de thi thu dh 2012 moi nhat

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THPT Hậu lộc 2. đề thi thử đại học lần thứ I m«n To¸n(Khèi A-B-D) -N¨m häc 2011-2012 Thêi gian: 180 phót. I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh C©u I (Khèi A;B:2 ®iÓm, khèi D:3®iÓm) Cho hàm số y =. x ,đồ thị là đường cong (C). x -1. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất C©u II (2 ®iÓm) ìx2 + y2 + x + y = 4 1. Giaûi heä phöông trình : í î x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 2. Tìm nghieäm treân kho¶ng (0; p ) cuûa phöông trình :. 4 sin 2. x 3p - 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x - ) 2 4 p. C©u III (1 ®iÓm). Tính tích phân: I =. 4. ò 0. tan x.ln(cos x) dx cos x. C©u IV (1 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x < 3 ) các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x. 1 4. C©u V (1 ®iĨm). Chøng minh r»ng nÕu 0 £ y £ x £ 1 thì x y - y x £ . Đẳng thức xảy ra khi nào? II.PhÇn riªng (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn A hoÆc B. A. Theo chương trình chuẩn C©u VIa (3 ®iÓm). 1. Cho đường tròn (T): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: x + y - 1 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (T) biết A Î d. ìx = 1- t ìx = t ï ï 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : í y = 2t và d 2 : í y = 1 + 3t . Lập phương ï z = -2 + t ïz = 1- t î î trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2. n. 3. T×m phÇn thùc cña sè phøc z = (1 + i ) sao cho log 4 ( n - 3 ) + log 5 ( n + 6 ) = 4 B. Theo chương trình nâng cao (3 điểm). ( n Î ¥* ). C©u VIb (2 ®iÓm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1):x2 + y2 = 13 và (C2):(x ­ 6)2 + y2 = 25cắt nhau tại A(2; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: x - 4 y -1 z + 5 x-2 y+3 z = = ; d2 : = = 3 -1 -2 1 3 1 Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhÊt. 3. Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau? TÝnh tæng cña tÊt c¶ các số tự nhiên đó. www.laisac.page.tl d1 :.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chó ý: ThÝ sinh thi khèi D kh«ng ph¶i lµm c©u V. Trường THPT Hậu lộc 2 Đáp án đề thi thử đại học lần thứ I m«n To¸n(Khèi A-B-D) -N¨m häc 2011-2012 Thêi gian: 180 phót. C©u I (2.0đ). §iÓm. NỘI DUNG TXĐ : D = R\{1}. 0.25. Chiều biến thiên lim f ( x) = lim f ( x) = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x ®+¥. x ®-¥. lim f ( x ) = +¥, lim- = -¥ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x ®1+. x ®1. 1 <0 y’ = ( x - 1) 2. 0.25. Bảng biến thiên x. ­¥. 1 ­. y'. ­. 1. +¥. y. 1. (1.0đ). +¥. ­¥. 1. Hàm số nghịch biến trên (-¥;1) và (1; +¥) Hàm số không có cực trị c.§å thÞ: Đồ thị nhận điểm I(1 ;1) làm tâm đối xứng. 0.25 y. 1. I. O 1. x. 0.25. 2. (1.0đ). Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất. x 1 Phương trình tiếp tuyến d cña (C) tại M có dạng : y = ( x - x0 ) + 0 2 ( x0 - 1) x0 - 1 1 x02 Ûx- y+ =0 ( x0 - 1)2 ( x0 - 1)2 0.25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2 x0 - 1. Ta có d(I ;d) =. 1+ Xét hàm số f(t) =. 1 ( x0 - 1) 4 2t. 1+ t4. (t > 0) ta có f’(t) =. 2(1 - t )(1 + t )(1 + t 2 ) (1 + t 4 ) 1 + t 4. 0.25 f’(t) = 0 khi t = 1 Bảng biến thiên x 0 f’(x) f(x). 1 +. +¥. 0. ­ 2. Từ bảng biến thiên ta cã d(I ;d) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay é x0 = 2 x0 - 1 = 1 Û ê ë x0 = 0 + Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến d cã pt là y = ­x + Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến d cã pt là y = ­x+4 II (2,0®). 1 (1,0®). 2. 0.25 0.25. 2. ìx + y + x + y = 4 Giaûi heä phöông trình : (I) í î x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 ìï x2 + y 2 + x + y = 4 (I) Û í 2 2 ïî x + y + x + y + xy = 2 Þ xy = -2. 1.. §Æt S = x + y; P = xy(S2 ³ 4P) Þ S2 = x 2 + y 2 + 2xy Þ x 2 + y 2 = S2 - 2P ì P = -2 ìïS2 - 2P + S = 4 ï Vaäy ( I ) Û í Û íéS = 0 2 ï ê S = -1 îïS - P + S = 2 îë. 0,5. ìx + y = 0 vaäy x, y laø nghieäm cuûa phöông trình X 2 + 0X - 2 = 0 TH1 : í xy = 2 î. ìïx = 2 ìïx = - 2 Vaäy heä coù 2 nghieäm í hay í ïîx = - 2 ïîy = 2 ì x + y = -1 vaäy x,y laø nghieäm cuûa phöông trình X 2 + X - 2 = 0 TH 2 : í î xy = -2 ìx = 1 ì x = -2 Þ X = 1hay X = -2 . Vaäy heä coù 2 nghieäm í V í î y = -2 îy = 1. ìïx = 2 ìïx = - 2 ìx = 1 ì x = -2 Toùm laïi heä Pt (I) coù 4 nghieäm í V í V í V í î y = -2 îy = 1 ïîy = - 2 ïîy = 2. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 (1,0®). 2. Tìm nghieäm treân kho¶ng (0; p ) cuûa phöông trình : x 3p 4sin 2 - 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x - ) (1) 2 4 3p ö æ (1) Û 2 (1 - cos x ) - 3 cos 2x = 1 + 1 + cos ç 2x - ÷ 2 ø è (1) Û 2 - 2 cos x - 3 cos 2x = 2 - sin 2x (1) Û -2 cos x = 3 cos 2x - sin 2x . Chia hai veá cho 2: (1) Û - cos x =. 3 1 pö æ cos 2x - sin 2x Û cos ç 2x + ÷ = cos ( p - x ) 2 2 6ø è. 5p 2p 7p +k a ) hoÆc x = + h2p ( b ) ( 18 3 6 Do x Î ( 0, p ) neân hoï nghieäm (a) chæ choïn k=0, k=1, hoï nghieäm (b) chæ choïn Ûx=. h = 1. Do đó pt(1) có ba nghiệm x thuộc ( 0, p ) là: x1 = III (1,0®). 0,5. 5p 17p 5p , x2 = , x3 = 18 18 6. 0,5. p. (1,0®). 4. Tính tích phân: I =. ò 0. tan x.ln(cos x) dx cos x. Đặt t=cosx dt=­sinxdx , đổi cận: x=0 thì t=1 , x =. p 4. thì t =. 1 2. 1 2. Từ đó I = - ò 1. ln t dt = t2. 1. ò 1. ln t dt t2. 0,5. 2. 1 dt t2 1 1 Suy ra I = - ln t 1 + t 2. 1 1 Þ du = dt ; v = t t. *Đặt u = ln t ;dv =. *Kết quả. I = 2 -1 -. 1 1 2 1 ò1 t 2 dt = - 2 ln 2 - t 1 2 2 1. 2 ln 2 2 0,5. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.. IV. S. 1 Ta có DSBD = DCBD (c.c.c) Þ SO = CO = AC 2 Vậy tam giác SCA vuông tại S.. 1,0®. Þ CA = SC 2 + SA2 = 1 + x 2 Mặt khác ta có AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2. 0,5 C. Þ BD = 3 - x 2 (do 0 < x < 3). D H O. B A.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 1 Þ S ABCD = 2. BD.CO = 1 + x2 3 - x 2 2 2. Gọi H là hình chiếu của S xuống (ABCD) Vì SB = SD nên HB = HD Þ H Î CA Do tam gi¸c SCA vu«ng t¹i S vµ SH lµ ®­êng cao nªn: 1 1 1 x = + 2 Þ SH = 2 2 SH SC SA 1 + x2 1 1 Vậy V = S ABCD .SH = x 3 - x 2 ( dvtt ) 3 6 V (1,0®). 1,0®. 0,25. 0,25 1 4. Chøng minh r»ng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì x y - y x £ . Đẳng thức xảy ra khi naøo? Ta coù 0 £ x £ 1 Þ x ³ x2 (*). x y -y x £. 0,25. 1 1 Û x y £ + y x (1) 4 4. Theo bất đẳng thức Cauchy vµ (*) ta có:. y x+. 1 1 1 1 ³ yx2 + ³ 2 yx 2 . = x y . VËy x y - y x £ 4 4 4 4. ì ï 0 £ y £ x £ 1 ìx = 1 ï ï Daáu “= ’’xaûy ra Û í x = x 2 Ûí 1 y= ï ï 1 î 4 ï yx2 = î 4. VI.a (2,0®). 1 (1,0®). 1. Cho đường tròn (T): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: x + y - 1 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (T) biết A Î d. y 0 2 4 6 x A D –3 –5. I B. C. Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2 Tọa độ của I(4, –3) thỏa m·n phương trình (d): x + y – 1 = 0. Vậy I Î d Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn (T), có bán kính R = 2.V× d song song víi ®­êng th¼ng y=-x nªn gãc gi÷a d vµ Ox b»ng 450,do đó hình vuông ABCD có cạnh đi qua A và song song với Ox. Hai ®­êng th¼ng x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (T ) nên: . Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2 Þ A(2, –1) Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1). 0,75.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2 (1,0®). 3 (1,0®). . Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6 Þ A(6, –5) Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5). 0,25. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: ìx = 1- t ìx = t ï ï d1 : í y = 2t và d 2 : í y = 1 + 3t . Lập phương trình mặt cầu có đường kính là ï z = -2 + t ïz = 1- t î î đoạn vuông góc chung của d1 và d2. Gọi M (1­ t ; 2t ; ­2 + t) Î d1 , N(t’ ; 1+3t’ 1­ t’) Î d 2 ur Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là u1 = ( -1; 2;1) , đường thẳng d2 có vecto uur chỉ phương là u 2 = (1;3; -1) . uuuur MN = (t '+ t - 1;3t '- 2t + 1; -t '- t + 3) MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 khi và chỉ khi uuuur ur 3 ì ì2t '- 3t + 3 = 0 t'= ïìMN .u1 = 0 ï Ûí ï 5 íuuuur uur Ûí î11t '- 4t - 1 = 0 ïîMN .u2 = 0 7 ït = ïî 5 -2 14 -3 3 14 2 Do đó M( ; ; ), N( ; ; ). 5 5 5 5 5 5 MN 2 1 14 -1 Mặt cầu đường kính MN có bán kính R = = và tâm I( ; ; ) có 2 2 10 5 10 1 14 1 1 phương trình ( x - ) 2 + ( y - )2 + ( z + )2 = 10 5 10 2. 0,75. 2. T×m phÇn thùc cña sè phøc z = (1 + i) n : log 4 ( n - 3 ) + log 5 ( n + 6 ) = 4, n Î ¥ * . Hàm số f(x) = log 4 ( x - 3) + log 5 ( x + 6 ) là hàm số đồng biến trên (3; +∞) và f(19) = 4. Do đó phương trình log 4 ( n - 3 ) + log 5 ( n + 6 ) = 4 có nghiệm duy nhất n = 19 . p p w = 1 + i = 2(cos + i sin ) . Với n = 19 ¸p dụng c«ng thức Moavrơ ta cã: 4 4 19p 19p ö 3p 3p ö æ 19 æ z = w19 = ( 2)19 ç cos + i sin + i sin ÷ = ( 2) ç cos ÷ 4 4 ø 4 4 ø è è 19 3p 2 Suy ra phần thực của z là : 2 cos = -( 2)19 . = -512 . 4 2 1.Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C1):x2 + y2 = 13 và (C2):(x ­ 6)2 + y2 = 25cắt nhau tạiA(2; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C1) và (C2) lần lượt là M và N .Gọi M(x; y) Î (C1 ) Þ x 2 + y 2 = 13 (1) Vì A là trung điểm của MN nên N(4 – x; 6 – y). Do N Î (C2 ) Þ (2 + x ) 2 + (6 - y ) 2 = 25 (2). ( ). VI.b (2,0®). 1 (1,0®). 0,25. 0,5. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1 (1,0®). ìï x 2 + y 2 = 13 Từ (1) và (2) ta có hệ í 2 2 ïî(2 + x) + (6 - y ) = 25 -17 6 -17 6 Giải hệ ta được (x = 2 ; y = 3) ( loại) và (x = ; y = ). Vậy M( ; ) 5 5 5 5 Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình : x – 3y + 7 = 0 2. ì x = 2+t x - 4 y -1 z + 5 ï d1 : = = ; d 2 : í y = -3 + 3t 3 -1 -2 ï z=t î. 0.5. 0,5. Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2, viết phương tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt. r Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(4; 1; -5) vµ cã vÐctơ chỉ phương u = (3; -1; -2) r Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(2; -3; 0) vµ cã vÐctơ chỉ phương u ' = (1;3;1) r ur uuuuuur r ur uuuuuur éu , u 'ù = ( 5; - 5;10 ) , M 1M 2 = (-2; - 4;5) Þ éu , u 'ù .M1 M 2 = 60 ë û ë û r ur uuuuuur éu , u 'ù .M 1 M 2 60 60 ë û d ( d1 , d 2 ) = = = =2 6 r ur 2 2 2 5 6 éu, u 'ù 5 + ( 5) + 10 ë û. 0,25. Giả sử S(I; R) là một mặt cầu bất kỳ tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2 tương ứng tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có IA ^ d1, IB ^ d2 và IA + IB ≥ AB . Suy ra 2R ≥ AB, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I là trung điểm của AB và AB là đoạn vu«ng gãc chung của hai đường thẳng d1, d2. AÎd1, BÎd2 nªn A(4 + 3t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’); uuur r uuur r ïì AB ^ u ïì AB . u = 0 íuuur ur Û íuuur ur ïî AB ^ u ' ïî AB . u ' = 0. 0,25. 0,25. Gi¶i hÖ nµy t×m ®­îc A(1; 2; -3) vµ B(3; 0; 1) Þ I(2; 1; -1). Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) , bán kính R = 6 nên có phương trình là: 2 ( x - 2 ) + ( y - 1)2 + ( z + 1) 2 = 6 2 (1,0®). 2. Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. 4 0,5 Gäi sè tù nhiª n cÇn lËp lµ n = a4 a3 a2 a1a0 = a4 .10 + a3103 + a2 .102 + a1.101 + a0 Ta cã 4 c¸ch chän a4 vµ 4 ! c¸ch xÕp 4 sè cßn l¹i. VËy cã 4.4 !=96 sè n. Có 24 số với số k (k=1,2,3,4) đứng ở vị trí a4. Có 18 số với số j ( j=1,2,3,4) đứng ở vị trí ai với i=0,1,2,3. VËy tæng cña 96 sè n lµ: 0,5 (1 + 2 + 3 + 4)[(24.10 4 + 18(10 + 10 2 + 101 + 100 )] = 2599980 . 3. Chó ý:. 0,25. C©u I : Khèi A;B: 2 ®iÓm Khèi D: (3®iÓm) : ý I.1: 2,0 ®iÓm, ý I.2: 1,0 ®iÓm.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>