de cuong on thi vao THPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (568.46 KB, 40 trang )

(1)PhÇn I: §¹i sè CHủ đề 1: C¨n thøc - rót gän biÓu thøc I. c¨n thøc:  KiÕn thøc c¬ b¶n: 1. §iÒu kiÖn tån t¹i : √ A cã nghÜa ⇔ A ≥0 2. Hằng đẳng thức: √ A 2=| A| 3. Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B ≥ 0) √ A . B= √ A . √ B A √A 4. Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B>0) = B √B 5. §a thõa sè ra ngoµi c¨n: ( B≥ 0) √ A 2 . B=| A| √ B . 2 6. §a thõa sè vµo trong c¨n: ( A ≥ 0; B ≥ 0) A √ B=√ A . B 2 ( A<0 ; B ≥0) A √ B=− √ A . B. √. AB AB  2 B B. 7. Khö c¨n thøc ë mÉu:. ( AB 0; B 0). A √A.B = B √B. 8. Trôc c¨n thøc ë mÉu:. (B>0). C( √ A ∓ √ B) C = A−B √ A ± √B.  Bµi tËp:  Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) √ −2 x+3 5) √ 3 x + 4. 2) 6). 2. √ 1+ x 2. √. 2 2 x. 3) 7). √. √. 4 x +3. 3 1 −2 x. 8) 1. 2. 2 9) 4 x  1 10) 2 x  4 x  5 11) 2x  x  Rút gọn biểu thức Bµi1 1) √ 12+5 √ 3 − √ 48 2) 5 √ 5+ √20 −3 √ 45 4) 3 √ 12 − 4 √ 27+5 √ 48 5) √ 12+ √ 75 − √ 27 7) 3 √20 − 2 √ 45+ 4 √ 5 8) ( √ 2+ 2) √ 2− 2 √ 2. 1 1 + √ 5 −2 √ 5+2 7 13) √ 28− 2 √ 14+ √¿ ¿ ¿ 2 15) √ 6 − √ 5 ¿ − √ 120 ¿ 2 1− √ 2¿ ¿ 2+3 ¿2 17) √ ¿ ¿ √¿. 10). 4). 11). 2 2 − 4 −3 √ 2 4+3 √ 2. 12). −5 2 x +6 −3 3 x +5 x 3 5 x. √ √. 3) 2 √ 32+ 4 √ 8 −5 √18 6) 2 √ 18 −7 √ 2+ √ 162 1 1 − 9) √5 −1 √5+1. 12) 2+ √ 2 1+ √ 2. 2 14) √ 14 −3 √ 2¿ + 6 √28. ¿. 2 16) 2 √ 3 −3 √ 2 ¿ +2 √ 6+ 3 √ 24. √ 3− 2¿ 2 18). ¿ 3− √ 1¿ 2 ¿ ¿ √¿. ¿.

(2) √ 5− 3 ¿2 ¿. 19) √ 5− 2 ¿2. 20) ( √ 19− 3)( √19+ 3). 21). 22). 23). ¿ ¿ √¿ x −12 ¿2 ¿ ¿ 4 x+ √¿ x 2 − 4 xy+ 4 y 2 ¿2 ¿ ¿ x +2 y − √ ¿. Bµi2: 1) √ ( 3+ √ 2 )2+ √ ( 3 − √ 2 ) 2 4) √ 8+2 √15 - √ 8 −2 √ 15. √ 4+ 2 √ 3+ √ 4 −2 √3 − 8). 2). √ 7+ √ 5 + √7 − √ 5 √ 7 − √5 √ 7+ √ 5. 2. 3) √ ( 5− 3 )2 + √ ( √ 5+ 3 )2 5) √ ( 5+2 √6 ) + √ 8 −2 √15 6). √ ( 2− √3 ) − √( 2+ √3 ). 5 5 − √ 3 −2 √2 √ 3+ √ 8. 2. 7) 3  5  3  5  2. 6,5  12  6,5  12  2 6. 546  84 42  253  4 63. 9). A 2 B ta lµm nh sau  x  y  A.(1)  T×m x, y sao cho x, y lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh  x. y B.(2) vµ ®a vÒ biÓu thøc. Lu ý : Khi khai c¨n d¹ng E =. . x y. . 2.  Giải phương trình: 1) √ 2 x −1= √5 2) √ x −5=3 5) √ 3 x 2 − √ 12=0. 9). 6). x − 3¿ ¿ ¿ √¿. 3) √ 9(x − 1)=21. 2. 7). √ 4 x 2 +4 x +1=6. 1 19 1 9 x  45  x 5   4 x  20 2 6 3 ; 10). 13) √ 8+ √ x+ √5 − √ x=5. 2. 1− x ¿ ¿ 4¿ √¿. 14). 4) √ 2 x − √ 50=0 2. 8). 2 x −1 ¿ ¿ ¿ √¿. ; 11) x  2 x  1 4 ; 12). √3 3− 2 x=−2. √ 2− x2 + √ x 2+ 8=4. II. c¸c bµi to¸n rót gän: A.c¸c bíc thùc hiªn:. 1. T×m §KX§ cña biÓu thøc: lµ t×m TX§ cña tõng ph©n thøc råi kÕt luËn l¹i *Lu ý: Trớc khi tìm ĐKXĐ ta phân tích mẫu thức thành nhân tử ( nếu đợc) Sau đó rút gọn từng phân thức (nếu đợc) 2.Quy đồng, gồm các bớc: + Chän mÉu chung : - HÖ sè lµ BCLN cña c¸c hÖ sè - BiÓu thøc chøa ch÷: lµ tÝch c¸c nh©n tö chung vµ riªng, mçi nh©n tö lÊy sè mò lín nhÊt. + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng. + Nh©n nh©n tö phô víi tö – Gi÷ nguyªn mÉu chung. 3.Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức. 4.Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng. 5.Ph©n tÝch tö thµnh nh©n tö ( mÉu gi÷ nguyªn). 6.Rót gän. B.Bµi tËp luyÖn tËp:.

(3) x 2x  x  x  1 x  x với ( x >0 và x ≠ 1). Bài 1 Cho biểu thức : A = 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức A tại x 3  2 2 a4 a 4 a 2 Bài 2. Cho biểu thức : P = 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.. . 4 a 2. a ( Với a  0 ; a  4 ). x 1  2 x x  x  x  1 x 1 Bài 3: Cho biểu thức A =. 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị nào của x thì A< -1 Bµi 4: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - 1 Bµi 5: Cho biÓu thøc : B =. (1 . x x x x )(1  ) x 1 x1. ( Với x 0; x 1 ). 1 1 x − + √ 2 √ x − 2 2 √ x +2 1 − x. a; T×m TX§ råi rót gän biÓu thøc B b; TÝnh gi¸ trÞ cña B víi x =3 c; Tìm giá trị của x để | A|= 1 2. Bµi 6: Cho biÓu thøc: P = a; T×m TX§ b; Rót gän P c; Tìm x để P = 2 Bµi 7: Cho biÓu thøc:. √ x+1 + 2 √ x + 2+5 √ x √ x − 2 √ x+ 2 4 − x. Q=(. 1 1 a+1 √ a+2 − ¿ :( √ − ) √ a − 1 √ a √a − 2 √ a −1. a; T×m TX§ råi rót gän Q b; Tìm a để Q dơng c; TÝnh gi¸ trÞ cña BiÓu thøc biÕt a = 9- 4 √ 5 Bµi 8: Cho biÓu thøc: M = √ a − 1 a − √ a − a+ √ a 2 2 √ a √ a+1 √ a −1 a/ T×m §KX§ cña M. b/ Rót gän M Tìm giá trị của a để M = - 4 Bµi 9: Cho biÓu thøc: K = 15 √ x −11 + 3 √ x − 2 √ x+3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 a. Tìm x để K có nghĩa b. Rót gän K c. T×m x khi K= 1 d. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña K. (. 2. )(. ).

(4) x −2 x+2 x 2 − 2 x +1 √ √ Bµi 10: Cho biÓu thøc: G= − . x −1 x +2 √ x +1 2 1. Xác định x để G tồn tại 2. Rót gän biÓu thøc G 3. TÝnh sè trÞ cña G khi x = 0,16 4. T×m gÝa trÞ lín nhÊt cña G 5. Tìm x  Z để G nhận giá trị nguyên x +2 x 1 x −1 Bµi 11 : Cho biÓu thøc: P= + √ + :√ 2 x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x a. Rót gän biÓu thøc trªn b. Chøng minh r»ng P > 0 víi mäi x≥ 0 vµ x ≠ 1. (. ). (. Bµi 12 : cho biÓu thøc. Q=. (. ). 2. Víi x ≥ 0 ; x ≠ 1. 1 1 a +1 1 + − . 1+ 2 a 2+ 2 √ a 2− 2 √a 1− a. )( ). a. T×m a dÓ Q tån t¹i b. Chøng minh r»ng : Q kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña a Bµi 13: Cho biÓu thøc : A=. √ x3. 2x 1− x . √ xy −2 y 2 √ xy +2 √ y − x − √ x 1− √ x +. a) Rót gän A b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2 4 ( a+2 ) 2 a+ 5 Bµi 14:XÐt biÓu thøc: P= 3 √ a + √ a + : 1− √ (Víi a ≥0 ; a ≠ 16) 16 − a √ a+ 4 √ a− 4 √ a+ 4 1)Rót gän P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyªn tè ----------------------------------. [. ](. ). CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất I. Hµm sè: Kh¸i niÖm hµm sè * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số. * Hµm sè cã thÓ cho bëi c«ng thøc hoÆc cho bëi b¶ng. II. hµm sè bËc nhÊt:  KiÕn thøc c¬ b¶n:.  §Þnh nghÜa: Hàm số bậc nhất có dạng: y=ax +b Trong đó a; b là các hệ số a ≠ 0 Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax +b là hàm số bậc nhất là: a ≠ 0 VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 - m) x - 2 (1) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất. Gi¶i: Hµm sè (1) lµ bËc nhÊt ⇔ 3 −m≠ 0 ⇔ 0 ⇔m≠ 3  TÝnh chÊt: + TX§: ∀ x ∈ R + §ång biÕn khi a> 0 . NghÞch biÕn khi a< 0 VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 - m) x - 2 (2) Tìm các giá trị của m để hàm số (2): + §ång biÕn trªn R + NghÞch biÕn trªn R Gi¶i: + Hµm sè (1) §ång biÕn ⇔ 3 −m>0 ⇔ 0 ⇔ m< 3 + Hµm sè (1) NghÞch biÕn ⇔ 3 −m<0 ⇔0 ⇔ m> 3  §å thÞ: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b..

(5) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng − b . a + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b: Cho x = 0 => y = b => điểm P(0; b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Cho y = 0 => x = -b/a => điểm Q(-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b Đờng thẳng qua hai điểm P(0;b) và Q (-b/a;0) là đồ thị H.Số y = ax + b Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x + 1 Gi¶i: Cho x= 0 => y=1 => điểm P(0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1 Cho y=0 => x=-1/2 => điểm Q(-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1 Đờng thẳng qua hai điểm P(0;1) và Q(-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1  Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔ a≠ a , . */. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cần thêm điều kiện b=b' . */. Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì : a . a' =−1 . + Song song víi nhau: (d1) // (d2) ⇔ a=a , ; b ≠ b' . + Trïng nhau: (d1) (d2) ⇔ a=a , ; b=b' . VÝ dô: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + 2 (d1) Và y = 2 x – m (d2) a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau. b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Gi¶i: ¿ 3 −m=2 2 ≠ −m ⇔ a/ (d1)//(d2) ⇔ ¿ m=1 m ≠− 2 ⇔ {m=1 ¿{ ¿ b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ 3 −m≠ 2 ⇔m ≠1 3  m 2  ⇔   2  m. m 1   m  2  m  2. c/ (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung  Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a. + Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác tan  a  Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.  Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox. Gi¶i: 0 0 Ta cã: Tan 2 tan 63   63 ..

(6) Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là: α =630 . Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox. 0. 0. 0. 0. 0. Ta cã: tan(180   ) 2 tan 63  (180   ) 63   117 . Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là: α =117 0 .  C¸c d¹ng bµi tËp thêng gÆp: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến; hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng nhau. Ph¬ng ph¸p: Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn. - Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn. Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng. Tính chu diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng: Phơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Pytago để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh. + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S -. Dạng 3: Tính góc  tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn. - Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị kh«ng? Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính đợc y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị. - Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng: Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1). Phơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b. + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng trình đờng thẳng cần t×m. - Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đờng thẳng: (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = - x +3 a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1 điểm cố định. b) C/m r»ng khi d1 //d3 th× d1 vu«ng gãc d2 c) Xác định m để 3 đờng thẳng d1; d2 ; d3 đồng qui Gi¶i: a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT đờng thẳng (d1) ta cã : y0 = (m2-1 ) x0 + m2 - 5 Víi mäi m => m2(x0+1) - (x0 +y0 +5) = 0 víi mäi m ; §iÒu nµy chØ x¶y ra khi : x0+ 1 = 0 x0+ y0+ 5 = 0 suy ra : x0 =-1 Y0 = - 4 Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta t×m giao ®iÓm B(x;y) cña (d2) vµ (d3) :.

(7) Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vµo y = x +1 ta cã y = 1 +1 =2 VËy B (1;2) *Hoặc toạ độ giao điểm B(x,y) của (d2) và (d3) là nghiệm của hệ phơng trình:  y x 1  x  1  x  3  x 1     y  x  3  y  x  3  y 2 VËy B (1;2). Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B (1;2) nên ta thay x =1 ; y = 2 vào PT (d1) ta cã: 2 = (m2 -1) .1 + m2 -5 m2 = 4 => m = 2 , m = -2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui.  Bµi tËp: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau . 2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính. Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a .Xác định hàm số, biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 .Xác định hàm số biết đồ thị đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0 ¿ và y = (2 - m)x + 4 ; (m≠ 2) . Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên: a) Song song. b) Cắt nhau. Bài 5: Víi giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục tung.Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với. (d’): y =. −1 x 2. và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10.. Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3). 1 x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng: (d1): y = 2 và (d2): y =  x  2. a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (d1) // (d2) b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2 c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B. Tính BA ? Bài 10: Cho hµm sè : y = ax + b a; Xác định HS biết đồ thị của nó song song với Đ. thẳng y = 2x +3 và đi qua điểm A(1;-2) b; Vẽ đồ thị HS vừa xác định. Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2.

(8) CHủ đề 3: hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn I. c¸c kh¸I niÖm:  Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: +Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết( a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ¿ + Mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ cÆp sè x0; y0 tháa m·n : ax0 + by0 = c + Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiÖm. + Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c. Nếu a ≠ 0 ; b ≠ 0 thì đờng thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: y=− a x+ c . b. b.  HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: + D¹ng:. ¿ ax+ by=c .(1) a, x +b , y=c, .(2) ¿{ ¿. + NghiÖm cña hÖ lµ nghiÖm chung cña hai ph¬ng tr×nh + NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiÖm chung th× ta nãi hÖ v« nghiÖm + Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: - Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d) - Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d') a b  a , b, *NÕu (d) c¾t (d') hÖ cã nghiÖm duy nhÊt a b c  ,  ,  , a b c *NÕu (d) song song víi (d') th× hÖ v« nghiÖm a b c  ,  ,  , a b c *NÕu (d) trïng (d') th× hÖ v« sè nghiÖm. . Hệ phơng trình tơng đơng: Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm Ii. ph¬ng ph¸p gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh:  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ: a) Quy t¾c thÕ: + Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phơng trình thứ hai để đợc một phơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn). + Bớc 2: Dùng phơng trình mới này để thay thế cho phơng trình thứ hai trong hệ (phơng trình thứ nhất cũng thờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đợc ở bíc 1). VÝ dô: xÐt hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x −2 y=1 .(1) 3 x+2 y=3 .(2) ¿{ ¿. + Bíc 1: Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta biÓu diÔn x theo y (gäi lµ rót x) ta cã: x=1+2 y .(∗) Thay x=1+2 y .(∗) vào phơng trình (2) ta đợc: 3(1+2 y)+2 y=3 .(**) + Bíc 2: ThÕ ph¬ng tr×nh (**) vµo ph¬ng tr×nh hai cña hÖ ta cã: ¿ x=1+2 y 3(1+2 y)+2 y=3 ¿{ ¿. b) Gi¶i hÖ :.

(9) x=1+2 y 3(1+2 y)+2 y=3 ⇔ ¿ x=1+2 y 3+6 y +2 y=3 ⇔ ¿ x=1+2 y ¿ y=0 ⇔ x=1 ¿ y=0 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿¿. VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm (x = 1; y = 0).  Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số: a) Quy tắc cộng đại số: + Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đã cho để đợc mét ph¬ng tr×nh míi. + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét trong hai ph¬ng tr×nh cña hÖ (vµ gi÷ nguyªn ph¬ng tr×nh kia) Lu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ. Khi c¸c hÖ sè cña cïng mét Èn b»ng nhau th× ta trõ vÕ theo vÕ cña hÖ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số) bµi tËp:  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ. ¿ 4 x + y=2  8 x+3 y =5 ¿{ ¿ ¿ 2 x −3 y =1  − 4 x+ 6 y=2 ¿{ ¿. ¿ x − y=m  2 x + y =4 ¿{ ¿ 2 x  3 y 5   5 x  4 y 1. ¿ 3 x+2 y=6  x − y=2 ¿{ ¿ 3x  y 7    x  2 y 0.  Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số ¿ 2 x −11 y =−7  10 x+11 y =31 ¿{ ¿ ¿ 3 x +2 y=−2 3  x −2 y=− 3 ¿{ ¿. ¿ 3 x + y=3  2 x − y =7 ¿{ ¿ ¿ −5 x +2 y=4 6  x − 3 y =−7 ¿{ ¿. §Æt Èn phô råi gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau. ¿ 2 x+ 5 y=8  2 x −3 y=0 ¿{ ¿ ¿ 2 x −3 y=11 −  4 x+ 6 y=5 ¿{ ¿.

(10) . ¿ 2(x + y)+3 ( x − y )=4 (x+ y)+2(x − y )=5 ¿{ ¿. . C¸c bµi tËp tù luyÖn Bµi 1 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: a). c). e). ¿ 1 1 4 + = x y 5 1 1 1 − = x y 5 ¿{ ¿. ¿ 2 x − y =−2 2 x − y=4 ¿{ ¿ ¿ x+ y =3 2 x −3 y=− 4 ¿{ ¿ ¿ 3 x +4 y =−2 6 x+ 8 y+ 3=0 ¿{ ¿. Bµi 2: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau : ¿ 1 1 5 + = x y 8 1 1 3 − = x y 8 ¿{ ¿. ¿ 1 2 − =2 x y −2 a) b) 3 1 + − 1=0 x y −2 ¿{ ¿ ¿ ( m− 3 ) x + y =5 Bµi 3: Cho hÖ ph¬ng tr×nh x − y=7 ¿{ ¿. . ¿ 1 1 + =2 x−2 y−1 2 3 − =1 x −2 y −1 ¿{ ¿. ¿ 2 x +5 y=1 b) −10 x − 5 y=20 ¿{ ¿ ¿ 2 x +3 y=− 4 d) 5 x+7 y=−9 ¿{ ¿ ¿ x y − =1 2 3 f) x 2 y + =8 4 3 ¿{ ¿. c). ¿ 4 1 − =1 x +2 y x − 2 y 20 3 + =1 x+ 2 y x −2 y ¿{ ¿. a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh nhËn cÆp sè ( x= 1 ; y =- 6) lµm nghiÖm c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.. Bµi 4 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh. ¿ ax − y=2 x+ ay=3 ¿{ ¿. a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a = 1 b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm Bµi 5: Cho hÖ ph¬ng tr×nh. ¿ ax − 2 y =a −2 x+ y=a+1 ¿{ ¿. a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a = -2.

(11) b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1 d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên. Bµi 6: a) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh:. 1. ¿ 2 x +(m− 4) y=16 (4 −m) x − 50 y=80 ¿{ ¿. (I). b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn. Chủ đề 4 C¸c d¹ng to¸n vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai bµi mÉu: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch ®iÒn tiÕp vµo chç (.........) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x2 -27x = 0  3x(x-……) = 0  3x= 0 (1) hoÆc .........................(2) Gi¶i(1) x=………… Gi¶i(2) x=………… Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………………………….. 2) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 5x2 - 45 = 0  x2-…… = 0  x2 = 9  x1,2=……………… Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………………………….. 3)Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 - 2007x +2005= 0 (a=…..;b=…..;c=……) Ta cã:a+b+c=………………………= 0 Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm …………… ; …………….. ??: Em hãy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh h¬n, tr×nh bµy ng¾n gän chÝnh x¸c. 4) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 +7x -5= 0 (a=…..;b=…..;c=……) Ta cã: ∆=………………….=………..>0 Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………………. ; ………………….. 5) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 7x2 +10 = 0(*) §Æt x2 = y (y≥0) Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 - 7y +10 = 0 (1) Gi¶i(1) ta cã: ∆=…………………….=………..>0 => Ph¬ng tr×nh(1) cã hai nghiÖm y1=……………= …………; y2=…………… =………….. Víi y1=………; y2=…………tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n Mµ x2 = y Nªn y1=………=> x2 =………..<=>…………… y2=………=> x2 =………..<=>…………… VËy Ph¬ng tr×nh (*)cã ………nghiÖm………….;…………….;…………….;………….. 6) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+ 5 √ x − 6=0 (*) §Æt √ x = y (y≥0) Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 +5y -6 = 0 (1) Gi¶i(1) ta cã: ∆=…………………….=………..>0 =>Ph¬ng tr×nh(1) cã hai nghiÖm y1=……………= …………; y2=…………… =………….. Víi y1=………;………. tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n => y1=………(lo¹i) y2=…………tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n.

(12) Mµ x2 = y Nªn y2=………=> √ x =………..<=>…………… VËy Ph¬ng tr×nh (*)cã ………nghiÖm………….;…………….;…………….;………….. Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) 2x2 - 50 = 0 c)54x2 = 27x e)y+ √ y -6=0 b). 3 x 2 +5 =x 2 − 2 4. d) y+ √ y =0. Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) 3x2 -17x - 20 = 0 b) 2x2 - 2007x + 2005 = 0. f)y-5 √ y +4=0. c) x2 - 4x + 4= 0 d) x2 + 3x - 1 = 0. Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng ph¬ng ph¸p Èn phô 1) x4 - 5x2 - 6 = 0 6) ( x 2+ 2 x )2 −2 ( x2 +2 x ) − 3=0 4 2 2) x + 7x - 8 = 0 7) ( y 2 +5 y )2 − 8 y ( y +5 ) − 84=0 3) x4 + 9x2 + 2 = 0 8) ( y 2 − 5 ) −5 √ y 2 −5=6 2x 1 =2+ 4) 2 x +1 9) x 2+ 4 √ x 2 −2+2=0 x −1. x x +1 + =−2 5) x +1 x bài mẫu: Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x2 + mx - m2 -12 = 0 (1) cã mét nghiÖm b»ng 2.T×m nghiÖm cßn l¹i Gi¶i: §Ó ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2 th×: 5.22 +m.2 -m2-12=0  8+m.2 -m2=0  m2-2m - 8 = 0(*) Gi¶i (*)Ta cã: ∆'=……………..=……..> 0 => √ Δ ' =…… => ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm m1=…………=…….. ; m2=…………=…….. +)Víi m1=………… ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2. lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =- m . 5. 4. Mµ x1=2 ; m1=…… Nªn 2 + x2 =- 5  x2=……….=……….. +)Víi m2=………… ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2. lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =- m . 5. Mµ x1=2 ; m2=…… Nªn 2 + x2 =……..  x2=……….=……….. VËy……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Bµi 4: Víi gi¸ trÞ cña b th× c¸c ph¬ng tr×nh a) 2x2 + bx - 10 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 5. T×m nghiÖm cßn l¹i b) b2x2 - 15x - 7 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 7 . T×m nghiÖm cßn l¹i c) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 3. T×m nghiÖm cßn l¹i Bài 5: Cho các phơng trình ẩn x. Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép: a) x2 + 5x + k = 0 c) x2 - (2k+3) + 4k + 2 = 0 2 b) x + kx + 2 = 0 d) (k-1) x2 + kx + 1 = 0 Bài 6: Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm. Bài 7: Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt bµi mÉu: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + m x +1= 0 cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m Gi¶i: ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + m x +1= 0(*) ( a=…….; b=………; c=………) +) Xét a= 0 hay m - 3 = 0  m =………..lúc đó phơng trình(*) trở thành:.

(13) 3x+1=0  x=………… => m = ……..th× ph¬ng tr×nh(*) cã mét nghiÖm x=…….(1) +) XÐt a ≠ 0 hay m - 3 ≠ 0  m ≠…… Ta cã: ∆=………………………=………………………………= m2 - 4m + 12 = m2 - 2(….).m +(…..)2-…….. +12 = (… - ….)2 +………. NhËn thÊy: ( m - ….)2≥0 Víi mäi m ≠ 3 ( m - ….)2 + 8 ≥…….>0 Víi mäi m ≠ 3 Hay ∆>0 Víi mäi m≠ 3 => ph¬ng tr×nh(*) cã hai nghiÖm Víi mäi m ≠ 3 (2) Tõ (1); (2) => ph¬ng tr×nh(*) cã nghiÖm Víi mäi m Chó ý: Víi nh÷ng ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè ë hÖ sè a ta cÇn xÐt hai trêng hîp a=0 vµ a ≠ 0 Bµi 8: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. a)x2+(m+1)x+m=0 b) x2 -mx + m - 4 = 0 2 2 c) -3x + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x + 4x - m2 + 4m - 9 = 0 e) (m+1)x2 + x - m = 0 bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm tr¸i dÊu. Gi¶i: ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1) §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu th× a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0  30-5m < 0 ……………….<=> m > 6 VËy m………………………………………………………………………… Chó ý: Trong d¹ng to¸n nµy Víi nh÷ng ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè ë hÖ sè a ta kh«ng ph¶i xÐt hai trêng hîp a=0 vµ a ≠ 0 Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu. a) x2 + 2x + m - 1 = 0 b) x2 + mx + 7 = 0 2 c)-3x + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) 3x2 - 2(2m+1)x+ m2 -2 5 = 0 2 2 e) (m + 4 m +4)x + mx - 1 = 0 Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh : (m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 5 b) Chøng minh r»ng : x = m lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép Bµi 11: Cho ph¬ng tr×nh Èn x: mx2 - 2(m-2) x + m - 3 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 3 b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại c) Gi¶i vµ biÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Bµi 12: LËp ph¬ng tr×nh Èn x cã hai nghiÖm lµ a) 3 vµ 5 b) 3- √ 5 vµ 3 + √ 5 1 1 c) 3- √ 2 vµ 3 + √ 2 d) vµ 3 − 2√ 2 3+ 2 √ 2 1 1 e) vµ víi a   b a+b. a− b. bµi mÉu: LËp ph¬ng tr×nh Èn x cã hai nghiÖm lµ: 1- √ 5 vµ 1 + √ 5 Gi¶i: §Æt x1=3- √ 5 vµ x2= 3 + √ 5 Ta cã: x1+x2=………+………= 6 x1.x2=(………….).(……………..)=………….= 4 áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 là nghiệm của phơng trình: ……………….= 0 VËy ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ:……………………………….. bài mẫu: Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phơng tr×nh a) 5x2 - 7x - 1 = 0 Gi¶i: cã: a.c = ………….=-5 < 0 => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu b) 5x2 - 7x + 2 = 0.

(14) Gi¶i: ph¬ng tr×nh: 5x2 - 7x+2 = 0 (a=…..; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= 9 > 0 ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã:. ¿ .. . .. .. . .. .. .. .=. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .=. .. .. . .. .. . ¿{ ¿. => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu d¬ng c) x2 + 11x + 5 = 0 Gi¶i: ph¬ng tr×nh: x2 +11x+5 = 0 (a=…..; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= …. > 0 ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã:. ¿ .. . .. .. . .. .. .. .=. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .=. .. .. . .. .. . ¿{ ¿. => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu ©m d) 5x2 + x + 2 = 0 Gi¶i: ph¬ng tr×nh: 5x2 + x +2 = 0 (a=…..; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= …..< 0 => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bài 13: Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1) 3x2 + 5x - 1 = 0 3) 5x2 - 14x + 1 = 0 2 2) 7x -3x + 1= 0 4) 2x2 - 4x - 3 = 0 2 5) 4x - 3x +2 = 0 6) x2 +5x +1 = 0 bài mẫu: Cho phơng trình: x2 - 2x + m-3 = 0 (m là tham số) tìm m để phơng trình có hai nghiÖm cïng dÊu d¬ng ? Gi¶i: ph¬ng tr×nh: x2 - 2x + m-3 = 0 (*) (a=…..; b=…….; c=…….). §Ó ph¬ng tr×nh(*)cã hai nghiÖm cïng dÊu d¬ng th×:. ¿ .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(1) .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(2) .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(3) . ¿{{ ¿. ¿ Δ' >0 x 1+ x 2 >0 x1 . x 2 >0 . ¿{{ ¿. hay .. Gi¶i(1):  4-m > 0 …………….<=>……………… Giải(2):  2 > 0 luôn đúng Gi¶i(3): ……. > 0 …………….<=>……………… Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:…………………………………….

(15) VËy m……………………………………………………………………………… Bài 14: Cho phơng trình : x2 - 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình 1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu 4) Cã 2 nghiÖm cïng dÊu d¬ng 2) cã 2 nghiÖm cïng dÊu 5) Cã 2 nghiÖm cïng ©m 3) Cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm d¬ng Bài 15: Tìm giá trị của m để phơng trình: a) x2 - 2mx + (m-1)2 = 0 Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt cïng d¬ng b) 2x2 - 2(m+1) x + m = 0 Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt cïng ©m c) x2 - 2x + 2m -30 = 0 Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. 2 Bµi 16: Cho ph¬ng tr×nh : 5x - 6x - 8 = 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau(x1; x2lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh) 1) S = x1 + x2 ; P = x1. x2 2) A = x12 + x22 ;. B=. 1 1 + x1 x2. ;. C=. x1 x2 + x2 x1. ;. D = x13 + x23. E = x1(1-x2) + x2(1-x1) ; F = x13 - x23 2 Bµi 17: Cho ph¬ng tr×nh : x - 8x + n = 0 (1) n lµ tham sè a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi n = 1 b) Tìm điều kiện của n để phơng trình (1) có nghiệm c) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả m·n 1) x1 - x2 = 2 ; 3) 2x1 + 3x2 = 36 2) x1 = 3x2 ; 4) x12 + x22 = 50 Bµi 18: Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 - 4x + m = 0 Tìm để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) NghiÖm nµy gÊp 3 lÇn nghiÖm kia b) HiÖu hai nghiÖm b»ng 1 Bµi 19: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m-2)x - 6m = 0 (Èn x) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -3 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm còn lại c) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m d) Gäi x1 ; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. H·y tÝnh A = x12 + x12 theo m từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A. bµi mÉu: d¹ng to¸n vÒ t×m gi¸ trÞ lín, nhÊt nhá nhÊt cña mét biÓu thøc nghiÖm VÝ dô 1: Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (Èn x) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Hãy m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó Gi¶i: a) ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (Èn x) (a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta cã : ∆'=……………………………………………………………………………… = m2-8m+24 = m2-2m(…..)+(….)2 -………+24 =(…..-……)2 +……… NhËn thÊy: (…..-……)2 ≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña m => (…..-……)2 +………≥……..> 0 víi mäi gi¸ trÞ cña m Hay ∆'> 0 víi mäi gi¸ trÞ cña m => ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Theo a) ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã:. ¿ .. . .. .. . .. .. .. .=. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .=. .. .. . .. .. . ¿{ ¿. L¹i cã: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (……+……). (I).

(16) Thay (I)vào A ta đợc : A= -2(m-3)(…..-……) =………………………………………………. = - 4m2+ 42m - 90 -A = 4m2- 42m - 90 = (2m)2-2.2m(…..)+(….)2 -………- 90 =(……-……)2 -……… NhËn thÊy: (…..-……)2 ≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña m <=> (…..-……)2 -………≥…….. víi mäi gi¸ trÞ cña m Hay -4A ………… víi mäi gi¸ trÞ cña m  A…………….. víi mäi gi¸ trÞ cña m DÊu "=" x¶y ra khi ……………=0  m=……… VËy gi¸ trÞ ……………………………………………………………………………… VÝ dô 2: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(3m+1)x + 9m2 - 17 = 0 (1) (Èn x) Hãy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó(x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) ) Gi¶i: ph¬ng tr×nh x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= 0 (1) (Èn x) (a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta cã : ∆'=……………………………………………………………………= 6m+18 §Ó Ph¬ng tr×nh (1)cã nghiÖm th× ∆'≥ 0 hay………………………  m ≥ …… Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x1 + x2 =………………….. mµ m …….=> 6m……….  6m+.............. Hay A………. DÊu "=" x¶y ra khi m =............. VËy A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ .........khi m=........ B¹n h·y tù ph©n chia c¸c bíc cña bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt mét biÓu thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi 20: Cho ph¬ng tr×nh x2 + (m+1)x + m = 0 (Èn x) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m b) H·y tÝnh x21x2 + x22x1 theo m c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :E = x21x2 + x22x1 d)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia. Bµi 21: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + mx + m - 2 = 0 (1) (Èn x) a) Chøng minh r»ng Ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2(x21 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1) Bµi 22: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k+1)x + k = 0 (1) Èn x tham sè k a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi k b) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) TÝnh biÓu thøc A = x21x2 + x22x1 +2007 theo m. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A Bµi 23: Cho ph¬ng tr×nh: : x2 + 2mx + m2 + 4m + 8 = 0 (1) (Èn x) a)Tìm giá trị của m để phơng trình (1)có nghiệm b)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :A=x1+x2 c)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :B=x1+x2+x1.x2+2007 Bµi 24 *: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (m+1)x + m2 -2m + 2 = 0 (Èn x) a) Tìm giá trị của m để phơng trình vô nghiệm b) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm đó c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. Viết nghiệm đó theo m d) Tìm m để A = x21 + x22 đạt giá trị lớn nhất e) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x1 + x2 Bµi 25: Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (Èn x) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A =  x1x2 - 2x1 - 2x2 Bµi 26: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k-3)x + 2k + 1 = 0 (1) (Èn x) a) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm b) Víi ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm h·y tÝnh P = x1 + x2 ; S = x1. x2.

(17) c) Viết hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với k Bài 27 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với m của mỗi phơng trình sau a) x2 - (2m+5)x + m + 3 = 0 b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = 0 c) x2 + (m-1) x+ m2 + 5m = 0 d) (m-1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 2 2 Bµi 28: Cho ph¬ng tr×nh: x - (2m-1)x+ m - m - 2 = 0 (1) (m lµ tham sè) a) Tính  để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt . Tìm 2 nghiệm đó b) TÝnh A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m c) Tìm m để A  3 Bµi 29: Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 + x + m = 0 vµ x2 + mx + 1 = 0 a)Với giá trị nào của m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó. b) Với giá trị nào của m thì hai phơng trình trên tơng đơng. Mét sè bµi to¸n tæng hîp vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi 30: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m+1) x +m-4 = 0 (1) a)Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=1 b)CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. c) Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh(1). CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo m. d)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M= x12 +x22 Bµi 31: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k+1) x +k = 0 (1) a)Gi¶i ph¬ng tr×nh khi k = 2004 b)CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm c)Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .TÝnh B= x12 + x22 - 16 x1.x2 theo k. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B. d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x12 + x22 =5 e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép .Tìm nghiệm đó Bµi 32:Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (a-1) x - a2 +a - 2 = 0 (1) 1) CMR ph¬ng tr×nh (1)lu«n lu«n cã nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi a. 2)Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .TÝnh S= x12 + x22 theo a. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S. 3)lập hệ thức liên hệ giữa x1,x2 độc lập với a. 4)Tìm a để nghiệm x1,x2 thoả mãn. 1 1 + nhËn gi¸ trÞ d¬ng x1 x2. Bµi 33: Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m+1)x2 + 5 x +m2 - 1= 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =-1 b)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. c)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4. Bµi 34: Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh khi a=1 2. CMR ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi a kh¸c -1. 3. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. 4. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia. 5.Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn một nghiệm lớn hơn 1 và nghiÖm kia nhá h¬n 1. Bµi 35: Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2 + 2m x +2m-1 = 0 (1) 1)CMR ph¬ng tr×nh (1)lu«n cã nghiÖm víi mäi m 2)Gi¶ sö x1,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 là độc lập với m. b. Tìm m để x1- x2 = 6. c. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A== x12 x2 + x22 x1 3)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3. 4)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1. 5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1<x<3.

(18) Chủ đề V gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh I. Dạng toán chuyển động.. Bài 1: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu Bài 2: Hai ngời ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở vị trí cách một trong hai địa điểm khởi hành 2 km. Nếu vận tốc không đổi nhng ngời đi chậm xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc ở mỗi ngời. Bài 3: Quãng đờng AB dài 320 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 16 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 40 phút. Tính vận tèc cña mçi xe. Bài 4: một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30’ một ngời đi xe máy cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. Bµi 5: Hai ngêi cïng khëi hµnh lóc 7 giê tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 44 km vµ ®i ngîc chiÒu nhau hä gÆp nhau lóc 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi. biÕt r»ng vËn tèc ngêi ®i tõ A h¬n vËn tèc ngêi ®i tõ B lµ 3 km/h. Bµi 6: Hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 150 km. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i ngîc chiều nhau, gặp nhau ở C cách A 90 km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tô đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mçi « t«. Bµi 7: Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ mét bÕn s«ng A sau 5 giê 20 phót mét ca n« ch¹y tõ bÕn A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch bÕn A 20 km. Hái vËn tèc cña thuyÒn. BiÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn lµ 12 km mét giê. Bµi 8 Mét ca n« xu«i mét khóc s«ng dµi 90 km, råi ngîc vÒ 36 km. BiÕt thêi gian xu«i nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ 2 giê, vËn tèc khi xu«i dßng h¬n vËn tèc ngîc dßng lµ 6 km/h. Hái vËn tèc cña ca n« lóc xu«i dßng vµ lóc ngîc dßng. Bài 9: Một ca nô đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến sớm 2 giờ, nếu ca nô giảm vận tốc 3 km/h thì đến chậm 3 giờ. Tính thời gian dự định và vận tốc dự định. Bài 10: Một ca nô xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở về từ B đến A tÝnh vËn tèc thùc cu¶ ca n«. BiÕt tæng thêi gian ca n« xu«i vµ ngîc hÕt 8 giê 20 phót vµ vËn tèc cña dßng níc lµ 4 km/h. Bµi 11: Trªn mét khóc s«ng mét ca n« xu«i dßng hÕt 4 giê vµ ch¹y ngîc dßng hÕt 5 giê. BiÕt vËn tèc cña dßng níc lµ 2 km/h. TÝnh chiÒu dµi khóc s«ng vµ vËn tèc ca n« lóc níc yªn lÆng. Bµi 12: Hai ca n« khëi hµnh tõ hai bÕn A vµ B c¸ch nhau 85 km vµ ®i ngîc chiÒu nhau. Sau 1 giê 40 phót 2 ca n« gÆp nhau. TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n«. BiÕt vËn tèc ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ngîc dßng lµ 9 km/h. Vµ vËn tèc dßng níc lµ 3 km/h II. D¹ng to¸n chung - riªng. Bài 1: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày, họ cùng làm với nhau đợc 8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi lên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao ngày xong công việc trên (với n¨ng suÊt b×nh thêng)..

(19) Bµi 2: An vµ B×nh cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 7 giê 20 phót th× xong. NÕu An làm trong 5 giờ và Bình làm trong 6 giờ thì cả hai ngời làm đợc 3 công việc. Hỏi mỗi 4 ngời làm một mình làm công việc đó thì trong mấy giờ xong. Bµi 3: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau 1 giê 20 th× bÓ ®Çy. NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y trong 10 phót vµ vßi thø 2 ch¶y trong 12 phót th× ®Çy 2 bÓ. Hái mçi vßi ch¶y 15 mét m×nh th× bao nhiªu l©u míi ®Çy bÓ. Bµi 4: Hai vßi níc nÕu cïng ch¶y th× sau 6 giê ®Çy bÓ. NÕu vßi thø nhÊt ch¶y trong 10 giê th× ®Çy bÓ. Hái nÕu vßi thø hai ch¶y mét m×nh th× trong bao l©u ®Çy bÓ. Bµi 5: Hai líp 9A vµ 9B cïng tu söa khu vên thùc nghiÖm cña nhµ trêng trong 4 ngµy xong. NÕu mçi líp tu söa mét m×nh muèn hµnh thµnh c«ng viÖc Êy th× líp 9A cÇn Ýt thêi gian h¬n líp 9B lµ 6 ngµy. Hái mçi líp lµm mét m×nh th× trong bao l©u hoµn thµnh c«ng viÖc. Bµi 6: Hai tæ s¶n xuÊt nhËn chung mét c«ng viÖc.NÕu lµm chung trong 4 giê th× hoµn thành 2 công việc. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ 1 làm xong công việc tr ớc tổ 2 là 5 3 giê. Hái mçi tæ lµm mét m×nh th× trong bao l©u xong c«ng viÖc. Bài 7: Hai tổ cùng đợc giao làm một việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ 1 làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc. Hỏi nếu lµm mét m×nh mçi tæ cÇn lµm trong bao l©u míi hoµn thµnh c«ng viÖc. Bài 8: Hai ngời làm chung một công việc thì xong trong 5 giờ 50’. Sau khi làm đợc 5 giê. Ngêi thø nhÊt ph¶i ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c, nªn ngêi kia lµm tiÕp 2 giê n÷a míi xong c«ng viÖc. Hái nÕu lµm mét m×nh mçi ngêi lµm trong bao l©u th× xong. Bµi 9 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo 1 bÓ th× sau 4 4 giê ®Èy bÓ, m«Ü giê lîng níc cña 5. vßi 1 ch¶y b»ng. 1 1 2. lîng níc ë vßi 2. Hái mçi vßi ch¶y riªng th× trong bao l©u ®Çy bÓ.. Bµi 10 : Hai ngêi thî cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ngêi thứ nhất làm 3 giờ, ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm công việc đó một mình thì trong bao lâu xong công việc. III. d¹ng to¸n t¨ng n¨ng xuÊt:. Bµi 1 : Mét tæ c«ng nh©n ph¶i lµm 144 dông cô do 3 c«ng nh©n chuyÓn ®i lµm viÖc kh¸c nªn mçi ngêi cßn l¹i ph¶i lµm thªm 4 dông cô. TÝnh sè c«ng nh©n cña tæ lóc ®Çu (n¨ng suÊt mçi ngêi nh nhau). Bài 2 : Hai đội thuỷ lợi gồm 5 ngời đào đắp một con mơng. Đội 1 đào đợc 45 m3 đất, đội hai đào đợc 40 m3 . Biết mỗi công nhân đội 2 đào đợc nhiều hơn công nhân đội 1 là 1m3 . Tính số đất mỗi công nhân đội 1 đào đợc. Bài 3 : Một máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội máy kéo cày đợc 52 ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định. Bµi 4 : Mét tæ dÖt kh¨n mÆt, mçi ngµy theo kÕ ho¹ch ph¶i dÖt 500 chiÕc, nhng thùc tÕ mỗi ngày đã dệt thêm đợc 60 chiếc, cho nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trớc 3 ngày mà còn dệt thêm đợc 1200 khăn mặt so vơí kế hoạch . Tìm số khăn mặt phải dệt theo kÕ ho¹ch lóc ®Çu. Bµi 6 : Mét tæ s¶n xuÊt cã kÕ ho¹ch s¶n xuÊt 720 s¶n phÈm theo n¨ng suÊt dù kiÕn. Thêi gian lµm theo n¨ng suÊt t¨ng 10 s¶n phÈm mçi ngµy kÐm 4 ngµy so víi thêi gian lµm theo n¨ng suÊt gi¶m ®i 20 s¶n phÈm mçi ngµy ( t¨ng, gi¶m so víi n¨ng suÊt dù kiÕn). TÝnh n¨ng suÊt dù kÕn theo kÕ ho¹ch..

(20) Bài 7 : trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ một vợt mức 15%, tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy. Bài 8 : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất vợt mức 15%, tổ 2 sản xuất vợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiªu chi tiÕt m¸y ? IV. d¹ng to¸n cã liªn quan h×nh häc:. Bµi 1 : C¹nh huyÒn cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 10 m. Hai c¹nh gãc vu«ng h¬n kÐm nhau 2m. T×m c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c. Bµi 2 : Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 280m, ngêi ta lµm mét lèi ®i xung quanh vờn ( thuộc đất của vờn) rộng 2m. Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m 2. TÝnh c¸c kÝch thíc cña vên. Bµi 3 : TØ sè gi÷a c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ 13/12 c¹nh cßn l¹i b»ng 15m. TÝnh c¹nh huyÒn. Bài 4 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m và chiÒu dµi t¨ng thªm 3 m th× diÖn tÝch sÏ t¨ng thªm 195 m 2. TÝnh c¸c kÝch thíc cña miÕng đất. Bài 5: Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dµi 10 m . Th× diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt t¨ng thªm 200m2. TÝnh chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lóc ®Çu.. phÇn thø hai : h×nh häc A.Lý thuyÕt I. hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng:.  Hệ thức giữa cạnh và đờng cao:. + b2=a .b , ; c 2=a . c , + h2=b, . c , + a . h=b . c +. 1 1 1 = + h2 b , c,.  HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc:.  Tû sè lîng gi¸c: Sin=. D K D K ; Cos= ; Tg= ; Cotg= H H K D. + a2=b2 +c 2 + a=b, +c , 2. +. ,. 2. ,. b b c c = .; = c 2 c , b2 b,.

(21)  TÝnh chÊt cña tû sè lîng gi¸c: Sin α=Cos β 1/ NÕu α + β=900 Th×: Cos α =Sin β. 2/Víi α nhọn thì 0 < sin α *sin2 α + cos2  = 1 *cotg α = cos α /sin α. Tg α =Cotg β Cotg α =Tg β. < 1, 0 < cos α < 1 *tg α = sin α /cos α *tg α . cotg α =1.  HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc: + Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối: b=a .SinB . ; c=a . SinC. + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n Cos gãc kÒ: b=a . CosC.; c =a .CosB. + Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tan góc đối: b c.tan B.; c b.tan gC. + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng kia nh©n Cotg gãc kÒ: b=c . CotgC. ; c=b . CotgB II. §êng trßn:. . Sự xác định đờng tròn: Muốn xác định đợc một đờng tròn cần biết: + T©m vµ b¸n kÝnh,hoÆc + Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm của đờng kính; bán kính bằng 1/2 đờng kính) , hoÆc + Đờng tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) .  Tính chất đối xứng: + Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn. + Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng tròn.  C¸c mèi quan hÖ: 1. Quan hệ giữa đờng kính và dây: + §êng kÝnh (hoÆc b¸n kÝnh) D©y ⇔ §i qua trung ®iÓm cña d©y Êy. 2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây bằng nhau ⇔ Chúng cách đều tâm. + D©y lín h¬n ⇔ D©y gÇn t©m h¬n.  Vị trí tơng đối của đờng thẳng với đờng tròn: + Đờng thẳng không cắt đờng tròn ⇔ Không có điểm chung ⇔ d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng; R là bán kính của đờng tròn) + Đờng thẳng cắt đờng tròn ⇔ Có 1 điểm chung ⇔ d < R. + Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn ⇔ Có 2 điểm chung ⇔ d = R.  Tiếp tuyến của đờng tròn: 1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó 2. Tính chất: Tiếp tuyến của đờng tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kÝnh (tiÕp ®iÓm). 3.DÊu hiÖu nhhËn biÕt tiÕp tuyÕn: §êng th¼ng vu«ng gãc t¹i ®Çu mót cña b¸n kÝnh cña một đờng tròn là tiếp tuyến của đờng tròn đó. III.QUAN HỆ CUNG VÀ DÂY. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau,. . . AB CD  AB CD hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau: 2. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy  MB   IA IB MA. o. 2. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc A. I M. B.

(22) . . MA MB  OM  AB với dây căng cung ấy và ngược lại 3. Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy và chia cung bị căng ra hai phần bằng nhau  MB  IA IB  OI  AB ; MA. 4. Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy và chia   cung bị căng ra hai phần bằng nhau OI  AB  IA IB ; MA MB. o C. D. A. B.   6. Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau AB / / CD  AC BD   BOC sd BC. A. 7. Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn. 1   BAC  sd BC 2 8. Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 9. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn 1  BAx  sd AB 2. o B. C. B. x. o. A. 10. Trong một đường tròn :     a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau ACB DFE  AB DE M AMB  ACB AB b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau (cùng chắn )     c) Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau AB DE  ACB DFE C d) Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90o có số đo o C bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung ACB  1 AOB 2 (cùng chắn cung AB ). F C. o E D. A. B B. o A. B A. e) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp o  thì chắn nửa đường tròn ACB 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) f) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng B nhau   BAx BCA x o ( cùng chắn cung AB) 11.Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo A A hai cung bị chắn. C 1    AC ) BED  sd ( BD 2 (góc có đỉnh bên trong đường tròn). E. B. 12. Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn 1    AB) CED  sd (CD 2 (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn). D C. A E. o. IV. TỨ GIÁC NỘI TIẾP. a) Tính chất: Tổng hai góc đối của tứ giác bằng 1800. b) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.. o. B D. C.

(23) - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc . v. Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn:. - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - §é dµi cung trßn n b¸n kÝnh R : 0.  Rn l 180. IV. DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn: - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2. - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cung n0:. S.  R 2 n lR  360 2. VI. CÁC CÔNG THỨC TÍNH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 1. Hình trụ: Sxq = Cđáy.h (Cđáy: chu vi đáy; h: chiều cao), Sxq=2  r.h (r: bán kính đáy) V= Sđáy.h (Sđáy: diện tích đáy; h: chiều cao), V=  r2.h (r: bán kính đáy) 1 1 2. Hình nón: Sxq =  rl (l: đường sinh), V= 3 Sđáy.h , V= 3  r2.h 4 3. Hình cầu: Sxq =4  r2 , V= 3  r3. B. mét sè bµi to¸n tæng hîp h×nh häc líp 9 I. Mét sè bµi to¸n vÝ dô cã lêi gi¶i. Bài 1 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d Lời giải:. 1. (HS tự làm). 2. Vì K là trung điểm NP nên OK  NP ( quan hệ đường kính và dây cung) => OKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn..

(24) 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực của AB => OM  AB tại I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA 2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2. 4. Ta có OB  MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi. 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH  AB; cũng theo trên OM  AB => O, H, M thẳng hàng(Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. 2. 3. 4. 5.. Tứ giác CEHD, nội tiếp . Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. H và M đối xứng nhau qua BC. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có:  CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)  CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE  AC => BEC = 900..

(25) CF là đường cao => CF  AB => BFC = 900. Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có:  AEH =  ADC = 900 ; Â là góc chung AE. AH. BE. BC. =>  AEH  ADC => AD = AC => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có:  BEC =  ADC = 900 ; C là góc chung =>  BEC  ADC => AD = AC => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có C1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C2 = A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C1 =  C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB  HM =>  CHM cân tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn => C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp  C1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)  E1 = E2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 3. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. C. minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 1. 3. Chứng minh ED Chứng = 2 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm..

(26) Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có:  CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)  CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE  AC => BEA = 900. AD là đường cao => AD  BC => BDA = 900. Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 900 . 1. Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 BC. 4.Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E1 = A1 (1). 1. Theo trên DE = 2 BC => tam giác DBE cân tại D => E3 = B1 (2) Mà B1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE  OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED 2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bài 4 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn. 2. Chứng minh BM // OP. 3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. 4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải: 1. (HS tự làm). 2.Ta có góc ABM nội tiếp chắn cung AM; é AOM là góc ở tâm.

(27) AOM 2 chắn cung AM =>  ABM = (1) OP là tia phân giác  AOM ( t/c hai tiếp AOM 2 tuyến cắt nhau ) =>  AOP = (2). Từ (1) và (2) =>  ABM =  AOP (3) Mà  ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4) 3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : PAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); NOB = 900 (gt NOAB). =>  PAO = góc NOB = 900; OA = OB = R;  AOP =  OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau). 4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON  AB => ON  PJ Ta cũng có PM  OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ. (6) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có góc PAO = góc AON = góc ONP = 900 => K là trung điểm của PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật). (6) AONP là hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác APM => APO = MPO (8). Từ (7) và (8) => IPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK  PO. (9) Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng. Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. ) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 3) Chứng minh BAF là tam giác cân. 4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Lời giải: 1. Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => KMF = 900 (vì là hai góc kề bù). AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => góc KEF = 900 (vì là hai góc kề bù). => KMF + KEF = 1800 . Mà KMF và KEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.

(28) 1. Ta cÓ IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB vuông tại A có AM  IB ( theo trên). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB. 2. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí do ……) => ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1) Theo trên ta có éAEB = 900 => BE  AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2). Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B . 3. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3) Từ BE  AF => AF  HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác éHAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6). Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường). 4. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân. AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ABM =MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7) Tam giác ABI vuông tại A có ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn Bài 6. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh : Lời giải: 1. Tam giác DEF có ba góc nhọn. 1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt 2.DF // BC. nhau ta có AD = AF => tam giác ADF 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. cân tại A => ADF = AFD < 900 => BD BM sđ cung DF < 1800 => DEF < 900 ( vì = 4. CB CF góc DEF nội tiếp chắn cung DE). Chứng minh tương tự ta có DFE < 900; EDF < 900. Như vậy tam giác DEF có ba góc nhọn. 2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF AD AF  (theo trên) => AB AC => DF // BC.. 3. DF // BC => BDFC là hình thang lại có  B = C (vì tam giác ABC cân) => BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp được một đường tròn.

(29) 4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có  DBM = BCF ( hai góc đáy của tam giác cân). BDM = BFD (nội tiếp cùng chắn cung DI);  CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF .. BD. BM. => BDM CBF => CB =CF Bài 7 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G.. Chứng minh : 1.Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2.Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp . 3 AC // FG.4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy. Lời giải: 1. Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC là góc chung => DEB   CAB . 2. Theo trên DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC = 900 ( vì ABC vuông tại A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp . * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay BFC = 900 như vậy F và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp. 3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà đây là hai góc so le trong nên suy ra AC // FG. 4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S. Bài 8. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC. 1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2.Chứng minh rằng MP + MQ = AH. 3.Chứng minh OH  PQ..

(30) Lời giải: 1. Ta có MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC (gt) => AQM = 900 như vậy P và Q cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên P và Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp. * Vì AM là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung điểm của AM. 2. Tam giác ABC có AH là đường cao 1 = 2 BC.AH.. => SABC Tam giác ABM có MP là đường cao => 1 SABM = 2 AB.MP. Tam giác ACM có MQ là đường cao => 1 SACM = 2 AC.MQ. Ta có SABM + SACM = SABC. 1 => 2 AB.MP. 1 1 + 2 AC.MQ = 2 BC.AH => AB.MP +. AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH. 3. Tam giác ABC có AH là đường cao nên cũng là đường phân giác => . . HAP = HAQ => HP HQ ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc ở tâm) => OH là tia phân giác góc POQ. Mà tam giác POQ cân tại O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đường cao => OH  PQ II. Mét sè bµi tËp luyÖn tËp. Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chøng minh r»ng: 6. C¸c tø gi¸c AEHF; BEHD néi tiÕp . 7. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn một đờng tròn.. 8. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 9. H và M đối xứng nhau qua BC. 10.Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c AHE. 6. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 7. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trên một đờng tròn. 1. 8. Chøng minh ED = 2 BC. 9. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña đờng tròn (O). 10.Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bµi 3 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung ®iÓm cña IK. 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trên một đờng tròn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Bài 4 Cho đờng tròn (O; R), từ một ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 7. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 8. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng trßn . 9. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 10.Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 11.Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 12.T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d. Bài 5 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là là đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n..

(31) 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn của đờng tròn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. Bài 6 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. 2. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO nội tiếp đợc một đờng tròn. 3. Chøng minh BM // OP. 4. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. 5. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. Bài 7 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E, c¾t tia BM t¹i F; tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Bài 8 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ lµ ®iÓm đối xứng của M qua AB và S là giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n đơng vuông góc từ S đến AB. 1. Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn . 2. Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n. 3. Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña đờng tròn (0) . Bài 9 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyến tại N của đờng tròn ở P. Chứng minh : 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè định nào. Bµi 10 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung của hai nửa đờng tròn . Bài 11 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đờng tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chứng minh rằng các đờng tròn (I) vµ (O) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i A. 2. Chøng minh IP // OQ. 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. 4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt. Bµi 12. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H vµ K. 1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyển trên đờng nào? Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I cña BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh. 2. E, F nằm trên đờng tròn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n. 4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Bài 14 BC là một dây cung của đờng trßn (O; R) (BC 2R). §iÓm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy t¹i H..

(32) 1. Chứng minh tam giác AEF đồng d¹ng víi tam gi¸c ABC. 2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. 3. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. 4. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vị trí của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhát. Bài 15 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi Ac c¾t MN t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng d¹ng víi tam gi¸c ACM. 3. Chøng minh AM2 = AE.AC. 4. Chøng minh AE. AC – AI.IB = AI2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt. Bµi 16 Cho tam gi¸c nhän ABC , KÎ các đờng cao AD, BE, CF. Gọi H là trực t©m cña tam gi¸c. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC. Chøng minh : 1. C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp . 3. Hai tam giác HNP và HCB đồng d¹ng. 4. Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng. Bài 17. Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC, B  (O), C  (O’). tiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾t tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë I. 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp. 2. Chøng minh  BAC = 900 . 3. TÝnh sè ®o gãc OIO’. 4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm. Bài 18 Cho hai đờng tròn (O) ; (O’) tiếp xóc ngoµi t¹i A, BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi, B(O), C (O’). TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë M. Gäi E lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB, F lµ giao ®iÓm cña O’M vµ AC. Chøng minh : 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp .. 2. Tø gi¸c AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt. 3. ME.MO = MF.MO’. 4. OO’ là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC. 5. BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO’. Bài 19 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) tại C. Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BM. 1. Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp . 2. Chøng minh NE  AB. 3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chøng minh FA lµ tiÕp tuyÕn cña (O). 4. Chøng minh FN lµ tiÕp tuyÕn cña đờng tròn (B; BA). Bµi 20 : Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhọn. Đờng tròn (O) đờng kính BC cắt AB; AC t¹i E vµ D. BD c¾t CE t¹i H; AH c¾t BC t¹i I. VÏ c¸c tiÕp tuyÕn AM vµ AN cña (O). Chøng minh: 1. C¸c tø gi¸c ADHE; ADIB néi tiÕp đợc. 2. CD.CA + BE. BA = BC2. 3. M; H; N th¼ng hµng. 4. Tính chu vi đờng tròn ngoại tiếp tø gi¸c ADHE nÕu tam gi¸c ABCD là tam giác đều có cạnh b»ng 2a Bài 21.Cho đờng tròn tâm O ,dây AB , C n»m ngoµi (O) , C thuéc tia AB . P lµ điểm nằm chính giữa cung lớn AB , kẻ đờng kính PQ cắt dây AB tại D ,tia CP cắt đờng ròn tại I , AB cắt QI tại K. 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c PDKI néi tiÕp . 2. Chøng minh QB2 = QK.QI 3. Chøng minh CI.CP = CK.CD 4. Chøng minh IC lµ ph©n gi¸c gãc ngoài đỉnh I của tam giác AIB. 5. chøng minh CK.CD = CA.CB. Bµi 22. Cho (O;R) tiÕp xóc ngoµi (O'; r) (R > r) tại C. AC,BC là hai đờng kính cña (O) vµ (O'). DE lµ d©y cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB; đờng thẳng DC cắt (O') tại F .Chứng minh r»ng: 1. Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×? 2 . 3 ®iÓm B,E,F th¼ng hµng . 3. Tø gi¸c MDBF néi tiÕp . 4. DB c¾t (O') t¹i G . Chøng minh DF,EG,AD đồng quy. Bµi 23. Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O) ,P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB kh«ng chøa C vµ D . Hai d©y PC ,PD c¾t d©y AB t¹i E,F ; c¸c d©y AD, PC kÐo dµi.

(33) c¾t nhau t¹i I. C¸c d©y BC, PD kÐo dµi c¾t nhau t¹i K. 1. So s¸nh hai gãc CID vµ CKD . 2. Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp . 3. Chøng minh IK song song víi AB. 4. Chứng minh AP là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm A,F,D.. c. KÎ MH vu«ng gãc víi AB (H thuéc AB). Gäi K lµ giao ®iÓm cña MH vµ EB. So s¸nh MK víi KH. C©u 5 (1 §iÓm). TÝnh tæng S = 1 1 1   ......  2 1 1 2 3 2  2 3 100 99  99 100 1 ( gîi ý c©u 5: NhËn ThÊy: (n  1) n  n n 1 = (n  1) n  n n 1 (n  1) n  n n  1 1    2 2 (n  1) n  n (n  1) (n  1)n n. PhÇn III Một số đề tự luyện §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 01 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) Cho hµm sè bËc nhÊt y = - x + b (1) a. Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biÕn trªn R? Gi¶i thÝch? b. Biết rằng đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm A(1;-2). Tìm b và vẽ đồ thị của hµm sè (1) C©u 2: (2®iÓm) Cho biÓu thøc B = √a − 1 : √a + 1 (Víi √ a− 1 a − √a √ a −1 a − √ a a>0, a ±1 ) a. Rót gän biÓu thøc B. b. TÝnh gi¸ trÞ cña B khi a = 3 + 2 2 c. T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho B < 0 C©u 3 (2®iÓm). (. )(. ).  mx  y 1  x y   334 Cho HÖ ph¬ng tr×nh  2 3. =1. a. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh khi cho m. b. Tìm các giá trị của m để hệ vô nghiÖm C©u 4. ( 3 ®iÓm) Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax vµ By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn nµy, kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax vµ By lÇn lît ë E cµ F. a. Chøng minh AEMO lµ tø gi¸c néi tiÕp. b. AM C¾t 0E t¹i P, BM c¾t OF t¹i Q. Tø gi¸c MPOQ lµ h×nh g×? T¹i sao?. 1 n 1. Do đó tổng S đã cho đợc viết thành S=. (. 1 1 1 1 1  )(  )  ........  (  1 2 2 3 99. 1 ) 1  100. ) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 02 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1. x- 5 = 2x + 1 2. x2 – 3x + 2 = 0 3.. x  1  4 x  4 5 . 1 9x  9 3. 4. 3 x  x  4 0 C©u 2: (2®iÓm) cho biÓu thøc:  4 x 8x   x  1 2      :   2 x 4 x   x 2 x x   P= ( Víi x 0 ; x ≠ 4 ). d. Rót gän biÓu thøc P. e. Tìm các giá trị của x để P = -1 f. Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta cã m ( x  3 )P> x +1 C©u 3 (2,5®iÓm). Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Theo kÕ ho¹ch hai tæ s¶n xuÊt 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vợt møc 18% vµ tæ hai vît møc 21%. V× vËy trong thời gian quy định họ đã hoàn thµnh vît møc 120 s¶n phÈm. Hái sè s¶n phẩm đợc giao của mỗi tổ theo kế hoạch. C©u 4. ( 3,5 ®iÓm) Cho đờng tròn (0), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho 2 AI = 3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi. AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung. 1 10.

(34) lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E. a. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiếp đợc trong một đờng tròn. b. Chứng minh  AME đồng dạng víi  ACM vµ AM2 = AE. AC. c. Chøng minh AE.AC – AI.IB = AC2 d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt. HÕt.

(35) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 03 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2,5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau: 1. 4x - 3 = 2x + 5 2. 2x2 +5x + 3 = 0 3 x  y 5  5 x  2 y 23. 3. 1  1   x  2 y  1 2    2  3 1 4.  x  2 y  1. C©u 2: (1,5 ®iÓm) Rót gän c¸c biÓu thøc: a. A = 4  2 3  4  2 3 b. B = 546  84 42  253  4 63 C©u 3 (2,0 ®iÓm). Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 gìơ. Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình công việc ấy trong bao lâu. C©u 4. ( 3,0 ®iÓm) 0 Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, A 45 . Vẽ các đờng cao BD và CE của tam gi¸c ABC. Gäi H lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE. a. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đợc trong một đờng tròn. b. Chøng minh: HD = DC DE c. TÝnh tû sè: BC. C©u 5 (1,0 ®iÓm).. 2 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P  ( x 1995)  ( x 1996). ( Gîi ý c©u 5: ta cã P = -x - 1995+x +1996  x +1996 – x - 1995= 1 Vậy P 1, đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: (x+1996)(- x – 1995)  0 -1996  x - 1995 đo đó P đạt giá trị nhỏ nhất là 1  -1996  x - 1995). HÕt.

(36) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 04 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau tồn tại: 1  2x a. x  1. 4 5 x  10 x 2. b.. c. x  1 ;. ;. d.. 2x 3x  6. C©u 2: ( 2, 0 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – 2x – 3m - 2 = 0 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -1 b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. C©u 3 (2,0 ®iÓm) Cho hµm sè y = m x2 a. Xác định m, biết đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = -3x + 2 tại điểm M có hoành độ bằng 2. b. Với m vừa tìm đợc ở câu a, chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số và đờng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = kx – 1 lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A vµ B víi mäi gi¸ trÞ cña k. gọi x1, x2 tơng ứng là hoành độ của A và B, chứng minh  x1 – x2  2 C©u 4. ( 3,0 ®iÓm) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (0), gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Hai tiÕp tuyÕn t¹i C vµ D víi dêng trßn (0) c¾t nhau t¹i E. Gäi P, Q lÇn lît lµ giao điểm của các cặp đờng thẳng AB và CD; AD và CE. a. Chøng minh BC // DE. b. Chứng minh các tứ giác CODE; APQC nội tiếp đợc. c. Tø gi¸c BCQP lµ h×nh g×? C©u 5 (1,0 ®iÓm). 1 1 1   4 Chøng minh r»ng: NÕu x,y, z >0 tho¶ m·n x y z th× 1 1 1   1 2 x  y  z x  2 y  z x  y  2Z 1 1 4   x y x  y ( Với x, y là các số đơng) ( Gîi ý c©u 5: Ta cã Thất vậy áp dụng bất đẳng thức cối cho hai số dơng ta có:. x  y 2 xy. vµ. 1 1 1  2 x y xy. nªn. 1 1 1 1 (  )( x  y ) 2 . x y xy xy. 1 1 4   x y xy . 1 1 1 1 1   (  ) 2 x  y  z ( x  y )  ( x  z ) 4 x  y x  z áp dụng bắt đẳng thức trên ta có. HÕt §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 05 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau tồn tại: 1 x a. x  1. Câu 2: ( 2,0 điểm). b.. 3x 3x  9 x 2. 2x. ;. 2. c. x  1 ;. d.. x2  1.

(37) Cho phương trình ẩn x: x2 -2(m + 1) x + 2m + 5 = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = - 4 b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt c) Không giải phương trình hãy tìm m để A = x12 + x22 có giá trị bằng 1 C©u 3 (2,0 ®iÓm) Cho hµm sè y = 4x - 2 a. Xác định tập xác định của hàm số. Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập xác định? Vì sao? b. Trên mặt phẳng toạ độ, điểm A(1;2) có thuộc đồ thị hàm số không? Vì sao? c. Viết phơng trình đờng thẳng (d1) song song với đờng thẳng (d): y = 4x -2 C©u 4 : (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Hai đường cao AD, CE cắt nhau tại H a. Chứng minh : Tứ giác BDHE, ACDE nội tiếp b. Kéo dài AD và CE cắt đường tròn (O) tại F và I. Chứng minh : IF // DE c. Đường kính BK của đường tròn (O) cắt AF tại J. Đường thẳng BK và AI cắt nhau tại M. Chứng minh : KM.BJ = BM.KJ d. Gọi G là trọng tâm của ABC. Chứng minh : Ba điểm H, G, O thẳng hàng. C©u 5 (0,5 ®iÓm). 3 3 Cho A = 26  15 3  26  15 3 . Chóng Minh r»ng: A = 4 3 3 (Gîi ý c©u 5: §Æt m= 26  15 3 , n = 26  15 3. Ta cã: m3+ n3 = 26  15 3  26  15 3 52 3. 2. 2. m.n = 26  (15 3) = 676  675  1 1 VËy A3=(m+n)3= m3+n3+3mn(m+n) = 52 +3A 3. 3.

(38) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 06 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2,0 ®iÓm). 1. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a. x2 - 3 b. x y  y x  x  y 2. Hái x = 1 cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x3- 4x2+2x-1 = 0 kh«ng? Câu 2: ( 2 điểm) x 3 6 x 4   x 1 x1 x 1. Cho biÓu thøc P = a.Rót gän biªñ thøc P. Víi x 0 ; x 1. 1 b. Tìm x để P < 2. C©u 3 (2,0 ®iÓm) Tæng sè tuæi cña t«i vµ em t«i n¨m nay b»ng 26. Khi tæng sè tuæi cña chóng t«i gấp 5 lần tuổi của tôi hiện nay thì tuổi của tôi khi đó sẽ gấp 3 lần tuổi của em tôi hiện nay. H·y tÝnh tuæi hiÖn nay cña mçi ngõ¬i chóng t«i. Câu 4 : (3,5đ). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AC<AB). Đờng tròn đờng kính BC c¾t AB, AC theo thø tù t¹i E vµ F. BiÕt BF c¾t CE t¹i H vµ AH c¾t BC t¹i D. 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c BEFC néi tiÕp vµ AH vu«ng gãc víi BC 2. Chøng minh AE. AB = AF. AC 3. Goị 0 là tâm đờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính OK tû sè BC khi tø gi¸c BHOC néi tiÕp. C©u 5 (0,5 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A= (2x-x2) (y – 2y2) (Gäi ý: v×. víi. 0  x 2,0  y . 0 x 2 nªn 2-x 0 , ¸p dung B§T Cauchy ta cã 2.  x2 x  0 (2 x  x )  x( x  2)   1 2   2. (1). 2. 1 1  2 y 1  2 y  1 1 0 ( y  2 y 2 )  .2 y (1  2 y )   0 y    2 2 2  8 2 ta cã T¬ng tù víi 1  Tõ (1) vµ (2) ta cãA 8 DÊu = sÈy ra khi x= 2-x vµ 2y = 1-2y, ………….vËy……..). §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 07 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2,0 ®iÓm). 1. Rót gän: 3 2  2 2. (2). 1 2.

(39)  x  y  1  2.CÆp sè (x;y) = (1;2) cã lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:  x  y 3 kh«ng?. Câu 2: ( 2 điểm)   2   2  1 x  :   1    1  x2  Cho biÓu thøc P =  1  x. Víi -1< x <1. a.Rót gän biªñ thøc P b. Tìm x để P =3 C©u 3. (2®) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Trong mét phßng häc cã mét sè ghÕ dµi. NÕu xÕp mçi ghÕ ba häc sinh th× s¸u häc sinh kh«ng cã chç. NÕu xÕp mçi ghÕ bèn häc sinh th× thõa mét ghÕ. Hái líp cã bao nhiªu ghÕ vµ bao nhiªu häc sinh. Câu 4. (3,5đ) Cho đờng tròn (0,R). Đờng thẳng d cắt (0) tại A,B. C thuộc d ở ngoài (0). Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB tại D, CP cắt (0) tại điểm thø hai I, AB c¾t IQ t¹i K. a. Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b. Chøng minh: CI.CP = CK.CD c. Chøng minh IC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c AIB. d. A,B,C cố định, (0) thay đổi nhng vẫn luôn đi qua A,B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố định C©u 5. (0,5®). Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4+ 2x3+ 5x2 + 4x - 5 = 0 4 2 2 2 ( gîi ý c©u 5:  ( x  4 x  4)  2( x  2) x  x  9 0.  ( x 2  2  x )2  9 0  ........ HÕt.

(40) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 08 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) (Së GD §T Hµ TÜnh. - §Ò thi TS vµo 10 – N¨m häc 2011 – 2012). C©u 1: 2 ® a) Tìm m để đờng thẳng y = (2m – 1)x + 3 song song với đờng thẳng y = 3x -1. b) Gi¶i hÖ pt:. {2xx+2− 3y=4 y=1. C©u 2: 1,5 ®. Cho biÓu thøc: P =. ( 2−1√ a − 2+1√ a )( √2a +1). víi a> 0 , vµ a 4.. a) Rót gän P b) Tìm a để P > 1 /2 C©u 3: (2 ®) a) Tìm tọa độ giao điểm của y = x2 và y = -x + 2. b) Xác định m để pt: x2 – x + 1 – m = 0 có hai nghiệm x1,2 thỏa mãn 4( 1 1  )  x1 x2  3 0 x1 x2 .. Câu 4: (3,5 đ) Trên nửa đờng tròn đờng kính BC, lấy hai điểm M, N sao cho M thuộc cung BN. Gäi A lµ giao ®iÓm cña BM vµ CN. H lµ giao ®iÓm cña BN vµ CM. a) CMR: tø gi¸c AMHN néi tiÕp. b) CM : Δ ABN đồng dạng Δ HCN. c) TÝnh gÝ trÞ cña S = BM.BA + CN.CA C©u 5: ( 1 ®) Cho a, b, c > 9/4 . T×m GTNN cña a b c + + Q= 2 √ b −3 2 √ c −3 2 √ a −3 Gîi ý lêi gi¶i c©u khã vµ biÓu ®iÓm: Ta cã : a +2 √ b− 3 ≥ √b (BDT Co si) 2 √ b −3 Tơng tự ta CM đợc Q 9 khi a = b =c = 9 §Ò thi nµy chØ cÇn chó ý ®iÒu kiÖn ë c©u 2b) vµ c©u 3b).

(41)

de cuong on thi vao THPT

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về