<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Cosu = cosv _ u =  v + k2

<i>u</i>

=

<i>v</i>

+

k2π

<i>u</i>

=

<i>π − v</i>

+

k2π

sinu

=

sinv

<i>⇔</i>

¿

tanu = tanv _ u = v + k

cotu = cotv _ u = v + k

sinu

=

0

<i>⇔</i>

<i>u</i>

=

kπ

,

sinu

=

1

<i>⇔</i>

<i>u</i>

=

<i>π</i>

2

+

k2π

sinu

=

<i>−</i>

1

<i>⇔</i>

<i>u</i>

=

<i>−</i>

<i>π</i>

2

+

k2π

,

cosu

=

1

<i>⇔</i>

<i>u</i>

=

k2π

cosu

=

0

<i>⇔</i>

<i>u</i>

=

<i>π</i>

2

+

kπ

,

cosu

=

<i>−</i>

1

<i>⇔</i>

<i>u</i>

=

<i>π</i>

+

kπ

tanu = 1 _

<i>u</i>

=

<i>±</i>

<i>π</i>

4

+

kπ

; cotu = 1 

<i>u</i>

=

<i>±</i>

<i>π</i>

4

+

kπ

Pt bậc 2 đối với một hàm số

<b>lg</b>

* Daûng : asin <b>2_{x + b sinx + c = 0 .}</b>
(1)

Đặt t = sinx ,

<i>−</i>

1

<i>≤t ≤</i>

1

.
Phương trình trở thành : at2_{+ bt + c}
= 0 .

* Daûng : acos<b>2_{x + bcosx + c = 0 .}</b>
(TT )

* Dạng : atan<b>2_{x + btanx + c = 0 .(2)}</b>
Đặt t = tanx

Phương trình trở thành : at2_{+ bt + c}
= 0 .

* Daûng : acot<b>2_{x + bcotx + c = 0 . (TT)}</b>

<b>Phương trình bậc nhất đối với Sin và Cos</b>
* Dạng : asinx + bcosx = c ; a  0, b  0 .

Chia hai vế phương trình cho

_√

<i>_a</i>

2

+

<i>b</i>

2 rồi có

thể đặt

2 2

a

cos

a

b







_; 2 2

b

sin

a

b







đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

*** Chuï yï : cos(a  b) = cosa .cosb

<i>∓</i>

sina.sinb

sin(a  b) = sina.cosb  cosa.sinb

<b>Phương trình thuần nhất </b>

<b>asin2_{x + bsinx.cosx + c.cos}2_{x = 0.}</b>
<b>Hoặc</b>

<b>asin2_{x + bsinx.cosx + c.cos}2_{x = d .}</b>
<b>(3)</b>

* Giả sử cosx  0 . Chia hai vế

phương trình cho cos2_{x rồi đưa về}
PT (2).

* Kiểm tra

<i>x</i>

=

<i>π</i>

2

+

kπ

có phải là
nghiệm của phương trình ?

*

<i>x</i>

=

<i>π</i>

2

+

kπ

là nghiệm của (3) khi a
= d.

* Có thể giải (2) bằng cách dùng
công thức hạ bậc đưa về Phương
trình bậc nhất đối với sin và cos .

<b>Phương trình đối xứng , phản xứng đối </b>
<b>với Sin và Cos</b>

+ a( sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 . (4)

Đặt t = sinx + cosx =

2sin x

4

















_;

<i>−</i>

√

2

<i>≤t ≤</i>

√

2

Suy ra sinx.cosx =

<i>t</i>

2

<i>−</i>

1

2

thay vào (4) rồi tìm t ,
so sánh điều kiện của t rồi từ đó tìm nghiệm
x .

+ a( sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 . (5)
Đặt t = sinx - cosx =

√

2Sin

(

<i>x −</i>

<i>π</i>

4

)

;

<i>−</i>

√

2

<i>≤t ≤</i>

√

2

Suy ra sinx.cosx =

1

<i>−t</i>

2

2

thay vào (5) rồi tìm t ,
so sánh điều kiện của t rồi từ đó tìm nghiệm x
.

*** Chú ý : Ngồi các dạng phương trình thường gặp ở trên ta cịn thường gặp các dạng phương
trình khác như :

1/ Phổồng trỗnh daỷng tờch

<i>h</i>

1

(

<i>x</i>

)=

0

<i>h</i>

₂

(

<i>x</i>

)=

0

. . .. .. . .. .. . .. .

<i>h</i>

<i>_n</i>

(

<i>x</i>

)=

0

<i>h</i>

₁

(

<i>x</i>

)

.

<i>h</i>

₂

(

<i>x</i>

)

.. .

<i>h</i>

<i>_n</i>

(

<i>x</i>

)=

0

<i>⇔</i>

¿

2/ Phương pháp tổng bình phương :

<i>A</i>

2

+

<i>B</i>

2

=

0

<i>⇔</i>

{

<i>A</i>

=

0

<i>B</i>

=

0

3/ Phương pháp đối lập ( Chặn trên và chặn dưới hai vế ) :

{

<i>A ≥ M</i>

<i>B ≤ M</i>

<i>A</i>

=

<i>B</i>

<i>⇔</i>

{

<i>A</i>

=

<i>M</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b> BAÌI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCBAÌI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC</b>

<b>§</b>

<b>§1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN</b>

<b>Bi 1: Gii cạc phổồng trỗnh :a.</b>

Sin

(

2x

+

1

)=

3

2

. b.

Cos

(

3x

+

40

<i>o</i>

)=

<i>−</i>

√

2

2

c. tg(x
+ 15o_{) =}

√

3

<b>Bi 2: Gii caùc phổồng trỗnh :a. </b>

Sin

(

2x

<i></i>

30

0

)=

2

2

với -100

0_{< x < 120}0_{. b.}

Cos

₍

3x

₊

1

₎₌

<i>−</i>

1

√

2

với

<i>− π</i>

<

<i>x</i>

<

2π

c. tg(2x-150_{) = 1 với -180< x< 180 . d. tg(x}2_{+ 2x + 3) = tg2 .}
<b>Bài 3 : Cho phương trình : </b>

Cos

(

2x

+

3π

4

)=

Sin

(

<i>π</i>

2

+

<i>x</i>

)

a/Giải phương trình trên . b/Vẽ các ngọn cung đáp ssố trên đường trịn lượng giác .
<b>Bài 4: Giải phương trình (Cos2x + cosx).( Sinx + Sin3x) = 0 .</b>

<b>Baìi 5: Giaới caùc phổồng trỗnh :a. Sin</b>2_{2x + Cos}2_{3x = 0 . b. tg5x.tgx = 1 c.}

Sin

2

(

2x

+

3π

4

)

=

Cos

2

(

<i>x −</i>

5π

4

)

<b>MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP</b>

<b>MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP</b>
<b>I/ Phương trình bậc nhất đối với Sin và Cos.</b>

+ Daỷng phổồng trỗnh : aSinx + bCosx = c ; a  0, b  0 .

+ Điều kiện có nghiệm : a2_{+ b}2 __c2_.
<b> + Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

1/ Sinx + Cosx = 1 , 2/ 3Cos2x - 4Sin2x = 1 , 3/

_√

_5Sinx

+

2Cosx

=

4

4/ Cosx - 3Sinx = 3, 5/

_√

_{3 Cos3x}

₊

_Sin3x

₌

_√

₂

6/ 5Cos2x - 12Sin2x =13

7/ 3Sin5x + 4Cos5x = 5; 8/ Sin2x + Sin2_{2x =}

1

2

, 9/ 3Cos2x - Sin2x - Sin2x = 0.
10/

1

+

sinx

1

+

cosx

=

1

2

11/

√

2Cos8x

+

√

2 Sin8x

=

<i>−</i>

1

với

3π

8

≺

<i>x</i>

≺

7π

10

.

12/ Cho phương trình Sinx + mCosx = 1 . a. Giải phương trình với m = -

_√

₃

b/Tìm m
để phương trình có nghiệm .

13/ Tìm m để phương trình (m +1)Cosx + (m - 1)Sinx = 2m + 3 có nghiệm .
<b>II/Phương trình thuần nhất đối với Sin và Cos.</b>

+Dạng phương trình : aSin2_{x + bSinx.Cosx + c.Cos}2_{x = 0. Hoặc}
aSin2_{x + bSinx.Cosx + c.Cos}2_{x = d .(3)}
<b>+ Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

1/ Sin2_{x - 3Sinx.Cosx = -1 . 2/ Sin}2_{x + 3Sinx.Cosx + 2Cos}2_{x = 0 .} _3/

2Cos

2

<i>x</i>

+

3Sin2x

<i>−</i>

8Sin

2

<i>x</i>

=

0

4/

Sin

2

<i>x</i>

+

Sin2x

<i>−</i>

2Cos

2

<i>x</i>

=

0,5

5/

4Sin

2

<i>x</i>

+

3

√

3 Sin2x

<i>−</i>

2Cos

2

<i>x</i>

=

4

6/ Sin2x + aCos2x - Sinx.Cosx = 0

7/

_Sin

3

<i>_x</i>

+

4Sin

2

<i>x</i>

. Cosx

<i>−</i>

4Sinx. Cos

2

<i>x −</i>

Cos

3

<i>x</i>

=

0

8/

2Sin

2

<i>x</i>

+(

1

<i>−</i>

√

3

)

Sinx . Cosx

+(

1

<i>−</i>

√

3

)

Cos

2

<i>x</i>

=

1

9/

_3Sin

2

<i>x −</i>

√

3Sinx . Cosx

+

2Cos

2

<i>x</i>

=

2

10/

Sin

2

<i>x</i>

+

6Cos

2

<i>x</i>

=

13Sin2x

11/

_3Cos

2

<i>x</i>

+

2

√

3 SinxCosx

+

5Sin

2

<i>x</i>

=

2

12/

Sin

3

<i>x</i>

+

2Sin

2

<i>x</i>

.Cosx

<i>−</i>

3Cos

3

<i>x</i>

=

0

<b>III/Phương trình đối xứng đối với Sin và Cos.</b>

<b> +Dạng phương trình: a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (a,b </b>

0

)
<b>+ Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

1/ 2(Sinx + Cosx) = 4SinxCosx + 1 2/ Sin2x - 12(Sinx + Cosx) + 12 = 0 3/ Sin2x - 12(Sinx -
Cosx) + 12 = 0

4/ 3(Sinx + Cosx) = 2Sin2x 5/ Sinx - Cosx + 4SinxCosx + 1= 0 6/ 1 + Sin

_❑

3 _x
+ Cos

_❑

3 _{x =}

3

2

Sin2x
7/ Cosx +

1

Cosx

+ Sinx +

1

Sinx

=

10

3

9/ 2Sin2x - 3

√

6

|

Sinx

+

Cosx

|

+ 8 = 0
10/ Cho phương trình lượng giác: SinxCosx = 6(Sinx + Cosx + m)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

11/ Sinx + Cosx - Sin2x + 1 = 0 12/ Sin

_❑

3 _{x + Cos}

❑

3 x = 1 13/ Tgx + Cotgx = 2 14/
Tg

_❑

2 _{x + Cotg}

❑

2 x + Tgx + Cotgx = 4
<b>BAÌI TẬP ÔN TẬP</b>

+ Giải các phương trình lượng giác:

1/ 2Sin

_❑

3 _{x - Cos2x + Cosx = 0} _{2/ SinxCosx +}

_|

_Sinx

₊

_Cosx

_|

_{= 1}
3/

|

Sinx

<i>−</i>

Cosx

|

+ 4Sin2x = 1 4/ 3Cos4_{x - 4Cos}2_x.Sin2_{x + Sin}4_{x = 1.}
5/ Sin3₍

<i>x −</i>

<i>π</i>

4

) =

√

2Sinx

6/ Cos3x + Cos2x + 2Sinx - 2 = 0
7/ 4(Sin3x - Cos2x) = 5(Sinx - 1) 8/ Sin2_{3x = 4.Cos4x + 3}

9/ Sin3_{x - Cos}3_{x = 1 - Cotgx + Cos2x 10/ Cos}3_{x + Cos}2_{x - 4Cos}2

<i>x</i>

2

= 0
11/ 8Cos4_{x - 8Cos}2_{x - Cosx +1 = 0 12/ 3(Cosx - Sinx) = 1 + Cos2x - Sin2x .}

13/ (1 + Sin2x)(Cosx - Sinx) = Cosx + Sinx 14/

1

Cosx

=

4Sinx

+

6Cosx

15/ Sin2_{x(1 + Tgx) = 3Sinx(Cosx - Sinx) +3 16/}

_tg

2

<i>_x</i>

₌

1

+

cosx

cosx

(ÂN01)

17/ Sin2_{3x - Cos}2_{4x = Sin}2_{5x - Cos}2_{6x (B02). 18/}

5

(

Sinx

+

Cos3x

+

Sin3x

1

+

2Sin2x

)

=

Cos2x

+

3

(A02) 19/

Cos3x - 4Cos2x + 3Cosx - 4 = 0 (D02) 20/

Sin

2

(

<i>x</i>

2

<i>−</i>

<i>π</i>

4

)

Tg

2

<i>x −</i>

Cos

2

<i>x</i>

2

=

0

(D03)
21/

Cotgx

<i>−</i>

1

=

Cos2x

1

+

tgx

+

Sin

2

<i>x −</i>

1

2

Sin2x

(D03) 22/ Cotgx - tgx + 4Sin2x =

2

Sin2x

(B03)
23/ (2Cosx - 1)(2Sinx + Cosx) = Sin2x - Sinx (D04) 24/ 5Sinx - 2 = 3(1 - Sinx).Tg2_{x (B04) 25/ 1 +}
Sinx + Cosx + Sin2x + Cos2x = 0 (B05) 26/ Cos2_{3x.Cos2x - Cos}2_{x = 0 (A05)}

27/

Cos

4

<i>x</i>

+

Sin

4

<i>x</i>

+

Cos

(

<i>x −</i>

<i>π</i>

4

)

Sin

(

3x

<i>−</i>

<i>π</i>

4

)

<i>−</i>

3

</div>

<!--links-->