ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ

Câu 1.

Dạng 1. Các bài tốn về khái niệm véctơ
uuu
r uuur
AB = AC
Nếu
thì:
A. tam giác ABC là tam giác cân
C. A là trung điểm đoạn BC

B. tam giác ABC là tam giác đều
D. điểm B trùng với điểm C
Lời giải

Đáp án D
uuu
r uuur
AB = AC ⇒ B ≡ C
Câu 2.

Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó cặp vectơ nào
sau đây cùng hướng?
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuur

uuur
uuuu
r
uuur
uuur
MN
MN
PN
PN
NP
NM
MP
MP
A.
và
B.
và
C.
và
D.
và
Lời giải
Đáp án A

Câu 3.

Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh A, B, C?
A. 4
B. 6

C. 9
D. 12
Lời giải
uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
AB, BA, BC , CB, CA, AC.
Ta có các vectơ:
Đáp án

Câu 4.

B.

Cho hai vectơ không cùng phương

r
a

. Mệnh đề nào sau đây đúng
r
r
a
b
A. Khơng có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ và
r
r
a
b

B. Có vơ số vectơ cùng phương với cả hai vectơ và
r
r
r
a
b
0
C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ và , đó là vectơ
D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải
r
r
0
a
Vì vectơ cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ và
r
r
b
0
, đó là vectơ .
Đáp án

và

r
b

C.
1



Câu 5.

Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ khơng, cùng phương với vectơ
uuu
r
OB
có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
Lời giải

Các vectơ cùng phương với vectơ
uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
BE , EB, DC , CD, FA, AF .
Đáp án
Câu 6.

uuu
r
OB

là:

B.


Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để
A. ABCD là hình bình hành
B. ACBD là hình bình hành
C. AD và BC có cùng trung điểm
uuu
r
AB = CD
AB / / CD
D.
và

uuu
r uuur
AB = CD

Lời giải
Đáp án C
Câu 7.

Cho hình vng ABCD, câu nào sau đây là đúng?
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
AB = BC
AB = CD
AC = BD
A.

B.
C.
Lời giải

uuur uuu
r
AD = CB
D.

Đáp án D
Câu 8.

Cho vectơ
A. 1

uuur
AB

và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
B. 2
C. 0
Lời giải

uuu
r uuur
AB = CD

.
D. Vô số


Đáp án A
Câu 9.

Cho hình bình hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo. Câu nào sau đây là sai?

2


A.

uuu
r uuur
AB = CD

B.

uuur uuur
AD = BC

C.
Lời giải

uuur uuur
AO = OC

D.

uuur uuur
OD = BO


Đáp án A

Câu 10. Cho tứ giác đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Mệnh đề
nào sau đây là sai?
uuur uuuu
r
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
QP
=
MN
MN
= AC
MN = QP
MQ = NP
A.
B.
C.
D.
Lời giải

Ta có

 MN //PQ

 MN = PQ


(do cùng song song và bằng

1
AC
2

).

Do đó MNPQ là hình bình hành.
Đáp án

D.

Câu 11. Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuur
uuu
r
uuu
r
AB = BC
CA
CB
A.
B.
và
cùng hướng
uuur
uuur

uuur
uuu
r
AC
BC
AB
BA
C.
và
ngược hướng
D.
và
cùng phương
Lời giải
uuu
r uuur
BA, BC
Với ba trường hợp lần lượt A, B, C nằm giữa thì ta ln có
cùng phương.
Đáp án

D.

Câu 12. Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu và cuối là các đỉnh của
tứ giác?
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
Lời giải

Đáp án D
Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do đó có 12 cách chọn 2
điểm trong 4 điểm của tứ giác.

3


Câu 13. Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu là A và điểm cuối
là một trong các điểm đã cho:
A. 4
B. 20
C. 10
D. 12
Lời giải
Đáp án A
Câu 14. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều
D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau
Lời giải
Đáp án D
Câu 15. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối
uuur
AB
là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với
?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur

uuur uuur uuur
FO, OC , FD
FO, AC , ED
BO, OC , ED
FO, OC , ED
A.
B.
C.
D.
Lời giải

Đáp án D

Các vectơ bằng vectơ
uuur uuur uuur
FO, OC , ED

uuur
AB

là:

Câu 16. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ
uuuu
r
MN
cùng phương với
.
uuur uuu
r uuur uuu

r uuur uuu
r
uuuur uuur uuu
r uuu
r uuur
AC , CA, AP, PA, PC , CP
NM , BC , CB, PA, AP
A.
B.
uuuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
uuuur uuur uuu
r uuuur uuur uuur uuu
r
NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP
NM , BC , CA, AM , MA, PN , CP
C.
D.
Lời giải

Đáp án C
Có 3 đường thẳng song song với MN là AC, AP, PC
4


Nên có 7 vectơ
uuuur uuur uuu
r uuur uuu

r uuur uuu
r
NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP

uuur uuur
AB, BC

Câu 17. Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng. Các vectơ
cùng hướng khi và
chỉ khi:
A. Điểm B thuộc đoạn AC
B. Điểm A thuộc đoạn BC
C. Điểm C thuộc đoạn AB
D. Điểm A nằm ngoài đoạn BC
Lời giải

Đáp án A

Câu 18. Cho tam giác đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuur
uuu
r uuur
uuu
r
AB = 2a
AB = AC
AB = 2a
A.
B.
C.

Lời giải

D.

uuur
AB = AB

Đáp án C

uuu
r
AB = AB = 2a
Vì tam giác đều nên
Câu 19. Cho tam giác không cân ABC. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam
giác. M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
uuur uuuur
AH , OM
A. Tam giác ABC nhọn thì
cùng hướng.
uuur uuuur
AH , OM
B.
ln cùng hướng.
uuur uuuur
AH , OM
C.
cùng phương nhưng ngược hướng.
uuur uuuur
AH , OM
D.

có cùng giá
Lời giải

Đáp án A

5


Thật vậy khi

∆ABC

nhọn thì ta có:

 AH ⊥ BC
⇒ AH //OM

OM ⊥ BC

O, H nằm trong tam giác

uuur uuuur
⇒ AH , OM

Câu 20. Cho hình thoi tâm O, cạnh bằng a và
uuur a 3
uuu
r
AO =
OA = a

2
A.
B.

cùng hướng

µA = 60°

. Kết luận nào sau đây là đúng?
uuu
r a 2
uuu
r uuu
r
OA
=
OA = OB
2
C.
D.
Lời giải

Đáp án A

Vì

µA = 60° ⇒ ∆ABC

⇒ AO =
đều


uuur a 3
a 3
⇒ AO =
2
2

uuur uuur
MP = PN

Câu 21. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết
Chọn câu đúng.
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
AC = BD
AC = BC
AD = BC
AD = BD
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đáp án C
6

.



1
1
DC PN / / AB, PN = AB
MP = PN
2
2
Ta có:
,
.Mà
uuu
r uuur
uuur uuur
⇒ AB = DC ⇒ ABCD
⇒ AD = BC
là hình bình hành
MP / / DC , MP =

Câu 22. Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuu
r uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
HA = CD
AD = CH
HA = CD

DA = HC
A.
và
B.
và
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
HA = CD
AD = HC
AD = HC
OB = OD
C.
và
D.
và
Lời giải
uuu
r uuur
⇒ OB = DO
Ta có BD là đường kính
.

AH ⊥ BC , DC ⊥ BC ⇒ AH / / DC

Ta lại có


CH ⊥ AB, DA ⊥ AB ⇒ CH / / DA

Từ (1) và (2)
Đáp án
Câu 23. Cho

(1)

∆ABC

⇒

(2)

tứ giác HADC là hình bình hành

uuur uuur uuur uuur
⇒ HA = CD; AD = HC

.

C.
với điểm M nằm trong tam giác. Gọi

A ', B ', C '

lần lượt là trung điểm của BC, CA,
A ', B ', C '
AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua
. Câu nào sau đây đúng?

uuur uuur
uuur uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
QB = NC
AC = QN
AM = PC
AM = PC
A.
và
B.
và
uuur uuur
uuu
r uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
AP = QN
AB = CN
AB ' = BN
MN = BC
C.
và
D.
và
Lời giải

uuuu
r uuur
⇒ AM = PC
AMCP
Ta có
là hình bình hành
Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành

⇒ NC = BM = QA
⇒ AQNC

là hình bình hành

uuur uuur
⇒ AC = QN

.

7


Đáp án

B.

Câu 24. Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm đối xứng
với B qua O. Câu nào sau đây đúng?
uuur uuur
uuu
r uuur

uuur uuur
uuur uuur
AH = DC
AB = DC
AD = BC
AO = AH
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đáp án A

Ta có thể chỉ ra được

ADCH

là hình bình hành

uuur uuur
⇒ AH = DC

( O)

Câu 25. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài
, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới
mệnh đề:
uuur uuur
uuu
r uuur

uuu
r
uuur
BO = CO
AB = AC
OB = −OC
(I)
(II)
(III)

( O)

. Xét

Mệnh đề đúng là:
A. Chỉ (I)

B. (I) và (III)

C. (I), (II), (III)
Lời giải

D. Chỉ (III)

Đáp án D

uuur uuur
OB = OC = R ⇒ BO = CO
Ta có:
Câu 26. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8

điểm trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ. Tìm mệnh đề sai?
8


A. Có 2 vectơ bằng
uuu
r
OP

uuu
r
PR

B. Có 4 vectơ bằng

uuur
AR

C. Có 2 vectơ bằng

uuur
BO

D. Có 5 vectơ bằng

Lời giải
Đáp án D

uuur uuur uuur
PQ = AO = OC


Ta có:
uuur uuur uuur uuur uuur uuuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur
AR = RQ = PO = BQ = QC , BO = OD = PR, OP = RA = DR = CQ = QB
Câu 27. Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C
uuuu
r
MN
qua D. Hãy tính độ dài của vectơ
.
uuuu
r a 15
uuuu
r a 5
uuuu
r a 13
uuuu
r a 5
MN =
MN =
MN =
MN =
2
3
2
4
A.

B.
C.
D.
Lời giải

Đáp án C

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vng MAD ta có:
2

a
DM = AM + AD =  ÷ + a 2
2
2
5a
=
4
2

⇒ DM =

2

2

a 5
2

Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P.
9



PM = PA + AM = a +
Khi đó tứ giác ADNP là hình vng và

a 3a
=
2 2

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vng NPM ta có:
2

 3a 
MN = NP + PM = a +  ÷
 2 
2
13a
=
4
a 13
⇒ MN =
2
2

Suy ra

2

2


2

uuuu
r
a 13
MN = MN =
2

Câu 28. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O
là giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD
tương ứng là I, J. Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuuu
r uuur
uur uuu
r
uur
uuu
r
MP
=
NQ
MN
= PQ
OI = OJ
OI = −OJ
A.
B.
C.
D.
Lời giải

Đáp án D

Ta có: MNPQ là hình bình hành

uuuu
r uuur
⇒ MN = QP

Ta có:
uur uuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuur uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur uuur
OI + OJ = OA + OC + OD + OB = OA + OB + OC + OD
2
2
2
2
uuuu
r uuur r
= OM + ON = 0
uur
uuu
r
⇒ OI = −OJ

(

)


(

)

(

)

(

)

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ
Câu 29. Cho hình bình hành tâm O. Kết quả nào sau đây là đúng?
uuu
r uuu
r uuu
r
uuur uuu
r uuu
r
uuu
r uuur uuur
AB = OA − AB
CO − OB = BA
AB − AD = AC
A.
B.
C.
10


D.

uuur uuur uuu
r
AO + OD = CB


Lời giải

Đáp án B

uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
CO − OB = CO + OD = CD = BA

Câu 30. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm đẳng
thức sai:
uuuu
r uuur uuur
uuuu
r uuur uuu
r uuur
AM + AN = AC
AM + AN = AB + AD
A.
B.
uuuu
r uuur uuuu

r uuur
uuuu
r uuur uuur
AM + AN = MC + NC
AM + AN = DB
C.
D.
Lời giải
uuuu
r uuur uuur
⇒ AM + AN = AC ⇒
+ Tứ giác AMCN là hình bình hành
A đúng.
uuu
r uuur uuur uuuu
r uuur
⇒ AB + AD = AC = AM + AN ⇒
+ ABCD là hình bình hành
B đúng.
uuuur uuur uuur uuuu
r uuuur uuur uuuu
r uuur
AM = NC , AN = MC ⇒ AM + AN = MC + NC ⇒ C
+
đúng.
Đáp án

D.

∆ABC , D, E , F

Câu 31. Cho
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây là
đúng?
uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
AD + BE + CF = AB + AC + BC
AD + BE + CF = AF + CE + BD
A.
B.
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
AD + BE + CF = AE + BF + CD
AD + BE + CF = BA + BC + AC
C.
D.
Lời giải
Đáp án C

11


uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuu

r uuur uuur
AD + BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur
= AE + BF + CD + ED + DF + FE = AE + BF + CD

(

)

Câu 32. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kì trên mặt phẳng. Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau:
uuu
r uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
AB + CD = AD + CB
AB + CD + EA = ED + CB
A.
B.
uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur r
AB + CD + EF + CA = CB + ED + CF

BA + CB + DC + BD = 0
C.
D.
Lời giải
Đáp án D
Ta có:
uuu
r uuu
r
uuur uuur r
uur uuu
r uuu
r r
BA + CB + BD + DC = 0 ⇔ u
BC + CA = BA = 0 ⇔ B ≡ A

(

) (

)

. Vì A, B bất kì

⇒D

sai.

∆ABC
Câu 33. Cho

, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Với O là điểm
bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uuur
uuuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuu
r uuur uuuu
r uuur uuu
r
OA + OB + OC = 2 OM + ON + OP
OA + OB + OC = OM + ON + OP
A.
B.
uuu
r uuur uuur uuuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
uuuur uuur uuur
2 OA + OB + OC = OM + ON + OP
2 OA + OB + OC = 3 OM + ON + OP
C.
D.
Lời giải

(


(

)

)

(

) (

Đáp án B

uuu
r uuu
r uuur
= OA + OB + OC

VT
uuuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur
= OM + MA + ON + NB + OP + PC

uuur uuuu
r uuur
NB = NM + NP

Mà
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuu

r uuur r
⇒ MA + NB + PC = MA + NM + NP + PC = NA + NC = 0 ⇒

VT

uuuu
r uuur uuu
r
= OM + ON + OP

Câu 34. Cho 4 điểm A, B, C, D. Câu nào sau đây đúng?
uuu
r uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuu
r
AB + CD = AD + CB
AB + BC + CD = DA
A.
B.
uuu
r uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuu
r uuur
AB + BC = CD + DA
AB + AD = CB + CD
C.

D.
Lời giải
12

)


Đáp án A

VT

uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur = AD + CB + DB + BD = AD + DB = VP
= AB + CD = AD + DB + CB + BD

(

)

G'
∆ABC
∆A ' B ' C '
Câu 35. Cho hai tam giác
và
có trọng tâm lần lượt là G và
. Đẳng thức nào sau đây
đúng?

uuuur uuuur uuuur
uuuur
uuuu
r uuuu
r uuur
uuuur
A ' A + B ' B + C ' C = 3GG '
AB ' + BC ' + CA ' = 3GG '
A.
B.
uuuu
r uuur uuur
uuuur
uuur uuur uuuu
r
uuuur
AC ' + BA ' + CB ' = 3GG '
AA ' + BB ' + CC ' = 3GG '
C.
D.
Lời giải

Đáp án D
uuur uuur uuuu
r uuur uuuur uuuuu
r uuur uuuu
r uuuuu
r uuur uuuur uuuuur
uuuur
AA ' + BB ' + CC ' = AG + GG ' + G ' A ' + BG + GG ' + G ' B ' + CG + GG ' + G ' C ' = 3GG '

Câu 36. Cho 5 điểm A, B C, D, E. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuur uuur uuu
r 1 uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur
AB
+
CD
+
EA
=
CB
+ ED
AB + CD + EA = 2 CB + ED
2
A.
B.
uuur uuur uuu
r 3 uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
AB + CD + EA = CB + ED
AB + CD + EA = CB + ED
2

C.
D.
Lời giải

(

)

(

)

(

)

Đáp án D
uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
AB + CD + EA = AC + CB + CD + ED + DA ' = CB + ED + AC + CD + DA
uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur
= CB + ED + AD + DA = CB + ED

(


Câu 37. Cho

(

)

)

(

)

(

)

∆ABC

và một điểm M tùy ý. Chọn hệ thức đúng?
uuur uuur uuuu
r uuur
uuur
uuur uuur uuuu
r
uuur uuur
2 MA + MB − 3MC = AC + 2 BC
2 MA + MB − 3MC = 2 AC + BC
A.
B.

uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuu
r
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuu
r
2 MA + MB − 3MC = 2CA + CB
2 MA + MB − 3MC = 2CB − CA
C.
D.
Lời giải

Đáp án C
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
uuu
r uuuu
r uuu
r uuuu
r
uuu
r uuu
r
2 MA + MB − 3MC = 2 MC + 2CA + MC + CB − 3MC = 2CA + CB

Câu 38. Cho hình chữ nhật ABCD, I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chọn đẳng thức đúng.
13


A.

uur uuur
uuur
AI + AK = 2 AC

B.

uur uuur uuu
r uuur
AI + AK = AB + AD

C.
Lời giải

uur uuur uur
AI + AK = IK

D.

uur uuur 3 uuur
AI + AK = AC
2

Đáp án D


uur uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur uuur
uuur 1 uuur uuur 3 uuur
AI + AK = AB + AC + AD + AC = AC + AB + AD = AC
2
2
2
2

(

) (

)

(

)

A1 , B1 , C1
∆ABC
Câu 39. Cho
có trọng tâm G. Gọi
lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chọn đẳng
thức sai.
uuur uuur uuuu
r r
uuur uuur uuuu
r r
uuur

uuuu
r
uuur uuur uuur r
GA1 + GB1 + GC1 = 0
AA
+
BB
+
CC
=
0
GC
=
2
GC
AG + BG + CG = 0
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
Lời giải

Đáp án D

Ta có:


uuur
uuuu
r
GC = 2C1G ⇒ D

sai. Nhận xét:

∆ABC

và

∆A1 B1C1

cùng trọng tâm.

Câu 40. Cho 4 điểm M, N, P, Q bất kì. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r uuur uuuu
r
PQ + NP = MQ + MN
NP + MN = QP + MQ
A.
B.
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
uuuur uuur uuur uuuu

r
MN + PQ = NP + MQ
NM + QP = NP + MQ
C.
D.
Lời giải

Đáp án B
Ta có:
uuur uuuu
r uuur uuur uuuu
r uuur uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r
NP + MN = NQ + QP + MQ + QN = QP + MQ + NQ + QN = QP + MQ = VP

(

14

)


Câu 41. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
uuu
r uuur uuur uuu
r r
uuu
r uuu
r uuur uuur r

AB + DF + BD + FA = 0
BE − CE + CF − BF = 0
A.
B.
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
AD + BE + CF = AE + BF + CD
FD + BE + AC = BD + AE + CF
C.
D.
Lời giải
uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r r
AB + DF + BD + FA = AB + BD + DF + FA = AA = 0 ⇒ A
+ Ta có:
đúng.
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuu
r r
BE − CE + CF − BF = BC + CB = 0 ⇒ B
+
đúng.
uuur uuu

r uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur
AD + BE + CF = AE + BF + CD ⇔ AD + DC + CF = AE + EB + BF ⇔ AF = AF
+

⇒

+

C đúng.
uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur r
uuur r
FD + DB + BE + EA + AC + FC = 0 ⇔ 2 FC = 0 ⇔ F ≡ C

⇒

(mâu thuẫn giả thiết)

D sai.

Đáp án

D.

∆ABC
Câu 42. Cho

với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào
sau đây là đúng?
uuur 3 uuur
uuur 1 uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
OH = OG
OG = GH
HO = 3OG
2GO = −3OH
2
2
A.
B.
C.
D.
Lời giải
uuu
r uuu
r uuur r
uuu
r uuu
r uuur
uuur
GA + GB + GC = 0 ⇒ OA + OB + OC = 3OG
Ta có
(1)


Gọi I là trung điểm BC,

A'

đối xứng với A qua O.

HBA ' C
Dễ thấy
là hình bình hành
uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuur uuu
r uuuu
r
uuur
⇔ HB + HC = HA ' ⇔ HA + HB + HC = HA + HA ' = 2 HO

uuur uuu
r uuu
r uuur
uuur
uuur uuu
r uuu
r uuur
⇔ 3HO + OA + OB + OC = 2 HO ⇔ OH = OA + OB + OC

Từ (1) và (2)
Đáp án

(2)


uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur
uuur
uuur 1 uuur
⇒ OH = 3OG ⇔ OG + GH = 3OG ⇔ GH = 2OG ⇔ OG = GH
2

.

C.

Câu 43. Cho 4 điểm A, B, C,D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là
sai?
15


A.

uuu
r uuur
uu
r
AB + CD = 2 IJ

B.

uuur uuur
uu

r
AC + BD = 2 IJ

uuur uuur
uu
r
AD + BC = 2 IJ

C.
Lời giải
uuur uuur uur uu
r uuu
r uur uu
r uuu
r
AC + BD = AI + IJ + JC + BI + IJ + JD

D.

uu
r uuur uuu
r r
2 IJ + DB + CA = 0

+ B đúng vì
uu
r uur uur
uuu
r uuu
r

uu
r
= 2 IJ + AI + BI + JC + JD = 2 IJ

(

+ C đúng vì
+ D đúng vì
Đáp án

) (

)

uuur uuur uur uu
r uuu
r uur uu
r uuu
r
uu
r
AD + BC = AI + IJ + JD + BI + IJ + JC = 2IJ
uuur uuur
uu
r
uu
r uuu
r uuur r
AC + BD = 2 IJ ⇔ 2 IJ + CA + DB = 0


A.

∆ABC
Câu 44. Cho
, M là một điểm trên cạnh BC. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuuu
r MC uuur MB uuur
uuuu
r MA uuur MB uuur
AM =
. AB +
. AC
BM =
. AC +
.BC
BC
BC
AB
AB
A.
B.
uuuu
r MB uuur MA uuur
uuuu
r MC uuur MB uuur
3CM =
. AB +
. AC
2 AM =
. AB +

. AC
AC
AB
BC
BC
C.
D.
Lời giải

Kẻ

MN / / AC , N ∈ AB

.

uuur AN uuur MC uuur uuuur NM uuur MB uuur
AN =
. AB =
. AB NM =
. AC =
. AC
AB
BC
AC
BC
Áp dụng định lí Ta-lét ta có
.
uuuu
r uuur uuuur MC uuur MB uuur
⇒ AM = AN + NM =

. AB +
. AC
BC
BC
Đáp án

.

A.

∆ABC
Câu 45. Cho
, AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Với O
là điểm bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r uuur uuur
uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
2
OA
+
OB
+
OC
=
3
OD
+ OE + OF

OA + OB + OC = OD + OE + OF
A.
B.
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur uuur
OA + OB + OC = 2 OD + OE + OF
OA + OB + OC = 3 OD + OE + OF
C.
D.
Lời giải
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r
uuuu
r
uuur
2OA + OB + OC = 2OA + 2OM = 4OD
Ta có:
(1)
uuu
r
uuu

r uuur
uuur
OA + 2OB + OC = 4OE
Tương tự
(2)

(

(

)

) (
(

16

)

)


uuu
r uuu
r
uuur
uuur
OA + OB + 2OC = 4OF

(3)


Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A.
Đáp án

A.

Câu 46. Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba
cạnh lần lượt là D, E, F. Hệ thức nào sau đây là đúng?
uuuu
r uuur uuur 1 uuuu
r
uuuu
r uuur uuur 2 uuuu
r
MD + ME + MF = MO
MD + ME + MF = MO
2
3
A.
B.
uuuu
r uuur uuur 3 uuuu
r
uuuu
r uuur uuur 3 uuuu
r
MD + ME + MF = MO
MD + ME + MF = MO
4
2

C.
D.
Lời giải
A1 B1 / / AB, A2C1 / / AC , B2C2 / / BC

Qua M kẻ các đường thẳng

⇒

∆MB1C1 , ∆MA1C2 , ∆MA2 B2

Các tam giác đều

uuuu
r 1 uuuur uuuur uuur 1 uuuu
r uuuur uuur 1 uuuur uuuur
MD = MB1 + MC1 , ME = MA1 + MC2 , MF = MB2 + MA2
2
2
2

(

Ta có:

)

(

)


(

uuuu
r uuur uuur 1 uuuu
r uuuur 1 uuuur uuuur 1 uuuur uuuur
⇒ MD + ME + MF = MA1 + MA2 + MB1 + MB2 + MC1 + MC2
2
2
2

(

=

) (

r 3 uuuu
r
1 uuur uuur uuuu
MA + MB + MC = MO
2
2

(

Đáp án

) (


)

)

)

.

D.

Câu 47. Cho tứ giác ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AB và DC. G là trung điểm của IJ. Xét các
mệnh đề:
uuu
r uuur uuur
uuur
uu
r uur
uur
uur uur uu
r
AB + AC + AD = 4 AG
IA + IC = 2 IG
JB + ID = JI
(I)
(II)
(III)
Mệnh đề sai là:
A. (I) và (II)

B. (II) và (III)


C. Chỉ (I)
Lời giải

Đáp án B

17

D. Tất cả đều sai


uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuur
AB + AC + AD = AG + GB + AG + GC + AG + GD
uuur uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuu
r
uuur uuur
uuur
uuu
r
uuur
= 3 AG + GB + GC + GD = 4GA + GA + GB + GC + GD = 4 AG + 2 I + 2GJ = 4 AG

(


(

) (

)

) (

)

(II) và (III) sai vì G khơng phải là trung điểm của AC và BD.

Câu 48. Cho tứ giác ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD và BC sao cho
Đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuu
r n AB + mDC
uuuu
r n AC + m AB
uuur nBC + mCD
MN =
AM =
BN =
m+n

m+n
m+n
A.
B.
C.
D.
uuur
uuur
uuuur nCD + mAD
DM =
m+n

MA NB m
=
=
MD NC n

Lời giải

Đáp án A

Ta có

uuuu
r uuur uuur uuur
 MN = MA + AB + BN
r uuuu
r uuur uuur
 uuuu
 MN = MD + DC + CN


uuuu
r
uuur uuur uuur
uuuu
r
nMN = nMA + n AB + nBN
⇒  uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuur ⇒ ( m + n ) MN
mMN = mMD + mDC + mCN
uuu
r
uuur
uuur
uuuu
r
uuur
uuur
uuur
uuur r uuur
uuur r uuuu
r n AB + mDC
= nMA + mMD + n AB + mDC + nBN + mCN = 0 + n AB + mDC + 0 ⇒ MN =
m+n

(


) (

) (

)

18

.


S MBC = Sa , S MCA = Sb S MAB = Sc
Câu 49. Cho
và một điểm M bất kì trong tam giác. Đặt
,
. Đẳng
thức nào sau đây đúng?
uuur
uuur
uuuu
r r
uuu
r
uuur
uuu
r r
Sa .MA + S b .MB + S c .MC = 0
S a . AB + Sb .BC + S c .CA = 0
A.

B.
uuuu
r
uuur
uuur r
uuur
uuu
r
uuur r
Sa .MC + Sb .MB + Sc .MA = 0
S a . AC + Sb . AB + S c .BC = 0
C.
D.
Lời giải
∆ABC

Đáp án A

Gọi

A ' = AM ∩ BC

Ta có

uuuur A ' C uuur A ' B uuuu
r
MA ' =
MB +
MC
BC

BC

Sb
Sc
A ' C S MA 'C S MAC Sb
A'C
A' B
=
=
=
⇒
=
;
=
A ' B S MA ' B S MAB Sc
BC Sb + Sc BC Sb + Sc
uuuur
MA ' =

r
Sb uuur
Sc uuuu
MB +
MC ( *)
Sb + S c
Sb + S c

Mặt khác

uuuu

r
− S a uuur
⇒ Ma ' =
MA
Sb + S a

, thay vào (*) ta được:
uuur
uuur
uuuu
r
⇔ S a MA + Sb MB + Sc MC = 0

Câu 50. Cho
tiếp

∆ABC

với

BC = a, AC = b, AB = c

Sa
MA ' S MA ' B S MA 'C S MA ' B + S MA 'C
=
=
=
=
MA S MAB S MAC
S MAB + S MAC Sb + Sc


uuur
uuur
uuuu
r
− S a MA = S b MB + Sc MC

. I là tâm đường tròn nội tiếp

( I)

∆ABC

, đường tròn nội

tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuur
uur
uur r
uuur
uuur
uuur r
a.IM + b.IN + c.IP = 0
a.MA + b.NB + c.PC = 0
A.
B.
uuuu
r
uuur
uuu

r r
uuu
r
uuur
uuu
r r
a. AM + b.BN + c.CP = 0
a. AB + b.BC + c.CA = 0
C.
D.
Lời giải

Đáp án A
19


Gọi p là nửa chu vi

∆ABC

, ta có:

AP = AN = p − a
BM = BP = p − b
CN = CM = p − c

Ta có

uuur MB uur MB uur
uuur

uur
uur
IM =
.IB +
.IC ⇔ aIM
= ( p − c ) IB + ( p − b ) IC ( 1)
BC
BC

Tương tự:
uur
uur
uu
r
uur
uu
r
uur
bIN = ( p − a ) IC + ( p − c ) IA ( 2 ) , cIP = ( p − b ) IA + ( p − a ) IB ( 3 )
Cộng từng vế (1), (2), (3) ta được:
uuur uur uur
⇔ aIM + bIN + cIC
uu
r
uur
uur
uu
r uur uur r
= ( 2 p − b − c ) IA + ( 2 p − a − c ) IB + ( 2 p − a − b ) IC = aIA + bIB + cIC = 0
Nhận xét: Áp dụng kết quả nếu I là tâm đường tròn nội tiếp

uu
r uur uur
⇔ aIA + bBI + cCI = 0
Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
uu
r
uur r
IA + 2 IB = 0
Câu 51. Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho
.
1
IB = AB
3
A. Điểm I ngoài đoạn AB sao cho
1
IB = AB
3
B. Điểm I thuộc đoạn AB sao cho
C. Điểm I là trung điểm đoạn AB
1
IB = AB
3
D. Điểm I nằm khác phía với B đối với A và
.
Lời giải
uu
r
uur r
uu
r

uur
IA + 2 IB = 0 ⇔ IA = −2 IB
.
20

∆ABC

thì


IB =
Vậy I thuộc đoạn AB sao cho
Đáp án

1
AB
3

.

B.

Câu 52. Cho đoạn thẳng AB. Hình nào sau đây biểu diễn điểm I sao cho
A.

uur
r
3 uuu
AI = − BA
5


.

B.

C.

D.
Lời giải

Đáp án B.
Câu 53. Cho hai điểm A, B phần biệt. Xác định điểm M sao cho
A. M ở vị trí bất kì
B. M là trung điểm của AB
C. Khơng tìm được M
D. M nằm trên đường trung trực của AB
Lời giải

uuur uuur r
MA + MB = 0

Đáp án B
Câu 54. Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho
trí điểm M.

uuuu
r
uuur
MN = −3MP


. Hình vẽ nào sau đây xác định đúng vị

A.
B.
C.
D.
Lời giải

Đáp án C
Ta có:

MN = 3MP

và P, N khác đối với M

AM =
Câu 55. Cho đoạn thẳng AB và điểm M là một điểm trong đoạn AB sao cho
uuur
uuur
MA = k MB
.

21

1
AB
5

. Tìm k để



k=
A.

1
4

B.

k =4

k =−
C.
Lời giải

1
4

D.

k = −4

Đáp án C
∆ABC

Câu 56. Cho
. Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho
trong hình nào sau đây?

uuur

uuuu
r
MB = 3MC

. Điểm M được vẽ đúng

A.

B.

C.

D.
Lời giải
Đáp án B
uuur uuur
uuuu
r r
MA + MB + 2 MC = 0

∆ABC

Câu 57. Cho
có G là trọng tâm. Xác định điểm M sao cho:
A. Điểm M là trung điểm cạnh AC.
B. Điểm M là trung điểm cạnh GC.
C. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 4.
uuur
uuuu
r

GC = 4GM
D. Điểm M chia đoạn GC thỏa mãn
.
Lời giải
uuur uuur
uuuu
r uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r
uuuu
r
uuur r
MA + MB + 2 MC = MG + GA + MG + GB + 2MG + 2GC = 0
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur uuur r
uuur
uuuu
r
⇔ 4MG + GA + GB + GC + GC = 0 ⇔ GC = 4GM

(

Đáp án

)


D.
22

.


∆ABC

Câu 58. Cho
, I là trung điểm của AC. Vị trí điểm N thỏa mãn
thức:
uuur 1 uur
uuur 2 uur
uuur
uur
BN = BI
BN = BI
BN = 2 BI
3
3
A.
B.
C.
Lời giải
uuu
r
uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuur uuur

NA + 2 NB = CB ⇔ NA + NB + NB = CN + NB
Ta có:

uuu
r
uuur uuu
r
NA + 2 NB = CB

D.

xác định bởi hệ

uuur
uur
BN = 3BI

uuu
r uuur
uuur
uur
uuur uuur 2 uur
⇔ NA + NC = − NB ⇔ 2 NI = − NB ⇒ BN = BI
3
Đáp án

C.

Câu 59. Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm N thỏa mãn:
uuur uuur uuu

r uuu
r uuur uuur
NC + ND − NA = AB + AD − AC
.
A. Điểm N là trung điểm cạnh AB
C. Điểm C là trung điểm cạnh AM

B. Điểm C là trung điểm cạnh BN
D. Điểm B là trung điểm cạnh NC
Lời giải

uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
NC + ND − NA = AB + AD − AC

Ta có
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
⇔ NC − NA + ND = AB + AD − AC

(

)

(

)

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur
⇔ AC + ND = AC − AC ⇔ AC = DN
⇒ ACND

Đáp án

là hình bình hành

⇒C

là trung điểm cạnh BN.

B.
a+b ≠ 0

Câu 60. Cho 2 điểm A, B là hai số thực a, b sao cho

. Xét các mệnh đề:
uuur uuur r
aMA + bMB = 0
(I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn
.

(II)

uuur
b uuur
MA = −
AB
a+b


.

(III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB.
Trong các mệnh đề trên thì:
A. (I) và (III) tương đương nhau
C. (I) và (II) tương đương nhau

B. (II) và (III) tương đương nhau
D. (I), (II), (III) tương đương nhau
Lời giải

23


uuuur uuur r
uuur
uuur uuur r
uuur
b uuur
a AM + bMB = 0 ⇔ aMA + b MA + AB = 0 ⇔ MA = −
AB
a+b

(

)

Do giả thiết M được xác định duy nhất trên đường thẳng AB.
Đáp án

Câu 61. Cho

∆ABC

C.

. Nếu điểm I thỏa mãn hệ thức
∆ABC
A. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
∆ABC
B. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp
.
∆ABC
C. Điểm I là trực tâm của
.
∆ABC
D. Điểm I là trọng tâm của
.
Lời giải

Lấy

⇒

uu
r uur uur r
aIA + bIB + cIC = 0

A' B c

=
A'C b

A'

Ta có:

⇔

với

BC = a, AC = b, AB = c

AA '
sao cho
hay
là đường phân giác.
uu
r uur uur r
uu
r
uuu
r r
aIA + bIB + cIC = 0 ⇔ aIA + ( b + c ) IA ' = 0

I thuộc đoạn

AA '

và


IA b + c
c
BA
=
=
=
ac
IA '
a
BA '
b+c

I là tâm đường tròn nội tiếp

Đáp án
∆ABC

∆ABC

.

B.

Câu 62. Cho
. Xác định điểm I sao cho:
A. Điểm I là trung điểm của cạnh AC
B. Điểm C là trung điểm của cạnh IA
−2
C. Điểm C chia đoạn IA theo tỉ số

D. Điểm I chia đoạn AC theo tỉ số 2

uu
r uur
uuur
2 IA − 3IB = 3BC

.

Lời giải

Đáp án C
uu
r uur
uuur
uu
r uur uur
uuur
uu
r uur
uuur uur uuur
2 IA − 3IB = 3BC ⇔ 2 IA − 2 IB − IB = 3BC ⇔ 2 IA − IB = 2 BC + IB + BC
uuu
r
uuur uur
uuu
r uuur uur
uuu
r uur
uur

uuu
r
⇔ 2 BA = 2 BC + IC ⇔ 2 BA − 2 BC = IC ⇔ 2CA = IC ⇔ CI = −2CA

(

24

)

thì:


Câu 63. Cho

∆ABC

có M là trung điểm AB và N trên cạnh AC sao cho
uuu
r
uuur
uuur r
3 AB + 2 AC − 12 AK = 0
sao cho
.
A. Điểm K là trung điểm cạnh AM
B. Điểm K là trung điểm cạnh BN
C. Điểm K là trung điểm cạnh BC
D. Điểm K là trung điểm cạnh MN
Lời giải


NC = 2 NA

. Xác định điểm K

Đáp án D

uuur
uuu
r
uuur
uuur r
uuu
r
uuuu
r uuur
AB = 2 AM AC = 2 AN ⇔ 3 AB + 2 AC − 12 AK = 0
M là trung điểm AB nên
,

uuuur uuur
uuur r
uuur 1 uuuu
r uuur
⇔ 6 AM + 6 AN − 12 AK = 0 ⇔ AK = AM + AN
⇒
2

(


)

K là trung điểm của MN.
uuur uuur uuuu
r uuur
MA − MB − MC = AD
Câu 64. Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm M thỏa mãn:
.
A. Điểm M là trung điểm cạnh AC
B. Điểm M là trung điểm cạnh BD
C. Điểm C là trung điểm cạnh AM
D. Điểm B là trung điểm cạnh MC
Lời giải

Đáp án C

uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuuu
r uuur
uuu
r uuuu
r uuur
uuuu
r uuur uuu
r uuur
MA − MB = BA ⇒ MA − MB − MC = AD ⇔ BA − MC = AD ⇔ CM = AD + AB = AC

Vậy C là trung điểm của AM
Câu 65. Cho


∆ABC

uuu
r uuur uuur r
2 NA + NB + NC = 0

. Tìm điểm N sao cho:
.
∆ABC
A. N là trọng tâm
B. N là trung điểm của BC
C. N là trung điểm của AK với K là trung điểm của BC
D. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm 2 cạnh
25