<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Những bài hình học cực khó của

tốn lớp 9

( khơng lời giải )

Trong khi đánh máy có khi có lỗi kĩ thuật nên

mọi người thông cảm nha

Bài 1 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường
trịn tâm O ( AB<AC) . Vẽ 2 đường cao AD và CE của tam
giác ABC . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M . Từ M kẻ
tiếp tuyến thứ hai đến (O) ( N là tiếp điểm ) . Vẽ CK vng
góc với AN tại K . Chứng minh : DK đi qua trung điểm của
đoạn thẳng BE

Bài 2 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên đường
trịn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC.Vẽ CH vng góc với AB
tại H , CH cắt (O) tại K . Kẻ tiếp tuyến Ax tại A của (O) .
Đường thẳng qua O vng góc với OC cắt Ax tại M . Đường
thẳng qua C vng góc với BM cắt OK tại N .Chứng minh
:KN =2ON

Bài 3 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) sao cho OA>2R. Vẽ 2 tiếp
tuyến ( B,C là tiếp điểm ) . Vẽ đường kính CD , OA cắt BC
tại H , OA cắt (O) tại G ( G thuộc cung nhỏ BC) . Gọi I là
giao điểm cùa HD và AB , M là giao điểm của BC và AD ,
IM cắt AH tại N

1/Chứng minh : N là trung điểm của AH

**2/Trên cung nhỏ CG lấy 1 điểm E bất kỳ . Gọi K là giao
điểm của AD với (O ) , CK cắt OA tại P . Chứng minh : EG
là phân giác của góc PEN

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đường thẳng EF cắt (O) tại M và N ( M thuộc cung nhỏ AB )
. Gọi I là trung điểm của BC , MI cắt (O) tại K . Chứng

minh : AK vng góc với HN

Bài 5 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R)) , vẽ tiếp tuyến AM đến (O )
với M là tiếp điểm . Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AO cắt
đường trịn (O) tại 2 điểm P và Q . Chứng minh : PQ đi qua
trung điểm của OM

Bài 6 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) vẽ tiếp tuyến MA đến (O )
với M là tiếp điểm . Vẽ đường tròn tâm M , bán kính MO cắt
đường trịn (O) tại P và Q . Chứng minh : PQ đi qua trung
điểm của OM

Lưu ý : bài 5 và bài 6 tương tự na ná giống nhau

Bài 7 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) sao cho OA>2R. Vẽ 2 tiếp
Tuyến ( B,C là tiếp điểm ) , OA cắt BC tại H . Vẽ CK vng
góc với CK vng góc với AB tại K , HK cắt BM tại I , vẽ
đường kính CD , CI cắt (O) tại E . Chứng minh : 3 điểm
A,E,D thẳng hàng

Bài 8 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) sao cho OA > 2R , vẽ 2 tiếp
tuyến ( B,C là tiếp điểm ) . Vẽ dây cung CM song song với
AB , AM cắt (O) tại N . Gọi I là trung điểm OA . Chứng
minh : Tam giác BNI vuông tại N

Bài 9 : Cho đường trịn tâm (O), đường kính AB . Trên

đường tròn lấy 1 điểm C sao cho BC>AC. Các tiếp tuyến tại
A và tại C của (O) cắt nhau tại D , DC cắt AB tại E . Qua E
kẻ đường thẳng song song với AD cắt BD và AC lần lượt tại
M và N . Đường thẳng qua M vng góc với BN cắt AE tại
I . Chứng minh : I là trung điểm của AE

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

EK vng góc với BC tại K , DK cắt (O) tại M . Vẽ dây cung
MN song song với BC . Vẽ đường kính EF.Chứng minh : 3
điểm A,F,N thẳng hàng

Bài 11 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R), vẽ 2 tiếp tuyến (B,C là
tiếp điểm ) , OA cắt BC tại H . Vẽ 1 cát tuyến ADE đến (O)
( D và C nằm ở 2 mặt phẳng bờ OA khác nhau , AD<AE ,
góc BCE > góc BCO . Vẽ BM vng góc với AE tại M , vẽ
HN vng góc với EC tại N . Đường thẳng qua M vng góc
với MN cắt OC tại I .Chứng minh : Tứ giác EIMC nội tiếp
Bài 12 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) , vẽ 2 cát tuyến ADE và
AMN đến (O ) ( AD<AE,AM<AN ) . Từng cặp tiếp tuyến tại
D và E , tại M và N cắt nhau tại P và Q . Chứng minh : PQ
vng góc với OA

Bài 13 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC). Vẽ 3
đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H , EF
cắt BC tại M . Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt
AM tại N . Chứng minh : NC đi qua trung điểm của AD
Bài 14 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên tia
đối tia AB lấy 1 điểm C( A nẳm giữa B và C ).Trên đường
thẳng vng góc với BC tại C lấy 1 điểm D bất kỳ. Từ D kẻ
tiếp tuyến DE đến (O) ( E là tiếp điểm , D và E nẳm ở cùng

mặt phẳng bờ BC ) , EC cắt (O ) tại I . Đường thẳng qua E
vng góc với OD cắt AB tại M . Chứng minh : AI là phân
giác của góc CIM

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 16 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) có 3
đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Mọi M và N lần lượt là
trung điểm của BF và CE , MN cắt BE tại P và cắt CF tại Q .
Chứng tỏ : tứ giác PDQH nội tiếp

Bài 17 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường
trịn O ( AB<AC) có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H ,
EF cắt BC tại M và cắt AD tại I, AM cắt (O) tại N . Chứng
minh : NI là phân giác của góc END

Bài 18 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) , vẽ 2 tiếp tuyến ( B,C là
tiếp điểm ) và 1 cát tuyến ADE đến (O ) sao cho AD<AE.
Đường thẳng qua C song song với AB cắt BE và BD lần lượt
tại M và N .Chứng minh : C là trung điểm của MN

Bài 19 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) , vẽ tiếp tuyến AB đến (O)
với B là tiếp điểm ) và 1 cát tuyến ADE đến (O) sao cho

AD<AE. Vẽ đường kính BM , 2 tia DM và EM cắt OA lần
lượt tại K và H . Chứng minh : O là trung điểm của HK

Bài 20 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) sao cho OA=2R , vẽ 2 tiếp
tuyến (B,C là tiếp điểm ) . Vẽ đường kính CD . Gọi E là điểm
đối xứng D qua B , OA cắt BC tại H , AD cắt (O) tại M .

Chứng tỏ : 3 điểm H,M,E thẳng hàng

Bài 21 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) , vẽ 2 tiếp tuyến ( B,C là
tiếp điểm ) , OA cắt BC tại H .Dựng hình bình hành HOBM
Vẽ đường kính CD , AD cắt (O) tại E . Chứng minh : BE
vng góc với OM

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bài 23 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có 3 đường cao
AD,BE,CF cắt nhau tại H . Gọi R là bán kính đường trịn
ngoại tiếp của tam giác ABC . Chứng minh

1/ AB.AC.BC = 2R2

DE+DF+EF

2/ AB2_+AC2_+BC2_+AH2_+BH2_+CH2_=12R2

3/ DF = BH.AC
DE AB.HC

Bài 24 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ) . Gọi
M,N,P,Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam
giác OAD , OBC , ODC , OAB . Chứng minh : Tứ giác
MNPQ nội tiếp

Bài 25 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn O có 2 đường
chéo AC và BD vng góc với nhau tại H . Trên AD lấy 1
điểm M sao cho AM=2DM và N là trung điểm của BH .
Chứng minh : MH vng góc với NC

( trích Đề thi TS lớp 10 chuyên TPHCM năm học 2012-2013)

Bài 26 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường
trịn (O) , 1 đường thẳng vng góc với OA cắt AB và AC
lần lượt tại M và N ( AM<AB,AN<AC) .Gọi I là tâm đường
tròn ngoại tiếp của tam giác AMN và E là trực tâm của tam
giác BIC . Chứng minh : 3 điểm A,I,E thẳng hàng

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài 28 : Cho đường trịn tâm O , đường kính AB . Trên

đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại
A và tại C cắt nhau tại D. Vẽ CH vng góc với AB tại H và
I là trung điểm của AH . Chứng minh : BD vng góc với IC
Bài 29 : Cho đường trịn tâm O , đường kính AB . Trên

đường trịn lấy 1 điểm C bất kỳ . Vẽ CH vng góc với AB
tại H . Đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường trịn (O) tại
P và Q .Chứng minh : PQ đi qua trung điểm của CH

1 điều thú vị : các bài toán số 5,6 đều được khai thác từ bài
toán số 29

Bài 30 :Cho đường trịn tâm (O ) , đường kính AB . Trên
đường tròn lấy 1 điểm C bất kỳ . Tiếp tuyến tại C của (O ) cắt
AB tại D .vẽ CH vng góc với AB tại H ,Chứng minh

1 + 1 = 2….

BD AD HD
BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT
Bài 31 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) có 2
đường cao BE và CF cắt nhau tại H . Đường thẳng BE và CF

cắt (O) lần lượt tại M và N . Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm I
bất kỳ , IN cắt AB tại P và IM cắt AC tại Q . Chứng minh : 3
điểm P,H,Q thẳng hàng

Bài 32 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường
trịn (O) có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G
.Đường thẳng BM và CN cắt (O) lần lươt tại D và E . Trên
cung nhỏ BC lấy 1 điểm I bất kỳ , IE cắt AB tại P và ID cắt
AC tại Q . Chứng minh : 3 điểm P,G,Q thẳng hàng

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

nhỏ BC lấy 1 điểm I bất kỳ , IF cắt AB tại P và IE cắt AC tại
Q .Chứng minh : 3 điểm P,K,Q thẳng hàng

Lưu ý : bài toán số 32 và 33 được khai thác và mở rộng từ bài
toán số 31 , một điều thú vị nữa là các bài tốn 31,32,33 có
nội dung tương đối giống nhau

Bài 34 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường
tròn (O) vẽ đường cao AD của tam giác ABC . Vẽ tia tiếp
tuyến Ax tại A của (O) .Vẽ CM vng góc với Ax tại M .
Đường thẳng qua M vng góc với DM cắt AD tại N . Gọi H
là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh : AN=DH

Bài 35 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) vẽ 2 tiếp tuyến (B,C là tiếp
điểm và 1 cát tuyến ADE đến (O) AD<AE . Từ D kẻ đường
thẳng song song với BC cắt AB tại M . Gọi I là giao điểm của
BC và DE . Chứng minh : ME đi qua trung điểm của BI

Bài 36 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) vẽ 2 tiếp tuyến ( B,C là
tiếp điểm ) và 1 cát tuyến ADE đến (O)AD<AE . Vẽ EM

vng góc với BC tại M , vẽ EN vng góc với OA tại N
.Chứng minh : MN đi qua trung điểm của DE

Bài 37 : Cho đường trịn tâm O , đường kính AB . Trên

đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC.Các tiếp tuyến tại
A và tại C của (O) cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E . Vẽ CH
vng góc với AB tại H, I là giao điểm của DH và AE . Tiếp
tuyến tại E của (O) cắt AD tại M . Chứng minh : 3 điểm

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8></div>

<!--links-->