gioi han

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (133.27 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài tập phần giới hạn Dãy số
I.Lí Thuyết :

a.Các loại toán và cáh giải :
 Loại I: limn

A
B

 
 Cách giải :

- Xác định bậc của A và B (bậc mở rộng)

- Chia tử và mẫu cho nα ;α =max{deg A;deg B}

- Sử dụng định lý

-Cách xác định bậc mở rộng của một biểu thức

( )

q

m

P n



Q n





deg



( ) deg





( )



deg mP n( ) qQ n( ) max P n ; Q n

m q

 

   

 

-Cách biểu diễn 
p

q p
q

n



n

Ví dụ :

1-2
2

3 1 1

lim

2 3 2

n

n n

n

 

 



Tacó : Max{deg(n2 -3n +1);deg(2n2+3)} = 2

Chia cả tử và mẫu cho n2
2

3 1

1 1

lim

3 2

n

n n
n
 

 




Loại II: lim(n  A B) ;

lim

n

C

A B

  

Cách giải :

- Nhân cả tử và mẫu cho lượng liên hợp

( A B) có lương liên hợp là ( A B)

( A B) có lương liên hợp là ( A B)
- Chuyển về Loại I .

(Chú ý: ( A B)( A B)= A – B)

3 3

3 3 3 3

3 3

lim ( 1 2)

( 1 2)( 1 2)

lim

( 1 2)

3
lim

( 1 2)

n

n n n

n n n n n

n n

n

n n

 

  

     



  



  

Ta có : deg{3n}=1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>



deg{ 1 2

n   n  

 Chia cả tử và mẫu cho

3
3
2

n  n n n

khi đó :

0 0

lim 0

1 2 1 0 1 0

1 1

n

n n n n

       

  

Vậy

3 3

lim ( 1 2) 0

n n n   n  

Loại III:

3 3

lim( )

n  A B ; 3 3

lim

n

C

A B

  

Cách giải :

- Nhân cả tử và mẫu cho lượng liên hợp

(3 A3 B) có lượng liên hợp là ( A3 2 3 B2  3A. B)3
 (3 A 3 B) có lượng liên hợp là ( A3 2 3B2 3 A. B)3
- Chuyển về loại I.

(Chú ý : (3 A3 B) ( A3 2 3B2  3 A. B)3 = A + B 
 (3 A 3 B) ( A3 2 3 B2 3A. B)3 = A – B )
b. Loại tốn Lí thuyết và cách giải :

-Sử dụng các định lí sgk , Cơng thức tổng của cấp số nhân ,một số

công thức số học.

- Củ thể : 1+2+3+...+ n =

( 1)
2

n n

12+22+32+...+ n2 =

( 1)(2 1)

n n n

1-2+3-4+...-2n+(2n+1)=n+1

1 1 1 1

... 1

1.2 2.3  n n( 1)   n1

1 + 3+ 5 +...+ (2n-1) = n2

II. Bài tập :

+ Ngoài các bài tập sgk làm thêm một số bài tập sau :
Câu 1:

Chứng minh :
 a.

3 2 3

lim

2 6 2

n
n
n

 





b.

2
2

3 1

lim

2 3

n

n n

n
 

 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

c.

1 lim

0

1

n 

n





Câu 2: Tìm giới hạn của dãy số sau :
a.

( 1)( 3)

lim

( 2)( 4)

n

n n
n n
 

 

  b. 1 1

( 2) 3
lim

( 2) 3

n n
n n
n   

 

  (h.dẫn: chia tử và mẫu cho 3n+1)

c.

2 2

lim ( 1 2)

n n n   n 

c.

3 3 2

lim( 2 )

n  n  n  n n
Câu 3 : Tìm giới hạn của dãy số sau :

a.

1 3

1 ...

2 2 2

2
4

n

n
u

n n

   



 

,( n  N*)

b. 2 2 2

1 2 1

...

n

n
u

n n n



   

,( n  N*)

c.

1 1 1

....

1.3 3.5 (2 1)(2 1)

n
u

n n

   

 

d.

1 1 1

....

1.3 2.4 ( 2)

n
u

n n

   



Câu 4: Tìm giới hạn của dãy số sau

a. 2

1 3 ... (2 1)
lim

2 1

n

n n

n n
 

   

 

b. limn  n1( n 2 n)

Bài tập giới hạn hàm số

I

.

Lý thuyết :

a. Các dạng vô định 
0

( ; ;0 ; )

0


   


Để giải những loại tốn trước hết ta khử các dạng vơ định đó bằng cách :
+ Dạng

( ) 0

lim ;( )

( ) 0
x a

f x
g x



ta phân tích f(x)=(x-a).f’(x) và g(x)=(x-a).g’(x) nếu
được :

' '

( ) ( ) ( ) ( )

lim lim lim ....

( ) ( ) ( ) ( )

x a x a x a

f x x a f x f x

g x x a g x g x

  



  



+ Các dạng vô định khác khử dạng vô định bằng cách nhân tử và mẫu cho
lượng liên hợp và dùng các định lí để khử dạng vơ định .

b. Còn các dạng khác ta sử dụng chú ý sau :

Nếu hàm số cơ bản f(x) xác định trên khoảng D khi đó mọi a thuộc D trừ 
lim n 0,| | 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

các điểm biên ta có x a

c. Dùng phương pháp đặc ẩn phụ : Đổi biến chuyển về tìm giới hạn của của một hàm số có cách 
tính dể dàng hơn

II. Bài tập :

1. Tìm các giới hạn sau :
a.

2
2
1

3 2 4 2

lim

3 2

x

x x x

x x


   

  b.

3
2
1
1
lim
3 2
x
x
x
 

 
c.

3 2
3
2
1
2 1
lim
1
x

x x x

x

   
 d.
3
0
1 1
lim
x
x x
x

  
e.
4
3
1
1
lim

1
x
x
x



 f. 0 3

1 1
lim
1 1
x
x x
x x

  
  
h.
3
2
1
7 3
lim
3 2
x
x x
x x

  

  g.

3 2 4
2
0

1 1 2

lim
x
x x
x x

  

2. Tìm giới hạn sau :

Chú ý : 0

sinx

lim 1

x 

a.
2

0
1 os
lim
sin 2
x
c x
x x



b. 0

1 sinx-cosx
lim
1 sinx-cosx
x


c.
0 2
osx+x
lim
2sinxcos
2
x
xc
x


d. 1 2

sin( 1)
lim
4 3
x
x
x x


 

e. 0 2

1 osxcos2x
lim
x
x
c



f. 4

sinx-cosx
lim

x x 

2
2
0

1 sin osx

lim
sin
x
x c
x

 
h.
3
lim( 4)sin

x  x x

i. 3

sin( )

3
lim

1 2 osx

x
x
c






k. 2

1 os7( -x)
lim
5( -x)
x
c
 
 

3.Tìm giới hạn sau :

a. 2
1
lim( )
osx
x
tgx
c





b. 0 3

sinx
lim
x
tgx
x



c.lim(x 2 x tgx)




d. 0

1 os3x
lim
sinx.tg2x
x
c


e. 4

lim 2 ( )

x

tg xtg x



f.
0 2
1 1
lim( )
sin
2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2
2
2

sinx

lim( )

cos x

x

tg x







h. lim(1x1 x tg) 2 x




i. lim 5x





x
x tg

   k. 0 3

1 1 sinx

lim

x

tgx
x


  

( Hướng dẫn : Đặt ẩn phụ t=Π/2 –x , t=Π/4 – x , t = 1- x )

Bài tập phần hàm số liên tục

I.lí thuyết :
a. Định nghĩa :

f(x) xác định trên khoảng (a,b) , x0  (a,b)

f(x) được gọi là liên tục tại x0 0 0

lim ( ) ( )

xx f x f x

 

(

0 0

lim ( ), lim ( )
lim ( ) lim ( ) ( )

x x x x

f x f x

f x f x f x

 

 




 

 



 )

b.Một số định lí về hàm số liên tục :

+ Tổng hiệu tích thương (với mẫu khác không) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục
tại điểm đó .

+ Các hàm số đa thức ,hữu tỉ ,hàm lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng .
c. Phương pháp làm bài tập loại này :

Loại I : Dạng : “Xét tính liên tục của hàm số tại x0

0
0
( )

( )

g x neu x x
f x

h x neu x x







 “

Cách giải:

+Tính 0 0

lim ( ) lim ( )

xx

f x



x x

g x

và tính f(x

0)= h(x0)

+ So sánh 0

lim ( )

x x

g x

và h(x

0) nếu :Bằng nhau thì kết luận liên tục tại x0 và ngược lại .

Loại II : Dạng : “Xét tính liên tục của hàm số tại x0

0
0

( )

g x neu x x

f x

h x neu x x











”

Cách giải :

+ Tính 0 0

lim ( ) lim ( )

xx

f x



xx

g x

và 0 0

lim ( ) lim ( )

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Loại III : Dạng : “Xét tính liên tục của hàm số tại x0

( )
( ) ( )
( )

g x neu x x
f x h x neu x x

l x neu x x






 

 


Cách giải :

+ Tính 0 0

lim ( ) lim ( )

x x

f x

x x

g x

 



và 0 0

lim ( ) lim ( )

x x

f x

x x

l x

 



và f(x0) = h(x0)

+ So sánh ba giá trị vừa tìm được và kết luận
II. Bài tập :

1. Xét tính liên tục của hàm số sau tai các điểm x0

4 16

( ) 2

16 2

x

khi x
f x x

khi x

 




 

 

 tại x0= 2

2
2

0 0

( ) 0 1

2 1 1

khi x
f x x khi x

x x khi x






  

   

</div>

gioi han

( )

( )

<i>P n</i>

<sub></sub>

<i>Q n</i>













<i>n</i>



<i>n</i>



1

lim

0

1

<i>n</i>

<sub></sub>



<b>Bài tập giới hạn hàm số</b>

<b>I</b>

<b>.</b>





<b>Bài tập phần hàm số liên tục</b>

lim ( ) lim ( )

<i>f x</i>



<i>g x</i>

lim ( )

<i>g x</i>

( )

( )

( )

<i>g x neu x x</i>

<i>f x</i>

<i>h x neu x x</i>











lim ( ) lim ( )

<i>f x</i>



<i>g x</i>

lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( )

<i>f x</i>

<i>g x</i>



lim ( ) lim ( )

<i>f x</i>

<i>l x</i>



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về