Chuyen deTich phan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.11 MB, 28 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

M

Ụ

C L

Ụ

C

CHỦĐỀ 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ... 2

Loại 1. Khái niệm nguyên hàm ... 2

Loại 2. Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và 
tính chất của nguyên hàm ... 4

Loại 3. Phương pháp đổi biến số... 8

Loại 4. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ... 10

CHỦĐỀ 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ... 11

Loại 1. Sử dụng các cơng thức tính tích phân của một số hàm số thường gặp và 
tính chất của tích phân ... 11

Loại 2. Phương pháp đổi biến ... 14

Loại 3. Phương pháp tích phân từng phần... 20

CHỦĐỀ 3. MỘT SỐỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ... 21

Loại 1. Tính diện tích hình phẳng... 21

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

CH

Ủ

ĐỀ

1.

CÁC PH

ƯƠ

NG PHÁP TÌM NGUYÊN

HÀM

Lo

ạ

i 1.

Khái ni

ệ

m nguyên hàm

A.

Tóm t

ắ

t lý thuy

ế

t

* Định nghĩa: Cho f : K→». Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu

( ) ( )

F ' x =f x ∀ ∈x K.

Nếu chỉ nói F là ngun hàm của f (khơng nói rõ K là tập nào) thì ta hiểu F là nguyên

hàm của f trên tập xác định của f

* Chú ý: Khi K=

[ ]

a;b thì các đẳng thức F ' a

( ) ( )

=f a và F ' b

( ) ( )

=f b được hiểu
là F x

( ) ( )

F a

( )

x a
x a

lim −− f a

→ =

và F x

( ) ( )

F b

( )

x b

x b

lim −− f a

−

→ =

Cho hai hàm số f và F liên tục trên

[ ]

a;b . Nếu F là nguyên hàm của f trên

( )

a;b thì ta
có thể chứng minh được F cũng là nguyên hàm của f trên

[ ]

a;b .

* Họ nguyên hàm: Giả sử hàm số F là một nguyên hàm nào đó của hàm số f trên K .

Khi đó

+) Với mỗi hàng số C , hàm số y=F x

( )

+C cũng là một nguyên hàm của f trên K .

+) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K đều tồn tại hằng số C sao cho

( ) ( )

G x =F x +C với mọi x∈K.

Từđó suy ra F x

( )

+C, C∈» là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K . Họ tất cả các
nguyên hàm của f trên K được ký hiệu là

∫

f x dx

( )

. Như vậy

( )

f x dx=F x +C

∫

, C∈».

B.

Các ví d

ụ

Ví dụ 1.Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:
1) f1

( )

x =x3. 2) 2

( )

1

x

f x = . 3) f3

( )

x = 1 x− .

Giải

1) Ta có

( )

x4 '=4x3 ⇒ x44 =' x3

  ⇒

( )

4
x

1 4

f x dx= +C

∫

2) Ta có

( )

1
2 x

x '= ⇒

( )

1

x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3) Ta có

(

)

3
2

1 x 1 x ' 1 x

 − −  = − −

  ⇒ −23

(

1 x−

)

1 x '−  = 1 x− ⇒

( )

2

f x dx=2 x+C

∫

Ví dụ 2.Tìm họ tất cả các ngun hàm của các hàm số sau đây:

1) f1

( )

x =e2x. 2) f2

( )

x =sin 3x. 3) f3

( )

x =cos 2x.

Giải

1) Ta có

( )

e2x '=2e2x ⇒ e2x2  =' e2x

  ⇒

( )

2x
e

1 2

f x dx= +C

∫

2) Ta có

(

cos 3x '

)

= −3 sin 3x ⇒

(

−cos 3x3

)

'=sin 3x ⇒

∫

f2

( )

x dx= −cos 3x3 +C.
3) Ta có

(

sin 2x '

)

=2 cos 2x ⇒

( )

sin 2x

2 '=cos 2x ⇒

( )

sin 2x

3 2

f x dx= +C

∫

Ví dụ 3.Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x

( )

= −x 1
Giải

Ta có

( )

x 1 neáuneáu x 1
f x

1 x x 1

− ≥



=  − <

 .

Xét hàm

( )

neáu

2
x

2
2
x

2

x C x 1

F x

x x 1

 − + ≥


= 

 − <



Ta tìm C để F là một nguyên hàm của f .

Dễ thấy F ' x

( ) ( )

=f x với mọi x≠1. Ta cịn phải tìm C để F ' 1

( ) ( )

=f 1 ⇔ F ' 1

( )

=0.
Để F có đạo hàm tại 1 thì trước hết F liên tục tại 1 ⇔

( )

( ) ( )

x 1 x 1

lim F x lim F x F 1

+ −

→ = → =

⇔ 1 1

2 2

C− = ⇔ C=1.
Với C=1 thì

( )

nếu

nếu
2

x
2

2
x

2

x 1 x 1

F x

x x 1

 − + ≥


= 

 − <



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

( ) ( )

(

)

( )

2

x x 1 1 x2 1

x

2 2

F x F 1 2 2 1

x 1 x 1 x 1 2

x 1 x 1 x 1 x 1

lim lim lim lim x 1 0 1

 

− + −

 

  − +

−  

− − −

+ + + +

→ = → = → = → − =

( ) ( )

(

)

( )

2

x 1 2

x x x 1

2 2

F x F 1 2 2 1

x 1 x 1 x 1 2

x 1 x 1 x 1 x 1

lim lim lim lim x 1 0 2

 
− −
 

  − + −

−  

− − −

− + + +

→ = → = → = − → − =

Từ

( )

1 ,

( )

2 suy ra F x

( ) ( )

F 1
x 1
x 1

lim −−

→ ⇒ F có đạo hàm tại 1 và F ' 1

( )

=0.

Vậy

∫

f x dx

( )

=F x

( )

+C, với

( )

neáu
neáu
2

x
2

2
x

2

x 1 x 1

F x

x x 1

 − + ≥


= 

 − <


C.

Bài t

ậ

p

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:

1) f x

( )

=3x2. 2) f x

( ) (

= +x 1

)

100. 3) f x

( )

=102x.
4) f x

( )

=sin x.10cos x. 5) f x

( )

=3x. 6)

( )

x x x

2
x

f x = + .

7) f x

( )

=4 sin x2 . 8)

( )

1 cos 4x
2

f x = + . 9) f x

( )

=ex.

10) f x

( )

=max 1, x

{ }

2 .

Lo

ạ

i 2.

S

ử

d

ụ

ng các cơng th

ứ

c tìm ngun hàm c

ủ

a m

ộ

t s

ố

hàm

s

ố

th

ườ

ng g

ặ

p và tính ch

ấ

t c

ủ

a nguyên hàm

A.

Tóm t

ắ

t lý thuy

ế

t

* Cơng thức tìm ngun hàm của một số hàm số thường gặp

•

∫

0dx=C.

• nếu

nếu

1
x

1 C 1

x dx

ln x 1

α+

α =  α+ + α ≠ −

 α = −



∫

Hệ quả: dx

∫

= +x C (α =0), dx

x =2 x+C

∫

( 1
2

α = − ).

• x x

e dx= +e C

∫

(

)

x

x a

a dx C 0 a 1
ln a

= + < ≠

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

•

∫

cos xdx=sin x+C,

∫

sin xdx= −cos x+C, dx2

cos x

tan x C

= +

∫

dx
2
sin x

cot x C

= − +

∫

* Nguyên hàm của hàm hợp

( )

f x dx=F x +C

∫

⇒

∫

f ax

(

+b dx

)

=F ax b

(

a+

)

+C.

* Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

•

∫

f x

( ) ( )

+g x dx=

∫

f x dx

( )

∫

g x dx

( )

•

∫

kf x

( )

dx=k f x dx

∫

( )

B.

Các ví d

ụ

Ví dụ 1.Tìm họ ngun hàm của các hàm sau: 
1) f x

( )

=4x4

2) f x

( )

= x
.

( )

1

3
x
f x =
.

( )

x

2
f x =cos

5) f x

( )

=sin 2x

Giải

1) 4 4 4 5

5
4x dx=4 x dx= x +C

∫

1
2
2

3

xdx= x dx= x x+C

∫

3) 3 1

2
2x
x− dx= − +C

∫

4) x x

2 2

cos dx=2sin +C

∫

5) cos 2x

2
sin 2xdx= − +C

∫

Ví dụ 2.Tìm họ ngun hàm của các hàm sau:

( )

x 2

2 x

f x = + . 2) f x

( ) (

= −x 1

)

(

x4+3x

)

. 3) f x

( )

=sin x2 .

Giải

3 1

1 1

2 2

x 2 1 2 2 1 x x x x

2 x 2 2 3 1 3

2
2

dx x dx 2 x− dx . 2. C 4 x C

 +  = + = + + = + +

 

 

∫

(

)

(

4

) (

5 4 2

)

x6 x5 3 3x2

6 5 2

x 1− x +3x dx= x − +x 3x −3x dx= − +x − +C

∫

3) 2 1 cos 2x 1

(

)

1

(

sin 2x

)

x sin 2x

2 2 2 2 2 4

sin xdx= − dx= dx− cos 2xdx = x− + = −C +C

∫

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

∫

(

x2− +x 5 dx

)

. ĐS: x3 x2

3 − 2 + +5x C.
2) 2x2 3x 1

3
x

dx
+ +

∫

. ĐS: 3 1

x 2x2
2 ln x − − +C.
3)

3 x 2
2 x x e 3x

3
x

dx

− −

∫

. ĐS: 4 x

3x x e 3 ln x C

− − − + .

( )

2
2 x

x dx
+

∫

. ĐS: 2x x

3

8 x+ +4x +C.

∫

(

x 1 dx+

)

2 . ĐS: x3 2

3 +x + +x C.

(

)

3
2

1 2x− dx

∫

. ĐS: 3 12x5 8x7

5 7

x−2x + − +C.

∫

(

2x+3

)

3dx. ĐS:

(

)

4
2x 3

8 C

+ .

∫

(

x 1+

)

100dx. ĐS:

( )

101
x 1

101 C

+ .

∫

x 1 x

(

−

)

2012dx. ĐS:

( )

1 x 2014

( )

1 x 2013

2014 2013 C

− −

− + .

10)

( )

2
4x x

3
x 1

dx
−
−

∫

. ĐS:

( )

3

7

x 1 2 x 12

4 ln x 1 C

− −

− − − + .

11) dx

2
x − +4x 3

∫

. ĐS: 1 x 3

2ln x 1 C
−

− + .
12) 4x2 6x 1

2x 1 dx
+ +

∫

. ĐS: 2 ln 2x 1

2

x + −2x + +C.

13) 4x3 4x2 1

2x 1 dx

+ −

∫

. ĐS:

3 2 ln 2x 1

2x x x

3 2 2 4 C

+ − − + .

14) 4x3 9x 1
2
9 4x

dx

− + +

−

∫

. ĐS: x2 1 2x 3

2 12ln 2x 3 C

−
+

− + .

15)

∫

3x xdx5 . ĐS: 5x x5 2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

16)

∫

x4+x−4+2dx. ĐS: x3 1
3 − +x C.

17)

∫

x 1+ + 1 xdx− . ĐS:

(

)

(

)

2 2

3 x 1+ x 1+ −3 1 x− 1 x− +C.

18) dx

x 2+ + −x 3

∫

. ĐS:

(

)

(

)

2

15 x+2 x+ −2 x−3 x−3+C.

19) dx

2x 3+ − 2x 1+

∫

. ĐS:

(

)

(

)

1

6 2x+3 2x+ −3 2x 1+ 2x 1+ +C.

20) dx

3x 4+ − 3x 2+

∫

. ĐS:

(

)

(

)

1

9 3x+4 3x+ +4 3x+4 3x+4+C.

21)

∫

x 1 2xdx− . ĐS:

(

)

2

(

)

1 1

10 1 2x− 1 2x− −6 1 2x− 1 2x− +C.

Bài 2. Tìm

∫

e dx3x . ĐS: e3x

3 +C.

(

)

2
3x x

e +e dx

∫

. ĐS: e6x e4x e2x

6 + 2 + 2 +C.
3)

∫

ex

(

2 e− −x

)

dx. ĐS: 2ex− +x C.

4) e dxx
x
2

∫

. ĐS:

(

)

x
e

x
1 ln 2 2

C

− +

5) 22x x x.3 .5 dx
x
10

∫

. ĐS: 6x

ln 6+C.
6) e2 5x 1

x
e

dx

− +

∫

. ĐS: e2 6x 1

6 ex C

−

− − + .

Bài 3. Tìm

∫

sin 5xdx. ĐS: cos 5x

5 C

− + .

∫

cos 6xdx. ĐS: sin 6x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

∫

sin x cos xdx. ĐS: cos 2x

4 C

− + .

∫

(

sin x+cos x

)

2dx. ĐS: cos 2x

2

x− +C.

∫

(

sin x4 +cos x dx4

)

. ĐS: 3x sin 4x

4 + 16 +C.

∫

(

sin 2x6 +cos 2x dx6

)

. ĐS: 5x 3 sin 8x

8 + 64 +C.

( ) ( )

3 4

cos 2x−π .cos 2x+π dx

∫

. ĐS:

(

)

1 1

8sin 4x 12 2x sin12 C

π π

− − + .

8) 2 x
2
sin dx

∫

. ĐS: x sin x

2− 2 +C.

9) 2 x

2

cos dx

∫

. ĐS: x sin x

2+ 2 +C.

10)

∫

sin xdx3 . ĐS: 3cos x cos 3x

4 12 C

− + + .

11)

∫

cos xdx3 . ĐS: 3sin x sin 3x

4 + 12 +C.

12)

∫

sin xdx4 . ĐS: 3x sin 2x sin 4x

8 − 4 + 32 +C.

13)

∫

cos xdx4 . ĐS: 3x sin 2x sin 4x

8 + 4 + 32 +C.

Lo

ạ

i 3.

Ph

ươ

ng pháp

đổ

i bi

ế

n s

ố

Bài 1. Tìm

∫

(

1 3x− 3

)

x dx2 . 2)

(

1 3x3

)

5x dx2
−

∫

Bài 2. Tìm

1) x

2
x 1

dx
+

∫

. 2) x2

3
x 1

dx

∫

. 3)

(

1 2xdx

)

2
−

∫

. 4)

(

2 2x−dx

)

3

∫

(

3x 23

)

4dx

−

∫

. 6) 4x3

4
x 1

dx

∫

. 7) 7x6
7
x 7

dx

∫

. 8) 4x3 3x2
4 3

x x 1

dx

+
+ +

∫

9) 7x6 7
7
x 7x 1

dx
+
+ +

∫

. 10) 10x9 11x10

10 11

x x 1

dx

+ +

∫

Bài 3. Tìm

∫

x. x3 2−1dx. 2)

∫

x. 2x3 2−2dx. 3)

∫

x . x2 4 3−2dx. 4)

∫

x . 2x2 4 3−4dx

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

∫

3x . x2 3 3+1dx 10)

∫

x. x3 2+1dx. 11) 2x
2
x 1

dx

∫

. 12) 3x2

3
x 1
dx
+

∫

.
13) x
3 2x +1dx

∫

. 14) x2

4 3x +1dx

∫

. 15) 4x3

4
x 4

dx
+

∫

. 16) 7x6
7
x 7

dx

∫

17) x2
3
x 1

dx
+

∫

. 18) 3x2

3 3x +1dx

∫

. 19) 9x2
3 3

3x 4
dx

∫

. 20) 6x2
4 3
2x 4
dx
−

∫

.
21)

( )

x 1−1 2.3x 1x 1+− dx

∫

Bài 4. Tìm

∫

(

cos x 1 sin xdx−

)

. 2)

∫

(

1 2 sin x cos xdx−

)

. 3)

(

)

2

cos x 1− sin xdx

∫

(

1 2 sin x−

)

3cos xdx. 5)

∫

sin x.cos xdx5 . 6)

∫

(

sin x 1+

)

2.cos xdx.
7) sin x

2 cos x− dx

∫

. 8) cos x

2 sin x+ dx

∫

. 9) sin x

2 3cos x− dx

∫

10) cos x
2 4sin x+ dx

∫

. 11) sin x

cos x 1+ dx

∫

. 12) cos x

sin x 1+ dx

∫

13) sin 2x

cos 2x 1+ dx

∫

. 14) cos 2x

sin 2x 1+ dx

∫

. 15)

(

sin x 1cos xdx+

)

4

∫

16) cos xdx3
sin x 1+

∫

. 17)

∫

2 cos x−3 sin xdx. 18)

∫

1 2sin x cos xdx− .
19) sin x

2 cos x− dx

∫

. 20) cos x

2 sin x+ dx

∫

. 21) cos x

sin x 1+ dx

∫

22) sin x
cos x 1+ dx

∫

. 23) cos 2x

sin 2x 1+ dx

∫

. 24) sin x

5 2 3cos x− dx

∫

25)

∫

(

cos x 1 sin xdx−

)

. 26)

∫

(

1 2 sin x cos xdx−

)

. 27)

(

)

2

cos x 1− sin xdx

∫

Bài 5. Tìm
1) ln x 1

x dx

∫

. 2) dx

ln x

∫

. 3) 2 ln x 1

x dx
+

∫

. 4) ln x 1

x dx
+

∫

Bài 6. Tìm

∫

esin 2xcos 2xdx. 2) etgx
2
cos x

dx

∫

. 3)

∫

ex

( )

1 2e− x dx. 4)

∫

( )

1 2e− x 4e dxx .
5) ex

x
e 1

dx

∫

. 6) ex

x
3e 1

dx

∫

. 7)

∫

ex 1 3e dx− x . 8) ex
x
e 1

dx
+

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

9) e2x
2x

e 1

dx
+

∫

. 10) e dxx
x
e +2

∫

. 11)

∫

ex

( )

1 e− x dx.

Lo

ạ

i 4.

Ph

ươ

ng pháp l

ấ

y nguyên hàm t

ừ

ng ph

ầ

n

Tìm

∫

x cos xdx.
2)

∫

(

x−2 cos xdx

)

.
3)

∫

(

2x 1 cos xdx+

)

.
4)

∫

x cos 2x 1 dx

(

−

)

.
5)

∫

x sin xdx.
6)

∫

(

2x 1 sin xdx−

)

.
7)

∫

(

x 1 sin xdx+

)

.
8)

∫

x sin 2x 1 dx

(

−

)

.
9)

∫

xe dxx .

10)

∫

(

2x 1 e dx−

)

x .
11)

∫

(

x 1 e dx+

)

2x .
12)

∫

xe2x 1− dx.
13)

∫

x ln xdx.
14)

∫

x ln 2x 1 dx

(

)

.
15)

∫

(

2x 1 ln xdx+

)

.
16)

∫

( )

1 e+ x xdx.
17)

∫

x 1 ln x dx

(

)

.
18)

∫

x 1 cos x dx

(

)

.
19)

∫

x 1 sin x dx

(

)

.
20)

∫

sin x cos xe3 sin x2 dx.
21)

∫

cos x e

(

sin x +cos x dx

)

.
22)

∫

x tan x

(

+esin xcos x dx

)

.
23)

2

ln x

dx
x ln x 1+

∫

24) 1 3 ln x ln xdx
x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

CH

Ủ

ĐỀ

2.

CÁC PH

ƯƠ

NG PHÁP TÍNH TÍCH

PHÂN

Lo

ạ

i 1.

S

ử

d

ụ

ng các cơng th

ứ

c tính tích phân c

ủ

a m

ộ

t s

ố

hàm s

ố

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

(

)

1

3 4 5

0

x+ x+ x+ x+ x dx

∫

. ĐS: 71

20.

(

)

1

3 4 5

0

x+2 x+3 x+4 x+5 x dx

∫

. ĐS: 229

20 .

(

)

1
0

x+ 3x 1 dx+

∫

. ĐS: 20

9 . 
4)
1
0
1
x dx
3x 1

 + 
 + 
 

∫

. ĐS: 4

3.

5)
1
0

dx
x 1+ − x

∫

. ĐS: 4 2

3 .

(

)

1

2010
0

x 1− dx

∫

. ĐS: 1

2011.

7)
10

0
dx
2010x 1+

∫

. ĐS: ln 20101

2010 . 
8)
2
2
0
x
dx
x 1+

∫

. ĐS: ln 3 .

9)
2
2
0
2x 1
dx

x x 1

+
+ +

∫

. ĐS: ln 7 .

10)
2
2

2
0

2x 4x 3

dx

x x 1

+ +
+ +

∫

. ĐS: 4+ln 7.

11)

(

)

3
2
1

2x 3x 1

dx

x x 4

+ +
−

∫

. ĐS:

141
11 35 ln 2 ln 3

4

+ − .

12)

(

)(

)

4 3 2

1
2

x 2x 3x 4x 5

dx

x x 1 x 2

−

+ + + +

− −

∫

. ĐS:

7 149 87

ln 2 ln 3

2− 2 + 2 .

13)
0

2

x 1 dx
−

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

14)
2

2
0

| x −x | dx

∫

. ĐS: 1 .

15)

(

)

5
3

x 2 x 2 dx

−

+ − −

∫

. ĐS: 8 .

16)

( ) ( )

2

1

f x g x dx

−

∫

với f x

( )

=3x3− − +x2 4x 1 và g x

( )

=2x3+x2− −3x 1.
ĐS: 37

12.

17)
1
0

x x−m dx

∫

. ĐS:

3

3m 2

, khi m 1

6

m m 1

I , khi 0 m 1

3 2 3

2 3m

, khi m 0

6
−

 >





= − + ≤ ≤


−

 <




.

18)
0

1 sin 2xdx

π
−

∫

. ĐS: 2 2 .

19)
0

1 cos 2xdx

π
+

∫

. ĐS: 2 2.

20)

(

)

4

4 4

0

cos x sin x dx
π

−

∫

. ĐS: 1

2.

21)

(

)

4

6 6

0

sin x cos x dx
π

∫

. ĐS: 5

32
π

.

22)
2
0

sin x sin 2xdx
π

∫

. ĐS: 2

3.

23)
4

3
0

sin xdx
π

∫

. ĐS: 8 5 2

12

− .

24)
3

4
0

cos xdx
π

∫

. ĐS: 8 7 3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

25)

(

)

2

0

2 cos x 1 dx
sin x cos x 1
π

+ +

∫

. ĐS:

2
π.

26)

( )

1 3

2x
0

e +1 dx

∫

. ĐS:

6 4 2

1 3 3 17

e e e

6 +4 +2 − 2 .

27)

( )

2
x
2

2x
0

e 2

dx
e

∫

. ĐS: 4

4 2

2
8

e e

− − .

28)
4

3
0

sin x
dx
cos x

∫

. ĐS: 1

2.

29)

n
4

n 2
0

sin x
dx

cos x

π
+

∫

, với n∈»\ { 1}− . ĐS: 1

n 1+ .

30)
4

2
6

cos x
dx
sin x
π
π

∫

, với n∈»\ { 1}− . ĐS: 1

n 1+ .

31)

(

)

4

2011 2009

0

tan x tan x dx

∫

, với n∈»\ { 1}− . ĐS: 1

2010.

32)

(

)

2

2011 2009

4

cot x cot x dx

∫

, với n∈»\ { 1}− . ĐS: 1

2010.

Lo

ạ

i 2.

Ph

ươ

ng pháp

đổ

i bi

ế

n

1. Sử dụng công thức

[ ]

b

a

f u(x) u '(x)dx f (t)dt

β
α

∫

Diễn giải phương pháp: Xét tích phân

b
a

I=

∫

g(x)dx. Giả sử bằng một số biến đổi nào đó,
ta thu được

[ ]

[ ] [ ]

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Khi đó, ta có I f (t)dt
β

∫

. Ởđây u(a)

u(b)
α =

β =

 .

Bài 1. Tính tích phân

( )

3
1
2
2
0
x
dx
x +1

∫

. ĐS: ln 2 1

2 −4.

Bài 2. Tính tích phân

( )

5 3
1
2
2
0
x x
dx
x 1
+
+

∫

. ĐS: ln 2 1

2 2

− + .

Bài 3. Tính tích phân

( )

8 5
2
2
3
0
x x
dx
x 2
+
+

∫

. ĐS: 44 ln 5

15− .

Bài 4. [ĐHD09] Tính tích phân
3

x
1

dx
e −1

∫

. ĐS:

2

ln(e + + −e 1) 2.

Chú ý: 
b
b e
x
a
a e
f (t)dt
f (e )dx

t

∫

Bài 5. [ĐHB06] Tính tích phân
ln 5

x x

ln 3

dx
e +2e− −3

∫

. ĐS: ln 3 ln 2− .

Bài 6. Tính tích phân

2x
ln 2

x x

0

e dx
(e +1)(e +2)

∫

. ĐS:

5 ln 2−3 ln 3.

Bài 7. Tính tích phân
e
1

ln xdx
x(ln x 1)(ln x+ +2)

∫

. ĐS:

2 ln 3−3 ln 2.

Bài 8. Tính tích phân

2 2

e
1

ln x 2 ln x 1
dx
x(ln x 1)(ln x 2)

+ −

+ +

∫

. ĐS:

2-2ln3+ln2 .

Bài 9. [ĐHA09] Tính tích phân
2

3 2

0

(cos x 1) cos xdx

−

∫

. ĐS: 8

15 4

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 10.[ĐHD05] Tính tích phân
2

sin x
0

(e cos x) cos xdx

∫

. ĐS: e 1

4

− + .

Bài 11.Tính tích phân
2
0

cos xdx
5 2 sin x
π

−

∫

. ĐS: ln 5 ln 3

2

−
.

Bài 12.Tính tích phân

4
0

cos 2x
dx
1 2 sin 2x
π

∫

. ĐS: ln 3

4 .

Bài 13.[ĐHB03] Tính tích phân

2
4

0

1 2 sin x
dx
1 sin 2x
π

−
+

∫

. ĐS: ln 2

2 .

Bài 14.[ĐHB05] Tính tích phân 2
0

sin 2xdx
1 cos x

∫

. ĐS: 2−2 ln 2.

Bài 15. [ĐHA06] Tính tích phân
4

2 2

0

sin 2xdx
cos x 4 sin x

∫

. ĐS: 10 2

3
−

.

Bài 16. [ĐHB05] Tính tích phân
2
0

sin 2x cos xdx
I

1 cos x

∫

. ĐS: 2 ln 2 1− .

Bài 17. Tính tích phân
3

2
0

sin x tan xdx

∫

. ĐS: ln 2 3

8

− .

Bài 18. Tính tích phân

3
6

0

sin 3x sin 3x
dx
1 cos 3x

−
+

∫

. ĐS: ln 5 ln 3

2
−

.

Bài 19.[ĐHA08] Tính tích phân

4
6
0
tan xdx
I
cos 2x
π

∫

. ĐS:

(

)

ln 2 3

10 3

27 2

− + .

Bài 20. Tính tích phân

(

)

4

8

0

1 tan x dx
π

−

∫

. ĐS: 76

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài 21. [ĐHB08] Tính tích phân
4
0

sin x dx

4

sin 2x 2(1 sin x cos x)

π  −π

 

 

+ + +

∫

. ĐS: 4 3 2

4

−
.

Bài 22.Tính tích phân
2

3
3

sin x cos x
dx
sin x cos x

π
π

+
−

∫

. ĐS:

(

)

2
3

3 1

1 2 3 1

2 2

 

− −

 

 .

Bài 23. Tính tích phân 2

4

sin x cos x
dx
1 sin 2x
π

π
−
+

∫

. ĐS: ln 2

2 .

Bài 24. Tính tích phân
2

3
0

cos 2x

dx
(sin x cos x 3)
π

− +

∫

. ĐS: 1

32.

Bài 25. Tính tích phân 2

(

2

)

3
0

sin 2x 1 sin x dx
π

∫

. ĐS: ln 3

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2. Phép đổi biến t=nf (x)

Bài 1. Tính tích phân
1

3 2

0

x x +3 dx

∫

. ĐS: 6 3 8

5
− .

Bài 2. Tính tích phân
1

5 2

0

x 1 x dx−

∫

. ĐS: 8

105.

Bài 3. [ĐHA04] Tính tích phân
2
1

xdx

1+ x 1−

∫

. ĐS: 11 4 ln 2

3 − .

Bài 4. Tính tích phân
3

1

x 3

dx

3 x 1 x 3

−

−
+ + +

∫

. ĐS: 6 ln 3 8− .

Bài 5. Tính tích phân
3

2 2

0

xdx
x + +2 2 1 x+

∫

. ĐS: 10 2 11

3

−
.

Bài 6. Tính tích phân
7

3
0

(x 2)dx
x 1

+
+

∫

. ĐS: 231

10 .

Bài 7. Tính tích phân
9

3
1

x 1 xdx−

∫

. ĐS: 468

7
−

Bài 8. Tính tích phân
1

15 8

0

x 1 3x dx+

∫

. ĐS: 29

270.

Bài 9. [ĐHB04] Tính tích phân
e
1

1 3 ln x ln xdx

x

∫

. ĐS: 116

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 10.Tính tích phân
e
1

3 2 ln x
dx
x 1 2 ln x

−
+

∫

. ĐS: 10 2 11

3

−
.

Bài 11.[ĐHA05] Tính tích phân
2
0

sin 2x sin x
dx

1 3 cos x
π

+
+

∫

. ĐS: 34

27.

3. Các phép đổi biến x=tan t, x=cot t, x=sin t, x=cos t

Bài 1. [ĐHB02] Tính tích phân
8

2
0

16−x dx

∫

. ĐS: 2π +4.

Bài 2. Tính tích phân

( )

3

2

3

2
3 3

2

dx

9 x

− −

∫

. ĐS: 4 3

27 .

Bài 3. Tính tích phân
2

2
2

3
dx
x x −1

∫

. ĐS:

6
π.

Bài 4. Tính tích phân
6

2
3 2

dx
x x −9

∫

. ĐS:

36

π
.

Bài 5. Tính tích phân
2

2
2

2
0

x dx
1 x−

∫

. ĐS: 2

8

π − .

Bài 6. Tính tích phân
3

2
3
3

dx
1 x+

∫

. ĐS:

6
π.

Bài 7. Tính tích phân
1

2
0

dx
x + +x 1

∫

. ĐS: 3

9

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 8. Tính tích phân
1

2
1

xdx

x x 1

− + +

∫

. ĐS:

ln 3 3

2 6

− .

Bài 9. Tính tích phân

( )

3
3
2

3
3
dx
1 x
− +

∫

. ĐS: 1 3

2
+ .

Bài 10.Tính tích phân
1
0
1 x
dx
1 x
−
+

∫

. ĐS: 1

2

π − .

Lo

ạ

i 3.

Ph

ươ

ng pháp tích phân t

ừ

ng ph

ầ

n

Bài 1. [ĐHB09] Tính tích phân

(

)

3

2
1

3 ln x
dx
x 1

+
+

∫

. ĐS:

27
3 ln
16
4
+
.

Bài 2. [ĐHD08] Tính tích phân
2
3
1
ln x
dx
x

∫

. ĐS: 3 2 ln 2

16

−

Bài 3. [ĐHD07] Tính tích phân
3

2 2
1

x ln xdx

∫

. ĐS:

4

5e 1

32

− .

Bài 4. [ĐHD06] Tính tích phân
1

2x

0

(x−2)e dx

∫

. ĐS:

2
5 3e

4

− .

Bài 5. [ĐHD04] Tính tích phân
3

2
2

ln(x −x)dx

∫

. ĐS: 3 ln 3 2− .

Bài 6. Tính tích phân

1 2

3 x
0

x e dx

∫

. ĐS: 1

2.

Bài 7. Tính tích phân
2

2x
0

e cos 3xdx

∫

. ĐS: 3e 2

13

− − .

Bài 8. Tính tích phân

(

)

2 x
2
2

0
x e
dx
x+2

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 9. Tính tích phân
4

2
0

x tan xdx

∫

. ĐS:

2 ln 2

4 32 2

π π− −

Bài 10.Tính tích phân

( )

7

1

2
4
0

x dx
1+x

∫

. ĐS: 2 ln 2 1

8
− .

CH

Ủ

ĐỀ

3.

M

Ộ

T S

Ố

Ứ

NG D

Ụ

NG C

Ủ

A TÍCH PHÂN

Lo

ạ

i 1.

Tính di

ệ

n tích hình ph

ẳ

ng

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y

( )

0

x a, x b (a b)

 = =




= = <

 được tính bởi công

thức:

( )

b
a

S=

∫

f x dx.

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x f y , x

( )

0

y a, y b (a b)

 = =




= = <

 được tính bởi công

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

( )

b
a

S=

∫

f y dy.

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y

( )

g x

( )

x a, x b (a b)

 = =




= = <

 (f x ,

( )

g x

( )

≥0

[ ]

x a;b

∀ ∈ ) được tính bởi cơng thức:

( ) ( )

b
a

S=

∫

f x −g x dx.

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2− +4x 3 và y=3.
ĐS: 8 (đvdt).

Bài 2. [ĐHA02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2− +4x 3 và
y= +x 3.

ĐS: 109

6 (đvdt).

Bài 3. [ĐHB02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

2
x

y 4

4

= − và
2

x
y

4 2

= .

ĐS: 2 4
3

π + (đvdt).

Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2−2x và y= − +x2 4x.
ĐS: 9 (đvdt).

Bài 5. Tính diện tích của hai phần đường trịn (C) : x2+y2 =8 chia bởi parabol
2

(P) : y =2x.
ĐS: 2 4

3

π + (đvdt) và 6 4
3

π − (đvdt).

Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2,
2
x
y

8

= và y 27
x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2,
2
x
y

4

= , y 2
x
= và

8
y

x
= .
ĐS: 20 ln 2

3 (đvdt).

Bài 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P) : y=4x−x2 và các tiếp với (P) tại

O(0;0) và A(3; 3) .

ĐS: 9

4 (đvdt).

Bài 9. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P) : y=x2−2x và các tiếp kẻ từ

5

M ;6

2

 

 

  tới (P) .

ĐS: 9

4 (đvdt).

Bài 10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=x 1 x+ 2 , trục hoành và

đường thẳng x=1.

ĐS: 2 2 1
3

− (đvdt).

Bài 11.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y 1 ln x
x

= , trục hoành và

các đường thẳng x=1, x=e.

ĐS:

(

)

2 2 2 1

3
−

(đvdt).

Bài 12.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=sin | x | và y | x |= −π.
ĐS: 4+ π2 (đvdt).

Bài 13.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= +(e 1)x và y=

( )

ex+1 x.
ĐS: e 1

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bài 14.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )

2
1
C : y x

2x

= + , tiệm cận xiên

của (C) , x=1 và x=3.

ĐS: 1

3 (đvdt).

Bài 15.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2(y−1)2=x và (y−1)2= −x 1.
ĐS: 4

3 (đvdt).

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f (x), y 0
x a, x b (a b)

= =



 = = <

 xung quanh Ox là 
b

2
a

V= π

∫

f (x)dx.

* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )

x f y , x 0
y a, y b (a b)

 = =




= = <

 xung quanh Oy là

( )

b
2
a

V= π

∫

f y dx.

* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f (x), y g(x)
x a, x b (a b)

= =



 = = <

 xung quanh Ox là 
b

2 2

a

V= π

∫

f (x) g (x) dx− .

Bài 1. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x ln x, y=0 và x=e. Tính thể tích
vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox .

ĐS:
3

5e 2

27− π (đvtt).

Bài 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2,
2
x
y

27

= và y 27
x

= . Tính thể tích
vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox .

ĐS: 972
5

(đvtt).

Bài 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x−x2 và y=0. Tính thể tích vật thể
nhận được khi cho hình phẳng nói trên

1)quay quanh Ox . 
2) quay quanh Oy.

ĐS: 16

15

π (đvtt), 8
3

π (đvtt).

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

1) quay quanh Ox.
2) quay quanh Oy.

ĐS: 16π (đvtt), 899

32

π (đvtt).

Bài 5. Tính thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi

2

2
x

(E) : y 1

4 + = quanh Ox . 
ĐS: 8

3

π (đvtt).

Bài 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x, y= −2 x và y=0. Tính thể tích
vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Oy.
ĐS: 32

15

π (đvtt).

Bài 7. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ln x, y=0 và x=2. Tính thể tích vật
thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox .
ĐS: 2 (ln 2 1)π − 2 (đvtt).

Bài 8. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y2+ − =y 5 0 và x+ − =y 3 0. Tính thể
tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox .
ĐS: 153

5

(đvtt).

Bài 9. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2 và y= x. Tính thể tích vật thể
nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . 
ĐS: 3

10

π (đvtt).

Bài 10.Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2− +4x 6 và y= − − +x2 2x 6. Tính
thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . 
ĐS: 3π (đvtt).

Bài 11.Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x(x 1)− 2 và y=0. Tính thể tích vật
thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox .
ĐS:

105

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Bài 12.Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=xex, y=0 và x=1. Tính thể tích vật
thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox .

ĐS:

( )

2

e 1

4

π −

(đvtt).

Bài 13.Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ex, y= −2 x, x=0 và x=2. Tính
thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox .

ĐS: π

( )

e2−1 (đvtt).

Bài 14.Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x ln 1 x

( )

+ 3 , y=0 và x=1. Tính
thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox .

ĐS:

(

2 ln 2 1

)

3

π − (đvtt).

Bài 15.Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= sin x4 +cos x4 , y=0, x
2
π
= và

x= π. Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox .
ĐS:

2

3

8
π

</div>

Chuyen deTich phan

<b>NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN </b>

<b>M</b>

Ụ

<b>C L</b>

Ụ

<b>C </b>

<b>CH</b>

Ủ

ĐỀ

<b> 1.</b>

<b>CÁC PH</b>

ƯƠ

<b>NG PHÁP TÌM NGUYÊN </b>

<b>HÀM </b>

<b>Lo</b>

ạ

<b>i 1.</b>

<b>Khái ni</b>

ệ

<b>m nguyên hàm </b>

<b>A.</b>

<b>Tóm t</b>

ắ

<b>t lý thuy</b>

ế

<b>t </b>

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

( ) ( )

( )

∫

( )

( )

( )

∫

<b>B.</b>

<b>Các ví d</b>

ụ

( )

( )

( )

( )

( )

∫

( )

( )

(

)

(

)

( )

∫

( )

( )

( )

( )

( )

∫

(

)

(

)

∫

( )

(

)

( )

( )

∫