de thi gvg cap huyen 5

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) 1. Gọi a là một nghiệm nguyên dương của phương trình √ 2 x 2 + x −1=0 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức A=. 2 a− 3 √ 2(2 a − 2a+3)+2 a 2 4. 2. Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn 3 2 − =7 −20 √ 3 a+b √ 3 a − b √3 Câu 2: (4,0 điểm). Giải hệ phương trình. ¿ (x 2+1)( y 2 +1)+ 8 xy=0 x y 1 + 2 =− 2 4 x +1 y +1 ¿{ ¿. Câu 3: (4,0 điểm). 1) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn đẳng thức a 2 + b2 - ab = c2. Chứng minh rằng phương trình x2 - 2x + (a - c)(b - c) = 0 có hai nghiệm phân biệt. 2 . Tìm các số nguyên x, y thoã mãn: (y + 2)x2 + 1 = y2 Câu 4: (6,0 điểm). Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta kẻ hai tia tạo với nhau 1 góc bằng 45 o. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q. 1. Chứnh minh: E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. Chứng minh: AB.PE = EB.PF. 3. Chứng minh: SAEF = 2SAPQ. 4. Goïi M laø trung ñieåm AE. Chứng minh: MC = MD. Câu 5: (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương và abc =1. CMR 3. 3. 3. a b c 3 + + ≥ (1+b)(1+c ) (1+ c)(1+a) (1+ a)(1+b) 4. ---------------------------Hết--------------------------Họ và tên thí sinh:...........................................Số báo danh:.............................................. Chữ kí của giám thị 1:.....................................Chữ kí của giám thị 2:................................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN VÀ ĐÀO TẠO BÁ KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN THƯỚC NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. Ý. Nội dung √ 2 x 2=1 − x. Vì. Điểm. nên. 0<a<1 Suy ra 1− 2 a+a2 a= . Ta 2 4. 0,5. 0,5. có 1. (2 a− 3)( √2 (2 a4 −2 a+3)−2 a2 0,25 ) A= 4 4 4 a − 4 a+6 − 4 a 3 0,25 a2 − a4 − a+ 2. √. 1 −a 1 −2 a+ a2 3 − − a+ 2 2 √2 1 −a a2 − 4 a+4 √2 − =− 2 2 √2. √ √. 2. ĐK. a ≠ ±b √3 . Từ. 0,25 0,25 0,25. giả thiết a, b là các 0,25. số hữu tỉ ta có:. a− 5 b √ 3 =7 −20 √ 3 a2 − 3 b2 a =7 a − 3 b2. suy ra và. 0,25. 2. 5 b √3 =20 √ 3 a2 − 3 b2 7 a= b 4. Từ đó suy ra. 7 49b 2 b=7 − 3 b2 4 16. ). b b2 ⇒ = ⇒b=4 4 16. (b. (. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> = 0 không thoả mãn). Lúc này a = 7. Ta thấy (x; y) = (0;. 0,5. 0) không phải là nghiệm của hệ đã cho. Chia cả hai vế. 0,5. của từng PT này ta được: ¿ ( x +1)( y +1)+ 8 xy=0 x y 1 + 2 =− 2 4 x +1 y +1 ¿{ ¿ 2. 2. 2. ⇔. ¿ 1 1 (x+ )( y + )+8=0 x y 1 1 1 + =− 1 1 4 x+ y+ x y ¿{ ¿ Đặt. 0,25. 1 x + =a x (*) 1 y + =b Thayya , b vào (*). 0,25. Giải a, b ta giải hệ ra pt ta với tìmẩnđược. 0,5. 0,25 0,25. tìm được b) = (4; - 2) HPT có (a; 4 nghiệm và (a; b) = (- 2; 4). (x; y) = 3. 1. ( 2+ √ 3 ;− 1 ) ; ( 2− √ 3 ; − 1 ) ; (−1 ; 2+ √3);(− 1; 2 − √ 3) 0,5 0< a≤ b ; giả sử. khi đó c=√ b 2+ a(a − b)≥ a ,. 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> hay. a−c≤0.. Lại có: c=√ b 2+ a(a − b)≤ b ,. nên b − c ≥ 0 . nên (a - c)(b - c) 0 suy ra Δ = 1 - (a - c)(b - c) > 0 Vậy pt có hai nghiệm phân biệt Ta có: (y + 2)x2 + 1= y2  (y + 2)x2 = y2 - 1 (1) Dễ thấy y -2 Nên (1)  x2 =. y. 2. 1. y 2. 0. 0,5. 0,5. 0,5 0,5 0,5. nên.   2  y  1  y 1  (I) 2. Mà với x  Z thì ( y2 - 1)  (y + 2) nên -3 ( y + 2) để x2 =. y. 2. 1. y2  y. Z.    1,  3,1,  5. kết hợp với (I) ta được: Vậy: (x, y) = (0, -1) 4. 1. Chứng minh: E; P;. 0,5. Q; C; F cùng nằm trên một đường tròn:. 0,5. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ta có QAE = 45o. (gt) và QBC = 45o (t/c hình vuông).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> A. B. M P. E. Q. D F. C. tứ giác ABEQ nội tiếp ABE + AQE = 2v mà ABE =1v AQE = 1v. Ta có AQE vuông ở Q có góc QAE = 45o  AQE vuông cân  AEQ = 45o. Ta lại có EAF = 45o(gt) và PDF = 45o  tứ giác APFD nội tiếp  APF + ADF = 2v mà ADF = 1v  APF =1v và ECF = 1v  . Từ uvw  E; P; Q; F; C cùng nằm trên đường tròn đường kính EF. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chứng minh: AB.PE 2. 0,5. = EB.PF. Xeùt hai tam giaùc. 0,5 0,5. vuoâng ABE coù: -Vì ABEQ nt  BAE =BQE (Cuøng.  ∠ BAE = ∠ PFE. chaén cung BE) -Vì QPEF nt  PQE =PEF (Cuøng chaén cung PE). 3.  ñpcm. Cm: SAEF = 2SAPQ. Theo cm treân thì AQE vuông cân ở Q AE = 2 2 √ AQ + QE = √ 2 AQ Vì tứ giác QPEF nt. 0,5.  PEF = AQP (cuøng. 0,5. phụ với góc PQF); Goùc QAP chung AQP~AEF SAEF AE = S AQP AQ. 2. ( ). 4. =. ( √ 2 )2 = 2 ñpcm. Chứng minh: MC =. MD. Chứng minh hai MAD = MBC vì. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> coù BC=AD; MBE = MEB = DAE; AM =BM Do a, b, c là các số dương và abc =1. Áp dụng BĐT cô - si cho ba số dương ta có:. 0,25. 0,25 3 a 1+c 1+b 3 a0,5 1+c 1+b 3 + + ≥3 . . = (1+b)(1+c ) 8 8 (1+b)(1+c ) 8 8. 5. 3. √. (1) Chứng minh tương tự: 3. b 1+c 1+a 3 b + + ≥ (1+a)(1+c ) 8 8 4. (2) 0,25. 2 c3 1+c 1+b 3 c + + ≥ (1+b)(1+c ) 8 8 4. (3). Cộng vế với vế của 0,25. (1); (2); (3) ta có:. 3. 3. 3. a b c 3 a+b+ c + + + ≥ (1+b)(1+c ) (1+ c)(1+a) (1+ a)(1+b) 4 2 0,25 Vì a+b +c ≥ 3 √3 abc=3.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> a3 b3 c3 3 + + ≥ (1+b)(1+c ) (1+ c)(1+a) (1+ a)(1+b) 4 0,25. Ghi chú: - Thí sinh trình bày đúng, đủ nội dung bài làm cho 20 điểm. - Điểm của toàn bài là tổng điểm thành phần và được làm tròn số đến 0,5đ. ……………………….. Hết …………………….

<span class='text_page_counter'>(10)</span>