Huong dan giai bai tap Toan trong SGK 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (238.9 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§ 1. Nguyên hàm

Bài tập 1(trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là
nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) ex và ex; b) sin 2x và sin2 x; c)

2
2

1 ex

x

 

 

  và

4
1 ex

x

 

 
  .

Có bao nhiêu cách để giải bài tập 1?
Có hai cách :

- Tính ngun hàm.
- Đạo hàm.

Giải:

a) ex và exlà nguyên hàm của nhau.
b) sin2 x là một nguyên hàm của sin 2x.

c)
4
1 ex

x

 

 

  là một nguyên hàm của

2
2

1 ex

x

 

 
  .

Bài tập 2 ( trang 100, 101 SGK Giải tích 12): Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
a) 3

( ) x x

f x

x

 


; b)

2 1

( )
x

x
f x

e




;
c) 22

();

sin.cos

fx

xx



d) f x( ) sin 5 .cos3 ; x x

e) f x( ) tan 2 x; h)

1
( )

(1 )(1 2 )
f x

x x



 

g) f x( )e3 2 x.
Giải :

a, Đưa về hàm số chứa các
lũy thừa của biến x,

F(x) =
3
5 x

5/3

+6
7x

7/6

+3
2x

2/3

+C .

2 2 2

1 4

-2 cot 2
sin .cosx xdx  sin 2xdx x  C



b, Biến đổi thành tổng các tích phân:

2

1

2

1

2

1 .

2

1 ln

2 ln 2 1

.

(ln 2 1)

x x

x

x x

x

dx

e

C

e

C

e







 









 







 





 









 









 













e, Biến đổi

2
1

( ) tan 1

cos

f x x

x

  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

hoặc

2 2 2 2

1 1 1

sin .cosx xdx sin x cos x dx

 

   

 



d, Biến đổi thành tổng:





( ) sin 5 .cos3 sin 8 sin 2 ;
2

f x  x x x x

F(x) =

−1
4 (

4cos 8x+cos 2x)+C .

( ) tan -

F x



x



C

g, Biến đổi vi phân, F(x) =

−1
2 e

3−2x
+C .

h, 13ln

|

1+x

1− x

|

+C .

hướng dẫn câu h:
1

(1+x)(1−2x)=
A

1+x+
B

1−2x
¿ A(1−2x)+B(1− x)

(1− x)(1−2x) =

(A+B)+(−2A+B)
(1− x)(1−2x)

{A+B=1

−2A+B=0⇒A=1/3; B=2/3

Bài tập 3( trang 101 SGK 
Giải tích 12): Sử dụng
phương pháp đổi biến số,
hãy tính:

9
(1 )
I 



 x dx

;





2
2 3
1

I 



x x dx

;
c)

cos.sin;
Ixxdx





d)
2

x x

dx
I

e e


 



.

Giải:

a, Đặt

u

 

1 x

. I =

1− x¿10
¿
−¿

. b, Đặt

u

 

1 x

2. I =

1+x2¿5/2+C
1

5¿ .

c, Đặt t cosx. I =

4
1

cos

4 x C

 

. d, Đặt

u e



x



1

. I = 
1
1 ex C




</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài tập 4 (trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng
phần, hãy tính:



xln 1



x x



d ; b)





2 2 1 xd ;

x  x e x



c)



xsin 2



x1 d ;



x





1 x



cos d .x x
Giải

a,Áp dụng nguyên hàm từng phần.
Đặt uln(1x)

2 2

dv d

1 1

Kq: ( 1)ln(1 )

2 4 2

x x

x

x x x C



    

c, Áp dụng nguyên hàm từng phần

u=x ,dv=sin(2x+1)dx
Kq :− x

2 cos(2x+1)+
1

4sin(2x+1)+C

b,Áp dụng nguyên hàm từng phần hai lần

2
2

2 1,

: (

1)

x
x

u x

x

dv e dx

Kq e x

C













d, Áp dụng tích phân từng phần

u=x ,dv=cos xdx

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

§ 2. Tích phân

Bài tập 1 (Bài tập 1, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau





1
2 2
3
1
2

1 x dx





; b)

2
0

sin

4 x dx


 

 
 



; c)





2
1
2
1

1 dx
x x



;
d)





2
2
0
1 ;

x x dx







2
2
1
2
1 3
;
1
x
dx
x





g)
2
2

sin 3 .cos5x xdx


 



.
Giải:
a)









1 1
2

2 2 2

3 3

1 1

2 2

1 x dx 1 x dx

 
  











1
2
5
3 3
3
1
2

1 x 3

3 9 1

5 10 4

3 

  
.
b)
2
0

sin x dx
4


 


 
 



2
0
2 2

cosx- sinx dx

2 2

 
  
 



2 2
0 0
2 2
cosxdx sinxdx
2 2
 








0
 .

c) ln 2; d)

3 ; e)

3ln 2

3 ; g) 0.

Bài tập 2 (Bài tập 2, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau

2
0

I 



 xdx

; b)

2
2
0
sin
I xdx





; c)
2
ln 2
0

1

x
x

e

I

dx

e







; d)
2
0

sin 2 .cos
I 



x xdx

Giải:
a)

2
0

I 



1 x dx

1 2

0 1

1 x dx 1 x dx





 













1 2

0 1

1 x dx 1 x dx




 





1.

1
I e ;

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

d) Ta có





2 1 1 1

sin 2 .cos sin 2 1 cos 2 sin 2 sin 4 .

2 2 4

x x x  x  x x

Bài tập 3 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

x dx
x

3 2

0 2

(1 )



; b)

x dx

2
0

1



; c)

x

e x dx

xe

1
0

(1 )
1






; d)

a

dx
a x

2 2

1




Giải:

a) Đặt t = 1 + x, A =

3; b) Đặt x = sint, B = 4



c) Đặt t = 1 + xex, C = ln(1 + e) d) Đặt x = asint, D = 6


Bài tập 4 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần,
hãy tính:

x xdx

2
0

( 1)sin







; b)

e

x

xdx

ln



; c)

x dx

1
0

ln(1 )



; d)

x

x x e dx

1
2
0

( 2 1) 

 



Giải:

a) Đặt

u x
dv sin1xdx

  




 , A = 2 b) Đặt

u x

dv x dx2
ln

 




 , B = e

1 (2 1)
9 

c) Đặt

u x

dv dxln( 1)

  




 , C = 2ln2 – 1 d) Đặt x

u x x

dv e dx

2 2 1




   





 ,D = –1.(từng phần 2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

§ 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

Bài tập 1. (trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y x y x 2,  2; b) yln ,x y 1; c) y(x 6) ,2 y6x x 2.
Giải:

a) Hoành độ giao điểm: x = –1, x = 2

S 2 x2 x dx

9
2







  

c) Hoành độ giao điểm: x = 3, x = 6

S 6 x 2 x x dx2

( 6) (6 )





  

= 9.

b) Hoành độ giao điểm: x e1 , x e
e

e

S x dx

ln 1







e

x dx x dx

1 1

(1 ln )  (1 ln )



= e e

1 2

 

Bài tập 2: (Trang 121 SGK)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

2 1

y x  , tiếp tuyến với đường này tại M



2;5



và trục Oy.

Giải :

Viết phương trình tiếp tuyến với đường này tại M



2;5



:
Phương trình tiếp tuyến:y 4x 3.

Hồnh độ giao điểm: x = 0, x = 2

2
2
0

( 1) (4 3)
S =

ò

x + - x- dx

2
2
0

4 4

x x dx

ò

- +

8
3


Bài tập 4: (Trang 121 SGK) Tính thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quay quanh trục Ox:

a) y  1 x y2, 0;

y



cos ,

x y



0,

x



0,

x





;

y

tan ,

x y

0,

x

0,

x

4 



.
Giải :

a) Tìm hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số

y

 

1 x

2 với trục Ox ?
Ta có 1 x2 0

1
x

x


  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Suy ra parabol

y

 

1 x

2 cắt trục hồnh tại hai điểm có hồnh độ lần lượt là -1; 1.
Lập cơng thức tính thể tích ?

Khi đó:

2 2
1

(1 )

V p x dx

ị

- 16

15p

=
.

b).

V 2xdx 2

cos












V 4 2 xdx

tan 1
4




  

    

 



Bài tập 5: (Trang 121 SGK) Cho tam giác vng OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.

Đặt OM = R, POM 0 3,R 0




 

  

 

 .

a) Tính thể tích khối trịn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox.
b) Tìm  sao cho thể tích đó là lớn nhất.

Viết phương trình OM, toạ độ điểm P?
(OM): y = tan.x

Tọa độ của P: P = (Rcos; 0)

a. V=

2 2

0 tan .

Rc

x dx

a

p

ò

a

3
( os -cos )
3

R
c
p

a a

b. Max V(a)=

3
2 3

R

p
.
Đặt

cos ;1

2
t     t  

  vì

0;
3

   

 

  

 , ta có  

R

V 3(t t3)
3



;

Có  

R

V' 3( 3 )t t2
3



;





  


 


t
V

t loại
1

3
' 0

1 ( ).
3

Vậy

 

3
1

0; ;1

3 2

1 2 3
27
3

CÑ R

max V maxV t V t






   
   
   

 

    

  trong ño cos 1 hay =arccos 1 .

3 3

ù  

 



 

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8></div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ôn tập chương III

Bài tập 3: (Trang 126 SGK) Tìm nguyên hàm của hàm số:

a) f x

  

 x  1 1 2

 

 x

 

1 3 ; x



b) f x( ) sin4 . cos 2 ; x 2 x
c) f x

 

11 ;x2 d)

 





3
1 .

x

f x  e 

Giải:

a) Khai triển thành tổng ta có

 

4 3 2

3 11 3 ;
2 3

F x  x  x  x  x C

b) Phân tích tích thành tổng :

1 cos 4
( ) sin 4 .

2
x

f x  x  1.sin 4 1sin 8

2 x 4 x

 

.
Ta có

1 1

( ) cos 4 cos8

8 32

F x  x x C

;
c) Phân tích thành tổng:

 

1 1 1 1 ;
1 2 1 1

f x

x x x

 

    

    

Ta có

 

1 1ln ;
2 1

x

F x C

x



 



d) Khai triển

 





3 3 2

1 3 3 1.

x x x x

f x  e  e  e  e 

Ta có

 

3 2

1 3 3 .

3 2

x x x

F x  e  e  e  x C

Bài tập 4: (Trang 126 SGK).Tính:

a/.





2 

x



sin d ;

x x

b/.



x

1 

d

x

x





; c/.

1d ;

1

x
x

e

x

e





d/.





1 d ;

sin

x



cos

x



e/.

1 d ;

1 

x



x



g/.



 



1 d ;

1 

x

2 

x



Giải:

a) Áp dụng nguyên hàm từng phần, ta được: F(x) =



x  2 cos



x  sinx C ;
b)





2 d 2 2 1d 32 2 12 21 d 2 5/ 2 4 3/ 2 2 1/ 2 ;

5 3

x x x x x x x x x x x x C

x x



 

  

         

 



.
c)



 







2
3

2 2

1 1

1d d 1 d 1 ;

1 1 2

x x x

x

x x x x

x x

e e e

e x x e e x e e x C

e e

  



       

 







2 2

1 d

1 tan

;

2

4 sin

cos

2cos

4 x

C

x

x





































</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>









3
3

1 d

1

d

2 1

2 ;

3

1 

x



x





x



x x





x



x



C





 



1 d

1 +

1 d

1 1

ln

.

1

2 3 1

2 -

3 2

x

C

x





























Bài tập 5: Tính:
a)



x

√1+x dx b)

64
3
1

1 x dx

x





; c)



0
3
2e dx

x x

; d) 2√2 .

Giải:

a) Đặt : t = √1+x⇒t2=1+x

Ta có: dx= 2tdt.

Đổi cận: x = 0 thì t = 1

x = 3 thì t = 2



0
3

x

√1+xdx=



0
2

(t2−1)2 tdt
t



2(t2−1)dt=(2
3t

3−2t

)¿02

ĐS: 8/3;

1839
14



0
3
2e dx
x x

Đặt u = x2 và dv = e3x

ta được du = 2xdx và v = 13 e3x



0
3
2

e

dx

x

=

13

x

e

3x

¿02

-

32



0
2

xe3xdx

Đặt u = x và dv = e3x

ta được du = dx và v = 13 e3x



0
3
2e dx
x x

=
1

3 x2e3x ¿0

-2

9 xe3x ¿0

+
2



0

e3xd(3x)

= 4e6
3 -

4e6

9 +
2e3x

27 ¿0

2 = 8e6

9 +
2e6

27
-2

= 272 (13e6 – 1);
d) ĐS: 2√2 .

Bài tập 6: Tính:

2
0

cos2 .sinx xdx;





1
1

2x 2 d ;x x








 



2
1

1 2 3
d ;

x x x

x
x

  

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2
2
0

1 d ;
2 3 x

x  x







2
2
0

sin x cosx d ;x







x+sinx¿2dx
¿



0
π
¿
.
Giải:
g)

x+sinx¿2dx
¿



π
¿

Ta có: I =

x+sinx¿2dx
¿



0
π
¿
=



0
π

(x2+2xsinx+sin2x)dx



π
x2dx

+ 2



π

xsin xdx
+





0
2

sin xdx

= 3

x 

0 + 2I

1 +

1
2



0

π

(1−cos 2x)dx

= π33 +2I1 +
1
2 x



0 - 1



π

cos 2 xd(2x)

= π

3 +2I1 +

π

2 - 
1

4 sin2x


0

Tính I1 =



π

xsin xdx
Đặt u = x và dv = sinxdx
ta có du = dx và v = -cosx
I1 =



π

xsin xdx = -xcosx 0 +



π

cos xdx
= π + sinx 0 = π

I =

x+sinx¿2dx
¿



0
π
¿ =
π3

3 +
5π

Đáp số

Bài 3 / ( Trang 126 , SGK ) .
a)

4 3 2

3 11

2x  3 x  x  x C

1 1

cos cos8

8 x 32 x C

  
c)
1 1
ln
2 1
x
C
x



d)
3 2
1 3
3
3 2

x x x

e  e  e  x C

Bài 4 / ( Trang 126 , SGK )

a) ( x – 2 ) cosx – sinx + C
b)

5 3 1

2 2 2

2 4

2
5x 3x  x C

1
2

x x

e  e  x C

d )

tan( )

2 x 4 C


 
e )
3 3
2 2
2 2
( 1)

3 x  3x C
Bài 5 / ( Trang 127 , SGK )

a)
8
3
b)
1839
14

Bài 6 / ( Trang 127 , SGK )

a) 8




</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

(13 1)
27 e 

d) 2 2

11ln 2
2 

1
ln 3
2



e) 1 2




Bài 7 / ( Trang 127 , SGK )

a) 2 1




4
3



CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

§ 1 Số phức

Bài 1(trang 133) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:

) 1 ; ) 2 ; ) 2 2; ) 7 .

a z  i b z  i c z d z  i

Giải:

Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là: a. 1;-π b. 2;-1 c. 2 2;0 d. 0;-7.

Bài 2(trang 133). Tìm các số thực x và y, biết:
a)



3x 2

 

 2y1



i



x1

 

 y 5 ;



i
b)



1 2 x



 i 3 5 1 3 ;



 y i





2x y

 

 2y x i







x 2y 3

 

 y2x1 .



i

Giải:

Cho phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau, ta có các hệ phương trình ẩn x, y.
a.

3 4
;
2 3

 

 

 ; b.

1 5 1 3

;

2 3

   

 

 ; c.



0;1



.

Bài 4(134). Tính z với:

a) z2i 3; b) z 2 3 ; i c) z5; d) z i 3.

Đáp số:

a. 7 b. 11 c. 5 d. 3

§ 2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

c) (4+3i) -(5-7i) = -1+10i
d) ( 2-3i) -(5-4i) = -3 + i.

Bài 2.Tính +, - với

a) = 3, = 2i b) = 1-2i, = 6i

c) = 5i, =- 7i d) = 15, =4-2i

giải

a)+ = 3+2i - = 3-2i;

b)+ = 1+4i - = 1-8i;

c)+ =-2i - = 12i;

d)+ = 19-2i - = 11+2i.

Bài 3. Thực hiện các phép tính
a) (3-2i) .(2-3i) = -13i;

b) ( -1+i)(3+7i) = -10-4i ;
c) 5(4+3i) = 20+15i;
d) ( -2-5i).4i = -8i + 20.

Bài 4.Tính i3, i4 i5

Nêu cách tính in với n là số tự nhiên tuỳ ý .
giải

i3=i2.i =-i
i4=i2.i 2=-1
i5=i4.i =i

Nếu n = 4q +r, 0  r < 4 thì in = ir

Bài 5.Tính

a) (2+3i)2=-5+12i;
b) (2+3i)3=-46+9i;

§ 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC
Bài 1 Thực hiện các phép chia sau:
a/

2
3 2

i
i


 =

4 7

13 13 i; b/

1 2

2 3

i
i



 =

2 6 2 2 3

7 7 i

 



;
c/

5
2 3

i
i

 =

15 10
13 13i

 

; d/ -2 - 5i.

Bài 2 Tìm nghịch đảo

z của số phức z biết:

a) z 1 2 ;i b) z 2 3 ; i c) z i; d) z 5 i 3.

Giải:

a/
1
1 2 i =

1 2

5 5 i; b/

1 2 3
2 9
2 3

i
i






 =

2 3

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

c/
1

1
i

i
i


 

; d/

1 5 3

25 3

5 3

i
i






 =

5 3

28 28i.
Bài 3 Thực hiện các phép tính sau:

a/ 2 (3 )(2 4 )i i  i ; b/

2 3

(1 ) (2 )
2


 

i i

i ; c/3 2 (6 )(5 ) i i i ; d/ 4-3i+

5 4
3 6

i
i


 .

Giải:

a) 2 (3 )(2 4 ) 2 (2 14 ) - 28 4i i  i  i  i   i;
b)

2 3

(1 ) (2 ) 2 ( 8 )

2 2

i i i i
i i

 



    =

16( 2 ) 32 16

5 5 5

i

 

 

;

c) 3 2 (6 )(5 ) 3 2 29 11 32 13 i i i   i   i   i;
d) 4-3i+

5 4
3 6

i
i



 = 4-3i +

(5 4 )(3 6 )
45

i i

 

= 4-3i +

39 18 219 153

45 45 i 45  45 i.
Bài 4 Giải các phưong trình sau:

a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i

(3-2i)z=3 – 2i

z =

3 2
3 2

i
i


 =1

b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z

(-1+2i)z=(2+5i)

 z=

2 5 8 9

1 2 5 5

i

i
i



 

 

(2 3 ) 5 2
4 3

3
4 3

(3 )(4 3 )
15 5

z

i i

i
z

i
i

z i i

z i

   


  



   

  

§ 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Bài 1(140) Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.

a) i 7 ; b) 2 2i ; c)2 3i ; d) 2 5i ; e) 11i.

Bài 2(140) Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 3z2 2 1 0;z  b) 7z2 3z 2 0; c) 5z2  7 11 0.z 

Đáp số:
a) 1,2

1 2

i
z  

; b) 1,2

3 47

i
z  

; c) 1,2

7 171

i
z  

Bài 3(140) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z4 z2  6 0; b) z4 7z2 10 0.

Đáp số:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 4(140) Cho a b c, , ,a0, ,z z1 2 là hai nghiệm của phương trình az2 bz c 0.

Hãy tính z z1 2 và z z1 2. theo các hệ số a b c, , .

Giải:

Phương trình có nghiệm: 1 2 ; 2 2

b i b i

z z

a a

     

 

Ta có: 1 2 ; .1 2

b c
z z z z

a a

  

Bài 5(140) Cho z a bi  là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số

thực nhận z và z làm nghiệm.
Giải:

Theo công thức nghiệm của ptb2:



x z x z









 0 x2



z z x zz



 0

Nếu z a bi  , thì phương trình bậc hai là : x2  2ax a 2 b2 0.

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

Bài tập 5. (trang 143 SGK) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số
phức z thỏa mãn điều kiện :

a) Phần thực của z bằng 1 ;
b) Phần ảo của z bằng -2 ;

c) Phần thực của z thuộc đoạn



1;2



, phần ảo của z thuộc đoạn



0;1



;
d) z 2.

Giải :

1/ Số phức z có phần thực a = 1: Là đường thẳng qua hoành độ 1 và song song với Oy.
2/ Số phức z có phần ảo b = -2: Là đường thẳng qua tung độ -2 và song song với Ox.
3/ Số phức z có phần thực a [−1,2] ,phần ảo b [0,1] : Là miền hình chữ nhật giới hạn

bởi các đường thẳng x = -1; x = 2; y = 0; y = 1.
3/ z 2: Là hình trịn tâm tại gốc tọa độ O, có R = 2.

Bài tập 6 Tìm các số thực x, y sao cho :
b) 2x + y – 1 = (x+2y – 5)i

⇔

2x+y −1=0
x+2y −5=0

⇔

¿x=−1
y=3

¿{

Bài tập 8 Tính :
b) (4-3i)+ 12+i

+i = 4- 3i +

(1+i)(2−i)

(2+i)(2−i) = 4 – 3i +
3+i

5 =
23

5 −
14

5 i

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

b) z4  8 0 .



2
2

8
8
 





z
z



4
1,2

4
3,4

8
8
 


 


z

</div>

Huong dan giai bai tap Toan trong SGK 12





2

1

2

1

2

1

1

1

.

.

2

1

ln

ln

2

ln 2 1

.

(ln 2 1)

<i>dx</i>

<i>dx</i>

<i>dx</i>

<i>e</i>

<i>e</i>

<i>e</i>

<i>C</i>

<i>e</i>

<i>e</i>

<i>e</i>

<i>e</i>

<i>C</i>

<i>e</i>







 



<sub></sub>

<sub></sub>



<sub> </sub>







 





 



<sub></sub>

<sub></sub>



<sub> </sub>









 

























( ) tan -

<i>F x</i>



<i>x</i>

<i>x</i>



<i>C</i>

|