BO DE ON TAP TOAN 6

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (551.1 KB, 55 trang )

(1)đề số 1 Môn : Toán 6 Năm học : 2009 – 2010 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề ra Bài 1 : Tìm các số nguyên x, y: x 6 = và x > y > 0 5 y Bài 2 : Cho hai số x, y trái dấu: a). b). −2 y = x 5. và x < 0 < y. Tính x - y, biết |x|+| y| ¿ 2010 Bài 3 : Một vòi nước chảy vào bể sau 60 phút thì đầy bể. Vòi thứ hai lấy nước ra dùng sau 90 phút thì dùng hết. Người ta dọn bể và tháo nước. Rồi người ta mở vòi thứ nhất chảy vào bể, sau 15 phút đồng thời người ta mở vòi thứ hai lấy nước dùng. Hỏi sau bao lâu nữa bể sẽ đầy ? Bài 4 : a) Cho 10m - 1 ⋮ 19. Chứng tỏ rằng : 102m + 18 ⋮ 19 b) Chứng minh : 3 + 32 + 33 + 34 + …… + 325 không chia hết cho 39. Bài 5 : Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm O. Gọi M là trung điểm của OA, N là trung điểm của OB và K là trung điểm của AB. a) Biết AB = 6. Tính độ dài đoạn thẳng MN. b) So sánh OM và ON HD Bài 2: Xét 2 TH x>0 ,y<0 v à x<0, y>0 Bài 4 : a) Cho 10m - 1 ⋮ 19. Chứng tỏ rằng : 102m + 18 ⋮ 19 C1: Ta co 102m + 18 ⋮ 19 ⇔ 10m – 1+ 10m + 19 ⋮ 19 C2: Ta cã: 102m + 18 =10 m 10 m + 18= 10 m (10 m -1)+ 10 m+18 ⋮ 19 ⇔ 10 m+18 ⋮ 19 (v× 10 m (10 m -1) ⋮ 19) Ta cÇn c/m 10 m+18 ⋮ 19. Theo nguyªn lÝ quy n¹p +Với m=1 thì 10 m+18 ⋮ 19=10 1+18 ⋮ 19=38 ⋮ 19 (đúng) +Víi m = k. Gi¶ sö 10 k+18 ⋮ 19 Ta cần c/m 10 m+18 ⋮ 19 đúng với m= k+1 ThËt vËy víi m= k+1, ta cã10 m+18 ⋮ 19 =10 k+1+18 ⋮ 19=10 k10+18 ⋮ 19=10(10 k+18)-180+18 ⋮ 19= =10(10 k+18)-162 ⋮ 19 luôn đúng.. đề số 2. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 6 ( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề ). Bài 1 ( 2,5 điểm ) :. 6 6 6 6 + + +. ..+ và chứng tỏ tổng S < 1 ? 2 . 5 5 . 8 8 .11 29. 32 a− 1 b+1 b) So sánh hai phân số và ( với a ; b là số nguyên cùng dấu và a ; b  0 ) a b Bài 2 ( 2,5 điểm ) : a) Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có 2 chữ số, y là số nguyên âm lớn nhất. Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2009 . x2006 - 2008 . y2007 a) Tính tổng S =. 1.

(2) b) Tìm x biết. −. 7 33 3333 333333 33333333 x .( + + + )=22 4 12 2020 303030 42424242. Bài 3 ( 2,0 điểm ) : Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu ? Bài 4 ( 3,0 điểm ) : Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy ta kẻ các tia Om và On sao cho mOx = a0 ; mOn = b0 ( a > b ). Vẽ tia Ot là phân giác của xOn : a) Tính số đo mOt theo a và b trong hai trường hợp ( tia On nằm giữa hai tia Ox và Om ; tia Om nằm giữa hai tia Ox và On ) ? b) Trên nửa mặt phẳng bờ là xy có chứa tia Ot vẽ tia Ot’ vuông góc với tia Ot . Chứng tỏ trong cả hai trường hợp trên ta đều có tia Ot’ là tia phân giác của nOy Bài 5 ( 1,0 điểm ) Chứng minh rằng tích của một số chính phương và một số đứng trước nó chia hết cho 12 ĐÁP ÁN Bài 1 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm. ( 2.35 + 53. 8 + 8 .311 + .. .293. 32 ) ..........................................................0,25đ 1 1 1 1 1 1 1 1 S = 2. ( − + − + − +. . .+ − ) . ..........................................0,25đ 2 5 5 8 8 11 29 32 1 1 30 S = 2. ( − ) = ................................0,25đ 2 32 32. S = 2.. Vì 30 < 32 nên S < 1 b) 1,5 điểm a− 1 1 Có =1và a a. b+1 =1+ b 1 * Nếu a > 0 và b > 0 thì > 0 và a 1 1 a− 1 1< 1+ hay < a b a 1 * Nếu a < 0 và b < 0 thì < 0 và a 1 1 a− 1 1> 1+ hay > a b a. ..................................0,25đ 1 .................................................................0,5đ b 1 > 0 ..................................................0,25đ b b+1 ..........................................................0,25đ b 1 < 0 .................................................0,25đ b b+1 ..........................................................0,25đ b Bài 2 ( 2,0 điểm ). a) 1,0 điểm Theo bài ta có. x = - 99 + ( - 98 ) + ....+ ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + ...+ 98 + 99 ................. 0,25đ x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + ... + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) .............0,25đ 2006 x=0  x =0 và y = - 1  y2007 = ( - 1 )2007 = - 1 ............................................................................................0,25đ Do đó ta có A = 2009 . x2006 - 2008 . y2007 = 0 - 2008.( -1 ) = 2008 .............................................0,25đ b) 1,5 điểm 7 33 3333 333333 33333333 + + )=22 Ta có − x .( + 4 12 2020 303030 42424242 7 33 33 33 33  − x .( + + + )=22 ..........................................................................0,25đ 4 12 20 30 42 7 1 1 1 1  − x . 33 .( + + + )=22 ......................................................................0,25đ 4 12 20 30 42. 2.

(3) 7 1 1 1 1 1 1 1 1 x . 33 .( − + − + − + − )=22 ....................................................0,25đ 4 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1 1 7 4  − x . 33 .( − )=22  − x . 33 . =22 .....................................................0,5đ 4 3 7 4 21  -11.x = 22  x = - 2 .................................................................0,25đ . −. Bài 3 ( 2,0 điểm ). Gọi phân số tối giản lúc đầu là phân số này nhỏ hơn phân số. a b. a . Nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số b 2 lần. a a = ; b+b 2 b. .............................................................0,5đ. a+b gấp 2 lần phân số lúc đầu thì a + b phải bằng 4 lần a ..............................0,5đ 2b  Mẫu số b phải gấp 3 lần tử số a .....................................................................0,5đ 1 Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là .........................................................0,5đ 3 Bài 4 ( 3,0 điểm ) m t’ a) 2,0 điểm . Xét đủ hai trường hợp : n * Khi tia On nằm giữa hai tia Ox và Om t + Vì tia On nằm giữa hai tia Om và Ox  xOn = a0 - b0 ......................0,25đ x y O 1 a0 −b0 + Vì Ot là phân giác của xOn nên nOt = xOn = ................0,25đ 2 2 a 0 − b0 a0 +b 0 + Số đo của mOt là : mOt = mOn + nOt = = ............0,5đ b0 + 2 2 Để. * khi tia Om nằm giữa hai tia Ox và On + Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và On  xOn = xOm + mOn = a0 + b0 ............. 0,25đ + Vì Ot là phân giác của xOn nên 0 0 1 a +b xOt = xOn = ......................0,25đ 2 2 0. + Số đo của mOt là : mOt = xOm - xOt = a −. m. n. t’. t. x a0 +b 0 2. O =. a0 −b0 2. y. ...................0,5đ. b) 1,0 điểm Trong cả hai trường hợp trên, ta đều có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 900 ....................0,5đ Mà tOn = xOt ( do Ot là phân giác của xOn ) ..................................................0,25đ  nOt’ = t’Oy hay Ot’ là phân giác của nOy ....................................................0,25đ Bài 5 ( 1,0 điểm ) Số chính phương là n2(n Z) số đứng trước nó là n2-1 Ta có (n2-1)n2 =(n+1)(n-1)n2= (n-1)n.n(n+1) Tích này có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 Mặt khác (n-1)n là hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 Và n (n+1) chia hết cho 2 Nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 4 Mà (3;4) = 1 nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 12 Vậy (n2-1)n2 chia hết cho 12. đề số 3. ---------- Hết ----------. 3.

(4) thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp 6 N¨m häc 2007-2008 Bµi 1. Cho c¸c sè a, b, c. H·y chøng tá r»ng nÕu 4a + 5b + 7c chia hÕt cho 11 th× 5a + 9b + 6c còng chia hÕt cho 11 (4®iÓm) Gi¶i: Theo bµi ra ta cã: (4a + 5b + 7c) (x20)25 11 => 7(4a + 5b + 7c) (x20)28 11 XÐt tæng: 28a + 35b + 49c + 5a + 9b + 6c = 11(3a + 4b + 5c) (x20)35 11 => 5a + 9b + 6c  kN 11 Bµi 2. Cho mét sè cã ba ch÷ sè mµ ch÷ sè cuèi lín h¬n ch÷ sè ®Çu. NÕu viÕt ch÷ sè cuèi lªn tríc ch÷ sè đầu thì đợc một số mới lớn hơn số đã cho là 783. Tìm số đã cho? (3điểm) Giải: Số đã cho biểu diễn dới dạng: x 9 9 x201019 Trong đó a, b, c. 4 3. N;. 3 2. 12. Sè míi biÓu diÔn díi d¹ng: 5 . Ta cã: 100c + 10a + b – 100a – 10b – c = 783 => 99c – 90a – 9b = 783 => 11c – 10a – b = 87 => 11c > 87 => c = 8 hoÆc c = 9 NÕu c = 8 => 10a + b = 1 => a = 0 (lo¹i). NÕu c = 9 => 10a + b = 12 => a = 1, b = 2 Thö l¹i: 912 – 129 = 783. VËy sè ph¶i t×m lµ 129 3 9 2 1  (3  x  5 ) : 7 0 8 24 3 Bµi 3. a) T×m x: (2®iÓm) 27 129 3 27 129 81  129 1 (  x  ). 0 ( x ).3 23 (  x).3 23 8 24 23 24 24 Gi¶i: => 8 => 2 9 (x  2).3 23 => 3x = 23 + 6 => x = 3 a, b  b)T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a vµ b, sao cho ¦CLN (a, b) = 10, BCNN  = 100 (4®iÓm) ab  a.b  a, b  (a, b) Gi¶i: Ta cã = 100.10 = 103. Gi¶ sö a = 10a,, b = 10b,, víi (a,, b, ) = 1 => a,b, =10. , a 1  , b 10 VËy  ,. , a 2  , b 5 ,. , a 10  , b 1 ,. , a 5  , b 2. =>. a 10 a 20 a 50 a 100     b 100 ,  b 50 ,  b 20 , b 10. Bµi 4. Chu vi cña mét h×nh ch÷ nhËt lµ 60m. NÕu gi¶m chiÒu dµi 10% cña nã vµ t¨ng chiÒu réng 20% cña nó thì chu vi không đổi. Tính diện tích của hình chữ nhật? (4 điểm) Gi¶i: Tæng chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lµ 60 : 2 = 30 (m) Tæng cña 0,9 chiÒu dµi vµ 1,2 chiÒu réng còng b»ng 30m, tøc 0,1 chiÒu dµi b»ng 0,2 chiÒu réng. 0,1 1  0, 2 2 VËy: NghÜa lµ tû sè gi÷a chiÒu réng vµ chiÒu dµi cña h×nh ch÷ nhËt b»ng ChiÒu dµi cña h×nh ch÷ nhËt lµ 30 : (1 + 2) . 2 = 20 (m) ChiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lµ 30 – 20 = 10 (m) DiÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt lµ 10 . 20 = 200 (m2) Bµi 5. Cho tia Oc n»m gi÷a hai tia Oa vµ Ob, tia Om n»m gi÷a hai tia Oa vµ Oc, tia On n»m gi÷a hai tia Oc vµ Ob. Chøng tá r»ng tia Oc n»m gi÷a hai tia Om vµ On (3®iÓm) Giải: Gọi nữa mặt phẳng bờ Oc chứa tia Oa là P, nữa mặt phẳng đối của nó là Q, nh vậy tia Ob thuộc Q. Tia Om nằm giữa hai tia Oa và Oc nên các tia Om, Oa thuộc cùng một nữa mặt phẳng có bờ Oc, do đó tia Om thuéc P. Tia On nằm giữa hai tia Oc, Ob nên các tia On, Ob thuộc cùng một nữa mặt phẳng có bờ Oc, do đó tia On thuéc Q. Các tia Om, On thuộc hai nữa mặt phẳng đối nhau có bờ Oc (1).   Ta l¹i cã cOm  cOa (v× tia Om n»m gi÷a hai tia Oc vµ Oa),   cOn  cOb (v× tia On n»m gi÷a hai tia Oc vµ Ob) b. n. 4 c.

(5) m Q. đề số 4. a. O. 0      nªn cOm  cOn  cOa  cOb aOb 180 , 0   tøc lµ cOm  cOn 180 (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra tia Oc n»m gi÷a hai tia Om vµ On. P. §Ò thi häc sinh giái khèi 6 M«n: to¸n Thßi gian 120 phót. §Ò bµi Bµi 1: Chøng minh ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho 7. Bµi 2: ViÕt 7. 32 thµnh tæng 3 lòy thõa c¬ sè 2 víi c¸c sè mò lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp 1 1 4 upload.123doc.net 5 1 8 Bµi 3: TÝnh A = 3 × × − .× 5 − × + 117 119 117 119 117 119 39 Bµi 4: Cho biÓu thøc 3 1 1 432 4 A= ×2 − × − 229 433 229 433 229× 433 1 1 a)Bằng cách đặt a= ,b= 229 433 Rót gän biÓu thøc A theo a vµ b b)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A Bµi 5: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20 Bµi 6: T×m sè d khi chia 1963 1964 cho 7 Bài 7: Một xí nghiệp đã làm một số dụng cụ trong 3 đợt. Đợt 1 đã làm đợc. 1 3. tæng sè dông cô. 1 tæng sè dông cô vµ lµm thªm 25 chiÕc. §ît 3 xÝ nghiÖp lµm nèt 25 dông cô. 4 TÝnh tæng sè dông cô. Đợt 2 làm đợc. §¸p ¸n to¸n 6 C©u 1: (3 ®iÓm) Ch¬ng minh: ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho 7 Ta cã ( 210 + 211 + 212 ) = 2 10 (1 + 2 + 2 2 ) (1 ®) mµ (1 + 2 + 2 2 ) chia hÕt cho 7 (1 ®) do vậy 2 10 (1 + 2 + 2 2 ) chia hết cho 7. Do đó ( 210 + 211 + 212 ) chia hết cho 7 (1 đ) C©u 2: (3 ®iÓm) §Æt sè tù nhiªn thø nhÊt lµ a c¸c sè tiÕp theo lµ a + 1, a + 2 Ta cã: 7 . 32 = 2 a + 2 a+1 + 2 a+2 = 2a +2a 2 + 2a. 22 = 2a (1 + 2 + 22 ) = 2a 7 (1,5 ®) 7. 32 = 2a 7  32 = 2a  a = 5 (1 ®) VËy 32 = 2 5 + 2 6 + 2 7 1 1 4 upload.123doc.net 5 1 8 C©u 3: TÝnh A= 3 . × − . 5× − × + 117 119 117 119 117 119 39 1 1 đặt a = , b= (1 ®) 117 119 1 1 4 upload.123doc.net 5 1 8 Ta cã: 3× × − ×5 − × + 117 119 117 119 117 119 39 8 = 3ab – 4a (5 + 1 - b) – 5ab + (0,5 ®) 39 8 = 3ab – 24 a + 4ab – 5ab + (0,5 ®) 39 8 = 2ab – 24a + (0,5 ®) 39 1 1 Thay a = , b= 117 119. 5.

(6) ta cã A =. 2×. 1 1 1 8 × −24 × + 117 119 117 39. 2 24 × 119 24 ×119 2 = (0,5 ®) − + 117 ×119 117 × 119 117 ×119 117 ×119 3 1 1 432 4 C©u 4: A = ×2 − × − 229 433 229 433 229× 433 1 1 a) đặt a= ,b= 229 433 Ta cã: A = 3a(2 + b) – a (1 - b) – 4ab = 5a (1,5 ®) 1 5 b) A = 5a = 5 (1,5 ®) = 229 229 C©u 5: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20 C¸ch 1: ta cã (19 45 + 1930 ) = 1930 (1915 +1) (1 ®) Mµ (1915 +1) = BS (19 + 1) chia hÕt cho 20 (1 ®) Do đó: 1930 (1915 +1) chia hết cho 20 (1 ®) Nªn (19 45 + 1930 ) chia hÕt cho 20 (1 ®) C©u 6: Ta thÊy 1963 chia cho 7 d 3 Do đó 19631964 = (BS 7 +3)1964 = BS 7 + 31964 (1 ®) XÐt sè 31964 = 32. (33)654 = 9. (28 – 1 )654 = 9. (BS 7 + 1 ) = BS 7 + 2 (1,5®) Vậy 31964 chia cho 7 d 2 do đó 19631964 chia cho 7 d 2 (0,5 ®) C©u 7: §Æt tæng sè dông cô xÝ nghiÖp s¶n xuÊt lµ a (0,5 ®) 1 1 Ta cã: + 15 + 25 = a (0,25 ®) a + 3 4a 1 1 a + + 40 = a (0,25 ®) 3 4a 1 1 a + - a = -40 3 4a 1 1 a ( + −1 ) = - 40 3 4 4+3 − 12 a( ) = - 40 (0,5 ®) 12 5 5 − a = - 40 a = (- 40): ( − ) =96 (0,5 ®) 12 12 §¸p sè: 96 dông cô =. đề số 5. Đề thi học sinh giỏi Môn toán Lớp 6 Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài 120 phút. Bài 1 (2 điểm) Tính nhanh: 2008.2009  4018 b/ 2010.2011  4020. a/ (-47) + 74 - ( 53 - 26) Bài 2 (3 điểm) a/ Tìm số tự nhiên n biết rằng khi chia 147 và 193 cho n thì có số dư lần lượt là 17 và 11. 3 b/ Khi cộng vào cả tử và mẫu của phân số 7 với cùng một số nguyên x thì được một phân số có giá 1 trị bằng 3 . Tìm số nguyên x? c/ Cho a, b, c là các số nguyên dương.. 6.

(7) a b c   Chứng tỏ rằng P = a  b b  c c  a không phải là một số nguyên. Bài 3 (2,5 điểm) Bài kiểm tra chất lượng học kỳ I môn Toán của lớp 6A không có bạn nào bị điểm dưới trung bình. Số 2 học sinh đạt điểm loại trung bình bằng 60% số học sinh cả lớp; số học sinh đạt điểm loại khá bằng 7 số học sinh cả lớp. Biết rằng, lớp 6A có khoảng từ 30 đến 40 bạn và tất cả các bạn đều tham gia kiểm tra. Hỏi bài kiểm tra đó có bao nhiêu học sinh đạt điểm loại giỏi ? Bài 4 (2,5 điểm) Trên tia Ox lấy các điểm A và B sao cho OA = 2cm, AB = 6cm. a/ Tính khoảng cách giữa trung điểm I của đoạn thẳng OA và trung điểm K của đoạn thẳng AB. 2  OMA  AMB OMB  3 b/ M là một điểm nằm ngoài đường thẳng AB. Biết = 100O và , tính số đo AMB . ================Hết================ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 Bµi 1 a (2®) b. 2 (3®). a. b. c. Néi dung = - 47 + 74 - 53 + 26 = -(47 +53) +(74 + 26) = -100 +100 = 0 2008.2009 + 4018 = 2008.2009 + 2.2009 = 2009.(2008+2) = 2009.2010 2010.2011-4020 = 2010.2011-2.2010 = 2010.(2011-2) = 2010.2009 2008.2009  4018  2010.2011  4020 = 1. §iÓm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25. 147 chia cho n d 17; n  N nªn n > 17 vµ 147 -17 n hay 130 n 193 cho n d 11 nªn 193 - 11 n hay 182 n  n  ¦C(130,182)  1; 2; 13; 26 ¦C(130,182) = n > 17 nªn n = 26. 3 x 1  Từ đề bài suy ra 7  x 3  3(3+x) = 7+x  9 +3x = 7+x  3x - x = 7 - 9  2x = -2  x = -1. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25. b c a a b c Do a, b, c d¬ng nªn a  b > a  b  c ; b  c > a  b  c ; c  a > a  b  c. 0.25. a b c a b c      P = ab bc ca > abc a bc ab c = 1. 0.25. Do a, b, c có vai trò bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử a b c. 0.25. Ta cã a, b, c d¬ng vµ a  b  c + a  c + b . c c c  a c  b. . b c b c   b  c c  a b c c  b = 1 7.

(8) a a b c   Do a, b d¬ng nªn a  b < 1  a  b b  c c  a < 2 a b c   1< a  b b  c c  a < 2 nªn P kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn. 0.25. Số học sinh đạt điểm loại khá và trung bình bằng: 2 3 2 31 60% + 7 = 5 + 7 = 35 (Sè häc sinh c¶ líp) Số học sinh đạt điểm loại giỏi bằng: 31 4 1- 35 = 35 (Sè häc sinh c¶ líp) 4 Vì số học sinh đạt loại giỏi bằng 35 số học sinh cả lớp nên số học sinh cả lớp lµ béi cña 35.  0; 35; 70; 105... Ta cã B(35) = Vì lớp 6A có khoảng từ 30 đến 40 bạn nên số học sinh lớp 6A là 35 bạn. Số học sinh đạt điểm loại giỏi là: 4 35 . 35 = 4 (B¹n) §¸p sè: 4 b¹n.. 3 (2,5®). 4 (2,5®). 0.5. 0.5. 0.25 0.25 0.5 0.5. M. 0.5. O. a. b. I. A. K. B. Chứng tỏ đợc A nằm giữa O và B Tính đợc IA = 1cm; AK = 3cm Chứng tỏ đợc A nằm giữa I và K Suy ra IK = 4 cm Chứng tỏ đợc tia MA nằm giữa hai tia MO và MB    OMA  AMB OMB 2 AMB  AMB 100o  3  AMB = 60O. x. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25. Tæng 10.0 Lu ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - NÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh th× chÊm mét nöa sè ®iÓm cña phÇn lµm bµi h×nh, häc sinh vÏ h×nh sai th× kh«ng chÊm ®iÓm bµi h×nh. - Bài làm không chặt chẽ, không đủ cơ sở ở phần nào thì trừ một nửa số điểm ở phần đó. - Tuú theo bµi lµm cña häc sinh gi¸m kh¶o cã thÓ chia nhá mçi ý cña biÓu ®iÓm.. đềsố sè 6 6 đề. §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn m«n to¸n 6 N¨m häc: 2006-2007. ( thêi gian 90/). C©u 1:Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: (4 ®iÓm). 8.

(9) 2181. 729+243 . 81. 27 (1 ®iÓm) 3 2 . 92 . 234+ 18. 54 . 162. 9+723 . 729 1 1 1 1 1 b. (1 ®iÓm) + + +⋯+ + 1 . 2 2. 3 3 . 4 98 . 99 99. 100 1 1 1 1 + 2 + 2 +⋯+ <1 c. (1 ®iÓm) 2 3 4 1002 5 . 4 15 . 99 − 4 .3 20 . 89 (1 ®iÓm) d. 5 . 29 . 619 −7 . 229 . 276 a.. Câu 2: (2 điểm) Một quãng đờng AB trong 4 giờ. Giờ đầu đi đợc. 1 3. quãng đờng AB. Giờ thứ 2 đi kém giờ. 1 1 quãng đờng AB, giờ thứ 3 đI kém giờ thứ 2 quãng đờng AB. Hỏi giờ thứ t đi mấy quãng 12 12 đờng AB? C©u 3: (2 ®iÓm) a. VÏ tam gi¸c ABC biÕt BC = 5 cm; AB = 3cm ;AC = 4cm. b. LÊy ®iÓm 0 ë trong tam gi¸c ABC nãi trªn.VÏ tia A0 c¾t BC t¹i H, tia B0 c¾t AC t¹i I,tia C0 c¾t AB t¹i K. Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác. C©u 4: (1 ®iÓm) a. T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: 2100 , 71991 b.T×m bèn ch÷ sè tËn cïng cña sè sau: 51992 ®Çu lµ. §¸p ¸n: I - Tù luËn. C©u 1: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh. 2181. 729+243 .3 − 81. 9 2181. 729+7292 =¿ C©u a. 3 2 . 92 . 243+ 93 . 2. 6 . 162+ 723. 729 729. 243+729 . 1944+723 .729 729(2181+729) 729 .2910 ¿ = =1 729(243+1944+ 723) 729 .2910 C©u b. Ta cã: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − ; = − ; = − ; …..; = − ; 1.2 1 2 2.3 2 3 3.4 3 4 98 . 99 98 99 1 1 1 = − 99 .100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 VËy + + +⋯+ + =¿ − + − + − +⋯+ − + − =¿ 1 . 2 2. 3 3 . 4 98 . 99 99. 100 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 1 99 . 1− = 100 100 C©u c. Ta cã: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 ; < = − ; < = − ; 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1.2 1 2 3 2. 3 2 3 ¿ 2< = − ; . .. ; < = −❑ 2 4 3.4 3 4 100 99 . 100 99 ❑ 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 +⋯+ <¿ VËy + + +⋯+ =¿ 2 2 1 . 2 2. 3 3 . 4 99 . 100 2 3 4 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 99 ¿ 1− + − + − +⋯+ − =¿=1− = < 1. 2 2 3 3 4 99 100 2 100 ¿ 229 . 318 (5. 2 −3) 5 . 230 .3 18 −22 .3 20 . 227 C©u d: = =2 5 . 29 . 219 . 319 − 7 .229 .318 228 . 318 (5 .3 −7 . 2) ¿ Câu 2:Quãng đờng đi đợc trong 3 giờ đầu là:. 9.

(10) ¿ ¿ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + − − =¿= + + − + + =1 − ¿ 3 3 12 3 12 12 3 3 3 12 12 12 4 1 Quãng đờng đi trong giờ thứ t là quãng đờng 4 C©u 3: A I K a. VÏ ®o¹n th¼ng BC=5cm 0 VÏ cung trßn (B;3cm) B C VÏ cung trßn (C;4cm) H LÊy giao ®IÓm A cña hai cung trªn. Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta đợc tam giác ABC. b. Có 6 tam giác” đơn” là AOK; AOI; BOK; BOH; COH; và COI. Có 3 tam giác “Ghép đôI” là AOB; BOC; COA. Cã 6 tam gi¸c “GhÐp ba” Lµ ABH; BCI; CAK; ABI; BCK; CAH. Cã mét tam gi¸c “GhÐp 6” lµ tam gi¸c ABC. VËy trong h×nh cã tÊt c¶ 6+3+1+6 = 16(Tam gi¸c). C©u 4: a.T×m hai sè tËn cïng cña 2100. 210 = 1024, b×nh ph¬ng cña hai sè cã tËn cïng b»ng 24 th× tËn cïng b»ng 76, cã sè tËn cïng b»ng 76 n©ng lªn lũy thừa nào( khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó: 2100 = (210)10= 1024 = (10242)5 = (…76)5 = …76. VËy hai ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 76. * T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña 71991. Ta thấy: 74=2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó: 71991 = 71988. 73= (74)497. 343 = (…01)497. 343 = (…01) x 343 =…43 VËy 71991 cã hai sè tËn cïng lµ 43. T×m 4 sè tËn cïng cña 51992. 51992 = (54)498 =0625498=…0625. (. đề số 7. )(. ) (. )(. ). §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn Thêi gian lµm bµi: 120 phót. Trêng THCS M«n: To¸n Líp 6. §Ò bµi I. §Ò bµi: Bài 1 (1,5đ): Dùng 3 chữ số 3; 0; 8 để ghép thành những số có 3 chữ số: a. Chia hÕt cho 2 b. Chia hÕt cho 5 c. Kh«ng chia hÕt cho c¶ 2 vµ 5 Bµi 2 (2®): a. T×m kÕt qu¶ cña phÐp nh©n A = 33 ... 3 x 99...9 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè b. Cho B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 T×m sè tù nhiªn n, biÕt r»ng 2B + 3 = 3n Bµi 3 (1,5 ®): TÝnh 101  100  99  98  ...  3  2  1 a. C = 101  100  99  98  ...  3  2  1 3737.43  4343.37 b. D = 2  4  6  ...  100 Bµi 4 (1,5®): T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña 2100. Bài 5 (1,5đ): Cho ba con đờng a1, a2, a3 đi từ A đến B, hai con đờng b1, b2 đi từ B đến C và ba con đờng c1, c2, c3, đi từ C đến D (hình vẽ).. A. a1 a2. b1 B. C. c1 c2. D. b2 a3. c3. 1.

(11) Viết tập hợp M các con đờng đi từ A dến D lần lợt qua B và C Bài 6 (2đ): Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đờng thẳng. có tất cả bao nhiêu đờng thẳng. §¸p ¸n to¸n 6 Bµi 1 (1,5®): a. 308; 380; 830 (0,5®) b. 380 830 (0,5®) c. 803 Bµi 2 (2®): a) (1®) A = 33...3 x (1 00..0 - 1) (0,25®) =. 50 ch÷ sè 33...3. 00...0. 50 ch÷ sè - 33...3. (0,25®). 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè §Æt phÐp trõ 33 ... 33 00 ... 00 33 ... 33 33 ...32 66 ... 67 (0,25®) 49 ch÷ sè 49 ch÷ sè VËy. A=. 33 ...32 66 ... 67. (0,25®). 49 ch÷ sè 49 ch÷ sè b). B = 3 + 32 + 33 + ... + 399 + 3100 (1) 3B = 32 + 33 + ... + 3100 + 3101 (2) Lấy (2) trừ (1) ta đợc: 2B = 3101 - 3 Do đó: 2B + 3 = 3101 Theo đề bài 3B + 3 = 3n VËy n = 101 Bµi 3 (1,5®): a) (0,75®) 101  100  99  98  ...  3  2  1 C = 101  100  99  98  ...  3  2  1. (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®). Ta cã: 101 + (100 + 99 + ... + 3 + 2 + 1) =101 + 101.100 : 2 = 101 + 5050 = 5151 (0,25®) 101 - 100 + 99 - 98 + ... + 3 - + 1 = (101 - 100) + (99 - 98) + ... + (3 - 2) + 1 50 cÆp = 50 + 1 = 51. (0,25®). 5151 101 VËy C = 51. (0,25®). b) (0,75®) 3737.43  4343.37 B = 2  4  6  ...  100 Ta cã: 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = 0 VËy B = 0 ( v× 2 = 4 + 6 + ...+ 100  0) Bµi 4 ( 1,5®): Ta cã: 210 = 1024.   10. (0,5®) (0,25®). (0,25®) 10. . 2 1024 2100 = = 102410 = =(......76)5 = ....76 VËy hai ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 76. 2. . 5. (0,75®) (0,5®). 1.

(12) Bµi 5 (1,5®): Nếu đi từ A đến D bằng con đờng a1: a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; (0,5®) Đi từ A đến D bằng con đờng a2: a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; (0,5®) Đi từ A đến D bằng con đờng a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; (0,5®) VËy tËp hîp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Bµi 6 ( 2®): Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ đợc 99 đờng thằng (0,5®) Làm nh vậy với 100 điểm ta đợc 99.100 đờng thẳng (0,5®) Nhng mỗi đờng thẳng đợc tính 2 lần, do đó tất cả có 99.100 : 2 = 4950 đờng thẳng (1®). Phßng GD-®t. đề số 8 §Ò thi chän häc sinh giái líp 6 n¨m häc 2008-2009 M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi 120 phót. §Ò chÝnh thøc. C©u 1: (3 ®iÓm ) a) TÝnh tæng sau: A. 10 10 10 10    ...  56 140 260 1400 .. 1.2  2.3  3.4  ...  99.100 116 50 2 2 2 131 b) T×m x  Z , biÕt: x  ( x  1)  ( x  2)  ...  ( x  99) 2. C©u 2: (2,5 ®iÓm ) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 biết rằng số đó có 15 ớc dơng..  9x  Sè. 8. x   0;1; 2;...;9 b) víi viÕt trong hÖ thËp ph©n cã bao nhiªu ch÷ sè ?. C©u 3: (2,0 ®iÓm ) Hai ngời khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B. Ngời thứ nhất đi từ A đến B rồi quay lại ngay. Ngời thứ hai đi từ B đến A rồi quay lại ngay. Hai ngời gặp nhau lần thứ hai tại địa điểm C cách A là 6km. Tính. 2 quãng đờng AB, biết rằng vận tốc của ngời thứ hai bằng 3 vận tốc của ngời thứ nhất. C©u 4: (2,5 ®iÓm) a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia BA lấy O (O khác B). So sánh độ dài đoạn th¼ng OM vµ trung b×nh céng cña hai ®o¹n th¼ng OA vµ OB. b) Cho 10 đờng thẳng đồng quy tại O. Hỏi có bao nhiêu góc ở đỉnh O đợc tạo thành (không kể góc bẹt) ? =============HÕt===============. 1.

(13) UBND HuyÖn Phßng GD-®t. Híng dÉn chÊm §Ò thi chän häc sinh giái líp 6 n¨m häc 2008-2009 M«n: To¸n. C©u. Néi dung. §iÓm. a) 10 10 10 10 5 5 5 5 5 3 3 3 3 A    ...     ...  .(    ...  ) 56 140 260 1400 = 28 70 130 700 = 3 28 70 130 700 5 3 3 3 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1 .(    ...  ) .(       ...   ) 25.28 = 3 4 7 7 10 10 13 25 28 = 3 4.7 7.10 10.13. 0,5 0,5 0,5. 5 1 1 5 6 5 .(  ) .  = 3 4 28 3 28 14 ----------------------------------------------------------------------------------------------. 1 (3,0®). b) §Æt A 1.2  2.3  3.4  ....  99.100 3.A= 1.2.3+2.3.3+3.4.3+….+99.100.3 3A = 1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+ 3.4.(5-2)+….+99.100.(101- 98) 3A= 1.2.3+2.3.4 – 1.2.3 +3.4.5 – 2.3.4+… + 99.100.101 – 98.99.100 3A= 99.100.101 A= 333300. 0,5 0,5. 2 2 2 2 2 §Æt B x  ( x  1)  ( x  2)  ...  ( x  99) = 100 x  (1  2  3  ...  99) 2 = 100 x  4950. 0,5. 333300 116 6666 2 Do đó ta có: 100 x  4950 =50 131 = 131 50 1  100 x  4950 131  100 x 2  4950 50.131 2.  100 x 2 1600  x 2 16  x 4 14 2 4 a) V× 15 =1.15 = 3.5 nªn sè cÇn t×m cã d¹ng a hoÆc b .c ( a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tè vµ b c ) 2 (2,5®). 14 14 TH1: Số cần tìm có dạng a mà số đó là nhỏ nhất nên a 2  2 16384. 2 4 2 4 TH2: Số cần tìm có dạng b .c mà số đó là nhỏ nhất nên c 2; a 3  3 .2 144 . Do 144< 16384 nªn sè cÇn t×m lµ 144..  9x  b) Ta cã. 0,5. 0,5. 8. 8 16 < 100 10 (1) 8 15 8 7 Ta cÇn chøng minh: 90  10 hay 98108>107108 => 9  10 (2) 8 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4 3 7 ThËt vËy, ta cã: 9 81  80 10 .8 10 .(2 ) 10 .16  10 .10 10 15. Tõ (1) vµ (2) suy ra: 10 thËp ph©n cã 16 ch÷ sè. 3 (2,0®). 0,5.   9x . 8 16. < 10 , víi mäi. x   0;1; 2;...;9.  9x  nªn sè. 0,5 0,5. 8. viÕt trong hÖ. Từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau lần thứ hai ở C, ngời thứ hai đi đợc quãng đờng là BA+6km (1) , cả hai ngời đi đợc 3AB.. 0,5. 1.

(14) 2 Vận tốc của ngời thứ hai bằng 3 vận tốc ngời thứ nhất nên quãng đờng ngời thứ hai đi đợc 2 2 6 bằng 5 tổng quãng đờng hai ngời đi đợc tức là bằng: 3AB. 5 = 5 AB (2). 1 1 Từ (1) và (2) suy ra 5 AB dài 6 km. Quãng đờng AB dài là: 6: 5 = 30 km.. A. 4 (2,5®). M. B. 1 0,5. O. a) M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB nªn M n»m gi÷a A vµ B ; MA=MB (1) Hai tia BM, BA trùng nhau; hai tia BO, BA đối nhau do đó B nằm giữa O và M suy ra OM=OB+BM (2). Hai tia MA, MB đối nhau, hai tia MB, MO trùng nhau suy ta hai tia MA, MO đối nhau do đó M nằm giữa A và O. Vậy OM+MA=OA  OM=OA-MA (3). OA  OB 2 Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra 2OM=OA+OB hay OM= b) 10 đờng thẳng đồng quy tại O  có 20 tia gốc O. Chọn ra một tia, tia đó tạo với mỗi tia trong (20-1) tia cßn l¹i thµnh 1 gãc. Lµm nh thÕ víi 20 tia ta cã 20.(20-1) =380 gãc, trong đó mỗi góc đã đợc tính hai lần. Do đó số góc tạo thành là: 380:2 =190 góc. Sè gãc t¹o thµnh kh¸c gãc bÑt lµ: 190-10 = 180 gãc.. 0,5 0,5 0,5. 0,5 0,5. đề số 9 Phßng gi¸o dôc. I.. §Ò thi häc sinh giái khèi 6 M«n thi : To¸n häc. Thêi gian 120 phót. PhÇn tr¾c nghiÖm. Câu 1 Tìm tất cả các số nguyên n thích hợp để biểu thức. 5 2 n+7. lµ sè nguyªn. A) -3 : B) -3, 4 ,-4 ; C) -3, -4, -6, -1 ; D) -3, -4, -6, 1 ; C©u 2 §iÒn sè thÝch hîp vµo chç trèng trong c¸c c©u sau: A. Có hai số tự nhiên liên tiếp đều là số nguyên tố là …… B. Có ba số lẽ liên tiếp đều là số nguyên tố là …………… C. Cã mét sè nguyªn tè ch½n lµ ………. D. Sè nguyªn tè nhá nhÊt lµ ……… Câu 3 Hãy điền chữ Đ (đúng ), S (sai ) vào ô trống cho các khẳng định sau: Cho tËp hîp M = { 1945; 1946; ……..;1975} TËp hîp M cã : A) 30 phÇn tö B) 31 phÇn tö. C) Tæng c¸c phÇn tö trong M lµ : 3920x15 D) Tæng c¸c phÇn tö trong M lµ : 3919x15 + 1975 II. PhÇn tù luËn C©u 1 §Ðn n¨m 2010, sè tuæi vµ sè n¨m cña Hoµng cã BCNN gÊp 133 lÇn ¦CLN. TÝnh n¨m sinh cña Hoµng ? C©u 2 H·y tÝnh c¸c biÓu thøc sau mét c¸ch nhanh nhÊt : 2 2 2 2 a) A = + + +. .. .. . .. ..+ 1 . 3 3 .5 5. 7 99. 101 3 3 3 3 b) B = + + +. .. .. . .. .+ 1 . 3 3 .5 5. 7 49 .51 1 1 1 1 c) C = 1+ 1+ 1+ .. .. . .. . 1+ 1. 3 2. 4 3.5 99 .101. (. )(. )(. ). (. ). 1.

(15) C©u 3 : Cho A = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + ……..+ 52006 + 52007 + 52008 . Chøng tá r»ng A ⋮ 6 C©u 4 Cho ®o¹n th¼ng AB = 2100 (cm). Gäi M1 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th»ng AB; Gäi M2 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng M1B ; gäi M3 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng M2B ; ….gäi M100 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n thẳng M99 B . Tính đọ dài của đoạn thẳng M99B, đoạn thẳng M1M100 §¸p ¸n m«n to¸n 6 I. Tr¾c nghiÖm C©u 1 (2®) §¸p ¸n : C (2®) C©u 2 (2®) A) ….2 vµ 3 (0.5®) B) ……3; 5; 7 (0.5®) C) …….2 (0.5®) D) …….2 (0.5®) C©u 3 (2®) A: S (0.5®) B: § (0.5®) C: S (0.5®) D:§ (0.5®) II. Tù luËn C©u 1 (4®) - Gäi tuæi cña Hoµng lµ a, n¨m sinh lµ b th× : a + b = 2010 [a, b] = 133(a, b) (0.5®) ¿ a=d . a ' ;b=d . b - Gäi (a, b ) =d th× : (*) (1®) ( a' ,b ' )=1 ¿{ ¿ ⇒ a.b = d2 .a’.b’ (1) ; [a, b ] = 133.d a.b V× : [a, b ] = nªn ab = [a, b].(a, b) (2) (a , b) Tõ (1) vµ (2) ta cã : [a, b].(a, b) = d2.a’b’ [a ,b ].( a , b) 133 d . d ⇒a ' b' = = =133 d2 d2 - Gi¶ sö : a < b th× a’ < b’ mµ 133 lµ sè nguyªn tè nªn : 133 = 1.133 = a’ .b’ ⇒ a’ = 1 vµ b’ = 133 a+b 2010 =15 Tõ (*) ta cã : a + b = d(a’ + b’ ) ⇒d= ' ' = a +b 1+133 VËy : b = d.b’ = 15.133 = 1995 Câu 2 (3đ) : (mỗi ý đúng cho 1đ) 1 1 1 1 1 1 1 a) A = (1− )+( − )+( − )+. . .. ..+( − ) 3 3 5 5 7 99 101 1 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + − + .. .. . .. .+ − 3 3 5 5 7 99 101 1 100 = 1= 101 101 3 3 2 3 1 = . = (1− ) 1 .3 2 1. 3 2 3 b) Ta cã : 3 3 2 3 1 1 = . = ( − ) 3.5 2 3.5 2 3 5 ……………………………………………. 3 3 2 3 1 1 = . = ( − ) 49 . 51 2 49 . 51 2 49 51. (1®). (1®). (0.5®) (0.5®). (0.5®). 1.

(16) 3 1 1 1 1 1 3 1 (1 − + + +. . .. .+ − )= (1 − ) 2 3 3 5 49 51 2 51 3 50 25 = . = 2 51 17 4 9 16 100 c) C = (0.5®) . . .. .. . . 1 . 3 2 . 4 3 .5 99 . 101 2 2 2 2 2. 3 . 4 . .. .100 2 .3 . 4 . .. . 100 100 2 200 (0.5®) = 2 . 3 . 4 .. .. . . 100 = . = . = 1 . 3 2 . 4 3 .5 99 . 101 1 .2 . 3. . .. 99 3 . 4 .5 . .. 101 1 101 101 C©u 3 (2®) A = 5 + 52 + 53 + 54 +…….+ 52006 + 52007 + 52008 A = (5 + 52) + (53 + 54) + ……+ (52005 + 52006) + (52007 + 52008) (0.5®) 3 2005 2007 A = 5(1 + 5) + 5 ( 1 + 5) + ……+ 5 (1 + 5) + 5 ( 1 + 5 ) (0.5®) A = 6( 5 + 53 +……..+ 52005 + 52007) ⋮ 6 ⇒ A ⋮ 6 (0.5®) Ta thÊy tæng c¸c sè h¹ng cña A chia hÕt cho 6 nªn A ⋮ 6 (0.5®) C©u 4 (5®) 100 Cã : M1B = AB = 2 =299 2 2 M 1 B 2100 M2B = = 2 2 2 M 2 B 2100 M3B = = 3 2 2 ……………………………….. M 99 2100 M100B = (2®) = 100 =1 2 2 B=. A. M1. M2. …. M100. B. V× BM100 < BM1 (do 1 < 299) nªn ®iÓm M100 n»m gi÷a hai ®iÓm B vµ M1 ⇒ M1M100 + M100MB = M1B (2®) ⇒ M1M100 = M1B – M100B §é dµi ®o¹n th¼ng M1M100 lµ : M1M100 = 299-1 (cm) (1®). đề số 10 Hä vµ tªn: SBD:. §Ò thi chän häc sinh giái líp 6 N¨m häc: 2008 - 2009 M«n : to¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề). 2 n+1 Bµi 1: (1,5®) Cho a = . Tìm n để 2 n −1 a) a lµ sè nguyªn d¬ng. b) a lµ mét sè nguyªn ©m. c) a lµ sè ch¼n.. đề ra:. Bµi 2: (1,75®) T×m x Z, biÕt: a) (x-3) + (x - 2) + (x - 1) +...+ 10 + 11 = 11 b) (x3 + 5).(x3 + 10).(x3 + 15).(x3 + 30) < 0. 1.

(17) 3 3 3 3 + + +.. .+ 5 . 7 7 . 9 9. 11 59 .61 1 2 3 99 1 2 3 92 + + +. ..+ 92 − − − −. .. − 99 98 97 1 9 10 11 100 b) Cho A = ; B= 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +. ..+ + + +. ..+ 2 3 4 100 45 50 55 500 TÝnh tØ sè phÇn tr¨m cña A vµ B.. Bµi 3 (2,25®) a)TÝnh M =. 2n - 1 -1 1 -2 2 Bµi 4 (2,0®) Mét đội sản xuất A, nhân đội A bằng n 0 1 1 3 − tæng sè c«ng 2 2 đội. Số công a -1 3 0 2 3 b»ng sè 5 C. Biết số công nhân đội C hơn số công nhân đội A là 18 ngời. Tính số công nhân mỗi đội.. nhµ m¸y cã ba B, C . Sè c«ng 36% nh©n cña ba nhân đội B công nhân đội. Bµi 5 (1,5) Gäi tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc bÑt xOy. VÏ hai gãc nhän kÒ nhau lµ zOm vµ zOn sao cho hai tia Om, Ox cïng thuéc mét n÷a mÆt ph¼ng bê chøa tia Oz vµ ∠ zOm = ∠ zOn. a) Tia Oz cã ph¶i lµ tia ph©n gi¸c cña gãc mOn kh«ng? V× sao? b) Vẽ tia Ot là tia đối của tia On. Vì sao có thể khẳng định tia Ox là tia phân giác của góc mOt. ---------------------- HÕt -----------------------. Bài 1: (1,5đ)Đáp án đề thi chọn HSG Toán 6 2 n+1 2 n− 1+2 2 a= = =1+ 2 n −1 2 n −1 2 n −1 ¿ 2 1+ ∈ Z ⇒ 2 n −1 ∈ ¦ ❑(2) = { ±1 ; ± 2 } 2 n −1 ¿ LËp b¶ng:. Tõ b¶ng ta thÊy: a) a lµ sè nguyªn d¬ng khi n = 1 hoÆc n =. 0,25® 0,25®. 3 2. b) a lµ sè nguyªn ©m khi n = 0 3 c) a lµ sè ch¼n khi n = 2 Bµi 2: 1,75®) a) (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) + .....+ 10 + 11 = 11. 1.

(18) ⇔ (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) + ....+ 10 = 0. 0,25®. Gäi sè sè h¹ng ë vÕ tr¸i lµ n (n>0), ta cã :. [ (x − 3)+10 ] . n 2. =0 ⇔ (x+ 7)n=0. V× sè sè h¹ng n 0 nªn x + 7 = 0 ⇔ x= -7. 0,25®. b) (x3 + 5)(x3 + 10)(x3 + 15)(x3 + 30) < 0 Vì tích có 4 thừa số, nên tích < 0, do đó phải có 1 thừa số âm hoặc 3 thừa số âm. 0,25đ +) NÕu cã mét thõa sè ©m th× x3 + 5 < 0 < x3 + 10 Tõ x3 + 5 < 0 ⇒ x3< -5 (1) x3 + 10 > 0 ⇒ x3 > - 10 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ -10 < x3 < -5 0,25® 3 3 ⇒ x { −9 ; − 8 ; −7 ; −6 } Do x Z ⇒ x = -8 ⇒ x = -2 +) NÕu cã 3 thõa sè ©m th× x3 + 15 < 0 < x3 + 30 Lập luận tơng tự trên ta đợc x3 = -27 do đó x = -3 0,25® VËy x { −2 ; −3 } 0,25® Bµi 3: (2,25®) 3 3 3 3 a) M = + + +.. .+¿ 5 . 7 7 . 9 9. 11 59 .61 3 2 2 2 2 = + + +. . .+ 2 5 .7 7 . 9 9 . 11 59. 61 3 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − +. ..+ − 2 5 7 7 9 9 11 59 61 3 1 1 3 56 84 = − = . = 2 5 61 2 305 305. ( (. ). (. 0,25®. 0,25®. ). ). 0,25® 0,5®. 1 2 3 99 1 2 98 99 + + +. ..+ + +. ..+ + 99 98 97 1 99 98 2 1 b)TÝnh A = = 1 1 1 1 1 1 1 + + +. ..+ + +. ..+ 2 3 4 100 2 3 100 100 100 100 99 Tö sè = −1 + − 1 +. ..+ −1 + 99 98 2 1 100 100 100 100 99 = + + +.. .+ −(1+1+1+. ..+1)+ 99 98 97 2 1 100 100 100 100 100 = + + + .. .+ + 99 98 97 2 100 1 1 1 1 = 100 + + +. . .+ 100 99 98 2 1 1 1 100 . + + .. .+ 100 99 2 VËy A = =100 (1) 1 1 1 + +. . .+ 2 3 100. (. ( (. )(. ( (. ). ). ( ). ). ). ). 0,25®. 0,25®. 0,25®. 1.

(19) 1 2 3 92 92 − − − −. .. − 9 10 11 100 B= 1 1 1 1 + + +. ..+ 45 50 55 500 1 2 3 92 Tö sè = 92 − − −. .. − 9 10 11 100 8 8 8 8 = 92 - 1 − − 1− − 1− −. .. − 1 − 9 10 11 100 8 8 8 8 = 92 - (1 + 1`+ 1 +...+ 1) + + + +. . .+ 9 10 11 100 1 1 1 1 = 0 + 40. + 40 . +40 . +.. .+ 40. 45 50 55 500 1 1 1 1 = 40 + + +. . .+ 45 50 55 500 1 1 1 1 40 + + +. ..+ 45 50 55 500 VËy B = =40 (2) 1 1 1 1 + + + .. .+ 45 50 55 500 A 100 Tõ (1) vµ (2) ⇒ = =250 % B 40. ( )(. )(. ). (. (. (. ) ). 0,25® 0,25®. ). (. ). 0,25®. 0,25® 1,75®. Bµi 4:(2,0®) Gäi sè c«ng nh©n cña nhµ m¸y lµ x, ®k: x > 0. 9 Khi đó số công nhân của đội A là36%.x = x (c«ng nh©n) 25 9 Đội C hơn đội A là 18 ngời nên số ngời đội C là x + 18 (c«ng nh©n) 25 3 9 Số công nhân của đội B là (c«ng nh©n) x +18 5 25 9 3 9 9 Từ đó ta có: x+ x +18 + x+18=x 25 5 25 25 Giải ra tính đợc x = 450. 9 Vậy số công nhân đội A là . 450=162 (c«ng nh©n) 25 Vậy số công nhân đội C là 162 + 18 = 180 (công nhân) 3 Vậy số công nhân đội B là z n .180=108 (c«ng nh©n). m 5 Bµi 5. (1,5®). (. (. 0,25® 0,25®. ). 0,25®. ). x O a) V× ∠ zOm =∠ zOn (1), mµ ∠ zOm vµ ∠ zOn lµ hai gãc nhän nªn ∠ zOm +∠ zOn<1800 t ⇒ tia Oz n»m gi÷a hai tia Om, On. (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc mOn.. 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 2,0® H×nh vÏ: 0,25®. y. 0,25® 0,5®. b) +) ∠ xOm +∠ mOz=900 (do Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc bÑt) ∠ yOn +∠nOz=900 (do Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc bÑt) Mµ ∠ zOm =∠ zOn⇒ ∠ xOm =∠ yOn .(3) +) ∠ xOt +∠tOy=180 0 =∠ xOy. 0,25®. 1.

(20) 0 ∠ yOn +∠ tOy=180 (do On, Ot đối nhau) ⇒∠ xOt =∠ yOn (4) Tõ (3) vµ(4) ⇒ ∠ xOm =∠xOt (5).. 0,25®. +) Do Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc bÑt xOy, Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc mOn, Om, On thuéc n÷a mÆt ph¼ng bê xy Nên ∠ xOz <∠xOn< xOy ⇒ xOn là góc tù. Do đó ∠ xOm <∠ xOn . VËy tia Om n»m gi÷a hai tia Ox, On suy ra ∠ nOm <∠ nOx <∠ nOt nªn tia Ox n»m gi÷a hai tia Om, Ot (6). Tõ (5) vµ (6) suy ra Ox lµ tia ph©n gi¸c cña gãc mOt. 0,25® ( Học sinh làm cách khác đúng, đạt điểm tối đa). 0,25®. 1,0®. đề số 11 Bµi 1: T×m sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè abc , biÕt r»ng: b2=ac vµ abc − cba=495 . Bµi 2: a)TÝnh nhanh: 1978. 1979+1980 . 21+1958 1980. 1979 −1978 .1979 b)Rót gän:. 52.611.162  62.126.152 2.612.104  812.9603 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số. 6 n+99 3 n+ 4. a)Cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn. b)Lµ ph©n sè tèi gi¶n. 1 2 3 n 11 Bµi 4: Cho A= 2 + 3 + 4 +⋅+ n+1 +⋅+ 12 víi n  N. 5 5 5 5 5 1 Chøng minh r»ng A < 16 Bài 5: Trên đờng thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Gãc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540. a) Chøng minh tia Ot n»m gi÷a hai tia Oy vµ Oz. b) Chøng minh tia Ot lµ tia ph©n gi¸c cña gãc zOy.. Bµi 1: T×m sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè abc , biÕt r»ng: b2=ac vµ abc − cba=495 . Bµi 2: a)TÝnh nhanh:. 1978.1979  1980.21  1958 1980.1979  1978.1979 b)Rót gän:. 52.611.162  62.126.152 2.612.104  812.9603 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số. 6 n+99 3 n+ 4. a)Cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn. b)Lµ ph©n sè tèi gi¶n.. 2.

(21) 1 2 3 n 11 + 3 + 4 +⋅+ n+1 +⋅+ 12 víi n  N. 2 5 5 5 5 5 1 Chøng minh r»ng A < 16 Bài 5: Trên đờng thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Gãc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540. a) Chøng minh tia Ot n»m gi÷a hai tia Oy vµ Oz. b) Chøng minh tia Ot lµ tia ph©n gi¸c cña gãc zOy. Bµi 4: Cho. A=. đáp án Bµi 1: T×m sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè abc , biÕt r»ng: b2=ac vµ abc − cba=495 . Gi¶i: Ta cã abc − cba=( 100 a+10 b+ c ) − ( 100 c +10 b+ a )=100 a+10 b+ c − 100 c −10 b − a ¿ 99 a −99 c=99 ( a −c ) =495 ⇒ a − c=495 :99=5 V× b2=ac vµ 0 ≤ b ≤ 9 mµ a - c = 5. Nªn ta cã: Víi a = 9 ⇒ c = 4 vµ b2 = 9.4 = 36 ⇒ b = 6 (NhËn) Víi a = 8 ⇒ c = 3 vµ b2 = 8.3 = 24 ⇒ kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña b. Víi a = 7 ⇒ c = 2 vµ b2 = 7.2 = 14 ⇒ kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña b. Víi a = 6 ⇒ c = 1 vµ b2 = 6.1 = 6 ⇒ kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña b . Bµi 2: a)TÝnh nhanh: 1978. 1979+1980 . 21+1958 1980. 1979 −1978 .1979 Gi¶i: 1978. 1979+1980 . 21+1958 1978 .1979+1979 . 21+21+1958 = 1980. 1979 −1978 .1979 1979 . (1980 −1978 ) 1979. ( 1978+21 ) +21+1958 1979. ( 1978+21+1 ) ¿ = 1979. 2 1979. 2 1979 . 2000 ¿ =1000 1979 . 2 b)Rót gän: 2. 11. 4 2. 2. 2. 6. 2. 5 2 . 611 .16 2+ 62 . 126 .152 5 . ( 2 .3 ) . ( 2 ) + ( 2. 3 ) . ( 2 .3 ) . ( 3 .5 ) = 12 4 2 3 3 12 4 4 2 6 2 .6 .10 −81 .960 2 . ( 2. 3 ) . ( 2. 5 ) − ( 3 ) . ( 2 . 3 .5 ) 2 19 11 14 10 3 5 52 . 310 .214 . ( 25 . 3+5 ) 5 . 2 . 3 +2 .3 .5 2 . 3+5 = = 217 . 54 . 312 − 311 .218 .53 217 .53 . 311 . ( 5 . 3− 2 ) 23 . 5 .3 . 12 32 .3+5 96+5 101 = = 8 .15 . 12 120 . 12 1440 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số. 6 n+99 3 n+ 4. a)Cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn. b)Lµ ph©n sè tèi gi¶n. Gi¶i: Ta cã. 2.

(22) 2 ( 3 n+4 ) +91 2 ( 3 n+ 4 ) 91 91 §Æt A = 6 n+99 = 6 n+8+ 91 = = + =2+ 3 n+ 4 3 n+ 4 3 n+ 4 3 n+ 4 3 n+4 3 n+ 4 a) §Ó A lµ sè tù nhiªn th× 91. ⋮ 3n + 4 => 3n + 4 lµ íc cña 91 hay 3n + 4. {1; 7; 13; 91}.. Víi 3n + 4 = 1=> n = -1 Lo¹i v× n lµ sè tù nhiªn. Víi 3n + 4 = 7=> n = 1 NhËn =>A = 2 + 13 = 15. Víi 3n + 4 = 13 => n = 3 NhËn => A = 2 + 7 = 9. Víi 3n + 4 = 91 ⋮ n = 29 NhËn =>A = 2 + 1 = 3. b) §Ó A lµ ph©n sè tèi gi¶n th× 91 kh«ng chia hÕt 3n + 4 hay 3n + 4 kh«ng lµ íc cña 91 =.> 3n + 4 không chia hết cho ớc nguyên tố của 91. Từ đó suy ra: 3n + 4 kh«ng chia hÕt cho 7 => n ≠ 7k +1. 3n + 4 kh«ng chia hÕt cho 13 => n ≠ 13m + 3. Bµi 4: Cho. A=. 1 2 3 n 11 + 3 + 4 +⋅+ n+1 +⋅+ 12 2 5 5 5 5 5. Chøng minh r»ng. A<. víi n  N.. 1 16. Gi¶i: 1 2 3 n 11 XÐt 5 A= + 2 + 3 +⋅+ n +⋅+ 11 5 5 5 5 5. Suy ra:. ( 15 + 52 + 53 +⋅+ 5n +⋅+115 )− ( 51 + 52 + 53 +⋅+ 5n +⋅+115 ). 4 A=5 A − A=. 2. 3. n. 11. 2. 3. 4. n+1. 12. 1 1 1 1 1 11 4 A= + 2 + 3 +⋅+ n +⋅+ 11 − 12 5 5 5 5 5 5 11 4 A=B − 12 5 Víi 1 1 1 1 1 B= + 2 + 3 +⋅+ n +⋅+ 11 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 ⇒ 5 B=1+ + 2 + 3 +⋅+ n − 1 +⋅+ 10 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒4 B=5 B − B= 1+ + 2 + 3 +⋅+ 10 − + 2 + 3 + ⋅+ n +⋅+ 11 5 5 5 5 5 5 5 5 5 11 11 1 5 −1 5 −1 ⇒4 B=1− 11 = 11 ⇒ B= 5 5 4 . 511. (. ⇒4 A=. )(. ). 511 −1 11 512 −5 − 44 1 5 12 − 49 1 49 1 − = ⇒ A= ⋅ = ⋅ 1 − 12 < 11 12 12 12 16 16 16 4.5 5 4 .5 5 5. (. ). Bài 5: Trên đờng thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Gãc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540. c) Chøng minh tia Ot n»m gi÷a hai tia Oy vµ Oz. d) Chøng minh tia Ot lµ tia ph©n gi¸c cña gãc zOy. Gi¶i: H×nh vÏ. 2.

(23) t. y. z x'. 970. 400 O. 540. x. a)Theo đề bài ta có góc x’Ox = 1800 mà góc x’Oy và góc yOx kề bù. Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 180 - 400 = 1400 Suy ra: gãc xOt < gãc xOy hay tia Ot n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy. L¹i cã: gãc xOz < gãc xOt hay tia Oz n»m gi÷a hai tia Ot vµ Ox. VËy tia Ot n»m gi÷a hai tia Oz vµ Oy. 0. b)Theo c©u a ta cã tia Ot n»m gi÷a hai tia Oz vµ Oy ⇒ Gãc zOt + gãc tOy = gãc zOy. V× tia Ot n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy ⇒ Gãc xOt + gãc tOy = gãc xOy hay gãc tOy = 43 0 ( v× gãc xOt = 970 vµ gãc xOy = 1400). V× tia Oz n»m gi÷a hai tia Ox vµ Ot ⇒ Gãc xOz + gãc zOt = gãc xOt hay gãc zOt = 43 0 ( v× gãc xOt = 970 vµ gãc xOy = 540). Suy ra gãc tOy = gãc zOt = 430. VËy tia Ot lµ tia ph©n gi¸c cña gãc zOy. 2.

(24) đề số 12 §Ò thi HSG M«n: To¸n 6 Bài 1: Tính nhanh. 2100 .13+2100 . 65 a¿ 298 .104 3 8 15 9999 b ¿ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 4 9 16 10000 c ¿199919991999 .1998 − 199819981998. 1999 Bài 2: Chứng tỏ rằng: a./ Số A = 8102 - 2102 Chia hết cho 10. b./ Số B = 5151 - 51 Chia hết cho 100. _______ ___ ___ Bài 3: Tìm số có 4 chữ số abcd biết rằng số đó chia hết cho tích các số ab và cd . Bài 4: Tìm các phân số có tử số và mẫu số đều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất. Bài 5: Cho tam giác ABC, có BC = 5 cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3 cm. a) Tính độ dài BM. b) Cho biết góc BAM = 820; góc BAC = 630. Tính góc CAM. c) Tính độ dài BK nếu K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. §Ò thi HSG M«n: To¸n 6 Bài 1: Tính nhanh. 2100 .13+2100 . 65 a¿ 298 .104 3 8 15 9999 b ¿ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 4 9 16 10000 c ¿199919991999 .1998 − 199819981998. 1999 Bài 2: Chứng tỏ rằng: a./ Số A = 8102 - 2102 Chia hết cho 10. b./ Số B = 5151 - 51 Chia hết cho 100. _______ ___ ___ Bài 3: Tìm số có 4 chữ số abcd biết rằng số đó chia hết cho tích các số ab và cd . Bài 4: Tìm các phân số có tử số và mẫu số đều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất. Bài 5: Cho tam giác ABC, có BC = 5 cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3 cm. a. Tính độ dài BM. b. Cho biết góc BAM = 820; góc BAC = 630. Tính góc CAM. c. Tính độ dài BK nếu K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm.. GI¶I Bài 1: Tính nhanh.. 2.

(25) a¿ Giải:. 2. 100. 2. 100. .13+2 . 65 98 2 .104 100. 100. 100 . 13+2 . 65 2 (13+ 65) 78 = 98 2 = =3 98 2 . 104 2 .2 . 26 26. 3 8 15 9999 b ¿ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 4 9 16 10000 Giải: 3 8 15 9999 1 .3 2. 4 3. 5 98. 100 99 . 101 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅⋅⋅ 2 ⋅ 4 9 16 10000 2 3 4 99 1002 1 101 101 ⋅ = 2 100 200 c ¿199919991999 .1998 − 199819981998. 1999. Giải: 199919991999. 1998 −199819981998 .1999 ¿ 1999. 1998 .(100010001-100010001)=1998. 1999 .0=0 Bài 2: Chứng tỏ rằng: a./ Số A = 8102 - 2102 Chia hết cho 10. Giải: A = 8102 - 2102 Chia hết cho 10 khi và chỉ khi 8102 và 2102 có chữ số tận cùng giống nhau. Mà 8102 = 2306 có chữ số tận cùng là 4 Lại có 2102 có chữ số tận cùng là 4 Nên. A= 8. 102. -2. 102. =. .. . .. .. . .. .. . . 4 −. .. . .. .. . .. .. . .. . 4=.. . .. .. . .. .. . 0. có tận cùng là 0 (Vì 8102 =. 2306 > 2102). Suy ra A chia hết cho 10. Chú ý: 2n có chữ số tận cùng là 2 khi n chia cho 4 dư 1; Có chữ số tận cùng là 4 khi n chia cho 4 dư 2; Có chữ số tận cùng là 8 khi n chia cho 4 dư 3; Có chữ số tận cùng là 6 khi n chia hết cho 4. b./ Số B = 5151 - 51 Chia hết cho 100. Giải: Có B = 5151 - 51 = 51(5150 - 1). Xét số 5150 có 2 chữ số tận cùng là 01. Suy ra 51 50 - 1 có 2 chữ _______. số tận cùng là .. . . 00. Bài 3: Tìm số có 4 chữ số Giải: Ta có. nên B = 5151 - 51 Chia hết cho 100. _______. abcd. ___. ___. biết rằng số đó chia hết cho tích các số ab và cd .. abcd=100 . ab+cd ⋮ ab . cd. Nên cd ⋮ ab khi đó ta đặt cd=m .ab. (1) theo đề bài. (với 0 < m < 10)và thay vào (1) ta có:. 100 .ab+ m. ab ⋮ ab .m . ab 100+m⋮ m .ab  100  m và 0 < m < 10 vậy m  {1; 2; 4; 5} Xét với m = 1 (tức cd=ab ) thay vào (1) ta có:. 101⋮ ab. (Loại vì 101 là số nguyên tố nên chỉ có. hai ước là 1 và 101).. 2.

(26) Xét với m = 2 (tức cd=2 . ab ) thay vào (1) ta có: 102⋮ 2 . ab hay 51⋮ ab ab = 51 thì. Với. cd =2.51=102 (Loại). Với. ab = 17 thì. => ab  {17; 51}.. cd =2.17=34 (Nhận vì 0 < ab , cd. <. 100). Suy ra số đó là 1734  17.34 Xét với m = 4 (tức. cd=4 . ab ) thay vào (1) ta có:. 104 ⋮ 4 . ab. hay. 26 ⋮ ab. ab  {13;. =>. 26}. Với ab = 26 thì cd =4.26=104 (Loại). Với ab = 13 thì cd =4.13=52 (Nhận vì 0 < ab , cd < 100). Suy ra số đó là 1352  13.52 Xét với m = 5 (tức. cd=5 . ab ) thay vào (1) ta có:. 105 ⋮5 . ab. hay. 21⋮ ab. =>. ab  {21}.. Với ab = 21 thì cd =5.21=105 (Loại). Vậy có hai số thoả mãn là 1734 và 1352. Bài 4: Tìm các phân số có tử số và mẫu số đều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất. Giải: Gọi phân số có tử và mẫu đều dương là. a b. với a và b  N*. Khi đó ta có phân số nghịch đảo của nó. b . a. là Xét. a b + b a. giả sử a ≥ b ta đặt a = b + m (với m ≥ 0) ⇒. a b b+ m b m b m b m+ b + = + =1+ + ≥ 1+ + =1+ =1+1=2 vì m ≥ 0 b a b b+m b b+m b +m b+m b+m Vậy. a b + ≥2 b a. Dấu “=” xảy ra khi m = 0 khi đó a = b + m = b + 0 = b.. Bài 5: Cho tam giác ABC, có BC = 5 cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3 cm. d) Tính độ dài BM. e) Cho biết góc BAM = 820; góc BAC = 630. Tính góc CAM. f) Tính độ dài BK nếu K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Giải: A. M. C. B K. K’. a)Theo đề bài ta có: M thuộc tia đối của tia CB nên tia CB và tia CM là hai tia đối nhau. Điểm C nằm giữa hai điểm B và M . Ta có đẳng thức sau: BC + CM = BM. Thay BC = 5cm và CM = 3cm được BM = 5 + 3 = 8 (cm). 2.

(27) b)Do C nằm giữa B và M nên tia AC nằm giữa 2 tia AB và AM. Ta có: BAM = BAC + CAM => 820 = 630 + CAM => CAM = 820 - 630 = 190 c)Có hai trường hợp như sau: * Nếu K  CM . C nằm giữa M và K => BC - CK = BK nên BK = 5 - 1 = 4 (cm). * Nếu K’  BC . K’ nằm giữa M và C => BK’ = BC + K’C nên BK’= 5 + 1 = 6 (cm).. đề số 13 N¨m häc 2003-2004 51 52 53 100 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 2 2 2 Bµi 2: Cho A = 3100 + 399 +398 + ..... + 34 + 33 + 32 + 3. XÐt xem tæng A cã chia hÕt cho 363 hay kh«ng? _______ Bµi 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã d¹ng 4 a 1 bc biết rằng số đó chia hết cho 3, cho 4 và cho 5. Bài 1: So s¸nh 1.3.5.7. ... .99 vµ. 2. Bµi 4: Cho. n+2¿ ¿ 2 n+ 1¿ +¿ 2 n +¿ 1 1 1 M = + +. .. .. . .. .. .+ ¿ 14 29 Chøng tá r»ng 0,15 < M < 0,25. Bài 5: Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi I, K thứ tự là trung điểm của OA, OB. a, Chøng tá r»ng OA < OB.. 2.

(28) b, Trong 3 ®iÓm O, I, K ®iÓm nµo n»m gi÷a hai ®iÓm cßn l¹i. c, Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng IK không phụ thuộc vào vị trí của điểm O.. đề số 13 N¨m häc 2003-2004 51 52 53 100 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 2 2 2 Bµi 2: Cho A = 3100 + 399 +398 + ..... + 34 + 33 + 32 + 3. XÐt xem tæng A cã chia hÕt cho 363 hay kh«ng? _______ Bµi 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã d¹ng 4 a 1 bc biết rằng số đó chia hết cho 3, cho 4 và cho 5. Bài 1: So s¸nh 1.3.5.7. ... .99 vµ. 2. Bµi 4: Cho. n+2¿ ¿ 2 n+ 1¿ +¿ 2 n +¿ 1 1 1 M = + +. .. .. . .. .. .+ ¿ 14 29 Chøng tá r»ng 0,15 < M < 0,25. Bài 5: Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi I, K thứ tự là trung điểm của OA, OB. a, Chøng tá r»ng OA < OB. b, Trong 3 ®iÓm O, I, K ®iÓm nµo n»m gi÷a hai ®iÓm cßn l¹i. c, Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng IK không phụ thuộc vào vị trí của điểm O.. 2.

(29) Híng dÉn chÊm thi Bµi 1: Ta cã : 1. 3 .5 . .. . .. . 99=. (1 .3 . 5 .. .. . .. 99).(2. 4 . 6 . 8 .. .. .. . 100) 2 . 4 . 6 . 8. . .. .. . 100. (1. 3 .5 . .. . .. . 99).(2 . 4 . 6 .8 . .. . .. .100) (1. 2).(2 . 2).(3 .2) .. .. .(50 . 2) (1. 2 .3 . .. .. . .50) .(51. 52. 53 .54 . . .. .. . 100) ¿ (1 .2 . 3. . .. .. . 50) .(2 .2 .. . .. . 2) 51. 52. 53 .54 . . .. .. . 100 ¿ 2. 2. 2 .2 . 2. 2. 2 .. .. . .2 51 52 53 100 ¿ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ 2 2 2 2 51 52 53 100 VËy 1. 3 .5 . 7 .. .. . .. 99= ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ 2 2 2 2 ¿. Bµi 2: A = 3100 + 399 +398 + ..... + 34 + 33 + 32 + 3. = (3100 + 399 +398 + 397 +396) + ....... + (35 + 34 +33 + 32+3). = 395.( 35 + 34 +33 + 32+3) + ....... + (35 + 34 +33 + 32+3). = 363.( 395 + 390 +385 + ....... + 30). VËy A chia hÕt cho 363 v× tÝch cã thõa sè 363. Bµi 3: _______. Tõ 4 a 1 bc _______ V× 4 a 1 bc. ⋮ 3 ; ⋮ 4 ; vµ ⋮5 ⋮5. (a, b, c lµ c¸c sè 0  9 vµ a ≠ 0)..  TËn cïng b»ng 0 hoÆc 5.. _______. ⋮ 4  c = 0 vµ b lµ sè ch½n. 4 a 1 bc ___ Do đó: bc có thể bằng 00; 20; 40; 60; hoặc 80. _______. Mµ 4 a 1 bc ⋮ 3  (4 + a + 1 + b + c) ⋮ 3 Hay (5 + a + b + c) ⋮ 3 ___ 00 20 40 60 80 bc a 1; 4; 7 2; 5; 8 0; 3; 6; 9 1; 4; 7 2; 5; 8 VËy ta cã c¸c sè tho¶ m·n lµ: 41100; 44100; 47100; 42120; 45120; 48120; 40140; 43140; 46140; 49140; 42160; 45160; 48160; 42180; 45180; 48180. Bµi 4: 2 n+2¿ ¿ 2 n+ 1¿ +¿ 2 n +¿ 1 1 1 M = + +. .. .. . .. .. .+ ¿ 14 29 2 n+ 2¿ ¿ n+1 ¿2 +¿ n2 +¿ 1 1 1 M = 2 2 2 + 2 2 2 +.. . .. .. . .. .+ ¿ 1 +2 +3 2 +3 + 4 §Æt A = n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 3 n2 + 6n + 5 (*) * Víi n ≥ 1 Tõ (*)  A < 3 n2 + 6n + 9 = 3(n + 1)(n + 2). 1 1 1 1 1 1 + +. .. .. .. . .. .+ +. . .. .. . .. ..+ = ⋅C Từ đó A > 3 2.3 3.4 25 . 26 3 (n+1)(n+2). (. ). 2.

(30) 1 1 +. .. . .. .. .. .+ ( 21.3 + 3.14 + .. .. . .. .. . .+ (n+1)(n+2) 25 . 26 ). C=. 1 1 1 = − Ta cã: n ( n+ 1 ) n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 C= − + − +⋅⋅⋅⋅+ − = − 2 3 3 4 25 26 2 26 1 1 1 1 2 Suy ra: A > ⋅C= ⋅ − > > 0 ,15 3 3 2 26 13 * Víi n ≥ 1 Tõ (*)  A > 2n2 + 6n + 4 = 2(n2 + 3n + 2) = 2(n + 1)(n + 2). 1 1 1 1 1 1 + +.. . .. .. .. . .+ +. .. . .. .. . ..+ = ⋅C Từ đó A < 2 2 .3 3 . 4 25 . 26 2 (n+1)(n+2) 1 1 1 1 C= + + .. .. . .. .. . .+ +. .. . .. .. .. .+ 2 .3 3. 4 25 . 26 (n+1)(n+2) 1 1 1 = − Víi Ta cã: n ( n+ 1 ) n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 C= − + − +⋅⋅⋅⋅+ − = − 2 3 3 4 25 26 2 26 1 1 1 1 Suy ra: A < ⋅C= ⋅ − <0 , 25 . 2 2 2 26 VËy 0,15 < M < 0,25. Víi. (. ). (. ). (. ). (. ). Bµi 5: O. I. K A. B. a) Vì 2 tia AB và AO đối nhau nên A nằm giữa O và B  OA < OB. OA OB b) Cã I vµ K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña OA vµ OB nªn ta cã OI= vµ OK= V× OA < 2 2 OB nªn OI < OK. Hai ®iÓm I vµ K thuéc tia OB mµ OI < OK nªn ®iÓm I n»m gi÷a hai ®iÓm O vµ K. OB OA OB −OA AB c) Cã OI + IK = OK Suy ra IK = OK – OI hay IK= . Vì AB có độ − = = 2 2 2 2 dài không đổi nên IK không đổi.. 3.

(31) đề số 14 N¨m häc 2002-2003 Bài 1: TÝnh nhanh 1873 + 2254.1873 + 11272 Bµi 2: Tæng sau cã chia hÕt cho 3 kh«ng? A = 21+ 22 + 23 + 24 + .......+ 299 + 2100 Bµi 3: Chøng tá r»ng tæng B = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + .......+ 25n - 3 + 25n - 2 + 25n - 1 Chia hÕt cho 31 víi n lµ sè nguyªn d¬ng bÊt kú. Bµi 4: Tæng cña mét sè C cã 4 ch÷ sè vµ sè D cã 3 ch÷ sè lµ 4190. NÕu viÕt sè C vµ sè D theo thø tù ng îc l¹i thì tổng của C và D khi đó tăng thêm 2790. Tìm C và D. Bµi 5: LÊy hai ®iÓm I vµ B råi lÊy ®iÓm C sao cho I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BC. LÊy ®iÓm D sao chao B lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng cña ®o¹n th¼ng ID. a, So sánh độ dài của đoạn thẳng CD và IB. b, Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng IB. V× sao M còng lµ trung ®iÓm cña CD. 2. Gi¶i Bµi 2: A = 2 + 2 + 2 + 2 + .......+ 2 + 2 = (21+ 22) + (23 + 24) + .......+ (299 + 2100) = 2.(1+ 2) + 23.(1+ 2) + .......+ 299.(1+ 2) = 2.3 + 23.3 + .......+ 299.3 1. 2. 3. 4. 99. 100. = (2 + 23 + .......+ 299).3 . VËy A = 3.(2 + 23 + .......+ 299)  3. Bµi 3: Chøng tá r»ng tæng B = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + .......+ 25n - 3 + 25n - 2 + 25n - 1 Chia hÕt cho 31 víi n lµ sè nguyªn d¬ng bÊt kú. B = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + .......+ 25n - 3 + 25n - 2 + 25n – 1 = (20 + 21 + 22 + 23 + 24 ) + (25 + 26 + 27 + 28 + 29 ) +.......+ (25n - 5 + 25n - 4 25n - 3 + 25n - 2 + 25n – 1) = 31 + 31.25 + ………… + 31.25n – 5 = 31.(20 + 25 + .......+ 25n – 5)  31 Bµi 4: Tæng cña mét sè C cã 4 ch÷a sè vµ sè D cã 3 ch÷a sè lµ 4190. NÕu viÕt sè C vµ sè D theo thø tù ng îc lại thì tổng của C và D khi đó tăng thêm 2790. Tìm C và D. Gi¶i: C=abcd vµ D=egh Mµ C + D = 4190 vµ dcba +hge=4190+ 2790=6980 Víi 0 ≤a, b, c, d, e, g, h≤ 9 Nªn a + e = d + h = 10 (V× C vµ D lµ sè cã 4 vµ 3 ch÷ sè nªn a, e, d, h kh«ng thÓ b»ng 0). Vµ a ≤ 4 vµ a ≠ 0 => a  {1; 2; 3; 4}. XÐt a = 1 => e = 9 Lo¹i v× C + D < 4190. XÐt a = 2 => e = 8 Lo¹i v× C + D < 4190. Xét a = 4 => e = 6 Loại vì b + e = 1 mà e = 6 nh thế thì không tìm đợc b. XÐt a = 3 => e = 7. Ta cã: b + e = 11 => b = 4. Mµ b + g = 7 => g = 3 vµ g + c = 8 => c = 5. => d 543+ h 37=6980 vµ h + 5 = 9 vµ h + d = 10 VËy h = 4 vµ d = 6. VËy sè ph¶i t×m lµ: C = 3456 vµ D = 437.. đề số 15 N¨m häc 1999-2000 Bµi 1 (3 ®iÓm): T×m ph©n sè lín h¬n. 4 , nhá h¬n 17. 6 17. vµ cã mÉu sè b»ng 20.. Bµi 2 (5 ®iÓm): T×m c¸c cÆp sè tù nhiªn th¶o m·n: Tæng cña chóng b»ng 240 vµ íc chung lín nhÊt cña chóng b»ng 12. Bµi 3 (4 ®iÓm):. 3.

(32) Một ngời đã cắt từ một sợi dây dài. 2 3. mét lấy một đoạn dây dài 25 cm mà không phải dùng thớc để đo.. Hỏi ngời đó đã làm nh thế nào. Bµi 4 (4 ®iÓm): Cho d·y sè m+1, m+2, ... , m+10, víi m lµ sè tù nhiªn. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều số nguyên tố nhất. Bµi 5 (4 ®iÓm): Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh X lần thứ nhất có 495 vận động viên là học sinh trong toàn tỉnh về tham gia thi đấu các môn thể thao. Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số ngời quen nh nhau. (Ngời A quen ngời B thì ngời B còng quen ngêi A).. đề số 15 N¨m häc 1999-2000 4 6 , nhá h¬n vµ cã mÉu sè b»ng 20. 17 17 Bµi 2 (5 ®iÓm): T×m c¸c cÆp sè tù nhiªn th¶o m·n: Tæng cña chóng b»ng 240 vµ íc chung lín nhÊt cña chóng b»ng 12. Bµi 3 (4 ®iÓm): Bµi 1 (3 ®iÓm): T×m ph©n sè lín h¬n. Một ngời đã cắt từ một sợi dây dài. 2 3. mét lấy một đoạn dây dài 25 cm mà không phải dùng thớc để đo.. Hỏi ngời đó đã làm nh thế nào. Bµi 4 (4 ®iÓm): Cho d·y sè m+1, m+2, ... , m+10, víi m lµ sè tù nhiªn. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều số nguyên tố nhất. Bµi 5 (4 ®iÓm): Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh X lần thứ nhất có 495 vận động viên là học sinh trong toàn tỉnh về tham gia thi đấu các môn thể thao. Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số ngời quen nh nhau. (Ngời A quen ngời B thì ngời B còng quen ngêi A). Híng dÉn chÊm thi Bµi 1: Gäi ph©n sè ph¶i t×m lµ. a , a lµ sè tù nhiªn 20. 4 a 6 < < 17 20 17 80 < 17a < 120 5 < a < 7 => a = 6 Bµi 2: Gäi sè ph¶i t×m lµ a, b. Gi¶ sö a ≤ b ¦CLN (a,b) = 12 ta cã a = 12a1 vµ b = 12b1 Trong đó ƯCLN (a1,b1) = 1 Ta cã: a + b = 240 = 12 (a1 + b1) a1 + b1 = 20 KÕt hîp víi ¦CLN (a1,b1) = 1 ta cã: a1 1 3 b1 19 17. 7 13. 9 11. Thay vào ta tính đợc:. 3.

(33) a b KÕt luËn: Bµi 3: -. -. 12 228. 36 204. 84 156. 108 132. 2 1 1 − = 3 2 6 1 1 2 Mµ = ⋅ 6 4 3 1 1 1 Nhận xét đợc: = ⋅ 4 2 2 1 Nhận xét đợc chÝnh lµ phÐp chia d«i sîi d©y. 2 1 Nhận xét đợc 25 cm chính là 0,25 m = sîi d©y. 4 KÕt luËn. Nhận xét đợc:. Bµi 4: + m = 0 ta cã d·y sè: 1; 2; 3; 4; ... ; 10. Trong d·y nµy cã 4 sè nguyªn tè. + m = 1 ta cã d·y sè: 2; 3; 4; ... ; 11. Trong d·y nµy cã 5 sè nguyªn tè. + m = 2 ta cã d·y sè: 3; 4; 5; ... ; 12. Trong d·y nµy cã 4 sè nguyªn tè. + m ≥ 3 trong dãy luôn chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này đều lớn hơn 3 nên phải có 1 số lẻ là bội của 3 do đó nó không là số nguyên tố. Vậy m ≥ 3 thì trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố. Do đó m = 1là số phải tìm. Khi đó ta có 5 số nguyên tố. Bµi 5: Giả sử có 1 ngời không quen ai trong số 495 vận động viên. Nh vËy 494 ngêi cßn l¹i cã nhiÒu nhÊt lµ 493 ngêi quen. Ta chia thµnh nhãm sè ngêi quen: Nhãm 0 ngêi quen gåm nh÷ng ngêi cã sè ngêi quen b»ng 0 Nhãm 1 ngêi quen gåm nh÷ng ngêi cã sè ngêi quen b»ng 1 .................. .................. Nhãm 493 ngêi quen gåm nh÷ng ngêi cã sè ngêi quen b»ng 493 Nh vậy ta có 494 nhóm (từ 0 đến 493) . Mà có 495 ngời. VËy theo nguyªn t¾c Dirichlet Ýt nhÊt cã 1 nhãm ngêi quen gåm 2 hay Ýt nhÊt cã 2 ngêi cã sè ngêi quen gièng nhau. Gi¶ sö cã 1 ngêi quen tÊt c¶ nh÷ng ngêi cßn l¹i. Nh vËy 494 ngêi cßn l¹i cã nhiÒu nhÊt lµ 494 ngêi quen. Chia nhóm ngời quen: Có 494 nhóm ngời quen (từ 1 đến 494). KÕt luËn.. 3.

(34) đề số 16 M«n to¸n, Khèi líp 6: Bài 1: Hãy chọn Kết quả đúng. 1 1 1 1 + +.. .+ = 5 . 8 8 . 11 x ( x +3) 6 a. x = 27 c. x = 25 b. x = 35 d. x = 205 Bài 2: Hãy chọn Kết quả đúng. Gãc xOy cã hai tia ph©n gi¸c khi: a. Gãc xOy lµ gãc bÑt. b. Gãc xOy lµ gãc tï. c. Gãc xOy lµ gãc vu«ng. d. Gãc xOy lµ gãc nhän. Bài 3: Hãy chọn Kết quả đúng. 222221 444443 Cho 2 sè: x = ; y= ; ta cã: 222222 444445 a. x = y c. x < y b. x > y Bµi 4: So s¸nh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 3 8 9999 A= víi sè 99. + + .. .+ 4 9 10. 000 Bài 5: Một ngời đi xe đạp từ A đến B, đi từ A với vận tốc 10km/ h, nhng từ chính giữa đờng đến B với vận tốc 15km/h. Tính xem trên cả quãng đờng ngời đó đi với vận tốc trung bình là bao nhiêu. Bµi 6: T×m cÆp sè nguyªn d¬ng (x;y) sao cho (x- 1) (5y + 2) = 16. Bµi 7: XÐt h×nh vÏ bªn: a. Cã nh÷ng tam gi¸c nµo cã c¹nh NC. b. Có tất cả bao nhiêu góc có đỉnh là A N; h·y kÓ ra. K c. NÕu biÕt gãc MPB = 600 , NPC = H I M K N 500 th× PN cã lµ ph©n gi¸c cña gãc MPC hay kh«ng ? v× sao? B T×m x biÕt r»ng:. 3.

(35) P. C. §¸p ¸n M«n to¸n líp 6: §Ò I: Bµi 1: Chän c©u a: x = 27 Bµi 2: Chän c©u a: Bµi 3: Chän c©u c: x < y Bµi 4: Biến đổi: 1 1 1 A = (1− )+(1 − )+. ..+(1− ) 4 9 10000 1 1 1 ) = (1− 2 )+(1− 2 )+ .. .+(1 − 2 2 3 100 1 1 1 ) = 99 - B = 99 - ( 2 + 2 +. ..+ 2 3 1002 1 1 1 1 ) Trong đó B = ( 2 + 2 + 2 +. ..+ 2 3 4 1002 V× B > 0 nªn A < 99 Bµi 5: Trên quãng đờng AB cứ 2km thì có 1km đi với vận tốc10km/h (hết 1/10h); 1km ®i víi vËn tèc 15km/h (hÕt 1/15h) Nên cứ 2km ngời đó đi hết: 1 1 1 + = (h) 10 15 6 Vậy vận tốc trung bình của ngời đó là: 2 : 1/6 = 12km/h Bµi 6: V× x,y nguyªn d¬ng nªn x - 1 lµ uãc cña 16 Mµ ¦ (16) = 1;2;4;8;16 Ta cã:. x -1 = 1 x -1 = 2 x -1 = 4 x -1 = 8 x -1 = 16. x=2 x=3 x=5 x=9  x = 17. Thay lần lợt các giá trị của x vừa tìm đợc vào (x - 1) (5y + 2) = 16 x = 2 ta cã: 5y + 2 = 16  y = 14/5 lo¹i x = 3 ta cã: 2 (5y + 2) = 16  y = 6/5 lo¹i x = 5 ta cã: 4 (5y + 2) = 16  y = 2/5 lo¹i. 2 ®iÓm 2 ®iÓm 2 ®iÓm 2 ®iÓm 0.5 0.5 0.5 0.5. 3 ®iÓm 1.0 1.0 0.5 0.5 3 ®iÓm 0.5. 1.0. x = 9 ta cã: 8 (5y + 2) = 16  y = 0 x = 17 ta cã: 16 (5y + 2) = 16  y = - 1/5 lo¹i KÕt luËn: CÆp sè nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ (9;0). Bµi 7: a. Nh÷ng tam gi¸c cã c¹nh NC:  NCI;  NCP;  NCK; NCB. b. Những góc có đỉnh là N: ANC, ANB, ANP. 1.0 0.5 6 ®iÓm 2.0. 3.

(36) BNP, BNC, PNC c. Ta cã tia PM vµ PN n»m gi÷a hai tia PB vµ PC Nªn BPM + MPN + NPC = BPC = 1800 Mµ BPM = 600 ; MPC = 500 Suy ra: MPN = 1800 - 600 - 500 = 700 Ta thÊy: MPN  NPC Nªn PN kh«ng ph¶i lµ ph©n gi¸c cña gãc MPC.. 2.0 0.5 0.5 1.0. đề số 17 M«n to¸n, Khèi líp 6: Hãy khoanh tròn chữ a, b, c hoặc d nếu đó là câu đúng. Bµi 1: Cho 2 sè nguyªn m vµ n: a. m + n = |m| + |n| víi mäi m vµ n. b. m + n = |m| + |n| víi mäi m vµ n cïng dÊu. c. m + n = |m| + |n| víi mäi m vµ n tr¸i dÊu. d. m + n = |m| + |n| víi mäi m vµ n cïng d¬ng. 5 1 Bµi 2: BiÕt cña x b»ng 2 ; t×m x: 6 10 63 7 10 4 a. b. c. d. 25 4 21 7 9 1 1 1 1 Bµi 3: KÕt qu¶ tæng A = lµ: − − − .. .− − 10 90 72 6 2 b. 2 d. 0 1 9 a. c. 2 10 Bµi 4: Chøng minh :A = (2005 +20052 +...+ 200510) 2006 Bài 5: Tìm hai số nguyên dơng biết tích của hai số ấy gấp đôi tổng của hai số ấy. Bµi 6: So s¸nh 2 sè: 22 ❑2 vµ 3 ❑2 Bµi 7: T×m x biÕt: 4|x - 5| + 2 |3x - 4| +12 = 0 Bài 8: Cho điểm O trên đờng thẳng xy. Trên nửa mặt phẳng có bờ là xy vẽ tia Oz sao cho góc xOz nhá h¬n 900. a. VÏ tia Om; On lÇn lît lµ ph©n gi¸c cña gãc xOz vµ gãc zOy. b. TÝnh sè ®o c¸c gãc nhän trong h×nh nÕu sè do gãc mOz b»ng 300. 3. 3. 2. §¸p ¸n M«n to¸n líp 6:. 3.

(37) §Ò 2: Bµi 4: Ta cã: A = (2005 +20052 +...+ 20059 + 200510) = = 2005 (1 + 2005) +20053 (1 + 2005)+...+ 20059 (1+ 2005) = 2006 (2005 + 20053 +...+ 20059 )  2006 VËy A  2006. Bµi 5: Gäi 2 sè nguyªn d¬ng ph¶i t×m lµ a vµ b. Ta cã: 2 (a + b) = ab (1) Do vai trß cña a vµ b nh nhau; ta gi¶ sö a 0 ta đợc a  4 Thay a = 1 vào (1) ta đợc 2b + 2 = b loại Thay a = 2 vào (1) ta đợc 4 + 2b = 2b loại Thay a = 3 vào (1) ta đợc 6 + 2b =3 b  b = 6 Thay a = 4 vào (1) ta đợc 8 + 2b =4 b  b = 4 VËy cã 2 cÆp sè tho¶ m·n lµ 3 vµ 6; 4 vµ 4. Bµi 6: Ta cã 32 =3 8=9 4 8 4=212 210 Từ đó: 23 > 22 =22. .2 =42 32 =32 Suy ra: 23 >3 2 Bµi 7: Không tìm đợc x vì vế trái luôn lớn 0 với mọi x.. 2 ®iÓm. 4 ®iÓm 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 2 ®iÓm. 3. 2. 2. 3. 3. 10. 9. 9. 9. 3. 2. 2. 1.0 1.0. 3. Bµi 8: a. Vẽ hình đúng (1đ) m. x. 2 ®iÓm 4 ®iÓm. z. n. O. y. b. V× Om lµ ph©n gi¸c cña gãc xOz nªn xOm = mOz = 1/2xOz mµ mOz = 300 Suy ra: xOm = 300 xOz = 600 + v× gãc xOz vµ zOy kÒ bï nªn xOz = zOy = 1800 Suy ra: zOy 0= 1800 0 - xOz = 180 - 60 = 1200 + V× On lµ ph©n gi¸c cña gãc zOy nªn zOn = nOy = 1/2 zOy = 1/2 . 1200 = 600 KÕt luËn: xOm = 300 xOm = nOy = 600. 0.5 0.5 0.5 0.5 1. §Ò sè 18. M«n to¸n, Khèi líp 6: Khoanh tròn chữ a,b,c,d nếu đó là câu đúng.. Bµi 1: Cho 2 sè nguyªn m vµ n: a. m . n = |m| . |n| vãi mäi m vµ n. b. m . n = |m| . |n| víi mäi m vµ n cïng dÊu. c. m . n = |m| . |n| víi mäi m vµ n tr¸i dÊu. d. m . n = |m| . |n| víi mäi m vµ n cïng ©m. Bµi 2: Víi a lµ sè nguyªn: 2 3 Tæng: a + a + a kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn. 3 2 6 Khẳng định trên là: a. Đúng b. sai. 3.

(38) Bµi 3: Qua ba ®iÓm bÊt kú A,B,C ta cã: a. AB + BC = AC b. AB + BC > AC. c. AB + BC  AC b. AB + BC  AC. Bµi 4: Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + .. .+ 99 < A= 3 3 3 2 3 Bµi 5: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè p + 2 vµ p + 4 Còng lµ c¸c sè nguyªn tè. Bµi 6: T×m ssã tù nhiªn nhá nhÊt cã tÝnh chÊt sau: Số đó chia cho 3 thì d 1; chia cho 4 thì d 2, chia cho 5 thì d 3, chia cho 6 thì d 4 và chia hết cho 13. Bµi 7: T×m x biÕt: |x- 1| = 2x + 3 Bµi 8: Cho ®o¹n th¼ng AB = 7cm. §iÓm C n»m gi÷a Avµ B sao cho AC = 2cm. C¸c ®iÓm D,E theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AC vµ CB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE. tÝnh DE vµ CI.. §¸p ¸n M«n to¸n líp 6: §Ò 3: Bµi 1: Chän c©u a: Bµi 2: Chän c©u b: Bµi 3: Chän c©u c: Bµi 4: 1 1 1 1 Ta cã: 3A = 1+ + 2 + 3 + .. .+ 98 3 3 3 3 1 Nªn 3A - A = 1 99 3 1 1 1 1 − < Hay 2A = 1  A= 99 99 2 2. 3 2 3 VËy A < 1/2 Bµi 5: Sè p cã mét trong 3 d¹ng 3k; 3k + 1; 3k + 2 víi k  N * NÕu p = 3k th× p = 3 ( v× p lµ sè nguyªn tè) Khi đó p + 2 =5; p + 4 =7 đều là các số nguyên tố. NÕu p = 3k + 1 th× p + 2 = 3k +3 chia hÕt cho 3 vµ lín h¬n 3 nªn p +2 lµ hợp số trái với đề bài. NÕu P = 3k +2 th× p +4 = 3k + 6 chia hÕt cho 3 lín h¬n 3 nªn. 2 ®iÓm 2 ®iÓm 2 ®iÓm 2 ®iÓm 0,5 0.5 0.5 0.5 3 ®iÓm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5. 3.

(39) p + 4 là hợp số; trái với đề bài. VËy p = 3 lµ gi¸ trÞ duy nhÊt ph¶i t×m. Bµi 6: Gäi x lµ sè ph¶i t×m th× x + 2 chia hÕt cho 3; 4; 5; 6 nªn x +2 lµ béi chung cña 3; 4; 5; 6 BCNN (3,4,5,6) = 60 nªn x + 2 = 60n Do đó x = 60n - 2 (n = 1,2,3 ... ) Do x lµ sè nhá nhÊt cã tÝnh chÊt trªn vµ x ph¶i chia hÕt cho 13. Lần lợt cho n = 1,2,3 ... ta thấy đến n = 10 Th× x = 598 chia hÕt cho 13. Sè nhá nhÊt cÇn t×m lµ 598. Bµi 7: |x - 1| = 2x + 3 ta cã: x - 1 = 2x + 3 hoÆc x - 1 = -(2x + 3) * x - 1 = 2x +3 2x - x = -1 - 3 x=-4 * x - 1 = -(2x + 3) x + 2x = -3 + 1 x = -2/3 VËy x = -4; x = -2/3 Bµi 8: Vẽ hình đúng A D C. 0.5 3 ®iÓm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2 ®iÓm 0.5 0.5. 0.5 4 ®iÓm. I. E. B. + Ta cã: AC + CB = AB ( v× C n»m gi÷a AB) nªn CB = AB - AC = 7cm - 2cm = 5cm + V× D vµ E n»m gi÷a A,B nªn AD + DE + EB = AB Suy ra: DE = AB - AD - EB AD = 1/2 AC = 1/2.2 = 1(cm) (v× D lµ trung ®iÓm AC) EB = 1/2 BC = 1/2.5 = 2,5(cm) (v× E lµ trung ®iÓm BC) VËy DE = 7 - 1 - 2,5 = 3,5 (cm) + V× I lµ trung ®iÓm cña DE Nªn DI = 1/2 DE = 1/2 .3,5 = 1,75(cm) Suy ra AI = AD + DI = 1 + 1,75 = 2,75 + Ta thÊy AD < AC < AI nªn (n»m gi÷a D vµ I) nªn DC + CI = DI Suy ra: CI = DI - DC = 1,75 - 1 = 0,75 (cm). KÕt luËn: DE = 3,5cm; CI = 0,75cm.. 0.5. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5. 3.

(40) §Ò sè 19 C©u1( 5 .0 ®iÓm): Cho ba ch÷ sè a , b , c víi 0 < a < b < c a) ViÕt tËp hîp A c¸c sè cã ba ch÷ sè, mçi sè gåm c¶ ba ch÷ sè trªn. b) BiÕt r»ng tæng hai sè nhá nhÊt trong tËp hîp A b»ng 499. T×m tæng c¸c ch÷ sè a + b + c C©u 2( 5.0 ®iÓm): T×m c¸c sè nguyªn x, y , z , t biÕt: t2 27  x 3 ( z  3)3   2   4 3 y 4 8 1 1 1 1 1 1 1 2 3 48 49    ...       ...   48 49 50 vµ P = 49 48 47 2 1 C©u 3 (2 .0 ®iÓm): Cho S = 2 3 4 S H·y tÝnh P 7n 2  1 n n 6 C©u 4( 3.0 ®iÓm): Chøng tá r»ng nÕu ph©n sè lµ sè tù nhiªn víi nN th× c¸c ph©n sè 2 vµ 3 lµ c¸c ph©n sè tèi gi¶n. C©u 5( 4.0 ®iÓm) : Cho gãc xOy cã sè ®o b»ng 600 vµ Om lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy. VÏ tia Oz sao cho gãc xOz b»ng 450. TÝnh sè ®o gãc mOz? Câu 6 (2 .0 điểm): Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đờng thẳng . Biết rằng có tất cả 105 đờng thẳng.Tính n? ----------------------------------------------HÕt---------------------------------------------------. 4.

(41) híng dÉn chÊm To¸n 6 C©u 1. C©u 2. Nội dung cần đạt a) TËp hîp A = abc , acb , bac, bca, cab, cba  b)Hai sè lín nhÊt trong tËp hîp A lµ cab vµ cba . Ta cã abc + acb = 499 Suy ra : 200a + 11b + 11c = 499 (*). NÕu a  3 th× vÕ tr¸i cña (*) lín h¬n 499, v« lÝ . Do đó a 1; 2 - Víi a = 1 th× c + b = 499:11, kh«ng lµ sè tù nhiªn - Víi a = 2 th× c +b = 99: 11 = 9.VËy a + b + c = 11. §iÓm 2® 1® 1® 1® 1®. 27  x 81  3  x = - 4 Z * 4. 1® 2. 27 3 4  2 2  2    y  y 3 Z * 4 y2 = 9  3  3 27  z  3 3 3    z  3  27   3  z  3  3  z  6 4 * 4 27 t  2   t  2 54  t  2 54 4 8 ) t  2  54  t  52 *. ) t  2 54  t 56  t 56. 1.5® 1.5®. v« lÝ. C©u. 4.

(42) 3. C©u 4. C©u 5. 1 2 3 48 49    ...   49 48 47 2 1 1  2   3   48  (  1)    1    1  ...    1  1 49  48   47   2  50 50 50 50 50 50 50 50 50 (    ...  )  1      ...  49 48 47 2 50 49 48 47 2 1 1 1  1 50     ...   2  50 49 48 1 1 1 1 1    ...   S 49 50  1   2 3 4 1 1  50 P 1 1 1 50     ...    49 50  2 3 4 P. 1®. 1®. 7n2 1 6 V× ph©n sè lµ sè tù nhiªn víi mäi nN  7n2+1  6  n lÎ vµ n kh«ng chia n n ; hÕt cho 3 2 3 lµ c¸c ph©n sè tèi gi¶n.. *Trêng hîp tia Oz n¨m gi÷a hai tia Ox vµ Oy x m z. O. 1 +) Om lµ t×a ph©n gi¸c cña gãc xOy nªn: xOm = 2 xOy = 300.  xOz >xOm  tia Om n¨m gi÷a hai tia Ox vµ Oz  xOm + mOz = xOz  mOz = xOz - xOm = 450 - 300 = 150 *Trêng hîp tia Ox n¨m gi÷a hai tia Oz vµ Oy +) Tính đợc : mOz = 450 + 300 =750 C©u 6. y. 2®. n  n  1 * Tính đợc số đờng thẳng là :. 2. 2® 2®. =105  n( n- 1) = 210 = 15.14  n= 15 .. 4.

(43) §Ò sè 20 §Ò thi chän häc sinh giái líp 6 đề ra: Bµi1:(4®) So s¸nh c¸c sè sau: a/ a vµ 2a 1 2 b/ vµ 2009 (− 3 ) (− 3 )2009 13 5 c/ 210 −22 vµ 23 2 −2 d/ a2 vµ (a-1)(a+1) Bµi2: (4®) T×m x Z biÕt a/ 2(-3x-1) -3(5-4x) = 1 + 4(x-2) b/ 3 ❑|x −1|+1 =5.24 + 20080 c/ (x2-1)(x2-6) <0 d/ (3x-8) ⋮ x-5 Bài3: (4đ) Ban An nghĩ ra một số đặc biệt .Nếu lấy số đó cộng lần lợt cho các số :1954;2004;1930 thì đợc số mới theo thứ tự chia hết cho 14;15;16 .Hỏi An đã nghĩ ra số nào ?(Biết số đó nằm trong khoảng tứ 5000-6000) Bµi4:(3®) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 .Chøng minh r»ng A= p2+2003 ⋮ 12 Bài5: Cho 3 đờng thẳng aa’;bb’;cc’ cắt nhau tại O .Biết góc aOb=300 và góc bOc=800 a/So s¸nh gãc aOb víi a’Ob’ b/ TÝnh sè ®o gãc aOc §¸p ¸n : Bµi1:a/ Chia ra 3 trêng hîp a>0,a<0 a=0 1 2 b/ V× (-3)2009<0 nªn 2009 > (− 3 ) (− 3 )2009 13 5 25 ( 28 −1 ) c/ 210 −22 = 2 8 =23 2 −2 2 (2 −1) d/ a2> a2 -1 =(a-1)(a+1) Bµi2: a/x=5 b/3 ❑|x −1|+1 =34 =>x=4;x=-2 c/ 1<x2<6 => x= ± 2 d/ (3x-8) ⋮ x-5 ⇔ 3x-15+7 ⋮ x5 ⇔ x-5= ± 1; ± 7 Bài3: Gọi số đó là a => a+1954 ⋮ 14; a+2004 ⋮ 15 ; a+1930 ⋮ 16 hay a+8 ⋮ 14 ,a+9 ⋮ 15,a+10 ⋮ 16 => a -6 ⋮ 14;15;16 => a-6 BC(14;15;16) Bài4: Vì số nguyên tố lớn 3 nên có dạng 6k ± 1 .lần lợt thay vào P ta đợc ĐPCM Bµi5: a/ Gãc a’Ob’=aOb=300 b/ c' a b. 30  80. O. b' c. a'. 4.

(44) §Ò sè 21. đề thi khảo sát chất lợng sinh giỏi M«n: to¸n líp 6 Thêi gian lµm bµi: 90 phót ************************************************************************ Bµi 1: 1 3 3 4 4 4 4 (3+ − − ) 4 + + + 1 3 7 53 17 19 2003 a)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = -1 . : . 5 1 3 3 5 5 5 3+ − − 5+ + + 3 37 53 17 19 2003 b)Cho tæng A = 1 + 32 + 34 + 36 + … 32006. TÝnh: 8A - 32008 Bµi 2: a)T×m n N sao cho n2 + 7n + 2 chia hÕt cho n + 4. b) T×m sè 1 a7 b sao cho a – b = 3 vµ 1 a7 b chia cho 9 d 5. Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña sè tù nhiªn a th×: 12 a+1 a) lµ ph©n sè tèi gi¶n. 30 a+2 5 a −17 cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 4 a − 23 Bài 4: Cho 101 đờng thẳng trong đó bất cứ hai đờng thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đờng thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. Bµi 5: Cho gãc xOy cã sè ®o b»ng 1200 . §iÓm A n»m trong gãc xOy sao cho: b). AOy =750 . §iÓm B n»m ngoµi gãc xOy mµ : BOx =1350 . Hái 3 ®iÓm A,O,B cã th¼ng hµng kh«ng? V× sao.. Híng dÉn chÊm Bµi 1: (2,5®iÓm). 4.

(45) 1 3 3 4 4 4 4 (3+ − − ) 4 + + + 1 3 7 53 17 19 2003 a)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = -1 . : . 5 1 3 3 5 5 5 3+ − − 5+ + + 3 37 53 17 19 2003 1 4 = −1 ⋅4 : 5 5 −6 5 = ⋅ 4 ⋅ =¿ -6 5 4 b)TÝnh tæng A = 1 + 32 + 34 + 36 + … 32006.. (0,5®) (0,5®). 3A = 3(1 + 32 + 34 + 36 + … 32006). =3 + 33 + 35 + 37+....+32007 (0,5®) 3A+A = 4A = 1 +3 + 32 + 33 +34 + 35 + 36 + … 32006+32007. 12A=3(1 +3 + 32 + 33 +34 + 35 + 36 + … 32006+32007) =3 + 32 + 33 +34 + 35 + 36 + … 32006+32007+32008 (0,5®) 12A – 4A= 8A = 32008- 1 8A- 32008 =32008- 1 - 32008 = -1 (0,5®) Bµi 2:(2®iÓm) a)T×m n. N sao cho n2 + 7n + 2 chia hÕt cho n + 4. Ta cã : B = n2 + 7n + 2 = n(n+4) + 3(n + 4) – 10 B ⋮ n + 4 ⇔ 10 ⋮ n + 4. (0,5®). n=1, 6. (0,5®). b) T×m sè 1 a7 b sao cho a – b = 3 vµ 1 a7 b chia cho 9 d 5. Tõ : a – b = 3 ⇒ a = 3 + b 1 a7 b chia cho 9 d 5 ⇒ (1+a +7 +b) = 9n + 5 (n ⇒ 6 + 2b = 9n b ⇒ 6 + 2b ⋮ 9 ( 0 ⇒ b=6 ⇒ a=9 VËy sè cÇn t×m lµ 1976 Bµi 3: (2,5®iÓm) Víi gi¸ trÞ nµo cña sè tù nhiªn a th×: 12 a+1 a) lµ ph©n sè tèi gi¶n. 30 a+2 (12a + 1; 30a + 2) = d 5(12a + 1)-2(30a + 2) ⋮ d 1 ⋮ d ⇒ d= ± 1 VËy ph©n sè tèi gi¶n.. b) C=. 5 a −17 4 a − 23. N* ). (0,5®). 9) (0,5®). (0,5®) (0,5®). ¿ 5 (4 a− 23)+ 47 5 47 5 47 C= = + ≤ + 4 4( 4 a − 23) 4 4 4 ( 4 a −23) ¿. Cmin= 26 ⇔ 4a-23=1 ⇔ a=6. (0,5®). Bài 4:(1 điểm) 101 đờng thẳng trong đó bất cứ hai đờng thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đờng thẳng nào đồng quy.Thì số giao điểm của chúng là: n(n −1) 101(101− 1) (1®) = =101⋅50=5050 2 2 Bài 5:(2điểm) :- Vẽ hình đúng (0,5®) - Giải thích đợc A,O,B không thẳng hàng (1,5 ®). 4.

(46) §Ò sè 22 §Ò kh¶o s¸t häc sinh giái m«n to¸n 6. C©u 1. Rót gän: 6 6   A  13 14 5 5 5   13 14 a) 6. B. 2 5 5 1 5   5: 26 27 3  848484 1 3 3 1 3030300 3   3 26 27 5 .. 2828  2824  2820  ...  284  1 2830  2828  2826  ...  282  1 .. b) C©u 2. T×m hai sè tù nhiªn a vµ b biÕt tÝch cña chóng b»ng 294 vµ béi chung nhá nhÊt cña chóng b»ng 42. C©u 3. T×m th¬ng cña mét phÐp chia, biÕt r»ng nÕu t¨ng sè bÞ chia thªm 91 vµ t¨ng sè chia lªn 5 th× th¬ng không đổi còn d tăng 6 đơn vị.. 4.

(47) 7n  6 Câu 4. Tìm tất cả các giá trị tự nhiên n để phân số 6n  7 cha phải là tối giản Câu 5. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 20 cm. Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm I và K sao cho I nằm giữa A và K. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng AI, IK và KB. Tính độ dài đoạn thẳng IK, biết MN = 5 cm, NP = 7 cm. §Ò kh¶o s¸t häc sinh giái m«n to¸n 6. C©u 1. Rót gän: 6 6   A  13 14 5 5 5   13 14 a) 6. B. 2 5 5 1 5   5: 26 27 3  848484 1 3 3 1 3030300 3   3 26 27 5 .. 2828  2824  2820  ...  284  1 2830  2828  2826  ...  282  1 .. b) C©u 2. T×m hai sè tù nhiªn a vµ b biÕt tÝch cña chóng b»ng 294 vµ béi chung nhá nhÊt cña chóng b»ng 42. C©u 3. T×m th¬ng cña mét phÐp chia, biÕt r»ng nÕu t¨ng sè bÞ chia thªm 91 vµ t¨ng sè chia lªn 5 th× th¬ng không đổi còn d tăng 6 đơn vị. 7n  6 Câu 4. Tìm tất cả các giá trị tự nhiên n để phân số 6n  7 cha phải là tối giản Câu 5. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 20 cm. Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm I và K sao cho I nằm giữa A và K. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng AI, IK và KB. Tính độ dài đoạn thẳng IK, biết MN = 5 cm, NP = 7 cm §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm 1 a). 1 1 1  1  6 1   51   13 14 15   26 A  : 1 1 1  1  51   31    13 14 15   26 6 3 7 25  .   1. 5 5 25 25. 1 1  27 15  7  1 1  25  27 15 . b). 2,00 ®iÓm 1,00 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm. 1,00 ®iÓm 28. B. 24. 20. 4. 28  28  28  ...  28  1  (28  28  2822  ...  282 )  (2828  2824  2820  ...  284  1) 30. 26. 2828  2824  2820  ...  284  1  282 (2828  2824  2820  ...  284  1)  (2828  2824  2820  ...  284  1). 0,50 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm. 2828  2824  2820  ...  284  1 1 1  2  28 24 20 4 2 (28  28  28  ...  28  1)(28  1) 28  1 785 2 Biểu diễn đợc hai số a và b dới dạng: a = dm, b = dn với (m, n) = 1. Ta cã ab = d2mn = 294, [a, b] = dmn = 42. 2,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm. 4.

(48) ab 294  7 a, b  42  suy ra (a, b) = d = . Suy ra m.n = 6 suy ra c¸c trêng hîp cña (m,n) vµ c¸c cÆp sè (a,b) m n 1 6 2 3 3 2 6 1 Biểu diễn đợc phép chia dới dạng a = b.q + r. Theo đề bài ta có a + 91 = (b+5).q +r + 6 Suy ra 5q = 75 suy ra q = 15. 3. 4. a 7 14 21 42. 1,00 ®iÓm. b 42 21 14 7. Gäi d = (7n + 6, 6n + 7) suy ra 7n + 6 d vµ 6n + 7 d suy ra 7n + 6 – (6n + 7 )  d hay n -1  d suy ra 6n – 6  d mµ 6n + 7  d suy ra 6n +7 – (6n - 6)  d hay 13  d. §Ó ph©n sè kh«ng lµ tèi gi¶n th× d = 13 suy ra n -1 = 13 k ( k  N) hay n = 13k + 1.. 5. 1,5 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 2,00 ®iÓm 1,00 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 2,00 ®iÓm. Chứng tỏ đợc I nằm giữa M và N từ đó tính đợc AK = 10 cm Chứng tỏ đợc k nằm giữa P và N từ đó tính đợc IB = 14 cm. Chứng tỏ đợc I nằm giữa A và K từ đó có: AK + IB = AI +IK + IB = (AI + IB) + IK = AB + IK = 20 +IK. mµ AK = 10 cm, IB = 14 cm. suy ra 20 +IK = 10 + 14 suy ra IK = 4 cm.. 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm. §Ò sè 23. C©u1. T×m x biÕt: a) (x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ ...+ (x+100)=205550 b) 3x+3x+1+3x+2=351 C©u2. TÝnh. 2 2 2 2 + + +. ..+ 1 . 3 3 .5 5. 7 99 . 101 b) B=1.2+2.3+3.4+...+99.100 a) A=. C©u 3. a) Chøng minh :. n+1 n− 2. (n. Z) tèi gi¶n.. n+10 2 n −8 *Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số. * Tìm các số tự nhiên n để biểu thức A có giá trị là một sốnguyên . * Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số tối giản. C©u 4. a) Cho ba điểm thẳng hàng A,B,C với AB=8cm,BC=3cm.Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AB .Tính độ dµi ®o¹n DC?. b) Cho 100 điểm A1, A2, A3,...., A100 trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.Cứ qua hai điểm ta kẻ đợc một đờng thẳng.Tính số đờng thẳng kẻ đợc?. c) Cho ∠ x 0 y =600 .VÏ tia 0t sao cho ∠ y 0t =200 .TÝnh ∠ x 0 t ? b) Cho A=. §Ò sè 23 C©u1.. 4.

(49) T×m x biÕt: c) (x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ ...+ (x+100)=205550 d) 3x+3x+1+3x+2=351 C©u2. TÝnh. 2 2 2 2 + + +. ..+ 1 . 3 3 .5 5. 7 99 . 101 b) B=1.2+2.3+3.4+...+99.100 a) A=. C©u 3.. 12 n+ 1 (n Z) tèi gi¶n. 30 n+2 n+10 b) Cho A= 2 n −8 *Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số. * Tìm các số tự nhiên n để biểu thức A có giá trị là một sốnguyên . * Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số tối giản. C©u 4. a) Cho ba điểm thẳng hàng A,B,C với AB=8cm,BC=3cm.Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AB .Tính độ dµi ®o¹n DC?. b) Cho 100 điểm A1, A2, A3,...., A100 trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.Cứ qua hai điểm ta kẻ đợc một đờng thẳng.Tính số đờng thẳng kẻ đợc?. c) Cho ∠ x 0 y =600 .VÏ tia 0t sao cho ∠ y 0t =200 .TÝnh ∠ x 0 t ? a) Chøng minh:. §¸p ¸n. C©u. §¸p ¸n. Thang ®iÓm. C©u1 2®. a) (x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ ...+ (x+100)=205550 x+x+x+...+x+1+2+3+...+100=205550 100x+5050=205550. 0,5®. 100x=200500 x=2005. 0,5®. 3x+3x+1+3x+2=351 3x+3x .3+3x..32=351. 0.5®. 3x(1+3+9)=351 3x=27=33 x=3. 0,5®. b). C©u2. 2®. C©u 3 3®. a) 2 2 2 2 + + +. ..+ 1 . 3 3 .5 5. 7 99 . 101 1 1 1 1 A=2( ) + + +. ..+ 1 . 3 3 .5 5. 7 99 . 101 1 1 1 1 1 1 1 1 A= − + − + − +.. .+ − 1 3 3 5 5 7 99 101 1 100 A=1= 101 101 A=. b) B=1.2+2.3+3.4+...+99.100 3B=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4(5-2)+...+99.100.(101-98) 3B=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100 3B=99.100.101 B=333300 a) 12 n+ 1 Chøng minh ph©n sè (n Z) tèi gi¶n. 30 n+2 Gäi d=UCLN(12n+1,30n+2). 0,5®. 0,5®. 0,5® 0,5®. 0,5®. 4.

(50) Suy ra (12n+1) ⋮ d (30n+2) ⋮ d Hay 5. (12n+1) ⋮ d hay 60n+5 ⋮ d 2. (30n+2) ⋮ d 60n+4 ⋮ d Suy ra (60n+5-60n-4) ⋮ d hay 1 ⋮ d .VËy d=1;-1 Khi đó 12n+1,30n+2 nguyên tố cùng nhau.Vậy PSố. C©u 4 3®. 0,25®. 12 n+ 1 30 n+2. tèi gi¶n. b) n+1 A= n− 2 *) §Ó A lµ ph©n sè th× n- 2 0 .VËy n 2 n− 2+3 3 *) A= =1+ n −2 n− 2 3 §Ó A nguyªn th× nguyªn ,hay 3 ⋮ (n-2) n− 2 Suy ra n-2 ¦(3)  Nếu n-2=-3,khi đó n=-1  Nếu n-2=-1,khi đó n=1  Nếu n-2=1,khi đó n=3  Nếu n-2=3,khi đó n=5. Vậy n=-1;1;3;5 *)TH1.NÕu B n»m gi÷a A vµ C. V× D lµ trung ®iÓm cña AB nªn DB=. 0,25®. 0,5. 0,5 0,5. 0,5. 0,5®. AB 8 = =4 (cm) 2 2. Do B n»m gi÷a D vµ C nªn : DC=DB+BC=4+3=7(cm). *) TH2.NÕu C n»m gi÷a A vµ B. V× D lµ trung ®iÓm cña AB nªn DB=. 0,5®. AB 8 = =4 (cm) 2 2. Do C n»m gi÷a B vµ D nªn DC=DB-BC=4-3=1(cm) VËy DC=7cm hoÆc DC=1cm b) Trong n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng,qua hai điểm ta 1đ kẻ đợc một đờng thẳng.Chọn 1điểm ta kẻ đợc n-1 đờng thẳng.Vậy qua n điểm ta kẻ đợc n.(n-1) đờng thẳng.Nhng mỗi đn(n −1) ờng thẳng đợc tính hai lần nên ta kẻ đợc đờng thẳng. Vậy 100 2 100(100 −1) điểm ta sẽ kẻ đợc =4950 đờng thẳng 2 c) TH1.Tia 0t n»m trong gãc x0y 0,5®. 5.

(51) Do tia 0t n»m gi÷a tia 0x vµ tia 0y nªn ∠ x 0 t = ∠ x 0 y - ∠ y 0t =600-200=400. TH1.Tia 0t kh«ng n»m trong gãc x0y. 0,5®. Khi đó tia 0y giữa tia0x và tia 0t nên ∠ x 0 t = ∠ x 0 y + ∠ y 0t =600+200=800 0 VËy ∠ x 0 t =40 hoÆc ∠ x 0 t =800 *Chú ý :Các cách giải khác nhau nếu đúng (trong phạm vi chơng trình lớp 6)vẫn cho điểm tối đa tơng ứng.. 5.

(52) đề số 24. Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m Häc 2008 - 2009 M«n To¸n líp 6 Bµi 1( 3 ®iÓm ) TÝnh (mét c¸ch hîp lÝ) a, ( 1,5 ®iÓm ) 143.( 57 – 36) – 57 . (143 – 36) = 143. 57 – 143. 36 – 143. 57 + 57. 36 = 36. ( - 143 + 57 ) = 36. (- 86) = - 3096 b, ( 1,5 ®iÓm ) 4 4 12 12 24 4 : 3 4 −3212 :1612 = ( 8 .3 ) :3 − ( 16 . 2 ) :16 = 84 - 212 = 212 - 212 =0 Bµi 2 (4 ®iÓm) T×m x a, ( 2 ®iÓm ) 1296 : [ 72− ( 15− 7 x ) ] =36 72 – ( 15 – 7x ) = 36 15 – 7x = 36 7x = - 21 x = -3. VËy x = -3. b, ( 2 ®iÓm ) 12 - |x +2| = 7 |x +2| = 5 x + 2 = 5 hoÆc x + 2 = - 5 x = 3 hoÆc x = - 7 VËy x = 3 hoÆc x = - 7 Bµi 3 (3 ®iÓm) a, ( 2 ®iÓm ) S = ( 5+52 +53 +54 ¿+(55 +56 +5 7+ .. ..+5 2008) §Æt T = 55 +56 +57 +. .. . .. .. .+52008 Q = 5+52 +53 +54 Ta cã T = 55 +56 +57 +. .. . .. .. .+52008 = 55 . ( 1+53 ) +56 .(1+53 )+.. ..+5 2005 (1+53 ) = 126 . (55 +56 +. .. . ..+52005 ) chia hÕt cho 126 Q = 5+52 +53 +54 = 780 = 126. 6 + 24 kh«ng chia hÕt cho 126 Do đó S = T + Q không chia hết cho 126. 0,5® 0,5® 0,25® 0,25®. Phßng GD&§T H¶i HËu kú thi chän häc sinh giái cÊ. huyÖn. - - - -* - - -. 0,5® 0,5® 0,25® 0,25®. 0,5® 0,5® 0,5® 0,5®. 0,25® 0,5® 1® 0,25® 0,5®. N¨mHäc: 20 8 - 20 9. b, ( 1 ®iÓm ) Tổng S gồm 2008 số hạng mà mỗi số hạng đều có chữ số tận cùng là 5 nên tổng của 2008 số này có ch÷ sè tËn cïng lµ 0. Do đó chữ số tận cùng của S là 0 Bµi 4 (3 ®iÓm). 0,5® 0,5® 0,5® 1®. 5.

(53) Víi mäi sè tù nhiªn n th× n2 +n+2 kh«ng chia hÕt cho 3 thËt vËy: 2 n +n+2 = n ( n + 1 ) + 2 Néu n chia hết cho 3 thì n(n + 1) chia hết cho 3 khi đó n (n + 1) + 2 chia cho 3 d 2 Néu n chia cho 3 d 1 thì n = 3k + 1 (k Ν ) khi đó n2 +n+2 = (3k + 1)(3k + 2) + 2 = 3(3k2 + 5k + 1) chia cho 3 d 1 Néu n chia cho 3 d 2 thì n + 1 chia hết cho 3 khi đó n2 +n+2 chia cho 3 d 2 Nh vËy n2 +n+2 kh«ng chia cho 3 víi mäi n Ν , mµ 3 lµ sè nguyªn tè nªn BCNN( n2 +n+2 ; 3) = 3( n2 +n+2 ) > n2 +n+2. 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5®. Bµi 5 (3 ®iÓm) Gọi a là số học sinh tham gia đồng diễn. Lập luận để có a – 1 = BC (5; 6; 8) Từ đó có a – 1 = k. BCNN ( 5; 6; 8), với k là số tự nhiên Tìm đợc a = 120k + 1 (1) Vì số học sinh trong khoảng từ 350 đến 500 nên ta có 350 120 k +1 ≤ 500 Từ đó tìm đợc k = 3; 4 Thay k = 3 vào (1) đợc a = 120. 3 + 1 = 361, mà 361 không chia hết cho 13 (loại) Thay k = 4 vào (1) đợc a = 120. 4 + 1 = 481, có 481 chia hết cho 13 (thoả mãn) Vậy số học sinh tham gia đồng diễn là 481.. 0,5® 0,5® 0,5® 0,25® 0,5® 0,25® 0,25® 0,25®. Bµi 6 (4 ®iÓm) V× tia Ox vµ tia Oz thuéc cïng nöa mÆt ph¼ng bê chøa tia Oy nªn x¶y ra hai trêng hîp: 1, ( 2 ®iÓm) Tia Oz n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy a, (1®iÓm) V× tia Oz n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy nªn cã x ∠ xOz + ∠ yOz = ∠ xOy ( 0,25 ®) Thay ∠ xOz = 350; ∠ xOy = 1100 đợc 350 + ∠ yOz = 1100 (0,25 đ) Tìm đợc ∠ yOz = 750 (0,25 đ) VËy ∠ yOz = 750 (0,25 ®). z. o. y t. b, (1®iÓm) Chỉ ra góc kề bù với góc yOz, lập luận để có hệ thức (0,25đ) Thay số và tính đợc ∠ yOt = 1050 (0,5đ) VËy ∠ yOt = 1050 (0,25®) 2, ( 2 ®iÓm) Tia Ox n»m gi÷a hai tia Oz vµ Oy a, (1®iÓm) Lập luận để có hệ thức (0,25đ) Thay số và tính đợc ∠ yOz = 1450 (0,5đ) VËy ∠ yOz = 1450 (0,25®) b, (1®iÓm) Chỉ ra góc kề bù với góc yOz, lập luận để có hệ thức (0,25đ) Thay số và tính đợc ∠ yOt = 350 (0,5đ) VËy ∠ yOt = 350 (0,25®). z. x. y. O t. Chó ý: 1.Trong mỗi bài và mỗi câu HS có thể làm cách khác và lập luận chặt chẽ thì đúng đến đâu cho điểm tơng ứng đến đó. 2. §iÓm cña toµn bµi thi kh«ng lµm trßn.. Đề số 25. Đề thi học sinh giỏi tham khảo Môn Toán Lớp 6 5.

(54) Thời gian: 90 phút Bài 1( 2 điểm): 1 2 1 − =0 3 4 x N biết: 2 + 624 = 5y. ( ) x−. a)Tìm x biết: b) Tìm x, y Bài 2( 2 điểm):. − 22 − 51 và 45 103 1 2 3 92 1 1 1 1 : + + +.. .+ b) Tính : 92− − − −.. . − 9 10 11 100 45 50 55 500 Bài 3( 2 điểm): Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; a) So sánh:. [. ][. ]. 8 ; 15. Bài 4( 2 điểm): Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn , nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút bể sẽ đầy còn nếu dùng máy một và máy ba thì bể sẽ đầy sau 2 giờ 24 phút. Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng một mình thì bể sẽ đầy sau bao lâu? Bài 5( 2 điểm): Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và vẽ tia On sao cho góc yOn bằng 900. a) Chứng minh góc xOn bằng góc yOm. b) Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy. Chứng minh rằng Ot là tia phân giác của góc mOn. Đáp án và biểu điểm Bài 1( 2 điểm):. - Vì. 1 1 =± 4 2. 1 2 1 = 3 4. ( ) x−. a)- Từ giả thiết ta có:. (1). (0,25 đ). 2. ( ). 1 1 x− = 3 2. nên (1) xảy ra khi và chỉ khi. 1 1 x − =− 3 2. hoặc. (0,25 đ). 5 1 ; x=− (0,5 đ) 6 6 b) Nếu x = 0 thì 5y = 20 + 624 = 1 + 624 = 625 = 54 ⇒ y = 4 (y N) (0,5 đ) Nếu x 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y N : vô lý (0,25 đ) Vậy: x = 0, y = 4 (0,25 đ) Bài 2( 2 điểm): 22 22 1 51 51 22 51 − 22 −51 < = = < ⇒ < ⇒ > a) (1đ) 45 44 2 102 101 45 101 45 101 1 2 3 92 1 1 1 1 : + + +.. .+ b) B= 92− − − −.. . − 9 10 11 100 45 50 55 500 1 2 92 8 8 8 1− + 1− +.. . ..+ 1− + +. .. . .+ 9 10 100 9 10 100 1 B= = =8 : =40 (1đ) 1 1 1 5 1 1 1 1 + +.. . .. ..+ + +.. . ..+ 45 50 500 5 9 10 100 Bài 3( 2 điểm): Gọi số tự nhiên phải tìm là x. - Từ đó tìm ra kết quả x =. [. ( )(. ][. ). (. ]. ). (. - Từ giả thiết suy ra (x  20) 25 và và 35.. ). (x  20) 28 và (x  20) 35  x+ 20 là bội chung của 25; 28 (0,5 đ). 5.

(55) - Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra ⇒ x + 20 = 700 ⇒ x = 680. Bài 4( 2 điểm):.  k  N .. (0,5 đ). x 999  x  20 1019 ⇒ k = 1. (0,5 đ) (0,5 đ). 4 3 Máy một và máy hai bơm 1 giờ 20 phút hay 3 giờ đầy bể nên một giờ máy một và hai bơm được 4 bể . (0,25 đ) 3 2 Máy hai và máy ba bơm 1 giờ 30 phút hay 2 giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba bơm được 3 bể. (0,25 đ) 12 5 Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay 5 giờ đầy bể nên một giờ máy một và ba bơm được 12 bể. (0,25 đ) 3 2 5 11 + + :2=  Một giờ cả ba máy bơm bể. (0,25 đ) 4 3 12 12. (. ). 11 3 1 − = bể ⇒ Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể (0,25 đ) 12 4 6 11 2 1 − = máy một bơm được bể ⇒ Máy một bơm một mình 4 giờ đầy bể(0,25 đ) 12 3 4 11 5 1 − = máy hai bơm được bể ⇒ Máy hai bơm một mình 2 giờ đầy bể(0,25 đ) 12 12 2 Kết luận (0,25 đ) Bài 4( 2 điểm) a)Lập luận được: xÔm + mÔy = xÔy hay:900 +mÔy = xÔy (0,25 đ) Một giờ:máy ba bơm được. x. yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy. (0,25 đ). xÔt = xÔn + nÔt. (0,25 đ). tÔy = yÔm + mÔt. (0,25 đ). ⇒ nÔt = mÔt ⇒. ⇒ xÔn = yÔm. (0,25 đ). (0,25 đ) b) Lập luận được : xÔt = tÔy. (0,25 đ). Ot là tia phân giác của góc mOn. (0,25 đ). y. O m t n. x. 5.

(56)

BO DE ON TAP TOAN 6

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về