Toan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.41 MB, 28 trang )

(1)LAGRANGE G LA. ĐỊNH LÝ. G N RA. AN GR LA. LA GR AN GE. E. LAGRANGE GE. G E. GE. RA N. RA N. LA G. LA. LAGRANGE. LAG LAGRANGE. E G N RA. E G AN R LA. LAGRANGE.

(2) I – ĐỊNH LÝ LAGRANGE Nếu hàm số y  f ( x ) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì :. c  (a, b) : f (b)  f (a)  f '(c)(b  a) f (b)  f (a) Hay : f '(c)  b a.

(3) II-Bài tập Phương trình:.   .x  1  .arccos( x)   2 2 1 x 1  Có Ngiệm x      4.

(4) Đặt: f(x)=Vt của pt Ta có các công thức sau: Để giải bài toán loại 1 này trước hết ta tìm :. 1. cos( x)]  [arcsin( xf(x): )] f(x)=f’(x)=VT[arc của pt f(x)=0 2 2 1 x 1 x. Tìm f(x). Khi đó ta kết luận pt pt f(x) có nghiệm  (a, b).

(5) QUAY TRỞ LẠI BÀI TOÁN: Ta xét hàm số:.  2 f ( x ) ( .x  1)  cos( x)   2   1  f(x) xác định liên tục trên  ;  và có:  4. f ( x)  f ( x)x  (a, b). 1  f   0  .    f   0  4.   1 f   f   4     f (c )     1  4   f (c ) 0 Với : c  ( a, b) Vậy: f(x) coù nghiệm thuoäc (a,b).

(6) Ñònh lyù Cauchy : f(x) vaø g(x) lieân tuïc vaø khaû vi treân (a,b) thì [f(b)-f(a)].g’(c)=[g(x)-g(a)].f’(c).

(7) Ñaët: h(x)=[g(b)-g(a)].f(c)-[g(b)-g(a)].f’(c) h(x) lieân tuïc treân [a,b], khaû vi treân (a,b). Neân:. Ta có:. [ g (b ) (1) [g(b)-g(a)].f’(c)=[f(b)-f(a)].g’(c) . .

(8) 2. 2( x  x  2).cos(2 x) (1  2 x).sin(2 x) Có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuoäc (-1;2).

(9) 2. Đặt: f ( x) 2( x  x  2).cos 2 x  (1  2 x) sin 2 x Ta nhận xét muốn tìm f(x) thì f(x) phải có dạng tích u.v để (u.v)’ =u’.v+v’.u. Chú ý: 2. ( x  x  3) ' 2 x  1  (1  2 x) (cos 2 x) '  sin 2 x Hay: (sin 2 x) ' 2 cos 2 x.

(10) 2 F ( x )  ( x  x  2)sin 2 x Từ đó ta tìm: F '( x)  f ( x) x  ( 1; 2). F ( 1) 0 Ta tìm caùc soá. F (0) 0.   F   0  2. F (2) 0. x  ( 1; 2) sao cho các F đều = 0. Vaäy theo ñònh lyù Largrange toàn taïi. x1  ( 1;0) Sao cho:.   x2   0;   2.   x3   ; 2  2 .     F    F (0) F (2)  F   F (0)  F ( 1) 2  2  0 f ( x1 )   f ( x2 )     f ( x3 )    0  ( 1) 0 2 2 2.

(11) a, b  , a  b coù sin b  sin a b  a. ta luoân (1).

(12) Giaûi. Ta phaûi ñöa veà daïng sao cho. f (b)  f (a) f '(c)  b a.

(13) Ta nghĩ đến việc đặt. sin b  sin a (1)  b a. f ( x) sin x  f '( x) cos x. Khi đó theo định lý Largrange ta có: c  (a, b) : f (b)  f (a) (b  a) cos c  sin b  sin a (b  a ) cos c (b  a).  dpcm.

(14) ĐỊNH LÝ. R££.

(15) Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b], có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì c  (a; b) :f’(c)=0. X01laø nghieäm cuûa Heä quaû 1: neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treâphöông n [a;b], trình f’(x)=0 có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì giữa 2 nghiệ m lieânnaèm giữta1 nghiệ2m tieáp  (a; b) cuûa phöông trình f’(x)=0 coù ít nhaá nghieäm lieân tieáp x1, x2 cuûa phöông trình f(x)=0.

(16) Hệ quả 2: Hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b], có đạo haøm treân (a;b) Nếu f(x)=0 có k nghiệm thực  ( a; b) thì phöông trình f’(x)=0 coù ít nhaát (k-1) nghieäm  (a; b) Neáu phöông trình f’(x)=0 coù (k-1) nghieäm  ( a; b) thì phöông trình f(x)=0 coù nhieàu nhaát k nghieäm  (a; b).

(17) a, b, c, d   ñoâi 1 khaùc nhau thì phöông trình. ( x  a)( x  b)( x  c)  ( x  b)( x  c)( x  d ) ( x  c)( x  d )( x  a)  ( x  d )( x  a)( x  b) 0 coù 3 nghieäm phaân bieät..

(18) Ñaët f ( x) ( x  a)( x  b)( x  c)  ( x  b)( x  c)( x  d ). ( x  c)( x  d )( x  a)  ( x  d )( x  a)( x  b). F ( x) ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  F(x)=0 coù 4 nghieäm phaân bieät Maø F’(x)=f(x)  Theo heä quaû cuûa ñònh lí Roll, phöông trình f(x)=0 coù ít nhaát 3 nghieäm (1) Maø f(x) laø phöông trình baäc 3 neân coù nhieàu nhaát laø 3 nghieäm (2) Từ (1) và (2) f(x) có 3 nghiệm thực phân biệt a,b,c,d.

(19)

(20) Ñaët: f ( x ) 3sin x  x. x2 Neáu gioáng baøi treân ta tìm f(x):f’(x)=f(x) thì f ( x)  3cos x  2. Việc tìm số ngiệm của phương trình f(x)=0 còn khó hợp f(x)=0 nên ta sẽ sử dụng hệ quả 2.2, Tìm f’(x) Ta coù: f '( x) 3cos x  1.  f '( x ) =0 coù 2 nghieäm xo arccos 1 3 neân f(x)=0 coù nhieàu nhaát 3 nghieäm (heä quaû cuûa ñònh lyù Roll) (Ta sử dụng f(a).f(b) nhỏ hơn 0 để tìm số nghiệm và khoảng cách giaù trò nghieäm.) Trước hết ta hãy tìm giới hạn x.Để ý: 3sinx=x Vì :  1 sin x 1   3 x 3 Ta seõ tìm caùc soá a,b,c,… sao cho f(a).f(b) nhoû hôn 0,… Ta coù:.   f (0) 0, f    f ( 3)  0,  2.   f   f (3)  0  3.

(21) Nên phương trình f(x)=0 có đúng 3 nghiệm laø   x 0  1      x2    3;   2       ;3  x3    3  .

(22) H ÀM TUY ẾN T Í NH.

(23) I. Ñònh lyù haøm tuyeán tính: Xét hàm f(x)=ax+b xác định trên đoạn Neáu  f ( ) k [ ;  ]   f (  ) k thì. f ( x) k x  [ ;  ]. ( k  ).

(24) Cho a, b, c là những số thực không âm thoûa: 2. 2. 2. a  b  c 4. 1 a  b  c  abc  8 2.

(25) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng: 1    1  bc  a  b  c  8 0 2   1   Xeùt: f (a)  1  bc  a  b  c  2  . Khi đó:. giaûi. 8 0. (a  [0;2]). f (0) b  c  8  2(b  c )  8  8  8 0 2. 2. f (2) 2  bc  b  c 2  8  8  8 0 vì a 2  b c 0. Vaäy f (a) 0a [0;2]  ñpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=2; b=c=0 và các hoán vị.

(26) a, b, c khoâng aâm ta coù:. 7(ab  bc  ca)(a  b  c) 9abc  2(a  b  c). 3.

(27) a b c ,y ,z  Ñaët : x  a b c a b c a b c Khi đó bài toán trở thành Chứng minh: 7( xy  yz  zx) 9 xyz  2 với x  y  z 1. Xeùt : Ta coù:. Giaûi. f ( x) (7 y  7 z  9 yz ) x  7 yz  2 vaø  1 f   0; f (1)  2  0  3. 1  x   ;1 3 . 1   f ( x) 0x   ;1 3 . Vậy đẳng thức chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra 1  x  y z   a b c 3.

(28)

(29)

Toan

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về