bai tap gioi han

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÀI TẬP CHƯƠNG GIỚI HẠN A/ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I. Dãy số có giới hạn 0 Bài 1: Cho hai dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu |un| vn và limvn=0 thì limun=0. Vận dụng: Chứng minh rằng các dãy số sau đây có giới hạn 0: sin n 1) ; n.   1 2). n. n 5. ;. 3). 1 ; n!. n.  1 sin n 2  cosn  5n 8) n ; 9) ; 3 1 23 n. cosn 1  cosn 2 n  sin 2n ; 6) ; 7) 2 ; 2n+1 n n n n 1 n n n n  cos sin   1 1 5 ; 12)u (0,99) n ; 13) u  5 . 10) n 1  n 1 ; 11) n n 2 3 (0,01) n n n n. 4). sin n ; n 5. 5).  1  1 1 a) lim    ...  ; 3 3 3 n  1 n  2 n  n   Bài 2: Chứng minh rằng :.  1 3 2n  1  b) lim  . ...  0. 2n  2 4. II. Dãy số có giới hạn hữu hạn Bài 1: Tìm các giới hạn sau: 1) lim. 2n ; 2n  1. n 1 ; 2n  1. 2) lim. 3) lim. 2n 2 ; n 2 1. 4) lim. 1 n2 ; 2  3n 2. 5) lim. n 2  2n  3 . 2(n  1) 2. Bài 2: Tính các giới hạn sau 3n 2  5n  4 ; 2  n2  2n 3 1  5n 2  5) lim  2  ;  2n  3 5n  1 . 6  3n  n 2 ; 3n 2  5  n3 3n 2  6) lim  2  ;  n  1 3n  1 . 1) lim. 9) lim. 2) lim. n 3  n 2 sin n  1 ; 2n 4  n 2  7. 2n 2  1 13) lim ; 1  3n 2 (2n  1)(n  2) 17)lim ; 2n 2  3n 1 21)lim. 2 n 3  3n  5 7n 2  6n  9. 10) lim. 1  4n  9n 2 ; 1  2n. n 6  3n 2  3 14) lim ; 2n 6  n 5  2 5n 2  5n  1 18) lim ; (5n  2)(n  4) 22)lim. 1 3 n3  n 2  1 ; 2n  3. 2n 3  4n 2  3n  7 ; n 3  7n  5 n2  n  3 7) lim 3 ; n  3n. 2n 5  6n  9 ; 1  3n 5  2n 2  n  2 8) lim ; 3n 4  5. 3) lim. 11) lim. 2n 2  n  4 2n 4  n 2  1. 4) lim. ;. 12) lim. 4n  1 ; n 1 (n 2  n)(2n  1) 19)lim ; n 3  3n  1. n n1 ; 3n 2  2 2n n  1 20)lim 2 ; n n 3. 15) lim. 23)lim. n 4  2n  3 ;  2n 2  3. 16) lim. 3n n 2  n  2 ; n 2  n 1. 24)lim. n2  3  3. 4n 2  1. 27n 3  n  3. .. Bài 3: Tính các giới hạn sau: 1) lim. 1  2  ...  n ; n 2 1. 4) lim.  2  4  ...  2n  2) lim   n ; n2  . 1  2  3  4  5  ...  2n 2. 2. n 1  4n  1. ;. 5) lim. 12  22  32  ...  n 2 ;  n2  n   n  2. 3) lim. n3 ; 12  22  32  ...  n 2. 6) lim. 2  4  6  ...  2n ; 1  3  5  ...   2n  1.  1  1  1 1  1 1 (n  3)! 7) lim    ...    ...  ;  ; 8) lim   ; 9) lim 1.2 2.3 n n  1 1.2.3 2.3.4 n(n  1)(n  2) 2(n  1)!  (n  2)!         3 3 3    2  1 3  1 n  1 1 1  1  1   1 1   10) lim  3 . 3 ... 3  ; 11) lim  1    1   ...  1  12) lim  1  2   1  2  ...  1  2  ; ;  3   6   n  n  1   2  3   n   2 1 3  1 n  1     2  12  22  32  ...  n 2 12  32  ...  (2n  1)2 1   1  1  13) lim 2 2 ; 14) lim ; 15) lim  1    1   ....  1  . 2 2 2 2 2 2  4  ...  (2n) 2  4  ...  (2n)  4   9    n  1 . Bài 4: Tính các giới hạn sau:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> n   5 2 n  1) lim     ;      3n    n n 1 3 4 5) lim 2n ; 2  10.3n  7 7.5n  2.7n 9)lim n ; 5  5.7n ( 3) n  5n 13)lim ( 3)n 1  5n  1. 2) lim. 1  7 n 2 ; 3  7n. 3) lim. 7.2n  4n ; 2.3n  4n. 4) lim. a n  bn 2n  3n 6) lim n ;  a, b  0  ; 7)lim n a  bn 2.3  5.2n 7.3n  2.6n ( 2) n  5n 10)lim n ; 11) lim ; 5.3  5.6n 3n 1  5n 1 2 2  3n  4 n (  3) n 1  5n 2 14)lim n n 1 n 1 ; 15)lim n 1 n 1 ; 2 3 4 3 5. 5.2 n  3n ; 2n 1  3n 1. 3.5n  2.3n 8)lim n ; 5  5.3n 4.3n  7 n 1 12) lim ; 2.5n  7n 5n 1  7 n 2  1 16)lim n 1 n 1 . 3  7  3.2n. Bài 5: Tính các giới hạn sau: 1) lim. . 5) lim n. . n2  n  n ;. . n 2 1 . . n2  1 ;. 1. 7) lim. n. . n 1 . 3n 2  1  n. 2) lim. n 1. . 6) lim( n 2  n . ;. 8) lim. . 3. n2  1. ;. n 2  1);. . n 3  2n 2  n ;. 2n 2 1  n 2  1 ; n 1. 3) lim. 7) lim n  1( n  2  9) lim. . 3. n );. . n 2  n3  n .. III. Cấp số nhân lùi vô hạn Đối với cấp số nhân lùi vô hạn, chú ý các công thức sau:. u S 1 1 q . 1. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: un u1q n  1 , n  N *. 2. Công thức của số hạng tổng quát: . Vận dụng các công thức này và biến đổi chúng một cách khéo léo, linh hoạt để giải một số bài tập sau: 2 2 Bài 1: Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn (un), biết tổng của nó bằng 2  1 và u2  2 .. 2 3. Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội Bài 3: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, 3 hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là 4 và số hạng đầu là một số dương. Bài4: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số: a)2,131313…; b)34,121212…; c)0,222…; d)0,393939…; e)0,27323232… Bài 5: Tính các giới hạn sau q. . 2. 3. 1) lim 1  0,9   0,9    0,9   ...   0,9 . n. ;.    3) lim  sin   sin 2   ...  sin n   ,     k  ; 2   2 n 1  a  a  ...  a 5) lim  a  1, b  1 . 1  b  b 2  ...  b n. n 1  1 1 1  1   2) lim  1     ...  n  1  ;  3 9 27  3   5 2n  1  1 3 4) lim   2  3  ...  n  ; 2 2  2 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> IV. Dãy số có giới hạn vô cực Bài 1: Tính các giới hạn sau 1) lim  3n 2  101n  51 ;. 2) lim   2n 3  3n  5  ;. 5) lim 2n 3  n 2  2;. 6) lim 3 1  2n  n 3 ;. 7) lim 3 7n 2  n 3 ;. 10) lim 2.3n  4n ;. 11) lim. . . n. 9) lim   2   4.3n 1 ; 2n 4  n 2  7 13) lim ; 3n  5 17) lim. 3n  11 ; 1  7.2n. 14) lim. 2n 2  15n  11. 3) lim   n 4  50n  11 ;. 4) lim 5n 2  3n  7; n. 8) lim  1, 001 ;. 3n  n 3 ; 2n  15. n 5  n 4  3n  2 ; 4n 3  6n 2  9. 16) lim.  2n 1  1  3n  ;. 3. ;. 3n 2  n  3 2n 1  3.5n  3 18) lim ; 3.2n  7.4n. n 6  7n 3  5n  8 15) lim ; n  12. 12) lim. 19) lim. n 3  7n 2  5 101 20)lim n n ; 7.2  5. 1 ; n  n2 2. 3. B/ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I. Tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa Bài 1: Tính các giới hạn sau: x 2  3x  2 ; x  1 x 1. 1) lim. 5) lim x 2. x 1.  x  2. ; 2. x 2  5x  4 ; x   1 x 2  3x  2. 3) lim. x 3 1 ; x   x 2  1. 7) lim. 2) lim. 6) lim. x 2  3x  4 ; x  1 x 1. 4) lim. 3 ; x   2x  1. 8) lim  x 2  x  1 .. x 1. 1 ; 5 x. x  . II. Các phương pháp tìm giới hạn của hàm số 1-Tìm giới hạn dạng xác định Bài 2: Tính các giới hạn sau: 2. 1). lim ( x  2 x  1). x  1. 2). lim( x  2 x  1) x 1. lim  3  4 x . x 1 lim x 1 2 x  1 4) ;. 2. 3) x 3. 1 x  x3  1 x 6) lim x  1   ; 7) lim ; 8) lim ; x 0 x 0 x  1 (2x  1)(x 4  3) 1  x 1 x 0 2-Tìm giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số 1. x2  x 1 lim ; 5 5) x  1 2 x  3. x 4  3x  1 10) lim . x 2 2x 2  1. 2. 9) lim x  4 ; x 3. Bài 3: Tính các giới hạn sau x2  1 ; x1 x  1. 1) lim. x2  x ; x 1 x1. 5) lim. 2x 2  3x  1 ; x 1 x3  x 2  x 1. 9) lim. x 3 ; 2 x  3 x  2x  15. 2) lim. 3   1 6) lim   ; x 1 1  x 1  x3   x 3  x 2  2x  8 10) lim ; x 2 x 2  3x  2. 3) lim. x 2  3x  2 2. ;.  x  2 3  x  2  8 ; 7) lim x 2. x 0. x. x4  1 ; x  1 x 2  2x  3. 4) lim. 3. 8) lim. 2  x  h   2x 3 h. h 0. x 3  4x 2  4x  3 8x 3  1 ; 12) lim ; 2 1 x 3 x 2  3x x  6x  5x  1. 11) lim. 2. ;.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2x 4  5x 3  3x 2  x  1 ; x 1 3x 4  8x 3  6x 2  1 x 3  3x  9x  2 16) lim ; x 2 x3  x  6 x  x 2  ...  x n  n 19) lim ; x 1 x 1. x 2  5x  6 ; x  3 x 2  8x  15  1  x   1  2x   1  3x   1 ; 17) lim x 0 x m x 1 20) lim n ; x 1 x  1. x 3  3x  2 ; x  1 x 4  4x  3 x100  2x  1 18) lim 50 ; x 1 x  2x  1 n  m 21) lim   m x 1 1  x 1 xn . xn  an 22) lim ; x a x  a. x 23) lim. 24) lim. 13) lim. 14) lim. x 4.  a n   n.a n  1  x  a .  x  a. x a. 3 x  1 ; x 2  2. 25) lim. n. 2. 15) lim.  ; . (1  mx) n  (1  nx) m ; x 0 x2. ;. 1  sin 2x  cos2x ; x  0 1  sin 2x  cos2x.  2  28) lim   c otx  . x  0 sin 2x  . 26) lim. 0 3-Tìm giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai. Bài 4: Tính các giới hạn sau 1) lim. x 4  2 ; x. 2) lim. x 3  2 ; x 1. 3) lim. 5) lim. x 2 2 ; x 6. 6) lim. x 4  3 ; x 2  25. 7) lim. 9) lim.  x 2  2x  1 ; x2  x. 10) lim. x 0. x 6. x 1. x1. x 5. 4  x2  2. 14) lim. 4x  5  3x  5 17) lim ; x1 x 3  2. x  1  3x  5 18) lim ; x 3 2x  3  x  6. x 7  3 ; x2  4. 21) lim x 2. 2. 9 x  3. x 2  1 ; x 5  2. 22) lim. x  1. x2 5  3 ; x 2. 8) lim. x 3 1  1 ; x2  x. 1  x  1  x ; 12) lim. x 2  2 ; x 7  3. 1 x 0 x. x 1  1 13) lim ; x 0 3  2x  9. x1. 4) lim. x 2. 2x  1  x ; x 1. x 1. 2 x 2 ; x  7 x 2  49. ;. x 1. x 0. 11) lim. . 15) lim. x  2  2x ; x  1 3 x. x 2. 23) lim. x  2x  1 ; x  1 x 2  12x  11. . x 2. 16) lim. x2  1. x1. 2x  2  3x  1 ; x1. 24) lim x 3. x2  a2. x 2 1  1 20) lim ; x 0 x. x  x  1 1. 19) lim. x  a  x a. x a. x 2  2x  6  x 2  2x  6 . x 2  4x  3. 0 4-Tìm giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao. Bài 5: Tính các giới hạn sau 3 3 4x  2 1 x  1 1) lim ; 2) lim ; x 2 x 0 x 2 x 3. 5) lim x 1. 2x  1  3 x ; x1. 3. 6) lim x 0. 5. x  1  3 x 1 ; 2x  1  x  1. 4. 5x  1  1 ; x 0 x n 1 x  1 13) lim ; x 0 x. 4x  3  1 ; x1 x1 m x1 14) lim n ; x 1 x1. 9) lim. 10) lim. 3. 3) lim x 1. 2x  1  1 ; x 1 3. 7) lim. x  1. 3. 4) lim. x1 3. x  x 2  x 1 ; x 1. 8) lim x 8. x1 ; x  2 1 9  2x  5 ; 3 x 2. 7 4x  3  1 2 x  1 ; 12) lim ; x 1 x 1 x 1 x 1 (1  x )(1  3 x )...(1  n x ) 15) lim . (1  x) n  1 4. 11) lim. 0 5-Tính giới hạn dạng 0 của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng. Bài 6: Tính các giới hạn sau 2 1 x  x 0 x. 1) lim. 3. 8 x. 4. ;. 2) lim x1. 2x  1  5 x  2 ; x 1. 3) lim x1. 2x  2  3 7x  1 ; x 1. 4) lim x 0. 1  2x  3 1  3x ; x2. ;.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x 6) lim. 2 5  x3  3 x 2  7 5) lim ; x 1 x2  1. x m 1  x n 1  x  1 9) lim ; x 0 x. 2 x  1. 3 5 x  3 x 1. 2. x 1.  2009  7 1  2x  2009. x 0. x  2  3 x  20 8) lim ; 4 x 7 x 9  2 11) lim. 2. 3. ;. x 0. 2x  1  x 2  3x  1 10) lim 3 . x 1 x  2  x 2  x 1. 3x  2  x  2 ; x2  x  2. 12) lim x 2. 1  2x 3 1  3x 3 1  4x  1 ; x. 7) lim. 13) lim x 1. 4 x  5  3x 1  5 x 1.  6-Tính giới hạn dạng  của hàm số. Bài 7: Tính các giới hạn sau. .  3x2  2 x  1 3 x 2  x  1 2) lim   x   2 x  1 4x2 .  6 x5  7x3  4 x  3 1) lim ; x   8 x 5  5 x 4  2 x 2  1. 1 x 4) lim. 100.  2  x. 100. 100.  ...   100  x . ;. x 100  10 x 10  100. x  . 2.  x  1  x  2   x  3   x  4   x  5  ; 5 x    5 x  1. 7) lim. 4x  1. 10) lim. 4x2  3. x  . ;. 11) lim. x 6  3x ; 2x 2 1. 18) lim. x 2  7x 12 ; 3 x  17. x  . x x2  1. x  . 14) lim. x  . 2x2  x  1. 5) lim. x  . 8) lim. x  .   ;.  2 x  3  4 x  7 .  3x. 2. . 2x  x 1. 3. . ;. 4x2 1  x  2. x  . ;. x  x2  x. 9) lim. x  . x 6  3x ; 2x 2  1. 16) lim. 17) lim. 19) lim. x4  4 ; x 4. x 5  x  11 20) lim ; x   2x 2  x  1. 21) lim. x2  x  5 ; 2x  1. 25) lim. x  . x  x2  x 22) lim ; x   x  10. 2x 4  x 2  1 ; 1  2x. 23) lim. x  . 24) lim. x  . ;. ;. x2  4x  5  2x 1 3x 2  2 x  7  x. x  . 15) lim. x  . x2 1. 3x . 13) lim. x 4  x 3  11 ; x   2x  7. ;. x 2  2 x  3x. 6) lim. 5x  3 1  x 12) lim ; x   1 x. ;. 8x 2  5 x  2. x  . .  1 10 x 2  9. x  x2 1. x  x2  2. 3) lim. ;. 2x 2  x  10 ; x   9  3x 3. x  . 3x  1 1  x  4x 2  x. ;. x  x 2 1 . x   x. 7-Tính giới hạn dạng    của hàm số Bài 8: Tính các giới hạn sau 1) lim. x  . . 10) lim. . 13) lim. . 3. n. x  . . .  3x  x  1  x 3  ; 6) lim  x  2x  4  x  2x  4  ; 9) lim . x 2  x 1  x ;. x  . x  . 2. 2. x  . x 2  2x ; 11) lim x( x 2  2x  2 x 2  x  x); x  . . . 3) lim. 2. (x  a1 )(x  a 2 )...(x  a n )  x ; 14) lim. . 19) lim x 2. x  . x2  4 ;. x 3  3x . . 4x 2  4x  1 ;. 16) lim 2x  5  x  . x  . . x2  x . x  . x  . 2) lim. 3x 2  x  1  x 3 ;. x  . x  . x ;. .  7) lim  4) lim. x  .  5) lim  8) lim . . x 1 . 3x 4  5 . . 3x 4  2 ;. x  . . x x .  20) lim x . 17) lim x x  . x  . . x ;. . 4x 2  9  2x ;. . x 2 1  x  1 ;. . 2x 2 1  x ;. x  12) lim x  . . 18) lim x x  . . x 2  2x  x  2 x 2  x ;. x 2  7x  4 ;. n.  . x2  1  x  x2  1.  x  a   x  b . . . xn. x  . 15) lim. . x 2  8x  4 . . x ;. . x 2 1  x ; 21) lim. x  . . 3. . x 3 1  x .. 8-Tính giới hạn dạng 0. của hàm số Bài 9: Tính các giới hạn sau 1) lim  x  2  x 2. x ; x 4 2. 2) lim   x 3  1 x    1. x ; x 1 2. 3) lim  x  2  x  . x1 ; x3  x. 4) lim  x  1 x  . 2x  1 ; x x 2 3. n. ;.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3x  1 ; x 3 1. 5) lim  1  2x  x  . 6) lim x x  . 2x 3  x ; x5  x 2  3. 7) lim x 2. 3.  x  2. 2. x 4 . 4 x. III. Giới hạn một bên Bài 1: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau 1 1 a) lim x  1; b) lim 5  x  2x ; c) lim ; d) lim . x 1 x 5 x  23 x  3 x 1 x  3 2 2 x 2 x 4 x x  7x  12 x  3x  2 1) lim2: ; giới 2) lim ; 4) lim  ; Bài Tính các hạn sau ; 3) xlim   2 x  0 x  x  2  3 x    1 x 2 x 9 x x5  x 4. . 5) lim  x   2. 9) lim x 2. 3x  6 ; x 2. 6) lim  x    2. x2  4. x. 2. . 1  2  x . 3x  6 x 2  3x  2 ; 7) lim  ; x    1 x 2 x 1. ; 10) lim. x3  1 x2  1. x 1. ; 11) lim x 1.   1víi x  0  d  x  0 víi x 0 1 víi x  0 . Bài 3: Gọi d là hàm dấu:. 8) lim  x    1. 1 x  x  1 x 2  x3. . Tìm. x 2  3x  2 ; x 1. 9  x2 ; 12) lim x   3 2x 2  7x  3. lim d  x  , lim d  x  vµ lim d  x . x 0. x 0. x 0. (nếu có).. 3.  x víi x<-1 f  x   2 f  x  , lim f  x  vµ lim f  x  2x  3 víi x  1 . Tìm xlim x 1  1 x 1 Bài 4: Cho hàm số (nếu có). 2 x  1 víi x -2 f  x   lim  f  x  , lim  f  x  vµ lim f  x  2x 2  1 víi x   2 x  2  x   2  x   2   Bài 5: Cho hàm số . Tìm (nếu có). 2 x  2x  3 víi x 2 f  x   lim f x , lim f x vµ lim f  x  4x  3 víi x  2 . Tìm x 2   x 2   x 2 Bài 6: Cho hàm số (nếu có).  9  x 2 víi -3 x<3  f  x  1 víi x 3  2 f  x  , lim f  x  vµ lim f  x   x  9 víi x  3 . Tìm xlim x 3  3 x 3 Bài 7: Cho hàm số (nếu có). 2  2x  3 víi x 1  5  f  x  6-5x víi 1<x<3  x-3  2 víi x 3  x  9. Bài 8: Tìm giới hạn một bên của hàm số . . khi x  1 vµ x  3 . IV. Một vài qui tắc tìm giới hạn Bài1: 1) lim Tìm 3x 3 các 5x 2giới  7  hạn ; sau2) lim 2x 2  3x  12; x  . x  . 1 ; x    2x  x  3x  5. 4) lim. 3. 5) lim 3x 2  5x;. 2. x  . Bài 2: Tìm các giới hạn sau 2x  1 ; x 2 x  2 x2  3 5) lim 3 ; x 0 x  x2. 1) lim. 2) lim x 2. 6) lim x 2. 2x  1 ; x 2 2 x.  x  2. Bài 3: Tìm các giới hạn sau. 2. ;. 3) lim 3 1000  x 3 ; x  . 6) lim 3 x 2  3x 3 ;. 1 1  3) lim   2  ; x 0 x x   1  2x 2 7) lim ; x 3 x 3. x  . 1   1 4) lim   2 ; x 2  x  2 x  4 x2  4 8) lim . x 2 x 2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> x3  5 x4  x ; 2) lim ; x   x 2  1 x    1  2x. 1) lim. 2x 4  x  1 ; x   x 2  x  1. 3) lim. x 2  5x  2 . x    2 | x | 1. 4) lim. Bài 4: Tìm các giới hạn sau  1 2x  3  5 1 4x 4  3  1 1 1) lim  . ; 2)lim ; 3)lim  . ; 4) lim .    2 3 2  x1 x  1 x  1 x 2  3x  2 x1 x x    2  2x  3x  2 2x  3 3 x  1   x  3          . V. Hàm số liên tục tại một điểm Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước x3  1 1)f  x  x  x  3 vµ g  x   2 x  1 tại điểm x 0  . 3.  x 2  3x  2 víi x 2  2)f  x   x  2 t¹i ®iÓm x=2; 1 víi x=2  1  víi x 0 4)f  x   x t¹i ®iÓm x=0; 0 víi x=1.  x3  1 víi x 1  3)f  x   x  1 2 víi x=1 . t¹i ®iÓm x=1;. 5)f  x  | x | t¹i ®iÓm x=0;. 1  1  x víi x 0  x 6)f  x   t¹i ®iÓm x=0; 1 víi x=0  2  x2  4 víi x -2  8)f  x   x  2 t¹i ®iÓm x=-2.  4 víi x=-2 . x 2  1 víi x  1  7)f  x   1 víi x=-1  2. t¹i ®iÓm x=-1;. Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1 x  a víi x=1  1)f  x   x 2  1 ; víi x 1   x 1.  x3  x 2  2x  2  2)f  x   x 1 3x  a . víi x 1. .. víi x=1. víi x=0 a  2 x  x  6 f  x   2 víi x 2  3x 0 .  x  3x víi x=3 b Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3. Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước  x 2  1víi x 1 x 2  4 víi x  2 1)f  x   t¹i ®iÓm x=1; 2)f  x   t¹i ®iÓm x=2;  x  1 víi x>1 2x  1 víi x 2 2 x 2 víi x<0  4  3x víi x -2 3)f  x   t¹i ®iÓm x=0; 4) f  x   3 t¹i ®iÓm x=-2. víi x>-2  x 1  x víi x 0 .. Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0  x  a khi x  0 a)f  x   2 ;  x 1 khi x 0. khi x  0  x  2a b)f  x   2 .  x  x  1 khi x 0  x 2  3x  2 khi x 1  f  x   x  1 a khi x 1 .  Bài 6: Cho hàm số. a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1; c)Tìm a để hàm số liên tục trên R..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài 7: Tổng của hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x0 đã cho hay không nếu: a)Hàm f(x) liên tục, còn hàm g(x) gián đoạn tại điểm x0. b)Cả hai hàm f(x) và g(x) gián đoạn tại điểm x0.Nêu ví dụ tương ứng. VI. Hàm số liên tục trên một khoảng Bài 1: Chứng minh rằng: 4 2 a)Hàm số f(x)= x  x  2 liên tục trên R.. b)Hàm số. f  x . 1 1  x 2 liên tục trên khoảng (-1; 1).. 1 [ ; ) c)Hàm số f(x)= 8  2x liên tục trên nửa khoảng 2 . 2. Bài 2: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó: a)f  x  . x 2  3x  4 ; 2x  1. b)f  x   1  x  2  x;. c)f  x  x 2  x  3 . 1 . x 2. Bài 3: Giải thích vì sao: 2 2 a)Hàm số f(x)= x sinx-2cos x+3 liên tục trên R. g  x . b)Hàm số. h  x . x 3  xcosx+sinx liªn tôc trªn R. 2 s inx+3.  2x  1 s inx-cosx. liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k, k  R.. x s inx c)Hàm số Bài 4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục: a)f  x  . x 1 ; b)f  x   3x  2; x  7x  10 2. c)f  x  x 2  2 x  3; d)f  x   x  1 sinx..  x3  8 víi x 2  f  x   4x  8 3 víi x=2 có liên tục trên R không?  Bài 5: Hàm số. Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó x 2  x khi x  1 1)f  x   ; ax+1 khi x  1 . x 2 víi x<1 2)f  x   ; 2ax+3 víi x  1 . a 2 x 2 víi x 2 3)f  x   ; 1  a x víi x>2   .  x 2  3x  2 víi x<2  4)f  x   x 2  2x ; mx+m+1 víi x 2 . x 2 víi 0 x 1 5)f  x   ; 2-x víi 1<x  2 . 2x  a víi 0 x<1 6)f  x   2 . ax  2 víi 1  x  2 .  2 2x  1  2x  2  x 1 f(x)  mx 2  x  2 Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số. nÕu x > 1 nÕu x  1. trên  .. VII. Ứng dụng hàm số liên tục Bài 1: Cho hàm số f liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c thuộc [0; 1] sao cho f(c)=c. Bài 2: Chứng minh rằng: 5 1)Phương trình x  x  1 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). 2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm. 3 2 3)Phương trình x  1000x  0,1 0 có ít nhất một nghiệm âm.. 4)Phương trình 5)Phương trình 6)Phương trình 7)Phương trình. 1 0 100 có ít nhất một nghiệm dương. 4 2 x  3x  5x  6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). x3  x  1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. 4x 4  2x 2  x  3 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1). x 3  1000x 2 .

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3. 8)Phương trình 2x+ 6 1  x =3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9). 3 9)Phương trình 2x  6x  1 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2). 3 2 10)Phương trình x  mx  1 0 luôn có nghiệm dương. 3 2 11)Phương trình x  ax  bx  c 0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c. 2 12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình atan x+btanx+c=0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng     k;  k  , k  R. 4  . 1 víi x 0  f  x   x .   1 víi x=0 Bài 3: Cho hàm số. a)Chứng tỏ f(-1).f(2)<0. b)Chứng tỏ f(x) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2). c)Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục không? Bài 4: Cho a, b là hai số dương khác nhau. Người ta lập hai dãy (un) và (vn) bằng cách đặt u1 a, v1 b, u n 1 . u n  vn , v n 1  u n v n (n 1, 2,3,...) 2 . Chứng minh rằng lim u n lim v n .. n  1 n 2k s n  n 1  , n   *. 2 k 1 k Bài 5: Cho dãy (sn) với Tính lim s n .. a) lim Bài 6: Tính các giới hạn. n! ; (2n  1)!!. b) lim. 1p  2p  ...  n p , p   *. n p1. CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG HỌC TẬP ----------------------------------o0o---------------------------------.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> BÀI TẬP CHƯƠNG III VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN  . MA  2MB, Bài 1: Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CDsao  cho    .  ND  2NC ; Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho IA kID, JM kJN, KB kKC .. Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 2:  Cho  hình  hộp  ABCD.A’B’C’D’; Các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA, DC’ sao. cho MC mMA, ND mNC'. Xác định m để các đường thẳng MN, BD’ song song với nhau. Khi ấy, . . . 0. tính MN biết ABC ABB ' CBB ' 60 vµ BA a, BB ' b, BC c. Bài 3: Cho hình  lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BB’, A’C’. Điểm K thuộc. B’C’ sao cho KC '  2KB '.Chøng minh bèn ®iÓm A, I, J, K cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kì không đi qua S, cắt SA SC SB SD    . A , B , C , D . SA SC SB SD 1 1 1 1 các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm 1 1 1 1 CMR:   0 Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng m, các góc tại A bằng 60 (BAD A ' AB      ' AD 60 0 ) A . Gọi P và Q là các điểm xác định bởi AP D 'A, C 'Q DC '. Chứng minh rằng đường. thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ. Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi D1, D2, D3 lần lượt là điểm đối xứng với của điểm D’ qua A, B’, C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện D1D2D3D’. Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD’ và DB sao cho  7:  MA kMD ', ND kNB  k 0, k 1 .. a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A’BC). b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C’, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD’ và DB. Bài 8: Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính độ dài MN. b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD. Bài9: Cho hình tứ diện ABCD; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD; M là điểm thuộc AC sao  cho MA k1 MC; N là điểm thuộc BD sao cho NB k 2 ND . Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k1 k 2 . Bài 10: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. 3    xOy , yOz , zOx . Chøng minh r»ng cos+cos+cos   . 2 a) Đặt b) Gäi Ox1 , Oy1 , Oz1 lÇn l ît lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox1 và. Oy1 vuông góc với nhau thì Oz1 vuông góc với cả Ox1 và Oy1..    ,    ,   lần lượt tại A, B, C và A1, Bài 11: Cho hai đường thẳng , 1 cắt ba mặt phẳng song song       OI AA1 , OJ BB1 , OK CC1.. B1, C1. Với điểm O bất kì trong không gian, đặt Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. Bài12: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, AB2  CD2  AC2  BD2  BC2  AD2 4  IJ 2  HK 2  EF2  .. BD. Chứng minh rằng Bài 13: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho.   1  2   1  AM  AB, BN  BC, AQ  AD, DP kDC. 3 3 2 Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên. mặt phẳng..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài14: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một đường thẳng d cắt các đương thẳng AA', BC, C'D' lần lượt MA   tại M, N, P sao cho NM 2NP . Tính MA ' .. Bài15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA=SB và SA vuông góc với BC. a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC. b) Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ//BD. Chứng minh rằng góc góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I, J. . 0. . . 0. Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a, BAD 60 , BAA' DAA' 120 . a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A'D và AC' với B'D. b) Tính diện tích của các hình A'B'CD và ACC'A'. c) Tính góc giữa đường thẳng AC' và các đương thẳng AB, AD, AA'. Bài17: Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng  . Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM=x (0<x<AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD. a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB=CD. Bài18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A. Với điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA và CD. a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi (P) là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB=a, SB=b, M là trung điểm của AD. Bài 19: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho    MB kMC vµ NA kND với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt  là góc giữa hai vectơ MA vµ BA;   đặt  là góc giữa hai vectơ MN và CD. Tìm mối liên hệ giữa AD và CD để ==45 0 .. Bài 20: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, Klần lượt là trung điểm của BC, CA, AD, DB. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD trong các trường hợp sau: a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH  3IJ . b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật. 4 CD  AB 3 Bài 21: Cho tứ diện ABCD có . Gọi I, J, Klần lượt là trung điểm của BC, CA, AD, DB. Cho 5 JK  AB 6 biết , tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB. Bài 22: Cho tứ diện ABCD có BC=AD=a, AC=BD=b, AB=CD=c. Đặt  là góc giữa BD và AD; đặt  là góc giữa hai đường thẳng AB và BD; đặt  là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh 2 2 2 rằng trong 3 số hạng a cos  , b cos  , c cos  có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại. Bài 23: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AD sao cho.       IB kIC, JA kIC, KA kKD trong đó k là một số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng: a)MN  IJ vµ MN  JK. b)AB  CD.. Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA=SC, SB=SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh rằng SO  mp(ABCD). b) Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh rằng SO  mp(d, d1). Bài 25: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng:.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> a)ACH và BFK là các tam giác vuông. b)BF  AH và AC  BK.. Bài26: a)Cho tứ diện DABC có cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc. b)Cho tứ diện IABC có IA=IB=IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc. H là hình chiếu của I trên mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Bài 27: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông tại A. a) Chứng minh ASC là tam giác vuông. . . b) Tính SA, SB, SC biết rằng ACB  , ACS  vµ BC=a. Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD),  60 . SA=a, và ABC a)Tính độ dài các cạnh SB, SC, SD. b)Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng IB=ID. Bài 29: Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau từng đôi một thì trong bốn mặt của tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn (cả ba góc của nó đều nhọn). 0. 6 a Bài 30: Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và DA  mp(ABC), AB=AC=a, BC= 5 . Gọi M là. trung điểm của BC. Vẽ AH vuôngg góc với MD (H thuộc đường thẳng MD). a) Chứng minh rằng AH  mp(BCD). 4 a b) Cho AD= 5 . Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.. c) Gọi G1, G2 lần lượt là các trọng tâm của các tam giác ABC và DBC. CMR: G1G2  mp(ABC). Bài 31: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DC và BB'. Chứng minh rằng MN  A 'C. Bài 32: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Trên DC và BB' ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho DM=BN=x với 0 x a . Chứng minh hai đường thẳng AC' và MN vuông góc với nhau. Bài 33: Cho hình thang ABCD vuông ở A và D, AB=AD=a, DC=2a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại D lấy một điểm S sao cho SD=a. Các mặt bên của tam giác là những tam giác như thế nào? Bài 34: Hình chóp S.ADCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh: a)BC  (SAB), CD  (SAD) vµ BD  (SAC). b)SC  (AHK) vµ I  (AHK). c)HK  (SAC), từ đó suy ra HK  AI.. Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên nửa đường thẳng At vuông góc với (ABC) lấy điểm S. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Chứng minh AK vuông góc với (SBC) và KH vuông góc với SB.. CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG HỌC TẬP ----------------------------------o0o---------------------------------.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>