Thi HSG toan 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (64.68 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>đề thi học sinh giỏi lớp 12</b>
( Thời gian 180 phút)
<b>Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x</b>3<sub> -(3+2m)x</sub>2<sub> +5mx +2m</sub>
a). khảo sát hàm số khi m=-1
b) Tỡm m phng trỡnh x3<sub> -(3+2m)x</sub>2<sub> +5mx +2m = 0 </sub>
có 3 nghiệm phân biệt.
<b>Bài 2:(5 điểm) Cho phơng trình </b> <i>x</i><i>x</i>+<sub></sub><i>x</i>+12=<i>m</i>(<sub></sub>5<i> x</i>+<sub></sub>4<i> x</i>)
a) Giải phơng trình khi m = 12
b) Tìm m phng trỡnh cú nghim
<b>Bài 3: (4 điểm) Tính </b> Lim
<i>x</i>0
2005
1+10<i>x</i>.20061+100<i>x </i>1
<i>x</i>
<b>Bài 4: (3 điểm) Giải phơng trình </b>
log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2
<b>Bµi 5 : (4 ®iĨm) Cho tø diƯn ABCD, gäi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp</b>
tứ diện.
G1, G2, G3, G4 lần lợt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC.
Đặt AG1 = m1, BG2 = m2, CG3 = m3, DG4 = m4.
CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi
m1+m2+m3+m4 = 16<i>R</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>hớng dẫn sơ lợc toán HSG12 </b>
1b) Phơng trình x3<sub> -(3+2m)x</sub>2<sub> +5mx +2m = 0 </sub>
<i>⇔</i> (x-2m)(x2<sub>-3x-m)=0</sub>
<i></i>
<i>x</i>=2<i>m</i>
<i>x</i>2<i></i>3<i>x m</i>=0(2)
Phơng trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phơng trinh(2) cã 2 nghiƯm
ph©n biƯt 2m
<i>⇔</i>
(2<i>m</i>)2<i>−</i>3 . 2<i>m −m </i>0
<i></i>=9+4<i>m</i>>0
<i></i>
<i>m</i>0<i>, m</i>7
4
<i>m</i>><i></i>9
4
{
<b>Bài 2:( 5 đ)</b>
a)(2 đ) Từ điều kiện 0 <i>x ≤</i>4<i>⇒</i> VP 12(<sub>√</sub>5<i>−</i>4+<sub>√</sub>4<i>−</i>4)=12
VT 4√4 + <sub>√</sub>4+12=12
<i>⇒</i> phơng trình có nghiệm x=4
b). (3 đ )
Phng trỡnh ó cho <i>⇔</i> f(x) = (<i>x</i>√<i>x</i>+√<i>x</i>+12) (√5<i>− x −</i>√4<i>− x</i>)=<i>m</i> (2)
Xét hàm số f(x) trên [0;4]
f(x)=f1(x)f2(x) víi
f1(x) = <i>x</i>√<i>x</i>+√<i>x</i>+12 cã f’1(x) = √<i>x</i>+
<i>x</i>
2√<i>x</i>+
1
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
f2(x) = √5<i>− x −</i>√4<i>− x</i> cã f’2(x) =
<i>−</i>1
2√5<i>− x</i>+
1
2√4<i>− x</i>=
<i>−</i>4√4<i>− x</i>+√5<i>− x</i>
2√5<i>− x</i>√4<i>− x</i> >0
<i>⇒</i> f2(x) <i></i> trên [0;4] và f2(x) 0 <i></i> x [0;4]
<i>⇒</i> f(x) <i>↑</i> trªn [0;4]
<i>⇒</i> Min[o;4] f(x) = f(0) = √12(√5<i>−</i>√4) vµ Max[o;4] f(x) =12
Từ đó (2) có nghiệm <i>⇔</i> Min[o;4] f(x) m Max[o;4] f(x)
<i>⇔</i> <sub>√</sub>12(<sub>√</sub>5<i>−</i>√4) m 12 là điều kiện để (1) có nghiệm
<b>Bài 3:( 5 đ)</b>
Tríc hÕt ta chøng minh: a 0, n N, n 2 thì Lim
<i>x</i>0
<i>n</i>
1+ax<i></i>1
<i>x</i> =
<i>a</i>
<i>n</i>
Đặt y = <i>n</i>
1+ax khi đó x <i>→</i> 0 thì y <i>→</i> 1 và
<i>y</i>
(<i>y −</i>1)(¿¿<i>n</i>+. . ..+<i>y</i>+1)=<i>a</i>
<i>n</i>
Lim
<i>x−</i>0
<i>n</i>
√1+ax<i>−</i>1
<i>x</i> =Lim<i>y −</i>1
<i>y −</i>1
<i>yn−</i>1=<i>a</i>Lim<i>y −</i>1
<i>y −</i>1
¿
(2 ®)
Ta cã: Lim
<i>x−</i>0
2005
√1+10<i>x</i>.2006<sub>√</sub>1+100<i>x −</i>1
<i>x</i>
= Lim
<i>x−</i>0
2005
√1+10<i>x</i>.2006√1+100<i>x −</i>2006√1+10<i>x</i>+2006√1+100<i>x −</i>1
<i>x</i>
= Lim
<i>x−</i>0
2006
√1+100<i>x</i>
(
2005
√1+10<i>x −</i>1
<i>x</i>
)
+Lim<i>x −</i>02006
√1+100<i>x −</i>1
<i>x</i>
= 10
2005+
100
2006=
220560
2005 .2006 (3 ®)
<b>Câu 4: Phơng trình đã cho </b> <i>⇔</i>
¿
<i>x</i>>0
Log3
<i>x</i>2+<i>x</i>+1
<i>x</i> =2<i>x − x</i>
2
¿{
¿
<i>⇔</i>
¿
<i>x</i>>0
<i>x</i>2+<i>x</i>+1
<i>x</i> =3
2<i>x − x</i>2
¿{
¿
xÐt hµm sè y= <i>x</i>2+<i>x</i>+1
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
y= g(x)= <sub>3</sub>2<i>x − x</i>2
víi x>0,
Maxf(x) =3 víi x=1
<i>⇒</i> Phơng trình ó cho cú nghim
x=1.
<b>Bài 5:( 4 đ) Gọi O và G lần lợt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện</b>
Ta có:
OA2+OB2+OC2+OD2=<i>R</i>2
<sub>GA</sub><sub>+</sub><sub>GB</sub><sub>+</sub><sub>GC</sub><sub>+</sub><sub>GD</sub><sub>=</sub><i><sub>O</sub></i>
{
Mặt khác: 4R2<sub> = </sub> <sub>(</sub><sub>⃗</sub>
OG+⃗GA)2+(⃗OG+⃗GB)2+(⃗OG+⃗GC)2+(⃗OG+⃗GD)2 (1 ®)
<i></i> 4R2<sub> = 40G</sub>2<sub> +GA</sub>2<sub>+GB</sub>2<sub>+GC</sub>2<sub>+GD</sub>2<sub> (1 đ)</sub>
mà GA2<sub> = </sub> 9
16 <i>m</i>1
2
, GB2<sub> = </sub> 9
16 <i>m</i>2
2
,GC2<sub> = </sub> 9
16<i>m</i>3
2
,GD2<sub> = </sub> 9
16 <i>m</i>4
2
<i>⇒</i> 4R2<sub> = 40G</sub>2<sub> + </sub> 9
16
(
<i>m</i>12
+<i>m</i><sub>2</sub>2+<i>m</i><sub>3</sub>2+<i>m</i>2<sub>4</sub>
<sub>)</sub>
<i>⇒</i> 4R2 9
16
(
<i>m</i>12
+<i>m</i><sub>2</sub>2+<i>m</i><sub>3</sub>2+<i>m</i>2<sub>4</sub>
<sub>)</sub>
(1 đ)Theo BĐT Bunhiacopxki ta có (<i>m</i>1+<i>m</i>2+<i>m</i>3+<i>m</i>4)
2
<i></i>4(<i>m</i><sub>1</sub>+<i>m</i><sub>2</sub>+<i>m</i><sub>3</sub>+<i>m</i><sub>4</sub>)
<i>⇒</i> R2 9
64 (<i>m</i>1+<i>m</i>2+<i>m</i>3+<i>m</i>4)<i>≥</i>
9
256(<i>m</i>1+<i>m</i>2+<i>m</i>3+<i>m</i>4)
2
( 1 ®)
<i>⇔</i> <i>m</i><sub>1</sub>+<i>m</i><sub>2</sub>+<i>m</i><sub>3</sub>+<i>m</i><sub>4</sub><i>≤</i>16<i>R</i>
3
DÊu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
<i>O G</i>
<i>m</i><sub>1</sub>=<i>m</i><sub>2</sub>=<i>m</i><sub>3</sub>=<i>m</i><sub>4</sub>
<i></i>
{
T din ABCD đều
</div>
<!--links-->
