GIAI PHUONG TRINH BAC CAO

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PhÇn. më ®Çu Đặt vấn đề. I. Më ®Çu Toán học là bộ môn khoa học cơ bản, đợc ứng dụng trong các ngành khoa học khác. HiÖn nay, chóng ta ®ang thùc hiÖn ch¬ng tr×nh c¶i c¸ch gi¸o dôc víi néi dung vµ kiến thức ngày càng cao. Việc đòi hỏi học sinh phải nắm đợc kiến thức cơ bản theo yêu cÇu míi lµ häc sinh ph¶i biÕt vËn dông lý thuyÕt vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi tËp thùc tÕ. Trong ch¬ng tr×nh to¸n häc THCS, ë mçi ph©n m«n nh: Sè häc, §¹i sè, H×nh häc …. đều có những dạng toán riêng. Mỗi dạng toán đòi hỏi phải có những phơng pháp riêng, phơng pháp nghiên cứu nó một cách hợp lý thì mới có thể học và đào tạo sâu đ ợc kiến thøc còng nh viÖc h×nh thµnh kü n¨ng, kü x¶o cho häc sinh. Khi gi¶i c¸c bµi tËp to¸n học không những đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng các công thức mà còn phải biết đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hoá kiến thøc. Trong quá trình giảng dạy phơng trình trong chơng trình đại số 8, 9, bản thân tôi thấy giải phơng trình bậc cao là một vấn đề khó và nan giải đối với các em học sinh. Việc giải phơng trình bậc cao đối với học sinh THCS chỉ đòi hỏi ở mức độ đơn giản, chủ yếu là từ phơng trình đặc biệt đa về phơng trình bậc nhất và phơng trình bậc hai nhằm rèn luyện kỹ năng giải phơng trình bậc nhất và phơng trình bậc hai. Qua đó cũng hớng cho học sinh t duy khái quát hơn về phơng trình để các em làm quen dần với cách gi¶i ph¬ng tr×nh trong ch¬ng tr×nh THPT. Với suy nghĩ đó tôi mạnh dạn đa ra đây các phơng pháp giải một số phơng trình bậc cao đặc biệt để giúp các em học sinh nâng cao kỹ năng và kiến thức giải phơng tr×nh. II. NhiÖm vô nghiªn cøu Phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình bậc hai một ẩn, phơng trình tích, phơng trình đối xứng bậc chẵn, phơng trình đối xứng bậc lẻ, phơng trình phản thơng, phơng trình hồi quy, phơng trình trùng phơng, phơng trình tam thức và một số phơng trình có dạng đặc biệt khác. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao trªn vµ c¸c bµi tËp minh ho¹. III. §èi tîng nghiªn cøu Häc sinh líp 8, 9 cña trêng THCS.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Gióp häc sinh gi¶i mét sè ph¬ng tr×nh bËc cao trong ch¬ng tr×nh to¸n líp 8, 9 IV. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu. Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết qu¶ (dù giê, kiÓm tra chÊt lîng häc sinh, nghiªn cøu hå s¬ gi¶ng d¹y, kiÓm tra trùc tiÕp thông qua các giờ học thể hiện trên nhiều đối tợng học sinh khác nhau: Học sinh khá giái, häc sinh trung b×nh, yÕu vÒ m«n to¸n). V. Ph¹m vi nghiªn cøu Giới hạn ở vấn đề giảng dạy phần giải các phơng trình bậc cao trong chơng trình to¸n THCS..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> PhÇn. thø hai giải quyết vấn đề Nh÷ng kiÕn thøc c¬ së. 1. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc cao Ta gọi phơng trình đại số bậc n (n  3) ẩn x trên tập số thực là các phơng trình đợc đa về dạng: anxn + an-1xn-1+ ...+ a1x + ao = 0, trong đó n   ; a1 ;a 2 ;...a n   ; an  0 2. Định lý: Trên tập số thực, mọi phơng trình bậc n luôn phân tích đợc thành tÝch cña c¸c nhÞ thøc bËc nhÊt vµ c¸c tam thøc bËc hai. 3. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn Dạng tổng quát ax + b = 0 trong đó a, b   ; a  0 . x. b a .. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: * Chú ý: Giải phơng trình mx + n = 0, phơng trình đã cho cha chắc đã là phơng tr×nh bËc nhÊt nªn khi gi¶i cÇn ph¶i xem xÐt hÕt c¸c trêng hîp : n x m . + NÕu m  0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt + NÕu m = 0 th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng 0x = n. - NÕu n = 0 th× ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm - NÕu n  0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 4. Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn 2 D¹ng tæng qu¸t: ax  bx  c 0 víi a 0 . XÐt  = b2 – 4ac +  < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm +  = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:. x1 x 2 . b 2a. x1,2 . b  2a. +  > 0 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: 5. §Þnh lý: + Ph¬ng tr×nh anxn + an-1xn-1+ ..........+ a1x + ao = 0 nÕu cã nghiÖm a0 hữu tỷ thì nghiệm đó là ớc của a n . + P(x) = 0 cã nghiÖm lµ a th× P(x)  ( x - a). Một số phơng pháp thờng dùng để giảI phơng trình bậc cao..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ë phæ th«ng kh«ng häc phÐp gi¶i tæng qu¸t cho ph¬ng tr×nh bËc 3, bËc 4 cßn phơng trình bậc 5 không có phép giải tổng quát. Tuy nhiên trong một số trờng hợp đặc biệt có thể đa phơng trình cần giải về phơng trình bậc một, bậc hai. Ta phải dựa vào đặc thù của phơng trình cần giải để có phơng pháp thích hợp. Gi¶i vµ gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt mét Èn sè hoÆc bËc hai n»m trong qu¸ tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai. Nãi chung lµ bao gồm nhiều dạng và phong phú đợc các nhà toán học và s phạm quan tâm và đề cập tới nhều trong tài liệu, tập san toán học....Căn cứ vào mục đích ý nghĩa kết quả điều tra và thực tế giảng dạy chơng phơng trình. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã nghiên cứu áp dụng lý luận trong quá trình dạy học, các phơng pháp đặc trng bộ môn, áp dụng các kiến thức đã học để đa các phơng trình bậc cao về phơng trình bậc nhất, bËc hai b»ng nhiÒu c¸ch. I. Ph¬ng ph¸p 1: §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch Ph¬ng tr×nh tÝch lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: F(x).G(x)…..H(x) = 0 (1) F(x) 0 G(x) 0   ...... H(x) 0 (2) Để đa phơng trình đã cho về dạng (2) ta có thể dùng các cách sau: - Ph©n thÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: - §Æt nh©n tö chung - Dùng hằng đẳng thức. - Nhãm nhiÒu h¹ng tö. - Thªm (bít) c¸c h¹ng tö. - Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p nªu trªn. 3 3 3 3 * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x  1)  x  ( x  1) ( x  2) (1). * Lêi gi¶i (x  1)3  x 3  (x  1)3 (x  2)3  x3 - 3x2 + 3x - 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8  x3 - 3x2 - 3x - 4 = 0  x3 - 1 - 3x2 - 3x - 3 = 0  (x-1)(x2 + x + 1) - 3(x2 + x + 1) = 0  (x2 + x + 1)(x - 4) = 0 Víi häc sinh líp 8 lµm nh sau:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2. 1 3  x   0 2 4 Do x2 + x + 1 =  nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 4 Víi häc sinh líp 9: 2. x + x + 1=0 (∗) ¿ (**) (*)  x-4 =0 ¿ ¿ ¿ ¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) Δ=1− 4=− 3<0 nªn (*) v« nghiÖm. Giải (**) ta đợc x =4 Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm là x = 4 ViÖc nhÈm nghiÖm c¸c ph¬ng tr×nh dùa trªn c¸c c¬ së sau: - NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x - 1. - NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè (x + 1). - Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ớc của hệ số tự do là a0.. * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 – 7x2 + 12x – 6 = 0 (2) * Lêi gi¶i (1)  x3 – x2 – 6x2 + 6x + 6x – 6 = 0  x2(x – 1) – 6x(x – 1) + 6(x – 1) = 0  (x –1)(x2 – 6x + 6) = 0  x 1  x 1   2 x  6x  6 0  x 3  3  * VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x – 1)3 +(2x + 3)3 = 27x3 + 8 (3) * Lêi gi¶i (2)  x3 – 3x2 + 3x – 1 +8x3 + 36x2 + 54x + 27 = 27x3 + 8  18x3 – 33x2 –57x – 18 = 0  3(6x3 –11x2 – 19x – 6) = 0  6x3 – 18x2 + 7x2 –21x +2x – 6 = 0  6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0  (x – 3)(6x2 + 7x + 2) = 0  x 3  x 3   2  x   7  97  6x  7x  2 0  12 .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x4  4 5x 2 * VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  2 (§Ò thi v¶o trêng Lª Hång Phong, TPHCM , n¨m 2003 - 2004) * Lêi gi¶i x4  4 5x  x 4  5x 3  10x  4 0 2 x 2  x 2  2  (x  2)(x  1)(x  4x  2) 0   x  1  2  x  4x  4 6.  x 2   x  1  x 2  6  ViÖc nhÈm nghiÖm nh ë trªn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu sè h¹ng tù do lµ a 0 lớn và có nhiều ớc số. Trong trờng hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau để đi loại trừ bít c¸c íc kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mét c¸ch nhanh chãng. * VÝ dô 5: 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = 0 (5) * Lêi gi¶i U(18) ( ±1 ; ± 2; ± 3 ; ± 6 ; ±9 ; ± 18 ) HiÓn nhiªn -1, 1 kh«ng lµ nghiÖm cña (4)  f(1)  0, f(-1)  0 f (1)  18   9   3  1 2 Ta thÊy f ( 1)  44   11  3 1 4  Ph¬ng tr×nh (4) cã kh¼ n¨ng cã nghiÖm lµ x1 = 3 áp dụng lợc đồ Hoócne ta đa phơng trình (5) về dạng sau: (x - 3)(4x2 - x + 6) = 0 x-3=0 (*) 4x2 - x + 6 = 0 (**) (*)  x = 3 (**)  4x2 - x + 6 = 0  = (-1)2 - 4.4.6 < 0  (**) v« nghiÖm Nªn ph¬ng tr×nh (4) cã mét nghiÖm lµ: x = 3 Chó ý: - ViÖc nhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh cã thÓ nhÈm miÖng råi dïng thuËt chia ®a thøc cho đa thức để hạ bậc rồi đa phơng trình về dạng tích. - Có thể dùng lợc đồ Hoócne để xác định ớc số nào của a0 là nghiệm, ớc số nào kh«ng lµ nghiÖm vµ ®a ra ngay d¹ng ph©n tÝch. - Bài tập dạng này tơng đối khó với học sinh nên khi dạy giáo viên cần lu ý khai thác hết các giả thiết, nhận xét có thể sử dụng phơng pháp nào, hằng đẳng thức nào phân tích cho thích hợp. Mỗi bài tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề và các.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> kiến thức cần sử dụng trong quá trình giải bài tổng quát, bài tơng tự, đặc biệt dùng để båi dìng häc sinh giái nh»m ph¸t triÓn t duy.. II. Ph¬ng ph¸p 2: §Æt Èn phô Phơng pháp này thờng đợc dùng với các dạng phơng trình sau: 2.1 Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng * Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4 + bx2 + c = 0 (a  0) (1) * C¸ch gi¶i §Æt x2 = y (víi y  0) th× (1)  ay2 + by + c = 0 2.2 Phơng trình đối xứng bậc chẵn Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: a0x2n + a1x2n-1 + ..+ an-1xn+1 +anxn + an+1xn-1 +..+ a1x + a0 = 0 (2) víi a 0 0 * C¸ch gi¶i - NÕu x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) th× ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2) cho xn  0 a 0 x n  a1x n  1  .....  a n  1x1  a n x 0 . (1)  1  a0  xn  n x   1 y x  x §Æt. a n 1 a  ....  0n x x =0. 1    n 1   a1a 0  x  n  1   ..  a n 0 x    =0  ta ®a ph¬ng tr×nh (2) vÒ ph¬ng tr×nh bËc n víi Èn y. 2.3 Phơng trình đối xứng bậc lẻ * Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng a0x2n+1 + a1x2n + ..+ an+1xn+1 +anxn + an-1xn-1 +..+ a1x + a0 = 0 (3) víi a 0 0 * C¸ch gi¶i Ph¬ng tr×nh nµy lu«n cã nghiÖm x = -1  ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) cho x + 1 ta đợc phơng trình đối xứng bậc chẵn. 2.4 Ph¬ng tr×nh ph¶n th¬ng * Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax4 + bx3 + cx2- bx + a = 0 (4) víi a 0 hoÆc ax4- bx3 + cx2 + bx + a = 0 (5) víi a 0 * C¸ch gi¶i Ta nhËn thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (4) suy ra ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 ta cã: ax 2  bx  c  b (4) . 1 1  a 2 0 x x.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1  1   a  x 2  2   b  x    c 0 x  x    1 1 y x  x 2  2 y 2  2 x x §Æt  ta cã ph¬ng tr×nh ay2 + by + c + 2a = 0 y x  Tơng tự cho phơng trình (5) ta đặt. 1 x. 2.5. Ph¬ng tr×nh håi quy * Là phơng trình có dạng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (6) trong đó 2 e d   t 2 a b víi a 0 * C¸ch gi¶i: Khi x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (6) th× ta chia c¶ hai vÕ cña (6) cho 1 1 ax 2  bx  c  d  e 2 0 x x x2 ta cã: (6)  1   1  2  ax  e 2    bx  d   c 0 x   x   2 t2  t  a  x  2   d  x    c 0 x  x    y x  §Æt. t x lúc đó (6)  ay2 + by + c + 2at = 0. 2.6. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: (x+a)4+(x+b)4= c (7) * C¸ch gi¶i: y x  §Æt. a b a b  x y  2 2. 2y 4  3(a  b) 2 y 2  (7) . (a  b) 4  c 0 8. 2.7. Phơng trình có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 trong đó ad = bc * C¸ch gi¶i: Ta nhãm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = mx2  [x2 + (a+d)x + ad][x2 + (b + c)x + bc] = mx2 (8) Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (8) ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (8) cho x2 ad   bc    x  (a  d)  x   x  (c  b)  x  m th× (8)  ad y x  x §Æt (8)  (y  a  d)(y  c  d) m.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2.8. Phơng trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m trong đó a+d = b+c * C¸ch gi¶i Ta nhãm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = m (1) Đặt y = (x+a)(x+d) thay vào phơng trình (1) ta tìm đực y0 Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+a)(x+d) = y0 ta cã x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). 2.9. Ph¬ng tr×nh tam thøc Là phơng trình có dạng: ax2n + bxn + c = 0 (10) với a ≠ 0 trong đó a, b, c   , n lµ nguyªn d¬ng, n > 2 NÕu a, b, c   * vµ n = 2 th× ph¬ng tr×nh (10) lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng * C¸ch gi¶i :  x n y  2 ay  dy  c 0 n §Æt x = y th× (10)  . 2.10. Phơng trình có dạng: d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đó d. a b c 2 , m = (d - a)(d - b)(d - c). * C¸ch gi¶i : * Chú ý: Trên thực tế, nhiều phơng trình bậc cao phải biến đổi mới đa về các. d¹ng c¬ b¶n nãi trªn * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 – 5x2 + 6 = 0. (1). * Lêi gi¶i: §Æt x2 = y (y  0)  (1)  y2 – 5 y + 6 = 0  y 2   (y – 2)(y – 3) = 0   y 3 + NÕu y = 2  x2 = 2  x  2 + NÕu y = 3  x2 = 3  x  3 * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 1 = 0 (2) (§Ò thi tèt nghiÖp THCS tØnh Hng Yªn , n¨m 1996 - 1997) * Lêi gi¶i: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (2), chia cả hai vế của (2) cho x2  0 ta đợc 5 1 x 2  5x  6   2 0 x x 1   1    x 2  2   5  x    6 0 x   x  (*) 1 1 y x   x 2  2 y 2  2 x x §Æt.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> (*)  y2 – 5y + 8 = 0 Xét  = 25 – 40 < 0  phơng trình đã cho vô nghiệm. * VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh x5 + 4x4 + x3 + x2 + 4x +1 = 0 (3) * Lêi gi¶i: (2)  (x + 1)(x4 + 3x3 – 2x2 + 3x + 1) = 0  x  1  4 3 2   x  3x  2x  3x  1 0 (*) Gi¶i (*) : x4 +3x3 – 2x2 + 3x + 1 = 0 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (*), chia cả 2 vế của (*) cho x2  0 ta đợc: 3 1 x 2  3x  2   2 0 x x 1  2 1    x  2   3  x    2 0 x   x  1 1 y x   x 2  2 y 2  2 x x §Æt ta đợc y2 + 3y - 4 = 0  y1 = 1, y2 = -4 1 x  1 x - NÕu y1 = 1   x2 - x + 1 = 0  PT v« nghiÖm 1 x   4 x  2  3 x - NÕu y2 = -4   x2 + 4x + 1 = 0  1,2 * VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6 (4) (§Ò thi vµo THPT Chuyªn §HSP Hµ Néi, n¨m 2006 - 2007) * Lêi gi¶i: (3x  4)(x  1)(6x  7) 2 6 2  (6x  8)(6x  6)(6x  7) 72 (*) §Æt 6x + 7 = t, ta cã: 2 4 2 (*)  (t  1)(t  1)t 72  t  t  72 0  t 3 2 3 - Víi t = 3, ta cã 5 6x  7  3  x  3 - Víi t = -3, ta cã 6x  7 3  x . * Bµi to¸n trªn ta còng cã thÓ gi¶i theo c¸ch sau: (3x  4)(x  1)(6x  7) 2 6 2 2  (3x  7x  4)(6x  7) 6 (**) 2 2 Đặt t 3x  7x  4  36x  84x  49 12t  1 , khi đó (**) trở thành:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 3  t1   4 12t 2  t  6 0    t 2  2 3 3 3 t   3x 2  7x  4   12x 2  28x  19 0 4 4 - Víi  PT v« nghiÖm 5  x1   2 2 3 t   3x 2  7x  4   9x 2  21x  10 0   3 3  x  2  2 3 - Víi 2 2 * VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh ( x  3 x  2)( x  7 x  12) 24 (5). (§Ò thi vµo THPT Chuyªn SPNN Hµ Néi, n¨m 2004 - 2005) * Lêi gi¶i: (x 2  3x  2)(x 2  7x  12) 24  (x  1)(x  2)(x  3)(x  4)  24 0  (x 2  5x  4)(x 2  5x  6)  24 0 2 Đặt t x  5x  4 ta đợc:  t  6 t 2  2t  24 0   1  t 2 4 2 - NÕu t  6  x  5x  10 0  PT v« nghiÖm 2 - NÕu t 4  x  5x 0  x1 0 ; x 2  5. Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x = 0 ; x = -5 * VÝ dô 6 : Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 3x3 - 2x2 + 6x + 4 = 0 (6) * Lêi gi¶i: Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ ph¬ng tr×nh cña (6)  ta chia c¶ hai vÕ cña (1) cho 2. x 0 , ta đợc:. 6 4  0 x x2 4   2    x 2  2   3  x    2 0 x   x  2 4 y x   x 2  2 y 2  4 x x §Æt x 2  3x  2 . Ta đợc phơng trình y2 - 3y + 2 = 0 Nhẩm nghiệm ta đợc y1 = 1, y2 = 2  x  1 2 x  1  x 2  x  2 0   1 x  x 2 2 - NÕu y1 = 1 .

<span class='text_page_counter'>(12)</span> x - NÕu y2 = 2 . 2 2  x 2  2x  2 0  x1,2 1  3 x. * VÝ dô 7 : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x – 5)4 + (x – 7)4 = 16. (7). (§Ò thi chän HSG To¸n 8, tØnh H¶i D¬ng, n¨m 2001 - 2002) * Lêi gi¶i: y x  §Æt.  5 7 x  6  x y  6 2. (7)  (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16   2y4 + 12y2 + 2 = 16  y4 + 6y2 – 7 = 0  y 2 1  y 1  2 y  7  (y2 – 1)(y2 + 7) = 0   + NÕu y = 1 ta cã x = 7 + NÕu y = -1 ta cã x = 5 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ x1 = 7; x2 = 5 * VÝ dô 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x +3)(x + 5)(x + 6)(x + 10) = 2x2 (8) * Lêi gi¶i: (8)  (x2 + 13x + 30)(x2 + 11x + 30) = 2x2 (*) V× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (*) nªn ta chia c¶ hai vÕ cña (2) cho x2 ta cã: 30 30     x   13   x   11 2 x x    30 y x   11 x §Æt  y(y+2) = 2  y2 + 2y –2 = 0 (**) x Gi¶i ph¬ng tr×nh (**) ta cã y0; gi¶i ph¬ng tr×nh. 30  11 y 0 x cã x0 lµ nghiÖm. cña ph¬ng tr×nh (8) * VÝ dô 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x + 7)(x + 8)(x + 9) = 5x (9). * Lêi gi¶i: Phơng trình (9) có dạng 12(x + 7)(x + 8)(x + 9) = 60x (*) trong đó 12 . 7 8 9 ; 60 (12  7)(12  8)(12  9) 2 §Æt y = x + 12. Ta cã (9) (y – 5)(y – 4)(y – 3) = 5( y –12)  y3 – 12y2 + 47y – 60 =5y – 60  y3 – 12y2 + 42y = 0.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  y(y2 – 12y + 42) = 0  y 0  y 0  2 y  12y  42  0  * VÝ dô 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh 5(x-1)(x-5)(x-3)(x-15) = 7x2 (10) * Lêi gi¶i:. (10)  5(x2 - 16x + 15)(x2 - 8x + 15) = 7x2 (*) V× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (*) nªn ta chia c¶ hai vÕ cña (*) cho x 2 ta 15 15    5  x   16   x   8  7 x x   cã:  15 y x   8 x §Æt ta cã: 5y(y - 8) = 7  5y2 - 40y – 7 = 0 (**) 15 y 0 x   8 x Gi¶i ph¬ng tr×nh (**) ta cã y0; gi¶i ph¬ng tr×nh ta cã x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (10).. III. Ph¬ng ph¸p 3: §a vÒ luü thõa cïng bËc Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi từ đó đa về hai vế cña ph¬ng tr×nh vÒ luü thõa cïng bËc. Bằng cách biến đổi hai vế của phơng trình ta đa phơng trình đẵ cho về phơng tr×nh cã d¹ng: An = Bn + NÕu n lµ sè ch½n th× A = ± B + NÕu n lµ sè lÎ th× A = B * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 = 2x2 + 8x +3 (1) (§Ò thi vµo THPT t×nh Hng Yªn, n¨m häc 2006 - 2007) * Lêi gi¶i: x 4 2x 2  8x  3  x 4  2x 2  1 4x 2  8x  4  (x 2  1) 2 (2x  2) 2 * NÕu. x 2  1 2x  2  x 2  2x  1 0  x1,2 1  2. 2 2 * NÕu x  1  2x  2  x  2x  3 0  PT v« nghiÖm. x 1  2 Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: 1,2 1 x3  x 2  x  3 (2) * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh. (§Ò thi vµo THPT Chuyªn §HSP Hµ Néi, n¨m 2002 - 2003) * Lêi gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 1 x 3  x 2  x   3x 3  3x 2  3x 1 3 3 3  4x (x  1)   . 3. 4x x  1. x. . 3. . 4  1 1. x 3. 1 41. x3 3x 2 x    2 0 3 (x  1) x  1 * VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (3) (§Ò thi vµo THPT Chuyªn §HSP Hµ Néi, n¨m 2000 – 2001) * Lêi gi¶i: §K: x  1. x x x2 x2 t  x  t x   ; xt  x 1 x 1 x1 x 1 §Æt 3. Do đó x + t = xt Phơng trình đã cho trở thành: x 3  t 3  3(x  t)  2 0  (x  t)3  3xt(x  t)  3(x  t)  2 0 3  (x  t  1) 1  x  t  1 1  x  t 2 x2 2  x 2  2x  2 0 Khi đó ta có: x  1 , ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.. * VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh 5x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0 (4) (§Ò thi vµo THPT Chuyªn SPNN Hµ Néi, n¨m 2005 - 2006) * Lêi gi¶i: 5x 3  6x 2  12x  8 0 3 3 2  4x  (x  6x  12x  8) 0 3 3  (x  2)  4x. x  2 x 3  4  x  1 . 2 2  3 3  4 1 4. IV. Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức 2003. 2004. x 9  x  10 1 * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) (§Ò thi chän HSG To¸n 9, tØnh H¶i D¬ng, n¨m häc 2006 - 2007) * Lêi gi¶i: DÔ thÊy x = 9 vµ x = 10 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x. + NÕu x < 9 th×  x - 9 > 0   x - 92003 > 0 vµ  x - 102004 > 1.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>   x - 92003 +  x - 102004 > 1  ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. + NÕu x > 10 th×  x - 10 > 0   x - 102004 > 0 vµ  x - 92003 > 1   x - 92003 +  x - 102004 > 1  ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. + NÕu 9 < x < 10 th× 0 < x – 9 < 1   x - 92003 < x – 9; 0 < 10 – x < 1   x - 102004 <  x - 10 < 10 – x   x - 92003 +  x - 102004 < x – 9 + 10 – x = 1  ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Vậy phơng trình đã ch có 2 nghiệm là x = 9; x = 10 3.  ( x  1)3  ( x  5)3  8 216( x  1)3 (5  x)3 * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) * Lêi gi¶i: 3 3 3 3 3 §Æt x – 1 = y ; 5 – x = z. Ta cã (y  z  8) 216y z 3 3 3 3 3 Theo B§T C«si : (y  z  8) 216y z Vậy y = z = 2, do đó x = 3.. V. Phơng pháp 5: Dùng hệ số bất định Gi¶ sö ph¬ng tr×nh tr×nh bËc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 vµ cã ph©n tÝch thµnh (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0 lúc đó ta có: a1  a 2 a a a  b  b b  1 2 1 2  a1b 2  a 2 b1 c b1b 2 d TiÕp theo tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè a1; b1; a2; b2. B¾t ®Çu tõ b1b2 = d vµ chØ thö víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn. * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1). * Lêi gi¶i: Giả sử phơng trình trên phân tích đợc thành dạng: (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0 a1  a 2  4 a a  b  b  10  1 2 1 2  a1b 2  a 2 b1 37 b b  14 Ta cã:  1 2  b1 = -2; b2 = -7; a1 = -5; a2 = 1 2 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (x - 5x + 2)(x2 + x - 7) = 0 TiÕp tôc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 5x + 2 = 0 vµ x2 + x - 7 = 0 ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: 5  17 5  17  1  29  1  29 2 ; x2 = 2 ;x3 = 2 2 x1 = ; x4 =.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> * Chú ý: Với phơng pháp này có thể giải đợc với phơng trình không có nghiệm h÷u tû. VI. Ph¬ng ph¸p 6: Dïng tÝnh chÊt vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ngời ta chứng minh đợc rằng phơng trình đại số bậc n có không quá n nghiệm thực. Do đó nếu ta chỉ ra đợc n nghiệm của phơng trình đại số bậc n thì đó là tất cả các nghiệm của phơng trình đó. * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (m2 – m)2(x2 – x + 1)3 = (x2 – x)2(m2 – m +1)3 víi m lµ tham sè (1) * Lêi gi¶i: NhËn xÐt + x = m lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) + Víi m = 0 hoÆc m = 1 th× cã hai nghiÖm lµ x = 0 vµ x = 1 - XÐt m  0 ; m  1  x  0 ( v× nÕu x = 0 th× m = 0 hoÆc m =1) Gäi k lµ nghiÖm cña (1)  k  0. Chia 2 vÕ cña (1) cho k6 ta cã: 3 2 2 1 1  1 1  2  m  m   1  k  k 2   k  k 2  (m 2  m  1)3     3. 2.  m  m   k12  1k  1  k12  k1  (m2  m  1)3      1  k còng lµ nghiÖm cña (1). V× k lµ nghiÖm cña (1) nªn ta cã: 2. 2. m. 2. 2. 3. 2.  m   k 2  k  1  k 2  k  (m 2  m  1)3.  (m2 – m)2[(1 - k)2 – (1 - k) + 1]3 = [(1 - k)2 – (1 - k)]2(m2 – m + 1)3 (1 - k) còng lµ nghiÖm cña (1) 1 Ta cã m lµ nghiÖm cña (1)  m còng lµ nghiÖm cña (1) do m lµ nghiÖm cña (1)  1 - m còng lµ nghiÖm cña (1) 1 1 - m lµ nghiÖm cña (1)  1  m còng lµ nghiÖm cña (1) 1 1 1 1 Điều kiện để 6 giá trị : m; (1-m); m ; 1- m ; 1  m ; 1- 1  m đôi một khác nhau lµ: m  0; m  1; m  -1; m  2; m  + NÕu m = 0, m = 1, th× x = 0; x = 1 + NÕu m = -1, m = 2 vµ m =. 1 2. 1 thì phơng trình (1) đều có dạng: 2. 4(x2 – x + 1)3 = 27(x2 – x)2  (x+1)2(x-2)2(2x-1)2 = 0.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 1  Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm : x1 = -1; x2 = 2; x3 = 2 . 1 + NÕu m  0, m  1, m  -1, m  2, m  2 th× ph¬ng tr×nh (1) cã 6 nghiÖm: 1 1 1 1 m; (1-m); m ; 1- m ; 1  m ; 1- 1  m . VII. mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x4 – 10x2 + 17 = 0 (1) * Lêi gi¶i: (1)  x4 – 2x2 + 1 + x4 – 8x2 + 16 = 0  (x2 – 1)2 + (x2 – 4)2 = 0 Không xẩy ra đồng thời x2 = 1 và x2 = 4 VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 – x3 + 2x2 – x + 1 = 0 (2) * Lêi gi¶i: (2)  (x2 + 1)2 – x(x2 + 1) = 0  (x2 + 1)(x2 – x + 1) = 0 Ta thÊy x2  0  x  x2 + 1 > 0; x2 – x + 1 > 0  x VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. * Ví dụ 3: Tìm k để phơng trình sau có nghiệm: ( x 2  2)  x 2  2 x(2 k  1)  5k 2  6k  3 2 x  1 (3) (§Ò thi vµo THPT Hµ Néi- Amstesdam, n¨m 2000 - 2001) * Lêi gi¶i: (x 2  2)  x 2  2x(2k  1)  5k 2  6k  3 2x  1 . (x 2  2)  (x  (2k  1)) 2  (k  1) 2  1 2x  1 2. (2). 2.  (x  (2k  1))  (k  1)  1 1 2 Ta cã:  nªn VT(2) ≥ x  2 2 2 L¹i cã x  2  (2x  1) (x  1) 0 nªn 2x + 1 ≤ x2 + 2  VP(2) ≤ x2 + 2. §Ó (2) cã nghiÖm th× VT = VP = x2 + 2  x  (2k  1) 0  k 1 k 1     x 1   k 1 k  1 0 x  1   (x  1) 2 0 2   2x  1 x  2. Bµi tËp luyÖn Gi¶i ph¬ng tr×nh.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bµi 1: a) x4 + x2 + 6x - 8 = 0 b) ( x2 + 1)2 = 4(2x - 1) Bµi 2: a) (x2 - 5x)2 +10(x2 - 5x) + 24=0 b) (x2 + x - 2)(x2 + x - 3) =12 Bµi 3: a) x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24 b) (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) =1680 Bµi 4: a) (x2 - 6x + 9)2 - 15(x2 - 6x + 10) = 1 b) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0 Bµi 5: (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82 Bµi 6: x 4  4x 3  2x 2  4x  1 0. (§Ò thi vµo THPT Chuyªn SPNN Hµ Néi, n¨m 2006 - 2007) Bµi 7: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm: a) x4 - 3x3 + 6x + 13 = 0 b) x4 - 2x3 + 4x2 - 3x + 2 = 0 x6  1 x2  1  (2a  1)  2a  3 0 3 x Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh: x (8) a) Gi¶i (8) khi a = 1. b) Tìm a để (8) có nhiều hơn hai nghiệm dơng phân biệt. (§Ò thi vµo THPT Hµ Néi- Amstesdam, n¨m 2006 - 2007) 2 2 1  1      m x x  1     Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh: (9) a) Gi¶i (9) khi m = 15. b) Tìm a để (9) có bốn nghiệm phân biệt. (§Ò thi vµo THPT Hµ Néi- Amstesdam, n¨m 2003 - 2004). PhÇn. thø ba.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> kÕt luËn 1. KÕt qu¶. Khi cha giảng dạy theo hệ thống đã trình bày ở trên, học sinh rất lúng túng khi gặp dạng toán này. Từ việc cha định hớng đợc cách làm nên các em thờng làm vòng vo, lóng tóng. Sau khi gi¶ng d¹y hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p nh trªn, kÕt qu¶ kh¶o s¸t líp 9A3 cho thÊy : Tríc khi luyÖn. Sau khi luyÖn. Giái. 35%. 60%. Kh¸. 25%. 35%. TB. 35%. 5%. Díi TB. 5%. 0. Qua quá trình áp dụng chuyên đề tôi thấy học sinh tự tin hơn, tích cực trong học tập không còn tình trạng thụ động, biết tìm tòi khám phá, biết tạo sự liên kết cái đã cho và kiến thức đã học với yêu cầu đòi hỏi của bài toán. Và hơn thế nữa có những em học sinh giỏi còn nghĩ ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán từ đó chọn cho mình một cách giải đẹp, rất sáng tạo cụ thể là: - Học sinh trung bình đợc rèn kỹ năng. Vận dụng các định lý các tính chất đã học vào giải bài tập, có phơng pháp để giải một bài đại số. Các em đã bớc đầu biết khám phá ra điều mới mẻ của bài tập thông qua các tình huống có vấn đề - Häc sinh kh¸ giái rÊt s«i næi vµ híng thó trong häc tËp, c¸c em biÕt t×m tßi khám phá các bài tập tơng tự, các em đã biết chủ động đề xuất các vấn đề mới liên quan, cã em biÕt s¸ng t¹o trong gi¶i bµi tËp, cã nh÷ng c¸ch lµm kh¸c t×m ra híng gi¶i theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau, trong giê häc quan hÖ gi÷a thµy vµ trß, gi÷a trß vµ trß chñ động tích cực trong việc khám phá kiến thức cũng nh việc vận dụng kiến thức đã học vµo gi¶i to¸n. 2. Bµi häc kinh nghiÖm: Qua gi¶ng d¹y nhÊt lµ khi ¸p dông s¸ng kiÕn t«i nhËn thÊy r»ng : Muốn học sinh học tốt trớc hết phải hiểu rõ đợc kiến thức cơ bản. Kết hợp với sự hớng dẫn của giáo viên từ đó học sinh tìm tòi khám phá, phát hiện kiến thức có hiệu qu¶ muèn vËy:.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> §èi víi thÇy: - Chủ động nghiên cứu sách sách giáo khoa, tài liệu tham khảo. - D¹y häc sinh tõng d¹ng bµi tËp, ph©n d¹ng bµi tËp theo cÊu tróc kiÕn thøc. - Híng cho c¸c em biÕt chia nhá bµi to¸n thµnh nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n. §èi víi trß : - Cần thấy đợc phơng pháp học tốt nhất, có hiệu quả nhất là phải tăng cờng học hỏi tích luỹ kiến thức tìm đợc sự liên hệ với kiến thức đã học và thực hành vận dụng vào giải toán từ những bài đơn giản đến bài toán khó, cái em luôn phải đặt ra những câu hỏi tại sao? Các yếu tố bài ra có quan hệ gì ? Ta phải làm thế nào? Tạo ra điều đó bằng cách nào? Có đợc điều đó ta có gì ? - Đứng trớc bài toán phải biết phân tích đề biết vận dụng kiến thức đã học vào để tìm cách giải. - Ngoµi ra c¸c em cÇn cã niÒm say mª trong häc tËp, biÕt tù nghiªn cøu thªm, làm bài tập đầy đủ dới sự hớng dẫn của các thầy cô hoặc có thể trao đổi, thảo luận theo nhóm để giúp nhau hiểu bài hơn 3. Nh÷ng h¹n chÕ: §Ò tµi ¸p dông cho häc sinh líp 8, 9 ()còng cã thÓ BDHSG líp 8,9). Bªn c¹nh đó đề tài áp dụng đợc sau khi học sinh học xong phần kiến thức về phơng trình bậc nhất (ở lớp 8) và phơng trình bậc 2 (ở lớp 9) và từ thời gian đó đến các kỳ thi không còn nhiều thời gian. Chính vì vậy ngời thầy phải chủ động phần kiến thức cơ bản và trọng tâm của kiến thức đại số THCS, ôn luyện cho học sinh một cách có có hệ thống th«ng qua c¸c d¹ng bµi tËp Khã kh¨n khi ¸p dông cña s¸ng kiÕn: KiÕn thøc cã liªn quan tõ líp 6, 7, 8, 9 rÊt nhiÒu häc sinh l¾m hêi hît cha ch¾n ch¾n, nhiÒu häc sinh cßn ng¹i häc,vµ tÝnh tæng hîp kiÕn thøc cña häc sinh cha cao. 4. Những đề xuất và kiến nghị Để giảng dạy đạt kết quả tốt hơn, rất mong tổ chuyên môn, các bộ phận phụ trách chuyên môn của các cấp mở các chuyên đề hội thảo để giáo viên có cơ hội trao đổi học hỏi chuyên môn nghiệp vụ, nhằm nâng cao tay nghề, tháo gỡ những khó khăn giúp cho giáo viên tích luỹ đợc nhiều t liệu phục vụ giảng dạy 5. Lêi kÕt Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai trong chơng trình lớp 8, 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc rút trong quá trình giảng dạy, trong một chừng mực nào đó vấn đề dạy và học các phơng pháp và tìm lời giải cho.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> các bài tập thực sự có tác dụng cho học sinh để học sinh làm quen với phơng pháp suy nghĩ, tìm tòi. Giáo viên cần có yêu cầu cụ thể đối với tùng đối tợng học sinh, tăng cờng c«ng t¸c kiÓm tra bµi cò, cã biÖn ph¸p khÝch lÖ nh÷ng c¸c gi¶i hay, h¹n chÕ tèi ®a cho häc sinh t©m lý ch¸n m«n häc, û n¹i vµ chê gi¸o viªn ch÷a bµi tËp. Trên đây tôi đã trình bày một số kinh nghiệm khi dạy học sinh về phơng trình bËc cao. Víi chñ quan cña b¶n th©n ch¾c ch¾n cßn nhiÒu h¹n chÕ vµ thiÕu xãt. Mong nhận đợc sự góp ý.. T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n !. V¨ng Giang, ngµy 14 th¸ng 4 n¨m 2010 Ngêi viÕt. Hoµng H¶i D¬ng. Tµi liÖu tham kh¶o 1: Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi THCS – Đại số.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> T¸c gi¶ NguyÔn vò Thanh 2: LuyÖn thi vµo líp 10 m«n To¸n T¸c gi¶ L¬ng Xu©n TiÕn 3: ¤n kiÕn thøc luyÖn kü n¨ng §¹i sè 8, 9 T¸c gi¶ vò H÷u B×nh 4: 45 đề thi toán chọn lọc cấp THCS T¸c gi¶ Phan Do·n Tho¹i 5: Nh÷ng bµi to¸n ®iÓn h×nh - §¹i sè 9 T¸c gi¶ :NguyÔn C«ng Quú 6: To¸n n©ng cao vµ ph¸t triÓn líp 9 - TËp hai T¸c gi¶ Vò H÷u B×nh 7: Thùc hµnh gi¶i to¸n Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 8: Tuyển chọn theo chuyên đề tạp chi Toán học & Tuổi trẻ 9: T¹p chÝ To¸n Tuæi th¬ 2. môc lôc. Đặt vấn đề ............................................................................................... 1. I. Më ®Çu .................................................................................................... 1. II. NhiÖm vô nghiªn cøu ........................................................................... 1.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> III. §èi tîng nghiªn cøu ......................................................................... 2. IV. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu ................................................................... 2. V. Ph¹m vi nghiªn cøu .............................................................................. 2. Giải quyết vấn đề ................................................................................ 3. A. Nh÷ng kiÕn thøc c¬ së .......................................................................... 3. B. Một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình bậc cao....... 4. Ph¬ng ph¸p 1: §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ................................................ 4. Ph¬ng ph¸p 2: §Æt Èn phô ..................................................................... 7. Ph¬ng ph¸p 3: §a vÒ luü thõa cïng bËc ................................................ 13. Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức.......................................................... 14. Phơng pháp 5: Dùng hệ số bất định ......................................................... 15. Ph¬ng ph¸p 6: Dïng tÝnh chÊt vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh............... 16. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ........................................................................ 17. D. Bµi tËp luyÖn ........................................................................................... 18. KÕt luËn ................................................................................................... 19. 1. KÕt qu¶ ...................................................................................................... 19. 2. Bµi häc kinh nghiÖm................................................................................. 20. 3. Nh÷ng h¹n chÕ........................................................................................... 20. 4. §Ò xuÊt vµ kiÕn nghÞ................................................................................. 20. 5. Lêi kÕt......................................................................................................... 21. ý kiến nhận xét đánh giá của tổ KHTN.. .....................................................................................................................................................................................

<span class='text_page_counter'>(24)</span> .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... V¨n Giang, ngµy th¸ng 4 n¨m 2010 T.M tæ KHTN Tæ trëng. ý kiến nhận xét đánh giá của trờng.. .................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................

<span class='text_page_counter'>(25)</span> .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... V¨n Giang, ngµy th¸ng 4 n¨m 2010 T.M H§KH trêng. ý kiến nhận xét đánh giá của phòng giáo dục & Đào tạo. .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................

<span class='text_page_counter'>(26)</span> .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... V¨n Giang, ngµy th¸ng 4 n¨m 2010 T.M H§KH.

<span class='text_page_counter'>(27)</span>