<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

1 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

BÀI 1 – ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ

1. Khái niệm hàm số:

a. Hàm số: Cho tập hợp 𝐷 ⊂ ℝ 𝐷 ≠ ∅ . Hàm số 𝑓 xác định trên D là 1 quy tắc cho với mỗi số 𝑥 ∈ 𝐷,
tương ứng với 1 số 𝑦 xác định duy nhất, số này phụ thuộc vào 𝒙 và kí hiệu 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝒇: 𝑫 → ℝ
𝒙 ⟼ 𝒚 = 𝒇(𝒙)
Ta gọi: 𝐷 là tập xác định (hay miền giá trị)

𝑥 là biến số hay đối số)

𝑦 = 𝑓(𝑥) là giá trị của hàm số 𝑓 tại 𝑥
Ví dụ:

① Quy tắc đặt tương ứng một số thực dương với số nghịch đảo của nó là một hàm số ⇢ vì một số
thực dương có một và chỉ một số nghịch đảo duy nhất.

② Quy tắc đặt tương ứng một số thực dương với bình phương của nó là một hàm số ⇢ tuy nhiên với
hai số thực khác nhau ở đầu vào (input) có thể cho ra cùng một kết quả ở đầu ra (output), chẳng hạng
1 và −1 đều có 12 _{= (−1)}2 _{= 1}

③ Quy tắc đặt tương ứng một số thực dương với căn bậc hai của nó khơng là một hàm số ⇢ vì mỗi số
thực dương có 2 căn bậc hai.

Chú ý:

 Việc cho hàm số, điều quan trọng là cho quy tắc tương ứng f của hàm số, cịn các kí hiệu x,y ở
đây chỉ là hình thức, do đó ta có thể dùng chữ cái khác để biểu diễn. Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1 và

𝑓 𝑡 = 2𝑡 − 1 đều biểu thị cùng một hàm số.

 Mỗi dữ liệu đầu vào, thì hàm số chỉ xác định duy nhất một dữ liệu đầu ra

 Hai dữ liệu đầu vào có thể cho ra cùng một kết quả.
b. Cách cho hàm số:

Cho bằng bảng:

Ví dụ: sản lượng gạo xuất khẩu của Việt Nam trong các năm từ 2000 đến 2005

Năm 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Xuất khẩu (triệu tấn) 3,48 3,72 3,24 3,82 4,05 5,20

Áp dụng 1: Bảng nào dưới đây xác định nên 1 hàm số. Hãy giải thích câu trả lời của bạn?
Bảng 1:

Input 1 0 3 1 -5

Output 2 3 -2,5 2 14

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Bảng 2:

Input 5 3 0 -3 5

Output 0 3 0 5 -3

Bảng 3:

Input -5 1 3 -5 7

Output 0 2 4 6 8

Bảng 4:

Input 1 -1 2 -2 3

Output 1 -2 ±5 -6 8

Cho bằng biểu đồ:
Cho bằng biểu thức:

Ví dụ: Cho 𝑓 𝑥 = 𝑥2_{+ 2𝑥 + 2 ta có hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥}2_{+ 2𝑥 + 2 với 𝑥 là biến số độc lập, 𝑦 là}

biến số phụ thuộc của 𝑓. Lúc này ta nói 𝑓 là hàm số theo biến 𝑥.

Áp dụng 2: Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥2 _{+ 1. Tính giá trị của hàm số tại 𝑥 = 3; 𝑥 = −5; 𝑥 = 0; 𝑥 = −2}

...
...
Áp dụng 3: Cho hàm số 𝑕(𝑡) =𝑡_𝑡−12+5. Tính giá trị sau:

① 𝑕 3 ...
② 𝑕 −2 ...

③ 𝑕(−𝑎) ...
④ 𝑕 𝑟2_{+ 3 ...}

Hàm số từng khúc: là hàm số bao gồm nhiểu biểu thức khác nhau trên mỗi khoảng (nữa khoảng,
đoạn xác định.

Áp dụng 4: Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3 khi 𝑥 < 4

𝑥2_{− 1 khi 4 ≤ 𝑥 ≤ 10} . Tính 𝑓 −5 ; 𝑓 8

...
Áp dụng 5: Cho hàm số 𝑔 𝑥 =

2𝑥 − 3 khi 𝑥 < −1
𝑥 − 5 khi − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑥2_{khi 𝑥 > 2}

. Tính 𝑔 −2,5 ; 𝑔 −1 ; 𝑔 2 ; 𝑔(4)

...
...
Áp dụng 6: Cho hàm số 𝑕 𝑥 = 𝑥 − 4 khi 𝑥 ≥ 4

−𝑥 + 3 khi 𝑥 < 4 .
① Tính 𝑕 𝑎2_{+ 4 với 𝑎 là số thực bất kỳ}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
② Tìm 𝑥 sao cho 𝑕 𝑥 = 4

...
...
Chú ý:

Miền xác định (D): Nếu hàm số cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì tập xác định
của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) là tập hợp những số thực 𝒙 sao cho biểu thức 𝒇(𝒙) có nghĩa.

CẦN NHỚ:

① 𝑦 = 1

𝑓 𝑥 xác định ⇔ 𝑓 𝑥 ≠ 0
② 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định ⇔ 𝑓 𝑥 ≥ 0

③ 𝑦 = 1

𝑓(𝑥) xác định ⇔ 𝑓 𝑥 > 0

Áp dụng 7: Tìm miền xác định của các hàm số sau

① 𝑦 = 𝑥 + 2

𝑥2_{− 4𝑥 + 3} ② 𝑦 =_{𝑥 − 1 (𝑥 + 2)} 𝑥 ③ 𝑦 =

3𝑥 + 1
𝑥 − 5 − 2𝑥 − 1
...
...
...
...
...
...

Miền giá trị: 𝑦_𝑜 là một giá trị của hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷 ⇔ ∃𝑥_𝑜 ∈ 𝐷: 𝑦_𝑜 = 𝑓(𝑥_𝑜) ⇔ phương trình

𝑦 = 𝑓(𝑥) có nghiệm 𝑥 ∈ 𝐷. Tập hợp T các giá trị 𝑦_𝑜 gọi là miền giá trị của hàm số.

Áp dụng 8: Tìm miền giá trị của các hàm số sau
① 𝑦 = 𝑥2_{− 4𝑥 + 7}

② 𝑦 = 𝑥 + 2

𝑥2_{− 4𝑥 + 3}

...
...
...
...
...
...
...
...
...

𝑨 − 𝑩 = 𝟎 ⇔ 𝑨 − 𝑩 𝑨 + 𝑩 = 𝟎
𝑨 + 𝑩 = 𝟎 ⇔ 𝑨 = 𝟎_{𝑩 = 𝟎}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

4 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

c. Đồ thị hàm số: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có miền xác định D. Trong mp
tọa độ 𝑂𝑥𝑦, đồ thị của hàm số 𝑓 là tập hợp 𝐶 = 𝑥, 𝑓(𝑥) |𝑥 ∈ 𝐷 . Tức
là: 𝑴 𝒙_𝒐; 𝒚_𝒐 ∈ (𝑪) ⇔ 𝒙_𝒐 ∈ 𝑫 𝐯à 𝒚_𝒐 = 𝒇(𝒙_𝒐)

Áp dụng 9: Cho hàm số 𝑦 =𝑥_𝑥−12+1 có đồ thị (𝐶)

① Tìm miền xác định của hàm số ...
② Điểm nào sau đây thuộc đồ thị (𝐶) của hàm số: 𝐴 1₂;5₃ ; 𝐵 3₂;13₂ ; 𝐶 2; 5 ; 𝐷 3; 5 ...
...
...
Áp dụng 10: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2+ 𝑥 + 1 khi 𝑥 ≤ 1

𝑥2_{− 1 khi 𝑥 > 1}

① Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ lần lượt là: −1; 1 và 5: ...
...
② Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng 7: ...
...
...
...

<b>Á</b>𝐩 𝐝<b>ụ</b>𝐧𝐠 𝟏𝟏: Cho hàm số 𝑦 =

𝑥 + 2 1 − 𝑥 khi 𝑥 ≤ 1
𝑥 + 3

𝑥 + 1 khi 1 < 𝑥 ≤ 5

① Tìm miền xác định của hàm số và tính 𝑓 −2 ; 𝑓 −3 ; 𝑓 1 ; 𝑓 2 ; 𝑓 5 : ...
...
...
...
② Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị (𝐶) của hàm số: 𝐴 −1; 2 2 − 1 ; 𝐵 1; 2 ; 𝐶 −3; 1 ; 𝐷 −3; 0
...
...

<b>Á</b>𝐩 𝐝<b>ụ</b>𝐧𝐠 𝟏𝟐: Cho hàm số 𝑦 =

𝑥2_{− 𝑥 + 1 khi 𝑥 ≤ 1}

𝑥2 _{− 12}

𝑥 + 2 khi 𝑥 > 1

Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng 3: ...
...
...
...
...

O

M
𝒚_𝒐

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

5 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
2. Sự biến thiên của hàm số:

a. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến:

Định nghĩa: Ta kí hiệu K là một khoảng (nữa khoảng hay đoạn nào đó của ℝ

 Hàm số 𝑓 gọi là đồng biến hay tăng trên K nếu: ∀𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ 𝑲, 𝒙𝟏< 𝒙𝟐⇒ 𝒇 𝒙𝟏 < 𝑓 𝒙𝟐

𝐇𝐚𝐲 𝒇 𝒙 𝐭ă𝐧𝐠 𝐭𝐫ê𝐧 𝐊 ⇔ ∀𝒙_𝟏, 𝒙_𝟐∈ 𝑲, 𝒙_𝟏≠ 𝒙_𝟐 ⇒𝒇 𝒙𝟏 − 𝒇 𝒙𝟐
𝒙_𝟏− 𝒙_𝟐 > 0

 Hàm số 𝑓 gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: ∀𝒙_𝟏, 𝒙_𝟐∈ 𝑲, 𝒙_𝟏< 𝒙_𝟐⇒ 𝒇 𝒙_𝟏 > 𝑓 𝒙𝟐

𝐇𝐚𝐲 𝒇 𝒙 𝐭ă𝐧𝐠 𝐭𝐫ê𝐧 𝐊 ⇔ ∀𝒙𝟏, 𝒙𝟐∈ 𝑲, 𝒙𝟏≠ 𝒙𝟐 ⇒

𝒇 𝒙_𝟏 − 𝒇 𝒙_𝟐
𝒙𝟏− 𝒙𝟐 < 0
 Hàm số 𝑓 gọi là hàm hằng trên K nếu: ∀𝒙_𝟏, 𝒙_𝟐∈ 𝑲: 𝒇 𝒙_𝟏 = 𝒇 𝒙_𝟐

Áp dụng 13: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 2
...
...
...
Áp dụng 14: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 2
...
...
...

Nhận xét về đồ thị:

 Nếu hàm số 𝑓 là hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên (từ trái sang phải)

 Nếu hàm số 𝑓 là hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống (từ trái sang phải)

 Nếu hàm số 𝑓 là hàm hằng trên K thì đồ thị là một đường thẳng (đoạn thẳng) nằm ngang.

b. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

Khảo sát sự biến thiên của một hàm số là xét xem hàm số đó đồng biến, nghịch biến hay không
đổi trên các khoảng (nữa khoảng, đoạn) nào trong tập xác định của nó.

Bảng biến thiên là ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của một hàm số.

Áp dụng 15: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên đoạn −3; 6 , có đồ thị như hình vẽ. Hãy cho biết sự
biến thiên của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) trên đoạn đó.

...
...
...

tăng

giảm
hằng

tăng

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

6 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

a. Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có tập xác định 𝐷

 Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được gọi là hàm số chẵn nếu: ∀𝒙 ∈ 𝑫 ⇒ −𝒙 ∈ 𝑫 𝐯à 𝒇 −𝒙 = 𝒇(𝒙)

 Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được gọi là hàm số lẻ nếu: ∀𝒙 ∈ 𝑫 ⇒ −𝒙 ∈ 𝑫 𝐯à 𝒇 −𝒙 = −𝒇(𝒙)

 Chú ý: ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⇒ −𝑥 ∈ 𝐷 thì ta nói tập D có tính chất đối xứng đối xứng qua số 0) và nếu tập D
khơng đối xứng thì ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Áp dụng 16: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2_{− 2}

① Tìm tập xác định của hàm số ...
② Tính 𝑓(−𝑥) và so sánh với 𝑓 𝑥 ; −𝑓 𝑥 , với mọi 𝑥 thuộc tập xác định ...
...
③ Từ đó, suy ra tính chẵn hay lẻ của hàm số ...
Áp dụng 17: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3_{− 3𝑥}

① Tìm tập xác định của hàm số ...
② Tính 𝑓(−𝑥) và so sánh với 𝑓 𝑥 ; −𝑓 𝑥 , với mọi 𝑥 thuộc tập xác định ...
...
③ Từ đó, suy ra tính chẵn hay lẻ của hàm số ...
b. Đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ:

 Đồ thị hàm số chẵn, nhận trục Oy là
trục đối xứng.

 Đồ thị hàm số lẻ, nhận gốc tọa độ là
tâm đối xứng.

4. Phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ:

Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đồ thị (𝐶) và hai số dương 𝒑, 𝒒 tùy ý. Khi đó:

 Tịnh tiến (𝐶) lên trên q đơn vị thì được đồ thị của hàm số: 𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒒

 Tịnh tiến (𝐶) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị của hàm số: 𝒚 = 𝒇 𝒙 − 𝒒

 Tịnh tiến (𝐶) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số: 𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒑

 Tịnh tiến (𝐶) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số: 𝒚 = 𝒇 𝒙 − 𝒑

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

7 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
① 𝑦 =𝑥 + 1

𝑥 − 2 tịnh tiến sang trái 2 đơn vị, rồi tịnh tiến xuống dưới 1 đơn vị.

...
...
② 𝑦 = 𝑥2_{+ 4𝑥 + 1 tịnh tiến sang phải 2 đơn vị, rồi tịnh tiến lên trên 3 đơn vị.}

...
...
5. Luyện tập:

Tìm miền xác định của hàm số

① 𝑦 = 1

𝑓 𝑥 xác định ⇔ 𝑓 𝑥 ≠ 0
② 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định ⇔ 𝑓 𝑥 ≥ 0

③ 𝑦 = 1

𝑓(𝑥) xác định ⇔ 𝑓 𝑥 > 0
Bài 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau:

① 𝑦 = 𝑥 + 2

𝑥 − 1

② 𝑦 = 𝑥 + 2 + 1

𝑥2_{− 4}

③ 𝑦 = 7 + 𝑥

𝑥(𝑥 − 5)

④ 𝑦 = 𝑥 − 3 + 2

𝑥2_{− 4𝑥 + 3}

⑤ 𝑦 = 6 − 2𝑥 + 2

𝑥 − 3

⑥ 𝑦 = 𝑥 − 4

𝑥 − 5 + 2𝑥 − 3

⑦ 𝑦 = 1

𝑥 − 1 − 2+ 2𝑥 + 8

3

⑧ 𝑦 = 6

𝑥3_{− 𝑥}2_{+ 3𝑥 − 3}

⑨ 𝑦 = 𝑥 − 4

3𝑥 − 1 + 𝑥 − 7

⑩ 𝑦 = 𝑥 − 1

𝑥2_{− 4 + 𝑥}2_{− 3𝑥 + 2}

⑪ 𝑦 = 2𝑥 − 3

𝑥2_{− 9 + 𝑥}2_{− 5𝑥 + 6}

⑫ 𝑦 = 𝑥2− 1

3

𝑥 − 4𝑥 − 3

⑬ 𝑦 = 3𝑥 + 2

5 − 𝑥 − 𝑥 − 2

⑭ 𝑦 = 5 − 𝑥

𝑥2 _{− 𝑥} + 2𝑥 + 1

⑮ 𝑦 = 1

3 − 2𝑥 − 5− 𝑥 + 1

⑯ 𝑦 = 𝑥 + 3 + 3 − 𝑥

𝑥2_{− 1}

⑰ 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 − 1 + 8 + 5

1 − 𝑥

⑱ 𝑦 = 𝑥 − 2

𝑥 − 𝑥3 − 𝑥 − 1 +

𝑥 − 5
𝑥 + 1 − 3

⑲ 𝑦 = 𝑥 + 1 − 3𝑥 − 5

10 − 2𝑥+

𝑥2_{− 4}

𝑥 − 4

⑳ 𝑦 = 𝑥 − 2

𝑥 + 1 −

3𝑥 − 2

𝑥2_{− 4 5 − 𝑥}+

1
𝑥 − 3

3

𝑨 − 𝑩 = 𝟎 ⇔ 𝑨 − 𝑩 𝑨 + 𝑩 = 𝟎
𝑨 + 𝑩 = 𝟎 ⇔ 𝑨 = 𝟎_{𝑩 = 𝟎}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

8 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
𝐁à𝐢 𝟐: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) =

1

𝑥 − 1 khi 𝑥 ≤ 0
𝑥 + 2 khi 𝑥 > 0

① Tìm tập xác định của hàm số ② Tính: 𝑥 = −2; 𝑥 = 0; 𝑥 = 2.

Bài 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −2 𝑥 − 2 khi − 1 ≤ 𝑥 < 1
𝑥2_{− 1 khi 𝑥 ≥ 1}

① Tìm tập xác định của hàm số

② Tính: 𝑓 −1 ; 𝑓 1

2 ; 𝑓 1 ; 𝑓
2

2 ; 𝑓 2 .

𝐁à𝐢 𝟒: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) =

𝑥 + 1

𝑥 − 4 khi 𝑥 ≤ 8
2

𝑥2_{− 7𝑥 + 8} khi 𝑥 > 8

① Tìm tập xác định của hàm số ② Tính: 𝑓 5 ; 𝑓 8 ; 𝑓 9 .

Bài 5: Tùy theo 𝑚, hãy chỉ ra tập xác định của hàm số: 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚 − 2𝑥 + 𝑥 − 1
Bài 6: Tìm 𝑚 để hàm số ln có tập xác định là ℝ:

① 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 8

𝑥2_{− 𝑚𝑥 + 𝑚} ② 𝑦 =

3 − 𝑥2

4𝑚2_{+ 𝑚 − 5 𝑥 − 𝑚 + 1}

Bài 7: Tìm 𝑚 để hàm số ln xác định

① 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 9𝑥

𝑥 − 𝑚 + 1; ∀𝑥 ≥ 0

② 𝑦 = 2𝑥 − 𝑚 + 1 + 1

𝑥 + 𝑚; ∀𝑥 ≥ 1

③ 𝑦 = 𝑥 + 3𝑚

𝑥 + 2 − 𝑚; ∀𝑥 ∈ 0; 1

④ 𝑦 = 𝑚 − 𝑥 + 1

𝑥 − 𝑚 + 7; ∀𝑥 ∈ 1; 4
Bài 8: Tìm miền giá trị của các hàm số sau

① 𝑦 = −𝑥2 _{+ 1}

② 𝑦 = 1

𝑥

③ 𝑦 = 𝑥2 _{+ 2𝑥 − 3}

④ 𝑦 = 2𝑥 − 1

𝑥2_{+ 2𝑥 + 4}

Khảo sát sự biến thiên của hàm số
Cách 1: lập luận bằng định nghĩa ⇢ ít sử dụng

 Bước 1: lấy 𝑥1; 𝑥2 ∈ 𝐷, giả sử 𝑥1 < 𝑥2

 Bước 2: dùng lập luận và các phép biến đổi tương đương trong bất đẳng thức để chứng minh
𝑓 𝑥₁ < 𝑓 𝑥₂ hay 𝑓 𝑥₁ > 𝑓 𝑥₂ rồi kết luận

Cách 2: lập tỉ số ⇢ thường sử dụng

 Bước 1: lấy 𝑥₁; 𝑥₂ ∈ 𝐷, và 𝑥₁ ≠ 𝑥₂

 Bước 2: lập tỉ số 𝐴 =𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥2

𝑥1−𝑥2 =

𝑥1−𝑥2 𝑔(𝑥)

𝑥1−𝑥2 = 𝑔(𝑥) và xác định xem 𝐴 > 0 hay 𝐴 < 0

 Bước 3: kết luận.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

9 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên các khoảng được chỉ ra:
① 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 _{− 7 trên khoảng (−4; 0) và trên khoảng (3; 10)}

② 𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑥 − 7 trên khoảng −∞; 7 và trên khoảng 7; +∞

③ 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 + 𝑥 + 1 trên khoảng (4; +∞)

④ 𝑓 𝑥 = 1

𝑥 − 1 trên khoảng 0; 1 và trên khoảng 1; +∞

⑤ 𝑓 𝑥 = 1

𝑥2_{+ 𝑥} trên khoảng −∞; −1 và trên khoảng 0; 1

⑥ 𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑥2_{+ 1} trên khoảng 0; 1 và trên khoảng 1; +∞

⑦ 𝑦 = 2 − 4𝑥 + 𝑥 trên khoảng −∞; 2 và trên khoảng 2; +∞
Bài 2: Chứng minh hàm số 𝑓 𝑥 = −3𝑥2_{+ 6𝑥 + 1 giảm trên khoảng (1; +∞)}

𝐁à𝐢 𝟑: Chứng minh hàm số 𝑓(𝑥) =𝑥 + 1

𝑥 − 2nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞)
Bài 4: chứng minh hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 − 𝑥 đồng biến trên khoảng (−∞; 1)

𝐁à𝐢 𝟓: Chứng minh hàm số 𝑓 𝑥 =𝑥2− 𝑥 − 1

𝑥 − 1 đồng biến trên các khoảng −∞; 1 và 1; +∞
Bài 6: chứng minh hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 + 2𝑥 đồng biến trên ℝ

Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số

 Bước 1: Tìm miền xác định 𝐷 của hàm số

 Nếu 𝐷 không đối xứng qua 0 thì 𝑓(𝑥) khơng chẵn khơng lẻ.

 Nếu 𝐷 đối xứng, ta thực hiện bước 2.

 Bước 2: Tính 𝑓(−𝑥) và so sánh với 𝑓(𝑥)

 Nếu 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì 𝑓(𝑥) là hàm số chẵn

 Nếu 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì 𝑓(𝑥) là hàm số lẻ
Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

① 𝑦 = 𝑥 ② 𝑦 = 𝑥 ③ 𝑦 = −2𝑥2 _{④ 𝑦 = −𝑥}3_{+ 3𝑥}

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

① 𝑦 = 𝑥

𝑥 − 1 (𝑥 + 1)
② 𝑦 = 1 − 2𝑥 − 1 + 2𝑥

③ 𝑦 = 𝑥 + 5 + 5 − 𝑥
④ 𝑦 = (2𝑥 + 1)3 2

− (2𝑥 − 1)3 2

⑤ 𝑦 = 1 − 𝑥2
𝑥3_{+ 𝑥}

③ 𝑦 = 𝑥

1 − 𝑥 + 1 + 𝑥

④ 𝑦 = 1

𝑥2_{− 𝑥 + 1 − 𝑥}2_{+ 𝑥 + 1}

𝐴 là hàm chẵn

 𝑨 + 𝑩 là hàm số chẵn

 𝑨 − 𝑩 là hàm số lẻ
𝐴 không chẵn không lẻ

 𝑨 + 𝑩 là hàm số chẵn

 𝑨 − 𝑩 là hàm số lẻ
lẻ

lẻ=
ch ẵn

ch ẵn= chẵn;
lẻ
ch ẵn=

ch ẵn

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

10 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

① 𝑦 = 2𝑥 + 1 + 2𝑥 − 1

② 𝑦 = 𝑥 − 1 + 𝑥 + 1
③ 𝑦 = 𝑥3_{+ 𝑥 𝑥}

④ 𝑦 = 𝑥 − 1 − 𝑥 + 1
𝑥 + 2 − 𝑥 − 2

⑤ 𝑦 = 1 − 𝑥 − 𝑥 + 1
2𝑥 + 3 + 2𝑥 − 3

⑥ 𝑦 = 𝑥3+ 2𝑥

𝑥 − 1 + 𝑥 + 1

⑦ 𝑦 = 𝑥

2 _{− 𝑥}

𝑥2_{− 4}

⑧ 𝑦 = 𝑥2 − 16

𝑥3_𝑥2_{− 81}

Tịnh tiến đồ thị hàm số 𝑪 : 𝒚 = 𝒇(𝒙) với hai số dương 𝒑, 𝒒

1. Tìm đồ thị (𝐶′) nhận được qua các phép tịnh tiến đồ thị 𝐶 , ta áp dụng các tính chất:

 Tịnh tiến (𝐶) lên trên q đơn vị thì được đồ thị của hàm số: 𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒒

 Tịnh tiến (𝐶) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị của hàm số: 𝒚 = 𝒇 𝒙 − 𝒒

 Tịnh tiến 𝐶 sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số: 𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒑

 Tịnh tiến (𝐶) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số: 𝒚 = 𝒇 𝒙 − 𝒑
2. Xác định phép tịnh tiến biến 𝐶 : 𝑦 = 𝑓 𝑥 thành 𝐶′_{: 𝑦 = 𝑔(𝑥)}

 Bước 1: Tịnh tiến (𝐶) song song 𝑂𝑥, rồi song song 𝑂𝑦, ta được đồ thị (𝐶₁) có dạng:
𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒌 + 𝒎 với 𝑘, 𝑚 tùy ý

 Bước 2: Đồ thị 𝐶1 ≡ 𝐶′ ⇔ 𝒇 𝒙 + 𝒌 + 𝒎 = 𝒈 𝒙 , ta đồng nhất hệ số để xác định 𝑘 và 𝑚
 Bước 3: Kết luận các phép tịnh tiến thỏa đề bài.

Bài 1: Cho 𝐶 : 𝑦 = 𝑥2_{− 2𝑥 + 3. Tìm phương trình các đường sau, khi tịnh tiến 𝐶 :}

① Xuống dưới 3 đơn vị ② Sang trái 1 đơn vị

③ Lên trên 2 đơn vị và sang phải 5 đơn vị

Bài 2: Cho 𝐶 : 𝑦 = 3 − 𝑥 − 3 + 𝑥. Tìm phương trình của đường, khi tịnh tiến 𝐶 sang phải 1 đơn vị
và lên trên 3 đơn vị.

𝐁<b>à</b>𝐢 𝟑: Cho 𝐶 : 𝑦 =𝑥

2 _{+ 2𝑥 + 5}

𝑥 + 1 . Tìm phép tịnh tiến theo phương trục hoành đểđược đồ thị của hàm
số lẻ.

Bài 4: Cho 𝑑1 : 𝑦 = 𝑥 + 2 và 𝑑2 : 𝑦 = 𝑥 + 1. Hãy thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến song song

với các trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 để biến 𝑑₁ thành 𝑑2

𝐁<b>à</b>𝐢 𝟓: Cho 𝐻₁ : 𝑦 =1

𝑥 và 𝐻2 : 𝑦 =

4𝑥 − 3

𝑥 − 1 . Hãy thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến song song với
các trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 để biến 𝐻₁ thành 𝐻2

Bài 6: Cho 𝐶 : 𝑦 = 𝑥2_{− 4𝑥 − 1 và 𝐶}′_{: 𝑦 = 𝑥}2_{+ 2𝑥 − 2}

</div>

<!--links-->