ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM THANH NGHỊ

NGHIÊN CỨU PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ VÀ XÂY DỰNG
PHẦN MỀM GIẢI BÀI TỐN Ơ NHIỄM KHÍ QUYỂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM THANH NGHỊ

NGHIÊN CỨU PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ VÀ XÂY DỰNG
PHẦN MỀM GIẢI BÀI TỐN Ơ NHIỄM KHÍ QUYỂN
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 8 48 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Giáo viên hƣớng dẫn: TS. Nguyễn Đình Dũng

THÁI NGUYÊN - 2020


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này do chính tơi thực hiện, dưới sự hướng dẫn
khoa học của TS. Nguyễn Đình Dũng, các kết quả lý thuyết được trình bày trong
luận văn là sự tổng hợp từ các kết quả đã được cơng bố và có trích dẫn đầy đủ, kết
quả của chương trình thực nghiệm trong luận văn này được tơi thực hiện là hồn
tồn trung thực, nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm.
Thái Ngun, tháng năm 2020
Học viên cao học

Phạm Thanh Nghị
Xác nhận của khoa chuyên môn

Xác nhận của giáo viên

hƣớng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Đình Dũng


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin và
Truyền thông dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Đình Dũng. Tác giả xin bày tỏ
lịng biết ơn tới các thầy cơ giáo Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền
thông, Đại học Thái nguyên, các thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin –
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả
trong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn tới TS. Nguyễn Đình Dũng đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nhiều tài liệu

cần thiết để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học và bạn bè đồng nghiệp
đã trao đổi, khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường Đại
học Công nghệ Thông tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người đã ln bên
cạnh, động viên và khuyến khích tác giả trong q trình thực hiện đề tài.
Thái Nguyên, ngày tháng
Học viên cao học

Phạm Thanh Nghị


iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN...................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN........................................................................................................... ii
MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. CÁC MƠ HÌNH TỐN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MƠI TRƯỜNG5

1.1. Phương trình truyền tải vật chất trong khí quyển, tính duy nhất nghiệm........5
1.2. Phương trình truyền tải dừng....................................................................... 10
1.3. Bài tốn truyền tải và khuếch tán vật chất, tính duy nhất nghiệm................15
1.4. Bài toán liên hợp cho miền ba chiều............................................................ 21
1.5. Tính duy nhất nghiệm của bài tốn liên hợp................................................ 26
1.6. Kết luận chương 1........................................................................................ 29
CHƢƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI TỐN KHƠNG DỪNG 31

2.1. Các lược đồ sai phân xấp xỉ cấp hai cho bài toán khơng dừng với tốn tử
phụ thuộc thời gian [4]................................................................................. 31

2.1.1. Bài toán thuần nhất............................................................................ 31
2.1.2. Xét bài toán thuần nhất...................................................................... 37
2.2. Phương pháp phân rã.................................................................................... 39
2.2.1 Bài toán thuần nhất............................................................................. 39
2.2.2. Bài tốn khơng thuần nhất.................................................................. 40
2.3. Phương pháp phân rã nhiều thành phần....................................................... 44
2.3.1. Bài toán thuần nhất............................................................................ 45
2.3.2. Bài tốn khơng thuần nhất.................................................................. 46
2.4. Kết luận chương 2........................................................................................ 49
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ TRONG BÀI TỐN
Ơ NHIỄM KHÍ QUYỂN............................................................................ 50
3.1. Bài tốn ơ nhiễm khí quyển......................................................................... 50
3.2. Sai phân biến không gian............................................................................. 51
3.2.1. Cấp xấp xỉ của tốn tử sai phân......................................................... 53
3.2.2. Tính khơng âm của toán tử sai phân................................................... 54


iv

3.3. Lược đồ phân rã giải bài tốn ơ nhiễm khí quyển........................................ 55
3.4. Một số kết quả thực nghiệm......................................................................... 58
3.5. Kết luận chương 3........................................................................................ 60
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN........................................................... 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 63


1

MỞ ĐẦU
1.


Tính khoa học và cấp thiết của đề tài
Thực tế cho thấy, một số lượng khá lớn những bài tốn thực tiễn phức tạp có

thể được giải quyết nhờ cơng cụ của phương trình liên hợp. Chẳng hạn, đó là những
bài toán về cơ chế lượng tử, năng lượng hạt nhân, những quá trình động lực học phi
tuyến trong vật lý, hoá học và nhiều vấn đề khác.
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi đề cập tới những vấn đề về mơi
trường và khí hậu. Sự tác động qua lại của chúng chính là những vấn đề trọng tâm
của khoa học, vì nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự sống trên trái đất.
Mơi trường quanh ta, đó là môi trường nước (nước mặt: sông hồ, biển, đại
dương; nước ngầm: các dịng chảy trong lịng đất), mơi trường khơng khí, mơi
trường đất và mơi trường sinh thái. Các thành phần của môi trường luôn luôn biến
đổi, chúng tác động qua lại với nhau và chuyển hoá từ trạng thái này sang trạng thái
khác.
Trong mơi trường khơng khí, khí quyển, các thành phần của chúng pha trộn
lẫn với nhau(theo một tỷ lệ nào đó), dịch chuyển nhờ gió và khuếch tán.
Khí thải cơng nghiệp là tác nhân lớn nhất làm ô nhiễm không khí. Để bảo vệ
được môi trường sống chúng ta phải hiểu được qui luật khách quan và từ đó có các
biện pháp tích cực và hữu hiệu để bảo vệ môi trường.
Các thực thể vật chất bị nhiễm bẩn ở dạng khí (khói nhà máy, lị hạt nhân,
núi lửa v.v...) lan truyền và khuếch tán trong khí quyển, tác động với nhau (dưới ảnh
hưởng của nhiệt độ, độ ẩm) trở thành một hợp chất phức tạp, ta gọi chung là hợp
chất khí. Trong q trình chuyển động các thành phần của hợp chất khí tác động với
nhau, một số thành phần đang từ không độc hại trở thành độc hại đối với cuộc sống
của sinh vật. Quá trình này dẫn đến tình trạng ơ nhiễm các lục địa và đại dương.
Để giải quyết được điều đó ta cần phải biết được những quá trình lan truyền
và khuếch tán các thực thể nhiễm bẩn trong môi trường, mà khi di chuyển liên tục
trong khí quyển chúng có thể được biến đổi từ những thành phần khơng có hại



2

thành những thành phần có hại và ngược lại, thường làm ơ nhiễm đại dương và các
lục địa. Đó là những vấn đề rất đáng quan tâm. Vì thế giới sẽ khơng ngừng hồn
thiện, nền văn minh nhân loại sẽ ngày một phát triển, điều rất cần thiết là phải dự
đốn được xu hướng phát triển của các ngành cơng nghiệp, để kết hợp với những
vấn đề về gìn giữ thiên nhiên, môi trường. Hơn bao giờ hết, chúng ta cần phải tiến
hành đầu tư vốn cần thiết để không chỉ điều chỉnh những tiềm năng sẵn có trong
thiên nhiên đã bị mất đi, mà cịn nâng cao nó, cải thiện mơi trường. Tuy nhiên điều
đó địi hỏi một lượng kinh phí rất lớn. Song vấn đề ấy là rất quan trọng và cần được
chứng minh bằng sức mạnh toàn cầu. Vấn đề là ở chỗ có thể thoả thuận được việc
cấm vũ khí hạt nhân cũng như có thể thoả thuận về việc giữ gìn hệ thống sinh thái
đảm bảo sự sống trên trái đất. Vì vậy đây là vấn đề mang tính tồn cầu. Tổ chức các
quốc gia thống nhất kêu gọi lập ra thoả hiệp về việc sử dụng thiên nhiên ở mọi quốc
gia, trong sự quan tâm của toàn nhân loại. Thiên nhiên là nguồn của cải chính của
con người và khi điều đó được tất cả mọi người cơng nhận, họ có thể sẽ có những
phương pháp hành động để giải quyết được những vấn đề đã nêu trên, tạo điều kiện
phát triển nền văn minh, gìn giữ và làm tăng thêm sự phong phú của thiên nhiên.
Ở

phương diện toán học, nhiệm vụ chủ yếu để giải quyết những vấn đề này là

xây dựng được những mơ hình tốn học phản ánh đúng đắn bản chất tự nhiên khách
quan của hiện tượng, tìm ra các mối quan hệ biện chứng về định tính, định lượng và
phương pháp hữu hiệu nhằm giải quyết bài toán đặt ra để từ đó định ra chiến lược bảo
vệ chất lượng môi trường sống (xem [1]- [3], [6]-[9], [11, 12]). Nội dung đề tài này, học
viên trình bày những phương trình liên hợp được phân tích dựa trên các phương trình
cơ bản đã được thừa nhận, các điều kiện biên, điều kiện ban đầu, và phương pháp giải
các bài toán để thu được kết quả cuối cùng mà nhờ chúng có thể đánh giá được mức độ

tác động của thực trạng ô nhiễm trong môi trường của một vùng lãnh thổ (xem

[5, 10]).
Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn tôi đã chọn đề tài: “Nghiên cứu phương
pháp phân rã và xây dựng phần mềm giải bài tốn ơ nhiễm khí quyển” làm luận văn tốt
nghiệp của mình. Mục tiêu chính của luận văn là tìm hiểu về phương pháp phân rã giải
bài tốn khơng dừng và xây dựng ứng dụng bài tồn ơ nghiễm khí quyển.


3

2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Nội dung chính của luận văn đặt vấn đề nghiên cứu 3 vấn đề cơ bản:
-

Các mơ hình tốn học trong vấn đề môi trường;

-

Phương pháp phân rã giải bài tốn khơng dừng;

Xây dựng ứng dụng phương pháp phân rã trong bài tốn ơ nhiễm khí
quyển.
3.

Phƣơng pháp luận nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Tổng hợp, nghiên cứu các tài
liệu về

các mơ hình tốn học trong vấn đề mơi trường

-

Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Sau khi nghiên cứu lý thuyết,

luận văn sẽ tập trung vào xây dựng chương trình giải bài tốn ơ nhiễm khí trên mơi
trường Matlab; Đánh giá kết quả sau khi thử nghiệm
Phương pháp trao đổi khoa học: Thảo luận, xemina, lấy ý kiến
chuyên gia.
4.

Nội dung và bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và hướng phát triển, luận văn được bố cục

thành ba chương chính như sau:
Chương 1 phân tích các mơ hình tốn học khác nhau của vấn đề ơ nhiễm mơi
trường. Các phương trình cơ bản được rút ra từ những quy luật bảo toàn (bảo toàn
khối lượng và động lượng). Mỗi bài toán cơ bản đều xây dựng được một bài toán
liên hợp tương ứng nhờ đẳng thức tích phân Lagrange. Tính duy nhất nghiệm của
các bài tốn cơ bản và bài toán liên hợp đối với những mơ hình chính được chứng
minh một cách chặt chẽ nhờ đẳng thức đối ngẫu.
Chương 2 xây dựng phương pháp giải các bài toán đặt ra ở chương 1. Do độ
phức tạp của phương trình, với những giả thiết về điều kiện biên, giá trị ban đầu
chặt chẽ người ta mới nhận được nghiệm chính xác của bài tốn. Thực tế cho thấy
các bài toán đặt ra thường rộng hơn, phức tạp hơn. Do đó, việc tìm các phương pháp
giải số cho lớp các bài toán trên là một trong những phương pháp hữu hiệu được sử
dụng. Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp số cũng gặp nhiều khó khăn như số


chiều lớn, miền phức tạp v.v... Rất nhiều nhà cơ học, kỹ sư đã đã đưa ra nhiều
phương pháp sai phân cho những bài tốn ơ nhiễm mơi trường. Tuy nhiên do thiếu



4

những nền tảng toán học, một số phương pháp sai phân này cho lời giải không phù
hợp với thực tiễn. Để khắc phục hạn chế này ta phân rã phương trình khuyếch tán
truyền tải bằng quá trình vật lý: Tại mỗi bước thời gian giải phương trình truyền tải
bởi phương pháp đặc trưng, và tiếp theo giải bài toán khuyếch tán bởi phương pháp
phân rã. Nội dung chương này trình bày khá chi tiết về sự ổn định, cấp chính xác
của phương pháp phân rã trong bài toán tiến hoá thuần nhất và bài tốn khơng thuần
nhất, phân tích nhược điểm của phương pháp khi toán tử của bài toán là tổng của hai
tốn tử khơng giao hốn. Để khắc phục nhược điểm này chúng tôi đưa ra phương
pháp phân rã cho bài toán và chứng minh khá chi tiết tính ổn định vơ điều kiện và
cấp chính xác 2 theo thời gian. Tiếp theo sẽ trình bày cho trường hợp tổng quát khi
toán tử của bài toán là tổng của nhiều toán tử nửa xác định dương.
Chương 3 xấp xỉ toán tử vi phân của bài toán khuyếch tán đặt ra ở Chương 1
bằng toán tử sai phân với cấp chính xác hai theo các biến khơng gian và thoả mãn
tính khơng âm. Cuối cùng đưa ra lược đồ phân rã theo thời gian và cài đặt thuật toán
để cho kết quả số của bài toán sai phân xấp xỉ nghiệm của bài toán vi phân đã xây
dựng ở Chương 1.


5

CHƢƠNG 1
CÁC MƠ HÌNH TỐN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MƠI TRƢỜNG
1.1. Phƣơng trình truyền tải vật chất trong khí quyển, tính duy nhất nghiệm
Giả sử (x, y, z,t) là cường độ của chất thải nào đó, di chuyển cùng với
dịng khơng khí trong khí quyển. Ta sẽ xác định nghiệm của bài toán trong một
miền trụ G , với bề mặt S .

S

0H

trong đó,  là mặt bên (hay mặt xung quanh) của hình trụ G ,


0



H

là mặt đáy dưới (khi z  0 )
là mặt đáy trên (khi z  H )

Gọi

V

trục x, y, z

tương ứng) – là

hàm của x, y, z, t . Sự dịch chuyển của các thực thể vật chất dọc theo quỹ đạo của các
hạt khơng khí, với sự bảo tồn cường độ của nó được mơ tả bởi phương trình:



hay


t

Do ở lớp dưới của khí quyển (lớp tiếp giáp với mặt đất), với độ chính xác
khá cao, có thể xem khơng khí là chất khơng nén được, thể hiện bằng phương trình
liên tục
 u
 v  w
 x y   z0

(1.1.3)

Từ (1.1.2) ta đi đến phương trình

 
 t  divV  0

(1.1.4)

Về sau, nếu khơng nói gì thêm, thì ta ln xem divV  0 . Ta giả thiết:

u


w  0 khi z  0 hoặc z  H


6

Để có được (1.1.4) ta đã sử dụng đẳng thức

 và V :

u

Với giả thiết
và có dạng:

u

(1.1.7)

x

Đối với phương trình (1.1.4) ta đưa vào điều kiện ban đầu:

(1.1.8)

  0 khi t  0

và điều kiện biên trên S của miền trụ G 

(1.1.9)

 S trên S khi un  0

trong đó 0 và S là các hàm cho trước và un
tuyến ngoài đối với mặt S . Đẳng thức (1.1.9)
của S , tại đó khối lượng khơng khí cùng với các chất đang nghiên cứu

(1.1.9)


đi vào miền G . Để tìm nghiệm (x, y, z,t) của bài tốn (1.1.4) thoả mãn các điều kiện
(1.1.8) ,

ta giả thiết
về các

(1.1.4)

rằng u, v, w là những hàm đã biết. Nếu như các thông tin

thành phần véc tơ vận tốc chưa đầy đủ thì cần phải sử dụng một cách tỉ mỉ các xấp
xỉ khác nhau mà ta sẽ trình bày sau đây.
Phương trình

có thể được khái qt hố. Nếu trong q trình dịch

chuyển, thành phần vật chất đang xét có tham gia phản ứng với mơi trường hay là bị
phân giải, thì q trình này có thể được xem như sự hấp thụ vật chất tỷ lệ với đại
lượng  . Khi đó trong phương trình (1.1.4)
thị sự gia tăng thành phần  trong khơng khí:


Đại lượng   0 , tỷ lệ nghịch với khoảng thời gian xem xét. ý nghĩa của đại
lượng này sẽ được hiểu một cách cụ thể; nếu trong (1.1.10) ta đặt u  v  w  0 . Khi
đó (1.1.10) có dạng.


Nghiệm của (1.1.11) :
  0e t


Lấy logarit cả hai vế của (1.1.12) ta được:
ln  ln0 t ln e




t ln0 ln

t  ln  0


Gỉa sử t  T là khoảng thời gian làm biến đổi thành phần đang xét từ 0 đến


thì khi đó



1




ln 

0

T 


Hiển nhiên,  có giá trị tỷ lệ nghịch với khoảng thời gian để cường độ của
vật chất tại thời điểm cuối so với cường độ ban đầu bị giảm xuống e lần.
Nếu trong miền xác định nghiệm G có các nguồn vật chất làm thay đổi cường
độ  của thành phần không khí đang xét và được mơ tả bằng hàm f (x, y, z,t) , thì
phương trình (1.1.10) có dạng:

Ta xét bài toán (1.1.13) cùng với các điều kiện:

Nhân cả hai vế của (1.1.13) với  ta được:




Lấy tích phân hai vế
miền G[0,T ] ta được:


8


G[0,T ]

hay:

dG
G

Ta có nhận xét:
(i) 




2

dGT



dt  dG

1 T 2



dt 

t T



t 0

tG2 0 t 2G 2G0





 w 2 







z  2 

(ii) div


 z (w)   divV

Như vậy:

Với nhận xét này thì phương trình (1.1.15) sẽ trở thành


G

2

2
t T

Theo cơng thức Ostrogradski-Gauss ta có

div


Ta nhận thấy rằng, do điều kiện

việc lấy tích phân theo S ở vế phải của (1.1.17) thực chất chỉ cịn là lấy tích phân theo
mặt bên  của hình trụ G . Tuy nhiên, để khơng làm mất tính tổng qt, ta vẫn ký hiệu
tích phân đó được lấy trên S , cho dù có xuất hiện điều kiện (1.1.15) . Với giả thiết:
0

S


trong đó 0 ,S
đẳng thức sẽ như sau:

T2


dG  T

dt


2

G

0

trong đó,

(trong (1.1.19) , để cho gọn ta đã ký hiệu   T
Đẳng thức (1.1.19)
duy nhất nghiệm của bài toán (1.1.13), (1.1.18) .

Thật vậy, giả sử bài tốn (1.1.13), (1.1.18)
đó, vì 1 và 2

và

Lấy (I ) trừ (II ) và đặt   1 2 , ta có:



t

  0 khi t  0

  0(x, y, z)  S , un  0

Đối với hàm  thì đẳng thức (1.1.19)


10

2



T

2 dG 

G


chỉ khi   0 , tức là 1  2 . Như vậy, tính duy nhất nghiệm của bài tốn hồn tồn
được chứng minh.
Bài tốn:


 divV    f

t

0
S

trên S khi un 

Có nghiệm duy nhất trong lớp hàm (x, y, z,t) liên tục, khả vi theo tất cả các biến
với điều kiện đầu 0 (x, y, z) và điều kiện biên S (x, y, z,t) là các hàm liên tục với
các hệ số u(x, y, z,t) liên tục và khả vi, thoả mãn điều kiện divV  0 và hàm  là hàm
liên tục từng khúc. Từ nay về sau, ta giả thiết rằng tất cả các điều kiện này được
thoả mãn.
Phương trình (1.1.23) có thể được viết dưới dạng:

t

 A  f

trong đó:
A  divV 

Có thể giả thiết rằng tốn tử A tác động trong không gian Hilbert thực L2 (G)
với miền xác định D( A) , là tập hợp của các hàm khả vi liên tục theo các biến x, y, z

1.2. Phƣơng trình truyền tải dừng
Trong phần này ta tiến hành mơ tả q trình dừng của bài tốn truyền tải vật
chất (1.1.23), (1.1.24) . Nếu như các hệ số u, v, w cùng với những yếu tố cho trước
khác của bài tốn như f và  , khơng phụ thuộc vào thời gian, thì ta có bài tốn
dừng tương ứng với bài toán (1.1.23), (1.1.24) được phát biểu rất đơn giản như sau:


divV   f


Dễ dàng thấy rằng đẳng thức tương ứng với (1.1.19) có dạng:


S

Bằng phương pháp mà ta đã trình bày trong mục (1.1) , có thể thấy rằng bài
tốn (1.2.1),(1.2.2) có nghiệm duy nhất.
Như vậy, bài toán (1.2.1),(1.2.2)
với những dữ kiện cho trước không thay đổi theo thời gian. Tuy vậy, bộ nghiệm
tương ứng với những V , f ,S khác nhau của các bài tốn dừng riêng biệt, có thể được
sử dụng cả trong việc mơ tả những tình huống vật lý phức tạp hơn trong ứng dụng thực
tế. Để chứng minh được điều này ta giả sử rằng trong từng giai đoạn khác nhau của thời
gian, sự chuyển động của khối lượng khơng khí cho trước dù ở trạng thái này hay trạng
thái khác, trong vùng đang xét, có thể được cho là dừng. Sau mỗi khoảng thời gian như
vậy, sự chuyển động của khối lượng vật chất lại có thay đổi và bắt đầu sang một trạng
thái dừng mới. Sự thay đổi này diễn ra trong thời gian ngắn hơn khoảng thời gian tồn
tại của dạng chuyển động trong bài tốn dừng, có thể xem như sự thay đổi của chuyển
động đó diễn ra rất nhanh. Giả sử có n khoảng thời gian làm xuất hiện bài tốn dừng.
Bằng cách này ta đi đến một hệ phương trình độc lập:
divVii


i  iS trên S khi uin  0,i 1,2,..., n

Bài tốn (1.2.4) , (1.2.5) , trong đó iS là giá trị của hàm i trên biên S , uin là
hình chiếu của véc tơ vận tốc gió loại i trên pháp tuyến ngoài đối với biên, tương
ứng với mỗi khoảng thời gian ti  t  ti1 có độ dài là ti .
Giả sử, tất cả các bài tốn (1.2.4) , (1.2.5) giải được. Khi đó nghiệm của bài
n

tốn trung bình trong thời gian T  ti
i1

của sự phân bố các chất pha trộn được


biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính như sau: