Dạng 1. Sử

dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên
trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số bài
toán
Câu 1.

Trên trục x ' Ox cho 2 điểm A, B lần lượt có tọa độ là a, b. M là điểm thỏa mãn
uuur
uuur
MA  k MB, k �1 . Khi đó tọa độ của điểm M là:

ka  b
A. k  1

kb  a
B. k  1

a  kb
C. k  1
Lời giải

kb  a
D. k  1

Gọi x là độ của điểm M.

uuur
uuur
kb  a
MA  k MB � a  x  k  b  x  �  k  1 x  kb  a � x 

, k �1
k 1
Ta có:
Đáp án
Câu 2.

Trên trục
A. 2

B.
r
O; i

 

cho ba điểm A, B, C. Nếu biết AB  5, AC  7 thì CB bằng:
B. 2

C. 4
Lời giải

D. 3

Ta có: CB  AB  AC  5  7  2
Đáp án
Câu 3.

A.
r
O; i

Tên trục
cho hai điểm A, B lần lượt có tọa độ 1 và 5. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn
uuur uur
r
2 MA  3M B  0 là:

 

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

Lời giải
Đáp án D
uuur uuur r
uuur
uuur
2 MA  3MB  0 � 2MA  3MB � 2  x A  xM   3  xB  xM  � xM  13
Câu 4.

Trên trục x ' Ox cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 3;5; 7;9 . Mệnh đề nào sau đây
sai?
A. AB  2

B. AC  10


C. CD  16
Lời giải

Đáp án C
Ta có:
Câu 5.

CD  xD  xC  9   7   16

r
x
'
Ox
Trên trục
có vectơ đơn vị i . Mệnh đề nào sau đây sai?
uuu
r
r
x
A � OA  x A .i
A
A.
là tọa độ điểm
1

D. AB  AC  8


B. xB , xC là tọa độ của điểm B và C thì BC  xB  xC
C. AC  CB  AB

D. M là trung điểm của AB

� OM 

OA  OB
2
Lời giải

Đáp án B
Ta có BC  xB  xC
Câu 6.

Trên trục x ' Ox , cho tọa độ của A, B lần lượt là 2;3 . Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn:
OM 2  MA.MB là:

A. 6

B.

C. 6

6

D. 4

Lời giải
Đáp án C
Gọi M có tọa độ là x
Câu 7.


� x 2   2  x   3  x  � x  6

Trên trục x ' Ox cho tọa độ các điểm A, B lần lượt là a, b. Khi đó tọa độ điểm A ' đối xứng với
A qua B là:
ab
A. b  a
B. 2
C. 2a  b
D. 2b  a
Lời giải
Đáp án D

Câu 8.

A ' đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AA ' � xA '  xA  2 xB � xA '  2b  a
r
uuur
uuuu
r r
O; i
Trên trục
tìm tọa độ x của điểm M sao cho MA  2 MC  0 , với A, C có tọa độ tương ứng
là 1 và 3
5
2
2
5
x
x
x

x
3
3
5
2
A.
B.
C.
D.
Lời giải
uuur uuuu
r r
uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
MA  2MC  0 � OA  OM  2 OC  OM  0
Từ
.

 



Hay

1  x  2  3  x   0 � 3x  5 � x 

Đáp án

Câu 9.



5
3

A.
r
O; i

 

Trên trục
cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d. Gọi E, F, G, H (có tọa độ
lần lượt là e, f, g, h) theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xét các mệnh đề:
I. e  f  g  h  a  b  c  d
2


uuur uuur uuur
II. EG  EF  EH
uuur uuur r
III. AE  CF  0

Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I

B. II và III


C. I, II, III
Lời giải

D. Chỉ III

+ Áp dụng công thức tọa độ trung điểm � I đúng.
+ Lấy E làm gốc trục thì xE  e  0 � g  f  h � II đúng.

uuur uuu
r 1 uuur uuu
r
r
AE  CE  AB  CB
0
2
+
chỉ bằng khi B là trung điểm của AB nên III sai.





Đáp án B

r
O; i

 

CA

DA

DB . Khi sso mệnh đề nào sau đây là
thỏa mãn CB

Câu 10. Cho 4 điểm A, B, C, D trên trục
đúng?
2
1
1
2
1
1




A. AC AB AD
B. AB AC DA

2
1
1


C. AB AC AD
Lời giải

Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa độ của A, B, C,


2
1
1


D. AD AB AC

D. Ta có:

CA
DA
AC DA

�

�  c  b  b  d    b  c  a  d 
DB
CB DB
+ CB
� ac  bd  bc  ad  2ab  2cd   a  b   c  d   2  ad  cb 

2
1
1
2
1
1


�



�  a  b   c  d   2  ab  cd 
b

c
c

a
d

a
AB
AC
AD
+

Đáp án C
Câu 11. Trên trục

 

cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. AB.CD  AC.DB  AD.BC  0

B. AB.DB  AC.BC  AD.CD  0

C. AB. AC  AD.BC  BC .CD  0


D. BD.BC  AD. AC  CB.CA  0
Lời giải
uuu
r
uuur
uuur
O �A � x A  0, xB  AB, xC  AC , xD  AD
Chọn gốc tọa độ
Từ đáp án A:

VT  xB  xD  xC   xC  xB  xD   xD  xC  xB   0

Đáp án A

3


r

Câu 12.

 O; i 
Trên trục

cho ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là 5; 2; 4 . Khi đó tọa độ điểm M thảo
uuur uuuu
r
uuur r
2
MA


3
MC

4
MB  0 là:
mãn

10
A. 3

10
B. 9

5
C. 3

5
D. 4

Lời giải
Đáp án B

10

uuur uuuu
r
uuur r � 2  5  xM   3  4  xM   4  2  xM   0 � xM 
2 MA  3MC  4 MB  0
9


2
Câu 13. Trên trục x ' Ox cho tọa độ các điểm B, C lần lượt là m  2 và m  3m  2 . Tìm m để đoạn
thẳng BC có độ dài nhỏ nhất.
A. m  2
B. m  1
C. m  1
D. m  2

Lời giải
Đáp án C
uuur
2
BC  BC  m 2  2m  4   m  1  3 �3 m ��
. BC nhỏ nhất khi m  1  0 � m  1
Câu 14. Trên trục x ' Ox cho 4 điểm A, B, C,
D. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AC, DB,
AD, BC. Mệnh đề nào sau đây là sai?
uuur uuu
r
uu
r
uuur uuur
uur
AD

CB

2
IJ

AC

DB

2
KI
A.
B.
uuu
r uuur
uur
C. Trung điểm các đoạn IJ và KL trùng nhau
D. AB  CD  2 IK
Lời giải
Đáp án D
Ta có:
xD  x A  xB  xC  xB  xD   x A  xC   2 xJ  2 xI  2  xJ  xI 
uu
r
Là tọa độ của 2IJ nên A đúng.

Tương tự:

 xC  xA    xB  xD   2  xL  xK 

uuuuuur
là tọa độ của 2KL � B đúng.

Gọi E, F là trung điểm của IJ và KL
1

1
1
 xI  xJ    xA  xC    xD  xB 
2
4
4
1
1
1
xF   xK  xL    xA  xD    xC  xB 
� xE  xF � C đúng.
2
4
4
xE 

Vậy đáp án D sai.
Câu 15. Trên trục x ' Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là 2;1; 2 . Khi đó tọa độ điểm M nguyên

1
1
1


dương thỏa mãn MA MB MC là:
4


A. 0


B. 4

C. 2

D. 3

Lời giải
Đáp án B
Gọi tọa độ điểm M là x

�

1
1
1


�  x2  4 x  0 � x  4
2  x 1  x 2  x

Câu 16. Trên trục x ' Ox cho 4 điểm A, B, C,
2

2

2

2

2


2

2

2

2

D. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. DA .BC  DB .CA  DC . AB  BC.CA. AB  0
B. DA .BC  DB .CA  DC . AB  0
C. AB .BC  CD .DB  DB .CA  0
D. DA.BC  DB.CA  CD. AB  BC . AB  0
Lời giải
Đáp án A
Chọn D là gốc tọa độ và a, b, c lần lượt là tọa độ của A, B,

C.

Ta có:
2

2

DA .CB  DB .CA  DC 2 . AB  AB.CA. AB  0
 a2  c  b   b2  c  a   c2  b  a    c  b   a  c   b  a 
 a 2c  a 2b  b 2 a  b 2c  c 2b  c 2 a  c 2b  c 2 a  abc  c 2b  b 2a  b 2c  a 2c  c 2a  a 2b  abc  0


Dạng 2. Tọa độ vectơ

Dạng 2.1 Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để
giải tốn
Câu 17. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ
rr
uu
r uu
r
O; i, j
2
i

3
j là:
, tọa độ của véc tơ
 2;3 .
 0;1 .
 1;0  .
 3; 2  .
A.
B.
C.
D.
Lời giải






Chọn A
uu
r uu
r
2
i

3
j là:  2;3 .
Tọa độ của véc tơ

r r r
Oxy
u
Câu 18. (HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ
cho vectơ  3i  4 j .
r
Tọa độ của vectơ u là
r
r
r
r
u   3; 4 
u   3; 4 
u   3; 4 
u   3; 4 
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
5


r r r r
u  3i  4 j � u   3; 4 

.

r 1r r
r
u  i  5 j.
2
Câu 19. Trong hệ tọa độ Oxy cho
Tọa độ của vecto u là
r �1 �
r �1
�
r
u  � ;5 �
.
u  � ; 5 �
.
u   1;10  .
2

2
�
�
�
�
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B
r 1r r
r �1
�
u  i  5 j � u  � ; 5 �
2
�2
�.
Có

Câu 20.

D.

r
u   1; 10  .

uuur
M  1;1 N  4; 1
Oxy
MN

Trong hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
,
. Tính độ dài véctơ
.
A.

uuur
MN  13

.

B.

uuur
MN  5

.

C.
Lời giải

uuur
MN  29

.

D.

uuur

MN  3

.

Chọn A

uuur
uuur
2
2
MN   3; 2  � MN  3   2   13
Câu 21.

.

uuur

A  2;  1 , B  4;3
Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm
. Tọa độ của véctơ AB bằng
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB   8;  3
AB   2;  4 

AB   2; 4 
AB   6; 2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
uuu
r
uuu
r
AB   xB  x A ; yB  y A  � AB   2; 4  .

r
r r
a

8
j  3i bằng
Oxy
Câu 22. Trong hệ trục toạ độ
, toạ độ của vectơ
r
r
r

a   3;8 
a   3;  8 
a   8;3
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải

D.

r
a   8;  3

Chọn A
r
r r
r r
r
a  8 j  3i  3i  8 j � a   3;8 
Ta có
.
Câu 23.

uuur
B 1;3
C 3;1
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm 

và   . Độ dài vectơ BC bằng
A. 6 .

B. 2 5 .

C. 2 .
Lời giải

D.

Chọn B

uuur
Tính độ dài vectơ BC .
uuur
uuur
2
BC   4;  2  � BC  BC  4 2   2   20  2 5
6

. Vậy

uuur
BC  2 5

.

5.

.



Câu 24.

(Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ

A  1;3
B  0;6 
trục tọa độ Oxy , cho điểm
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB   5; 3
AB   1; 3
AB   3; 5
AB   1;3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Lời giải
Chọn D
uuur
AB   xB  xA ; yB  y A    1;3
Ta có:
.
r
r
r r r
a   2; 1 , b   3; 4 
c

a

3
b
Câu 25. Xác định tọa độ của vectơ
biết
r
r
r
c   11;11
c   11; 13
c   11;13
A.
B.
C.
Lời giải
r r r
c  a  3b   2; 1   9;12    11;11


D.

r
c   7;13

Đáp án A
r
r
r
r
r
r r r
a   2;1 , b   3; 4  , c   7; 2 
x
x

2
a
 b  3c .
Câu 26. Cho
. Tìm vectơ sao cho
r
r
r
r
x   28; 2 
x   13;5 
x   16; 4 
x   28;0 

A.
B.
C.
D.
Lời giải
r
r r r
r
r r r
x  2a  b  3c � x  2a  b  3c   28;0 
Đáp án D
r
r
r
r
a   5; 0 
a

x
.
i

y
.
j được kết quả nào sau đây?
Câu 27. Vectơ
biểu diễn dạng
r r r
r r uur
r

r r
r r
a

5
i

j
a

i

5
j
a


i 5j
a

5
i
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đáp án B
r
r

r
r
r
a

3;

2
,
b
  1; 4 


Câu 28. Xác định tọa độ vectơ c  5a  2b biết
r
r
r
c   2; 11
c   2;11
c   2;11
A.
B.
C.

D.

r
c   11; 2 

Lời giải

Đáp án D
r
c  3  3; 2   2  1; 4    11; 2 
r
r
r
a   3; 1 , b   0; 4  , c   5;3 

Câu 29. Cho
18; 0 
A. 

r
r r
r r r
. Tìm vectơ x sao cho x  a  2b  3c  0 .
8;18 
8;18 
8; 18
B. 
C. 
D. 

Lời giải
Đáp án A
7


r r
r r r

r r r r
x  a  2b  3c  0 � x  a  2b  3c   18;0 
Câu 30. Cho điểm

A.

A  2;3

ur
V1

uuuur r r
uuuur
và vectơ AM  3i  2 j .Vectơ nào trong hình là vectơ AM ?

B.

uu
r
V2

C.

uu
r
V3

D.

uu

r
V4

Lời giải
Đáp án D
uu
r r r
V4  3i  2 j
Ta có:

Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau
rr

Câu 31.

 O; i, j  , cho
(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
r
r
r r
b
  4; 2 
hai vectơ a  2i  j và
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
r
r
r
r
A. a và b cùng hướng.
B. a và b ngược hướng.

r
r
a   1; 2 
a   2;1

C.

.

Chọn
Ta

có

D.
Lời giải

.

B.
r
r r
r
r
r
a  2i  j � a   2; 1 � b  2a

r
r
� a và b ngược hướng.


ur
ur
ur �1 �
A   3; 2  , B   5; 4  , C  � ;0 �
r
uuu
r
uuur
�3 �. Tìm x thỏa mãn AB  x AC .
Câu 32. Cho
A. x  3
B. x  3
C. x  2
D. x  4
Lời giải

8


uuu
r
uuur �8 � uuur uuur
AB   8;6  ; AC  � ; 2 �� AB  3 AC
�3 �
.
Đáp án A
Câu 33. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?
r
r

r
r
a   2;3 ; b   10; 15 
u   0;5  ; v   0;8 
A.
B.
ur
r
r
ur
m   2;1 ; n   6;3
c   3; 4  ; d   6;9 
C.
D.
Lời giải

3 4 r
ur
� �c
d
6
9
Ta có:
và khơng cùng phương.
Đáp án D
Câu 34. Cho
A.

A  1;1 , B  1;3 , C  2; 0 


x

2
3

B.

uuu
r
uuur
AB

xBC
. Tìm x sao cho

x

2
3

C.

x

3
2

D.

x


3
2

Lời giải
Đáp án D
Ta có:
uuu
r
uuur
uuu
r
2 uuur
2
AB   2; 2  , BC   3; 3 � AB   BC � x  
3
3

Câu 35.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,
r
r
r r
a  (5; 2) , b  (10;6  2 x) . Tìm x để a; b cùng phương?
A. 1.
B. 1.
C. 2.
D. 2.
Lời giải

Chọn C
10 6  2 x
r r

� x 1
2
Ta có: a; b cùng phương khi và chỉ khi: 5
. Chọn đáp án

A.

Câu 36. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?
r
r
r
r
a   2;3 , b   6;9 
u   0;5  , v   0; 1
A.
B.
ur
r
r
ur
m   2;1 , b   1; 2 
c   3; 4  , d   6; 8
C.
D.
Lời giải
Đáp án C

r
r
r r
u  m2  3; 2m , v  5m  3; m 2
u
Câu 37. Cho
. Vectơ  v khi và chỉ khi m thuộc tập hợp:
2
0; 2
0; 2;3
3
A.  
B.  
C. 
D.  









Lời giải
9


Đáp án A


�m2  3  5m  3
�
�m2
�
r r
2
2
m

m
�
Theo bài ra u  v
r
r
r
r r r
u   2m  1 i   3  m  j
v
Câu 38. Cho 2 vectơ
và  2i  3 j . Tìm m để hai vectơ cùng phương.
5
11
9
8
m
m
m
m
11
5

8
9
A.
B.
C.
D.
Lời giải

2m  1 3  m
9

�m
3
8.
Để 2 vectơ cùng phương thì 2
Đáp án C
A m  1; 2  ; B  2;5  2m  ; C  m  3; 4 
Câu 39. Trong mặt phẳng Oxy, cho 
. Tìm m để A, B, C thẳng
hàng.
A. m  3
B. m  2
C. m  2
D. m  1
Lời giải

A, B, C thẳng hàng

�


3  m 3  2m

m  5 2m  1 �  3  m   2m  1   3  2m   m  5  � m  2

Đáp án B
A 3; 2  , B  7;1 , C  0;1 , D  8; 5 
Câu 40. Trong hệ trục Oxy, cho 4 điểm 
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
uuur uuur
uuur uuur
AB
,
CD
A.
đối nhau
B. AB, CD ngược hướng
uuur uuur
C. AB, CD cùng hướng D. A, B, C, D thẳng hàng
Lời giải

uuur
uuur
uuu
r
1 uuur
uuur uuur
AB   4;3 , CD   8; 6  � AB   CD
2
nên AB, CD ngược hướng

Đáp án B
r
r
r
r
a   4;  m  , v   2m  6;1
a
b
Câu 41. Cho
. Tập giá trị của m để hai vectơ và cùng phương là:
1;1
1; 2
2; 1
2;1
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Đáp án C

�4  k  2m  6 
m  1
�
�
�
�
�
r
r

r
r
m  2
�m  k
�
a cùng phương b � a  kb
Câu 42. Cho 4 điểm
hàng?

A  1; 2  , B  0;3  , C  3; 4  , D  1;8 
10

. Ba điểm nào trong bốn điểm dã cho thẳng


A. A, B, C

B. B, C, D

C. A, B, D

D. A, C, D

Lời giải
Đáp án C
Ta có:
uuur
uuur
uuu
r

uuu
r
AB   1;5  , DA   2; 10  � DA  2 AB �
A, B, D thẳng hàng.
r
r
Câu 43. Cho 2 vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
r 1r r
r 2r r
r
r r
r
r r
v  a  3b
u  a  3b
u

2
a

b
v

2
a
 9b
2
3
A.
và

B.
và
r 3r r
r
r 3r
r
r 3r
r
1r 1r
u  a  3b
v  2a  b
u  2a  b
v   a b
5
5
2 và
3
4
C.
và
D.
Lời giải
Đáp án D
r
r r
r
r r r
r
2u  4a  3b, 12v  4a  3b � u  6v
Câu 44.


(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho

A  m  1; 2  , B  2;5  2m 

và

C  m  3; 4 

. Tìm giá trị m để A, B, C thẳng hàng.

A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  3 .
Lời giải
Chọn B
uuur
uuur
AB   3  m;3  2m  , AC   2;2 
Ta có
3  m  2k
�
�m2
uuur
uuur � �
3  2m  2k
�
Do A, B, C thẳng hàng nên tồn tại số thực k sao cho AB  k AC
.


Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương
r
r r r
a   2; 1
a
Câu 45. Vectơ
biểu diễn dưới dạng  xi  y j được kết quả nào sau đây?
r r r
r r r
r
r r
r
r r
a

2
i

j
a

i

2
j
a


2

i

j
a


i2j
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có:

r
r
r r
a   2; 1 � a  2i  j

Đáp án A
11


r
r
r
r
r
r
a


(2;1),
b

(3;
4),
c
 (7; 2) . Cho biết c  ma  nb khi
Oxy
Câu 46.
Trong mặt phẳng tọa độ
cho
đó.
22
3
22
3
1
3
22
3
m ; n
m ; n
m ; n
m ; n
5
5.
5
5 . C.
5

5 .
5
5 .
A.
B.
D.

Lời giải
Chọn D
r
r
ma

nb
 (2m  3n; m  4n) .
Ta có

� 22
m
r
r
r
�
�2m  3n  7
�
5
c  ma  nb � �
��
�m  4n  2
�n  3

� 5 .
Có
Câu 47.

A  4; 2  , B  2;1 , C  0;3  , M  3; 7 
Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm
. Giả sử
uuuu
r
uuu
r
uuur
AM  x. AB  y.AC  x, y �� .
Khi đó x  y bằng
12
12

A. 5 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn A
uuuur
uuu
r
uuur
AM  7;5  AB  6; 1 , AC  4;1
,
.

uuuu
r
uuu
r
uuur
AM  x. AB  y. AC  x, y �� .
Giả sử

13
�
x
�
6x  4 y  7
�
�
10
��
.
�
�x  y  5
�y  37
� 10
Hệ phương trình
r
r
r
a

2;


1
b

0;
4
c
  3;3 




Câu 48. Trong mặt phẳng Oxy ;cho các véc tơ
;
và
. Gọi m và n là hai
r
r r
2
2
số thực sao cho c  ma  nb . Tính giá trị biểu thức P  m  n .
A.

P

225
64 .

B.

P


100
81 .

C.
Lời giải

Chọn A
Ta có

r
r
ma  nb   2m;  m  4n 

.

12

P

97
64 .

D.

P

193
64 .



� 3
m
r
r
r
�
2m  3
�
�
2
c  ma  nb � �
��

9

m

4
n

3
�
�
n
� 8 .
Khi đó

Vậy
Câu 49.


P  m2  n2 
r
a   2; 1

Cho
m2  n 2 ?

,

A. 5 .

225
64 .
r
b   3; 4 

,

r
c   4; 9 

B. 3 .

r r
r
m
n
ma


nb
 c . Tính
. Hai số thực ,
thỏa mãn
C. 4 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn A

r r
m 1
�2m  3n  4
�
r
ma  nb  c � �
� �
.
m

4
n

9
n

2
�
�

Ta có:
r
r
r
r
r
r
a   2;1 ; b   3; 4  ; c  7; 2 
c

ma

nb
Câu 50. Trong mặt phẳng Oxy, cho
. Tìm m, n để
.
22
3
1
3
22
3
22
3
m   ,n  
m  ,n  
m  ,n  
m  ,n 
5
5

5
5
5
5
5
5
A.
B.
C.
D.
Lời giải
� 22
m
r
r
r
�
2m  3n  7
�
�
5
c  ma  nb � �
��
m  4n  2
3
�
�
n
�
5

Ta có
Đáp án C
r
r
r
a   4; 2  , b   1; 1 , c   2;5 

Câu 51. Cho các vectơ
r
1r 1r
b a c
8
4
A.

r 1r 1r
b a c
8
4
B.

r
r
a
c
Phân tích vectơ và ta được:

r
1r r
b   a  4c

8
C.

r
1r 1r
b a c
8
4
D.

Lời giải
Đáp án A
1
�
m
�
1  4 m  2 n
�
�
8
��
��
1  2m  5n
1
�
�
r
r
r
m

�
4
Giả sử b  ma  nc
r
r
r
r
r
r
a   2;1 , b   3; 4  , c   7; 2 
Câu 52. Cho vectơ
. Khi đó c  ma  nc . Tính tổng m  n bằng:
A. 5
B. 3,8
C. 5
D. 3,8
Lời giải
Đáp án B
13


r
r
r
7  2m  3n
m  4, 4
�
�
c  ma  nb � �
��

� m  n  3,8
2  m  4n
n  0
�
�
uuur
A 1; 2  , B  0;3 , C  3; 4  , D  1;8 
Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 4 điểm 
. Phân tích CD
uuur
uuur
AB
qua
và AC . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur
uuur 1 uuur
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r uuur
uuur
uuu
r uuur
CD  2 AB  AC
2
A. CD  2 AB  2 AC
B. CD  2 AB  AC

C. CD  2 AB  AC
D.

Lời giải
Đáp án B
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
uuur
CD   2; 4  , AB   1;5  , AC   4; 6  , CD  x AB  y AC
uuur
uuu
r uuur
x  4 y  2
�
�x  2
��
��
� CD  2 AB  AC
5x  6 y  4
�
�y  1

Dạng 3. Tọa độ điểm

Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng

Câu 54.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho

M  x; y 
điểm
. Tìm tọa độ của điểm M 1 đối xứng với M qua trục hoành?
M  x; y 
M  x;  y 
M   x; y 
M   x;  y 
A. 1
.
B. 1
.
C. 1
.
D. 1
.
Lời giải
Chọn B

M  x;  y 
Điểm M 1 đối xứng với điểm M qua trục hồnh có tọa độ là: 1
.
Câu 55.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho

ABC biết A  2;  3 , B  4;7  , C  1;5  . Tọa độ trọng tâm G của ABC là

�7 �
�7 �
;5 �
�
� ;3 �
7;15
7;9

.
 .
A.
B. �3 �.
C.
D. �3 �.
Lời giải
Chọn D
x A  xB  xC
�
7
x

�
G
�
�
�xG 
�7 �
3
��
3 � G � ;3 �

�
�3 �
�y  y A  yB  yC
�
�yG  3
G
�
3
Do G là trọng tâm ABC nên
.
Câu 56.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho

A  2; 3 , B  4;7 
A.

 3; 2  .

. Tìm tọa độ trung điểm I của AB .
2;10 
6; 4 
B. 
.
C. 
.
14

D.


 8; 21 .


Lời giải
Chọn A
� x A  xB
x 
�
�I
2
�
y
�y  A  yB
I
2
Áp dụng công thức: I là trung điểm của đoạn thẳng AB : �
� 24
x 
3
�
�I
2
� I  3; 2 
�
�y  3  7  2
I
2
Do đó: �
.
Câu 57.


A 4;9  B  3; 7  C  x  1; y 
G x; y  6 
Cho ABC có 
,
,
. Để 
là trọng tâm ABC thì giá trị
x và y là
A. x  3, y  1 .
B. x  3, y  1 .
C. x  3, y  1 .
D. x  3, y  1 .
Lời giải

Chọn D

Ta có :

3x  4  3  x  1
�x  3
�
��
�
3 y  6  9  7  y
�y  1
�

.


A 2; 3 ; B  4; 7 
Câu 58. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 
. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
I 6; 4 
I 2;10 
I 3; 2 
I 8; 21
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải

�2  4 3  7 �
I�
;
�  3; 2 
2 �
Ta có � 2
.
Đáp án C
Câu 59.

A  2;1 B  1; 2  C  3; 2 
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có
,
,
. Tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC là
� 2 1�

G�
 ; �
3 3 �.
�
A.

� 2 2�
G�
 ; �
3 3 �.
�
B.

� 1 1�
G�
 ; �
3 3 �.
�
C.

�2 1 �
G� ; �
D. �3 3 �.

Lời giải
Chọn A
�2  1  3 1  2  2 �
� 2 1�
G�
;

 ; �
�� G �
3 �
� 3 3 �.
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là � 3

Câu 60.

A  1; 2  B  2;0 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh
,
,
C  3;1 .

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là
15


�2 �
G�
 ;1�
3 �.
�
A.

�2
�
G � ; 1�
�.
B. �3


�4 �
G�
 ;1�
3 �.
�
C.

�4
�
G � ; 1�
�.
D. �3

Lời giải
Chọn A
� 1  2  3
2
x
�
�
�
�x  
3
��
3
�
2

0


1
�y 
�
�y  1
G  x; y 
�
3
Giả sử
khi đó:
.
�2 �
G�
 ;1�
.
3
�
�
Suy ra:

Câu 61. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
tâm ABD
A.

D  8;11

B.

A  4;1 ; B  2; 4  ; C  2; 2 
D  12;11


C.
Lời giải

. Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng

D  8; 11

D.

D  8; 11

� 4  2  x
2
�
�x  8
�
3
��
� D  8; 11
�
�y  11
�2  1  4  y
D x; y 
3
Gọi 
. C là trọng tâm ABD khi đó: �
Đáp án C
Câu 62. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có
giác.

G 3; 4 
G 4; 0 
A. 
B. 

A  3;5  B  1; 2  , C  5; 2 
,
. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam

C.

G  2;3

D.

G  3;3

Lời giải
Đáp án D

�3  1  5 5  2  2 �
G �
;
�  3;3 
3
� 3
�
Ta có

A  3;-5  ,B  -3;3  ,C  -1;-2  ,D  5;-10  .

Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm
Hỏi
�1 �
G � ;-3 �
�3 �là trọng tâm của tam giác nào dưới đây?
A. ABC .

B. BCD .

C. ACD .
Lờigiải

D. ABD .

Chọn B

uuur
uuur
BC   2; 5 , BD   8; 13

Ta thấy
một tam giác.

nên chúng không cùng phương � B ,C , D là 3 đỉnh của
16


�xB  xC  xD 3 1 5 1



�
�
3
3
3
�
�yB  yC  yD  3 2 10  3
3
3
Mặt khác, ta lại có �
�1
�
G � ; 3�
�là trọng tâm của tam giác BCD
Vậy �3

D  3; 4  , E  6;1 , F  7;3
Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
lần lượt là trung
điểm các cạnh AB, BC , CA .Tính tổng tung độ ba đỉnh của tam giác ABC .
16
A. 3 .

8
B. 3 .

C. 8 .
Lời giải

D. 16 .


Chọn C
�y A  yB  2 yD  2.4  8
�
�y A  yC  2 yF  2.3  6 � 2  y A  yB  yC   8  6  2  16
�y  y  2 y  2.1  2
C
E
Ta có � B
� y A  yB  yC  8 . Chọn C.

M  2;3 , N  0; 4  , P  1; 6 
Câu 65. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có
lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ đỉnh A.
A 1;5
A 3; 7 
A 2; 7 
A 1; 10 
A.  
B. 
C. 
D. 

Lời giải
Đáp án B
�x  1  2
�x  3
��
� A  3; 7 

uuu
r uuuu
r ��
A  x; y 
y

6

1
y

7
PA

MN
�
�
Gọi
, ta có:
Câu 66.

Cho tam giác ABC . Biết trung điểm của các cạnh BC , CA , AB có tọa độ lần lượt là

M  1; 1 N  3; 2  P  0; 5 
,
,
. Khi đó tọa độ của điểm A là:
A.

 2; 2  .


B.

 5;1 .



C.
Lời giải

17

5;0

.

D.

 2; 2  .


Chọn A
Có tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm G .
r � 1 1�
�4 4 � uuuu
G � ;  � GM  �
 , �
� 3 3 �, gọi A  x; y  .
Có �3 3 �,


2
�4
x
�
�x  2
�3
3
��
��
�y  2
� 4  y  2
uuur
uuuu
r
A  2; 2 
�3
3
Có AG  2GM
. Vậy
.
M  1; 1 ; N  5; 3
Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho MNP có
và P thuộc trục Oy. Trọng
tâm G của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm P là:
P 0; 4 
P 2; 0 
P 2; 4 
P 0; 2 
A. 
B. 

C. 
D. 

Lời giải
Đáp án C
Ta có P thuộc

Oy �  0; y 

, G thuộc trục

Ox � G  x; 0 

� 1 5  0
x
�
�x  2
�
3
��
��
1  3  y
�y  4
�
0
�
3
Vì G là trọng tâm MNP
M  3; 4 
Câu 68. Trong hệ tọa độ Oxy, cho

. Gọi M 1 , M 2 làn lượt là hình chiếu vng góc của M trên
Ox, Oy. Khẳng định nào đúng?

A. OM 1  3
B. OM 2  4
uuuur uuuuu
r
uuuur uuuuu
r
OM 1  OM 2   3; 4 
OM 1  OM 2   3; 4 
C.
D.
Lời giải
Đáp án D
Ta có

M 1  3; 0  , M 2  0; 4 

uuuur uuuuu
r
uur
� OM 1  3, OM 2  4, OM 1  OM 2  2OI   3; 4 

18

, với I là trung điểm của M 1M 2


M  2; 0  ; N  2; 2  ; P  1;3

Câu 69. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA,
AB của ABC .Tọa độ điểm B là:

A.

B  1;1

B.

B  1; 1

C.
Lời giải

B  1;1

D.

B  1; 1

Ta có BPMN là hình bình hành nên

�xB  xN  xP  xM
�xB  2   1  2 �xB  1
��
��
�
�yB  2  3  0
�yB  1

�yB  yN  yP  yM
Đáp án C
Câu 70.

M  1;  1 N  5;  3
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP có
,
và P là điểm thuộc
trục Oy , trọng tâm G của tam giác MNP nằm trên trục Ox . Tọa độ điểm P là
 2; 4  .
 0; 4  .
 0; 2  .
 2; 0  .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B

P �Oy � P  0; y 

.

G �Ox � G  x; 0 

.

� 1 5  0
x

�
3
�
��
x2
 1   3  y � �
�
0
�
�
3
�y  4 .
Điểm G là trọng tâm của tam giác MNP

Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 71.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho

A  1;1 ,B  1; 3  ,C  5; 2 

. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD

là hình bình hành.
A.

 3; 0  .

B.


 5; 0  .

 7; 0  .

C.
Lời giải
19

D.

 5;2  .


Chọn A
Gọi

D  x, y 

.

uuur
uuur
AB   2; 2  DC   5  x; 2  y 
Ta có:
,
.

uuur uuur
5 x  2
�

�x  3
AB  DC � �
��
ABCD là hình bình hành nên
�2  y  2 �y  0 .
Vậy
Câu 72.

D  3; 0 

.

A  2;3 , B  0; 4  , C  5; 4 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có
.
D
Tọa độ đỉnh
là
A.

 3; 2  .

B.

 3;7  .



C.
Lời giải


7; 2

.

D.

 3; 5 .

Chọn D
Gọi

D  x; y 

Ta có:

.

uuur
uuur
AB   2;1 , DC   5  x; 4  y 

uuu
r uuur
5 x  2
�
�x  3
� AB  DC � �
��
4  y  1 �y  5 . Vậy D  3; 5 .

ABCD là hình bình hành
�
Câu 73.

A  1; 4  , B  4; 2 
Trong mặt phẳng Oxy ;cho hai điểm
. Tọa độ giao điểm của đường thẳng đi
qua hai điểm A, B với trục hoành là
A.

 9; 0  .

B.

 0;9  .

C. 
Lời giải

9;0 

.

D.

 0;  9  .

Chọn A

M  m;0 


là giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành. Khi đó; A, B, M thẳng hàng.
uuu
r
uuuu
r
AB   5;  2  , AM   m  1;  4 
Ta có:
.
Gọi

A, B, M thẳng hang

Vậy
Câu 74.

M  9; 0 

�

m  1 4

� m  9
5
2
.

.

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm


A  1;1 , B  2; 4 

. Tìm tọa độ điểm M để tứ giác OBMA là một hình bình hành.
A. M ( 3; 3) .
B. M (3; 3) .
C. M (3;3) .
D. M (3;3) .
20


Lời giải
Chọn C
Gọi

M  x; y 

uuu
r
uuuu
r
OB
(2;
4),
AM
( x  1; y  1)
. Khi đó

�x  1  2
�x  3

��
uuu
r uuuu
r ��
�y  1  4 �y  3
Tứ giác OBMA là hình bình hành khi và chỉ khi OB  AM
Vậy M (3;3)

A 2;1 ; B 0; 3  ; C  3;1
Câu 75. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm   
. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là
hình bình hành.
D 5;5 
D 5; 2 
D 5; 4 
D 1; 4 
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải

uuur uuur
�x  2  3 �x  5
AD  BC � �
��
� D  5;5 
D  x; y 
y


1

4
y

5
�
�
Gọi
. Ta có:
Đáp án A
Câu 76. (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác

ABC có A  2;1 , B  1; 2  , C  3;0  . Tứ giác ABCE là hình bình hành khi tọa độ E là cặp
số nào sau đây?
A.

 6; 1

B.

 0;1

 1;6 

C.
Lời giải

D.


 6;1

Chọn A

Gọi

E  x; y 

.

�x  2  4
�x  6
��
uuur uuur � �
�y  1  2
�y  1
Tứ giác ABCE là hình bình hành � AE  BC
Vậy
Câu 77.

E  6; 1

.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
uuur uuur uuur
mãn AE  3 AB  2 AC . Tọa độ của E là
21

A  2;5  , B  1;1 , C  3;3 


, một điểm E thỏa


A.

 3;3 .

B.

 3; 3 .

 3; 3 .

C.
Lời giải

D.

 2; 3 .

Chọn B
uuu
r
uuur
E  x; y 
AB  1; 4  AC  1; 2 
Ta có
;
. Gọi

.
�
�x  2  3  1  2.1
�x  3
�
�
��
uuur uuur uuur
�y  5  3  4   2  2 
AE  3 AB  2 AC
�y  3 � E  3; 3
A 3;1 , B  1; 4  , C  5;3
Câu 78. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 
. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình
bình hành.
D 1; 0 
D 1;0
D 0; 1
D 0;1
A. 
B.  
C. 
D.  

Lời giải
Đáp án B
uuur
uuur
AB   4;3 , DC   5  x;3  y 
Câu 79.


uuu
r uuur
5 x  4
�
�x  1
AB  DC � �
��
D x; y 
3 y  3
�
�y  0 � D  1;0 
với 
,

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Trong mặt phẳng với hệ
�2 �
G � ; 0�
M  1; 1
tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm �3 �, biết
là trung điểm của cạnh
BC . Tọa độ đỉnh A là

A.

 2; 0  .

B.

 2; 0  .


 0; 2  .

C.
Lời giải

D.

 0; 2  .

Chọn B

uuuu
r �1
�
uuuu
r
GM  � ; 1�
A  xA ; y A 
AM   1  xA ; 1  y A 
�3
�.
Gọi
. Ta tính được
,

uuuu
r
uuuu
r

1 x  1
�
�x  0
AM  3GM � � A
� �A
A  0; 2 
1  y A  3 �y A  2
�
Ta có:
. Vậy
.
Câu 80.

A  2;3 B  2;1
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
,
. Điểm C thuộc tia Ox sao cho tam giác
ABC vng tại C có tọa độ là:
22


A.

C  3;0 

.

B.

C  3;0 


C  1;0 
C.
.
Lời giải

.

D.

C  2;0 

.

Chọn C
uuur
uuur
C  x;0 
AC   x  2;  3 BC   x  2;  1
C
�
Ox
�
Ta có :
. Khi đó :
;
.
uuur uuur
uuur uuur
2

Tam giác ABC vuông tại C � AC  BC � AC.BC  0 � x  4  3  0 � x  �1 .

Vậy

Câu 81.

C  1; 0 

hoặc

C  1;0 

.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
A ( 3;3)

,

B ( - 1;- 9)

,

C ( 5;- 1)

. Gọi I là trung điểm của AB . Tìm tọa độ M sao cho

uuuu
r
1 uur

AM = - CI
2 .
A.

( 5;4) .

B.

( 1;2) .

( - 6;- 1) .

C.
Lời giải

D.

( 2;1) .

Chọn A
uur
uuuu
r
M
(
x
;
y
)
I

(1
;
3),
CI
(
4;
2),
AM
= (x - 3;y - 3).
Giả sử
. Ta có

uuuu
r
�
x - 3= 2 �
x=5
1 uur
AM = - CI � �
��
.
�
�
�
y - 3= 1 �
y=4
2
�
�
Vậy M (5;4).

Câu 82. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có
A  3;3 , B  1; 4  , C  2; 5 

�1 5 �
M�; �
A. �6 6 �

uuur uuur
uuuu
r
. Tọa độ điểm M thỏa mãn 2 MA  BC  4CM là:

� 1 5�
M�
 ; �
� 6 6�
B.

�1 5 �
M � ; �
�6 6 �
C.

�5 1 �
M � ; �
�6 6 �
D.

Lời giải
Đáp án C

1
�
xM 
�
�
2

3

x

2

1

4
x

2






M
M
�
�
�1 5 �

6
��
��
� M � ; �
�6 6 �
�y   5
�2  3  yM    5  4   4  yM  5 
uuur uuur
uuuu
r
M
�
6
Ta có 2MA  BC  4CM
Câu 83. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
M thẳng hàng.
A.

M  1;0 

A  2; 3 , B  3; 4 

B.

. Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A, B,

�5 �
M � ;0 �
C. � 3 �


M  4; 0 
23

17 �
�
M � ;0�
D. �7 �


Lời giải
Đáp án D
uuu
r
uuuu
r
M �Ox � M  x;0  , AB   1;7  , AM   m  2;3

Để A, B, M thẳng hàng

�

m2 3
17
 �m
1
7
7

A 2;1 , B 1; 3
Câu 84. Trong hệ tọa độ Oxy, cho   

. Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường chéo hình
bình hành OABC.
�1 2�
�5 1 �
�1 3 �
I�
 ; �
I�; �
I � ; �
I 2;6 
A. � 3 3 �
B. �2 2 �
C. 
D. �2 2 �

Lời giải
Đáp án D

�1 3 �
OB  I � ;  �
�2 2 �
I là trung điểm của
A  1;3 , B  4;0 

Câu 85. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
M  1;18 
M 1;18
A.
B. 


uuur uuur uuuu
r r
MA

MB

3
MC
0
. Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn

C.

M  18;1

D.

M  1; 18 

Lời giải
Đáp án D
Ta có
uuur uuur uuuu
r
�
 1  xM    4  xM   3  2  xM   0 �xM  1
�
MA  MB  3MC  0 � �
��
3  y M   0  y M   3  5  y M   0

�yM  18
�
A 2;5 ; B  1;1 ; C  3;3
Câu 86. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm 
. Tìm điểm E thuộc mặt phẳng tọa độ
uuur
uuu
r uuur
thỏa mãn AE  3 AB  2 AC ?
E 3; 3
E 3;3
E 3; 3
E 2; 3
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
uuur
uuu
r
uuur
E  x; y  � AE   x  2; y  5  , AB   1; 4  , AC   1; 2 
Gọi

uuur uuur uuur
�x  2  5
�x  3
AE  3 AB  2 AC � �
��

� E  3; 3
�y  5  8 �y  3
Đáp án C
A 2;1 ; B 6; 1
Câu 87. Trong hệ tọa độ Oxy, cho   
. Tìm điểm M trên Ox sao cho A, B, M thẳng hàng.
M  2; 0 
M  8; 0 
M  4; 0 
M  4; 0 
A.
B.
C.
D.
Lời giải
uuur
uuuu
r
M �Ox � M  x;0  , AB   4; 2  , AM   x  2; 1
24


Để A, B, M thẳng hàng

�

x2 1
 �x4
4
2


Đáp án D
A 3; 4  , B  2;1 , C  1; 2 
Câu 88. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có 
. Tìm điểm M có tung độ dương
trên đường thẳng BC sao cho S ABC  3S ABM .

A.

M  2; 2 

B.

M  3; 2 

C.

M  3; 2 

D.

M  3;3

Lời giải
M  x; y 

uuur
uuuu
r
S ABC  3S ABM � BC  3BM � BC  �3BM


Gọi
. Ta có:
uuuu
r
uuur
BM   x  2; y  1 ; BC   3;3

uuur
uuuu
r �x  1
BC  3BM � �
�y  0 (loại)
- TH1:
uuur
uuuu
r �x  3
BC  3BM � �
�y  2 (nhận) � M  3; 2 
- TH2:
Đáp án B
A 1; 1 , B  0;1 , C  3; 0 
Câu 89. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm 
. Xác định tọa độ giao điểm I của
AD và BG với D thuộc BC và 2 BD  5 DC , G là trọng tâm ABC

�5 �
I � ;1�
A. �9 �


�1 �
I � ;1�
B. �9 �

�35 �
I � ;2�
C. �9 �
Lời giải

Ta có

uuur
uuur
uuur uuur
AB   1; 2  , AC   4;1 � AB, AC

không cùng phương.

15
�
xD 
uuur
uuur
�
2
x

5
3


x
�


15 2 �
D
� D
�
�
7
2 BD  5 DC � �
��
� D� ; �
�7 7 �
�y  2
�2  yD  1  5   yD 
D
�
7
Ta có

�2 �
G � ;0 �
I x; y 
Trọng tâm �3 �. Gọi 
là giao điểm của AD và BG

25

�35 �

I � ;1�
D. �9 �