Các dạng bài tập Hệ phương trình

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Heä phöông trình hai aån I. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN. a1x  b1y  c1 1. Bài toán: Giải và biện luận hệ phương trình:  a2 x  b2 y  c2 Caùch giaûi: b1. Tính các định thức:. D. a1 b1 a2 b2. ; Dx . c1 b1 c2 b2. ; Dy . a 1 c1 a 2 c2. b2. Ta coù: i/. D  0 :. Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x . D  0 ii/.  : Dx  0  hoặc Dy  0 . D Dx ,y y D D. Heä phöông trình voâ nghieäm. iii/. D  Dx  Dy  0 : Heä phöông trình coù theå voâ nghieäm, coù theå voâ soá nghieäm ( neân thay giaù trò cuï theå vaøo heä phöông trình roài keát luaän ) 2. Caùc ví duï: VD1: Cho heä phöông trình:.  x  my  3m (I)  mx  y  2m  1 1. Giaûi vaø bieän luaän heä (I) 2. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất (x0; y0), tìm các giá trị nguyên của m sao cho x0 và y0 là những số nguyên. VD2: Cho heä phöông trình:. mx  4y  m2  4   x  (m  3)y  2m  3 1. Với các giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn điều kiện x  y ? 2. Với các giá trị của m đã tìm được, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y. ( ÑH An Ninh 98 ) VD3: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình. (1  sin a)x  cos a.y  cos a  cos a.x  (1  sin a)y  sin a VD4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi a  R thì hệ phương trình có nghiệm. Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. - Lop12.net. Page 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  x  2ay  b  2 ax  (1  a)y  b. ( ĐH Công Đoàn 98 ). 3. Baøi taäp laøm theâm: (a2  1)x  (a  1)y  a 3  1 B1. Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình  2 3 (a  1)x  (a  1)y  a  1. mx  2y  m  1 B2. Cho heä phöông trình  2x  my  2m  5 a). Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình b). Khi hệ có nghiệm (x; y), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với m.. ax  y  b B3. Cho heä phöông trình  2  x  ay  c  c a). Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình b). Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm được c để hệ phương trình có nghiệm. II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1. f(x;y)  0 1. Daïng:  (1), trong đó: f(x;y) và g(x;y) là các biểu thức đối xứng theo x; y g(x;y)  0 2. Nhận dạng: Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ không đổi. Tức là: f(x;y)  0 f(y; x)  0 thay x bởi y     và thay y bởi x g(x;y)  0 g(y; x)  0.  x  y  xy  11 Chaúng haïn: heä phöông trình  2 2  x  y  3(x  y)  28 3. Caùch giaûi:. F(S;P)  0 b1. Dùng ẩn số phụ: Đặt S = x + y , P = xy. Ta được:  (2) G(S;P)  0 b2. Giaûi heä phöông trình (2) + Neáu S0 , P0 laø moät nghieäm cuûa heä (2) thì nghieäm x, y cuûa heä (1) laø nghieäm cuûa heä  x  y  S0   xy  P0 + Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t2 – S0.t + P0 = 0 (3) Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. - Lop12.net. Page 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b3. Keát luaän 4. Chuù yù: a). Heä (1) coù nghieäm (x; y)  Heä (2) coù nghieäm (S0; P0)  S2  4P  0 b). Neáu S20  4P0  0 thì phöông trình (3) coù 2 nghieäm phaân bieät t1 . S0  S20  4P0. vaø t2 . 2. S0  S02  4P0 2.  x  t1  x  t2 Khi đó hệ (1) có hai nghiệm tương ứng  vaø   y  t2  y  t1 c). Neáu S20  4P0  0 thì phöông trình (3) coù nghieäm keùp t1  t2  Khi đó hệ (1) có 1 nghiệm tương ứng x  y . S0 2. S0 2. d). Do tính đối xứng, “ neáu (x0; y0) laø moät nghieäm cuûa heä (1) thì (y0; x0) cuõng laø moät nghieäm cuûa heä (1)” . Do đó: Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm này có dạng (x0; x0) e). Các biểu thức đối xứng thông dụng: x2  y2   x  y   2xy  S2  2P 2. x 3  y 3   x  y   3xy  x  y   S3  3SP 3. . . x 4  y 4   x  y   4xy x2  y2  6x2 y2  S4  4P(S2  2P)  6P2  S4  4S2P  2P2 4. f). Đôi khi cần đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa ( ẩn ở mẫu ) 5. Caùc ví duï:  x2 y  xy2  30 VD1: Giaûi heä phöông trình  3 3  x  y  35. ( ÑH Moû – Ñòa chaát 98 ).  x  xy  y  2m  1 VD2: Ch heä phöông trình  2 2  x y  xy  m(m  1). (I). ( ÑHQG Haø Noäi 99 ). 1. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình (I) luôn luôn có nghiệm 2. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất. VD3: Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm  x2  y2  2(1  a)  2 (x  y)  4. ( ĐH Y Dược TpHCM 98 ). 6. Baøi taäp laøm theâm. Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. - Lop12.net. Page 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1  x  y   5  x y  B1. Giaûi heä phöông trình   x2  y2  1  1  9  x2 y2. ( ĐH Ngoại thương 97, khối D ). x  y  m B2. Cho heä phöông trình  2 2 2 x  y  6  m. ( Baùo chí, Tuyeân truyeàn 98, khoái D ). 1. Giaûi heä phöông trình khi m = 1 2. Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm. x  y  m  1 B3. Cho heä phöông trình  2 2 2  x y  xy  2m  m  3. ( ÑH Su phaïm Quy Nhôn 99 ). 1. Giải hệ phương trình với m = 3 2. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình trên luôn có nghiệm  x2  y2  5 B4. Giaûi heä phöông trình  4 ( ĐH Ngoại thương 98 ) 2 2 4  x  x y  y  13 1  (x  y)(1  xy )  5  B5. Giaûi heä phöông trình  (x2  y2 )(1  1 )  49  x2 y2.  x  y  x2  y2  8 B6. Cho heä phöông trình   xy(x  1)(y  1)  m. ( ĐH Ngoại thương 99, khối A ). ( ĐH Ngoại thương 97, khối A ). 1. Giaûi heä phöông trình khi m = 12 2. Xác định m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.  x  y  xy  11 B7. Giaûi heä phöông trình  2 2  x  y  3(x  y)  28 2 2  x  y  xy  7 B8. Giaûi heä phöông trình  4 4 2 2  x  y  x y  21. ( ÑHQGHCM 2000, khoái D ). ( ÑH Söphaïm HaøNoäi 2000, khoái B ). 2 2 2x  2y  3x  3y  6  0 B9. Giaûi heä phöông trình  2 2  x y  xy  19  0. x  y  5 B10. Giaûi heä phöông trình  4 4  x  y  97. Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. - Lop12.net. Page 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2. f(x;y)  0  f(y; x)  0. 1. Daïng:. 1 2. 2. Nhaän daïng: Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại. Ta coù: f(x;y)  0. 1. thay x bởi y   f(y; x)  0 và thay y bởi x. 2.  x2  2x  3y  0 Chaúng haïn: heä phöông trình  2 y  2y  3x  0. 3. Caùch giaûi: b1. Biến đổi. f(x;y)  0  f(y; x)  0. 1 2. . f(x;y)  0  f(x;y)  f(y; x)  0. . f(x;y)  0  (x  y).g(x;y)  0. x  y  f(x;y)  0    g(x;y)  0   f(x;y)  0. A B . b2. Giaûi heä phöông trình (A) vaø (B) Chú ý: Có thể biến đổi hệ (B) về hệ phương trình đối xứng loại 1 để giải như sau: g(x;y)  0 g(x;y)  0 B     C ( Hệ (C) là hệ đối xứng loại 1 )  f(x;y)  0 f(x;y)  f(y; x)  0 b3. Keát luaän 4. Caùc ví duï:  2x   VD1: Giaûi heä phöông trình  2y  . 1 3  y x 1 3  x y. Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. ( ÑHQG Haø Noäi 99, khoái B ). - Lop12.net. Page 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3 2 2  x  y  7x  mx VD2: Cho heä phöông trình  3 2 2 y  x  7y  my. ( ÑHSöphaïm Vinh 99 ). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. VD3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2  xy  x  m(y  1)  2  xy  y  m(x  1).  y2  2 3y   x2  VD4: Giaûi heä phöông trình  2 3x  x  2  y2. ( ÑH Haøng haûi 97 ). ( ÑH khoái B 2003 ). 5. Baøi taäp laøm theâm:  x 3  3x  8y B1. Giaûi heä phöông trình  3 y  3y  8x. ( ÑHQG Haø Noäi 98 ). 4y   x  3y  x B2. Giaûi heä phöông trình  y  3x  4x  y. ( ÑHQG Haø Noäi 97 ). 2 3 2 y  x  4x  ax B3. Cho heä phöông trình  2 3 2  x  y  4y  ay. ( ÑHQG TpHCM 96 ). Xác định a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x 3  7x  3y B4. Giaûi heä phöông trình  3 y  7y  3x 2 y  (x  y)  2m B5. Cho heä phöông trình  2  x  (y  x)  2m. 1. Giaûi heä phöông trình khi m = 0 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2 2 2x  3x  y  2 B6. Giaûi heä phöông trình  2 2 2y  3y  x  2. Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. ( ÑHQG Haø Noäi 2000). - Lop12.net. Page 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  2 2x  y  B7. Giaûi heä phöông trình  2y2  x  . 1 y 1 x. ( HV Chính trò 2001 ). B8. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.  x  12  y  a   2  y  1  x  a. ( ÑH Söphaïm HCM 2001 ). 2  xy  x  m(y  1) B9. Cho heä phöông trình  2  xy  y  m(x  1). ( ÑH Haøng haûi 97 ). 1. Giaûi heä phöông trình khi m = –1 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2 3 2 y  x  4x  ax B10. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.  2 3 2  x  y  4y  ay. IV. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP. f (x;y),f2 (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc f1(x;y)  g1(x;y) 1. Daïng:  (I), với:  1 f2 (x;y)  g2 (x;y) g1(x;y),g2 (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc + Đa thức hai biến x và y có dạng: P(x; y)  an xn  an1xn1y  an2 xn2 y2    a1xyn1  a0 yn. + Trong đó: n là số nguyên dương  n  N * và các hệ số a0 ,a1,...,an không đồng thời bằng 0 được gọi là đa thức dẳng cấp bậc n 2. Caùch giaûi: b1. Giaûi heä (I) khi x = 0 b2. Giaûi heä (I) khi x  0. F(x; t)  0 KHỬ x  t  t0  h(t)  0  + Đặt y = t.x , ta được:  (II)  Giaûi phöông trình G(x; t)  0. F(x; t0 )  0 Theá t0 , x0 tìm y0 Giaûi heä (III)  y0  t0 .x0 + Thay t = t0 vaøo (II), ta coù:  (III)   x  x0  G(x; t )  0 0  b3. Keát luaän 3. Chuù yù: 3.1. Theo caùch giaûi neâu treân, ta coù theå giaûi heä (I) nhö sau: b1. Giaûi heä (I) khi y = 0 Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. - Lop12.net. Page 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> b2. Giải hệ (I) khi y  0 . Đặt x = t.y ( làm tương tự như trên ) b3. Keát luaän 3.2. Đối với hệ đẳng cấp bậc hai, ta có thêm phương pháp giải như sau: b1. Sử dụng phép biến đổi tương đương, khử y2 ( hoặc khử x2 ). Từ đó tính y theo x ( hoặc tính x theo y ) b2. Sử dụng phép thế, ta được phương trình bậc 4 trùng phương. b3. Giaûi phöông trình baäc 4 truøng phöông noùi treân vaø keát luaän 4. Caùc ví duï:. ìïx 3 - y 3 = 7 VD1: Giaûi heä phöông trình ïí (QGHN 97) ïïîxy(x - y) = 2 ì ï 2y(x2 - y2 ) = 3x ï VD2: Giaûi heä phöông trình í 2 ( Moû ñòa chaát 97 ) 2 ï ï îx(x + y ) = 10  x2  2xy  3y2  9 VD3: Giaûi heä phöông trình  2 2 2x  13xy  15y  0. ( ÑH Ngaân haøng 2001 ). ì ï 3x2 + 2xy + y2 = 11 ï VD4: Cho heä phöông trình í 2 (QGHCM 98 ) 2 ï x + 2xy + 3y = m + 17 ï î 1. Giaûi heä phöông trình khi m = 0 2. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm. 5. Baøi taäp laøm theâm: 3x2  5xy  4y2  3 B1. Giaûi heä phöông trình  2 2 9y  11xy  8x  6  x2  3y2  2xy  9 B2. Giaûi heä phöông trình  2 2 2x  2xy  y  2 2 3x  2xy  16 B3. Giaûi heä phöông trình  2 2  x  3xy  2y  8. 3 3 y  x  7 B4. Giaûi heä phöông trình  2 2 2x y  3xy  16. ( ÑH Kieán truùc HCM 95 ). ( ÑH SöphaïmHCM 2000 ). ( ÑH Haøng haûi 2000 ). ( ÑH Kieán truùc HaøNoäi 98 ). 2 2 6x  xy  2y  56 B5. Giaûi heä phöông trình  2 2 5x  xy  y  49. Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. - Lop12.net. Page 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> V. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH KHAÙC 1. Caùch giaûi: Dùng các phép biến đổi, đưa về hệ phương trình đã biết cách giải. Thường gặp các trường hợp nhö sau: + Trường hợp 1: Nếu biểu thị được một ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép thế + Trường hợp 2: Nếu biến đổi được một phương trình của hệ thành phương trình tích số thì ta phân tích hệ đã cho thành nhiều hệ đơn giản + Trường hợp 3: Nếu phát hiện trong hệ có những biểu thức đồng dạng thì ta dùng aån soá phuï 2. Caùc ví duï:. ïìx + y = m VD1: Cho heä phöông trình ï í ïïî(x + 1)y2 + xy = m(y + 2) 1. Giaûi heä phöông trình khi m = 4 2. Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm. ( ÑHQGHCM 97 ). ì ïx2 - y2 + a(x + y) = x - y + a VD2: Cho heä phöông trình ïí 2 (HV Kyõ thuaät QS 98 ) 2 ï x + y + bxy = 3 ï î 1. Giaûi heä khi a = b = 1 2. Xác định a, b để hệ có nhiều hơn 4 nghiệm phân biệt. ìïxy - 3x - 2y = 16 VD3: Giaûi heä phöông trình ïí 2 ïïîx + y2 - 2x - 4y = 33 1 1  x   y  x y VD4: Giaûi heä phöông trình  2y  x 3  1 . ( ÑHGTVT 99 ). ( ÑH 2003, khoái A ). 3. Baøi taäp laøm theâm:  x2  3x2 y  y2  5 B1. Giaûi heä phöông trình  2 2x  y  3. Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. ( ĐH Hồng Đức 99 ). - Lop12.net. Page 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  (x  y)(2   B2. Giaûi heä phöông trình  (x  y)(2  . 1 ) xy 1 ) xy. 9 2 5 2.  x2  y2  3x  4y  1 B3. Giaûi heä phöông trình  2 2 3x  2y  9x  8y  3. ( ÑH Söphaïm HaøNoäi 99 ).  2x  y 2  5(4x2  y2 )  6  2x  y 2  0  B4. Giaûi heä phöông trình  1 3 2x  y  2x  y . B5. Giaûi heä phöông trình.  x  y  z  6   xy  yz  zx  12 2 2 2    3  x y z. ( ĐH Xâydựng 97 ). ( ÑH Thuûy saûn 98 ). B6. Giaûi heä phöông trình 2x  y  5  x  y  1 2x  y  6 a).  2 b).  3 c).  2 2 3 2  x  y  10  x  y  3(x  y)  x  3xy  y  10. x  y  2 d).  2 2  x  y  34. 2 2  x2  y2  2xy  8 2  x y  y x  30 3(x  y)  x2  y2  x  4y  17 e).  2 f). g). h).    2  x  xy  4y  0  xy  2  x x  y y  35  x  y  4. B7. Giaûi heä phöông trình  x  y  40  a).  xy  z  0 x  y  8  2. 2.  x  y  z  9  b).  xy  yz  zx  27 1 1 1    1  x y z. B8. Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình x  y  m a).  2 2  x  y  2x  2.  x  y  z  13  c).  x2  y2  z2  61  xy  zx  3yz . 2x  y  m b).  2  xy  2y  3y. B9. Giaûi heä phöông trình  x2  2x  y  1 a).  2  x  y  1. 2 2 2 2 3 x  5y  9  0  x  2xy  3y  0  x  2xy  3y  0 b).  c).  d).   x x  y y  2  x x  y y  2 2x  y  7  0. Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. - Lop12.net. Page 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh. - Lop12.net. Page 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>