De thi hsg toan9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (293.95 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
 Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi gồm 02 trang
Bài 1: (3 điểm)

Cho biểu thức:

3
3

6 4 3 1 3 3

3 2 3 4 1 3

3 3 8

x x x

A x

x x x

x

 

   

     



  



   

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (4,0 điểm)

Cho parabol (P):

1
2
y x

và đường thẳng d y: 2x m (m là tham số).

1. Với giá trị nào của m thì (P) và d chỉ có một điểm chung? Khi đó d gọi là
tiếp tuyến của parabol (P), vẽ tiếp tuyến đó.

2. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d y: 2x m trên cùng một đồ thị. Từ đồ

thị suy ra, tập những giá trị của m để d cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ
dương.

3. Tìm các giá trị của m để phương trình x4 4x22m0 có 4 nghiệm phân
biệt. Tính các nghiệm đó theo m.

Bài 3: (3,5 điểm)

1. Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của
hai chữ số của nó có phân số tối giản là

9 và hiệu của số cần tìm với số có
cùng các chữ số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27.

2. Hãy tìm các chữ số a b c d, , , biết rằng các số a ad cd abcd, , , là các số chính
phương.

Bài 4: (4,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O)
tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường
tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm).

1. Chứng minh rằng MN2 MP2 MA MB.

2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình
vuông.

3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại
tiếp tam giác MNP lần lượt chạy trên hai đường cố định khi M di động trên
đường thẳng d.

Bài 5: (2,0 điểm)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 6: (3,0 điểm)

1) Trong các tấm bìa trình bày dưới đây, mỗi tấm có một mặt ghi một chữ cái
và mặt kia ghi một số:

+ Chứng tỏ rằng để kiểm tra câu sau đây có đúng không: "Nếu mỗi tấm bìa
mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt kia là số chẵn", thì chỉ cần lật mặt sau
của tối đa là 2 tấm bìa, đó là 2 tấm bìa nào ?

2) Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trường tổ chức thi chọn
các môn Toán, Văn và Ngoại ngữ trên tổng số 111 học sinh. Kết quả có: 70
học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn và 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ.
Trong đó, có 49 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Toán, 32 học sinh giỏi cả 2
môn Toán và Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Ngoại ngữ.
Hãy xác định số học sinh giỏi cả ba môn Văn, Toán và Ngoại ngữ. Biết
rằng có 6 học sinh không đạt yêu cầu cả ba môn.

Hết

6

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
 Môn : toán

Đáp án và thang điểm:

Bài 1 y Nội dung Điểm

(2 điểm)

1. 1.1

(2 đ)

3
3

6 4 3 1 3 3

3 2 3 4 1 3

3 3 8

x x x

A x

x x x

x
 
   
     


  

   

Ta có:





3x2 3x 4 3x1  3 0;1 3x0, x 0

, nên điều kiện
để A có nghĩa là





3 8



3 2 3

 

2 3 4



0, 0 3 2 0 4

3
x   x x x  x  x    x









3
3

1 3

6 4 3

3 2 3 4 1 3

3 2

x

x x

A x

x x x

x
    

   
  
      
    
   







 







6 4 3 2 3

3 3 1 3

3 2 3 2 3 4

x x x

A x x x

x x x

    
 
   
    
 



 







3 4 2 3

3 2 3 1

3 2 3 2 3 4

x x

A x x

x x x

 
 
 
  

    
 



3 1



3 2
x
A
x


 (
4
0
3
x
 
)
0,50
0,25
0,50
0,25
0,50
1.2
(1,0
đ)



3 1





3 2



2 2



3 2



1 1

3 2 3 2 3 2

x x x

A x

x x x

    

   

  

Với x là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì

3 3 3 9

3 2 1 3

3 1
3 1
x x
x x
x
x
   
       


 

 (vì xZ và x0).
Khi đó: A4

0,50

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2 2.1

(1,5đ) Phương trình cho hoành độ giao điểm của (P) và d là:1 2 2

2 4 2 0

2x x m x x m

      

(1)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai nên để (P) và d chỉ có một điểm
chung thì phương trình (1) có nghiệm kép, tương đương với:

' 4 2m 0 m 2

     

Khi đó đường thẳng d là tiếp tuyến của (P) có phương trình y2x2

Vẽ đúng tiếp tuyến

0,25
0,50
0,25
0,25
0,25

2.2

(1,25 đ)

+ Vẽ đúng (P)

+ Đường thẳng d y: 2x m song song với đường thẳng y2x2 và cắt

trục Oy tại điểm B(0; m).

+ Dựa vào đồ thị ta có: Để d cắt (P) tại hai điểm có hoành độ dương thì
0m2

0,25

0,50
0,50

2.3

(1,25đ)

4 4 2 2 0

x  x  m (2)  X2 4X 2m0 và (X x2 0) (3)

Để phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) phải có 2

nghiệm dương phân biệt. Từ câu 1. và 2. ta suy ra 0m2.

Khi đó 4 nghiệm của (2) là: x1,2  2 4 2 m và x3,4  2 4 2 m

0,25
0,50
0,50

3. 3.1

(1,25 đ) Gọi số cần tìm là xy với x y, Z;1x y, 9.

Theo giả thiết:





10 16

3
9

90 9 16

10 10 27

x y

xy

x y xy

x y y x




   





 

 



    



Giải hệ ta có 1 2

3
9;

16
x  x 

(loại). Suy ra y6.
Vâỵ số cần tìm là 96.

0,25

0,50

0,50
3.2

(2,25 đ) a là số chính phương, nên

1, 4,9
a .

Ta có 92 81; 102 100 nên không có số 9x nào là số chính phương. Do đó

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a chỉ có thể là 1 hoặc 4.

ad là số chính phương nên ad chỉ có thể là 16, hoặc 49. Nên d chỉ có thể là

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

cd là số chính phương nên cd chỉ có thể là 16, hoặc 36, hoặc 49. Nên Nên c

chỉ có thể là 1, hoặc 3, hoặc 4.

Nếu a1 thì d 6và c1 hoặc c3, khi đó abcd 1 16b hay b1 36 và

 

1 6bc  x4 hay x6

Ta có: 262 676; 342 1156; 362 1296; 442 1936; 462 2126. Chỉ chọn

được 1936.

Nếu a4 thì d 9 và c4, khi đó

 

2 2

4 49 3 7

abcd  b  x hay x

Ta có: 632 3969; 672 4489; 732 5329. Không chọn được số nào.

Vậy chỉ có các chữ số a1,b9,c3,d 6 thỏa mãn điều kiện bài toán.

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25

4 4.1

(1,25 đ)

Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng.

Suy ra:

2 2 .

MA MN

MN MP MA MB

MN MB   

0,25
0,50
0,50

4.2

(1,25 đ) Để MNOP là hình vuông thì đường chéo OM ON 2R 2

Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O đi qua
điểm D, cắt (d) tại M.

Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có

2 2

MN  MO  ON R, nên Tam giác ONM vuông cân tại N. Tương tự,

tam giác OPM cũng vuông cân tại P. Do đó MNOP là hình vuông.

Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì OM R 2 R

0,25
0,25

0,50
0,25

4.3

(2,0 đ)

+ Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên MNOP là tứ giác nội tiếp
đường tròn đường kính OM. Tâm là trung điểm H của OM. Suy ra tam giác
cân MPQ nội tiếp trong đường tròn đường kính OM, tâm là H.

+ Kẻ OEAB, thì E là trung điểm của AB (cố định). Kẻ HL( )d thì HL //

OE, nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra:

1
2

HL OE

(không đổi).

+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi,
nên H chạy trên đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE.

0,25

0,5

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

+ Ta có: OM là phân giác trong góc NMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Kẻ tia phân giác trong góc PNM cắt đường tròn (O) tại điểm F, khi đó

 

NF FP (ứng với góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng

nhau).

+ Suy ra F ở trên OM, do đó F là tâm đường tròng nội tiếp tam giác MNP.
+ Vậy khi M đi động trên (d) thì tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP chạy
trên đường tròn (O).

0,5
0,25
0,25

5 (2,0 đ)

+ Đường thẳng BC có phương trình dạng: y ax 2 (đi qua B(0; 2) và
qua C(-3; 0) nên

2
3
a

. Do đó phương trình của đường thẳng BC là:
2

2
3
y x

+ Tam giác ADC cân tại D (gt), nên CAD DCA  , suy ra hệ số góc của
AD là số đối của hệ số góc của BC, nên phương trình của AD có dạng

2
3
y x b

. Mà AD đi qua A(1; 0) nên
2
3
b

, suy ra, phương trình của

đường thẳng AD là:

2 2

3 3

y x
.

+ Gọi E(m; 0) thuộc đoạn CA thì ( 3 m1). Đường thẳng d song
song với AD nên d:

2
3
y x b

, d đi qua E nên:

2 2

3 3

m
d y x

.
+ Phương trình đường thẳng BE: y ax 2. BE đi qua E(m; 0) nên

2
a

m


khi m0; còn nếu m0 thì BE Oy . Do đó phương trình của
BE là:

2
2

y x

m

 

(m0) và x0 (m = 0).

+ Phương trình cho hoành độ giao điểm G của BE và AD là:

2 2 2 2

2 ;

3 3 3

m

x x x

m m



     

 suy ra tung độ của G:

2( 1)

3
m
y

m







m0;m3



0,25

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8></div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

hệ phương trình:

2( 1)

3 0

2 2( 1)

6( 1)

3 3

9
m

a b a

m
ma m
m
b
b
m m
m


   
 
  


 
 

 
    
 



Suy ra hệ số góc của đường thẳng CG là

2( 1)
9
m
a
m


 0,25

+ Phương trình đường thẳng AB: y2x2

+Phương trình cho hoành độ giao điểm F của AB và d là:

2 2 3

2 2

3 3 2

m m

x x x 

     

; suy ra tung độ của F là: y m 1

+ Phương trình đường thẳng CF có dạng: y a x b '  ', CF đi qua C và F nên:





2( 1)

3 ' ' 0 '

3 '

6( 1)

' 1 '

2 9

m

a b a

m
m a

m

b m b

m


  
  
  

  

  
  
 

 .

Suy ra hệ số góc của đường thẳng CF là:

2( 1)
'
9
m
a a

m

 
 .

+ Hai đường thẳng CG và CF ở về hai phía đối với CA và có hệ số góc đối

nhau, nên cùng tạo với CA (trục Ox) một góc nhọn bằng nhau, suy ra: CG và
CF đối xứng nhau qua CA.

0,25
0,25

+ Trường hợp m0: BE: x =0, nên

2
0;

3
G 

 , hệ số góc của CG là

2
9
a

;

đường thẳng d:

2
3
y x

, tọa độ điểm

3
; 1
2
F  

 , hệ số góc của CF là
2

'
9
a 

, bài toán vẫn còn đúng.

0,25

6

6.1

(1,25 đ)

+ Câu: "Nếu mỗi tấm bìa mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt kia là số chẵn"

đúng khi kiểm tra các tấm bìa ở mặt chữ cái nếu là nguyên âm thì mặt sau
phải là số chẵn, còn tấm bìa nào có mặt chữ cái là phụ âm thì mặt số là số
chẵn hoặc lẻ đều không ảnh hưởng.

Do đó nếu lật tấm bìa chữ A mà mặt sau là số lẻ, thì khẳng định ngay câu trên
không đúng, ngược lại mặt sau là số chẵn thì phải lật tiếp mặt sau của tấm bìa
có chữ số 3, nếu mặt đó là phụ âm thì câu trên hoàn toàn đúng, ngược lại là
sai. Còn mặt sau tấm bìa chữ M có thể số chẵn hoặc lẻ đều được, cũng như
mặt sau tấm bìa số 6 là nguyên âm hoặc phụ âm đều được, câu trên đều đúng.
Vậy chỉ cần lật tối đa 2 tấm bìa chữ A và số 3 là có thể kiểm chứng được câu
trên là đúng.

0,50

0,25
0,25

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

6.2

(1,75 đ) + Gọi x là số học sinh giỏi cả 3 môn Văn,Toán, Ngoại ngữ (x > 0), dựa vào biểu đồ

ta có:

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là:





70 49  32 x

Số học sinh chỉ giỏi một môn Văn là:





65 49  34 x

Số học sinh chỉ giỏi một môn Ngoại ngữ là:





62 34  32 x

0,25
0,25
0,25
0,25

+ Có 6 học sinh không đạt yêu cầu nên:













111 6 70 49    32 x 65 49  34 x 62 34  32 x 

49



32 x

 

 34 x



82 x 105 x 23

    

Vậy có 23 học sinh giỏi cả 3 môn

0,50

</div>

De thi hsg toan9

6











 

















 









 



























 

 

 

 



































 



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về