ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
BỘ MÔN CÔNG NGHỆ KỸ THUẬT XÂY DỰNG – GIAO THÔNG


ĐỒ ÁN 1
TÍNH TỐN SỨC BỀN VẬT LIỆU VÀ KẾT CẤU

Sinh viên thực hiện: Lê Tuấn Kiệt
Đỗ Minh Tân
Mã số sinh viên

: 180
180

Lớp

: K63 XD

Giảng viên hướng dẫn

: PGS.TS Đào Như Mai
TS Dương Tuấn Mạnh

Năm học 2021 – 2022


Bài 1:

Cho E=2,1×105 MN/m2, [σ] = 210 MN/m2,

1
 ymax 
=
 l  400



. Chọn số hiệu mặt cắt cho

dầm làm bằng thép chữ I thoả mãn điều kiện bền và điều kiện cứng. Tính chuyển vị tại
mặt cắt D.Biết P=32 KN, M=56 KN.m, q=15 KN/m , a=0.5m , b=1.2m , c=0.9m.

Bài làm
 Kiểm tra theo điều kiện bền:

-Tính các phản lực liên kết:

-Ta có:

Va + Vb − P + 2 P − 0,9q = 0
∑ M A = 0 ⇔ P.0,5 + M + 2P.1, 2 − q.0,9.(1, 2 + 0, 45) + VB .(1, 2 + 0,9) = 0
=> Va=41,75 kN ,Vb=-60,25 kN


=> Ta vẽ được biểu đồ Q,M:

-Ta có Mmax=72 kNm

W≥
-


M max
72
=
= 3, 43.10−4 m3 = 343cm3
3
[ σ ] 210.10

-Ta chọn thép hình chữ I số 27, W=371cm^3, I=5010 cm^4, S 0=210cm3, h=27cm,
b=12,5cm, t=0,98cm, d=b0=0,6cm, h0=h-2t=25,04cm.
-Xét đến trọng lượng bản thân dầm, ta có thép I số 22 có: g=31,5kg/m=0.315 kN/m.
-Ta có:


-Tương tự ta tính được các phản lực liên kết , và vẽ được biểu đồ Q và M.

Chọn mặt cắt nguy hiểm tại A có Mmax=72,04 kNm, mặt cắt tại D có Qmax=73,72 kN

σ max = −σ min =
+,

τ max

M max
72,04
=
= 194178KN / m 2 = 194, 2MN / m 2 < [ σ ] = 210MN / m 2
−6
W 232.10


Qmax .S0
73, 72.210.10−6
=
=
= 51501KN / cm 2 = 51,5MN / m 2
−2
−8
b0 .I
0, 6.10 .5010.10

⇒ τ max = 51,5MN / m 2 <
+,

|σ |
= 121, 2 MN / m 2
3


-Vẽ biểu đồ ứng suất : Vẽ ứng suất chính tại mặt cắt nguy hiểm tại gối A có
M=72,04kNm, Q=32,16 kN

+,Ứng suất pháp tại một điểm bất kỳ cách trục trung hòa một đoạn bằng y:

M
72, 04.102
σ = y=
. y = 1, 44 y ( KN / cm 2 )
I
5010
+,Moment tĩnh của bản cánh với trục trung hòa:


h t
27 − 0,98
Sc = A. y = b.t.( − ) = 12,5.0,98.(
) = 159.4cm3
2 2
2
+,Momnet tĩnh của bản bụng ở một phía của đường có tọa độ y:

Sb = bo .

ho ho
y
. − bo . y. = 0,3.(156, 7 − y 2 )
2 4
2

+,Moment tĩnh của phần diện tích mặt cắt ở một phía của đường có tung độ y:

S = Sc + Sb = 206, 4 − 0,3 y 2
+,Ứng suất tiếp ở bản cánh tính theo cơng thức:


 h2

τ = Q.( − y 2 )  / 2 I
4


τ=

+,Ứng suât tiếp trên bản bụng:

Q.S
bo .I

=>Ta được bảng sau:

=>

Số thứ tự điểm

y (cm)

σ ( KN / cm 2 )

τ ( KN / cm2 )

1
2
3
4
5
6
7
8
9

13,5
12,55
12,55

6,29
0
-6,29
-12,55
-12,55
-13,5

19,44
18,072
18,072
9,06
0
-9,06
-18,072
-18,072
-19,44

0
0,079
1,70
2,08
2,21
2,08
1,70
0,079
0

σ td = σ 2 + 4τ 2 = 18,0722 + 4.1,7 2 = 183,9( MN / m 2 ) < [ σ ] => T / m

=>Vậy ta chọn thép hình INo27 là thõa mãn điều kiện bền.

=>Biểu đồ ứng suất:


 Tính chuyển vị bằng phương pháp thơng số ban đầu:

-Ta có phương trình độ võng:

EIf x = EIfo + EIθo .x −

56.x 4 0,315.x 4
x3
( x − 0,5)3
( x −1,7)3
( x − 1,7) 4
−
− 32. + 42, 257
+ 64
− 15
2!
4!
3!
3!
3!
4!

-Theo các điều kiện biên:


56.0,52 0,315.0,54
0,53

EIf 0,5 = EIf o + EIθ o .0,5 −
−
− 32
=0
2
24
6
56.2,62 0,315.2, 64
2,63
(2,6 − 0,5)3
−
− 32.
+ 42, 257
2
24
6
6
3
4
(2, 6 − 1,7)
(2,6 − 1, 7)
+64
− 15
=0
6
24
EIf 2,6 = EIf o + EIθ o .2,6 −

fo =
=> Giải hệ phương trình ta tính được :

-Phương trình xác định chuyển vị (

fx

−40, 73
96,82
θo =
EI
EI
;

) tại mặt cắt bất kỳ của một đoạn bất kỳ là:

56.x 2 0,315.x 4
x3
( x − 0,5)3
( x − 1,7)3
( x − 1,7) 4
EIf x = −40,73 + 96,82.x −
−
− 32. + 42, 257
+ 64
− 15
2
24
6
6
6
24
fx =

=>Chuyển vị tại mặt cắt D (x=1,7m) có độ võng là :

| f x |= y = 2,74mm ≤ [y ] =
=>

l
3500
=
= 8, 75mm
400 400

28,8
= 2,74mm
EI

=>Thõa mãn

 Kiểm tra theo điều kiện cứng:

+, Ta tìm EIymax từ phương trình độ võng
+,Xét từng đoạn ta có :
•

Đoạn I:

0 ≤ x ≤ 0,5

có phương trình :

56.x 2 0,315.x 4 32.x3

EIf x = −40,73 + 96,82.x −
−
−
2
24
6
•

Đoạn II:

0,5 ≤ x ≤ 1,7

có phương trình:


56.x 2 0,315.x 4 32.x3 42, 257. ( x − 0,5 )
EIf x = −40,73 + 96,82.x −
−
−
+
2
24
6
6
•

Đoạn III:

1,7 ≤ x ≤ 2,6


3

có phương trình:

56.x 2 0,315.x 4 32.x 3 42, 257. ( x − 0,5 ) 64. ( x − 1,7 ) 15. ( x − 1,7 )
EIf x = −40,73 + 96,82.x −
−
−
+
+
−
2
24
6
6
6
24
3

3

=> Giá trị EIymax= |EIymaxI|=-40,73
-Moment quán tính của tiết diện theo điều kiện cứng:

I=

| EIymax | .n 40,73.400
=
= 2,984.10−5 m 4 = 2984cm 4
8

El
2,1.10 .2,6

=>Ta chọn thép hình INo24 thõa mãn điều kiện cứng =>Kết luận:từ điều kiện bền và cứng
ta chọn thép hình INo27 để thõa mãn cả điều kiện bền và cứng.

4


Bài 2:
-

Xác định nội lực tại mặt cắt đáy cột
Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại mặt cắt đấy cột
Vẽ lõi của mặt cắt đáy cột

Biết rằng mỗi cột có 3 lực dọc lệch tâm (Pi trên hình vẽ ký hiệu điểm đặt là ⊗); l là chiều
cao cột, γ là trọng lượng riêng của cột, q (kN/m 2) là lực phân bố đều vng góc với mặt
phẳng chứa cạnh EF. Cho a = 0.14m, b= 0.15m, l = 6m, P = 350kN, γ = 21kN/m3,
q=14kN/m2 (Hình 1)

Hình 1
Bài làm
-Xác định tọa độ trọng tâm mặt cắt đáy cột :Chọn hệ trục ban đầu (x,y) như hình vẽ như
trên ta có:

yc =

∑ F .x
∑F


o

=

70.15.7,5 + 60.42.(30 + 15) + 0,5.14.30.(10 + 15).2
≈ 33(cm)
70.15 + 60.42 + 0,5.14.30.2


- Xác định các moment quán tính chính trung tâm hệ trục xCy như hình dưới là hệ trục
qn tính chính trung tâm. Chia mặt cắt ngang cột thành 4 hình thành phần: gồm 2 hình
chữ nhật và 2 hình tam giác

3
 70.153
 14.303 1

2   42.60
2
Jx = 
+ 70.15.25,5 ÷+ 
+ 42.30.12 ÷+ 2. 
+ .14.30.82 ÷ = 1869210(cm4 )
2
 12
  12

 36



 30.143 1

15.703 60.423
Jy =
+
+ 2. 
+ .30.14.25, 67 2 ÷ = 1080522( cm 4 )
12
12
2
 36


F = 70.15 + 42.60 + 0,5.14.30.2 = 3990(cm 2 )


ix =
iy =
=>

Jx
= 21, 64(cm)
F
Jy
F

= 16, 46(cm)

-Xác định nội lực và ứng suất mặt cắt tại đáy cột:


M x = ∑ ( Pi . yi ) + q.F .

L
= −350.42 − 350.12 + 350.18 − 14.10 −4.70.600.300
2

= −30240( KN .cm)
M y = ∑ ( Pi .x i ) = (−350).(−21) + (−350).( −21) + ( −350).35 = 2450( KN .cm)

N z = 3.(−350) − 21.6.3990.10 −4 = −1100( KN )
- Xác định ứng suất tại mặt cắt đáy cột
+ Phân vùng ứng suất tại mặt cắt đáy cột do Mx và My gây ra ta có hình sau:


+ Tính ứng suất tại các điểm góc trên mặt cắt ngang theo công thức:

Điểm

Xi (cm) Yi (cm)

I
H
N
M
E
F
B
L
D


0
21
21
35
35
-35
-35
21
21

42
42
12
-18
-33
-33
-18
12
42

1100
−
3990

−30240
±
Y
1869210


2450
±
X
1080522

σ z ( KN / cm 2 )

-0.276
-0.276
-0.276
-0.276
-0.276
-0.276
-0.276
-0.276
-0.276

-0.679
-0.679
-0.194
0.291
0.534
0.534
0.291
-0.194
-0.679

0
0.048
0.048

0.080
0.080
-0.080
-0.080
-0.048
-0.048

-0.955
-0.907
-0.422
0.095
0.338
0.178
-0.065
-0.518
-1.003

Ta có tại E: )
Ta có tại D: )
- Từ hình vẽ trên và bảng kết quả tính tốn, ta thấy ngay hai điểm nguy hiểm là E và D
a. Xác định biểu đồ ứng suất pháp tại mặt cắt đáy cột:


b. Xác định điểm đặt lực dọc lệch tâm K(XK, YK)

Điểm đặt lưc lệch tâm biển diễn ở hình dưới K(; 27.49) cm


c. Xác định đường trung hịa
Phương trình đường trung hịa:


=> Ta có biểu đồ ứng suất sau:


d. Xác định lõi mặt cắt
Chọn ba đường trung hòa giả thiết: d1, d2, d3, d4, d5 như hình ta có:


-Đường d1:

-Đường d2:Xét các tam giác đồng dạng để tìm a2,b2

-Đường d3:Xét các tam giác đồng dạng để tìm a3,b3

-Đường d4:

-Đường d5:

Dùng công thức với ix = 21.64(cm) và iy = 16.46(cm) để xác định K1, K2, K3. Từ hình
trên, ta có bảng sau:
Đường trung
hịa giả thiết
d1
d2
d3
d4
d5

ai (cm)


bi (cm)

Điểm

XKi (cm)

YKi (cm)

42

K1
K2
K3
K4
K5

0
-12.9
-10.2
-7.75
0

-11.15
0
-8.22
0
14.19

21
57

35
-33

Vì mặt cắt đối xứng qua trục Y nên ta lấy thêm hai điểm đối xứng với ba điểm đặt lực dọc
lệch tâm do đường d1, d2 ,d3 ở trên, được thêm hai điểm K 6, K7 ,K8. Nối 8 điểm đó lại, ta
được lõi của mặt cắt có dạng như hình dưới:



Bài 3+4: Hệ khung siêu tĩnh
- Vẽ biểu đồ moment M của khung siêu tĩnh theo phương pháp lực và chuyển vị
- Xác định chuyển vị ngang của điểm tại I hoặc góc xoay tại K
Cho L1=8m, L2=8m, q=50 kN/m, P=100kN, M=150 kN.m
Biết E=2.1e8 kN/m2, J=84e-6 m4

Bài làm
I.
-

Phương pháp lực
Số bậc siêu tĩnh: n=3V-K=3.1-1=2
Chọn hệ cơ bản:


=>Hệ phương trình chính tắc:

 δ11M 1 + δ12 M 2 + ∆1P = 0

δ 21M 1 + δ 22 M 2 + ∆ 2 P = 0


( M ) ,( M ) ,( M )
1

-Vẽ các biểu đồ

2

0
p

:

- Xác định các hệ số của phương trình chính tắc:


δ11 = ( M 1 )( M 1 ) =

1
1 1
2  28
( 1× 8 × 8) +
 ×1 × 8 ì ì 1ữ =
EJ
2EJ 2
3 3EJ

12 = δ 21 = ( M1 )( M 2 ) =

1 1
2  16

 1 1
 × 1 × 8 × 1 ữ+
ì 1 ì 8 ì ì 1ữ =
EJ  2
3  3EJ
 2 EJ  2

2

1 1
2 ( 50 × 8 )
 × 3200 × 8 × 1 + ×
∆1 p = ( M 1 )( M ) =
ì 8 ì 1ữ
ữ
EJ 2
3
8


1 4

+
ì ( 2 × 3600 × 1 + 2 × 2000 × 0,5 + 3600 ì 0,5 + 2000 ì 1) ữ
2 EJ  6

0
p

+


1 1
2
 44800 13000 2000 59800
+
+
=
 × 2000 × 4 ì ì 0,5 ữ =
2 EJ 2
3
3EJ
3EJ
3EJ
3EJ


22 = ( M 2 )( M 2 ) =

1 1
2 
1 1
2  1 1
2  20
 × 1 × 8 ì ì 1ữ +
ì 1 ì 8 ì × 1÷+
 × 1 × 8 × × 1÷ =
EJ  2
3  2 EJ  2
3  EJ  2
3  3EJ


2
1 1
2
2 ( 50 × 8 )
1 
 × 3200 × 8 × × 1 + ×
∆ 2 p = ( M 2 )( M ) =
× 8 × × 1÷
EJ  2
3
3
8
2 ÷


1 4

+
 × ( 2 × 3600 × 1 + 2 × 2000 × 0,5 + 3600 ì 0,5 + 2000 ì1) ữ
2 EJ 6

1 1
2
 9600 13000 2000 14600
+
+
+
=
 × 2000 × 4 × × 0,5 ÷ =

2 EJ  2
3
EJ
3EJ
3EJ
EJ

0
p

- Kiểm tra kết quả tính tốn của hệ phương trình chính tắc:

(M s ) = (M1 ) + (M 2 ) + (M 3 )


28
16
44
+
=
= (M1 ) × (M s )
3EJ 3EJ 3EJ
1 1+ 2
1 1
2 44

=
ì 8 ì 1 ữ+

ì 2 × 8 × ×1÷ =

EJ  3
3  3EJ
 2 EJ  2

∑δ

1m

= δ11 + δ12 =

16
20
12
+
=
= (M 2 ) × (M s )
3EJ 2 EJ 3EJ
1 1
1  1  1
2 
2
=
× 8 × 1×  × 2 + × 1÷÷−
 × 2 × 8 × × 1÷

EJ  2
3   2 EJ  2
3 
3


∑δ

+

2m

= δ 21 + δ 22 =

1 1
2  12
 × 8 × × 1÷ =
EJ  2
3  EJ

59800 14600 103600
+
=
= (M p ) × (M s )
3EJ
EJ
3EJ

1 1
1  1  1 (50 × 82 )
2
=
× × 8 × 3200 × ì 2 + ì 1ữ+
ì 8ì 3ữ
ì
EJ 2

3  EJ  3
8
3


∑∆

kp

= ∆1 p + ∆ 2 p =

1 4
1 1
2

( 2 × 2 × 3600 + 2 ×1× 2000 + 2 × 2000 + 1× 3600 ) +
ì 1 ì 4 ì ì 2000 ữ

2 EJ  6
3
 2 EJ  2

103600
=
3EJ
+


3


3

∑∑ δ
k =1 m =1

=

Km

=

80
= (M s ) × (M s )
3EJ

1 8
1
2
2
80
1
 1 1
× × ( 2 × 2 × 2 + 2 × 1 × 1) +
×  × 2 × 8 × × 2 ÷+
× × 1× 8 × × 1 =
EJ 6
2 EJ  2
3
3
3EJ

 EJ 2

- Giải hệ phương trình chính tắc:

16
59800
 28
 3EJ M 1 + 3EJ M 2 + 3EJ = 0

 16 M + 20 M + 14600 = 0
 3EJ 1 3EJ 2
EJ




⇒  M 1 = −1629(kNm)
 M = −886(kNm)
 2

- Vẽ biểu đồ nội lực moment:

( M ) = ( M 1 ) M 1 + ( M 2 ) .M 2 + ( M p0 )
-Ta tính moment tại các thanh có bảng sau:
Đầu thanh

(M )M

MAB
MBA

MBC
MBK

1.(-1629)
1.(-1629)
0
1.(-1629)

1

1

( M ) .M
2

2

0.(-886)
1.(-886)
0
1.(-886)

(M )

Mp

0
3200
-400
3600


-1629
685
-400
1085

0
p


MKB
MKD
MED

0,5.(-1629)
0,5.(-1629)
0.(-1629)

0,5.(-886)
0,5.(-886)
-1.(-886)

2000
2000
0

742,5
742,5
886


=>Ta có biểu đồ moment (đặt người quan sát như hình):

- Kiểm tra cân bằng nút tại B:

∑M

B

= −685 − 400 + 1085 = 0

-Lập trạng thái biểu đồ trạng thái Mk=1

-Dùng cơng thức nhân biểu đồ để tính góc xoay tại K:


ϕK ( P ) = (M ) × (M K )

1 1
2
2
1
 1
× 4 × 0, 5 ×  × 1085 + ì 742,5 ữ ì 742, 5 ì 4 ì ì 0, 5 ữ

2 EJ 2
3
3
3
2


1085
1085
=
=
= 0.00021rad
6 EJ 6 × 2,1 × 108 × 4096 × 10−6
=

II.

Phương pháp chuyển vị

-Bậc siêu động: n=n1 + n2=1 + 1= 2
-Chọn hệ cơ bản: