tom tat ly thuyet va cong thuc ly 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1 Chương 1. Ứng dụng của đạo hàm. Soå Tay Giaûi Tích 12. www.saosangsong.com.vn. 1. Tính đơn điệu. • Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu : ∀ x1, x2 ∈ K maø x1 < x2 thì f(x1) < f(x2) • Haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân K neáu : ∀ x1, x2 ∈ K maø x1 < x2 thì f(x1) > f(x2) Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.. a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I. b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng I. c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f(x) không đổi trên khỏang I Nhớ :Nếu dấu của f’(x) là dấu của tam thức ax2 + bx + c. 2. f(x) có CĐ (CT) tại x0 => f ’(x0) = 0 => m. Sau đó thử laïi baèng daáu cuûa f’ hay f ” (x0 ).. 3.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. trên đoạn [a ; b] 1. Tìm các điểm x1 ,x2 , … , xn trên [a;b] tại đó f ’(x) = 0 hay khoâng xaùc ñònh 2. Tính f(a), f(x1) , f(x2) , … , f(xn) , f(b) 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các soá treân thì : M = maxf(x) vaø m= minf(x) [a,b] [a;b] 4. Tieäm caän : (C) : y = f(x) • y = y0 là đường tiệm cận ngang của (C) nếu lim f(x) = y o x →∞. ⎧a > 0 thì : a) f(x) đồng biến trên R Ù ⎨ 2 ⎩Δ = b − 4ac ≤ 0. •. a<0 b) f(x) nghòch bieán treân R Ù ⎧⎨ 2 ⎩Δ = b − 4ac ≤ 0 2. Cực trị. Định lí 1 : Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 .Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì f’(x0) = 0 Ñònh lí 2 : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khỏang K =(x0 – h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K a) Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 b) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0. •. Định lí 3 : Giả sửhàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (x0 – h ; x0 + h) . Khi đó a) Nếu f’(x0 ) = 0 , f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu b) Nếu f’(x0 ) = , f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại Nhớ: 1. f(x) coù CÑ, CT Ù f ’ (x) = 0 coù ít nhaát 2 nghieäm phaân bieät. x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị haøm soá y = f(x) nếu lim f(x) = ∞ x → xo. y = ax + b , a ≠ 0 đường tiệm cận xiên nếu : lim[f(x) - (ax + b)] = 0 x →∞. 5. Phép biến đổi đồ thị . 5.1. Phép đối xứng : a) qua trục Ox của đồ thị y = f(x) là đồ thị y = - f(x) b) qua trục Oy của đồ thị y = f(x) là đồ thị y = f(- x) c) qua gốc tọa độ của đồ thị y = f(x) là đồ thị y = - f( - x) 5.2. Công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến. JJG ⎧ x = X + xo OI = (x 0 ; y 0 ) : ⎨ ⎩y = Y + y o (C) : y = f(x) Ù (C) : Y = f(X + x0) – y0. Cho (C) : y = f(x) : • Đồ thị (C1) : y = f(|x|) gồm 2 phần : ™ Phần (I) trùng với phần (C) ứng với x ≥ 0 ™ Phần (II) đối xứng phần (I) qua Oy. • Đồ thị (C2) : y = | f(x) | gồm 2 phần : ™ Phần (I) trùng với phần (C) ở phía trên O x ™ Phần (II) đối xứng qua Ox với phần (C) ở phía dưới Ox.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 6.1. KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 1. y = ax3 + b x2 + cx + d. y. 4. Hàm số phân thức y =. y. ( a ≠ 0) • D = R • y’ = 3ax2 + 2bx + c ; Δ’ = b2 – 3ac Δ’ ≤ 0 : a > 0 => y đồng biến trên R a< 0 => y nghòch bieán treân R Δ’ > 0 : y’ = 0 Ù x = x1,2 : cực trị a>0 a<0 x - oo x1 x2 + oo x - oo x1 x2 + oo y’ + 0 - 0 + y’ - 0 + 0 y y. x. x. y x y x. © nhận Oy làm trục đối xứng. ax + b ( c ≠ 0 , ad – bc ≠ 0 ) cx + d Taäp xaùc ñònh D = R \ {−d / c}. 6.3. Hàm số phân thức y = y. •. y. y’ = ad − bc (cx + d )2 ™ Nếu ad – bc > 0 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ™ Neáu ad – bc < 0 thì haøm soá nghòch bieán trên từng khoảng xác định ™ Nhớ: Nếu ad = bc = 0 thì y = a/c • TCN: y = a/c , TCÑ : x = - d/c • BBT ad – bc > 0 ad – bc < 0 x - oo -d/c + oo x - oo -d/.c +oo •. x. x. ( C) nhaän ñieåm uoán laøm tâm đối xứng. y. y. x. x. 6.2. y = ax4 + b x2 + c (a ≠ 0) • D = R • y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) ™ ab ≥ 0 : 1cực trị ™ ab < 0 : 3 cực trị a > 0, b > 0 x - oo 0 y’ - 0 +. y’. +. +. y’. y. + oo. -. y. y’ y. 2. x. −. - oo -. −b 2a 0. −b 2a. 0 +. 0. -. 0. + 0. -. -. 0. +. y Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận y. y. x x. x. 7. Một số bài toán về KSHS 7.1.Giao điểm của hai đồ thị Cho (C1) y = f(x) và(C2) y = g(x) . Hệ pt tọa độ giao điểm : ⎧f(x) = g(x) (1) : phương trình hoành độ giao điểm ⎨ ⎩y = f(x) Soá nghieäm cuûa (1) laø soá giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2. + oo +. y’. -. y. x. (prb’ ≠ 0) • Taäp xaùc ñònh R \ { - c’/b’} g(x) ab ' x 2 + 2ac' x + bc'− b ' c = • y’ = (b ' x + c')2 (b ' x + c')2 ™ Nếu g(x) VN :y đồng biến khi ab’ > 0 hay nghịch biến nếu ab’ < 0 trên từng k xác định. ™ Nếu g(x) có 2 nghiệm : y có 2 cực trị. • TCÑ: x = - c’/b’, TC X : y = px + q • Đồ thị là hyperbol xiên góc có tâïm đối xứng là giao ñieåm cuûa hai tieäm caän • BBT ( trường hợp có 2 cực trị và p > 0) x - oo x1 - c’/b’ x2 + oo. y. y. a > 0, b < 0. ax 2 + bx + c r =px+q+ b ' x + c' b'x + c'. Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận. 7.2. Phöông trình tieáp tuyeán Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) của hàm số y = f(x) taïi ñieåm M(x0; f(x0) thuoäc (C ) laø : y – y0 = f’(x0) (x – x0).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 7.3. Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong ⎧ f(x) = g(x) (1) Ñònh lí : (C1) vaø (C2) tieáp xuùc Ù heä ⎨ coù no. ⎩ f '(x) = g '(x) Neáu (1) laø pt baäc 2 thì ñktx laø Δ = 0. Aùp duïng : Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) : y = f( x) bieát d qua ñieåm A. ™ Bước 1: Pt d qua A có dạng y = k (x – xA) + yA ⎧ f(x) = k(x − x A ) + y A (1) ™ Bước 2 : d tiếp xúc (C) Ù ⎨ ⎩ f '(x) = k (2) ™ Thế k từ (2) vào (1), ta được pt tính hoành độ tiếp điểm ™ Giải để tìm x , thế vào (2), được k => pt của d. 7.4. Họ đồ thị qua các điểm cố định . Cho họ đồ thị (Cm) : y = f(x) phụthuộc tham số m. ™ M(x0; y0) ∈ (Cm) Ù y0 = f(x0) (*) ™ Biền đổi (*) về dạng Am + B = 0 (1) hay Am2 + Bm + C = 0 (2) ™ (Cm) qua đ cố định thoả A = B = 0 (A = B = C = 0) 7.5. Tìm tập hợp những điểm M thỏa một tính chất nào đó. ™ Tìm điều kiện m ∈ K để điểm M tồn tại. ™ Tìm hoành độ x theo tham số m và tung độ y theo x vaø m : y = f(x, m) ™ Tính m theo x và thế vào y = f(x, m) ta được y = g(x ). ™ Giaûi ñieàu kieän m ∈ K thaønh ñieàu kieän cuûa x ∈ D . Kết luận : tập hợp là đồ thị hàm số y = g(x) với x. ∈ D.. ÔN ĐẠO HAØM 1. Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm xo :. f ( xo + Δx ) − f ( xo ) Δy = lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx. f '( xo ) = lim. 2.. Ý nghĩa hình học của đạo hàm : Định lý : Đạo hàm của hàm số tại điểm xo là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại điểm Mo( xo , f(xo)) thuộc ( C ) • Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại Mo ( xo , yo) thuộc ( C) laø : y = f’( xo) ( x – xo) + f(x0) .. 3. 3 . Các quy tắc tính đạo hàm. Ch ương 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit. (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ ; (uv)’ = u’v + uv’ (ku)’ = k.u’ ; (un)’ = nun – 1. u’. ⎛ u ⎞ u ' v − uv ' ⎜ ⎟' = v2 ⎝v⎠. 1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Với a ∈ R+ và số hữu tỉ r = m/n (tối giản) trong đó m ∈ Z ,. ⎛ k ⎞ − kv ' ;⎜ ⎟ ' = 2 v ⎝v⎠. m. n∈N* , ta ñịnh nghĩa :. Lũy thừa với số mũ vô tỉ a) Ñịnh nghĩa . Cho soá voâ tæ α = lim rn , theá thì. ( f ⎡⎣u ( x )⎤⎦ ) ' = f '[u ].u '( x). n → +∞. a = lim a α. 4. Bảng công thức đạo hàm.. n →+∞. (a x + b)’ = a (un)’ = nun – 1. u’ u' u '= 2 u u' ⎛1⎞ ⎜ ⎟' = − 2 u u ⎝ ⎠. (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx. (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = - u’.sinu. ( ). 1 = 1 + tan2x cos 2 x. (tanu)’ =. 1 sin 2 x. (cotgu)’ = −. (cotx)’ = −. = -(1 + cot2x). rn. b) Tính chất . Cho a, b > 0 , α , β ∈ R , ta coù :. (C’) = 0 (x n ) = nxn - 1 1 ( x )' = 2 x 1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟' = − 2 x x ⎝ ⎠. (tanx)’ =. ar = a n = n am. u' cos 2 u 2. = (1 + tann ). u’. u' sin 2 u. = -(1+ cot2u ). u’. •. aα = aα−β aβ α aα ⎛a⎞ (ab)α = aα bβ ; ⎜ ⎟ = β b ⎝b⎠ α α β αβ a > 0 ; (a ) = a. •. Neáu a > 1 : a > a <=> α > β. •. Neáu 0 < a < 1 : a > a <=> α < β. • •. aα .aβ = aα+β ;. α. β. α. β. 2. Hàm số lũy thừa y = xα • Đạo hàm : Với mọi x > 0 và (x α )’ = α x α Toàng quaùt : (u α )’ = α u α - 1u’ Khaûo saùt y = x α treân (0 ; + ∞ ) a) α > 0 : • Hàm số luôn đồng biến từ 0 đến + ∞. • Khoâng coù tiệm cận Đồø thị luôn qua điểm (1 ; 1) .. y. α >1. -1. α =1 0< α <1. 1 1. x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> α <0 • • •. y. Haøm soá luoân nghòch biến từ + ∞ đến 0. Tc ngang Ox , tc đứng Oy Đồø thị luôn qua điểm (1;1). a >1. ™. x. Quy taéc tính loâgarit Ñònh lí 1 : ∀ a, b1, b2 > 0 vaø a ≠ 1 :. log a b1 b 2 = log a b1 + loga b2 ; log a. b1. b2. 5. Haøm soá loâgarit y = log a x ( a > 0 , ≠ 1) * Hàm số y = lnx có đạo hàm là y’= 1/ x , ∀ x > 0. 1 * Hàm số y = log a x có đạo hàm y’= ,∀ x > 0 x ln a Toång quaùt : (ln|u||)’ = u’/u ; (loga|u|)’ = u’/(ulna) ; ∀ u ≠ 0 ™ Coù taäp xaùc ñònh laø (0 ; + ∞ ). ™ Đạo hàm y’ = 1/(xlna) , suy ra : * a > 1 : đồng biến từ (0 ; + ∞ ) đến (- oo ; + oo). * 0 < a < 1 : nghịch biến từ (0 ; + ∞ ) đến (+ oo ; - oo) a <1. y. = log a b1 − log a b 2 ; x. log a b = α log a b (∀α ∈ R). 1. m 1 = − log a b ; loga n b m = log a b b n Công thức đổi cơ số. 1 1. Ñaëc bieät: log a. loga b =. log c b 1 1 ; log aα b = log a b ; log a b = α log c a log b a. 4. Haøm soá muõ y = ax ( a > 0 , ≠ 1).õ • Hàm số y = ex có đạo hàm là y’= ex , ∀ x. • Hàm số y = ax có đạo hàm là y’= ax lna , ∀ x. Tổng quaùt : (eu)’ = eu.u’ ; (au)’= au.lna.u’ ™ Coù taäp xaùc ñònh laø R. ™ Đạo hàm : y’ = ax lna , suy ra : * a > 1 : đồng biến từ ( -oo; + oo) đến (0 ; + oo). * 0 < a < 1: nghịch biến từ ( -oo; + oo) đến (+ oo ; 0).. 4. a >1. y. α. •. ™. x. 1. 3. Loâgarit O x 1 • Ñịnh nghĩa loâgarit α = loga b Ù a α = b (a , b > 0 , a ≠ 1) (a : cơ số , b đối số) • Tính chất log a 1 = 0 ; log a a = 1 ∀ a, b > 0 , a ≠ 1 : loga b a = b ; logaα aα = α (α ∈ R) •. a <1. α<0. y. 7. Phương trình loâgarit Daïng 1: Phương trình daïng cô baûn :. y. x. 6. Phöông trình muõ Daïng 1. ⎧b > 0. ax = b (a > 0 , ≠ 1) Ù ⎨ ⎩x = loga b au(x) = av(x) <=> u(x) = v(x). với a > 0 , ≠ 1. Daïng 2 : Ñöa veà daïng : a u(x) = b v(x ) ( a, b > 0 , ≠ 1) Lấy lôgarit cớ số a hai vế : u(x) = v(x). logab Daïng 3 : Baèng caùch ñöa veà cuøng một cô soá roài ñặt aån soá phụ để được phương trình bậc 2, 3 theo ẩn số phụ . Dạng 4 : Sử dụng chiều biến thiên để giải pt f(x) = 0 • Tìm một nghiệm x0 bằng phép thử f(x0) = 0 • Nếu f(x) luôn đồng biến hay luôn nghịch biến thì x0 laø nghiệm duy nhaát.. ⎧⎪0 < a ≠ 1 log a u(x) = b <=> ⎨ b ⎪⎩ u(x) = a ⎧0 < a ≠ 1 ⎪ log a u(x) = log a v(x) <=> ⎨ u(x) > 0 (hay v(x) > 0) ⎪ u(x) = v(x) ⎩. Daïng 2 : Trong trường hợp tổng quaùt ta ñöa phương trình veà dạng cơ bản theo các bước sau : ¾ Đặt điều kiện cho các cơ số ( > 0 , ≠ 1) , đối số ( > 0). ¾ Đưa các biểu thức về cùng cơ số và dùng quy tắc tính toán để biến đổi phương trình về dạng cơ bản. log a u(x) = log a v(x). Giaûi phương trình u(x) = v(x) roài choïn nghiệm thoûa điều kiện đã nêu. Daïng 3: Ñöa p trình veà daïng baäc 2, 3 qua pheùp ñặt aån soá phuï Dạng 4 : Sử dụng chiều biến thiên để giải pt f(x) = 0 8. Heä phương trình muõ – loâgarit Nhắc lại các phưong pháp giải hệ đả biết : • Phưong phaùp theá • Phưong phaùp coäng • Phưong pháp đặt ẩn số phụ để biến đổi hệ về các dạng quen thuộc như hệ bậc nhất , hệ đối xứng. . . 9. Baát phương trình muõ 1) Baát phương trình muõ cô baûn . ¾. ⎧a > 1 ⎧0 < a < 1 hay ⎨ > g(x) f(x) ⎩ ⎩f(x) < g(x). af(x) > ag(x) Ù ⎨. 2) Tương tự nhö ñối với phương trình muõ , ta coù theå biến ñổi bất phương trình về dạng cơ bản bằng cách sử dụng các phưong phaùp : • loâgarit hoùa hai veá • ñặt aån soá phuï 3) Duøng phưong phaùp khaûo saùt haøm soá : • Nếu f là hàm số đồng biến trên K thì ∀ x1, x2 ∈ K: f(x1) < f(x2) Ù x1 < x2 • Nếu f laø haøm soá nghòch bieán treân K thì ∀ x1, x2 ∈ K : f(x1) < f(x2) Ù x1 > x2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 10. Baát phương trình loâgarit 1) Baát phương trình loâgarit cô baûn . ⎧⎪a > 1 ⎧⎪0 < a < 1 hay ⎨ b b ⎪⎩0 < f(x) < a ⎩⎪f(x) > a. •. logaf(x) > b Ù ⎨. •. Ñaëc bieät logaf(x) > 0 ⎧a > 1 ⎧0 < a < 1 hay ⎨ Ù⎨ ⎩f(x) > 1 ⎩0 < f(x) < 1. logaf(x) > loga g(x) Ù. •. ⎧a > 1 ⎧0 < a < 1 hay ⎨ ⎨ > g(x) > 0 f(x) ⎩ ⎩0 < f(x) < g(x). 2) Ñaët aån phuï 3) Dùng phương pháp khảo sát như đối với phương trình mũ. Ch ương 3. Nguyeân haøm vaø tích phaân §1.Nguyeân haøm . I.Ñònh nghóa. Haøm soá F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) trên khoảng (a;b) Ù F’(x) = f(x) với mọi x thuộc khoảng (a;b) II. Ñònh lyù1. F(x) vaø G(x) laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) Ù G(x) = F(x) + C ( C laø moät haèng soá ) Tập hợp tất cả các nguyên hàm F(x) + C kí hiệu III. Tính chaát cuûa nguyeân haøm .. ( ∫ f ( x) ) ' = f ( x). 1.. ;. ∫ f ( x)dx. ∫ ( f ( x) ) ' dx = f ( x) + C .. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ( k laø moät haèng soá ) ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx. 2. 3.. 2. Phương pháp đổi biến số . Ñònh lyù 2 : ∫ f (u ( x ))u '( x ) dx = F (u ( x )) + C Aùp duïng:. (ax + b)n +1 + C (n ≠ −1) ∫ a 1 1 1 ax + b ax + b ∫ ax + b = a ln | ax + b | +C ∫ e dx = a e + C 1 ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C . . . 2. Tích phaân . I. Ñònh nghóa tích phaân . F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) trên đọan [a,b] . Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân (ax + b)n dx =. b. ác định trên đoạn [a.b] của f(x)), ký hiệu. IV. Định lý 3. Mọi hàm số f(x) liên tục trên một khoảng. a. b. F ( x) a để chỉ hiệu số F(b) – F(a).. đều có có nguyên hàm trên khoảng đó. V. Baûng nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá sô caáp .. II. Tính chaát cuûa tích phaân . 1:. ∫ 0dx = C ∫x. α. dx =. ∫ dx = x + C 1. α +1. xα +1 + C (α ≠ −1). 1 1 ∫ kx dx = k ln x + C. ∫ f ( x)dx hay. b. b. a. a. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b. 1. ∫ cos kxdx = k sin kx + C 1 ∫ sin kxdx = − k cos kx + C. ( k laø moät haèng soá).. b. b. 2 : ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x)dx . a. 3:. a. a. b. c. b. a. a. c. ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . ( a < c < b ). 4. Nếu hàm số f(x) không âm trên đoạn [a,b] và liên tục trên b. kx ∫ e dx =. 1 kx e +C k. 1 1 ∫ cos 2 kx dx = k tan kx + C. kx ∫ a dx =. a kx + C (a > 0; a ≠ 1) k ln a. ∫ sin. 1 2. kx. 1 dx = − cot kx + C k. ∫ f ( x)dx ≥ 0 .. đoạn này thì :. a. III.Phöông phaùp tính tích phaân. 1.Phương pháp tích phân từng phần . Ñònh lyù 1 :. b. b. ∫ u ( x)v '( x)dx = u ( x)v '( x) a − ∫ u '( x)v( x)dx . Hay b. a. VI. Phöông phaùp tìn nguyeân haøm 1. Phương pháp nguyên hàm từng phần Ñònh lyù 1 : ∫ u ( x )v '( x ) dx = u ( x ).v ( x ) − ∫ u '( x)v ( x) dx hay. ∫ udv = u.v − ∫ vdu. a. b. b. a. a. b II. ∫Phöông udv = uv a −phaùp ∫ vdu . tính nguyeân1. Phöôn. 2. Phương pháp đổi biến số . Daïng 1:. ∫ a. 5. u (b ). b. f (u ( x)).u '( x) dx =. ∫. u(a). f (u )du.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Daïng 2 .Neáu x = ϕ (t ) , b. ∫ a. ϕ (α ) = a ; ϕ ( β ) = b thì:. β. f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )].ϕ '(t )dt . α. 3 . Ứng dụng của tích phân trong hình học. I. Tính dieän tích . a. Diện tích hình thang cong hạn định bởi (C) y = f(x) , trục Ox , hai đường thẳng x = a ; x = b cho bởi :. b. S1. S = ∫ f ( x) dx (a < b) . a. a. b S2. Đặc biệt : Diện tích giới hạn bởi (C) y = f(x ) và trục hoành laø. l. ∫ | f(x) | dx , trong đó n, l lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và n. lớn nhất của phương trình hoành độ giao điểm : f(x ) = 0 b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = f1(x) ; y = f2(x) l. S = ∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx (n < l ) . n. trong đó n, l lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình hoành độ giao điểm : f(x ) – g(x ) = 0 II. Tính theå tích khoái troøn xoay . ⎧y = f(x) ⎪ a. Khi quay hình phaúng ⎨y = 0 (truïc Ox ) quanh truïc O x ta ⎪x = a ; x = b ⎩ được khối có thể tích là Vx cho bởi công thức : b. Vx = π ∫ [ f ( x) ] dx . 2. a. b. Công thức tương tự khi cho một hình phẳng. 6. ⎧x = f(y) ⎪ ⎨x = 0 truïc Oy) quay quanh truïc Oy. ⎪y = a ; y = b ⎩ b. Vy = π ∫ [ g ( y ) ] dy . 2. z + z = (a + bi ) + (a − bi ) = 2a z.z = (a + bi )(a − bi ) = a 2 + b 2 = z IV. Nghịch đảo của số phức số phức. Chương 4. Số phức. C = { z = a + bi / a, b ∈ R ; i 2 = −1}. a được gọi là phần thực của z ; b được gọi là phần ảo của z . ⎧a = a ' a + bi = a '+ b ' i ⇔ ⎨ * ⎩b = b ' * Biểu diễn hình học của số phức . Điểm M(a,b) trong hệ trục Oxy được gọi là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi .. JJJJG Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và JJJJG JJJJG kyù hieäu laø z . z = OM hay a + bi = OM = a 2 + b 2 * Số phức liên hợp . Số phức z = a – bi được gọi là số phức liên hợp của z = a + bi Ta coù caùc tính chaát sau :. •z = z • z = z Trong mặt phẳng phức , các điểm biểu diễn của z và z đối xứng nhau qua trục Ox . 3 . Các phép toán trên số phức I. Phép cộïng – Phép trừ . (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) – (b – d)i II. Pheùp nhaân . (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) 2 Chuù yù : i = -1 ; i3 = i2 .i = -i ; i4 = i2 . i2 = (-1).(-1) = 1 v..v .. III.Tổng và tích của hai số phức liên hợp .. 1 vaø : z. 1 z 1 a − ib ; = = z z2 a + ib a 2 + b 2. a. 1. Số i . Căn bậc hai của số thực âm . * Soá i laø soá thoûa i2 = -1 . *. Caên baäc hai cuûa soá aâm A laø ± i −A 2. Dạng đại số của số phức . * Tập hợp các số phức là C :. z ≠ 0 laø. 2. V. Chia hai số phức : Nhân tử và mẫu với (a – bi) . c + di (c + di )( a − bi ) ac + bd ad − bc = = 2 + i . a + bi a2 + b2 a + b2 a 2 + b2 VI. Liên hợp của tổng , hiệu , tích , thương hai số phức .. z1 ± z2 = z1 ± z2 ;. z1.z2 = z1.z2 ; (. z1 z ) = 1 ( z2 ≠ 0) ; z2 z2. z n = (z)n z1 .z 2 = z1 . z 2. ;. z z1 = 1 ; z2 z2. zn = z. n. 4.Khai phöông vaø giaûi phöông trình baäc hai . I. Cho số thực âm A ( A < 0 ) . Hai căn số bậc hai của A là :. ± i − A [ do ( ± i − A ) 2 = i 2 (− A) = A] II.Căn bậc hai của số phức (a + bi) là số phức (x + yi) định bởi :. ⎛ a + a 2 + b2 −a + a 2 + b2 +i x + iy = ± ⎜ ⎜ 2 2 ⎝. ⎞ ⎟ khi b ≥ 0 ⎟ ⎠. ⎛ a + a 2 + b2 −a + a 2 + b 2 ⎜ −i x + iy = ± ⎜ 2 2 ⎝. ⎞ ⎟ khi b < 0 ⎟ ⎠. III.Nghieäm cuûa phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 cho bởi công thức :. x= trong đó. −b ± ω (a ≠ 0) . 2a. ω laø moät caên baäc hai cuûa Δ = b 2 − 4ac .. Ñònh lyù Vi-eùt: x1 + x2 = −. b c ; x1 x2 = a a.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 5 .DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC I. Môđun và argumen của số phức M là điểm biểu diễn của số phức z: • độ dài OM được gọi là môdun của số phức z.. •. Góc lượng giác. ϕ = ( Ox, OM ) được gọi là. argumen của số phức z và kí hiệu là arg(z) Argumen của số phức z được xác định sai khác một bội số của 2 π nhưng ta thường coi arg(z) là giá trị không aâm nhoû nhaát cuûa ϕ II. .Dạng lượng giác của số phức Goïi r vaø ϕ laø moâñun vaø argumen cuûa z = a + bi :. ⎧ r = a2 + b 2 ⎪ ⎨ b Ù z = r(cos ϕ + isin ϕ ) a ⎪cos ϕ = ; sin ϕ = ⎩ r r dạng lượng giác của số phức z III. r1(cos ϕ 1+ isin ϕ 1) = r2 (cos ϕ 2 + isin ϕ 2) r1 = r2 ⎧ ⇔⎨ ϕ = ⎩ 1 ϕ2 + k2π. 6. CÔNG THỨC MOA-VRƠ Cho z1 = r1(cos ϕ 1 + isin ϕ 1) vaø z2 = r2 (cos ϕ 2 + isin ϕ 2). •. ϕ 2) + isin( ϕ 1 + ϕ 2) z1 / z2 = (r1/r2 )(cos( ϕ 1 - ϕ 2) + isin( ϕ 1 - ϕ 2). •. .. •. [r (cos ϕ + i sin ϕ )]n = r n [cos(nϕ ) + i sin(nϕ )]. •. z1.z2 = r1.r2 (cos( ϕ 1 +. 1 1 = [cos(−ϕ ) + i sin(−ϕ )] r (cos ϕ + i sin ϕ ) r. (Moa-vrô). Và nhiều điều khác nữa . . . Hãy bước vào: www.saosangsong.com.vn. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>