De Thi HSG cap truong K11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Sở GD & ĐT Thanh Hóa Trường THPT 4 Thọ Xuân ĐỀ THI HỌC HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 11 Năm học 2011 - 2012. Trườ ng THP T4 Thọ Xuân. Tổ: Toán. Ma trận đề thi HSG cấp trườ ng môn Toán 11 Năm học 20112012. Thôn Vận g Dụng Hiểu TNK Tự TNK Tự TNK Tự Q Luận Q Luận Q Luận Hàm số LG, PTLG Chủ Nhận Đề Biết. Tổng. 1. 1 2,0. Tổ hợp – xác suất – cấp số cộng & cấp số nhân Giới hạn của dãy số & hàm số. 1. Hình học không gian. 1. 2 2,0. 1. Tổng Cộng. 4 4,0. 1 2,0. 6,0 1. 2,0 2. 2,0. 4,0 3. 4,0 1. Đạo hàm & ứng dụng. 2,0. 6,0 2. 2,0 4. 7 7,0. 2,0 11. 13,0. 20,0.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 11 NĂM 2011 – 2012 Thời gian: 120 phút Câu 1 (2,0đ). Giải phương trình 9 cos2x  3sin 2x  5 2(x  ) 3. 4 Câu 2: (2,0đ) Khai triển biểu thức. P( x)  1  2 x . n. 2 n ta được P( x) a0  a1 x  a2 x  ...  an x. Tìm hệ số a6 biết a0  a1  a2 71 Câu 3: (4,0đ) 1) Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. 2) Một tổ học sinh có 6 nam và 5 nữ. Tìm xác suất để chọn ra 4 học sinh đi lao động sao cho trong đó có không quá 2 nữ. Câu 4. (6,0đ) lim. 1  2 x  3 1  3x x2. 1) Tính giới hạn sau: L = x 0 1  1 1 1  Sn     ...   n  1 2 3 5 2n  1  2n  1  . Tính limSn 2) Cho 3 3) Cho hàm số y  x  3 x. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm M ( 1; 2). Câu 5. (2,0đ) Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian sao cho MA2  MB 2  MC 2  MD2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 6 (4,0đ) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a ( a  0 ) và tam . giác BCD cân tại D với DC 1) Chứng minh AD  BC. a 5 2 ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính góc giữa hai đường thẳng AG và CD theo a biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300.. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 11 NĂM 2011 – 2012 CÂU. 1. LỜI GIẢI VÀ ĐÁP SỐ. ĐIỂM. PT  cos2x  3sin 2x  5(cos x  sinx) 3  (cos 2 x  sin 2 x)  3(1  2sin x.cos x)  5(cos x  sinx) 0  (cos x  sinx)( 2cos x  4sin x  5) 0  cos x  sinx 0 ( 2cos x  4sin x  5 0 VN)   t anx  1  x   k (k  Z) 4. 1 2x. n. 0,5đ 0,5đ 0,5đ. Cn0  Cn1 .( 2 x)  Cn2 .( 2 x)2  ...  Cnn .(  2 x) n. 0,5đ 0,5đ. 0 1 2 2 6 6 Khi đó a0 Cn , a1 Cn .(  2) , a2 Cn .( 2) và a6 Cn .( 2). 2. 0,5đ. 0 1 2 Mặt khác a0  a1  a2 71  Cn  2Cn  4Cn 71.  1  2n  2n(n  1) 71  2n 2  4n  70 0  n 7 (t / m)   n  5 (l ) 6. 0,5đ 0,5đ. 6. Vậy a6 C7 .( 2) 448 Xét 2 trường hợp 5. 3.1. TH1: Chữ số đầu là số 4. Khi đó 5 chữ số đằng sau có A7 cách chọn TH2: chữ số 4 không đứng ở vị trí đầu. Khi đó có 5 vị trí cho số 4. 4 Chữ số đầu có 6 cách chọn và 4 chữ số còn lại có A6 cách chọn. 4 Vậy TH2 có 5.6.A6 cách chọn. 5 7. 4 6. Vật số các số tự nhiên TMYC đầu bài là: A  5.6. A 13320. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4. 3.2. Phép thử: ‘‘lấy ngẫu nhiên 4 sinh viên trong tổ” n    C11 330 Gọi A: ‘‘Lấy 4 HS trong đó có không quá 2 nữ” Có 3 trường hợp xảy ra TH1: Lấy cả 4 HS nam có C64 cách chọn TH2: Lấy 4 HS trong đó có 1 nữ và 3 nam có C15 .C 36 cách TH3: Lấy 4 HS trong đó có 2nữ và 2 nam có C25 .C 26 cách. 0,5đ 0,5đ 0,5đ. n  A  C64  C51.C63  C52 .C62 265. P  A . Vậy xác suất xuất hiện biến cố A là:. 1  2 x  3 1  3x 1  2 x  ( x  1) ( x 1)  3 1  3 x  lim  lim x 0 x 0 x2 x2 x2. 0,5đ. lim. x2 x3  3x 2  lim x 2 ( 1  2 x  x  1) x  0 x 2 [( x  1) 2  ( x  1) 3 1  3 x  3 (1  3x) 2 ]. 1,0đ. x 0. 1 3  1  2 2. Sn  4.2. 1 2 n. 0,5đ. . 3  1 5 . 3  ...  2n  1 . . 2n  1 . 2n  1  1 2 n. 2n  1  1 2  2 2 n Suy ra : Đường thẳng d đi qua điểm M(- 1; 2), hệ số góc k có phương trình là: y k ( x  1)  2 Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  hệ phương trình limSn lim. 4.3. 0,5đ. lim x 0. 4.1. n  A  265 53   n    330 66. sau có nghiệm:. 3  x  3 x k ( x  1)  2  2 3 x  3 k. 1,0đ. 1,0đ 0,5đ. 0,5đ. 1 9 x  , k  2 4  y 2   y  9 x  1 4 4 Vậy các phương trình tiếp tuyến cần lập là: . 0,5đ. Giải hệ tìm được : x  1, k 0 hoặc. 0,5đ. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có:.   2  2 2 2 MA2  MB 2  MC 2  MD2  MA  MB  MC  MD   2   2   2 2  MG  GA  MG  GB  MG  GC  MG  GD     4 MG 2  2 MG ( GA  GB  GC  GD)  GA2  GB 2  GC 2  GD2. . 5.  .  .  . 0.5đ. . 4 MG 2  GA2  GB 2  GC 2  GD2 GA2  GB 2  GC 2  GD2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M G. 2 2 2 2 Vậy: MA  MB  MC  MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của tứ diện.. 0.5đ 0.5đ 0.5đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 6. 1) CM : AD  BC Gọi M là trung điểm BC, ta có : ABC đều nên AM  BC . BCD cân nên DM  BC  BC  ( AMD)  BC  AD (đpcm). 1,5đ. A. D. C G. M. N. B. 2) Tính góc giữa AG và CD. -Ta có MA và MD cùng  BC nên góc giữa 2 mp (ABC) và (BCD) bằng góc giữa MA và MD .  Góc giữa MA và MD bằng 300 -Trong MCD kẻ GN / / CD , nối AN. Thì góc giữa AG và CD bằng góc giữa AG và GN. *TH1 : Góc AMD bằng 300. 1 a  MG  MD  3 3. - BCD cân tại D nên tính được MD a - ABC đều cạnh a nên. MA . a 3 2. -Áp dụng định lí cosin cho AMG , ta tính được. 0,5đ. 0,5đ AG . a 13 6 .. 1 a 5 GN  CD  3 6 . ANC có - MCD có a a 7 NC  ; AC a; C 600  AN  3 3 AGN có AN . a 7 a 5 a 13 ; GN  ; AG  3 6 6. 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> cos G  Áp dụng hệ quả định lí cosin tính được 5 cos  65 Gọi góc ( AG; CD)  thì. 5 65 .. 0,5đ. * TH2 : Góc AMD bằng 1500 cos . Hoàn toàn tương tự tính được : góc ( AG; CD)  thì 5 26 cos  cos  65 hoặc 7 6 Vậy góc ( AG; CD)  t/m :. 26 7 6. 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>