<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC</b>
A>Lý thuyết :

<b> I>Các phương trình lượng giác cơ bản :</b>
<b> 1.sinx = sina </b> ¿<i>x=π − a+k. 2π</i>

<i>x=a+k</i>.2<i>π</i>
¿
<i>⇔</i>¿

2.cosx = cosa <i>⇔x</i>=<i>± a</i>+<i>k</i>.2<i>π</i>
3.tanx = tga  x = a + k.
4.cotx = cota  x = a + k.
II>Các phương trình đặc biệt :
<b> 1.sinx = 0 </b> <i>⇔x</i>=<i>k</i>.<i>π</i>

2.cosx = 0 <i>⇔x</i>=<i>π</i>

2+<i>k</i>.<i>π</i>

3.tanx = 0 <i>⇔x</i>=<i>k</i>.<i>π</i>
4.cotx = 0 <i>⇔x</i>=<i>π</i>

2+<i>k</i>.<i>π</i>

5.sinx = 1 <i>⇔x</i>=<i>π</i>

2+<i>k</i>. 2<i>π</i>

6.cosx = 1 <i>⇔x</i>=<i>k</i>. 2<i>π</i>
7.tanx = 1 <i>⇔x</i>=<i>π</i>

4+<i>k</i>.<i>π</i>

8.cotx = 1 <i>⇔x</i>=<i>π</i>

4+<i>k</i>.<i>π</i>

9.sinx = -1 <i>⇔x</i>=<i>−π</i>

2+<i>k</i>.2<i>π</i>

10.cosx = - 1 <i>⇔x</i>=<i>π</i>+<i>k</i>. 2<i>π</i>
11.tanx = -1 <i>⇔x</i>=<i>−π</i>

4+<i>k</i>.<i>π</i>

12.cotx = -1 <i>⇔x</i>=<i>−π</i>

4+<i>k</i>.<i>π</i>

III>Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác :
<b> 1.Dạng : Đó là phương trình có một trong các dạng sau đây :</b>
asin2_{x + bsinx + c = 0 (1)}

acos2_{x + bcosx + c = 0 (2)}

atan2_{x + btanx + c = 0 (3)}

acot2_{x + bcotx + c = 0 (4)}

với a  0
2.Cách giải :

a.Đặt : u = sinx hoặc u = cosx với |<i>u</i>|<i>≤</i>1 đối với các phương trình (1),(2).
b.Đặt : u = tgx hoặc u = cotgx đối với các phương trình (3) , (4) .

Đưa phương trình về phương trình bậc hai . Tính được u chuyển về phương trình
cơ bản để tìm x .

IV>Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx :
<b> 1.Dạng : asinx + bcosx = c (1)</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a.Cách 1 : asinx + bcosx = c

sin cos
sin tan .cos
sin( ) cos

<i>b</i> <i>c</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>c</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>
<i>c</i>

<i>x</i>

<i>a</i>



 

  

  

  

Phương trình cuối cùng là phương trình lượng giác cơ bản .
<b> b.Cách 2 : asinx + bcosx = c </b>

<i>⇔</i> <i>a</i>

√

<i>a</i>2

+<i>b</i>2sin<i>x</i>
+ <i>b</i>

√

<i>a</i>2

+<i>b</i>2cos<i>x</i>
= <i>c</i>

√

<i>a</i>2
+<i>b</i>2

cosϕ= <i>a</i>

√

<i>a</i>2+<i>b</i>2;sin<i>ϕ</i>=
<i>b</i>

√

<i>a</i>2+<i>b</i>2
¿

¿

<i>⇔</i>cos<i>ϕ</i>. sin<i>x</i>+sin<i>ϕ</i>. cos<i>x</i>= <i>c</i>

√

<i>a</i>2
+<i>b</i>2

¿

Phương trình cuối cùng là phương trình lượng giác cơ bản .
<b> c.Cách 3 :</b>

- Xem <i>x</i>=<i>π</i>+<i>k</i>. 2<i>π</i> có phải là nghiệm khơng ? nếu phải thì ghi nhận

- Giả sử <i>x ≠ π</i>+<i>k</i>.2<i>π</i> , đặt : tan2

<i>x</i>
<i>t</i>
sin<i>x</i>= 2<i>t</i>

1+<i>t</i>2;cos<i>x</i>=

1<i>−t</i>2

1+<i>t</i>2

Phương trình (1) trở thành phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình (1) là :
a2_{+ b}2__c2

V>Phương trình đẳng cấp :

<b> 1.Dạng : asin</b>2_{x + bsinx.cosx + ccos}2_{x = d .}

2.Cách giải :
a.Cách 1 :

- Kiểm tra xem <i>x</i>=<i>π</i>

2+<i>k</i>.<i>π</i> có phải là nghiệm không ? .

- Nếu <i>x ≠π</i>

2+<i>k</i>.<i>π</i> bằng cách chia hai vế của phương trình cho cos2x ta đưa

về phương trình dạng :
atg2_{x + btgx + c = 0 .}

b.Cách 2 :

sin2<i>x</i>=1<i>−</i>cos 2<i>x</i>

2
cos2<i>_x</i>

=1+cos 2<i>x</i>

2
sin<i>x</i>cos<i>x</i>=1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ta đưa phương trình về dạng :
Acos2x + Bsin2x = C .

VI>Phương trình đối xứng và phương trình phản xứng :
<b> 1.Phương trình đối xứng :</b>

a.Dạng : a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
trong đó a , b , c  R

<b> b.Cách giải :</b>
Đặt :

<i>t</i>=sin<i>x</i>+cos<i>x</i>=

√2 cos

(<i>x −π</i>

4)

|<i>t</i>|<i>≤</i>

√

2

<i>⇒</i>sin<i>x</i>cos<i>x</i>=<i>t</i>
2

<i>−</i>1
2

Phương trình đã cho trở thành :
bt2_{+ 2at – (b + 2c) = 0}

2.Phương trình phản xứng :

a.Dạng : a(sinx – cosx) – bsinxcosx = c .
b.Cách giải :

Đặt :

<i>t</i>=sin<i>x −</i>cos<i>x</i>=

√

2sin(<i>x −π</i>

4)

|<i>t</i>|<i>≤</i>

√

2

<i>⇒</i>sin<i>x</i>cos<i>x</i>=1<i>−t</i>

2

2

Phương trình đã cho trở thành :
bt2_{+ 2at – b – 2c = 0 .}

B>Bài tập :

<b> I>Các bài tập cơ bản :</b>
<b> Giải các phương trình sau :</b>
<b> 1.6cos</b>2_{x + 5sinx – 7 = 0}

2.cos2x + 3sinx = 2
3.1 + cosx + cos2x = 0

4. tan3_{x – 3tan}2_{x – 2tanx + 4 = 0}

5.6sin2_{x – sinxcosx - cos}2_{x = 3}

6.3sin2_{x – sinxcosx – 4cos}2_{x = 2}

7.cos3_{x – 4cos}2_{xsinx + cosxsin}2_{x + 2sin}3_{x = 0}

8.2cos3_{x + sinx – 3sin}2_{xcosx = 0}

9. sin<i>x</i>+

√

3 cos<i>x</i>=2
10. sin 2<i>x</i>+sin2<i>x</i>=1

2

11. 2 sin17<i>x</i>+

√

3 cos 5<i>x</i>+sin5<i>x</i>=0
12.2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0
13.sinx + cosx = 1 – sin2x

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

15.sin3_{x + cos}3_{x =}

√

2

2

II>Một số đề đã ra thi đại học :
<b> Giải các phương trình sau đây :</b>

<b> 1.sin</b>3_{x + cos}3_{x = 2(sin}5_{x + cos}5_{x) ( ĐHQG HN 98)}

<b> 2.3cos</b>4_{x – 4cos}2_x.sin2_{x + sin}4_{x = 0 (ĐHQG TPHCM 98)}

3. sin3(<i>x −π</i>

4)=

√

2sin<i>x</i> (ĐHQG TPHCM 98)

<b> 4.tgx.sin</b>2_{x – 2sin}2_{x = 3(cos2x + sinxcosx) (ĐHMỏ địa chất 99)}

<b> 5.4(cos</b>4_{x + sin}4_{x) +}

√

3 sin4x = 2 (ĐH Văn lang TP HCM 98)
6.4sin3_{x – 1 = 3sinx -}

√

3 cos3x (CĐHQ 98)

7. sin<i>x</i>+

√

3 cos<i>x</i>+

√

sin<i>x</i>+

√

3 cos<i>x</i>=2 (ĐHSP Qui Nhơn 98)
8.9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

9.Cho phương trình : sin2_{x + (2m – 2)sinxcosx – (m + 1)cos}2_{x = m}

a.Tìm m để phương trình có nghiệm .
b.Giải phương trình khi m = - 2 .
10. 1 + sin3_{x + cos}3_{x =} 3

2sin 2<i>x</i>

11.

3 2

2
3(1 sin )

3tan tan 8cos ( ) 0

cos 4 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>





    

12.sinx + sin2_{x + sin}3_{x + sin}4_{x = cosx + cos}2_{x + cos}3_{x + cos}4_x

13.Cho phương trình :

1 1 1

(sin cos ) 1 (tan cot ) 0

2 sin cos

<i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

      

a.Giải phương trình khi <i>m</i>=1

2

b.Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm trong khoảng

(

0<i>;π</i>

2

)

14.(1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx .
15.cos2_{x + cos}2_{2x + cos}2_{3x + cos}2_{4x = 2}

16. sin<i>x</i>. sin 4<i>x</i>=2 cos(<i>π</i>

6<i>− x</i>)<i>−</i>

√

3 cos<i>x</i>. sin 4<i>x</i>

17.sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x
18.2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)

19.sin2_{3x – cos}2_{4x = sin}2_{5x – cos}2_6x

20.

2

cos2 1

cot 1 sin sin 2

1 tan 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

   


21.

2
cot tan 4sin 2

sin 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

  

22. sin2(<i>x</i>

2<i>−</i>

<i>π</i>

4). tg

2

<i>x −</i>cos2 <i>x</i>
2=0

23.Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2) của phương trình :
5(sin<i>x</i>+cos 3<i>x</i>+sin 3<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

24.Cho phương trình : cos4x = cos2_{3x + asin}2_x

a.Bằng cách đổi biến t = cos2x hãy giải phương trình khi a = 1.
b.Xác định a để phương trình có nghiệm <i>x∈</i>

(

0<i>;</i> <i>π</i>

12

)

25)Giải phương trình : cos2_{3xcos2x – cos}2_{x = 0}

26)Giải phương trình : 5sinx – 2 = 3(1-sinx)tan2_x

27)Giải phương trình : 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
28)Giải phương trình : cos4<i>_x</i>

+sin4<i>x</i>+cos(<i>x −π</i>

4)sin(3<i>x −</i>

<i>π</i>

4)<i>−</i>
3
2=0

29)Giải phương trình : 2(cos
6

<i>x</i>+sin6<i>x</i>)<i>−</i>sin<i>x</i>cos<i>x</i>

√

2<i>−</i>2 sin<i>x</i> =0

30)Giải phương trình : cos3x + cos2x – cosx -1 = 0

31)Giải phương trình : cot sin (1 tan tan ) 42

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> 

<b>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC</b>

Dạng 1: <i><b>Phương pháp đưa về tổng các hạng tử không âm (hoặc không dương).</b></i>

<b> f1(x) + f2(x) + f3(x) = 0 </b>

<i>f</i>3(<i>x</i>)=0
¿<i>f</i>₁(<i>x</i>)=0

<i>f</i>₂(<i>x</i>)=0
¿❑

{_¿
<b> Với f</b>1(x) ; f2(x) ; f3(x)  0

(hoặc f1(x) ; f2(x) ; f3(x)  0)

f<b>12(x) + f22(x) + f32(x) = 0 </b>

<i>f</i>3(<i>x</i>)=0

¿<i>f</i>₁(<i>x</i>)=0
<i>f</i>₂(<i>x</i>)=0

¿❑

{_¿

|

<i>f</i>1(<i>x</i>)

|

+

|

<i>f</i>2(<i>x</i>)

|

+

|

<i>f</i>3(<i>x</i>)

|

=0 <b> </b>

<i>f</i>3(<i>x</i>)=0
¿<i>f</i>₁(<i>x</i>)=0

<i>f</i>2(<i>x</i>)=0
¿❑

{_¿

BÀI TẬP : Giải phương trình :
1. cos 2<i>x</i>+cos3<i>x</i>

4 <i>−</i>2=0 .(ĐH Thương Mại 97)

<b> 2. x</b>2_{– 2xsinx – 2cosx + 2 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5. cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin3_{x + 1) = 0}

Dạng 2 :<i><b>Phương pháp đánh giá hai vế (Phương pháp đối lập)</b></i>
<i><b> </b></i> Giải phương trình : f(x) = g(x)

+ Gọi D là TXĐ của phương trình f(x) = g(x)
Bằng cách nào đó nếu ta chứng minh được :
f(x)  M , xD .

g(x)  M , xD .

thì phương trình : f(x) = g(x) 

{

<i>g</i>(<i>x</i>)=<i>Mf</i>(x)=<i>M</i>

<b> + Có thể đánh giá cả hai vế bằng cách đưa về tổng bình phương , bằng tính chất của</b>
hàm số hoặc dùng bất đẳng thức Côsi , Bunhiacôpski , …

BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
<b>1.</b> ( cos2x – cos4x)2_{= 4 + cos}2_3x

<b>2.</b> ( cos2x – cos4x)2_{= 6 + 2sin3x (ĐH An Ninh 97)}

<b>3.</b> sin2000_{x + cos}2000_{x = 1 ( ĐH ĐN 2000)}

<b>4.</b> sin3_{x + cos}3_{x + sin}4_{x = 2}

<b>5.</b> sin<i>x</i>+

√

2<i>−</i>sin2<i>x</i>+sin<i>x</i>

√

2<i>−</i>sin2<i>x</i>=3

Dạng 3 : <i><b>Sử dụng phương trình vơ tỷ , đặt ẩn số phụ , ….</b></i>

BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1. 2 sin(3<i>x</i>+<i>π</i>

4)=

√

1+8 sin 2<i>x</i>. cos

2

2<i>x</i>
2. sin(3<i>π</i>

10 <i>−</i>

<i>x</i>

2)=
1
2sin(

<i>π</i>

10+
3<i>x</i>

2 )

3.

_√

3<i>−</i>cos<i>x −</i>

√

cos<i>x</i>+1=2
4. 1

cos<i>x</i>+

1
sin 2<i>x</i>=

2
sin 4<i>x</i>

5.3tan2x – 4tan3x = tan2_3x.tan2x

</div>

<!--links-->