √ x = √ 2 + 9 (1). Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 1.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. §KX§:. ¿ x −1 ≥ 0 x≥0 ⇔ x≥1 ¿{ ¿. Ta thÊy x =2 lµ nghiÖm cña (1) h2.NhËn xÐt : Khi gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ mµ ta cha biÕt c¸ch gi¶i thêng ta sö dông phơng pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng .Rồi tìm cách chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy ra kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c . h.3.Bµi tËp ¸p dông : 1. √3 x2 +26 + 3 √ x + √ x+3 = 8 2. 2. 2. 2. 2. 2 x  1 + x  3x  2 = √ 2 x +2 x +3 + √ x − x +1 i. Phơng pháp sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ =” ở bất đẳng thức không chặt i.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 √ x −2 + √ y+ 1995 + √ z −1996 = 2 (x+y+z) §KX§ : x 2; y -1995; z 1996 Ph¬ng tr×nh (1) ⇔ x+y+z = 2 √ x −2 + 2 √ y+ 1995 + 2 √ z −1996 √ x −2 −1 ¿2 + √ y+ 1995− 1¿ 2 + √ z −1996 − 1¿2 = 0 ⇔ ¿. ¿. ¿. ¿ x=3 y=− 1994 z=1997 ¿{{ ¿. √ x −2=1 . √ y +1995=1 √ z −1996=1. . ¿{{ ¿. Lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 2. ⇔. x+ 1¿ + 4 3¿ √¿. ¿. ( tho· m·n §KX§ ).. √ 3 x 2 +6 x +7 + √ 5 x 2 +10 x+14 = 4 – 2x –. 2. +. x+ 1¿ + 9 5¿ √¿. = 5 – (x+1)2 (*). Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 2.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. VÕ tr¸i cña (*). x+ 1¿2 + 4 3¿ √¿. x+ 1¿2 + 9 5¿ √¿. +. 2+3=5. VÕ ph¶i cña (*) 5 – (x+1)2 5 V× thÕ ph¬ng tr×nh (*) chØ cã nghiÖm khi vµ chØ khi hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (*) b»ng nhau vµ b»ng 5 ⇔ x+ 1 = 0 ⇔ x = -1 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =-1 VÝ dô3:. x √ 4 x −1. Gi¶i ph¬ng tr×nh:. + √ 4 x −1 =2 (1) x. §KX§: x> 1 4. áp dụng bất đẳng thức a + b. 2 víi a,b > 0. b a. x¶y ra dÊu “=” khi vµ chØ khi a =b DÊu “=” cña (1) x¶y ra khi x= √ 4 x −1. ⇔. x2 - 4x +1 = 0 (do x> 1 ) 4. Giải phơng trình này ta tìm đợc x= 2± √ 3 (thoả mãn ĐKXĐ). VËy x= 2± √ 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. i.2. NhËn xÐt : Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú ý c¸c bíc sau : + Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) a , g(x) a (a lµ h»ng sè ) Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) =a vµ g(x) = a + Biến đổi phơng trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x) m hoÆc h (x) m th× nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu đẳng thức xảy ra. + áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki i.3. Bµi tËp ¸p dông: 1. √ 2 x 2 − 8 x+12 = 3 - √4 3 x 2 −12 x +13 2. √ x −2 + √ 10− x = x2 -12x + 40 3. 19√ x −1 + 5√ x −1 + 95√ x − 3 x+2 = 3 4. 2 4. x 2 −6 x+ 15 =. x −6 x +11. 2. 6. 2. √ x2 −6 x +18. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 2.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. k. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c : k.1.Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+1 + √ x+1 − √ 5 − x − √ 18− 3 x =9 (1) Ta t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè : y = √ x −1 + √ x+1 − √ 5 − x − √ 18− 3 x =9 trên tập xác định [ 1; 5 ] ta có: y, =. 1 1 1 3 + + + 2 √ x+1 2 √ x − 1 2 √ 5 − x 2 √ 18− 3 x. Do hàm số y liên tục và đồng biến trên. > 0 víi mäi x 1 − 1 =2 x. x −2. nªn miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ √ 3 x. ¿. √ x= y , y ≥ 0 hay √ x − √ 3 . Suy ra y min = vµ √ 3=z ¿{ ¿. ymax = 2 + [ ( y − z )( y + z ) ]2 + ( y − z )2 víi mäi x [ 1; 5 ] §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm th× y min ∀ y , z 9 √ 3 ymax nhng ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× y min = < 9 vµ ymax = 2 + √ x −2 < 9 Do đó phơng trình (1) vô nghiệm vì không tồn tại giá trị x √ x −1 để y(xi) = 9 k.2.Ph¬ng ph¸p hµm sè: VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 +1 = 2 √ x2 +7 x +7 (1). Ta cã: (1). ¿ 2− √ x=a √ x −1=b ¿{ ¿. ¿ a+b=1(2) a3 +b 2=1(3) b≥ 0 (4) ¿{{ ¿. Đặt y = √ 2< x< √ 2 hàm số có đạo hàm y, = x nên đơn điệu tăng và liên tục trong R.. √ 2− x2= y. √ 2− x2 0 víi mäi. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 2.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. y =. y=1 ¿ 5 y=− loai 3 ¿ ¿ ¿ ¿. ¿ x 2+ y 2 =2 1 1 + =2 cã hµm ngîc y = x y ¿{ ¿. x=. √ x2 +7 x +7 (v× y = √ x2 +7 x +7. √ x2 +7 x +7 ). 3 Do đó nghiệm của phơng trình là x +1 =√3 2 x −1 cũng là nghiệm của phơng. 2. ¿ √ 2− x=a √ x −1=b ¿{ ¿ 3. tr×nh. √3 2− x+ √ x − 1=1 = x. x3 -2x + 1 = 0. x = 1 hoÆc x =. ¿ a+b=1(2) a3 +b 2=1(3) . b≥ 0 (4) ¿{{ ¿. VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x= 1 vµ x =. a=0 ⇒b=1⇒ x=2 ¿ a=1⇒ b=3⇒ x=10 ¿ a=−2 ⇒b=0 ⇒ x=1 . ¿ ¿ ¿ ¿. k.3. NhËn xÐt: Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ vµ ph¬ng ph¸p hµm sè ë trªn mang néi dung kiÕn thøc ë bËc phæ th«ng trung häc nªn kh«ng ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ë bËc. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 2.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. THCS mµ chØ dµnh cho gi¸o viªn d¹y ë bËc THCS tham kh¶o thªm mµ nªn t×m cách đa về những phơng pháp quen thuộc để dạy học sinh THCS . Ch¼ng h¹n nh vÝ dô 2 ta cã thÓ ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh nh sau: 1. 1. =2 x3 + 1 = 2 x + √2 − x 2. §Æt t = 0 √ 2 2x -1 = t3 Ta cã hÖ: x3 + 1 = 3t 2x -1 = t3  x3 – t3 + 2 (x-t) = 0  x1 =1 ; x2,3 = √ 2 .. 4/ KÕt qu¶. 4.1/ NhËn xÐt: Trªn ®©y t«i giíi thiÖu víi c¸c b¹n mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tỉ, kết quả thu đợc rõ ràng đã có thể vận trong nhiều dạng toán, và ứng dụng của c¸c bµi to¸n nµy kh«ng ph¶i lµ Ýt. NÕu nh rÌn luyÖn cho häc sinh d¹ng to¸n nµy thì chúng ta đã trang bị cho các em lợng kiến thức không phải là nhỏ. Trong chơng trình toán phổ thông của chúng ta còn rất nhiều phơng pháp nữa. Trên đây tôi chØ tr×nh bµy mét sè ph¬ng ph¸p th«ng dông trong ch¬ng tr×nh trung häc c¬ së. Tuy nhiên với dạng toán này thì không phải đối tợng nào cũng tiếp thu một cách dÔ dµng, v× vËy gi¸o viªn ph¶i khÐo lÐo lång vµo c¸c tiÕt d¹y nh»m thu hót vµ phát huy sự sáng tạo cho học sinh. Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết søc khã kh¨n cho häc sinh ë møc trung b×nh, gi¸o viªn nªn cho c¸c em lµm quen dÇn. D¹ng to¸n nµy cã t¸c dông t¬ng hç, cao dÇn tõ nh÷ng kiÕn thøc rÊt c¬ b¶n trong s¸ch gi¸o khoa, gióp häc sinh kh¾c s©u kiÕn thøc biÕt t duy s¸ng t¹o, biÕt tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” ra các vấn đề mới. 4.2. Kết quả sau khi áp dụng đề tài Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lợng qua kiểm tra đã đợc nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tợng HS trung bình chất lợng đợc nâng lên rõ rệt. §iÓm díi 5 §iÓm 5 - 6 §iÓm 7 - 8 §iÓm 9 - 10 SL % SL % SL % SL % 5 12,5% 20 50% 10 25% 5 12,5%. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 2.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. c- kÕt luËn : Trên đây là một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ mà tôi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trờng THCS cho học sinh đại trà cũng nh trong quá trình ôn luyện , bồi dỡng học sinh giỏi .Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu đợc kÕt qu¶ sau : + Häc sinh tiÕp thu bµi nhanh dÔ hiÓu h¬n, høng thó tÝch cùc trong häc tËp vµ yªu thÝch bé m«n to¸n . + Học sinh tránh đợc những sai sót cơ bản, và có kĩ năng vận dụng thành thạo cũng nh phát huy đợc tính tích cực của học sinh . Tuy nhiên để đạt đợc kết quả nh mong muốn , đòi hỏi ngời giáo viên cần hÖ thèng, ph©n lo¹i bµi tËp thµnh tõng d¹ng, gi¸o viªn x©y dùng tõ kiÕn thøc cò đến kiến thức mới từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp ,phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh . Ngời thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động tích cực và sáng tạo của học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hớng giải toán đúng đắn. Làm đợc nh vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lợng giáo dục trong nhµ trêng. Trong đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định .Vậy tôi rất mong đợc sự giúp đỡ cũng nh những góp ý của các thầy ,cô giáo cho tôi để tôi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy những năm học sau. Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy tôi còn nhận đợc sự giúp đỡ của các đồng nghiệp ,các thầy cô giáo trong tổ toán trờng ĐHSP Hà Nội I ,đặc biệt là sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Lê Anh Dũng trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành đề tài này. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Ngêi thùc hiÖn: Ph¹m §×nh S¬n. D. tµi liÖu tham kh¶o -. SGK To¸n 7-Nhµ xuÊt b¶n GD 2003 SGK §¹i sè 9-Nhµ xuÊt b¶n GD Một số vấn đề phát triển Đại số 9-Nhà xuất bản GD 2001 To¸n båi dìng §¹i sè 9 - Nhµ xuÊt b¶n GD 2002. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 2.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong trêng phæ th«ng cÊp THCS. -. Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất bản GD 1995 §Ó häc tèt §¹i sè 9 - Nhµ xuÊt b¶n GD 1999 Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc - Nhµ xuÊt b¶n GD 2002. 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất bản trẻ 2000. Những đề thi và những tài liệu khác có liên quan .. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa. 2.

<span class='text_page_counter'>(27)</span>