HSG Toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò «n 6. A (. Câu I: (6®) Cho biểu thức: a- Rút gọn biểu thức A.. x2 x 1 x1   ): 2 x x  1 x  x 1 1  x. b- Tính giá trị của A khi x 7  2 6 . c- Tìm x để A đạt GTLN. C©u II: (4 điểm) y. x 2  3x  5 x2 1 .. 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2. T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh sau: 11x + 18y = 120. my=3 m−1 {( m−12)xx−−y=m+5. C©u III: (2®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh:. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S=x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 3 Câu IV. Cho đờng thẳng (d) y= x − 3 4. a) VÏ (d) b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d). x  y  z  2009 2 x  19  4 y  7  6 z  1997. C©u V. (2®) Tìm x, y, z thỏa mãn: Câu VI: (4đ)Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC . Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đờng trßn (O) . Gäi K lµ giao ®iÓm cña CF vµ ED a. Chứng minh rằng 4 điểm E, B, F, K nằm trên một đờng tròn. b. Tam gi¸c BKC lµ tam gi¸c g× ? V× sao. ?. đáp án đề lần 1 Câu I: a. Điều kiện xác định: 0  x 1 (0,25) A. ( x  2 x  1)2 2 x  2  x ( x  1)  ( x  x  1) 2   . 2 x x1 x  1 ( x  1) ( x  x  1) x  x  1. (0,75).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> A. b-. 2 2  2 1 2 3 1 3 ( x )   2 4 4 4 (0,5). Dấu “ =’’ xảy ra . x 0  x 0 (0,25). Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x = 0.(0,25) 2. c- Với x = 7  2 6 ( 6  1) . x  6  1 (0,5). Ta có:. A. 2 2  7  2 6  6  1 1 7  6 (0,5).  1 11 11 1 Max y  ; Min y   2 ; 2  2 2 (4®) C©u II: a. Vậy tập giá trị của y là , do đó x, y   6, 3  b. VËy  lµ nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh.(2®). C©u III: Khi m  -1 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. x=m+1 { y=m− 3. 2 2 2 2 2 2 ⇒ S=x + y =( m+1 ) + ( m− 3 ) =2 m − 4 m+10=2 ( m−1 ) +8 ≥ 8 . VËy S min =8 ⇔ m=1. C©u IV:Ta coù: VT ≥ 5; VP ≤ 5. V©y hÖ cã nghiÖm duy nhÊt x = 1. C©u V: §a vÒ d¹ng: ( √ x −19 −1 ) 2+ ( √ y −7 − 2 )2+ ( √ z −1997 −3 )2=0 . VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = 20; y = 11; z = 2006. C©u VI:. D. K. a. Ta cã  KEB= 900 mặt khác  BFC= 900( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn) do CF kÐo dµi c¾t ED t¹i D. E F A. =>  BFK= 900 => E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK. b.  BCF=  BAF. B. Mµ  BAF=  BAE=450=>  BCF= 450. O. Ta cã  BKF=  BEF Mà  BEF=  BEA=450(EA là đờng chéo của hình vuông ABED)=>  BKF=450 V×  BKC=  BCK= 450=> tam gi¸c BCK vu«ng c©n t¹i B. §Ò «n 7. Bµi 1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc. 2( √ x − 3) √ x+ 3 x√ x−3 P= − + x − 2√ x − 3 √ x+1 3− √ x. a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 14 - 6 √ 5 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña x. Bµi 2: (4 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh:. 1 1 1 + + =1 √ x +3+ √ x+ 2 √ x +2+ √ x +1 √ x+1+ √ x. C.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> z +3 b) Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: 2 √ x +1+3 √ y+ 2+ 4 √ ¿ x+ y + z +35=2. ¿ 1 1 1 Bµi 3: (4 ®iÓm) a) Cho x > 0, y > 0 tho¶ m·n: + = . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x y 2 A= √ x + √ y b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B=√ 3 x −5+ √7 − 3 x. Bµi 4: (4 ®iÓm) a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x + y + xy = 4 b) Tìm các số nguyên x để √ 199− x2 −2 x+ 2 là số chính phơng chẵn. Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn (I) đờng kính BH cắt AB tại D. Vẽ đờng tròn (K) đờng kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng: a) AD.AB = AE.AC b) DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K). c) DiÖn tÝch tø gi¸c DEKI b»ng nöa diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:. x 2 + xy+ y 2 =19 x − xy + y=− 1. {. Bài 7: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng: (d 1) y=2 x − 5 (d2 ) y =x+ 2 đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ (d 3 ) y=a . x −12. Bài 8: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x + (m - 1)y = 1 luôn đi qua một điểm cố định.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đáp án đề lần 2. √ x −3 ¿2 −(√ x+3)(√ x +1) ¿ x √ x −3 − 2¿ P=¿. Bµi 1: (4 ®iÓm) a) §K x  0, x  9. b) Ta cã x = 14 - 6 √ 5 = ( √ 5 - 3)2 => √ x=|√ 5− 3|=3− √ 5. => P = 58 −2 √ 5. ( )( ) c) P= x +8 = x − 1+ 9 = √ x −1 √ x+1 + 9 =√ x −1+ 9 =√ x+ 1+. 9 −2 √ x+ 1. √ x+1. √ x+ 1. √ x +1. ¸p dông B§T C«si ta cã: P=√ x +1+. √ x +1. 11. 9 9 −2 ≥ 2 ( √ x+1 ) − 2=2 √ 9 −2=4 √ x +1 √ x +1. √. 9 ⇔ x=4 . VËy min P = 4 khi x = 4 P = 4  √ x+1= √ x +1. Bµi 2: (4 ®iÓm) a. §K x  0, nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 1. z +3. b) Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: 2 √ x +1+3 √ y+2+ 4 √ ¿ x+ y +z +35=2. ¿. §K x  -1, y  -2, z  -3. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 3; y = 7; z = 13. 1 1 >0 ; >0 ; √ x> 0; √ y >0 x y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . Suy ra : ≤ ⇒ √ xy ≥ 4 + VËn dông B§T C«si cho 2 sè d¬ng ta đợc: + = ⋅ ≤ + x y 2 x y 2 x y √ xy 4 + Vận dụng BĐT Côsi cho 2 số dơng √ x ; √ y ta đợc: A= √ x + √ y ≥ 2 √ √ x . √ y ≥ 2 . √ 4=2. 2=4. Bµi 3: (4 ®iÓm) a) V× x > 0, y > 0 nªn. √. (. ). VËy min A = 4 khi vµ chØ khi x = y = 4. 5 7 . Khi đó: A2 = (3x - 5) + (7 – 3x) + 2 ≤x≤ 3 3 √(3 x − 5) .(7 −3 x ). b) §KX§:. √(3 x − 5).(7 −3 x ) = 2 + 2. VËy max A2 = 4 => max A = 2 khi x = 2. Bµi 4: (4 ®iÓm) a) x + y + xy = 4  (x + 1)(y + 1) – 1 = 4  (x + 1)(y + 1) = 5. Ta xã nghiÖm lµ (0 ; 4) ; (4 ; 0) ; (-2 ; -6) ; (-6 ; -2) b) Tìm các số nguyên x để √ 199− x2 −2 x+ 2 là số chính phơng chẵn. VËy x  { −15 ; −3 ; 1 ; 13 } Bµi 5: (4 ®iÓm). a) Nèi HD, HE th×: BDH = 900; CEH = 900. ¸p dông hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng ta cã: AH2 = AB.AD; AH2 = AC.AE, suy ra AD.AB = AE.AC b) Tø gi¸c AEHD lµ h×nh ch÷ nhËt. Ta cã: IDE = IDH + HDE = IHD + DHA = 900 => ID  DE => DE lµ tiÕp tuyÕn cña (I). T¬ng tù ta cã : DE lµ tiÕp tuyÕn cña (K) Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K). c) Ta cã DEIK lµ h×nh thang vu«ng : S DEIK =. (DI+ EK) . DE (IH+ HK) . AH IK . AH 1 BC . AH 1 = = = = S ABC 2 2 2 2 2 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>