De thi HSG truong KHTN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (76.46 KB, 1 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013. MÔN: TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 25/08/2012 x, y Câu I. 1) Tìm các cặp số nguyên sao cho. 1 1 1 1 x y 2 xy 2 . 2 x, y 2) Tìm các cặp nguyên dương sao cho x 2 chia hết cho xy 2 .. Câu II. 1) Giải hệ phương trình 2 x2 1 x 2 y 2 y2 z 2 1 y 2z2 x 1 z 2. 2) Cho 4 số thực dương a, b, c, d . Chứng minh rằng a c b d c a d b 4 a b b c c d d a. Câu III. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). AD là đường cao của tam giác ABC với D thuộc đoạn BC. Đường tròn () tâm A đi qua D cắt (O) tại P, Q. Gọi PQ giao AD tại G. Gọi AO giao BC tại E và K là trung điểm của AD. a) Chứng minh rằng GE // OK. b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC. M là trung điểm BC. Chứng minh rằng HM, GE, OD đồng quy. Câu IV. Có 50 người ngồi xung quanh một bàn tròn. a) Biết rằng trong đó có 25 nam và 25 nữ. Chứng minh rằng, trong mọi cách xếp ta luôn tìm được một người ngồi giữa hai người nữ. b) Giả sử rằng mỗi người trong họ đều có không quá 24 người mà mình không thích (quy ước: A không thích B thì B cũng không thích A). Chứng minh rằng ta có thể xếp được 50 người này xung quanh bàn tròn mà không ai ngồi cạnh người mà mình không thích. HẾT.
<span class='text_page_counter'>(2)</span>
