DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Câu 1.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Phương trình

A. x  1 .

x 1  2

C. x  3; x  1 .
Lời giải

B. x  3 .

có nghiệm là:

D. x  2 .

Chọn C

x 1  2
x3
�
�
x 1  2 � �
��
x  1  2
x  1 .
�

�
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  3; x  1 .
Câu 2.

Cho phương trình

A. Phương trình
B. Phương trình
C. Phương trình
D. Phương trình

3 x  1  2 x  5  1

 1
 1
 1
 1

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

vơ nghiệm.
có đúng một nghiệm.
có đúng hai nghiệm phân biệt.
có vơ số nghiệm.
Lời giải

Chọn A
1
x �  1

� 3x  1  2 x  5 � x  4 (loại).
3:
Với

Với

x

1
6
x
1


� 1  3x  2 x  5 �
3:
5 (loại).

Vậy phương trình
Câu 3.

 1

vơ nghiệm.

Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm

A. 0 .

x  x ?


B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D. Vô số.

Chọn D
 x  0 luôn thỏa mãn phương trình.

Câu 4.

Giả sử

A.

x0 là một nghiệm lớn nhất của phương trình 3 x  4  6 . Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?

x0 � 1;0 

.

B.

x0 � 0; 2 

.

C.

Lời giải
1

x0 � 4;6 

.

D.

x0 � 3; 4 

.


Chọn D
Ta có:
� 10
x
�
3x  4  6
�
3
��
��
3
x

4



6
2
�
�
x
3x  4  6
�
3
�

Suy ra
Câu 5.

x0 

10
3 .

Phương trình

2x  4  x 1  0

A. 0.

có bao nhiêu nghiệm?

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải


D. Vô số.

Chọn A
Bảng khử giá trị tuyệt đối

Trường hợp 1: x �1

(1) �   2 x  4    x  1  0 � x 

Trường hợp 2: 1  x �2
Trường hợp 3: x  2
Câu 6.

Phương trình

A.

S   0

.

5
1
3
loại.

(1) �   2 x  4    x  1  0 � x  3 � 1; 2

(1) �  2 x  4    x  1  0 � x 


x 1  2x 1

5
2
3
loại.

có tập nghiệm là

� 2�
S  �0;  �
� 3 .
B.

� 2�
S  � �
�3 .
C.
Lời giải

Chọn A
1
�
�x � 2
2 x  1 �0
�
�
�
x  1  2x  1 � �

x0 � x0
x  1  2 x  1 � ��
�
�
�
�
�
x  1  2 x  1
2
�
�
��
x
3
��
.

Câu 7.

Phương trình

loại.

3  x  2x  5

có hai nghiệm

2

x1 , x2


. Tính

x1  x2

D. S  �.


A.



14
3 .

B.



28
3 .

7
C. 3 .
Lời giải

14
D. 3 .

Chọn D


3  x  2 x  5 �  3  x    2 x  5  �  x  2   3 x  8   0
2

Phương trình

2

x1  2
�
14
�
�
� x1  x2 
8
�
3
x2 
� 3
.

Câu 8.

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình | 5 x  4 | x  4 .

4
A. 3 .




B. 0 .

C.
Lời giải

4
3.

D. 4 .

Chọn C
Trường hợp 1: 5 x  4  x  4 � x  0 ( thỏa mãn )

Trường hợp 2:

5 x  4  ( x  4) � 6 x  8  0 � x  

4
3 (Thỏa mãn )

x0
�
�
4
�
x
3
Vậy phương trình có 2 nghiệm �
Câu 9.


(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Tập nghiệm của phương trình

A.

S   1

.

B.

S   1

.

C.
Lời giải

S   1;1

.

x  2  2x 1
D.

S   0

là:

.


Chọn A
� 1
2 x  1 �0
�
�x �
�
� 2
x  2  2 x  1 � ��
� x 1
x  2  2x 1 � �
x


1
�
��
x  2  2 x  1 ��
��
�
x 1
�
�
Ta có
.

Câu 10.

3x  2  x  4
Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình
sao cho a  b . Tính M  3a  2b .


A. M  5 .

B. M  0 .

C. M  5 .
Lời giải

Chọn B

3

D.

M

5
2.


x  1
�
3x  2  x  4
�
�
3x  2  x  4 � �
�
3
�
3x  2    x  4 

x
�
� 2

a  1, b 
Vậy
Câu 11.

Phương trình

A. 3.

3
2 . Do đó M  3a  2b  0

3 x  2  x có bao nhiêu nghiệm nguyên?
B. 0.

C. 2.
Lời giải

D. 1.

Chọn D
Ta có:

�
� 2�
3x  2  x �x � � �
x 1

�
3� �
�
3x  2  x � �
�
1
�
x
2
�
� �
2  3x  x �x  � � 2
�
� 3�
�
Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là 1.
Câu 12.

Số nghiệm của phương trình

A. 0 .

x2  1  x  2

là

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .


D. 1 .

Chọn A
�
�
�x  2 �0
�x �2
�x �2
�
�
2
�
� �2
� 2
2
2
2
2
x 1  x  2
 x  x  1  x  x  3  0 �x  x  3  0
 x  1   x  2 
�
�

�x �2
�
�
13  1
�

��
x
��
2
�
��
 13  1
��
x
��
2
Vô nghiệm.
2
(Giải thích: Phương trình x  x  1  0 vơ nghiệm).

DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
Câu 13.

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Tổng các nghiệm của phương trình sau

A. 0 .

2 3
B. 3 .

C. 1 .
4

x  2  3x 2  x  2


D.



là:

2 3
3 .


Lời giải
Chọn A

x  2  3x 2  x  2

.

�
�
�x  2 �0
�x �2
�
�
�
� 2
2
3x  2 x  0
2 3
�x  2  3 x  x  2
�

�
�
��
��
� x�
.
3
x  2 �0
x �2
�
�
�
�
�
� 2
2
�
�
 x  2  3x  x  2
3x  4  0
�
�
�
�
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 0 .
Câu 14.

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

3

A. 2 .

B. 1.

2 x 2  3x  2  x  2

.

C. 3.
Lời giải

D. 2.

Chọn C
2 x 2  3 x  2  x  2 �  2 x 2  3x  2    x  2 
2

2

� 4 x 4  9 x 2  4  12 x 3  8 x 2  12 x  x 2  4 x  4
3
2
� 4 x 4  12 x 3  8 x  0 � x  4 x  12 x  8   0

� 4 x  x  1  x 2  2 x  2   0

x0
�
�
x  1 3

��
�
x  1 3
�
�
x 1
�
� S  0  (1  3)  (1  3)  1  3 .

Câu 15.

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

1
A. 2 .

x 2  2x  1  x 2  2

3
B. 2 .

C. 1 .
Lời giải

bằng:

D.




3
2.

Chọn B
� 1
x
�
x2  2 x  1  x2  2
�
2
x  2 x  1  x  2 � �2
�
2
� 2
x

2
x

1


x

2
�
2x  2x  3  0
�
Ta có
2


2

5

 *
 **


Phương trình

 **

có tổng hai nghiệm là 1 , phương trình

 *

có nghiệm là

x

1
2 nên tổng

3
.
các nghiệm của phương trình đã cho là 2
Câu 16.

Phương trình


A. 0 .

x2  2 x  8  x  2

có số nghiệm là:

B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn D
�x �2
x  2 �0
�
� 2
�
x2  2x  8  x  2 � � 2
� ��
x  2x  8  x  2
 x  2 x  8   � x  2  ��x2  2 x  8   x  2
�
��
Ta có
�
�x �2
�

�x 2
�
�2
�
�
�x  x  6  0
�x  2, x  3
�
�
��
�
� x2
�
x �2
x �2
�
�
�
�
�
�2
�
x

3
x

10

0

�x  2, x  5
�
�
�
.

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Câu 17.

x 1
4
 2
Số nghiệm của phương trình x  2 x  4 là

A. 0 .

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

D. 1 .

Chọn D
�x �2
�
Điều kiện xác định: �x �2 . Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với phương
x  3
�
( x  1)( x  2)

4
 2
� ( x  1)( x  2)  4 � x 2  x  6  0 � �
2
x2
x 4
x 4
�
trình
So sánh điều kiện xác định, PT có 1 nghiệm x  3 .

a
x 1
4
a b
 3 
x  1 có một nghiệm là
c , với a , b , c nguyên dương và c
Câu 18. Biết phương trình 2 x  3
tối giản. Tính T  2a  b  3c .
A. T  5 .

B. T  1 .

C. T  1 .
Lời giải

Chọn B

6


D. T  5 .


� 3
�x �
� 2
�
Điều kiện xác định: �x �1
x 1
4
 3 
� x 2  1  3  2 x  3  x  1  4  2 x  3
2
x

3
x

1
Khi đó, phương trình
� 11  65
x
�
14
��
� 11  65
x
�
2

�
14
� 7 x  11x  2  0

Vậy phương trình có hai nghiệm
c  14 . Vậy T  1 .

Câu 19.

x

11  65
11  65
x
14
14
và
. Từ đó suy ra a  11 , b  65 ,

1
1
 2
1
Tích tất cả các nghiệm của phương trình x  x  2 x  x  2
là
2

A. 1 .

B. 0 .


C. 1 .
Lời giải

D.



5
2.

Chọn B
�x 2  x  2 �0
�x �1
��
�2
x  x  2 �0
�x �2 .
Điều kiện: �
2
Đặt t  x  x với t ��2

1
1

 1 � t  2   t  2   t  2  t  2
� t2  0 � t  0 .
Phương trình trở thành: t  2 t  2

x0

�
x2  x  0 � �
x  1 ( Thỏa mãn đk). Vậy tích các nghiệm là 0 .
�
Khi đó:

Câu 20.

x2  2 x  2
1
1

 2
x 1
x2
x  2 là
Số nghiệm của phương trình
A. 2.

B. 3.

C. 1.
Lời giải

Chọn D
�x �1
�
Điều kiện xác định �x �2 .

x2  2 x  2

1
1

 2
x 1
x2
x2
7

D. 0.


x2  2x  2
�
2
x 1
� x2  4x  4  0

� x  2 (loại)
Vậy số nghiệm của phương trình bằng 0.
x 2  3x  2
 x
x3
Câu 21. (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Cho phương trình
có nghiệm a .
Khi đó a thuộc tập:
�1 �
� ;3 �
A. �3 �.


�1 1�
 ; �
�
B. � 2 2 �.

�1 �
� ;1�
C. �3 �.

D. �.

Lời giải
Chọn B
ĐK x �3 .
� 3  13
x
�3,3
�
x 2  3x  2
2
  x � x2  3x  2   x  x  3 � 2 x2  6 x  2  0 � �
3  13
x3
�
x
�0,3
�
2
.


�x
Câu 22.

3  13 � 1 1 �
�� ; �
2
� 2 2 �.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Một xe hơi khởi hành từ Krông Năng đi đến Nha
Trang cách nhau 175 km. Khi về xe tăng vận tốc trung bình hơn vận tốc trung bình lúc đi là 20
km/giờ. Biết rằng thời gian dùng để đi và về là 6 giờ, vận tốc trung bình lúc đi là:
A. 60 km/giờ.

B. 45 km/giờ.

C. 55 km/giờ.
Lời giải

D. 50 km/giờ.

Chọn D
Gọi x km/giờ là vận tốc trung bình lúc đi ( x > 0)
175
Khi đó thời gian lúc đi là x giờ

175
Thời gian lúc về là x + 20
�
x = 50
�

�
�
35
175
175
�
x =+
=6
2
�
3
x + 20
� 6 x - 230 x - 3500 = 0
�
Theo đề bài ta có x

Vậy vận tốc trung bình lúc đi là 50 km/giờ.
8


DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN
Câu 23.

Tập nghiệm

S của phương trình 2 x  3  x  3 là

A. S  �.

B.


S   2

.

C.
Lời giải

S   6; 2

.

D.

S   6

.

Chọn D
�
�x  3  0
�x  3
�x  3
��
�
2 � �
�2
2
2 x  3   x  3
�

2x  3  x  3
�2 x  3  x  6 x  9
�x  8 x  12  0
�x  3
�
��
x6� x6
�
�
�x  2
�
�
Câu 24.

.

Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số y  3x  4 và đường thẳng y  x  3 .

A. 2 giao điểm.

C. 3 giao điểm.
Lời giải

B. 4 giao điểm.

D. 1 giao điểm.

Chọn D
Số giao điểm giữa đồ thị hàm số y  3x  4 và đường thẳng y  x  3 là số nghiệm của
phương trình hồnh độ giao điểm:

x  3 �0
�
�
x �3
x �3
�
�
��
2
2 �
� �2
�
2
3
x

4

x

3


�
3x  4  x  6 x  9
3x  4  x  3
�
�
�x  9 x  13  0






� x �3
�
� 9  29
�
��
x
��
2
�
��
9  29
9  29
��
x
� x
��
2
2
.
Vậy đồ thị hàm số y  3x  4 và đường thẳng y  x  3 có 1 giao điểm chung.
Câu 25.

2 x  1  x  2 bằng:

Tổng các nghiệm (nếu có) của phương trình:


A. 6 .

C. 5 .

B. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn C
2 0
+) Với điều kiện x �۳

x

2 ta có phương trình đã cho tương đương với phương

9


x  1( L)
�
2 x  1  ( x  2) 2 � x 2  6 x  5  0 � �
x  5(t / m) .
�
trình:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  5 .
Câu 26.

3x  2  x là


Số nghiệm của phương trình

A. 2 .

C. 3 .
Lời giải

B. 1 .

D. 0 .

Chọn A
�x �0
x 1
�
�
� ��
�x �0
�x �0
x2��
��
� �2
x2
�
��
x 1
3x  2  x 2
3x  2  x
�

�x  3 x  2  0
��

Ta có
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 27.

Nghiệm của phương trình

A. 15 .

5 x  6  x  6 bằng
B. 6 .

C. 2 và 15 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A

5x  6  x  6 �





�
�x �6
x  6 �0

x �6
� 2
� ��
x  2 � x  15
2
5 x  6  x  12 x  36
x  17 x  30  0
�
�
�x  15
.

Vây phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  15 .
Câu 28.

Tập nghiệm của phương trình

4 x  7  2 x  1 là

�2  10 �
�2  10 2  10 �
;
�
�
�
�
2
2 �
2 �
�

�
A.
. B.
.
�2  10 �
�
�
2 �
�
C.
.

D. Một phương án khác.
Lời giải

Chọn B

Ta có
� x

Câu 29.

� 1
x�
�
1
�
2
�
2 x  1 �0

�
��
�
�x �
4 x  7  2 x 1 � �
2
2 � �
�x  2 � 10
4 x  7   2 x  1
2
�
�
4x  8x  6  0
�
2
�
2  10
2  10
x
2
2
. Vậy
.

Phương trình

 x 2  4 x  2 x  2 có bao nhiêu nghiệm?
10



A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn D

2 x  2 �0
�
�
�� 2
2
 x  4x   2x  2
�
 x2  4 x  2 x  2
Vậy x  2 là nghiệm của phương trình.
Câu 30.

�x �1
�
x  2 n
��
� ��
x
�
1

�
�� 2
�� 2
x   l
�
5 x  12 x  4  0
�� 5
�
.

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Số nghiệm của phương trình

x 2  2 x  5  x 2  2 x  3 là
B. 3 .

A. 2 .

D. 0 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn C
2
Ta có: x  2 x  5  0, x ��
2
Đặt t  x  2 x  5 , ta có phương trình trở thành

t t 2


�t �2
�
� t �2
� t �2
�
t t 2 � �
� ��
t 1 �t  4
2 � �2
t  5t  4  0 ��
t   t  2
�
�
t4
��
.
4  x 2  2 x  5 �  x  1  0 � x  1
2

Khi đó

. Thử lại ta thấy x  1 thỏa mãn.

Suy ra phương trình đã cho có một nghiệm.
Câu 31.

Tích các nghiệm của phương trình

x 2  x  1  x 2  x  1 là


B. 3 .

A. 3 .

C. 1 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn B
2
Ta có: x  x  1  0, x ��

x2  x  1  x2  x  1 � x2  x  1  x2  x  1  2  0 �
� x 2  x  1  1  vn 
��
� x 2  x  1  2 (1)
�

(1) �

x2  x  1  2 � x2  x  3  0

11





2


x2  x  1  x2  x  1  2  0


Do đó:
Câu 32.

x1.x2 

Phương trình

A. x  1 .

3
 3
1
.

2 x 2  3 x  5  x  1 có nghiệm:
B. x  2 .

C. x  3 .
Lời giải

D. x  4 .

Chọn B

Ta có :
Câu 33.


�
�x  1 �0
�x �1
�� 2
2 � �
2
2 x 2  3 x  5  x  1 �2 x  3 x  5   x  1
�x  x  6  0 � x  2 .

Số nghiệm của phương trình

A.

3.

3x 2  9 x  7  x  2 là
C. 0 .
Lời giải

B. 1 .

D. 2 .

Chọn C
�
�x  2 �0
3x 2  9 x  7  x  2 � � 2
2
3x  9 x  7   x  2 

�
�x �2
�
�x  1
� ��
� 3 � x ��.
�x  2 �0
��
�� 2
x
�
2
x

5
x

3

0
�
�� 2

Vậy phương trình vơ nghiệm.
Câu 34.

Số nghiệm của phương trình

A. 0 .


x 2  3  3x  1. là

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn B
Điều kiện xác định: x ��
3 x  1 �0
�
�
x2  3  3 x  1 � �2
2
�x  3   3x  1
� 1
�x �3
� 1
�
�x �
�� 3
� ��
x 1 � x 1
2
�
�
�
8x  6 x  2  0
1
�

��
x
4
��
Kết luận.
Câu 35.

Phương trình:

x 2  x  12  7  x có bao nhiêu nghiệm?
12

D. 3 .


A. 0 .
C. 1 .

B. 2 .
D. Vô Số.
Lời giải

Chọn C
�x �7
7  x �0
�
�x �7
�
�
x  x  12  7  x � � 2

� � 61
2 � �
13x  61 �x   tm 
�
�x  x  12   7  x 
� 13
2

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm là
Câu 36.

x

.

61
13 .

2
(HKI XN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm của phương trình sau x  2 x  3x  1  1 là:

A. 0 .

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .

Lời giải

Chọn B

x  2 x 2  3x  1  1 .
�
�x �1
�x  1 �0
� 2 x 2  3x  1  x  1 � � 2
� x 1
2 � �2
2 x  3 x  1   x  1
�
�x  x  0
Vậy số nghiệm của phương trình là 1 .

Câu 37.

2
2
Số nghiệm của phương trình x - 3 x + 86 - 19 x - 3 x +16 = 0 là.

C. 3 .

B. 1 .

A. 4 .

D. 2 .


Lời giải
Chọn

A.

Phương trình

x 2 - 3x + 86 - 19 x 2 - 3x +16 = 0 � x 2 - 3x +16 - 19 x 2 - 3x +16 + 70 = 0 ( *)

�
t = 14 ( n)

2
Đặt t = x - 3 x +16 , t �0 . Khi đó

( *) � t 2 - 19t + 70 = 0 � �
�

t = 5 ( n)
�

�
x = 15
t = 14 � x 2 - 3 x +16 = 14 � x 2 - 3 x - 180 = 0 � �
�
x =- 12 .
�
Với

Với


� 3 +3 5
�
x=
�
2
2
2
t = 5 � x - 3x +16 = 5 � x - 3x - 9 = 0 � �
� 3- 3 5
�
x=
�
2
�

13

.


Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Câu 38.

Tổng các bình phương các nghiệm của phương trình

A. 17 .

 x  1  x  3  3


x2  4x  5  2  0

C. 16 .
Lời giải

B. 4 .

là:

D. 8 .

Chọn B

 x  1  x  3  3
Ta có

x2  4x  5  2  0

� x2  4 x  5  3 x2  4 x  5  4  0 �

x2  4 x  5  1

� x2  4 x  5  1 � x2  4 x  4  0 � x  2 .
Câu 39.

2
2
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình x  5 x  2  2 x  5 x  10  0 là:

A. 5 .


B. 13 .

C. 10 .
Lời giải:

D. 25 .

Chọn B
2
Điều kiện xác định x  5 x  10 �0 � x ��.
2
2
Khi đó phương trình � x  5 x  10  2 x  5 x  10  8  0

� x 2  5 x  10  2
��
�
2
�
� x  5 x  10  4

x1  3
�
x 2  5 x  10  2 � x 2  5 x  6  0 � �
x2  2
�
.

2

2
2
2
Vậy x1  x2  2  3  13 .

Câu 40.

Tập nghiệm của phương trình

A. S  �.

x  2  x 2  3x  2   0

B. S  {1}.

là

C. S  {2}.
Lời giải

D. S  {1;2}.

Chọn C

Ta có

�x  2 �0
�
� �� x  2  0
�

��2
x  3x  2  0
��
x  2  x 2  3x  2   0

�x �2
�
x2
��
� x  2.
��
x 1
��
��
x2
��

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  {2}.
Câu 41.

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Phương trình
nhiêu nghiệm?

A. 1 .

B. 4 .

C. 3 .
Lời giải
14




x2  1



2x  1  x  0

D. 2 .

có tất cả bao


Chọn D
�x2  1�0
۳ x 1
�
2
x

1
�
0
�
+) Điều kiện
.

�
� x2  1  0

x2  1 0 1
2x  1  x  0 � �
��
�
�
2
x

1

x

0
�
� 2x  1  x 2





x 1
2

+)

�
x  1 n
x2  1 0 � �
x  1 l 
 1 :

�
Giải

Giải

 2 :

�
x  1 2  n
2x  1  x � 2x  1 x2  do x �1 � x2  2x  1 0 � �
�
x  1 2  l 
�

Vậy số nghiệm của phương trình là 2.

Câu 42.

x
Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 3 .

2

 4x  3



x2  0


C. 0 .
Lời Giải

B. 1 .

D. 2

Chọn D
2 0
Điều kiện: x �۳

x

2

 4x  3



x2  0

�
x2  4 x  3  0
��
�
�x 2  0

Câu 43.

x 2


x  1(l )
�
�
x  3(n)
�
�
x  2(n)
�

Tập nghiệm của phương trình

A. {1; 2}.

x

.

2

 x  2 . x 1  0

B. {-1;1; 2}.

 1; 2 .

C.
Lời giải

Chọn A

ĐKXĐ:

là

x �1.

15

D. {-1; 2}.


x  1
�
2
�
x

x

2

0
x2
 x 2  x  2  . x  1  0 � �x  1  0 � �
�
�
�
x  1.
�
Biến đổi:

Đối chiếu điều kiện ta được x  1, x  2
Câu 44.

x  2  x 2  4 x  3  0

Tập nghiệm của phương trình

S   2;3

A.

.

B.

S   2

.

C.
Lời giải

là

S   1;3

.

D.


S   1; 2;3

.

Chọn A

2 0
Điều kiện x �۳

x 2.

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với

x2 0
x2
�
�
��
�2
x  1, x  3
x  4x  3  0
�
�

. So với điều kiện chỉ có x  2 , x  3 thỏa.

Vậy tập nghiệm của phương trình là

x
Tập nghiệm của phương trình


2

Câu 45.

A. {1;2}.

S   2;3



.

 x 2 . x 1  0

là

�
1;2�
C. � �.
Lời giải

B. {-1;1;2}.

D. {-1;2}.

Chọn A
Điều kiện: x �1.




�
x2  x  2  0
2
x  x 2 . x 1 0� �
�
�x 1 0



�
x  1
�
x 2
�
�
x1
�

So sánh điều kiện kết luận phương trình có nghiệm x  1; x  2.

Câu 46.

(KSNLGV

x

2

-


THUẬN

THÀNH

 6 x  17  x 2  x 2  6 x

A. 2.

2

-

BẮC

NINH

NĂM

2

-

2019)

có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

B. 1.

C. 3.

Lời giải

D. 4.

Chọn C

x

2018

 6 x  17  x 2  x 2  6 x �  x 2  6 x 





17  x 2  1  0
16

Phương

trình


�
��
x  0(TM )
�
�x 2  6 x  0
�

��
x  6( L )
�
�
x0
�
��
�
17  x 2 �0 � �
��
��
�
�
x  �4
�
�
�x � 17
�
2
�17  x  1
�
17  x 2  1
�
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 47.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Số nghiệm của phương trình
bằng:

A. 1 .


C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

 x  2

2x  7  x2  4

D. 0 .

Chọn B

) Điều kiện:

 x  2

2 x �۳
7 0

x

7
2.

2x  7  x2  4 �  x  2 2x  7   x  2  x  2

x2 0
�

�
�
�
�  x  2 �
�2x  7  x  2 .
� 2 x  7   x  2  � 0

) x  2  0 � x  2 ( thỏa mãn ).

)

�
�x �2
�x  2 �0
2x  7  x  2 � �
2 � �2
2x  7   x  2
�
�x  2 x  3  0 .

�x �2
�
� ��
x 1 � x 1
��
x  3
��

( thỏa mãn ).


x2
�
�
x 1 .
Vậy phương trình có hai nghiệm �

Câu 48.

Tập nghiệm của phương trình

A. S  �.

3  x  x  2 là

� 1�
S �
2; �
� 2 .
B.

�1 �
S ��
�2 .
C.
Lời giải

Chọn C

3  x �0
�

� 2 �x �3
�
x

2
�
0
�
Điều kiện:
.
17

� 1�
S �
 �
�2 .
D.


Phương trình tương đương:

3  x  x  2 � 1  2x � x 

1
2 (thỏa mãn điều kiện).

�1 �
S ��
�2 .
Vậy phương trình có tập nghiệm

Câu 49.

Nghiệm của phương trình

A.

x

3
4.

2 x  1  3  x là

B.

x

2
3.

C.
Lời giải

x

4
3.

D.


x

3
2.

Chọn C
Thay các nghiệm x vào phương trình thấy

Câu 50.

x

4
3 là nghiệm.

Số nghiệm của phương trình x x  2  2  x là
A. 3 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn C
Phương trình x x  2  2  x chỉ xác định khi x  2 .
Thử lại, ta thấy là nghiệm phương trình.
Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệm.
Câu 51.


(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phịng - Học kỳ I - 2019) Tìm tập hợp nghiệm của phương trình

3  x  x  2 1.
A.

 2 .

B.

 1; 2 .

C. 
Lời giải

1; 2

.

D.

 1 .

Chọn D
Đk: 2 �x �3
3  x  x  2  1 � 3  x  x  3  2 x  2 � 3  x  x  3  2 x  2 � 2 x  2 x  2
�x �0
�x �0
�
� �2

� ��
x  1
�x  x  2
��
x2
��
Câu 52.

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm nguyên của phương trình sau

A. 0 .

B. 2 .

C. 1 .
18

x  3  2 x  1  1 là:
D. 3 .


Lời giải
Chọn C
x  3  2 x 1  1
�x  3 �0
۳ x
�
2
x


1
�
0
�
Điều kiện
Khi đó phương trình �

1
2.
x  3  1 2 x 1

�
� x  3 �0
��
2
�4  2 x  1    x  3
� x  3  1  2 2 x  1  2 x 1 � 2 2x  1   x  3

�x �3
� �2
�x  14 x  13  0 � x  1 .
Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là 1 .
Câu 53.

Số nghiệm của phương trình

A. 3 .

3x  1  2  x  1 là


B. 0 .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn C

- Điều kiện:

1
�
3 x  1 �0 �x �
�
1
��
3 �  �x �2.
�
3
�2  x �0
�
�x �2
2

2

� �
��
1 2  x �

� 3x  1� �
�� 3 x  1  1  2 2  x  2  x
- PT � 3 x  1  1  2  x

� 1
�x �
2
x

1
�
0
�
�
�
� 2
��
2
�
2  x   2 x  1
2  x  4x2  4x  1
�
� 2 2  x  4x  2 � 2  x  2x 1
�
� 1
�x �2
�
� 1
x 1
��

�x �
�
�
�� 2
1
��
x
2
�
4
x

3
x

1

0
4 � x  1 (thỏa mãn điều kiện).
�
��
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x  1 .
Câu 54.

2
Số nghiệm của phương trình x  2 x  2 x x  3  6 1  x  7 là

A. 0 .

B. 1 .


C. 2 .
Lời giải
19

D. 3 .


Chọn B
Điều kiện 3 �x �1 .



� x x 3
Phương trình x  2 x  2 x x  3  6 1  x  7
2

   3
2

1 x



2

�
x  x  3  3  1 x
��
�

x
x  3   3  1  x VN
� 1 x  1 x  2  x  3
�





�
1 x �
� 1 x �
1

x

1

�
�
� 0
2

x

3
�
�

� 1  x  0 (do


1  x 1 

1 x
 0, x � 3;1
2 x3
)

� x  1 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x  1 .

Câu 55.

2
Phương trình x  4 x  3   x  1 8 x  5  6 x  2 có một nghiệm dạng x  a  b với
a, b  0 . Khi đó: a  b 

A. 7.

B. 5.

C. 4.
Lời giải

D. 6.

Chọn A
x  4 x  3   x  1 8 x  5  6 x  2 ( điều kiện:
2


�  x  1  8 x  5   x  2    �
� 6 x  2  ( x  1) �
�

x �

1
3)

 x  1   x 2  4 x  1
 x2  4x  1

0
8x  5   x  2 
6x  2  x 1
x 1
1
�
�
�   x 2  4 x  1 �

� 0
6x  2  x  1 �
� 8x  5   x  2
�
 x2  4 x  1  0
�
x  2 5
x 1
1

��
��



 0 VN
x  2 5
�
�
6x  2  x  1
� 8x  5   x  2
�

Câu 56.

Biết phương trình

x  1  3x  3  x 2  1 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị biểu thức

 x1  1 .  x2  1 .
A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn B

20


D.

3.


�
�x �1
x  1  3x  3  x 2  1 � �
� x 1





x  1 1  3  0

.

�x �1
�x �1
x 1
�
�
�
x 1
� �� x  1  0
� ��
��
x  32 3

�
��
��
x

3

2
3
x

1

1

3
�
�
�
�
.

Suy ra
Câu 57.

 x1  1 .  x2  1  0 .

Phương trình

x  2  x 2  x  1  2 x  1  x  2 có số nghiệm là:

B. 3 .

A. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn D
Điều kiện: x �2 .
Khi đó

x  2  x2  x  1  2x  1  x  2 � x2  x  1  2x  1

� 1
2 x  1 �0
�
�
�x �
� �2
� x  1(ktm)
2
2 � �
2
�
�x  x  1   2 x  1
3x  3x  0
�


Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Câu 58.

Với bài tốn: Giải phương trình

4  x  4  x  16  x 2  4 . Một học sinh giải như sau:

Bước 1. Điều kiện: 4 �x �4 .
8  t2
t  4  x  4  x � t  8  2 16  x � 16  x 
2 .
Đặt
2
t0
�
8t
t
 4 � t 2  2t  0 � �
t  2.
2
�
Bước 2. Ta được phương trình
2

2

2

2
2

Bước 3. Với t  0 ta có 16  x  4 � 16  x  16 � x  0 .
2
2
Với t  2 ta có 16  x  2 � 16  x  4 � x  �2 3 .

Vậy phương trình có tập nghiệm
Hãy chọn phương án đúng.
A. Lời giải trên sai ở bước 2.
C. Lời giải trên sai ở bước 1.



.

S  0; 2 3;2 3

B. Lời giải trên đúng hoàn toàn.
D. Lời giải trên sai ở bước 3.
Lời giải

Chọn D
8  t2
t  4  x  4  x � t  8  2 16  x � 16  x 
2 thì bản chất
Ở bước 1, khi đặt
2

21

2


2


của lời giải trên là đưa về phương trình hệ quả. Do đó cần thử lại nghiệm ở bước 3.

Câu 59.

Giải phương trình trên tập số thực:

A. x  1 .

5x  4 x2  x
 2.
x 1
x 1
�
�
x  4.
C. �
Lời giải

B. x  4 .

D. x ��.

Chọn D

Giải phương trình trên tập số thực:


5x  4x2  x
2
x 1
.

5
�
�
0 �x �
5 x  4 x 2 �0
�
��
4  *
�
�x  1 �0
�
�x �1
Điều kiện xác định của phương trình:
.

Từ phương trình:

5x  4 x2  x
 2 � 5 x  4 x 2  x  2  x  1
x 1

� 2
�x �3
�
� 2

� 2
��
�x �
�x �
x 1
x 1
�� 3
�� 3
�
��
�
�
�
2
2
2
�
�
�
x4
5 x  4 x  9 x  12 x  4
13 x  17 x  4  0
x4
� 5 x  4 x 2  3x  2
��
�
�
�
.
So sánh với điều kiện


 *

thì x  1 , x  4 đều không thỏa mãn điều kiện phương trình ban đầu.

Vậy phương trình vơ nghiệm.

x
Câu 60.

2

Số nghiệm của phương trình

A. 1 .

 3x  2  x  3
x 1

B. 2 .

0

C. 3 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn A
Điều kiện x �3 .

x 1
�
�
x 2  3x  2  0
�
��
��
x2
�x 3  0
�
x3
�

Khi đó pt
duy nhất x  3 .

Câu 61.

. Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình có nghiệm

2 x 
(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm của phương trình

22

2 x
0
x 3
là



A. 3 .

B. 2 .

D. 0 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn D
2  x �0
�
�x �2
��
�
�x  3 .
Điều kiện: �x  3  0
Hệ bất phương trình vơ nghiệm. Suy ra phương trình ban đầu vơ nghiệm.

Câu 62.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Số nghiệm nguyên của phương trình

x  x  5  2 3 x 2  5 x  2  2
A. 0 .

là

B. 1 .


D. 3

C. 2 .
Lời giải

Chọn C
3 2
3
3
Đặt t  x  5 x  2 ta được phương trình: t  2  2t  2 � t  2t  4  0 � t  2

x  2
�
t  2 � 3 x 2  5 x  2  2 � x 2  5 x  6  0 � �
x  3
�
Với
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ngun.
Câu 63.

(LẦN 01_VĨNH N_VĨNH PHÚC_2019) Phương trình

x 2  481  3 4 x 2  481  10 có hai nghiệm

 ,  . Khi đó tổng    thuộc đoạn
nào sau đây ?
A. [2;5].

B. [1;1].


C. [10; 6].
Lời giải

D. [5; 1].

Chọn B
4 2
4
Đặt t  x  481, t � 481 . Phương trình đã cho trở thành :

t 5
�
t 2  3t  10  0 � �
t  2 .Đối chiếu điều kiện, loại t  2 .
�
4 2
2
Với t  5 � x  481  5 � x  144 � x  �12 �   12,   12

Do đó :     0 �[ 1;1] . Chọn B.
Câu 64.

2
3
(Nơng Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Phương trình: 2 x  5 x  1  7 x  1 có nghiệm là a � b

thì 2a  b bằng

A. 2.


B. 1.

C. 3.
23

D. 4.


Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định x �1 .
Ta có

2 x 2  5 x  1  7 x 3  1    �    2  x 2  x  1  3  x  1  7

 x  1  x 2  x  1    1

 1 nên không phải là nghiệm.
Với x  1 ta thấy không thỏa mãn
Với x �1 ta có:

 1    �    2  x 2  x  1  3  x  1  7  x  1  x 2  x  1     �    2

x2  x  1
x2  x  1
7
3  0
x 1
x 1


� x2  x  1 1
�x 2  x  1 1

�

�
�
4 x 2  3x  5  0
x 1
2
x

1
4
�
�    
   �     �2
   �     �2
   �     x  4 � 6
� 2
x  8 x  10  0
�x  x  1
x

x

1
�
9

�
3
�
� x 1
� x 1
.

Suy ra a  4 và b  6 . Do đó, 2a  b  2.4  6  2 .

Câu 65.

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Giải phương trình:

x

x  x

1
1
 1
x
x ta được một nghiệm

a b
c , a, b, c ��, b  20 . Tính giá trị biểu thức P  a 3  2b2  5c .

A. P  61 .

B. P  109 .


C. P  29 .
Lờigiải

D. P  73 .

Chọn A
� 1
�( x  1)( x  1)
x �
�0
�
�
1 �x  0
�
� x
�
x
��
��
�
1
x �1
�
�
�x  1 �0
1  �0
�
�
x
x

Điều kiện

1 �x  0 �
Xét x �1

x

x x

x

1
1
 1
x
x

1
1
1
 1 � x  1 
x
x
x

� x2  x  2 x2  x  1  0 �






2

x

1
1
1
� x2  1   2 x2  x  x 
x
x
x

x2  x 1  0 �

24

� 1 5
x
(tm)
�
2
2
2
�
x  x  1 � x  x 1  0 �
� 1 5
x
(l )
�

�
2


a  1, b  5, c  2 � P  a 3  2b 2  5c  61

DẠNG 4. ĐỊNH LÍ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG
Câu 66.

2
x x
x  1 . Hỏi x2 bằng bao nhiêu?
Cho phương trình: x  3 x  2  0 có hai nghiệm 1 , 2 . Biết rằng 1

B. 3 .

A. 2 .

C. 1 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn A

Theo định lí Viet
Câu 67.

x1  x2  


b
� x1  x2  3 � x2  2
a
.

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Gọi
đúng.

A. x1 x2  x1  x2  6 .

B.

x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  3 x  9  0 . Chọn đáp án

x1 x2  x1  x2   27

. C. x1 x2  9 .
Lời giải

D. x1  x2  3 .

Chọn D
3
�
S  x1  x2  
3
�
�
1
�

�P  x x  9  9
1 2
1
Theo Viét, ta có: �
.
Vậy x1  x2  3 .
Câu 68.

2
Phương trình 2 x  3x  1  0 có tổng hai nghiệm bằng

A. không tồn tại

B.



1
2.

3
C. 4 .
Lời giải

3
D. 2 .

Chọn D
Phương trình thỏa mãn


a  b  c  0 nên ln có 2 nghiệm


Theo định lý viet ta có tổng hai nghiệm bằng
Câu 69.

3 3

2 2

2
Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình x  2 x  13  0

A. 22 .

B. 4 .

C. 30.
Lời giải
25

D. 28 .