BDT

BẤT ĐẲNG THỨC
VÀO LỚP 10 CHUYÊN 2009-2019


BDT

1

Website: Tailieumontoan.com
ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ
TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 20092019

NĂM HỌC 2019-2020
Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020]
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: 4x
1

2

+ 4y

2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 17x

2

+ 17y 2 +16xy

+ 17xy + 5x + 5y ≥

Lời giải
Ta có: 4x

2

+ 4y

2

+ 17xy + 5x + 5y ≥ 1 ⇔ 4 ( x + y

) 2 + 9xy + 5 ( x + y ) ≥

1

Đặt t = x + y, t > 0 , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

(

xy ≤
≥

2 2

x+y

−


2

)2

=

t2

. Do đó: 4t

+

2

9

t

2

+ 5t ≥

2 2

1 ⇒ t ≥

−2

hay x + y


.

4

4

Ta có:

P = 17x

2

4

+ 17y

2

5

+ 16xy = 17 ( x + y

(x +
y)

≥ 17 ( x + y) 2 −
18

2


=

4

Dấu “=” xảy ra khi x = y =
5



2(x +
5 y) 2

2
≥ 5


4

4

2 −1

5

) 2 −18xy
2

2
2 − 2  = 6−4 2





5

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 − 4 2
Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020]
Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = xy ( x − 2

)( y + 6 ) + 13x 2 + 4y 2 − 26x + 24y + 46

Lời giải
Ta có:

P = xy ( x − 2)( y + 6) + 13x2 + 4y2 − 26x + 24y + 46

(x



2

− 2x

)( y

2

)


(

)

(

)

+ 6y + 13 x2 − 2x + 4 y2 + 6y + 46


 





=  ( x − 1) 2 − 1   ( y + 3) 2 − 9  + 13  ( x − 1) 2 − 1  + 4  ( y + 3) 2 − 9 
+ 46

Đặt a = x − 1, b = y + 3 , khi đó:

( a − 1)( b − 9) + 13 ( a − 1) + 4 ( b −
9) + 46 = a2 b2 − 9a2 − b2 + 9 + 13a2 − 13 +

P=

2


4b2 − 36 + 46

2

2

2


BDT

LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC

FB TRỊNH BÌNH


BDT

2

Website: Tailieumontoan.com
= 4a
2
+6
≥ 6

2

+ 3b


2

Dấu “=” xảy ra khi 

+a

2

b

a =
0

 x −1 =
0

⇔ x = 1, y = − 3

⇔

b =

y +

=
0
3
0
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6.
Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020]

Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 4
Chứng minh
1
1
1
= 1
1) rằng:
a + b+ +
+2
2
c +2
1
Tìm giá trị nhỏ nhất: P
2) =
Lời
giải

(

2 a2 + b2

)

1
+
4 +

(

2 b2 + c 2


)

1
+
4 +

(

2 c2 + a2

+

)4

.

1) Ta có:
1 + 1 + 1 = 1
a
b+
c
+2 2
+2
⇔ ( b + )( c +
a + 2)( c + 2) +

) = ( a + 2)( b

)( c + 2)

( 2)( a + 2
+2
( a + b + c) + 12 = ( ab + bc + ca) + 4 ( a + b +
abc + 2
c) + 8

2) +

2

(b+

⇔ ab + bc + ca
+4
⇔ 4 = ab + bc + ca.

Đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, các phép biến đổi l| tương
đương, do đó đẳng thức đã cho được chứng minh.
2) Với x, y dương ta có bất đẳng
thức: 2 x2 + y2 ≥ ( x + y) 2
(*)
1 1  1 1
≤  +  (**)

(


x+
x
y

4
Thật vậy:



*

)

y

) ⇔ ( x −y )2 ≥

x+y

1

0 (luôn đúng)

⇔( x + y

2

⇔ ( x −y

2

x+
≥
( **) ⇔ 4xy ≥ y )

4xy )
≥ 0 (luôn đúng)
Các bất đẳng thức (*), (**) xảy ra dấu “=” khi
x = y.
Lần lượt áp dụng (*) và (**) ta


BDT

có:
1

(

2 a2+b2

)

≤

+4

1
a+b+
4

1

=


+ 2 )+

( a2)

≤

(b+

1 1
+


1




a+2 b
2
4+

Tương tự:
1

(

2 b2+c2

)


≤

1 1
+


1 

b+2 c 2
+4

4+
Cộng theo vế ta được:
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC

1
1
≤ 

1
;

(

2 c2+a
+4

2

)


+

1 
 ;

4c 2 a+
+
2

FB TRỊNH BÌNH


BDT

3

Website: Tailieumontoan.com
P
≤

1 1
1
1 1
1
+
+

 = .1= .
a 2 b+2 c+

2+
2
2 2
D}u “=” xảy ra khi a = b = c
1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
Câu 4: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020]
Cho K = ab + 4ac − 4bc với a,b,c ≥ 0 và a + b + 2c = 1.
1) Chứng minh rằng: K ≥

1
2
2) Tìm giá trị lớn nhất của K.

Lời giải
1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
 a + b + 2c
 b + 2c 
⇒ −4bc
4bc ≤ 2
≤ 2

1
≥ −
2

 2 
 =


2 

2  2

1
2

Mặt khác: a, b, c ≥ 0 ⇒ K = ab + 4ac − 4bc
≥ − 4bc ≥ −

Dấu “=” xảy ra khi a = 0, b =
2
Cách khác:
Ta có:

Κ



= ab + 4c ( a − b

)=

(

1

,c=

1


4

)

2

.

ab + 2 ( 1 − a − b

ab + 2 ( a − b ) − 2 a 2 − b2

1

)( a − b)

2b + ( a − 2 ) b + 2a − 2a
Do đó: 2b 2 + ( a − 2 ) b + 2a − 2a 2 − K = 0 ( * )


2

2

Để tồn tại K thì phương trình (*) Phải có 2 nghiệm:

(

)


 ∆ ≥ 0 ⇔ ( a − 2) 2 − 4.2. 2a − 2a2 − K ≥ 0
 8K ≥ 20a − 17a2 − 4.
Vì a,b,c ≥ 0 và a + b + 2c = 1 ⇒ 0 ≤ a ≤ 1 . Do đó:
2a − 17a

2

= a ( 20 − 17a

Do đó 8K ≥ − 4 ⇒ K ≥ −

1

)≥

2

a ( 20 − 17.1) = 3a ≥ 0

1

1

Dấu “=” xảy ra khi a = 0, b =
,c=
.
2
4
2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

2

 a + b + 2c 

a ( b + 2c

)

≤ 

1



=

LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC

.

FB TRỊNH BÌNH


BDT

4

Website: Tailieumontoan.com
Mặt khác:
a, b,c ≥ 0 ⇒ K = ab + 4ac − 4bc ≥ ab + 4ac ≤ 2ab + 4ac = 2a ( b + 2c) ≤


+ 2c) 2

1

=

.

2

Dấu “=” xảy ra khi:
a = b + 2c,a + b + 2c = 1, bc = 0,ab = 0 ⇒ a =
2
Vậy giá trị lớn nhất của K 1
là
2
Câu 5: [TS10 Chuyên Thái Bình,
2019-2020]

1
< a, b, c
0
<
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 
2
 + 3b + 4c
2a = 3
2


thức P
=
Lời giải
Ta có:

P=

=

a ( 3b + 4c −
2)

3)

+

2

+

+

9

b ( 4a + 8c − 3)

9

8


a ( 3 − 2a −

b ( 6 − 6b −

c ( 3 − 4c

2)

+

3

b (1 −

2a)

+ 2b)

2a

a2 ( 1 −

3b2

3)

. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu

+

4

−1)

+

8

c ( 2a + 3b −1)

−1)

c ( 1 − 2c

+)

4c

b2 ( 1 −

c2 ( 1 −

2
2a)
=
+ 2b)
+ 2c)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2


a 2 ( 1 −2a) ≤ 

a

+

a

3



Tương tự: b
Suy ra: P ≥

1 2a
+ − 

=


1

27

1

( 1 − 2b) ≤ 27 ; c 2 ( 1 − 2c) ≤
27 ( 2a + 3b + 4c ) = 81
2


Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

2

1

c ( 2a + 3b

2

2

, b = 0, c =
4

8

b ( 4a + 8c −

a ( 3b + 4c − 2)

a (1 −
=

9

1

(a+b


27

1

1

3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 81.
Câu 6: [TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020]
Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab. Chứng minh rằng:


BDT

a + b ≥1
4b 2 + 4a 2 +
1
1
2
Lời giải
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC

FB TRỊNH BÌNH


BDT

5


Website: Tailieumontoan.com
Ta có:
a+b=
4ab ≤
Lại
có:
a
4b2 +
1

(

)
a+
b

)

(
a+
⇔ b

2

a+b
+b
−
1≥ 0 ⇔ a ≥ 1

a+b>

0

4ab
= a 4ab
2
2
−
≥ a−
= a − ab

4b2 +1
4b
2
4a2
= b 4a
b
b −
≥ b − b = a − ab
2
4a +
1
4a2 +1
4a
a

b

2

2


4b +
4a
+
1

Do
đó:

)

(



a+
b

( a + b ) − 2ab = ( a +
+
1 b )−
≥

Dấu “=” xảy ra khi a = b =

1

( a + b)

2 = 2≥


1
2

1

2
Câu 7: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020]
Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x

2

+y

2

+z

2

≤ 3y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
4
8
x+
y+
z+
( 1) 2 + ( 2 ) 2 + ( 3) 2


P
=

Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

1 2
1 1 11
8
+
≥

+

≥
2
2
2 (*)
(a +
b)
a
2 a b 
b
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:
P
=

(


1
x+
1

1

)

8

z+
 + 3
2 +  y
(

+1

2

2

8

)

2

≥ 



x+z≤
P

6
4

2

+z

2

)≤
=

2

( 3y − y 2 ) ≤

64

y

x+



Mặt
khác:
2 (x




2

+ 2

2



2 + 3y −
y2
2
≥ 1

+

(

8
64
z+
3 2≥
y
2 .
)
+ z + 5
x+



.

2




BDT

≥

 6 + 2y1
− y


2

2
2






8




−

(y −

2)

1

2 2


2

Dấu “=” xẩy ra khi ( x, y, z



) = ( 1, 2,1) .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1.
Câu 8: [TS10 Chuyên Hà Nam, 20192020]
Cho các số thực dương a, b, c thỏa
mãn:
a3

nhất của biểu thức:
P=

1


1

1

+
+
a+1 b+1 c+1
b3
c3

≤ 1. Tìm giá trị
nhỏ

a2 + ab + b2 + bc + c
c2 + ca +
2
+
+
b2
a2

LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC

FB TRỊNH BÌNH


BDT

6


Website: Tailieumontoan.com
Lời giải
Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1
9 (với x, y, z > 0
+ + ≥ x+y+
) (*)
z

x y

z
1 1 1 
+

Thật vậy: (*) ⇔ ( a + b + c ) 

+

≥ 9

a b c
Áp dụng AM – GM ta được:
1 1 1 
3
3
+

(a + b + c )


+

≥ 3

= 9

abc.

3

abc
a b c
Vậy bất đẳng thức (*) được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi x = y = z.
Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được:
⇔a + b + c + 3 ≥ 9 ⇔a + b +
1
1
1
1
9
≥
+
+
≥
c≥ 6
a+1 b+1 c+1 a+b+c
+3
b3

c3


2

a3

2

2

b3 − c 3 +
2

c3 − a3

Đặt Q
=
Ta có:

a + ab + b + bc +
c + ca +
2
2
+
b +
c
a2

P−Q=

a3 − b3 +


a2 + ab + b2

b2

+ bc + c

(

 ( a − b) a2 + ab + b2

)

a2

2

c2 + ca + a2

) + ( b −c )(b

2

+ bc + c2

) + (c −a )(c

2

+ ca +


+ ab + b2b2 + bc + c2c2 + ca + a2

 a − b) +

= 0

( b − c ) + ( c − a)

a

=

Do đó: P = Q
Mặt khác: x

2

1

2
2
3 ( x + xy + y ) ( * * )

2

− xy + y

≥


1
2
2
2
2
2
2
3 ( x + xy + y ) ⇔ 3x − 3xy + 3y ≥ x + xy + y ⇔ 2

≥

Thật vậy:
x

2

− xy + y

(x −y )2 ≥

2

0

Sử dụng (**) ta được:
a3+b
b
P+Q=

3

a2

+ ab + b

2

+

3

+c

3
b2

 (a + b )(a
− ca + a )

2

+ bc + c

2

− ab + b

+
2

c

c2

3

+ a3

+ ca + a2

) + ( b + c ) (b

2

2

2

≥

+ ab + b 2b

2

+ bc + c 2c

2

+ ca + a2a

1
1

1
3 ( a + b ) + 3 ( b + c ) + 3 ( c + a)

− bc + c

2

) + (c + a )(c

2


BDT

2

2

 3 ( a + b + c ) ≥ 3 .6 = 4
Mà P= Q⇒P≥ 2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC

FB TRỊNH BÌNH


BDT

7


Website: Tailieumontoan.com
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2.
Câu 9: [TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020]
Cho các số dương a, b, c dương thỏa mãn abc = a + b + c + 2 . Tìm giá trị
lớn nhất
của biểu thức P
1
1
1
=
+
+
b2 + c
2
a2 + b2
c2 + a2
Lời giải.
Từ abc = a + b + c + 2

( a + b )( b + 1)( c + 1 ) = ( a + 1 )( b + 1 ) + ( b + 1 )( c + 1 ) + ( c + 1
)( a + 1)
1

1

1
⇔
+
+c+
a + 1 b+ 1 1

1 =
1 =
x,
y,
Đặt
a
+1
b+ 1
Khi đó: a 1 − y +
x =z
=
x
Nên P
=

1


= 1 x


2
1 y




2
1
≤



y+z z

.

x

y+z z

 y

+x

+x

+y
+z


 x


2

2



2


.

z+x x

.

z+x x

+





z
≤ 1

1

+
2

z

+
y
y

+

y

+z

+
z+x x

.

x+y y

+x

.

x+y y

y
+
y



1 +

2
 ab

2


c +a

  z

x


x


y

b +c
y

.

 x, y,z > 0

+y+z=
1.
1
;b z+ ;c x+
= x
= y

c
+

2




=

= z
⇒

1

+


+

2 2 y + z z + x

1

1

x
a2 +
b2

=

=
1


b
c

ca 



x



+z





z



+z

  x

+


1 + 1




z

+
x+y y+z

  




3

y   y z
+
+
 
+

x+y x+y




 z
+ 


+


x  2
=



y+z y+z 
z+x z+x
 


Dấu “=” xảy ra khi x = y = z hay a = b
= c

4

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức 3 2 khi a = b = c
P là
= 2.
4
Câu 10:
[TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020]


BDT

(

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 5 x
18yz = 0.


2

+y

2

+z

2

) − 9x ( y + z ) −

2x − y − z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q =

Lời giải
Ta có:

(

5 x
 5x

2
2

+y


2

+z

2

.

) − 9x ( y + z ) − 18yz ≤

− 9x ( y + z ) + 5 ( y + z

LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC

0

) 2 − 28yz ≤

0
FB TRỊNH BÌNH


BDT

8

Website: Tailieumontoan.com


2


5x

 5x

2

− 9x ( y + z ) + 5 ( y + z

) 2 ≤ 7.4yz ≤
− 9x ( y + z ) − 2 ( y + z ) 2 ≤ 0

 x 2


⇔5 

y+z
Đặt: t = y

x

− 9.

−2

y+
z

7 ( y + z) 2


≤ 0

x
+ z ( t > 0) khi đó:

5t2 − 9t − 2 ≤ 0 ⇔ ( 5t + 1)( t − 2) ≤ 0

⇔t ≤ 2

( do 5t

+ 1 > 0)

x ≤ 2
y+z
Ta có: Q 2x − y − z =
x −1≤ 2.2−1=
=
2.
3
y+z
y+z
⇔

x

Dấu “=” xảy ra khi y = z =
.
4

Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3.
Câu 11:
[TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020]
Cho x, y, z không âm thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTLN. GTNN của biểu
thức
x2 − 6x + 25 + y2 − 6y + 25 +

M=

z2 − 6z + 25

Lời giải
Ta có:
x2 − 6x + 25 + y2 − 6y + 25 +

M=

(3

25 =

(3

z2 − 6z +

− x) 2 + 16 +

− y) 2 + 16 +

(3


− z) 2 + 16

a + b + c = 6

Đặt a = 3 − x, b = 3 − y,c = 3 − z, Khi đó: 

M=

a

2

+ 16 +

b

2

+ 16 +

c

0 ≤ a, b,c ≤ 3
2

+16

Tìm GTNN:
Theo bất đẳng thức Minkowski ta có:

M=

(a

a

2

+ 16 +

+ b + c

)2

b
+

2

(

+ 16 +

c

2

+ 16 ≥

4 + 4 + 4


)2

=

6 5

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
Tìm GTLN
Sử dụng phương ph{p UCT với điều kiện 0 ≤ a ≤ 3 ta được a

+ 12
(* )
3
Thật vậy:
 *) ⇔ 9 ( a2 + 16) ≤ ( a + 12) 2

⇔ 8a2 − 24a ≤ 0 ⇔ a ( a − 3) ≤ 0 (đúng)

2

+ 16 ≤

a


BDT

LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC


FB TRỊNH BÌNH


BDT

9

Website: Tailieumontoan.com
Ho|n to|n tương tự và suy ra: M ≤ 14
Đẳng thức xảy ra khi ( a, b, c

) = ( 0, 3, 3) và các hóa vị.

Câu 12:
[TS10 Chuyên KHTN, 2019-2020]
Cho x, y,z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1 . Chứng minh rằng:
1 +


1 ≥ 2

1 +

1+x

1+y

2

2


Lời giải
Ta có: 1 + x

2
1+ z

2

x

3

 1+x

2

2

=

1+y

z

+
2

2


(1)



1+z 

( x + y )( x + z)
( x + y )( y + z ) ; 1 + z 2 = ( x + z )( y + z)

= xy + yz + zx + x

Tương tự: 1 + y

y

+

3


2

=

Do đó:
1

VT =
( 1)


1

( x + y)( x +
z)

2 ( x + y + z)

1

( x + y)( y +
z)

( x + z)( z +
y)

( x + y)( y + z)( z +
x)
=

+
+
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

2

z 
x
y
z
x

y
≤ (x+y+
1 + z2
+
+
z) 


2+
2 +
2
2
2


1+y
1+z 
1+x
1+x 1+y

x
y
z
= ( x+y+ 
z)

 ( x + y)( y + z) + ( x + y)( y + z) + ( x + z)( z + y)











2 ( x + y + z)( xy + yz + zx)

 ( x + y)( y + z)( z + x)


x + y + z)



( x + y)( y + z)( z + x)

Suy ra:
VP

4 ( x + y + z)

≤

()

.2

3





( x + y )( y + z )( z + x) 


1

x
1+x

+

y
1+y

2

+
2

z
1+z


.

2 



Như thế để chứng minh bất đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh:
x

y
+

z
+

1+x

1+y

2

2

3
≤

1+
z2

(2
)

2

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

x
x
1 x
x 
=
≤ 
+

( x + y)( x +
1+
z)
x2
2 x + y x + z 
y
z
≤ 1  y + y  ;
= 1  z +
Tương tự:

z 



BDT

1+y
2

x+y y+z 1+
2 z2


LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2 z + x y + z 
FB TRỊNH BÌNH


10

Website: Tailieumontoan.com

Cộng theo vế 3 bất đẳnng thức trên ta được bất đẳng thức (2). B|i to{n
được chứng minh.
1

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =
3
Câu 13:
[TS10 Chuyên TP. Hồ Chí Minh, 2019-2020]
Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn  0; 2 thỏa mãn điều kiện: x + y
+ z = 3.  

a) Chứng minh rằng: x

2

+y

2


+z2<6

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x

3

+y

3

+z

3

− 3xyz

Lời giải
a) Ta có:
2 −x


0

)( 2 − y )( 2 − z ) ≥

0 ⇒ 8 − 4 ( x + y + z ) + 2 ( xy + yz + zx ) − xyz ≥

 x 2 + y 2 + z 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 + 8 − 4 ( x + y + z ) + 2 ( xy + yz + zx ) −
xyz


( x + y + z ) 2 − 4 ( x + y + z ) + 8 − xyz

9 − 4.3 + 8 − xyz = 5 − xyz ≤ 5 < 6
b) Ta có:
P = x3 + y3 + z3 − 3xyz =

 3

3 





3

2

22



)

+ y2 + z 2 −

1

(x


2

+ y2 + z2 + 2xy + yz + zx

)





3
2
2
2
2
3
(
x
+
y
+
z
)
−
(
x
+
y
+
z

)
2 





(x

( x + y + z) ( x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx)

3.5 − 9

2





9

Dấu “=” xảy ra khi ( x, y, z

) = ( 2,1, 0) và các hốn vị.

Câu 14:
[TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020]
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xy + yz + 4zx = 32
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x


2

+ 16y 2 +16z2

Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

x2
2
x2

+ 8y
+ 8z

2

2

≥ 4xy

≥ 4xz

2
8y 2 + 8z 2 ≥ 16yz
Cộng theo vế ta được: P = x

LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2


+ 16y

2

+ 16z

2

≥ 4 ( xy + xz + 4yz

)=

128

FB TRỊNH BÌNH


11

Website: Tailieumontoan.com
Dấu “=” xảy ra khi x = 4y = 4z , thay v| điều kiện ta được: x =

8 6

2 6

= z =

3
Câu 15:

[TS10 Chuyên Quốc Học Huế, 2019-2020]
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 2. Chứng minh rằng:
+
x
2
2x + y + 5
6y2

+
2y
2
+z +6
3z2

2

≤1
4z
2
+ 4x +16
2

Lời giải
Ta có:
+) 2x

2

+y
x


2

+5= x
x

2

+y

2

+x

2

+ 1 + 4 ≥ 2xy + 2x + 4

x

( xy + x +
2x2 + y2 + 2xy + 2x +
5
⇒
≤4
= 2 2)
2
2
2
2

+ ) 6y + z + 6 = 4y + z + 2y 2 + 2 + 4 ≥ 4yz
+ 4y + 4
2y
2y
y
6y 2 + z 2 + 4yz + 4y + 2 ( yz + y +
6
4
⇒
≤
= 1)
Do đó:
x

y

2 ( xy + x +

VT
≤

2)

x

= xyz)

1)

+




y

y

xyz + 2yz +
1) +
2y
yz

1)

+

+
1

yz + y + 1

+ zx + 2z + 2
yz

2 ( yz + y +

2 ( yz + y +

= 1)


z

2 ( yz + y +

2 ( xy + x +



;y

2 ( yz + y +
+

2 ( yz + y +
1)

2 ( yz + y + 1)
1

2
Dấu “=” xảy ra x = y = 1, z = 2.
Câu 16:
[TS10 Chun Tin Hịa Bình, 2019-2020]
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x + y ≤ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

 1 1


+






x
Lời giải

y

2

1+x y

2

3


Theo AM-GM ta có:
1≥ x+y
1 ⇒ xy
≥ 2
xy ⇒ xy ≤ ≤
2

1
4

⇒


1
x
y

≥
4

Do đó:

LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC

FB TRỊNH BÌNH


12

Website: Tailieumontoan.com

1

P= 

x

+

1

2




2

1+x y

≥


y
Suy
ra:

1

2

1

= 2

+ 15.4

=

+ xy

x
y


1 + xy 15 ≥
+
2
16x
16x
y
y

xy
 P≥ 2

2

1 + xy

xy

1 + xy =
2

P≥ 2

2

1 .xy
15
+
16x
16x

y
y

2

17

2 16
Dấu “=” xảy ra khi x = y =

1

2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17
Câu 17:
[TS10 Chuyên Tiền Giang, 2019-2020]

(

)

Cho hai số dương x, y thỏa mãn 2 x3 + y3 + 6xy ( x + y − 2) =

( xy + 4)


1x


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T =


2 y

Lời giải
Ta có:

(

+

y



+ 1

x



)

2 x3 + y3 + 6xy ( x + y − 2) =

( x + y) 2 ( xy + 4)
 2 ( x + y) 3 − 12xy = ( x + y) 2 ( xy + 4)
Đặt a = x + y, b = xy ( a, b > 0) khi đó:
2a 3 − 12b = a 2 ( b + 4 ) ⇔ b ( a 2 + 12 ) = 2a 3 − 4a2
Do VT > 0 nên 2a 3 − 4a 2 > 0 ⇔ 2a 2 ( a − 2 ) > 0 ⇔ a > 2
Ta có:


T=


1x


+

y


+ xy
2
2
 1x + y
 1  a2

+ 1 =



 2
2 y x
Ta sẽ chứng minh: T5
≥
2
5

a4 +

12a2

x
y

=



 a2

− 1 =

 2 b

−

1

=

a4
+12a2 1
−

 2b 2 4a3 − 8a2 2

( a − 6) 2
a2


4a2 ( a −
3
4a
−
Thật vậy: T
≥ 3
) ≥ 0 (luôn đúng ∀a > 2 )
2 ⇔ 8a2
≥
⇔2
Dấu “=” xảy ra khi a = 6, b =
6

( x + y) 2


hay x = 3
hoặc x = 3
,y= 3
+
− 3 +
3, y = 3 −3
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của T
5
là
2
Câu 18: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u,
2019-2020]
Cho các số thực dương x, y. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu

thức:
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC

FB TRỊNH BÌNH


13

P=

x2 + y2 + 2 xy
+
y
2
x2
x+ y

Lời giải
Ta có:
x4 + 2x2 y2 +
xy = y4

+2
+

2

P = x + y2
y x2
2


x2 +
2
y

= 

 +



⇒P=

 x2 + y2


x
y

x2 +
y2

xy

2



 xy


x 2 y2

x+ y

x+
y



+ 2 +

=

xy

x+
 y

xy
+

xy
(x +
−2 =

x+
y

y


)2

+

xy

x .Theo AM – GM thì: x + y
y ≥ 2

Đặt t
=
x+y

+ xy
x+y

xy

−2

x+y
⇒t
xy ⇒ xy ≤ 1 ≤
x+y 2

≥
1⇒12
2t

Khi đó:

1
t t
P = 2 + t −2 =  + +

1
15
2 +
2 −2
16
16
t 2
t
2 t 
1
≥ 3t t 1
+ 5 .22 −2
. .
3
1
2
2
2 16t 6
1 15

 3. +

5

−2


4 4

2
Dấu “=” xảy ra khi x = y
5

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
Câu 19:
[TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020]
Với x, y là các số thực thỏa mãn 1 ≤ y ≤ 2 và xy + 2 ≥ 2y . Tìm giá trị
nhỏ nhất của
biểu thức M =

x2 + 4

y2 + 1

Lời giải.
Theo giải thiết ta có: 4xy + 8 ≥ 8y.
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 4x

2

+y

2

≥ 4xy.



Suy ra: 4x

2

(

+y

2

+ 8 ≥ 4xy + 8 ≥ 8y.

)

Do đó: 4 x 2 + 4 ≥ 8 + 8y − y

)

+1 .

(

= 4 y

2

x +4

Suy ra: x2 + 4 ≥ y2 + 1 ⇒ M = 2
y2 + 1


) ( 5y + 2 )( 2 − y ) ≥ 4 ( y

+1 +

2

2

≥ 1

Dấu “=” xảy ra khi x = 2, y = 1.
LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC

FB TRỊNH BÌNH

14
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1.
Câu 20:
[TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020]
Với x, y là cá số thực thỏa mãn ( 2 + x

)( y − 1) =

9
4 . Tìm giá trị nhỏ

x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2 + y4 − 8y3 + 24y2 − 32y

nhất của biểu thức: A =

+17.
Lời giải
Ta có:

x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2 + y4 − 8y3 + 24y2 − 32y + 17

A=


( x + 1) 4

1+

+ 1+

( y − 2) 4

Đặt a = x + 1, b = y − 2 , ta được A =

4

1+a

9

Từ giả thiết ta được: ( a + 1)( b + 1) =
4
Theo AM – GM ta có:
 2 +≥
1 4a

1
2
2

1 + b4

+

⇔ a + b + ab =
4

4a

+



2

4b



+

4 ⇒a b
1 b
≥

a 2 + b 2 ≥ 2ab

⇒

2(
1

≥ a+b−

a2+b

2

(1)

)

2

(

≥ ab

)

2

Cộng theo vế (1) v| (2) ta được:
2
3 a + b ≥ a + b + 1 5 1 3 ⇒a
2
ab −

= − = ≥
2

(

2

+ b2 1

)

2 4 2 4
2
Áp dụng bất đẳng thức Minicopski ta được:
A= 1 + a4 + 1 +
b4 ≥
12
≥



+4
 =

( 1 + 1) 2 + ( a
b2

)

2


2

+

(a

= +4

17


2
2 
Dấu “=” xảy ra khi a = 1 ⇔ x

2

1, y 5 .

+ b2

)

2

5