.

VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chương 1. TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN.
Các hiện tượng tĩnh điện là cơ sở để nghiên cứu các hiện tượng Điện và Từ nói chung. Vì vậy để
nghiên cứu hiện tượng điện từ, trong chương này chúng ta xét các đặc trưng tương tác giữa các hạt
tích điện đứng yên tương đối trong hệ qui chiếu qn tính.
§ 1.1 TƯƠNG TÁC ĐIỆN – ĐỊNH LUẬT COULOMB.
I.

TƯƠNG TÁC ĐIỆN , SỰ NHIỄM ĐIỆN.

1) Tương tác điện.
Khi đưa một thanh thủy tinh lại gần vật nhẹ (như mẩu giấy) nó khơng hút vật nhẹ, mặc dầu giữa
chúng có tương tác hấp dẫn, nhưng khi cọ xát nó vào một số vật vào len, dạ, lụa, ..rồi đưa lại gần vật
nhẹ thì nó có khả năng hút vật nhẹ.
Như vậy, khi cọ xát, trên thủy tinh đã xuất hiện một tính chất mới, khác với tính hấp dẫn giữa các
vật. Tính chất này khơng chỉ có ở thủy tinh, mà một số chất khác cũng có tính chất giống như vậy khi
cọ xát. Người ta gọi các vật sau khi cọ xát, xuất hiện tính chất hút các vật nhẹ, là những vật đã bị nhiễm
điện hay vật được tích điện. Các vật nhiễm điện có chứa điện tích. Người ta kí hiệu giá trị đại số lượng
điện tích mà vật tích được là q.
Nếu làm nhiễm điện hai thanh thủy tinh bằng cách cọ xát vào dạ, rồi đưa lại gần nhau thì giữa
chúng xuất hiện lực đẩy. Nhưng cọ xát thanh nhựa, cũng vào dạ để nó nhiễm điện rồi đưa lại gần thanh
thủy tinh bị nhiễm điện theo cách trên thì giữa chúng xuất hiện lực hút. Như vậy điện tích xuất hiện
trên thủy tinh và dạ khác loại.
Từ các thí nghiệm ở trên và rất nhiều thí nghiệm với các vật chất khác, cho thấy trong tự nhiên:
• chỉ có hai loại điện tích. Điện tích dương và điện tích âm.
• Các vật có điện tích cùng dấu thì đẩy nhau. Các vật có điện tích trái dấu thì hút nhau.

• Tương tác giữa các vật nhiễm điện và đứng yên như trên gọi là tương tác tĩnh điện. Khi các hạt
mang điện chuyển động giữa chúng cịn có tương tác từ. Tổng quát, người ta gọi tương tác giữa các
hạt mang điện là tương tác điện từ.
Ngày nay, khoa học chứng tỏ rằng vật chất trong vũ trụ chủ yếu được cấu thành từ những hạt sơ
cấp. Đó là những hạt có kích thước và khối lượng nhỏ hơn hạt nhân nguyên tử như electron, prôton,
nơtrôn, mêzôn, muyôn, piôn, phôtôn, nơtrinô, quark…
Điện tích là một đặc trưng cơ bản của hạt sơ cấp. Hạt sơ cấp có thể mang điện dương, âm và có
thể khơng mang điện, nhưng khi một hạt sơ cấp mang điện thì khơng thể làm cho nó mất điện tích.
Điện tích của hạt sơ cấp là một thuộc tính khơng thể tách rời khỏi hạt. Nghĩa là điện tích tồn tại dưới
dạng hạt sơ cấp mang điện, khơng thể có điện tích khơng gắn liền với hạt sơ cấp.
Điện tích của hạt sơ cấp là điện tích nhỏ nhất tồn tại trong tự nhiên và được gọi là điện tích
ngun tố, có độ lớn bằng e = 1, 6.10−19 C . Đó là một hằng số quan trọng trong tự nhiên. Cũng lưu ý
e 2e
rằng, hạt quark có điện tích nhỏ hơn điện tích nguyên tố (  ;  ) nhưng hiện nay chưa phát hiện
3
3
được các hạt quark tự do chỉ có các hạt quark liên kết, vì thế khơng thể lấy điện tích của chúng làm
điện tích ngun tố có thể phát hiện được.
Hai hạt sơ cấp mang điện, là thành phần cấu tạo nên mọi nguyên tử của mọi nguyên tố, có thể
tồn tại lâu dài ở trạng thái tự do là prôtôn và electrơn. Hạt electrơn mang điện tích ngun tố âm:
−e = −1, 6.10−19 C , hạt prơtơn mang điện tích ngun tố dương: +e = +1, 6.10−19 C . Khối lượng của
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.


ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------êlectron rất nhỏ me = 9,1.10−31 kg , nên rất linh động. Khối lượng prôtôn lớn gấp 1836 lần khối lượng
êlectrôn.
Các hạt sơ cấp tích điện dương hay âm, đều có điện tích bằng bội số nguyên lần của điện tích
nguyên tố. Như vậy điện tích của các hạt sơ cấp khơng phải có giá trị liên tục, mà gián đoạn. Người ta
nói rằng điện tích bị “lượng tử hóa”.
Ngun tử được cấu thành từ hạt nhân và êlectrôn. Hạt nhân gồm hạt prôtôn và nơtrôn không
mang điện. Electrôn rất linh động, nó có thể di chuyển từ nguyên tử này sang nguyên tử khác, từ vật
này sang vật khác. Sự linh động của electrôn gây nên các hiện tượng điện trong tư nhiên. Thuyết dựa
vào sự chuyển dời của các êlectrôn để giải thích các hiện tượng điện gọi là thuyết điện tử.
• Bình thường tổng số prơtơn và electrơn trong ngun tử bằng nhau. Nên ngun tử trung hịa
về điện.
• Nếu nguyên tử nhận thêm electrôn, số electrôn trong nguyên tử lớn hơn số prơtơn trong hạt
nhân thì ngun tử mang điện âm và gọi là ion âm.
• Nếu nguyên tử cho electrôn, số electrôn trong nguyên tử nhỏ lớn hơn số prơtơn trong hạt nhân
thì ngun tử mang điện âm và gọi là ion dương.
• Khi vật nhiễm điện, trên vật thừa hoặc thiếu electrơn do đó lượng điện tích mà vật tích được
bằng một số nguyên lần điện tích nguyên tố: q = ne, n nguyên dương.
2) Vật (chất) dẫn điện và vật (chất) cách điện.
Về phương diện điện, các vật liệu được chia làm hai loại là vật dẫn điện và vật cách điện.
a) Vật dẫn điện: vật dẫn điện là các vật trong chúng tồn tại nhiều hạt mang điện tự do .
Hạt mang điện tự do: là hạt mang điện có thể di chuyển được trong những khoảng lớn hơn nhiều
lần kích thước phân tử của vật.
Ví dụ: kim loại, nước, gỗ ướt….
Vật dẫn điện lại được chia làm hai loại: vật dẫn điện loại một và vật dẫn điện loại hai.
• Vật dẫn điện loại một, đó là các vật dẫn, mà sự di chuyển của điện tích tự do khơng gây ra sự
biến đổi hóa học nào, khơng gây ra một sự dịch chuyển nào có thể nhận thấy của vật chất (như kim
loại, bán dẫn).
• Vật dẫn điện loại hai là các vật dẫn mà sự di chuyển của các điện tích tự do trong vật vật gắn

liền với những biến đổi hóa học, dẫn đến sự thốt ra những thành phần vật chất tại chổ chúng tiếp
xúc với các vật dẫn khác (như muối, bazơ nóng chảy, dung dịch muối axít, bazơ).
b) Vật cách điện (điện môi). Là các vật mà trong chúng có rất ít điện tích tự do, tức đa phần các hạt
tích điện chỉ định xứ ở nơi nhiễm điện.
Ví dụ: (thủy tinh, nước ngun chất, khơng khí khô..)
3) Các cách làm vật nhiễm điện.
Ở THPT chúng ta đã biết có 3 cách làm vật nhiễm điện:

• Nhiễm điện do tiếp xúc: Vật A nhiễm điện cho tiếp xúc vật B chưa nhiễm điện, kết quả B
nhiễm điện cùng dấu với A.

• Nhiễm điện do cọ xát: Vật A cọ xát với vật B, kết quả vật A và B nhiễm điện trái dấu và cùng
độ lớn điện tích.

• Nhiễm điện do hưởng ứng: Vật A nhiễm điện đưa lại gần vật B trung hịa, khi đó có sự phân bố
lại điện tích trong vật B, kết quả đầu B gần A nhiễm điện trái dấu với A đầu B xa A nhiễm điện cùng dấu
với A. Bỏ vật A đi kết quả B lại trở thành trung hòa về điện.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Định luật bảo tồn điện tích.


• Định luật: Trong một hệ cơ lập về điện, tổng đại số điện tích của hệ là khơng đổi.
• Ví dụ: Hai vật A và B trung hịa điện, điện tích của chúng là q A = 0; qB = 0 . Khi cọ xát chúng
với nhau, electrơn có thể di chuyển từ A sang B hoặc ngược lại làm chúng tích điện qA & qB . Hệ A
và B chỉ trao đổi điện tích với nhau nên là hệ cơ lập do đó:
qA + qB = qA + qB = 0 → qA = −qB .

Vậy sau cọ xát hai vật mang điện có độ lớn bằng nhau và trái dấu.
ĐỊNH LUẬT COULOMB (Culông)

II.

Năm 1785 bằng thực nghiệm, nhà bác học Coulomb tìm được qui luật tương tác giữa hai điện tích
điểm đặt cách nhau đoạn r trong chân khơng.
1) Điện tích điểm (điểm tích điện): Xét vật A tích điện q. Nếu kích thước của A nhỏ hơn rất nhiều
khoảng cách từ A đến điểm khảo sát B hoặc vật B, ta nói vật A là một điện tích điểm. Khi vật mang
điện là điện tích điểm, ta coi nó như một phần tử kích thước rất nhỏ mang điện tích q (hay một
điểm mang điện q).
2) Định luật Coulomb.
a) Nội dung định luật
Xét hai điện tích điểm q1 và q2 đứng yên, cách nhau một khoảng r = r12 = r21 trong chân khơng. Kí
hiệu lực tĩnh điện mà q1 tác dụng lên q2 là F12 và lực tĩnh điện mà q2 tác dụng lên q1 là F21 . Nội
dung của định luật là:
q1q2

q1q2

Độ lớn các lực: F12 = F21 = F0 = k

•


Điểm đặt: F12 đặt vào điện tích q2 và F21 đặt vào điện tích q1 .

•

Phương của F12 và F21 trùng phương đường thẳng nối hai điện tích q1 & q2 .

•

Chiều: q1 & q2 cùng dấu ( q1.q2  0 ) lực tương tác là đẩy; q1 & q2 trái dấu ( q1.q2  0 )

r

2

=

1

•

4 0 r 2

.

lực tương tác là hút.
Trong đó: k =

1
4 0


là hệ số tỷ lệ phụ thuộc hệ đơn vị. Trong hệ SI: điện tích đo bằng đơn vị culơng (kí

hiệu C); khoảng cách r đo bằng mét (m). k =

1
4 0

= 9.109

N .m 2
1
C2
.
là hằng số

=
0
C2
4 .9.109 N .m2

điện.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.


ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phát biểu: Lực tương tác giữa hai điện tích điểm
đứng yên trong chân khơng là các vector, có

q1  0

phương là đường thẳng nối hai điện tích đó, có
điểm đặt là điện tích chịu lực, có chiều hướng ra

F21

q1  0

xa nhau nếu hai điện tích cùng dấu và lại gần

F21

nhau nếu hai điện tích trái dấu, có độ lớn tỷ lệ với

q2  0

r12
r12

q2  0

F12

F12


tích số độ lớn của hai điện tích và tỷ lệ nghịch với
bình phương khoảng cách giữa hai điện tích đó.
b) Định luật Coulomb trong các môi trường.
Thực nghiệm cho thấy, trong môi trường đồng chất và đẳng hướng, độ lớn của lực tương tác giữa các
điện tích đứng yên
F12 = F21 = k

q1q2

r

2

=

giảm đi  lần so với trong chân khơng, cịn hướng giữ khơng đổi. Nên:
1

q1q2

4 0  r 2

.

  1 là đại lượng khơng có thứ ngun, đặc trưng cho tính chất điện của mơi trường(có giá trị phụ
thuộc vào từng mơi trường) và gọi là hằng số điện môi của môi trường.
Bảng hằng số điện môi của các môi trường
Môi trường


Hằng số 

Mơi trường

Hằng số 

Chân khơng

1

Mi ca

5,5

Khơng khí

1,0006

Giấy

3,5

Thủy tinh

5  10

Dầu lửa ( 200 C )

2,2


Nước( 200 C )

81

Ê bô nit.

2,7  2,9

Sứ

6,5

Rượu Êtilic( 200 C )

25

c) Biểu thức vector của định luật Coulomb.
Kí hiệu r12 là vector có độ lớn r12 = r hướng từ điện tích q1 sang điện tích q2 thì lực do q1 tác dụng
lên q2 được viết: F12 = k

q1q2 r12
q1q2 r12
=
.
2
 r r 4 0 r 2 r

Tương tự, kí hiệu r21 là vector có độ lớn r21 = r hướng từ điện tích q2 sang điện tích q1 thì lực do
q2 tác dụng lên q1 được viết: F21 = k


q1q2 r21
q1q2 r21
=
.
2
 r r 4 0 r 2 r

III. NGUYÊN LÝ TỔNG HỢP CÁC LỰC TĨNH ĐIỆN.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------• Xét điện tích q0 nằm trong khơng gian của hệ gồm n điện tích điểm q1 , q2 , q3, .....qi .....qn phân bố rời
rạc . Lực tổng hợp do hệ n điện tích tác dụng lên điện tích q0 định bởi:
n

F = F10 + F20 + F30 + ....Fn 0 =  Fi 0 =
i =1

•

q0


n

qi

r
4 
0

i =1

3
i0

ri 0 .

Chú ý: dựa vào nguyên lí này người ta chứng minh được lực tương tác giữa hai quả cầu tích

điện đều q1 và q2 , tuân theo định luật Coulomb và có độ lớn định bởi: F12 = F21 =

1

q1q2

4 0 r 2

, trong

đó r là khoảng cách giữa tâm của hai quả cầu.
IV.


CÁC THÍ DỤ.

1) Ví dụ 1.
Hai quả cầu kim loại A và B giống hệt nhau ,có khối lượng 100g, tích điện đều với điện tích
−3, 2.10−6 C đặt cố định trong khơng khí, tâm của chúng cách nhau r = 30cm . Mỗi quả cầu thừa hay

thiếu bao nhiêu điện tử? Tính độ lớn lực tương tác tĩnh điện giữa chúng? Lực này lớn hay nhỏ hơn lực
hấp dẫn giữa chúng bao nhiêu lần? Lấy hằng số hấp dẫn vũ trụ G = 6, 67.10−11 Nm2 / kg 2 .
Giải.
Do các quả cầu mang điện âm nên chúng thừa điện tử. Điện tích của mỗi quả cầu bằng một số nguyên
q 3, 2.10−6
= 2.1025 điện tử.
lần điện tích nguyên tố, nên số điện tử thừa định bởi: n = =
−19
e 1, 6.10

Độ lớn lực tĩnh điện định bởi:

F=

1

q1q2

4 0 r 2

( −3, 2.10 )  ( −3, 2.10 ) = 1,024N .
(3.10 )
−6


= 9.10

Độ lớn lực hấp dẫn định bởi: Fhd = G

9

−6

−1

2

m1  m2
.
r2

(

)

2

9.109 3, 2.10−6
k  q1  q2
F
=
=
 13, 6.109 lần.
Tỷ số cần tìm:

Fhd G  m1  m2 6, 67.10−11  10−1

Trong tự nhiên tồn tại bốn loại lực cơ bản cấu thành thế giới có cường độ giảm dần như sau: Lực tương
tác mạnh (lực tương tác giữa các hacdron), lực điện từ (lực tương tác giữa các điện tích); lực tương tác
yếu (trong phân rã  ) và lực hấp dẫn.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2. Hai quả cầu kim loại giông hết nhau mang điện tích lần lượt là q1 = 4C và q2 = −8 C đặt
cách nhau một đoạn r tương tác với nhau một lực có độ lớn 1, 2N . Cho chúng tiếp xúc nhau và đặt lại
vị trí cũ. Hãy tìm lực tương tác giữa chúng.
Giải.
Lực tương tác lúc đầu là lực hút và có độ lớn định bởi F1 = k

q1q2

 r2

(1)

Khi hai qua câu tiếp xúc nhau, chúng trao đổi điện tích cho nhau. Gọi q1 & q2 là điện tích sau trao đổi.

Do hai quả cầu kim loại giống nhau nên q1 = q2 .
Áp dụng định luật bảo tồn điện tích q1 + q2 = q1 + q2 ta có q1 = q2 =
Khi đặt về vị trí cũ lực tương tác giữa chúng là F2 = k

q1q2

 r2

q1 + q2
2

(q + q )
=k 1 2
4 r 2

2

(2)

F (q + q )
Lập tỷ số: 2 = 1 2 = 0,125 → F2 = 0,125F1 = 0,15 N
F1
4 q1q2
2

§ 2. ĐIỆN TRƯỜNG – VECTOR CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG
I.

KHÁI NIỆM ĐIỆN TRƯỜNG.
Trong quan sát hằng ngày của chúng ta, khi hai vật tương tác với nhau chúng phải tiếp xúc nhau


hoặc nhờ một vật trung gian để truyền tương tác. Tại sao các điện tích đứng yên trong chân không và
cách nhau khoảng r vẫn tương tác được với nhau?
Vật lý học hiện đại chứng tỏ tương tác cách bức giữa các điện tích xảy ra được vì
Mỗi điện tích đứng n tạo ra quanh nó một môi trường vật chất gọi là điện trường tĩnh. Điện
trường do điện tích gây ra lan truyền trong khơng với vận tốc hữu hạn khi gặp điện tích khác, điện
trường tác dụng lực điện lên điện tích này. Nghĩa là nhờ điện trường mà lực tương tác truyền dần từ
điện tích này sang điện tích kia.
Như vậy, điện trường là một dạng vật chất – dạng trường (vì nó có năng lương, khối lượng và
động lượng). Nguồn gốc của điện trường tĩnh do điện tích đứng yên gây ra. Tính chất cơ bản của điện
trường là tác dụng lực lên điện tích khác ở trong nó. Lực tương tác giữa các điện tích đứng yên gọi là
lực điện trường (tĩnh). Điện trường tĩnh là trường hợp riêng của trường điện từ sẽ nghiên cứu ở
chương sau.
II.

VECTOR CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG (TĨNH)

1. Định nghĩa.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Xét điểm M ở trong điện trường tĩnh. Lần lượt đặt tại điểm M các điện tích thử q1 ; q2 , q3 ..... rồi xác

định lực điện trường tĩnh F1; F2 ;.... tác dụng lên các điện tích này. Thực nghiệm cho thấy, tỷ số
F1 F2 F3
=
=
= ....... = const .
q1 q2 q3

Như vậy, tại điểm M xác định trong điện trường, vector

Fi
= const khơng phụ thuộc điện tích
qi

ngồi đưa vào điện trường, nên dùng để đặc trưng cho điện trường tại điểm M về phương diện tác dụng
lực cả phương chiều và độ lớn và gọi là vector cường độ điện trường tại điểm M.
Vậy vector cường độ điện trường tại điểm M trong điện trường:
•

Kí hiệu E

•

Biểu thức: E =

F
q

Trong đó, F là lực của điện trường E ở M, tác dụng lên q là điện tích bên ngồi đưa vào điện trường
V 
tại điểm M. Đơn vị đo cường độ điện trường: vôn/mét -  

m

Vậy:
Vector cường độ điện trường tại một điểm là đại lượng đặc trưng cho điện trường tại điểm đó
về phương diện tác dụng lực, có độ lớn phương chiều bằng lực điện trường tác dụng lên một đơn vị
điện tích dương đặt tại điểm đó.
Điện trường đều là điện trường mà tại mọi điểm E = const
2. Lực điện trường.
Nếu biết E tại một điểm, thì biểu thức lực điện trường tác dụng lên q tại đó định bởi:
F = qE

•

Nếu q  0 → F  E

•

Nếu q  0 → F  E

3. Vector cường độ điện trường gây ra bởi điện tích điểm Q
Điện tích điểm Q gây ra quanh nó một điện trường. Gọi r là vector xác định vị trí của M so với Q.
Nếu đưa điện tích điểm q vào đặt tại M trong điện trường của Q. Theo định luật Coulomb, lực điện

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.


.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Qq r
trường do Q tác dung lên q định bởi: F = k 2 . Do đó vector cường độ điện trường do điện tích
r r
điểm Q gây ra tại M điịnh bởi: E =

Q r
F
tức là: E = k 2 .
r r
q

Tức là, vector cường độ điện trường do điện tích điểm Q gây ra tại một điểm cách nó r có:
•

Điểm đặt tại M

•

Phương: đường thẳng nối Q và M

•

Chiều: hướng ra xa Q nếu Q > 0 và lại gần Q nếu Q < 0

•


Độ lớn: E = k

E
r

Q
 r2

r

Q>0

E

Q<0

4. Nguyên lý chồng chất điện trường.
a) Điện trường tổng hợp của các điện tích phân bố rời rạc trong không gian.
Gọi E1 , E2 , E3......En . là vector cường độ điện trường do n điện tích điểm q1 , q2 , q3 ....qn phân bố rời
rạc gây ra tại điểm M, thì vector cường độ điện trường tổng hợp do n điện tích đó gây ra tại M định
bởi:
n

E = E1 + E2 + ..Ei ... + En =  Ei * (*) là nội dung của nguyên lí chồng chất
i =1

b) Điện trường tổng hợp của các điện tích phân bố liên tục trong khơng gian.
Khi điện tích trên một vật phân bố liên tục, điện tích ở mỗi phần của vật có thể khơng như nhau,
nên người ta dùng khái niệm mật độ điện tích.
•


Mật độ điện dài  : Xét một thanh tích điện, có điện tích phân bố liên tục. Gọi dq là điện tích

có trên ngun tố chiều dài dl , thì mật độ điện dài  định bởi:  =
•

Mật độ điện mặt  . Xét một mặt tích điện, có điện tích phân bố liên tục. Gọi dq là điện tích có

trên ngun tố diện tích dl , thì mật độ điện mặt  định bởi:  =
•

dq
.
dl

dq
.
ds

Mật độ điện khối  : xét một vật hình khối tích điện, có điện tích phân bố liên tục. Gọi dq là

điện tích có trên ngun tố thể tích dV , thì mật độ điện khối  định bởi:  =

dq
.
dV

Để xác định vector cường độ điện trường của vật mang điện có điện tích phân bố liên tục gây ra
tại một điểm M nào đó, tiến hành như sau:
-


Chia vật thành các phần tử, sao cho mỗi phần tử mang điện tích dq coi như điện tích điểm

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------dq
- Vector cường độ điện trường do dq gây ra tại M định bởi: dE = k 3 r
r
-

Nội dung nguyên lí chồng chất trong trường hợp điện tích phân bố liên tục là: vector cường độ
điện trường do toàn thể vật gây ra ở M định bởi:
E=

dq

 dE =  k  r

vat

3


r

vat

CÁC VÍ DỤ CƠ BẢN.

III.

Ví dụ 1. Hai điện tích điểm q1 = q2 = q  0 đặt cố định tại hai điểm A và B có AB = 2a trong mơi
trường có hằng số điện mơi  . Gọi O là trung trực của AB. Xét điểm M nằm trên trung trực của AB
cách O đoạn x.
1) Xác định vector cường độ điện trường tổng hợp tại M theo q, a, x và  . Tìm x để cường độ điện
trường tổng hợp tại M cực đại, suy ra biểu thức xác định giá trị cực đại đó.
2) Tại M đặt thêm điện tích q3 = q . Xác định lực điện tổng hợp tác dụng lên q3 = q
Giải.
1) Xác định vector cường độ điện trường tổng hợp tại M theo q, a, x và  .
Các điện tích điểm q1 , q2 gây ra ở M các vector E1M và E2M . Vector cường độ điện trường tổng hợp
(do q1 = q2 = q  0 ) gây ra tại M định bởi: EM = E1M + E2M (1) (Theo nguyên lý

M2

EM

chồng chất)

M1

M3


E2M

Xác định độ lớn và hướng của E1M & E2M :

M

E 1M



q1

-

q
q
Độ lớn: do q1 = q2 = q & r1 = r2 nên E1 = E2 = k 2 = k 2 = k
2
r
r
 x + a2

-

Hướng như hình vẽ.

(

)
A


Từ (1) E như hình vẽ. Tứ giác MM1M 2 M 3 là hình thoi và cos  =
•

Phương trùng trung trực của AB, chiều ra xa O.

•

Độ lớn: E = 2 E1M cos  =

Tìm x để Emax . Để Emax thì

x

(

x2 + a2

)

2

2kq



x

(x


2

+a

2

)

1/2

O

B

, nên E có

x

(x

2

+ a2

)

3/2

max. Dùng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm, ta có


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a2 a2
a4
x +a = x + +
 3 3 x2
→ x2 + a2
2
2
4
2

2

(

2

2
x
Do đó


2
2
3 3a
x + a2

(

)

3/2

)

3/2


x
. Hay 
 x2 + a2


(

điện trường tổng hợp cực đại thì x = 

)


a2 

  3 3 x2


4 


3/2

=3 3

a2
x.
2


a2
a
2
 = 2
 x=
khi x =
. Như vậy để
3/2
2

2
2
3 3a
max


a
kq 4
và giá trị cực đại là Emax = 2
2
a3 3

2) Tìm lực điện tổng hợp tác dụng lên q3 .
Đặt q3 tại M, tức đặt trong điện trường tổng hợp tại M là E . Nên lực điện trường tổng hợp tác dụng
lên q3 định bởi: F3 = q3 E do q3  0 nên F3  E và có độ lớn E =

2kq 2

x

(x



2

)

+ a2

3/ 2

.

Ví dụ 2. Một thanh khơng dẫn điện có chiều dài l = AB mang điện tích q  0 phân bố đều dọc theo
chiều dài của nó. Hãy xác định vector cường độ điện trường tại điểm M trong các trường hợp sau:

a) M nằm trên trung trực của AB cách trung điểm O khoảng a.
b) M cách A một khoảng a = l và MA ⊥ AB tại A
c) M thuộc đường thẳng AB và cách A khoảng a.
Giải.
a) M nằm trên trung trực của AB cách trung điểm O khoảng a.
Do M cách đều A và M nên kí hiệu góc 2 0 là góc từ M nhìn

dE'

đoạn AB
•

•

E=

a

r

x
dx

A

x

O

B


dq
dx
dq
= k  2 , với  là mật độ điện dài  =
.
2
r
r
dx

Theo nguyên lí chồng chất vector cường độ điện trường do AB gây ra tại M định bởi:

 dE =  dE +  dE
x

AB

•



r

điện tích dq, sao cho dq coi là điện tích điểm. Xét phần tử dx :

M có hướng như hình vẽ và có độ lớn dE = k

M dEx


dE'x

Chia nhỏ AB thành các phần tử có chiều dài dx mang

Vector cường độ điện trường dE = dEx + dEy , do dx gây ra tại

y
dE y
dE'y
dE

AB

y

AB

Do đối xứng các thành phần theo phương x triệt tiêu lẫn nhau, tức

 dE

x

=0

AB

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 10



VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------( Do O là trung điểm của AB, nên bao giờ cũng tìm được phần tử dx = dx đối xứng dx . Mà

dE = dEx + dEy , dE đối xứng dE qua Oy nên dEy = dEy & dEx = −dEx . Do tổng các thành phần
theo phương Ox triệt tiêu lẫn nhau dEx + dEx = 0 →

 dE

x

= 0 ).

AB

Vậy vector cường độ điện trường tổng hợp do AB gây ra ở M định bởi: E =

•

 dE =  dE

1y

AB

.


AB

Do đó E cần tìm, có
-

hướng theo phương Oy, ra xa O nếu q > 0 và lại gần O nếu q < 0

-

Độ lớn: E =

dx

 dE cos  =  k   r
1

AB

2

cos  (1)

AB

Để tìm độ lớn E cần tính tích phân (1). Ta thấy khi phần từ dx di chuyển trên toàn bộ dây thì x, r

cos  đều thay đổi do cần phải đưa hàm dưới dấu tích phân về một biến.
Chọn biến tích phân là  ta có


-

tg =

1
1
a
a
x
d = dx → dx =
d , r =
lấy vi phân
2
2
cos 
a
cos 
cos 
a

a

k 0
k
k  cos 2 
k

do đó dE1 cos  =
nên
E

=
cos  d =
sin  − sin  . Vậy
cos

d

=
cos

d

2

a
 a −0
a

a
2
cos 
E=

-

2k 
sin 
a

Do q =  l →  =


E=k

2q
l 4a 2 + l 2

q

và sin 1 = −

l/2
2

=−

l
a2 +
4

l
4a + l
2

2

và sin  2 =

l/2
2


l
a2 +
4

=

l
4a 2 + l 2

nên

.

Nhận xét:
•

Vector cường độ điện trường do đoạn dây tích điện đều với điện tích q ứng mật độ điện tích dài

 tại điểm trên trung trực của AB cách AB đoạn a có
2k 
2kq
sin  =
sin 
a
 al

-

Độ lớn: E =


-

Dọc theo trung trực của AB, ra xa nếu   0 , lại gần nếu   0

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 11


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2k  2kq
1 
•
Nếu dây là dài vơ hạn khi đó  →  / 2 nên E =
=
=
 a  al 2 0 a
Có thể tính tích phân (1) theo biến x với để ý: r 2 = a2 + x2 và cos  =

•

tích phân −

a
a
=
r

a2 + x2

(

)

1/2

với cận

l
l
→ .
2
2

b) M cách A một khoảng a và MA ⊥ AB tại A.
Khác với trường hợp trên, ta khơng tìm được điểm đối xứng trên AB để xác định vector cường độ
điện trường tại M, nên để tính cường độ điện trường tổng hợp tại M, tiến hành như sau:
-

tính cường độ điện trường tổng hợp do AB gây ra theo
phương Ox và Oy là Ex =

 dE

x

và E y =


-

 dE

y

.

y

AB

AB

dE

Áp dụng E = Ex + Ey để dẫn tới kết quả.

dEy
M

Tương tự trên:

dEx

dE y = dE cos  =

•

k

cos  d .
a

l

sin 1 =

a +l
2

=

a

cos 1 =

a2 + l 2

=

k
sin  d .
a

(

Ey
E

=


Thay

=

q

và



Nên

Ex =

k 1
k
sin  d = −
cos 1 .

a 0
a

1
kq 
1 
1−
ta có: Ex =

 = Ey

 al 
2
2

Vậy E 2 = Ex2 + Ey2 = Ey2 (

cos  =

B

x

1
kq 1
ta có: E y =
.
 al 2
2

dE x = dE sin  =

•

•

2

dx

A


k 1
k
cos  d =
sin 1 .

a 0
a

Ey =

r

x



Nên



1
2
2 1−
2

)

2


(

Thay

=

q

và

)

2 −1 .

2 − 1 + Ey2 → E = 2Ey 1 −

2
2

, E lập với Oy góc 

có

.

c) M thuộc đường thẳng AB và cách A khoảng a.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 12



VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------l
Các phần tử dx gây ra tại M các vector cường độ điện
trường cùng hướng theo Ox. Nên

E=



dE

dE có

A

x

.

Đặt

dx

B


•

M

a

AB

x

Điểm đặt tại M, hướng ra xa AB vì q > 0

•

Độ

dE =

lớn:

k

dx

 (b − x )

2

→E=


k



l

2

u = b − x → −du = dx,

và

0

x = 0 → u = b = l + a; x = l → u = b − l = a . → E = −
đổi ta có: → E =

dx

 (b − x )
k

q
du k  1
1
=
( −
) . Thay  = và biến
2
l

 l +a u
 a l +a
a



kq
 a(l + a)

Ví dụ 3. Một vịng trịn bằng nhựa bán kính R, tích điện đều với điện tích tổng cộng là q. Xét điểm M
nằm trên trục của vòng dây cách tâm O đoạn x.
a) Xác định vector cường độ điện trường do vòng dây gây ra tại M, suy ra cường độ điện trường ở tâm
O.
b) Tìm x để cường độ điện trường ở M cực đại.
Giải.

y

Chia nhỏ vịng trịn thành các phần tử có chiều dài dl mang điện tích dq, sao

dE'y dE
y

cho dq coi là điện tích điểm.

dE
dE'

gây ra tại M có hướng như hình vẽ và có độ lớn dE = k
mật độ điện dài  =

•
E=

x

Xét phần tử dl : Vector cường độ điện trường dE = dEx + dEy , do dl

•

dE'x
r


dq
dl
= k  2 , với  là
2
r
r

R

r

dl
d O

dl

dq

.
dl

dEx

Theo nguyên lí chơng chất vector cường độ điện trường do cả vòng dây gây ra tại M định bởi

 dE =  dE +  dE
x

L

•

L

y

L

Do đối xứng tổng các thành phần theo phương x triệt tiêu lẫn nhau, tức

 dE

x

=0

L


( Xét phần tử dl  = dl đối xứng dl qua tâm O. Phần tử dl  gây ra ở M dE mà dE = dEx + dEy , đối
xứng dE qua Oy nên dEy = dEy , dEx = −dEx suy ra tổng các thành phần theo phương x triệt tiêu lẫn
nhau)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 13


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------•
Do đó E =  dE y . Vậy vector cường độ điện trường E , do cả vòng dây gây ra tại M có:
L

-

phương trùng trục vịng dây, chiều hướng ra xa tâm O nếu q > 0 và hường lại gần O khi q < 0 .

-

và có độ lớn E =


vịngday

•




dE y =

dE cos  =

vịngday

x
x2 + R2

r = R2 + x2 = const ,

di chuyển trên vịng dây

Tính tích phân 1. Khi dl

cos  =

k  dl
cos  (1)
 r2
vongday



và

= const do đó biến của tích phân là dl :


E=

k x

l

 ( R2 + x2 )

3/2

 dl = 
0

(R

k lx
2

+ x2

)

3/2

→ E=

kq




x

(R

2

+ x2

)

3/2

Chú ý: Ta cũng có thể chọn biến tích phân là góc  với dl = Rd khi đó:

E=


2

k x

 (R + x
2

2

)

3/2


 Rd = 
0

(R

k x
2

+x

2

)

3/2

2 R =

k x

 (R + x
2

2

)

3/2

l=


kq

x

 ( R + x 2 )3/2

(*)

2

Tại O: x = 0 → E0 = 0

b) Tìm x để cường độ điện trường ở M cực đại.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
R2 + x2 = x2 +

khi x = 

R 2 xR 2
R4
+
 3 3 x2
→ R2 + x2
2
2
4

(


)

3/2

3 3

xR 2
2
x
→

2
2
3 3R
R2 + x2

(

)

3/2

. Do đó Emax

2kq
R
và Emax =
.
3 3 R 2
2


Nhận xét: Khi x  R nghĩa là vòng dây coi như một điểm mang điện đặt ở O, từ (*) có E =

kq
,
 x2

biểu thức giống như biểu thức tính cường độ điện trường của một điện tích điểm, gây ra tại một điểm
cách nó x.
Ví dụ 4. Một đĩa nhựa trịn tâm O bán kính R, tích điện đều với điện tích tổng cộng là q > 0. Xét điểm
M nằm trên trục của đĩa (đường thẳng vng góc đĩa và qua tâm O) cách O đoạn a. Xác định vector
cường độ điện trường tại M. Biện luận kết quả.
Giải
Chia nhỏ đĩa thành các phần tử có diện tích ds sao cho điện tích của nó là dq có thể coi là điện
tích điểm. Phần từ ds là giới hạn của hai đường trịn tâm O bán kính x và x + dx và độ dài cung dl và

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 14


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------dq
góc ở tâm là d . Ta có ds = dl  dx = xddx , do đo điện tích dq =  ds =  xdxd . Trong đó  =
ds
là mật độ điện mặt.
Vector cường độ điện trường do ds gây ra ở M là dE = dEx + dEy có hướng như hình vẽ và có

độ lớn dE =

k dq k xdxd
k xdxd
=
với r 2 = x2 + a2 nên dE =
.
2
2
 r
 x2 + a2

r

Theo nguyên lí chồng chất, điện trường do đĩa gây ra tại M định bởi

 dE =  dE +  dE

E=

x

Dia

dia

.

y


dia

Do tính đố xứng của đĩa, bao giờ ta cũng tìm được phần tử ds’ gây ra ở
dEy

M vector dE ' = dEx + dEy mà dE & dE đối xứng qua trục đường tròn. Do các

dE

thành phần theo phương x của các phần tử đối xứng triệt tiêu nhau, tức là



dEx

dE = 0 . Do đó vector cường độ điện trường do đĩa gây ra tại M định

dia

 dE =  dE

bởi E =

dia

y

.(*)

dia


d

dl

Biểu thức (*) cho biết vector cường độ điện trường E do đĩa tích điện
gây ra ở M có:
-

phương trùng trục của đĩa, chiều ra xa đĩa nếu q > 0 và lại gần đĩa nếu q < 0.

-

Độ lớn E =

 dE

y

cos  =

dia

-

x
dx

k xdxd
 x2 + a2

dia



a
x2 + a2

(1)

Để tính tích phân (1) trên tồn đĩa, ta phải cho ds vừa quay quanh tâm O góc 2 vừa tịnh tiến từ
tâm O ra đến mép đĩa. Do đó

E=

k

xdxd

 dia x 2 + a 2

R

Tính


0

xdx

(a


2

+ x2

)

3/2

a
x2 + a2

=

k a




0

xdx

(a

2

+x

2


)

3/2

1
=
2


0

2

xdx

(x

2

+ a2

)

3/2

 d =
0

2 ak




R


0

xdx

(x

2

+ a2

)

3/2

.

Đặt u = x 2 + a 2 → du = 2 xdx → xdx =
R

R

a2 + R2

a2 + R2




a2

1
du và x = 0 → u = a 2 ; x = R → u = R 2 + a 2 . Ta có
2

u

−3/2

 1 
du =  −

u  a2


=

1
1
−
. Nên
2
a
a + R2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15



VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 k 

1
2 ka  1
1
a
ta viết kết quả trên gọn lại như
E=
=
1−
 − 2


 . Để ý k =
2
2
2
 a
 
4 0
a +R 
a +R 

sau: E =

 
a
1 − 2
2 0 
a + R2


.


Biện luận.


Nếu điểm M trùng tâm O: a = 0 nên E = 0



Khi đĩa rộng vô cùng ( đĩa là mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều ) R

điện trường có độ lớn E =

a → vector cường độ


có phương vng góc mặt phẳng, có chiều ra xa mặt phẳng khi   0
2 0

và lại gần mặt phẳng khi   0 .

Điện trường của mặt phẳng rộng vô hạn là điện trường đều có phương vng góc mặt phẳng,
có chiều ra xa mặt phẳng khi   0 và lại gần mặt phẳng khi   0 có độ lớn E =


a

Nếu M ở rất xa mặt phẳng đĩa hoặc đĩa rất nhỏ:

E=

 
1 R2   R2
 R 2
q
1
−
{1
−
}
=
=
→E=k 2

2 
2
2
2 0 
2 a  4 0 a
4 0 a
a


a2 + R2

=


.
2 0

1
1/2

 R2 
1 + 2 
 a 

 1−

1 R2
. Do đó
2 a2

. Nghĩa là điện trường giống như điện

trường của điện tích điểm gây ra cách nó đoạn a.
§ 3. ĐƯỜNG SỨC ĐIỆN TRƯỜNG – THƠNG LƯỢNG ĐIỆN TRƯỜNG. ĐỊNH LÍ GAUSS

I.

ĐƯỜNG SỨC ĐIỆN TRƯỜNG.


1) Định nghĩa.

EM

Đường sức điện trường là những đường mà tiếp tuyến
với nó tại mỗi điểm trùng phương vector cường độ điện

M

trường, chiều đường sức tại mỗi điểm là chiều của vector
cường độ điện trường.

N

EN

2) Tính chất.
•

Qua bất kì điểm nào trong điện trường cũng vẽ được một đường sức.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 16


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------•
Các đường sức điện trường khơng cắt nhau. ( vì điện trường tại mỗi điểm có một độ lớn
và hướng xác định, nên nếu cắt nhau tại mỗi điểm có hai vector cường độ điện trường)
•

Đường sức điện trường tĩnh đi ra từ điện tích dương , đi vào điện tích âm và là đường

cong khơng kín.
3) Qui ước: Xét diện tích ds rất nhỏ chứa điểm M, đặt vng góc đường sức. Qui ước: vẽ số
đường sức qua một đơn vị diện tích bằng độ lớn của vector cường độ điện trường tại M.

dS
M

Suy ra số đường sức chui qua ds bằng = E.ds
4) Điện phổ: Tập hợp các đường sức điện trường gọi là phổ đường sức điện trường hay điện phổ. Với
qui ước trên điện phổ cho biết khái quát về sự phân bố điện trường cả về độ lớn và hướng trong
không gian
Như vậy:
-

Nơi nào đường sức vẽ dày ở đó điện trường mạnh, đường sức vẽ thưa ở đó điện trường yếu.

-

Điện trường đều các đường sức vẽ song song và cách đều.

II.


THƠNG LƯỢNG ĐIỆN TRƯỜNG.

1) Thơng lượng điện trường.
Xét mặt S trong vùng khơng gian có điện trường bất kì (khơng đều). Chia S thành diện tích ngun
tố ds đủ nhỏ sao cho mặt đó coi là phẳng và vector cường độ điện trường E tại mọi điểm trên ds như
nhau.
Vector diện tích nguyên tố ds : là vector hướng theo pháp tuyến n của ds, có độ lớn bằng điện
tích ds. Tức là ds = n.ds
•

Định nghĩa 1: Thơng lượng điện trường gửi qua diện tích nguyên tố ds, kí hiệu là d E định

bởi:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 17


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d E = E.ds = Eds cos  = En ds
Trong đó  góc hợp bởi pháp tuyến n của ds và vector cường độ điện trường E , En = E cos  là hình
chiếu của E lên pháp tuyến n .
•

E


Định nghĩa 2. Thơng lượng điện trường gửi qua diện tích S gọi là

điện thơng và định bởi:

E

 E =  d  E =  E.ds =  Eds cos  .
S

S

ds

S

-


n

Nếu điện trường E là đều và mặt S là mặt phẳng:
•

E

Nhận xét:
Thơng lượng điện trường là một lượng đại số có thể dương âm hoặc bằng khơng.  E  0 nếu 
nhọn và  E  0 nếu  tù, tức  E phụ thuộc sự chọn chiều của n .

-


Qui ước chọn chiều của n : Nếu mặt (S) kín chọn chiều n hướng từ trong ra ngoài; mặt (S) hở
chiều chọn tùy ý.

-

Độ lớn E = En ds cho biết số đường sức điện xuyên qua diện tích S.

-

Mặt Gauss là mặt kín tưởng tượng S dùng để tính thơng lượng điện trường qua nó. Thơng lượng
điện trường qua mặt Gauss định bởi:  E =

 E.ds .
S

y

Ví dụ: Một mặt có dạng hình nêm nằm trong một điện trường đều hướng dọc
3m

theo phương ngang từ trái qua phải (hình vẽ), có cường độ E = 600V / m . Xác

5m

định thông lượng điện trường qua các mặt của nêm và thông lượng tổng cộng
qua tồn bộ bề mặt kín của nêm.
Giải.

E

3m

z

x

4m

Để xác định thông lương điện trường qua các mặt trước hết cần xác định góc  giữa n và E ở các
mặt.
o Đối với hai mặt tam giác thẳng đứng và mặt đáy hình chữ nhật: n ⊥ E nên cos  = cos 90 = 0 nên
thông lượng điện trường qua các mặt này bằng khơng.
o Đối với mặt hình vng có s1 = 3  3 = 9m 2 , n  E nên cos  = cos180 = −1 do đó
 E1 =  Eds cos  = − E  ds = − ES = −600  9 = −5400(Vm) .
S

S

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 18


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o Đối với mặt nghiêng của nêm có diện tích S 2 = 3  5 = 15m 2 , n lập với E góc  có
cos  =


3
= 0, 6 nên  E2 =  Eds cos  = 0, 6.E  ds = 0, 6 ES = 0, 6  600 15 = 5400(Vm)
5
S
S

o Vậy thông lượng điện trường qua mặt kín của nêm bằng tổng đại số thơng lượng qua các mặt nên:
 E =  E1 +  E2 = 0

VECTOR CẢM ỨNG ĐIỆN D (ĐIỆN CẢM) – THÔNG LƯỢNG ĐIỆN CẢM.

III.

Vector cường độ điện trường E chưa thể dùng để đặc trưng riêng cho điện trường vì nó cịn
phụ thuộc vào bản chất của mơi trường thơng qua  . Nếu điện trường trong chân khơng có cường độ
E0 thì trong điện mơi đồng chất và đẳng hướng cường độ điện trường giảm đi  lần: E =

E0



Như vậy, theo quan hệ về cường độ điện trường và số đường sức thì đường sức điện trường sẽ
gián đoạn khi đi từ môi trường này sang môi trường kia.
Để đặc trường riêng cho điện trường, người ta còn dùng vector cảm ứng điện D (vector điện
cảm):

D =  0 E

•


Biểu thức:

•

và đường cảm ứng điện được định nghĩa: Đường cảm ứng điện là những đường mà tiếp tuyến với
nó tại mỗi điểm trùng phương vectorcảm ứng điện tại đó. Các tính chất khác của đường cảm ứng
điện tươn tự đường sức điện trường.

•

Thơng lượng cảm ứng điện (điện cảm) qua mặt Gauss định bởi:  D =

 D.ds
S

IV.

ĐỊNH LÝ GAUSS

1) Nội dung
Thông lượng cảm ứng điện (điện thông) qua mặt kín bằng tổng đại số điện tích chứa trong mặt kín chia
cho tích số hằng số điện  0 và hằng số điện môi  . Tức là  E =

 Eds =
S

Chú ý: Định lý viết theo thông lượng cảm ứng điện:  D =

1


 0

n

q
i =1

i

.

n

 Dds =  qi
S

i =1

Áp dụng: Thông lượng điện trường gửi qua một mặt kín là −5.103 Nm2 / C . Tính tổng điện tích chứa
trong mặt kín. Biết  = 1,  0 =

1
4 9.109

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 19


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.


ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
q
.(−5.10−3 ) = −4.10−14 C
Giải. Ta có  E =
→ q =  0 E Thế số q =  0  E = 1.
9
4 9.10
 0
2) Chứng minh định lý Gauss.
3) Vận dụng định lý Gauss để xác định E .
Định lý Gauss thường dùng để xác định E trong trường hợp hệ điện tích phân bố có tính đối xứng
khơng gian, như đối xứng phẳng đối xứng cầu và đối xứng trụ.
Để vận dụng định luật Gauss cho các trường hợp này, tiến hành như sau:
•

Chọn mặt Gauss là mặt kín (S) chứa điểm khảo sát sao cho việc tính  E đơn giản nhất. Muốn

vậy dựa vào sự phân bố có tính độ xứng của hệ điện tích để tìm quĩ tích các điểm có cùng độ lớn của

E .
•

Tính thơng lượng điện trường  E gửi qua mặt Gauss và tính tổng đại số các điện tích chứa

trong mặt Gauss.
•


Thay vào biểu thức định lý Gauss  E =

 Eds =
S

1

 0

n

q
i =1

i

suy ra E .

Ví dụ 1: Một mặt trụ thẳng dài vơ hạn có bán kính R, mang điện đều với mật độ điện mặt  . Xác
định vector cường độ điện trường do mặt trụ gây ra tại một điểm cách trục của mặt trụ đoạn r  R .
Suy ra kết quả cho dây tích điện đều dài vơ hạn với mật độ điện dài 
Giải.
•

Chọn mặt Gauss: Xét điểm M bất kì cách trục mặt trụ đoạn r  R . Do điện tích phân bố đều

trên mặt trụ và do mặt trụ dài vơ hạn nên bất kì điểm M nào cũng ở xa hai đáy của mặt trụ, nên E
phải hướng vng góc trục mặt trụ và độ lớn phụ thuộc khoảng cách r từ trục đến điểm xét.
Do tính đối xứng trụ như trên, nên chọn mặt Gauss là mặt trụ có bán kính r và trục trùng trục mặt trụ,
hai đáy vng góc trục mặt trụ cách nhau l .

•

Tính  E và Q:

- Điện thơng qua mặt Gauss:  E =  E1 +  E2 .  E1 là điện thông qua hai đáy

n

và  E2 là điện thông qua mặt xung quanh.

S
EM

Điện thông qua hai đáy: vì ở hai đáy n ⊥ E → cos  = 0 nên  E1 = 0

n

Điện thông qua mặt xung quanh: vì ở mặt xung quanh n  E → cos  = 1 và
tại

mọi

điểm

trên

mặt

Gauss


độ

lớn

E

như

nhau,

M

do

đó

r

l

ds
S
n

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 20


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.


ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- E2 =  Eds = E  ds = E.2 rl . Do đó  E =  E1 +  E2 = E.2 rl
S

S

- Điện tích chứa trong mặt Gauss: Là điện tích ở trên mặt trụ tích điện bán kính R chiều dài l nên

Q =  S =  2 Rl (diện tích mặt trụ S = 2 Rl )
•

Áp dụng định lý Gauss:  E =

1

 0

Q → 2 rl.E =


 R
2 Rl suy ra: E =
 0
 0 r

Nếu mặt trụ có R = 0, tức trở thành dây tích điện đều dài vơ hạn với mật độ điện dài  thì
Q =  l → E.2 rl =


1

 0

l do đó E =

1



2 0 r

.

Vậy:
Vector cường độ điện trường do mặt trụ dài vô hạn tích điện đều với mật độ điện mặt  gây ra tại
điểm cách trục mặt trụ đoạn r > R có:
o Phương vng góc với mặt trụ, chiều ra xa mặt trụ nếu   0 và lại gần mặt trụ nếu   0
o Độ lớn định bởi: E =

 R
.
 0 r

Với dây thẳng dài vô hạn, Vector cường độ điện trường tại điểm cách dây r có
o Phương vng góc với dây, chiều ra xa dây nếu   0 và lại gần mặt dây nếu   0
o Độ lớn định bởi: E =

1




2 0 r

.

Ví dụ 2. Một mặt cầu tâm O bán kính R tích điện đều với mật độ điện mặt  . Xác định vector cường
độ điện trường do mặt cầu gây ra tại một điểm cách trục của mặt trụ đoạn r  R và r  R .
Giải.
•

Chọn mặt Gauss. Xét điểm M cách tâm mặt cầu đoạn r  R . Do điện tích phân bố đều trên

mặt cầu, nghĩa là điện tích phân bố có tính đối xứng cầu, nên E phải có phương đi qua tâm của mặt
cầu và có độ lớn như nhau tại mọi điểm cách tâm O đoạn r . Vì vậy mặt Gauss chọn là mặt cầu tâm O
bán kính r chứa điểm M.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 21


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

R


r
R

r

n

n

E

E
Hình(): Trường hợp r  R

Hình(): Trường hợp r  R
•

Tính  E và Q:
Điện thông qua mặt Gauss:: Do n  E → cos  = 1 và tại mọi điểm trên mặt Gauss độ lớn E như

-

nhau nên  E =  Eds = E  ds = E.4 r 2
S

S

Điện tích Q chứa trong mặt Gauss : Do r  R điện tích ở trong mặt Gauss là điện tích phân bố trên

-


mặt cầu bán kính R nên Q =  S =  4 R 2
Áp dụng định lý Gauss:  E =

•

1

 0

Q → 4 r 2 .E =

điện tích tổng cộng Q chứa trên mặt cầu:  E =

1

 0


 R
4 R 2 suy ra: E =
. Hay viết theo
 0
 0 r

Q → 4 r 2 .E =

Q

 0


→E=

1

Q
Q
=k 2
2
4 0  r
r

Vậy: Vector cường độ điện trường E do mặt cầu bán kính R tích điện Q phân bố đều gây ra tại điểm
M
ở ngồi mặt cầu ( r  R ) có phương xuyên tâm, có chiều ra xa tâm O nếu Q > 0, hướng vào tâm

-

nếu Q < 0 và có độ lớn giống biểu thức của vector cường độ điện trường của điện tích
điểm: E = k

Q
.
 r2

Ở bên trong mặt cầu r  R : E = 0 Vì điện tích tổng cộng trong mặt gauss bằng khơng.(điện tích

-

chỉ phân bố trên mặt cầu)

Ví dụ 3. Một mặt phẳng rộng vô hạn mang điện đều với mật độ điện mặt  . Xác định vector cường độ
điện trường tại một điểm cách mặt phẳng đoạn z.
Giải.
•

Chọn mặt Gauss.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 22


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Do điện tích phân bố đều trên mặt phẳng rộng vơ hạn, nên điện trường
dE1,2
có tính đối xứng phẳng. Vector điệm cảm E tại mỗi điểm bất kì, vng
góc mặt phẳng tích điện. E hướng ra xa mặt phẳng nếu   0 và hướng

dE1

dE2

dE 1//

dE 2//

vào mặt phẳng nếu   0 . Vậy chỉ cần tìm biểu thức xác định độ lớn của


E.

o

ds

ds

( Xét điểm O coi là tâm của mặt phẳng rộng vơ hạn, bao giờ ta cũng tìm
được và hai diện tích nguyên tố ds đối xứng qua O, mang điện tích dq =  ds , coi là điện tích điểm. Từ
hình vẽ, dE1// = −dE2// → dE = dE1⊥ + dE2⊥ → dE do hai yếu tố này gây ra vng góc mặt phẳng. Mở
rộng cho các cặp diện tích khác ta thấy E ⊥ mặt phẳng -

n

Hình vẽ bên)

D
M

Vì thế Chọn mặt Gaus, là mặt trụ kín có đường sinh 2z, diện

z

tích mỗi đáy là  s chứa điểm M. Pháp tuyến của diện tích  s

n

n


hướng từ trong mặt kín ra.

•

Tính  E và Q
Điện thông qua mặt Gauss là tổng điện thông qua mặt xung
quanh và hai mặt đáy:  E =  E1 +  E2 .  E1 là điện thông qua

z
H.()
D

hai đáy và  E2 là điện thông qua mặt xung quanh
- Do ở mặt xung quanh của hình trụ n ⊥ E → cos  = 0 nên  E2 = 0 ,
- Điện thơng qua hai đáy có diện tích  s . Vì ở hai đáy n  E → cos  = 1 và tại mọi điểm trên hai
đáy độ lớn E như nhau, do đó  E1 = 2 Eds = 2 E  ds = 2 E s . Vậy  E =  E1 +  E2 = 2 E.s
S

S

- Điện tích bên trong mặt Gauss là điện tích phân bố trên diện tích  s thuộc mặt phẳng tích điện, nên

Q =  q = s .
•

Áp dụng định lý Gauss:  E =

1


 0

Q → 2 r 2 .E =



 r 2 suy ra: E =
. Biểu thức không
 0
2 0

chứa r và E có phương vng góc mặt phẳng nên điện trường sinh ra là điện trường đều.
Vậy: Vector cường độ điện trường do mặt phẳng vơ hạn tích điện đều với mật độ điện mặt  gây ra
là điện trường đều:
o Phương vng góc với mặt phẳng, chiều ra xa mặt phẳng nếu   0 và lại gần mặt phẳng
nếu   0

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 23


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o Độ lớn định bởi: E =


.

2 0

§ 4. CƠNG CỦA LỰCĐIỆN TRƯỜNG – THẾ NĂNG CỦA ĐIỆN TÍCH TRONG ĐIỆN
TRƯỜNG - ĐIỆN THẾ
CƠNG CỦA LỰC ĐIỆN TRƯỜNG.

I.

1) Do điện tích điểm q sinh ra.
Xét điện tích điểm q0  0 di chuyển trong điện trường của điện tích điểm q ( q  0 ) trên đường cong
(C) bất kỳ, từ điểm M (rM ) đến điểm N (rN ) như hình vẽ. Lực điện trường của q tác dụng lên q0 là

F = q0 E thay đổi liên tục trên (C) nên để tính cơng của lực điện trường của điện tích q ta tiến hành
như sau:
•

Cơng ngun tố khi q0 thực hiện trên độ dời vô cùng bé ds từ vị trí r đến vị trí r + dr là

dA = F.dl = q0 Edl = q0 Edl cos  . Do E =
nên dA = q0 Edl =
•

k q
và dl cos  = dr là hình chiếu của dl lên phương r
 r2

kq0 q dr
.
 r2


Vậy công của lực điện trường của q sinh ra khi q0 di chuyển từ M đến N trên đường cong (C)

bất kì định bởi AMN =  dA =  Fdl =  q0 Edl =
C

C

C

kqq0



rN

 kq
kq
−
Hay AMN = q0 
  rM  rN

dr

r

2

rM



.


2) Nếu q0 di chuyển trong điện trường của hệ n điện tích điểm đứng yên:
n

n

i =1

i =1

Lực điện trường do hệ điện tích tác dụng lên q0 là F =  Fi → dA = Fdl =  Fi dl .
N
 riN
Fdl
=
F
dl
=
   Fi dl

 i
M
M
 riM
N

Do đó AMN =


(

n
 n kq
kq
Vậy AMN = q0   i −  i
 i =1  riM i =1  riN

)


 theo trên



riN

 F dl = q
i

riM

0

 kqi
kq
− i

  riM  riN



.



 . (*)


Nếu q0 di chyển trong điện trường bất kì, người ta chứng minh được kết quả trên vẫn đúng.
Nhận xét.
o

Công của lực điện trường tĩnh bất kì sinh ra khi điện tích q0 di chuyển trong nó, khơng phụ

thuộc dạng đường di chuyển mà chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối của đoạn đường dịch chuyển.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 24


VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2.

.

ĐIỆN TỪ VÀ QUANG HỌC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o
Khi (C) là đường cong kín: AMN = 0   Edl = 0 (**). Biểu thức  Edl gọi là lưu thơng của
C

C


vector E dọc theo đường cong kín C. Tức lưu thông của vector cường độ điện trường dọc theo đường
cong kín bằng khơng.
o

Biểu thức (*) và biểu thức (**) cho biết điện trường tĩnh là trường lực thế.

II.

THẾ NĂNG CỦA ĐIỆN TÍCH TRONG ĐIỆN TRƯỜNG.
Trong phần cơ học đã biết, công của trường lực thế giữa hai điểm trong trường, bằng độ giảm

thế năng của vật giữa hai điểm đó dA = Fdl = −dWt .
Vì trường tĩnh điện cũng là trường lực thế và F = q0 E , nên công trong chuyển dời nguyên tố
của q0 trong điện trường là q0 Edl = −dWt (*).
Lấy tích phân (*) cả hai vế ta có, cơng của lực điện trường trong chuyển dời hữu hạn của q0 từ
M đến N là :
Wt ( M ) − Wt ( N ) = q0



Edl = AMN .

MM

Trong đó: Wt ( M ) − Wt ( N ) là hiệu thế năng của điện tích điểm q0 giữa hai điểm M và N trong
điện trường.
1) Thế năng của q0 trong điện trường của điện tích điểm q:

kq0 q kq0 q


−
kq q kq q
 AMN =
 rM  rN
Theo trên 
suy ra Wt ( M ) − Wt ( N ) = 0 − 0 . Số hạng thứ nhất của vế
 rM  rN
 A = W (M ) − W ( N )
t
t
 MN
phải chứa rM xác định vị trí của M trong điện trường, số hạng thứ hai chứa rN xác định vị trí của M
trong điện trường. Nên thế năng tại M và N định bởi Wt ( M ) = k

qq
q0 q
và Wt ( N ) = k 0 .
 rM
 rN

Mặt khác, nếu gọi C là một hằng số bất kì, thì cũng có thể viết


 kq q
  kq q
qq
qq
Wt ( M ) − Wt ( N ) =  0 + C  −  0 + C  , nên Wt ( M ) = k 0 + C và Wt ( N ) = k 0 + C
 rM

 rN
  rM
   rN

Vậy
o

thế năng của điện tích q0 tại một điểm trong điện trường của điện tích q cách q khoảng r sai

khác một hằng số C và định bởi Wt =

kq0 q
+C
 r2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 25