tom tat hinh hoc 12 phan 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy và z’Oz vuông góc đôi một tạo nên hệ tọa độ Oxyz với Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao. Trên Ox, Oy và Oz lần lượt có các vectơ đơn vị. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN : . 1.Định nghĩa: AB là một đoạn thẳng định hướng. 2. Hai véctơ bằng nhau: có cùng hướng và cùng độ dài. 3.Hai véctơ đối nhau: ngược hướng và có cùng độ dài.. .  . . x: hoành độ; y: tung độ; z: cao độ của M hoặc OM . 4.Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(xA; yA; zA;) và .   . . . a, b ngược hướng nếu k  0      a cùng phương b  kR: b =k a .         Tính chất: m(a  b)  ma  mb ; (m  n)a  ma  na       m( na )  ( mn ) a ; 1.a  a ; 1.a   a. . . 10.Định lý: a) Với M là trung điểm AB, G là trọng tâm của ABC, O tùy ý thì: . . . . . . .  GA  GB GC  0 . 2 CM  CA CB.  . . . 1. | a | =.  . x 12  y 12  z 12 . 2 1. 2 1. 2 1. 2 2. 2 2.   1   OG  (OA OB OC) 3 . b) G là trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD       OG  1 (OA  OB OC OD) 4. II.HỆ TOẠ ĐỘ ĐÊCAC TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ VÀ CỦA ĐIỂM. . 3.. . .  . x y z  k  R : b  k. a  1  1  1 x 2 y2 z 2 . . f) Tọa độ của vectơ: AB = (xBxA; yByA; zBzA). g) Khoảng cách: AB  (x B - x A ) 2  (y B - y A ) 2  (z B - z A ) 2 . . h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k1)  MA = k. MB . .  OA  K OB ( k1). Khi đó tọa độ của M là:  OM . 1 k. x A  kx B  x M  1  k  y A  ky B  y M  1 k   z A  kz B z   M 1 k .    AB, AC   .      AB, AD  . AA '. IV. PT TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG. a , b cùngphương .        a, b   a . b .sin(a, b)  . 1      Tứ diện: V AB, AC  . AD ABCD  6  4.Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:     a, b, c đồng phẳng   a , b  .c  0       A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  . AD  0  . d) a = b  x1=x2; y1=y2 và z1=z2 e). y1   y2 . . 2 2. a  b  x1 x2+ y1 y2+ z1z2. = 0. . x1 x1 ; x2 x2.      a cùng phương b   a, b   0          a, b   a và  a, b   b    . ABCD . A ' B 'C ' D '. x 1 x 2  y1 y 2  z 1 z 2. 2. cos(a; b) =. z1 z1 ; z2 z2. 1 2..Diện tích tam giác: S ABC  2 3.Thể tích:  Hình hộp: V.  . c) Tích vô hướng: a . b = x1 x2+ y1 y2+ z1z2. Hệ quả:. x y z . x y z.     số thực x1 , x2 , x3 : a = x1 e1  x 2 e2  x 3 e3    MA  MB  0. . . b) k a = (kx1; ky1; kz1) (k là số thực).. .   Các tính chất:. . . 7.Tích vô hướng: a.b | a | . | b | cos(a, b) 8.Véctơ đồng phẳng: 3 vectơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với 1 mặt phẳng.       a, b, c đồng phẳng  m, n  R : c  ma  nb 9.Phân tích 1 véctơ theo 3 véctơ không đồng phẳng:     Với e1 , e2 , e3 không đồng phẳng và véctơ a , có duy nhất 3. .    y  a, b    1    y2. a) a  b = (x1  x2; y1  y2; z1  z2).     b  k a vàø a, b cùng hướng nếu k  0 . . .  Định nghiã: Cho a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2). B(xB;yB; zB) và a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2). Ta có:. 5.Trừ véctơ: OA  OB  BA 6.Tích 1 số thực với 1 véctơ:. . 1.Tích có hướng của 2 véctơ:. . 3.Tọa độ của điểm: M(x; y; z)  OM  (x; y;z). 4.Cộng véctơ: A, B , C ta coù: AC  AB  BC     Nếu ABCD là hình bình hành, thì AB  AD  AC            Tính chất: a  b  b  a ; ( a  b )  c  a  (b  c)         a  0  0  a  a ; a  ( a )  0.  b  ka .    i  (1;0;0), j  (0;1;0) vaø k  (0;0;1) .      2.Tọa độ của véctơ: u  (x; y; z)  u  xi  yj  zk .. III. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VÉCTƠ VÀ ÁP DỤNG. xA  xB  x M  2  yA  yB   M là trung điểm AB y M  2  zA  z B  z M  2 . 1.Hệ toạ độ Đêcác vuông góc trong không gian:. 1. 1. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:    a) Định nghĩa: n  0 là VTPT của mặt phẳng ( )  n  ( ) .   b) Chú ý: 2 véctơ a  ( x1 ; y 1; z1 ); b  ( x 2 ; y 2; z 2 ) không cùng phương và cùng song song hoặc nằm trong (), gọi là cặp véctơ chỉ phương của (). Khi đó véctơ pháp tuyến của ():     y1 n   a, b     y2. z1 z1 ; z2 z2. x1 x1 ; x2 x2. y1   y2 . 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: a) Định nghĩa: Phương trình dạng: Ax  By  Cz  D  0, A 2  B2  C2  0 gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.   ():Ax+By+Cz+D=0 có véctơ pháp tuyến n  ( A; B; C ) .  Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) và  có véctơ pháp tuyến n  ( A; B; C ) là:. A(x - x0 )  B(y - y0 )  C(z - z0 )  0.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b) . Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) có phương trình là: x  y  z  1 (a,b,c đều khác 0) a b c. V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG CHÙM MẶÊT PHẲNG: 1.Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cho 2 mp (1 ): A1x+B1 y+C 1z+D1=0, (2): A2x+B 2y+C2z+D 2=0 . . lần lượt có các VTPT n 1 =(A1; B1 ; C1) và n 2=(A2; B2; C 2) Trang 1 (1 ) caét (2 )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 Ta có: A B C D (1 ) // (2 )  1  1  1  1 A2 B2 C2 D2 A B C D (1 )  (2 )  1  1  1  1 A2 B2 C2 D2 2.Chùm mặt phẳng: Cho 2 mp (1): A1 x+B 1y+C1z+D1 =0, (2): A2x+B 2y+C2z+D2=0 cắt nhau theo giao tuyến (). Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến () đều có phương trình dạng: m(A1x+B 1y+C1z+D1)+ n(A2x+B2y+C2 z+D2) = 0 (m2+n20). VI.PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG: 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Nếu đường thẳng () là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì phương trình tổng quát là: A1x  B1y  C1z  D1  0 , Với A :B :C A :B :C 1 1 1 2 2 2  A 2x  B2y  C2z  D2  0 VT chỉ phương của () là u  ( B1 C1 ; C1 A1 ; A1 B1 ) . B2 C 2. C2 A2.  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 . 2 2 2 x  x0 y  y0 z  z0   (*) ( a  b  c  0) a b c Chú ý: Từ (*) có thể suy ra 3 mặt phẳng chứa () lần lượt song song Oz, Oy hoặc Ox. Từ đây có thể tìm hình chiếu vuông góc của () lên (Oxy):z=0; lên (Oxz):y=0 hoặc lên (Oyz): x=0.. 2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng () đi qua điểm M0 và có VTCP phương.  u. là:.   M 0 M 1 , u    d ( M1 ,  )   u. VII .VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: 1.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng: . (1) đi qua M1 (x1; y1 ; z1) có vectơ chỉ phương u =(a1;b1 ;c1) và. 3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:  (1) đi qua M1 và có VTCP u và (2) đi qua M2 và có véctơ. . (2) đi qua M2(x2; y2; z2) có vectơ chỉ phương v =(a2;b2 ;c2). Tacó:. chỉ phương.  v . Khoảng cách giữa (1) và (2) là:. 1. (1 ) //( 2 )  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2  ( x2  x1 ) : ( y2  y1 ) : ( z2  z1 ) 2. ( 1 ) Tài ( 2 )liệu  a1dành : b1 : c1cho  a2 học : b2 : csinh ) : (–HK2 y2  y1 ) : ( z2  z1 ) 2  ( xlớp 2  x112     3. (1 ), ( 2 ) caét nhau  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2 vaø  u , v  .M 1M 2  0    4. (1 ), ( 2 ) cheùo nhau  u , v  . M 1M 2  0    5. (1 ), ( 2 ) đồng phẳng  u , v  . M 1M 2  0. 2.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :. d ( 1 ,  2 ) . .  1.Góc giữa 2 đường thẳng: Cho (1) có VTCP u =(a1 ; b1 ; c1 ) và (2) có VTCP. . (): Ax+By+Cz+D=0 có VTPT n =(A; B; C). Ta có: 1. () caét ( )  Aa  Bb  Cc  0  Aa  Bb  Cc  0 2. () //( )    Ax0  By0  Cz0  D  0  Aa  Bb  Cc  0 3. ()  ( )    Ax0  By0  Cz0  D  0. .  v = (a2; b2; c2). Gọi  là góc giữa (1) và (2).  . Ta có:. u.v cos  . Cho () đi qua M0 (x0;y0;z0) và có VTCP u =(a; b; c). và. Đặc biệt: d  ( )  a : b : c  A : B : C. VIII. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mp ( ) : Ax  By  Cz  D  0 là:. 2.    u , v  .M 1 M 2     u , v   . IX.GÓC:. . . . A2  B 2  C 2. . M0(x0; y0; z0) và có VTCP u  (a; b; c) là:. 2. Phương trình tham số của đường thẳng:  a) Véctơ chỉ phương của đường thẳng: Một véctơ u  ( a; b; c ). M0(x0;y0; z0) và có VTCP u  (a; b; c) là:. Ax0  By0  Cz0  D. 3. Phương trình chính tắc: của đường thẳng () đi qua điểm. A 2 B2. khác 0 nằm trên 1 đường thẳng song song hay trùng với (), được gọi là VTCP của đường thẳng (). b) Phương trình tham số: của đường thẳng () đi qua điểm. d  M 0 ,( )  . ( a 2  b 2  c 2  0). . . . | u | .| v |. a1a2  b1b2  c1c2 2 1. a  b12  c12 a22  b22  c22. Đặc biệt: ( 1 )  ( 2 )  a 1a 2  b1 b 2  c1c 2  0 2.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng () . . có VTCP u =(a; b; c) và () có VTPT n =(A; B; C). Nếu  là góc giữa () và () thì:  . n .u sin . . . . (00    900). Aa  Bb  Cc 2. 2. 2. 2. 2. 2. A  B C a b c | n |.| u | Đặc biệt:  //( ) hoặc   ( )  Aa  Bb  Cc  0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . 3.Góc giữa 2 mặt thẳng: Cho mp(1) có VTPT n 1=(A1; B 1; . C1) và mp(1) có VTPT n 2 =(A2; B2 ; C2). Nếu  là góc giữa  . (1) và (2) thì:. n1. n2 cos  . . . | n1 |. | n2 |. . A1 A2  B1B2  C1C2 A12  B12  C12 A22  B22  C22. Đặc biệt: (1) (2 )  A1A2 +B1B 2+C1C2=0. Nguồn: TỔNG HỢP X.PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU: 1. Phương trình của mặt cầu: 1. Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (xa)2 + (yb)2 + (zc)2 = R2 Đặc biệt: Phương trình mặt cầu S(O,R) x2 + y2 + z2 = R 2. A2  B2  C 2  D  0 là phương trình mặt cầu tâm I(A;B;C), bán kính : R  A2  B 2  C 2  D. 2. Giao của mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu (S): (xa)2+(yb)2+(zc)2=R2 có tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng ():Ax+By+Cz+D=0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a; b; c) lên mặt phẳng () ta có: IH là khoảng cách từ I đến (): Aa  Bb  Cc  D IH  d ( I ,  )  A2  B 2  C 2 Khi đó:  ()(S)=  IH>R  ()(S)=H  IH=R: H là tiếp điểm và () là tiếp diện của (S).  ()(S)= C(H,r)  IH<R: Đường tròn (C) là giao của () và (S), có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (), bán kính r= R 2  IH 2 và có phương trình: (x  a) 2  (y  b)2  (z  c)2  R 2   Ax  By  Cz  D  0. Diendankienthuc.net. 2. Phương trình: x 2  y 2  z 2  2 Ax  2 By  2Cz  D  0 với:. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>