De thi hoc sinh gioi

<span class='text_page_counter'>(1)</span>3. ()( ) ()( ). 2. C©u 1 ( 4 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh :a-. 2. 2 3 ( )2003 . − . −1 3 4 2 2 5 3 . − 5 12. 1 1 1 6. − − 3 . − +1 :(− −1) b3 3 3. [( ) ( ) ]. 2 Câu 2 ( 4 điểm) b; Tìm số nguyên a để a +a+3 là số nguyên. a+1. a- T×m sè nguyªn x,y sao cho x - 2xy + y = 0 C©u 3 ( 6 ®iÓm)a) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2 a+ b+c +d = a+2 b+ c+ d = a+ b+2 c+ d = a+b+ c+2 d a. b. c. d. a+b b+c c +d d +a M= + + + c+ d d +a a+b b+c. TÝnh b) Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đờng thẳng). Vận tốc của ngời đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của ngời đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc. Câu 4 ( 3 điểm) b) Cho tam giác ABC có góc B bằng 45 0 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2CB . TÝnh gãc ADE. A; Cho tam giác ABC có góc A bằng 900 Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC ở điểm E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE. Câu 5 ( 1 điểm ). Chứng minh rằng:. 1 1 1 1 1  3  3  ...   3 3 5 6 7 2004 40 163.310  120.69 6 12 11 vµ 520 b) TÝnh : A = 4 .3  6. C©u 1(3®iÓm): a) So s¸nh hai sè : 330 C©u 2(2®iÓm): Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chøng minh r»ng: x = y = z C©u 3(4®iÓm)::. x 1 x 2 x 3 x 4    a) T×m x biÕt : 2009 2008 2007 2006. b) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giá trị bất kì của x; y1, y2 là hai gi¸ trÞ t¬ng øng cña y.TÝnh y1, y2 biÕt y12+ y22 = 52 vµ x1=2 , x 2= 3. C©u 4(2®iÓm):: Cho hµm sè : f(x) = a.x2 + b.x + c víi a, b, c, d Z Biết f (1)3; f (0)3; f ( 1)3 .Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 C©u 5(3®iÓm):: Cho ®a thøc A(x) = x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 . a) Chøng minh r»ng x=-1 lµ nghiÖm cñ A(x) 1 b)TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc A(x) t¹i x = 2. Câu 6(6điểm):: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lợt lấy hai điểm M và N sao cho BM = MN = NC . Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC . a) Chøng minh AM = AN vµ AH  BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm c) Chøng minh MAN > BAM = CAN.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> §¸p ¸n.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2.a. 3 v× a lµ sè nguyªn nªn a2 +a+3 lµ sè 0,25 a2 +a+3 = a(a+ 1)+3 =a+ 0,25 a+1 a+1 a+1 a+1 nguyên khi 3 là số nguyên hay a+1 là ớc của 3 do đó ta có bảng sau : a+1 0,25. Ta cã :. a+1 a. -3 -4. -1 -2. a2 +a+3 a+1. VËy víi a { − 4,− 2,0,2 } th×. 1 0. 3 2. lµ sè nguyªn. Từ d·y tØ sè b»ng nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d  1  1  1 1 a b c d suy ra : a b c d a b c d a b c d a b c d    a b c d. Nếu a + b + c+ d ≠ 0 thì a = b = c= d  Q = 1 + 1+ 1+ 1 = 4. Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - ( c + d) b + c = - ( a + d) c + d = - ( a + b ); a + d = - ( b + c ) Lúc đó Q = ( -1) + (- 1) + ( -1) + ( -1) = -4 Gọi quãng đường đi được của hai người lần lượt là a và b. + TH 1 : C nằm giữa hai điểm A và B. Lập luận được 3.b. a b a b 11 1     20 24 20  24 44 4 => a = 5; b = 6. + TH2: C không nằm giữa hai điểm A và B - Lập luận được B không nằm a b b a 11 11     giữa A và C 20 24 24  20 4 4 => a = 55; b = 66. Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trờng hợp sau : ¿ 1 −2 y=1 2 x −1=− 1 ⇒ ¿ x=0 y=0 ¿{ ¿. HoÆc. ¿ 1− 2 y =−1 2 x −1=1 ⇒ ¿ x=1 y=1 ¿{ ¿. VËy cã 2 cÆp sè x, y nh trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi A. H. B. C. D. Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300 Nªn CH = CD ⇒ CH = BC 2 Tam gi¸c BCH c©n t¹i C ⇒ CBH = 300 ⇒ ABH = 150 Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750 4b. A. 025.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> AB + AC = BC + DE.. T¬ng tù AB =BD. 1 1 1 1 1 1 1 1  3  3  ...     ...  3 3 2004 Ta cã A< 4.5.6 5.6.7 6.7.8 2003.2004.2005 A= 5 6 7 1 1 1 1 1 1    ...     2003.2004 2004.2005 A< ( 2 4.5 5.6 6.5 A 1 1 1 1 1 1    .  2 4.5 2004.2005 2 4.5 40 3 10.  . a )330   3. 4 3. 2 10.  . 2710 ;520   5 .   2  .3  3.2.5.2 . 2.3 b) P    2  .3   2.3 10. 2 6. 2. 12. 11. 9. <. 2510  2710  330  520. 12 10 212.310  310.212.5 2 .3  1  5  6.212.310 4.211.311 4  12 12 11 11  11 11    2 .3  2 .3 2 3  2.3  1 7.211.311 7.211.311 7. x z y x z y x y z  ;  ;     y z x .¸p dông V× x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy  y x z y x z x y z xyz    1  x  y  z y z x y  z  x tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau  x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4      1  1  1 1 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006 . x  2010 x  2010 x  2010 x  2010 x  2010 x  2010 x  2010 x  2010        0 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006. 1 1 1   1   x  2010       0  2009 2008 2007 2006   x  2010 0  x 2010. Vì x, y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch nên: 2. 2. x1 y y2 2 y2 y y2 y 2 y 2  y2 2 52  y   y   2     1   2   1   1  2  1  4 x2 y1 y1 3 2 3 9 4 94 13  2   3  ) y12 36  y1 6. Víi y1= - 6 th× y2 = - 4 ; Víi y1 = 6 th× y2= 4 . Ta cã: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c ) f (0) 3  c 3 ) f (1) 3  a  b  c 3  a  b 3  1 ) f (  1) 3  a  b  c 3  a  b3  2 . Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3  2a 3  a 3 vì ( 2; 3) = 1  b3 Vậy a ,b ,c đều chia hết cho 3 A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+...+ (-1)99 + (-1)100 = - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) +...(-1) + 1 = 0 ( v× cã 50 sè -1 vµ 50 sè 1).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Suy ra x = -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc A(x) 1 1 1 1 1 1 1  2  3  ...  98  99  100 2 2 2 Víi x= 2 th× gi¸ trÞ cña ®a thøc A = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2  3  ...  98  99  100 1   2  3  ...  98  99  2. A 2 ( 2 2 2 2 2 2 )= 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2  3  ...  98  99  100  2 A  A  1  100  A 1  100 100  2 A =( 2 2 2 2 2 2 ) +1 - 2 2 2. A. B. M. H. N. C. Chứng minh ABM = ACN (Kc- g- c) từ đó suy ra AM =AM Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 900  AH  BC TÝnh AH: AH2 = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16  AH = 4cm TÝnh AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17  AM = 17 cm Trªn tia AM lÊy ®iÓm K sao cho AM = MK ,suy ra AMN= KMB ( c- g- c)  MAN = BKM vµ AN = AM =BK .Do BA > AM  BA > BK  BKA > BAK  MAN >BAM=CAN.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>