<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề:

<b> HÌNH HỌC GIẢI TÍCH </b>

TRONG MẶT PHẲNG

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng :

• x'Ox : trục hồnh
• y'Oy : trục tung

• O : gốc toạ độ

• i j, : véc tơ đơn vị ( = = ⊥

1 vaø

i j i j )

Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxy được gọi là mặt phẳng
Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy)

II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1. Định nghĩa 1: Cho M∈mp Oxy( ). Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo
i j, bởi hệ thức có dạng : = + ∈

với x,y

OM xi y j .

Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.

Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M )

⇔ = +

/

( ; ) ñ n

M x y OM xi y j

• Ý nghóa hình học:

x=OP vaø y=OQ

2. Định nghóa 2: Cho a mp Oxy∈ ( )

. Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo
i j, bởi hệ thức có dạng : = + ∈

1 2 với a ,a1 2

a a i a j .

Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a

.
Ký hiệu: a=( ; )a a_{1 2}

⇔ = +

/

1 2 1 2

= (a ;a ) ñ n

a a a i a j

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

• Ý nghóa hình hoïc:

a₁=A B_{1 1} vaø a =A₂ _{2 2}B

III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

_☞

Định lý 1: Nếu

A x y( ; ) và B(x ; )_A _A _B y_B thì

AB=(x_B−x y_A; _B−y_A)

☞

Định lý 2: Nếu

a =( ; ) và a a_{1 2} b=( ; )b b_{1 2} thì

* 1 1

2 2

a

b

a b

a b
=



= ⇔ 

=



* a b+ = (a₁+b a_{1 2}; +b₂)

* a b− = (a₁−b a_{1 2}; −b₂)

* k a.=( ;ka ka₁ ₂) (k∈)
IV. Sự cùng phương của hai véc tơ:

Nhắc lại

• Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng
song song .

• Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

☞

Định lý 3 : Cho hai véc tơ a và với b b≠0

cùng phương a b ⇔ ∃ !k∈ sao cho a=k b.

Neáu a≠0

thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

k > 0 khi a cùng hướng b

k < 0 khi a ngược hướng b

k a
b
=

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i>

'

<i>x</i>

'

<i>y</i>

1

<i>A</i> <i>B</i>1
2

<i>A</i>

2

<i>B</i>
<i>A</i>

<i>B</i>
<i>K</i>

<i>H</i>

<i>A</i>

<i>B</i>

<i>C</i>

<i>a</i> <i>_b</i>

2 5

a b , b - a

5 2

= − =

)
;
(<i>xA</i> <i>yA</i>

<i>A</i>

)
;
(<i>xB</i> <i>yB</i>

<i>B</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

☞

Định lý 4 : A B C, , thaúng hàng ⇔ AB cùng phương AC

(Điều kiện 3 điểm thẳng haøng )

☞

Định lý 5: Cho hai véc tơ

a=( ; ) vaø a a1 2 b=( ; )b b1 2

ta coù :
a cùng phương b ⇔ a ._{1 2}b −a b_{2 1}. =0

(Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ)

V. Tích vơ hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:

.a b= a b. .cos( , )a b
a2 = a2

a⊥b ⇔ .a b=0

☞

Định lý 6: Cho hai véc tơ a=( ; ) và a a_{1 2} b =( ; )b b_{1 2} ta coù :

a b. =a b_{1 1}+a b_{2 2} (Công thức tính tích vơ hướng theo tọa độ)

☞

Định lý 7: Cho hai véc tơ a =( ; ) a a_{1 2} ta coù :
a = a₁2+a₂2

(Cơng thức tính độ dài véc tơ )

☞

Định lý 8: Nếu A x y( ; ) vaø B(x ; )_A _A _B y_B thì

AB= (x_B−x_A)2+(y_B−y_A)2 (Cơng thức tính khoảng cách 2 điểm)

☞

Định lý 9: Cho hai véc tơ a=( ; ) và a a_{1 2} b=( ; )b b_{1 2}

ta coù :
a⊥b ⇔ a_{1 1}b +a b_{2 2} =0

(Điều kiện vuông góc của 2 véc tơ)

☞

Định lý 10: Cho hai véc tơ a=( ; ) và a a_{1 2} b=( ; )b b_{1 2}

ta coù

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

.
cos( , )

. _.

+

= =

+ +

a b a b
a b

a b

a b _a _a _b _b (Cơng thức tính góc của 2 véc tơ)

:

VD

)

;

(

)

;

(

2
1
2
1

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

=

=

)

4

;

2

(

)

2

;

1

(

=

=

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>b</i>

<i>O</i>
'
<i>x</i>
'
<i>y</i>
<i>a</i>

ϕ

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>O</i>
B
A
)
;
(<i>xA</i> <i>yA</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠1 ) nếu như : MA=k MB.

A M B

• • •

☞

Định lý 11 : Nếu A x y( ; ) , B(x ; )_A _A _B y_B và MA=k MB. ( k ≠1 ) thì

.
1
.
1
A B
M
A B
M

x k x

x

k
y k y
y
k
−

=
 ₋

−
 ₌
 ₋


Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔ 2
2
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
+

=



+
 ₌

VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giaùc :







+
+
=
+
+
=
⇔
=
+
+
⇔
3
3
0
.
1
<i>C</i>
<i>B</i>

<i>A</i>
<i>G</i>
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>GC</i>
<i>GB</i>
G
x


GA


ABC
giác
tam
tâm
trọng
là
G

2. H là trực tâm tam giác ABC . 0

. 0

AH BC AH BC

BH AC BH AC

 _⊥  ₌
 
⇔  ⇔
⊥ =
 
 

3. ' '

'

là chân đường cao kẻ từ A

cùng phương
AA BC
A
BA BC
 _⊥

⇔ 





4. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IA=IB
IA=IC

⇔ 


5. ∆ ⇔ = −

D là chân đường phân giác trong của góc A của ABC DB AB.DC
AC

6. ∆ ⇔ =

' ' '

D là chân đường phân giác ngồi của góc A của ABC D B AB.D C
AC
7. J là tâm đường tròn nội tiếp ABC JA AB.JD

BD

∆ ⇔ = −

VIII. Kiến thức cơ bản thường sử dụng khác:

Cơng thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh :

☞

Định lý 12: Cho tam giác ABC . Đặt AB=( ; ) vaø a a_{1 2} AC=( ; )b b_{1 2}

ta coù :
1 . _{1 2} _{2 1}

2

ABC

S_∆ = a b −a b

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Tìm diện tích tam giác có các đỉnh A(-2;-4), B(2;8), C(10;2)

Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 với A(3;1), B(1;-3)
1. Tìm C biết C trên Oy

2. Tìm C biết trọng tâm G của tam giác treân Oy

Bài 3: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với <i>m</i>≠0. Tìm toạ độ trọng tâm G

của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. (TS D 2004).

Bài 4: Các điểm A(1;-1), B(0;2) là hai đỉnh của một tam giác vuông cân ABC _{(C 90 )} 0

= . Tìm tọa độ
đỉnh C.

Bài 5: Các điểm A(1;-1), B(0;3) là hai đỉnh liên tiếp của hình vng ABCD. Tìm tọa độ các đỉnh cịn
lại của hình vng.

Bài 6: Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC, biết A(0;2), B(4;6), C thuộc trục Ox và độ dài trung tuyến
kẻ từ C bằng 5.

Bài 7: Các điểm A(3;0), B(0;2), C(-4;1) là các đỉnh của tam giác ABC. Tìm tọa độ trực tâm H của tam
giác .

Bài 8: Các điểm A(3;0), B(0;2), C(-4;1) là các đỉnh của tam giác ABC. Tìm tọa độ tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác.

Bài 9: Các điểm A(1;5), B(4;-1), C(-4;-5) là các đỉnh của tam giác ABC. Tìm tọa độ tâm đường trịn
nội tiếp tam giác ABC.

Baøi 10: Cho A(1;1), B(-3;-2), C(0;1)

1. Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
2. Chứng minh rằng G, H, I thẳng hàng và <i>GH</i> =−2<i>GI</i>

3. Vẽ đường cao AA' của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm A'
Bài 11: Cho tam giác ABC biết A(6;4), B(-4;-1), C(2;-4).

Tìm toạ độ tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 12: Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC, biết toạ độ các đỉnh <i>A</i>( 1; 2), (5; 7), (4; 3)− <i>B</i> <i>C</i> −
Bài 13: Cho ba điểm A(1;6), B(-4;-4), C(4;0)

1. Vẽ phân giác trong AD và phân giác ngồi AE. Tìm toạ độ D và E
2. Tìm toạ độ tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC

Bài 14: Cho hai điểm A(0;2), <i>B</i>(− 3;−1). Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp

của tam giác OAB.

Bài 15: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với <i>m</i>≠0. Tìm toạ độ trọng tâm G

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Các định nghĩa về VTCP và VTPT (PVT) của đường thẳng:
a

là VTCP của đường thẳng (∆)
đn

⇔ 0

a có giá song song hoặc trùng với ( )
a

 _≠




∆


n

là VTPT của đường thẳng (∆)
đn

⇔ 0

n có giá vng góc với ( )
n

 _≠




∆


* Chú ý:

• Nếu đường thẳng (∆) có VTCP a=( ; )a a₁ ₂ thì có VTPT là n= −( a a₂; )₁
• Nếu đường thẳng (∆) có VTPT n=( ; )A B

thì có VTCP là a= −( ; )B A

II. Phương trình đường thẳng :

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :

a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng (∆) qua M0(x0;y0) và nhận a=( ; )a a₁ ₂

laøm
VTCP sẽ có :

☞

Phương trình tham số là : 0 1

0 2

.

( ) : ( )

.

x x t a
t
y y t a

= +



∆  ∈

= +



_☞

Phương trình chính tắc laø :

0 0

1 2

( ) :x x y y

a a

− −

∆ = (<i>a a</i>1, 2 ≠0)

<b>Áp d</b>ụ<b>ng </b>

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm <i>A</i>

(

1; 2 ,

) (

<i>B</i> −3; 4

)

)
(∆
<i>n</i>

)
;
( ₀ ₀
0 <i>x</i> <i>y</i>
<i>M</i>

)
;
(<i>x</i> <i>y</i>
<i>M</i>
<i>a</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i>

<i>a</i>

<i>a</i> (∆)

<i>a</i>

<i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng :

a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT n=( ; )A B

laø:

( ) : (∆ A x x− ₀)+B y y( − ₀) 0= (A2+B2 ≠0)

b. Phương trình tổng quát của đường thẳng :

Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng (∆) có dạng :

Ax + By + C = 0 với 2 2 ₀

A +B ≠

Chú ý:

Từ phương trình (∆):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :
1. VTPT của (∆) là n=( ; )A B

2. VTCP cuûa (∆) laø a= −( ; ) hay a ( ;B A = B −A)

3. M x y₀( ; ) ( )₀ ₀ ∈ ∆ ⇔ Ax₀+By₀+C=0
Mệnh đề (3) được hiểu là :

Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó
nghiệm đúng phương trình của đường thẳng .

<b>Áp d</b>ụ<b>ng </b>

1) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC, biết

(

6; 2 ,

)

(

1; 1 ,

) (

3; 2

)

<i>M</i> − <i>N</i> − − <i>P</i> theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB.

KQ: <i>x</i>+7<i>y</i>−17=0;3<i>x</i>−4<i>y</i>−10=0; 4<i>x</i>+3<i>y</i>+ =7 0
2) Cho tam giác ABC có <i>A</i>

(

1; 2 ,

) (

<i>B</i> −3; 4 ,

)

<i>C</i>

(

2; 0

)

a) Viết phương trình đường cao kẻ từ A

b) Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB

KQ: 5<i>x</i>−4<i>y</i>+ =3 0; 2<i>x</i>− + =<i>y</i> 5 0

3) Viết phương trình đường thẳng đi qua <i>A</i>

(

1; 2−

)

và vng góc với đường thẳng

( )

∆ : 4<i>x</i>−3<i>y</i>+ =5 0

)
;
( ₀ ₀
0 <i>x</i> <i>y</i>
<i>M</i>

)
;
(<i>x</i> <i>y</i>
<i>M</i>
<i>n</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i>

)
;
( ₀ ₀
0 <i>x</i> <i>y</i>
<i>M</i>
)
;
(<i>A</i> <i>B</i>
<i>n</i>=

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i>

)
;
( <i>B</i> <i>A</i>
<i>a</i>= −

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng :

a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) :

( ) : A A
B A B A

x x y y

AB

x x y y

− −

=

− − (AB) :x=xA (AB) :y=yA

<b>Áp d</b>ụ<b>ng </b>

1) Cho tam giác ABC có <i>A</i>

(

1; 2 ,

) (

<i>B</i> −3; 4 ,

)

<i>C</i>

(

2; 0

)

.Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

2) Cho tam giác ABC có <i>A</i>

(

4; 1 ,−

) (

<i>B</i> 1;5 ,

)

<i>C</i>

(

− −4; 5

)

.

a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc C.
b) Viết phương trình đường phân giác trong của góc B.

<b>b. Ph</b>ươ<b>ng trình </b>đườ<b>ng th</b>ẳ<b>ng theo </b>đ<b>o</b>ạ<b>n ch</b>ắ<b>n: </b>

<b> </b>

☞

Đị<b>nh lý: </b>Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng (∆) cắt trục hồng tại điểm A(a;0) và trục tung tại
điểm B(0;b) với a, b≠0 có dạng: <i>x</i> <i>y</i> 1

<i>a</i>+<i>b</i> = <b> </b>
<b> Áp d</b>ụ<b>ng: </b>

<b>1) Bài 1: </b>Viết phương trình đường thẳng

( )

∆ đi qua điểm <i>M</i>

(

1; 2

)

và chắn trên hai trục tọa độ các đoạn bằng
nhau.

KQ: <i>x</i>+ − =<i>y</i> 3 0;<i>x</i>− + =<i>y</i> 1 0

<b> 2) Bài 2:</b> Cho điểm <i>M</i>

(

4;1

)

. Một đường thẳng (d) đi qua điểm M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại<i>A a</i>

(

; 0 ;

)

<i>B</i>

(

0 ;<i>b</i>

)

với ,<i>a b</i>>0. Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho

a) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất b) <i>OA OB</i>+ nhỏ nhất

c. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k:

Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng ∆. Gọi α =( , )Ox ∆ thì k=tanα được gọi là hệ số góc
của đường thẳng ∆

☞

Định lý 1: Phương trình đường thẳng ∆ qua M x y₀( ; )₀ ₀ có hệ số góc k là :

y - y = k(x - x )₀ ₀ (1)

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i>

α

)
;
(<i>x</i> <i>y</i>
<i>M</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i>

)
;
(<i>xA</i> <i>yA</i>
<i>A</i>

)

;
(<i>xB</i> <i>yB</i>

<i>B</i> <i>A</i>(<i>xA</i>;<i>yA</i>)

)
;
(<i>xB</i> <i>yB</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>x</i> <i>xB</i>
<i>A</i>

<i>y</i>

<i>B</i>
<i>y</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

)
;
(<i>x_A</i> <i>y_A</i>

<i>A</i> <i>B</i>(<i>x_B</i>;<i>y_B</i>)
<i>A</i>

<i>y</i> <i>yB</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

)
;
(<i>x</i> <i>y</i>
<i>M</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i> <i>x</i>0

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Chú ý 1: Phương trình (1) khơng có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vng góc

Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vng góc Ox là

x = x

0

Chú ý 2: Nếu đường thẳng ∆ có phương trình <i>y</i>=<i>ax b</i>+ thì hệ số góc của đường thẳng là <i>k</i> =<i>a</i>

☞

Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng ∆ ∆₁, ₂

₍

∆ ≠ ∆₁ ₂

₎

ta có :

• ∆₁//∆₂ ⇔ k₁ =<i>k</i>₂
• ∆ ⊥ ∆₁ ₂ ⇔ k .₁<i>k</i>₂ = −1

c. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vng góc với một đt cho trước:

i. Phương trinh đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =0∆₁ ∆ ₁

ii. Phương trinh đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =0∆₁ ⊥ ∆ ₂

Chú ý: m m₁; ₂ được xác định bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên ∆ ∆₁; ₂

<b>Áp d</b>ụ<b>ng </b>

Viết phương trình đường thẳng đi qua <i>A</i>

(

1; 2−

)

và vng góc với đường thẳng

( )

∆ : 4<i>x</i>−3<i>y</i>+ =5 0

III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

<b> </b>
<b> </b><i>M</i>

Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1

2 2 2 2

( ) : 0

( ) : 0

A x B y C
A x B y C

∆ + + =

∆ + + =

Vị trí tương đối của ( ) và ( )∆₁ ∆₂ phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình :
1 1 1

2 2 2

0
0

A x B y C
A x B y C

+ + =




+ + =

 hay

1 1 1

2 2 2

(1)

A x B y C
A x B y C

+ = −




+ = −



Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của ( ) và ( )∆₁ ∆₂
1
∆
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>O</i>
2
∆
2
1

//

∆

∆

1
∆
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>O</i>
2
∆
2
1

∆

∆

caét

1
∆
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>O</i>
2
∆
2
1

≡

∆

∆

0

:

₂

1

−

+

=

∆

<i>Bx</i>

<i>Ay</i>

<i>m</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i> <i>x</i>0
1

<i>M</i>

0

:

+

+

₁

=

∆

<i>Ax</i>

<i>By</i>

<i>C</i>

0

: 1

1 + + =

∆ <i>Ax</i> <i>By</i> <i>m</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i> <i>x</i>0

0
: + + ₁ =

∆ <i>Ax</i> <i>By</i> <i>C</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

☞

Định lý 1:

1 2

1 2

1 2

. Hệ (1) vô nghieäm ( )//( )
. Hệ (1) có nghiệm duy nhất ( ) cắt ( )

. Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( )
i

ii
iii

⇔ ∆ ∆

⇔ ∆ ∆

⇔ ∆ ≡ ∆

☞

Định lý 2: Neáu A B C₂; ;₂ ₂ khác 0 thì

∆ ∆ ⇔ ≠

∆ ∆ ⇔ = ≠

∆ ≡ ∆ ⇔ = =

1 1

1 2

2 2

1 1 1

1 2

2 2 2

1 1 1

1 2

2 2 2

A
. ( ) caét ( )

A
A
. ( ) // ( )

A
A
. ( ) ( )

A
B
i

B

B C

ii

B C

B C

iii

B C

<b>Áp d</b>ụ<b>ng: </b>

<b>Bài 1:</b> Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình ba cạnh là

(

<i>AB</i>

)

: 2<i>x</i>−3<i>y</i>−18=0,

(

<i>BC</i>

)

: 7<i>x</i>−2<i>y</i>−12=0,

(

<i>AC</i>

)

: 5<i>x</i>+ −<i>y</i> 28=0.

<b>Bài 2:</b>Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng 3<i>x</i>+ − =<i>y</i> 6 0 và 2<i>x</i>+ − =<i>y</i> 3 0 song
song với đường thẳng 4<i>x</i>−3<i>y</i>+ =5 0.

<b>Bài 3:</b> Cho tam giác ABC biết <i>A</i>

( ) (

1;3 ,<i>B</i> 5;1 ,

)

<i>C</i>

(

− −3; 1

)

. Tìm tọa độđiểm H là trực tâm của tam giác ABC.

<b>Bài 4:</b> Lập phương trình các cạnh tam giác ABC nếu cho <i>B</i>

(

− −4; 5

)

và hai đường cao có phương trình
5<i>x</i>+3<i>y</i>− =4 0;3<i>x</i>+8<i>y</i>+13=0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

IV. Góc giữa hai đường thẳng

1.Đị<b>nh ngh</b>ĩ<b>a: </b>Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành 4 góc. Sốđo nhỏ nhất trong các sốđo
của bốn góc đó được gọi là <i>góc gi</i>ữ<i>a hai </i>đườ<i>ng th</i>ẳ<i>ng a và b</i> (hay <i>góc h</i>ợ<i>p b</i>ở<i>i hai </i>

<i> </i>đườ<i>ng th</i>ẳ<i>ng a và b</i>). Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là

(

a, b

)

Đặ<b>c bi</b>ệ<b>t:</b> Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng 00
<b> 2.Cơng th</b>ứ<b>c tính góc gi</b>ữ<b>a hai </b>đườ<b>ng th</b>ẳ<b>ng theo VTCP và VTPT </b>

a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là u

và v

thì

(

)

( )

u.v

cos a, b cos u, v

u . v

= =

b) Nếu hai đường thẳng có VTPT lần lượt là n

và n '

thì

(

)

(

)

n.n '

cos a, b cos n, n '

n . n '

= =

☞

Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1

2 2 2 2

( ) : 0

( ) : 0

A x B y C
A x B y C

∆ + + =

∆ + + =

Gọi ϕ (00 ≤ϕ≤900) là góc giữa ( ) và ( )∆₁ ∆₂ ta có :

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos

.
A A B B

A B A B

ϕ

= +

+ +

Heä quaû:

( ) ( ) ∆₁ ⊥ ∆₂ ⇔ A_{1 2}A +B B_{1 2} =0
<b>Áp d</b>ụ<b>ng </b>

Cho điểm <i>A</i>

(

0;1

)

và đường thẳng

( )

∆ :<i>x</i>+2<i>y</i>+ =3 0. Viết phương trình đường thẳng d qua A và tạo với

( )

∆ một
góc 450.

V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

☞

Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) :∆ Ax By C+ + =0 và điểm M x y₀( ; )₀ ₀
Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( )∆ được tính bởi cơng thức:

0 0

0 ₂ ₂

( ; ) Ax By C

d M

A B

+ +

∆ =

+

☞

Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1

2 2 2 2

( ) : 0

( ) : 0

A x B y C
A x B y C

∆ + + =

∆ + + =

Phương trình phân giác của góc tạo bởi ( ) và ( )∆₁ ∆₂ là :

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

A x B y C A x B y C

A B A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

☞

Định lý 3: Cho đường thẳng (∆₁):<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>C</i>=0 và hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm

trên (∆). Khi đó:

• Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với (∆) khi và chỉ khi
(<i>AxM</i> +<i>ByM</i> +<i>C</i>)(<i>AxN</i> +<i>ByN</i> +<i>C</i>)>0

• Hai điểm M , N nằm khác phía đối với (∆) khi và chỉ khi
(<i>Ax_M</i> +<i>By_M</i> +<i>C</i>)(<i>Ax_N</i> +<i>By_N</i> +<i>C</i>)<0

<b>Áp d</b>ụ<b>ng </b>

<b>Bài 1: </b>Cho tam giác ABC có diện tích <i>S</i> =8, hai đỉnh <i>A</i>

(

1; 2 ,−

) (

<i>B</i> 2;3

)

. Tìm tọa độđỉnh C, biết rằng đỉnh C nằm
trên đường thẳng

( )

<i>d</i> : 2<i>x</i>+ − =<i>y</i> 2 0.

KQ: <i>C</i>

(

−1; 4

)

hoặc 25; 36

7 7

<i>C</i> − 

 

<b>Bài 2:</b> Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm <i>A</i>

( )

1;1 và cách điểm <i>B</i>

(

−2; 2

)

một khoảng bằng 5
KQ: 2<i>x</i>+ − =<i>y</i> 3 0;<i>x</i>−2<i>y</i>+ =1 0
<b>BÀI T</b>Ậ<b>P T</b>Ổ<b>NG H</b>Ợ<b>P CÁC KI</b>Ế<b>N TH</b>Ứ<b>C </b>Đ<b>Ã H</b>Ọ<b>C </b>

<b>Bài 1: </b>Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh <i>C</i>

(

4; 1−

)

, đường cao và đường trung tuyến kẻ từ
đỉnh A có phương trình tương ứng là 2<i>x</i>−3<i>y</i>+12=0 và 2<i>x</i>+3<i>y</i>=0.

<b>Bài 2:</b> Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết <i>A</i>

( )

1;3 và hai trung tuyến có phương trình là

2 1 0

<i>x</i>− <i>y</i>+ = và <i>y</i>− =1 0.

<b>Bài 3:</b> Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5<i>x</i>−2<i>y</i>+ =6 0; 4<i>x</i>+7<i>y</i>−21=0. Viết
phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó biết rằng trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ.

<b>Bài 4: </b>Cho tam giác ABC có đỉnh <i>B</i>

(

−4;1

)

, trọng tâm <i>G</i>

( )

1;1 và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có
phương trình <i>x</i>− − =<i>y</i> 1 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.

<b>Bài 5: </b>Cho hai đường thẳng ∆:<i>x</i>− − =<i>y</i> 4 0 và : 2<i>d</i> <i>x</i>− − =<i>y</i> 2 0. Tìm tọa độđiểm N thuộc đường thẳng d sao cho

đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn <i>OM ON</i>. =8
Kết quả: <i>N</i>

(

0; 2

)

hoặc 6 2;

5 5

<i>N</i> 

 

<b>Bài 6: </b>Cho tam giác ABC có đỉnh 1;1
2

<i>B</i> 

 . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB

tại các điểm D, E, F. Cho <i>D</i>

(

3;1

)

và đường thẳng EF có phương trình <i>y</i>− =3 0. Tìm tọa độđỉnh A, biết A có tung

độ dương.
Kết quả: 3;13

3

<i>A</i> 
 

<i>M</i> <i>N</i>

<i>M</i>

<i>N</i>

∆

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>BÀI T</b>

Ậ

<b>P RÈN LUY</b>

Ệ

<b>N </b>

<b>Bài 1: </b>

<b>Bài 2: </b>

<b>Bài 3: </b>

<b>Bài 4: </b>

<b>Bài 5: </b>

<b>Bài 6: </b>

<b>Bài 7: </b>

<b>Bài 8: </b>

<b>Bài 9: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>Bài 11: </b>

<b>Bài 12: </b>

<b>Bài 13: </b>

<b>Bài 14: </b>

<b>Bài 15: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Phương trình đường trịn:
1. Phương trình chính tắc:

☞

Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường trịn (C) tâm I(a;b), bán kính R là :
_{( ) : (}_C _{x a}₋ ₎2₊₍_{y b}₋ ₎2 ₌_R2₍₁₎

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn
Đặc biệt: Khi I ≡O thì ( ) :C x2+y2 =R2

Ví dụ<b>:</b> Lập phương trình đường trịn trong các trường hợp sau
1) Tâm <i>I</i>

(

2; 2

)

, bán kính <i>R</i>=3

2) Đi qua điểm <i>A</i>

(

3;1

)

và tâm <i>I</i>

(

1; 2

)

3) Có đường kính AB với <i>A</i>

(

3;1 ,

)

<i>B</i>

(

−1;5

)

4) Tâm <i>I</i>

( )

1;1 và tiếp xúc với đường thẳng

( )

∆ : 3<i>x</i>+4<i>y</i>−12=0

2. Phương trình tổng quát:

Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình : _x2₊_y2₋₂_ax₋₂_{by c}_{+ =}₀_với_a2₊_b2_{− >}_c ₀

là phương trình của đường trịn (C) có tâm I(a;b), bán kính _R₌ _a2₊_b2₋_c_.

Ví dụ<b>:</b> Lập phương trình đường trịn đi qua ba điểm

1) <i>A</i>

(

1; 4 ,

)

<i>B</i>

(

−4; 0 ,

)

<i>C</i>

(

− −2; 2

)

2) <i>A</i>

( ) (

1;1 ,<i>B</i> 3; 2 ,−

)

<i>C</i>

(

4;3

)

II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

☞

Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn
_{( ) :}_C _x2₊_y2₋₂_ax₋₂_{by c}_{+ =}₀_{tại điểm}

0 0

( ; ) ( )
M x y ∈ C laø :
( ) :∆ x x y y a x x₀ + ₀ − ( + ₀)−b y y( + ₀)+ =c 0

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i>

)
;
(<i>a</i> <i>b</i>
<i>I</i>

<i>R</i>
<i>a</i>
<i>b</i>

)

;
(<i>x</i> <i>y</i>
<i>M</i>

(C)
I(a;b)

)
(∆

)
;
( ₀ ₀

0 <i>x</i> <i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

VI. Các vấn đề có liên quan:

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn:

☞

Định lý:

( ) ( )∆ ∩ C = ∅ ⇔ d(I; ) > R∆
( ) tieáp xuùc (C) ∆ ⇔ d(I; ) = R∆
( ) caét (C) ∆ ⇔ d(I; ) < R∆

<b>L</b>ư<b>u ý:</b> Cho đường tròn ( ) :C x2 +y2 −2ax−2by c+ =0 và đường thẳng

( )

∆ :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>C</i>=0. Tọa độ giao điểm
(nếu có) của (C) và (∆) là nghiệm của hệ phương trình:

2 2 2 2 0

0

<i>x</i> <i>y</i> <i>ax</i> <i>by</i> <i>c</i>

<i>Ax</i> <i>By</i> <i>C</i>

 ₊ ₋ ₋ _{+ =}


+ + =



2. Vị trí tương đối của hai đường tròn :

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

( ) vaø (C ) không cắt nhau I I > R

( ) và (C ) cắt nhau R < I I < R
( ) và (C ) tiếp xúc ngoài nhau I I = R

( ) và (C ) tiếp xúc trong

C R

C R R

C R

C

⇔ +

⇔ − +

⇔ +

1 2 1 2

nhau ⇔ I I = R −R

<b>L</b>ư<b>u ý:</b> Cho đường tròn ( ) :C x2+y2−2ax−2by c+ =0

và đường tròn

( )

<i>C</i>' :<i>x</i>2+<i>y</i>2−2 '<i>a x</i>−2 '<i>b y</i>+<i>c</i>'=0.

Tọa độ giao điềm (nếu có) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình:

2 2

2 2

2 2 0

2 ' 2 ' ' 0

<i>x</i> <i>y</i> <i>ax</i> <i>by</i> <i>c</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>a x</i> <i>b y</i> <i>c</i>

 ₊ ₋ ₋ _{+ =}


+ − − + =

)
(<i>C</i>
<i>I</i>
<i>R</i>
<i>M</i>
<i>H</i>
<i>I</i>
<i>R</i>
<i>H</i>
<i>M</i> ≡
)

(<i>C</i> ₍<i>_C</i>₎

<i>I</i>
<i>R H</i>

<i>M</i>

1
<i>I</i> <i>R</i>1
1
<i>C</i>
2
<i>I</i>
2
<i>R</i>
2
<i>C</i>
1
<i>I</i> <i>R</i>1

1
<i>C</i>
2
<i>C</i>
2
<i>R</i>
2
<i>I</i>
1
<i>C</i>
1
<i>I</i> <i>R</i>1

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>BÀI T</b>

Ậ

<b>P RÈN LUY</b>

Ệ

<b>N </b>

<b>Bài 1: </b>

<b>Bài 2: </b>

<b>Bài 3: </b>

<b>Bài 4: </b>

<b>Bài 5: </b>

<b>Bài 6: </b>

<b>Bài 7: </b>

<b>Bài 8: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>Bài 10: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

ĐƯỜNG ELÍP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

I.Định nghóa:

Elíp (E) là tập hợp các điểm M có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F1; F2 bằng hằng số

* Hai điểm cố định F1; F2 được gọi là các tiêu điểm

* F1F2 = 2c ( c > 0 ) được gọi là tiêu cự

{

1 2

}

(E)= M / MF MF+ =2a ( a>0 : hằng số và a>c )

II. Phương trình chính tắc của Elíp và các yếu tố:
1. Phương trình chính tắc:

2 2

2 2

x y

(E) : 1

a +b = với

2 2 2

b =a −c ( a > b) (1)

2. Các yếu tố của Elíp:

* Elíp xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm:
- Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy

- Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0)

- Tiêu cự F1F2 = 2c

- Trục lớn nằm trên Ox; độ dài trục lớn 2a ( = A1A2 )

- Trục nhỏ nằm trên Oy; độ dài trục lớn 2b ( = B1B2 )

- Đỉnh trên trục lớn : A1(-a;0); A2(a;0)

- Đỉnh trên trục nhỏ :B1(0;-b); B2(0;b)

- Bán kính qua tiêu ñieåm:
(E)

2c
M

1
<i>F</i>

2
<i>F</i>

-a a

(E)

c
-c

y

x

R S

P
Q

O

M

1
<i>r</i>

2
<i>r</i>

1

<i>A</i> <i>A</i>₂

1
<i>B</i>

2
<i>B</i>

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Với M(x;y) ∈ (E) thì 1 1

2 2

c

r MF a x a ex

a
c

r MF a x a ex

a


= = + = +




 ₌ _{= −} _{= −}


- Taâm sai : e c (0 e 1)

a

= < <
- Đường chuẩn : x a

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

ĐƯỜNG HYPEBOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Định nghóa:

{

1 2

}

(H)= M / MF MF− =2a ( a > 0 : hằng số và a < c ) (1)

II. Phương trình chính tắc của Hypebol và các yếu tố:
1. Phương trình chính tắc:

(H) :x₂2 y2₂ 1
a −b = với

2 2 2

b =c −a (1)

2. Các yếu tố của Hypebol:

* Hypebol xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm:
- Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy

- Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0)

- Tiêu cự F1F2 = 2c

- Trục thực nằm trên Ox; độ dài trục thực 2a ( = A1A2 )

- Trục ảo nằm trên Oy; độ dài trục ảo 2b ( = B1B2 )

- Đỉnh: A1(-a;0); A2(a;0)

- Phương trình tiệm cận : y bx
a
= ±
- Bán kính qua tiêu điểm:

Với M(x;y) ∈ (H) thì :

Với x > 0 ⇒ 1 1

2 2

r MF a ex

r MF a ex

= = +




= = − +



Với x < 0 ⇒ 1 1

2 2

r MF (a ex)

r MF ( a ex)

= = − +




= = − − +



<i>x</i>
<i>a</i>
<i>b</i>

<i>y</i>=− <i>_x</i>

<i>a</i>
<i>b</i>
<i>y</i> =

1

<i>F</i> <i>F</i>₂

<i>M</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

1
<i>B</i>

2
<i>B</i>

1

<i>A</i> <i>A</i>₂

<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>

−

<i>a</i>

−

<i>O</i>
<i>M</i>

1

<i>F</i> <i>F</i>₂

<i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

- Taâm sai : e c (e 1)
a

= >

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

ĐƯỜNG PARABOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Định nghóa :

(P)=

{

M / MF d(M,= ∆

}

* F là điểm cố định gọi là tiêu điểm

* (∆) là đường thẳng cố định gọi là đường chuẩn
* HF = p > 0 gọi là tham số tiêu

II. Phương trình chính tắc của parabol:

1) Daïng 1: Ptct: y2

_{= 2px}

_{2) Daïng 2: Ptct: y}2

_{= -2px}

3) Daïng 3: Ptct: x2

_{= 2py}

_{4) Daïng 4: Ptct : x}2

_{= -2py}

p

K

H

F
M

∆

y

x
p/2
F(-p/2;0)

<i>M</i>

2
/
:
)
(∆ <i>x</i>=<i>p</i>

y

x
-p/2 _{:y = -p/2}
F(0;p/2)

<b>O</b>

M

<b>F(0;-p/2)</b>

<b>x</b>
<b>(</b> <b>) : y = p/2</b>
<b>p/2</b>

<b>y</b>

<b>O</b>

M
( ): x=-p/2

O
-p/2

F(p/2;0)

<i>x</i>
<i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

<b>Bài 1: </b>

<b>Bài 2: </b>

<b>Bài 3: </b>

<b>Bài 4: </b>

<b>Bài 5: </b>

<b>Bài 6: </b>

<b>Bài 7: </b>

<b>Bài 8: </b>

</div>

<!--links-->