<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trước tiên, chia phương trình cho α3 để đưa về dạng

Đặt <i>x</i> = <i>t</i> - <i>a</i>/3 và biến đổi ta có phương trình

trong đó và

Nó được gọi là phương trình bậc ba <i>suy biến</i>.
Ta sẽ tìm các số <i>u</i> và <i>v</i> sao cho

và

một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt

có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị <i>t</i> vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị thức

Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút <i>v</i>, ta có

Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có

Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với <i>u</i>3_{. Khi giải, ta tìm được}

Vì <i>t</i> = <i>v</i> − <i>u</i> và <i>t</i> = <i>x</i> + <i>a</i>/3, ta tìm được

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Mỗi phương trình bậc ba (1) với thực tế hệ số có ít nhất một trong những giải pháp <i>x</i>giữa các số thực, điều này là một
hệ quả của định lý giá trị trung gian . Chúng ta có thể phân biệt một số trường hợp có thể sử dụng cácbiệt ,

Các trường hợp sau đây cần phải được xem xét: [ 17 ]

 Nếu Δ> 0, sau đó phương trình có ba nguồn gốc khác biệt thực sự.

 Nếu Δ = 0, sau đó phương trình có một gốc rễ nhiều và tất cả các rễ của nó là thực.

 Nếu Δ <0, sau đó phương trình có một gốc rễ thực sự và hai nhân liên hợp nonreal phức tạp.

<i>Xem thêm: đa dạng của một thư mục gốc của một đa thức</i>
[ sửa ]

<b>Tổng công thức của rễ</b>

Đối với các phương trình bậc ba chung (1) với hệ số thực tế, công thức chung của rễ, về các hệ số, là như
sau. Lưu ý rằng biểu thức dưới dấu căn bậc hai trong những gì

sau , mà là biệt nói trên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

tượng vng (tương tự trong cả hai phần của giải pháp cho mỗi <i>x </i>i ). Để giải nén các căn bậc phức tạp của

biểu thức phức tạp kết quả, chúng tôi cũng đã lựa chọn trong số ba nguồn gốc khối lập phương trong từng
phần của mỗi giải pháp, cho chín kết hợp có thể của một trong ba nguồn gốc khối lập phương cho phần đầu
tiên của biểu thức và một trong ba thứ hai. Sự kết hợp đúng là như vậy mà hai căn bậc hai điều khoản trong
một biểu thức giải pháp cho lựa chọn tiếp hợp phức tạp của nhau (mà trong đó hai điều khoản trong mỗi giải
pháp tưởng tượng hủy bỏ ra).

Một cách khác để viết các giải pháp có thể thu được bằng cách lưu ý rằng các bằng chứng của công thức
trên cho thấy rằng sản phẩm của các căn bậc hai là hợp lý. Điều này cho phép các cơng thức sau đây trong
đó hoặc là viết tắt cho bất kỳ sự lựa chọn của các gốc hình vng hoặc hình khối, nếu

Nếu và , dấu hiệu đã được chọn để có .

Nếu và rễ đều bình đẳng:

Nếu và , biểu thức trên cho rễ là chính xác nhưng sai lệch, che giấu thực
tế rằng khơng có căn bản là cần thiết để đại diện cho rễ. Trong thực tế, trong trường hợp này, có một
gốc đơi,

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Xét phương trình bậc bốn:</b>

(*)
<b>Ta đưa vào phương trình ẩn phụ y như sau:</b>

Cộng hai vế của phương trình (*) cho . Ta có:

(**)

<b>Ta tìm giá trị y sao cho vế phải là biểu thức chính phương (</b><i><b>trường hợp vế phải của (*) đã là biểu thức</b></i>
<i><b>chính phương thì việc đưa vào biến phụ y là không cần thiết)</b></i><b>. Muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép</b>
<b>theo biến x.</b>

Hay:

Nghĩa là, ta tìm y là nghiệm của phương trình:

(***)

Với giá trị vừa tìm được thì vế phải của (**) có dạng
Do đó, thế vào phương trình (**) ta có:

(****)
Từ (****) ta có được 2 phương trình bậc hai:

(a)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

nghiệm (thực hoặc phức). Do đó, các giá trị x tương ứng với y0 sẽ phải trùng lại với các giá trị x tương ứng với y1 và
y2. Vì vậy, từ (***) ta chỉ cần tìm 1 giá trị yo là đủ.

Trong bài này chúng ta nghiên cứu cách giải phương trình bậc ba tổng qt

<b>1. Phương trình có dạng:</b>

(

<b>1</b>

), trong đó a, b, c, d là các số thực cho

trước

.

<b>2. Cách giải:</b>

Bây giờ ta đi xét cách giải phương trình (1).

Vì

nên ta có thể chia hai vế của phương trình (1) cho a. Do vậy ta chỉ cần đi giải phương

trình dạng :

(

<b>2</b>

) .

Đặt

, khi đó (

<b>2</b>

) trở thành :

(

<b>3</b>

)

Trong đó:

.

Đặt

. Để xét số nghiệm của (3), ta khảo sát sự tương giao của hàm

số

với trục Ox.

Chú ý hàm bậc ba cắt Ox tại

· Một điểm hàm luôn đơn điệu hoặc

· Hai điểm

· Ba điểm

Xét hàm số

, ta có:

.

* Nếu

là hàm đồng biến

có một nghiệm.

* Nếu

và

.

Từ đây ta có các kết quả sau:

* Nếu

có nghiệm duy nhất. Để tìm nghiệm này ta làm như sau:

Đặt

, khi đó (3) trở thành:

Ta chọn u,v sao cho:

, lúc đó

ta có hệ:

là nghiệm phương trình:

<b>4</b>

)

(

<b>4</b>

) có hai nghiệm:

(*)

Công thức (*) gọi là công thức Cardano.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

nghiệm đơn. Tức là:

hoặc

(**).

* Nếu

, khi đó (3) có ba nghiệm phân biệt và ba nghiệm này nằm trong

khoảng

. Để tìm ba nghiệm này ta đặt

, với

ta đưa (3)

về dạng:

(5), trong đó

.

Giải (5) ta được ba nghiệm

, từ đây suy ra ba nghiệm của phương trình (3) là :

(***).

<i><b>Chú ý :</b></i>

Trong một số trường hợp để giải phương trình bậc ba ta đi tìm một nghiệm rồi thực hiện

phép chia đa thức và chuyển phương trình đã cho về phương trình tích của một nhị thức bậc nhất

và một tam thức bậc hai.

<i><b>Ví dụ 1:</b></i>

Giải phương trình :

.

<b>Giải:</b>

Ta thấy phương trình có một nghiệm

(dùng MTBT) nên ta biến đổi phương

trình :

.

<i><b>Ví dụ 2:</b></i>

Giải phương trình :

.

<b>Giải:</b>

Ta có:

nên phương

trình có duy nhất nghiệm:

.

<i><b>Ví dụ 3:</b></i>

Giải phương trình :

(1).

<b>Giải:</b>

Ta có:

nên phương trình có ba nghiệm thuộc

khoảng

. Đặt

với

(2) trở thành:

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Vậy phương trình có ba nghiệm:

.

<i><b>Ví dụ 4:</b></i>

Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

(1).

<b>Giải:</b>

Vì tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm

nên :

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

.

Vậy

là giá trị cần tìm.

<i><b>Chú ý :</b></i>

Số nghiệm của PT :

phụ thuộc vào số nghiệm của tam

thức:

. Cụ thể

* Nếu

có hai nghiệm phân biệt

, tức là:

thì phương trình có ba nghiệm phân

biệt.

* Nếu

có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng , tức là:

thì phương

trình có hai nghiệm:

.

* Nếu

có nghiệm kép khác , tức là:

thì phương trình có hai nghiệm

và

.

* Nếu

có nghiệm kép

, tức là:

thì phương trình có một nghiệm

.

* Nếu

vơ nghiệm thì phương trình có đúng một nghiệm

.

<i><b>Ví dụ 5:</b></i>

Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt:

<b>Giải:</b>

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm:

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

u cầu bài tốn

có hai nghiệm phân biệt.

<b>TH 1:</b>

có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm

bằng 1. Điều này có .

<b>TH 2:</b>

có một nghiệm khác 1. Khi đó xảy ra hai khả năng

Khả năng 1: .

Khả năng 2:

.

Vậy các giá trị của m cần tìm là:

.

<i><b>Ví dụ 6</b></i>

: Chứng minh rằng phương trình :

có 3 nghiệm

(1).

<b>Giải:</b>

Giả sử phương trình có ba nghiệm. Ta chứng minh (1).

* Nếu ba nghiệm của phương trình trùng nhau thì

đúng.

* Nếu ba nghiệm phương trình chỉ có hai nghiệm trùng nhau hoắc ba nghiệm đó là phân biệt. Khi

đó ta có:

,

( trong đó:

)

.

đpcm.

</div>

<!--links-->
<a href=' />