de thi hsg tinh thanh hoa

<span class='text_page_counter'>(1)</span>đề thi học sinh giỏi m«n thi : to¸n (Thêi gian 150 phót ) Bµi 1: (3 ®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a.. §Ò sè 2. 4  x  x  2  x 2  6 x  11 (x-3)(x+3) -5 (x+3). b.. x-3  4 x+3. 4 x  1 4 1  x 4 1  x 2 3 c. Bµi 2: (4 ®). A. a. Cho biÓu thøc:. 2x  2 4x  4  2x  2 4x  4 x  2x  1  x . 2x  1. . 2x  1. b. T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: x3y+xy3-3x2-3y2 =17 c. T×m mäi cÆp sè nguyªn d¬ng (x; y) sao cho. x 4 +2 lµ sè nguyªn d¬ng. x 2 y+ 1. Bµi 3: (3 ®) a. Với a > 0 ; b > 0 cho trớc và x,y > 0 thay đổi sao cho : a b + =1 . Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất. x y b. Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n xyz =1. T×m GTNN cña biÓu thøc : E=. 1 1 1 + 3 + 3 . x ( y + z ) y ( z+ x) z ( x + y) 3. Bài 4: (2 đ) Cho tam giác vuông ABC (Â= 90 0) có đờng cao AH. Gọi trung điểm của BH lµ P. Trung ®iÓm cña AH lµ Q. Chøng minh : AP CQ. Bài 5: (3 đ) Cho đờng tròn (o) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đờng trßn c¸t c¸c c¹nh AB vµ AC theo thø tù t¹i M vµ N. 2 2 2 a. Chøng minh r»ng: MN  AM  AN  AM .AN NM AN  1 b. Chøng minh r»ng: MB NC. Bµi 6:(3 ®) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: a.. x 2 + y 2+ xy=1 x 3 + y 3=x +3 y. {. Bài 7:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 2 + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy. §¸p ¸n: Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau; 2 a. 4  x  x  2  x  6 x  11. đặt A = 4  x  x  2 ( A ³0). víi x ³ 1, y ³ 1. ;. b.. ¿ 2 x 2 − y 2 +xy + y −5 x+ 2=0 x2 + y 2 + x + y − 4=0 ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> A2 2  2 (4  x)( x  2) 2  (4  x)  ( x  2) 4  0  A 2 (1) 2. 2. §Æt B = x  6 x  11 ( x  3)  2 ³2 (2) §Ó A = B khi va chØ khi : 4-x = x-2  x 3 VËy nghiÖm ph¬ng tr×nh x = 3 (x-3)(x+3) -5 (x+3). b. (x+3). đặt. x-3 y x+3. x-3  4 x+3 (1). (2) . §K: x   3 hoÆc x ³3. y 2 ( x  3)( x  3). 2 Tõ (1) ta cã: y  5 y  4 0  y1 1; y2 4 Với y > 0 do đó x + 3 > 0  x ³3 2 Với y = 1 thay vòa (2) ta đợc: x  9 1  x  10. Do x > 3 nªn x  10 2 Với y = 4 thay vào (2) ta đợc: x  9 16  x 5 Do x ³3 nªn x = 5. VËy nghiÖm ph¬ng tr×nh lµ: x  10 ; x = 5 b.. 4. §Æt. 4. x  1 4 1  x 4 1  x 2 3 ; §K:  1 x 1 x  1 a (a ³0); 4 1  x b (b ³0). Ta cã: . 4. a 4 b 4 ab 3. 1 a 1 b a b a b   2 2 2 1 a 1 b a b  a  b 1   1   2 3 2 2 2. 3. a. b. Phải sảy ra đẳng thức khi a= b = 1 Do đó : x = 0 VËy nghiÖm ph¬ng tr×nh x = 0 A. Bµi 2: a. Rót gän biÓu thøc §K: x ³2 Ta bình phơng 2 vế ta đợc A2 . 2 x  4 x 2  16 x 16. x  x2  2x 1 A 2 x  1. 2x  2 4x  4  2x  2 4x  4 x  2x  1  x . .(2 x  1) . ( x  y ) 2  2 xy 17    xy 4. . 2x  1. 2x  2x  4 (2 x  1) 4 x  4 xx 1. b. ph¬ng tr×nh: x3y + xy3 - 3x2 - 3y2 = 17  (x2 + y2)(xy - 3) = 17 = 17.1 Do x,y nguyªn d¬ng nªn x2 + y2>1  x 2  y 2 17     xy  3 1. 2x  1. ( x  y ) 2 25   xy 4.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ⇔ ¿ x + y =5 xy=4 ¿ ¿ ¿ x+ y=−5 ¿ xy=4 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x=4 ¿ y=1 ¿ hoÆc ¿ ¿ x=1 ¿ ¿ y=4 ¿ ¿ ¿. ¿ ¿ ¿ x=1 x=− 4 x=4 KÕt luËn: y=4 hoÆc y=− 1 hoÆc y=1 hoÆc ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ x 4 +2 c. §Æt 2 = a Víi a lµ sè nguyªn d¬ng th× x y+ 1. ¿ x=−1 y=− 4 ¿{ ¿. x4 + 2 = a(x2y + 1)  x2(x2- ay) = a - 2 (1) XÐt 3 trêng hîp sau : TH1: NÕu a = 1 th× tõ (1) ta cã : x2(x2- y) = - 1 . x 2=1 1 − y=−1. {. {x=1 y=2. . TH2: NÕu a = 2 th× tõ (1) cã x2(x2- 2y) = 0, suy ra x2 = 2y nªn cã nghiÖm x = 2k, y = 2k2 víi k lµ sè nguyªn d¬ng TH3: NÕu a > 2 th× tõ (1), cã a – 2 > 0 vµ (a – 2) chia hÕt cho x2 nªn a – 2 ³ x2  a ³ x2 + 2 > x2 Từ đó  0 < x2- ay < x2- x2y  0. Điều này không xảy ra Vậy: Cặp số nguyên dơng (x; y) thoả mãn đề ra là : (1; 2) vµ (2k; 2k2) víi k lµ sè nguyªn d¬ng. Bµi 3: a. ¸p dông B§T Bu_ nhi_ a_ cèp_ xki ta cã : 2. x+ y=( √ x + √ y. hay. 2. ). a 2 + x. b y. 2. a b ≥ √x. +√ y . x y. (√( ) √( ) ) ( √. x+ y ≥ ( √ a+ √ b ). 2. 2. √).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> DÊu “=” x¶y ra khi :. √x = √ y a x. √ √. b y. x y x+ y = = = √ a+ √ b hay : √ a √ b √ a+ √b Tøc lµ : khi x=√ a ( √ a+ √ b ) ; y=√ b ( √ a+ √b ) VËy min (x+y) = ( √ a+ √ b ) 2 khi : x=√ a ( √ a+ √ b ) y=√ b ( √ a+ √b ). b. §Æt a = 1 , b = 1 , c = 1  abc = x. y. z. 1 xyz. =1.  x + y = c(a + b) y + z = a(b + c) x + z = b(c + a) E=. a2 b+c. +. b2 c+ a. +. c2 a+b a b+c. Dễ dàng chứng minh đợc Nh©n hai vÕ víi a + b + c > 0. +. b c+ a. c a+b. +. ³. 3 2. 3 a(a+ b+c ) b(a+ b+c ) c( a+b+ c) + + ³ 2 (a+b+c) b+ c c +a a+b 3 2 2 2 a+b+ c 3  a + b + c ³ ³ 3 ⋅ √ abc = 2 2 2 b+c c+ a a+b 3 E³ 2. . DÊu "=" x¶y ra  a = b = c = 1 VËy min E = 3 khi a = b = c = 1 2 Bµi 4:. A. I. Q. Gäi I lµ giao ®iÓm cña CQ vµ AP B Ta cã : CAH = ABH (1) ( 2 gãc cã c¹nh t¬ngP øngHvu«ng gãc) Hai tam gi¸c vu«ng CAH vµ ABH cã 1 gãc nhän b»ng nhau. AB BH = CA AH AB 2 BP AB BP ⇒ = ⇒ = (2) CA 2 AQ CA AQ Tõ (1) vµ (2) ⇒ Δ ABP ~ Δ CAQ (c.g.c) AP BP ⇒ = mµ BP =PH ⇒ AP = PH CQ AQ AQ QH CQ QH ⇒ Δ HCQ ~ ΔHAP (c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn t¬ng øng tØ lÖ) ⇒ ΔCAH ~ Δ ABH ⇒. ⇒. HAP = HCQ. Xét tam giác IQA và HQC có : Q1 = Q2 (đối đỉnh) HAP = HCQ ( chøng minh trªn) ⇒ Δ IQA ~ Δ HQC⇒. AIQ = CHQ = 900. C.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A. hay : AI CQ (®pcm) Bµi 5: a. §Æt AB = AC = BC = a; AM = x; AN = y; MN = z Hạ đờng cao NH  AB ( H  AB ). H M. 0  Trong tam gi¸c vu«ng ANH ( H 90 ) 0  Cã A 60 . HM  x . ANH 300.  AH . N. K. E. D. y y 3 NH  2 2;. y 2 ; theo định lý Py-ta-go ta có:. o. r. B. C. y 2 y 3 2 ) ( ) x 2  y 2  xy 2 2 2 2 2 MN  AM  AN  AM . AN Hay (®pcm) MN 2 HM 2  NH 2 ( x . b.Ta cã: MD = MK; NE = NK (t/c tiÕp tuyÕn)  AM  AN  MN  AD  AE a ;. x y AM N  1   1 Ta phải c/m: BM CN ; do đó ta có: a  x a  y . x( x  z )  y( y  z ) ( x  z )( y  z )  x 2  y 2 z 2 ( c/m c©u a). x y  1 yz xz. x 2  xz  y 2  yz  xy  xz  zy  z 2. . AM N  1 VËy BM CN (®pcm). Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2. 2. x + y +xy=1(1) 3 3 x + y =x +3 y (2). {. Tõ (1) ta cã PT (2) cã d¹ng : x 3+ y3 = ( x+ 3 y)( x 2 + y 2+ xy ) ⇔ x 3+ y3 ¿ x 3+xy 2+ x2 y +3 x2 y +3 y 3+ 3 xy 2 ⇔ 4 x 2 y+ 4 xy 2 +2 y 3=0 ⇔ 2 y (2 x2 +2 xy + y 2 )=0 2 x+ y ¿ 2 x +¿=0 ⇔2 y¿ y=0 ¿ y =o y=o x+ y ¿ 2=0 x =0 x=0 ¿ ⇔ ⇔ ⇔ ¿ y=− x y=0 x 2 +¿ ¿ ¿ ¿ ¿ + Với y = 0 thay vào (1) ta đợc x2=1 ⇔ x ± 1. {. {. + Víi x = 0, y = 0 thay vµo (1) kh«ng tháa m·n ⇒ x= 0, y = 0 lo¹i VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm (x,y) lµ (1,0) vµ (-1,0) b. Gi¶i hÖ:. ¿ 2 x 2 + xy − y 2 −5 x+ y − 2=0 (1) x 2+ y 2+ x + y − 4=0(2) ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tõ (1)  2x2 + (y - 5)x - y2 + y + 2 = 0. * Víi: x = 2 - y, ta cã hÖ:. y −1 ¿2 ¿ ⇒ ¿ 5 − y −3 ( y − 1) x= =2 − y 4 ¿ 5− y +3( y −1) y +1 x= = 4 2 ¿ ¿ y − 5 ¿2 − 8(− y 2+ y+ 2)=9 ¿ ¿ ¿ ¿ Δ x =¿ ¿ ¿ x=2− y x 2+ y 2 + x + y −4=0 ¿ ⇔ ¿ x=2− y y 2 − 2 y +1=0 ⇔ x= y =1 ¿{ ¿. *Víi x= y+ 1 , ta cã hÖ: 2. ¿ y +1 ¿ x= 2 x 2+ y 2 + x + y −4=0 ¿ ⇔ ¿ y=2 x − 1 5 x2 − x −4=0 ⇒ ¿ 4 x=− 5 13 y=− 5 ¿ ¿{ ¿ 4 13 VËy hÖ cã 2 nghiÖm: (1;1) vµ − ; − 5 5 1 1 2 1 1 1 1 + − = − + − Bµi 7: Ta cã 2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy 1+ x 1+ xy 1+ y 1+xy. (. ). (. 2 = xy − x2. xy − y 2 (1+ x )(1+ xy) (1+ y 2)(1+ xy). =. +. x ( y − x )(1+ y 2)+ y (x − y )(1+ x2 ) ( 1+ x2 )(1+ y 2)(1+ xy). )(. ).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> =. =. ( y − x) [ x (1+ y 2) − y (1+ x 2 ) ] (1+ x 2 )(1+ y 2)(1+ xy) y − x ¿2 ( xy −1) ¿ ¿ ( y − x) [ xy ( y − x )−( y − x) ] 2. 2. (1+ x )(1+ y )(1+ xy). (V× x ³ 1, y ³ 1). =. ( y − x)( x +xy 2 − y − yx2 ) (1+ x 2)(1+ y 2)(1+ xy). =¿.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>