Khái niệm phương trình
Dạng 1. Tìm điều kiện của phương trình
Câu 1.

2x
3
5  2
x  1 là
Điều kiện xác định của phương trình x  1
2

A.

D  �\  �1

.

D  �\  1

B.

.

C.
Lời giải

D  �\  1

D. D  �.

.

Chọn D
2
Do x  1  0, x �� nên điều kiện xác định của phương trình là D  �.

Câu 2.

Tập xác định của hàm số

A.

D  �\  4

.

3x  1
4  2 x là

y

D  �\  2

B.

.

C.
Lời giải

D  �\  4


.

D.

D  �\  2

D.

D  �\  4 .

.

Chọn D

4 �۹
2 x 0
Điều kiện xác định: 
Tập xác định:

Câu 3.

D  �\  2

Tập xác định của hàm số

A. D  �.

y
B.


x

2.

.
x2 1
x 2  3 x  4 là
D  �\  1; 4 .

D  �\  1; 4 .
C.
Lời giải

Chọn C

�x �1
x 2  3x  4 �0 � �
�x �4 . Vậy D  �\  4;1 .
Điều kiện xác định
Câu 4.

Điều kiện xác định của phương trình x  2 x  1  1  x là

A.



1
 x 1

2
.

B.



1
�x �1
2
.

C.
Lời giải

x �

1
2.

D. x �1 .

Chọn B

1
�
�x �
2
x


1
�
0
�
��
2
1
�
�  �x �1
�
1

x
�
0
x
�
1
�
2
Điều kiện xác định của phương trình là �
.
Câu 5.

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Điều kiện xác định của phương trình

x  1  x  2  x  3 là:
1



B. x  3 .

A. x �2 .

C. x �1 .
Lời giải

D. x �3 .

Chọn D
PT có nghĩa khi:

�x  1 �0
�
2 0
�x �۳۳
�x  3 �0
�
Câu 6.

�x �1
�
�x 2
�x �3
�

x 3
. Vậy điều kiện xác định của pt trên là: x �3 .

Điều kiện xác định của phương trình


A.

x � 2;8

x  2  8  x là

B. x �8 .

.

C. x �2 .
Lời giải

D. x  8 .

Chọn C

2 0
ĐK: x �۳

Câu 7.

x 2

Điều kiện xác định của phương trình

A.

�\  3


.

B.

x2 

 2; � .

6
4
x 3
là tập nào sau đây?

C. �.
Lời giải

D.

 2; � \  3 .

Chọn D
�x  2 �0
�x �2
��
�
�x �3
Điều kiện xác định của phương trình: �x  3 �0
x3  1  x  1 


Câu 8.

Cho phương trình

A. x �2 và x �2 .

1

.
x 2  4 Tìm điều kiên xác định của phương trình đa cho.

B. x �1 và x �2 .

C. x  2 .
Lời giải

D. x �2 .

Chọn C
�x 3  1 �0
�
�x  1 �0 � x  2.
�x 2  4  0
Điều kiện xác định của phương trình �

Câu 9.

x5
1
Điều kiện xác định của phương trình x  2

là
�x  5
.
�
x
�
2
x �5.
�
B.
C.
A.

�x �5
.
�
�x �2

Lời giải
Chọn C
2

D. x  2.


�x  5 �0
�x �5
��
�
�x �2

Điều kiện của phương trình là �x  2 �0

x2  5
x2 
0
7 x
Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình
?
 2; � .
 2; 7  .
 2;7 .
A.
B.
C.
Lời giải

D.

 7; � .

Chọn A
�x  2 �0
�x �2
��

�
7x 0
�x  7
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là: �


2

x

7
.

x4
2

2
3  x là:
Câu 11. Điều kiện xác định của phương trình x  1
x � 4;  �
x � 4;3 \  �1
x � �;3
A.
.
B.
. C.
.
Lời giải:

D.

x  �\  1

Chọn B

Phương trình đã cho xác định khi


�x  4 �0
�x �4
�2
�
1 0
1
�x �۹��
�x
�
�x  3
3 x  0
�
�

4 �x  3
�
�
�x ��1

x2  1
 3x
Câu 12. Tìm điều kiện của phương trình sau: x  2
.
�x �0
�
A. �x �2
B. x �2
C. x �0


.

D. x �2

Lời giải
�x �2
�
Để phương trình có nghĩa ta phải có: �x �0 .
Đáp án

A.
x 1
0
x 4

Câu 13. Tìm điều kiện xác định của phương trình:
�x �0
�
x
�
0
A.
B. �x �4

.
�x �0
�
C. �x �4
Lời giải


�x �0
�x �0
�x �0
�x �0
��
��
��
�
x  4 �0
�x �4
�x ��4
�x �4 .
Điều kiện: �

Đáp án

B.
3

D. x �0

.


Câu 14.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y


mx
x  m  2  1 xác định trên  0;1 .

� 3�
m ��
�; � 2
� 2�
�
A.
. B.
.
m � �;1 � 2
m � �;1 � 3
C.
.
D.
.
Lời giải

m � �; 1 � 2

Chọn C

Điều kiện xác định của hàm số là:
Tập xác định của hàm số là

�x �m  2
�x  m  2 �0
��
�

�x �m  1
� x  m  2  1 �0

D   m  2; m  1 � m  1; �

.

.

�
 0;1 � m  2; m  1
 0;1 �D � �
 0;1 � m  1; � .
 0;1 thì
�
Để hàm số xác định trên

�
�m  2 �0
m2
�
�
�
��
�
�m  1 �1 � �
m �1
�
�
m � �;1 � 2

m  1 �0
�
.
m 2  m  x  2  mx  x  2m

m
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình
nghiệm đúng
với x �R .

A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  1 .
Lời giải

D. m  1 .

Chọn C

m

2

 m  x  2  mx  x  2m �  m 2  1 x  2m  2

(1).


m  �1
�
m2  1  0
�
x �R � �
��
� m 1
m 1
2m  2  0
�
�
Phương trình (1) nghiệm đúng với
.
x2 1
0
Câu 16. Tìm m để phương trình x  m  2
xác định trên
m 1
�m �1
�
�
�
m �3
A. �m �3
B. �
C.

 1;1 .
�m  1
�

�m �3

Lời giải
Phương trình xác định khi: x �m  2 .
Khi đó để phương trình xác định trên

 1;1

thì:

m  2  1 �
m 1
�
m  2 � 1;1 � �
��
m  2 �1
m �3
�
�
4

D. 1  m �3


Đáp án

C.

Câu 17. Cho phương trình:
A. 1  m �2


1
0
 0;1 .
xm2
. Tìm m để phương trình xác định trên
B. 1 �m �2
C. 1 �m  2
D. 1  m  2

 x  2m  1 

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là:
 x  2m  1 �0
�
�x �2m  1
��
� m  2  x �2m  1
�
�x  m  2  0
�x  m  2
Hay phương trình xác định trên

 0;1

là:

 m  2; 2m  1


do đó điều kiện để phương trình xác định trên

 0;1 � m  2; 2m  1

m �2
�
� m  2 �0  1 �2m  1 � �
m �1 hay 1 �m �2 .
�
Đáp án

B.

y  f  x

Câu 18. Cho parabol
là:

�x �1
�
A. �x �4

Điều kiện:
cho

có đồ thị như hình vẽ. Phương trình

x �1
�
�

x �4
B. �

f  x  �0

f  x  �0

Đáp án
Câu 19. Cho hàm số

C. 1 �x �4
Lời giải

f  x  3

có điều kiện xác định

D. x ��

nhìn đồ thị ta thấy: 1 �x �4 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh hay hàm

.

C.

y  f  x

có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là đúng?

5



A. Phương trình

f  x  0

xác định trên khoảng

B. Phương trình

f  x  0

xác định trên đoạn

1
C. Phương trình

f  x

 1; 4  .

 2; 4 .

0
xác định trên khoảng

 1; 2  .

1
D. Phương trình


f  x

Nhìn đồ thị ta thấy

f  x   0 � x � 1; 2 

Đáp án

 0; 4  .
xác định trên khoảng
Lời giải

C.

Dạng 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Câu 20.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phịng - Học kỳ I - 2019) Hai phương trình được gọi là tương đương khi

A. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng dạng phương trình.

B. Có số nghiệm bằng nhau.
D. Có cùng tập hợp nghiệm.
Lời giải

Chọn D
Theo định nghĩa sách giáo khoa 10 thì hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có
cùng tập hợp nghiệm.

Câu 21.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Trong các phương trình sau, phương trình nào tương với
phương trình x  1  0 ?

A. x  2  0 .

B. x  1  0 .

C. 2 x  2  0 .
Lời giải

D.

 x  1  x  2  0 .

Chọn C

S   1
Hai phương trình x  1  0 và 2 x  2  0 tương đương nhau vì có cùng tập nghiệm là
.
Câu 22.

2
Cho phương trình: x  x  0 (1) . Phương trình nào tương đương với phương trình (1) ?

6


A.


x  x  1  0

.

2
2
C. x  ( x  1)  0 .
Lời giải

B. x  1  0 .

D. x  0

Chọn A
x0
�
(1) � x 2  x  0 � �
x  1
�
x0
�
x  x  1  0 � �
x 1
�
Ý A:
Câu 23.

Xét trên tập số thực, khẳng định nào sau đây là đúng?
2

x + 1 =- 3
A. Hai phương trình x + 1= 0 và
là hai phương trình tương đương.
B. Các phương trình bậc 3 một ẩn đều có 3 nghiệm thực.
C. Các phương trình bậc 2 một ẩn đều có 2 nghiệm thực.
D. Định lý Vi-ét khơng áp dụng cho phương trình bậc 2 có nghiệm kép.

Lời giải
Chọn A
Ở đáp án A, Dễ thấy hai phương trình đều vơ nghiệm nên chúng là hai phương trình tương
đương.

4x 
Câu 24.

(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Phương trình
nghiệm?

A. 2 .

C. 3 .
Lời giải

B. 1 .

3
3
  x2 
x3
x  3 có bao nhiêu

D. 0 .

Chọn B
Điều kiện xác định: x  3 .
Với điều kiện trên, ta có:
4x 

x0
�
3
3
  x2 
� 4 x   x2 � �
x  4
x3
x3
�

So sánh điều kiện, ta có x  0 là nghiệm của phương trình.
Câu 25.

2
Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x - 3x = 0 ?
1
1
x2 +
= 3x +
.
2
x x - 3 = 3x x - 3.

x- 3
x- 3
B.
A.

2
2
2
C. x + x +1 = 3 x + x +1. .

2
D. x + x - 2 = 3x + x - 2. .

Lời giải
Chọn C
7


Phương trình

x2 - 3x = 0 có hai nghiệm x  0; x  3

Phương trình đáp án A khơng nhận x = 0 là nghiệm do không thỏa mãn điều kiện xác định của
phương trình
Phương trình đáp án B không nhận x = 3 là nghiệm do không thỏa mãn điều kiện xác định của
phương trình
Phương trình đáp án D không nhận x = 0 là nghiệm do không thỏa mãn điều kiện xác định của
phương trình
Câu 26.


( )
( )
Cho phương trình f x = g x xác định với mọi x > 0 . Trong các phương trình dưới đây, phương
trình nào khơng tương đương với phương trình đa cho?
f ( x) g ( x)
=
2
2
x + 2 x + 3. f ( x) = x + 2 x + 3.g ( x)
- x
- x

A.

.

B.

.

( )
( )
C. k . f x = k .g x , với mọi số thực k �0

(
) ( ) ( 2 ) ( )
D. x +1 . f x = x +1 .g x .
Lời giải
2


Chọn B
f ( x) g ( x)
=
- x
- x xác định khi x < 0 và f ( x) , g ( x) có nghĩa.
f ( x) g ( x )
=
( x) = g ( x )
f
x
- x không là biến đổi
Biến đổi từ phương trình
sang phương trình
trương đương do làm thay đổi TXĐ của phương trình nên hai phương trình này khơng tương
đương.

Câu 27.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Cho phương trình
và phương trình

g x  0

A.

g x  0

có tập nghiệm

3

2.

có tập nghiệm

S1   m;2m 1

S2  �
�
1;2�
�
. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình

là phương trình hệ quả của phương trình

1  m

f  x  0

B. 1�m�2 .

f  x  0

.

C. m��. .

3
1�m�
2.
D.


Lời giải
Chọn D
f  x  0
g x  0
Gọi S1 , S 2 lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình
và
.
g x  0
f  x  0
Ta nói phương trình
là phương trình hệ quả của phương trình
khi S1 �S2 .
1 m 2
1 m 2
3
�
� �
�
3 1 m
1�2m 1�2 �
2
1�m�
�
�
2
Khi đó ta có
.
2
Câu 28. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x  4  0 ?


8


2  x    x 2  2 x  1  0

A.

C.

x  2   x 2  3x  2   0

B.

x2  3  1

2
D. x  4 x  4  0
Lời giải

2
Ta có phương trình: x  4  0 � x  �2 do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là:

S0   2; 2

. Xét các đáp án:

- Đáp án A: Giải phương trình:

 2  x    x 2  2 x  1  0


x  2
x20
�
�
�� 2
��
 x  2x 1  0
x  1� 2
�
�

Do đó tập nghiệm của phương trình là:





S1  2;1  2;1  2 �S 0

x2
�
�
 x  2   x  3x  2   0 � �x  1
�
x  2
�
2

- Đáp án B: Giải phương trình:


Do đó tập nghiệm của phương trình là:
- Đáp án C: Giải phương trình:

S 2   2; 1; 2 �S0

.

x 2  3  1 � x 2  3  1 � x  �2

Do đó tập nghiệm S3  S0 nên chọn đáp án C.
- Đáp án D: Có
Đáp án

S4   2 �S0

.

C.

Câu 29. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

x 1  2 x 1 � x 1  0
x  2  x  1 �  x  2    x  1
2

C.

B.

2

x2  1  0 �

x 1
0
x 1

2
D. x  1 � x  1
Lời giải

2
Chọn đáp án D vì x  1 � x  �1

Còn các khẳng định khác đều đúng.
Đáp án

D.

2
Câu 30. Cho phương trình 2 x  x  0 . Trong các phương trình sau đây phương trình nào khơng phải là
phương trình hệ quả của phương trình đã cho:
x
2x 
0
3
1 x
A.
B. 4 x  x  0


 2x
C.

2

 x    x  5  0
2

2

3
2
D. 2 x  x  x  0

9


Lời giải

x0
�
�
2x  x  0 �
� 1�
1�
�
S0  �
0; �
x

2
�
�
2
Giải phương trình
Tập nghiệm
2

Ta xét các đáp án:
�x �1
x0
�
�
1  x �0
�
x
��
x0
�
2x 
0��
� ��
�
1
�
2x  1 x   x  0
1 x
x
1
�

��
x
� 2
�
�� 2
- Đáp án A:
� 1�
S1  �
0; ��S0
2
�
Vậy tập nghiệm của phương trình là

Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

�x  0
�
� 1 1 �
4x  x  0 � �
0; ; �� S2 �S0
1 � S2  �
x�
� 2 2
�
�
2
- Đáp án B:
3

Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.


- Đáp án C:

2
�
�
2 x2  x  0
2 x2  x  0
2
2
2
x

x

x

5

0
�
�




�
�
�x  5  0
�x  5


vô nghiệm

� S3  �� S 2 �S 0
Vậy phương trình ở đáp án C khơng là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
1�
�
S4  �
1; 0; ��S0
2
�
- Đáp án D: Giải phương trình ta có:

Đáp án

C.

Câu 31. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. 2 x  x  3  1  x  3 và 2 x  1
x x 1
0
B. x  1
và x  0
C.

x  1  2  x và x  1   2  x 

2

D. x  x  2  1  x  2 và x  1

Lời giải
Xét các đáp án:

10


�x �3
2x  x  3  1 x  3 � �
� x ��
2
x

1
�
- Đáp án A: + Phương trình

+ Phương trình

2x  1 � x 

1
2

Do đó cặp phương trình ở đáp án A khơng tương đương vì không cùng tập nghiệm.
�x  1 �0
x x 1
0��
� x0
�x  0
- Đáp án B: + Phương trình x  1


+ Phương trình x  0
Vậy chọn đáp án

B.

- Đáp án C: + Phương trình

�x  1   2  x 
�
x 1  2  x � �
2  x �0
�

2

�x �2
�x 2  5 x  3  0
5  13
�
��
� � 5 � 13 � x 
2
�x �2
�x 
�
2
x  1   2  x  � x 2  5x  3  0 � x 
2


+ Phương trình

5 � 13
2

Do đó hai phương trình trong đáp án C khơng tương đương.
�x  2 �0
x  x  2  1 x  2 � �
�
�x  1
- Đáp án D:
Tập nghiệm rỗng.
Do đó phương trình x  x  2  1  x  2 và x  1 không phải là hai phương trình tương
đương.
Đáp án

B.

Câu 32. Hai phương trình nào sau đây không tương đương với nhau:
A.

x  1  x và  2 x  1 x  1  x  2 x  1

B.

 x  1  2  x 
2x

C.
D.


 x  1

2

x2

x 1

x2  x  2  0

0

và 1  x . 2  x  0

2x
 x2
và x  1

và

x . x2  0
Lời giải

Ta xét các đáp án:
- Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là x �1
11


Khi đó 2 x  1  0 nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho 2 x  1 nên hai phương

trình tương đương.
- Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là

 1; 2

nên tương đương.

- Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là x �1 nên ta có thể nhận phương trình thứ nhất
với x  1 �0 ta được phương trình thứ hai.
Vậy hai phương trình tương đương.
- Đáp án D: Phương trình

x2  x  2  0

có 2 nghiệm x  2 và x  0 thỏa mãn điều kiện

x0
�
�
x �2 .
�
x . x2 0

Còn phương trình
.

chỉ có nghiệm x  2 vì x  0 không thỏa mãn điều kiện x �2

Vậy hai phương trình khơng cùng tập nghiệm nên khơng tương đương.
Đáp án

Câu 33.

D.

Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương?
2

2

2

2

A. x  x  2  x  x  2 � x  x .
2

2

C. x  x  2  x  x  2 � x  x .

B.

2

2 x  x � 2 x  x .
2

2

2


2

D. x  x  3  x  x  3 � x  x .
Lời giải

Chọn D
* Xét phương án A:
�x 2  2 �0
2
�
�
2
2
2
�x  2 �0
x x 2  x  x 2 � �
� ��
� x ��
x0
2
�x  x
��
x 1
��
x0
�
2
xx ��
x 1

�

2 phương trình khơng có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương.
* Xét phương án B:
�x �0
�x �0
�
�
2 x  x � �
� ��
x  2 � x  1
2
2 x  x
��
�
x 1
��
x  2
�
2
2 x  x � �
x 1
�

2 phương trình khơng có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương.
12


* Xét phương án C:
�x �2

�
�x  2 �0
�
x x2  x  x2 � x  x � �
� ��
x  0 � x ��
2
��
�x  x
x 1
��
2

2

x0
�
2
xx ��
x 1
�

2 phương trình khơng có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương.
* Xét phương án D:
2
�
�x  3 �0
x x 3  x  x 3 � x  x � �
�
2

�x  x
2

2

2

2

x0
�
�
x 1
�

x0
�
2
xx ��
x 1
�

2 phương trình có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi là tương đương.
Câu 34. Xác định m để hai phương trình sau tương đương:
2
2
x 2  x  2  0 (1) và x  2  m  1 x  m  m  2  0 (2)
A. m  3

B. m �3


C. m �6
Lời giải

D. m �6

Dễ thấy phương trình (1) vơ nghiệm.
Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vơ nghiệm, tức là:

 '   m  1   m2  m  2   0 � m  3  0 � m  3
2

Đáp án

.

A.

Câu 35. Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
3
2
2 x 2  mx  2  0 và 2 x   m  4  x  2  m  1 x  4  0 (2)
A. m  2

B. m  3

C. m  2
Lời giải

D. m  3


x  2
�
�� 2
�  x  2   2 x  mx  2   0
2 x  mx  2  0
�
Ta có: Phương trình (2)
2

Do hai phương trình tương đương nên x  2 cũng là nghiệm của phương trình (1), thay vào ta
có m  3 . Khi m  3 hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm nên tương đương.
Đáp án

B.

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai phương trình sau tương đương:
13


mx 2  2  m  1 x  m  2  0
B. m  5; m  4

A. m  5

(1) và

 m  2  x 2  3x  m2  15  0

C. m  4

Lời giải

(2)

D. m  5

x 1
�
�  x  1  mx  m  2   0 � �
mx  m  2  0
�
Phương trình (1)
Do 2 phương trình tương đương nên x  1 cũng phải là nghiệm của (2) nên thay x  1 vào
phương trình (2) ta có:
m4
�
m  2  3  m2  15  0 � m2  m  20  0 � �
m  5
�
+ Với m  4 :

x 1
�
� 1�
�
4x  6x  2  0 �
� S1  �
1; �
1
�

x
�2
� 2
Phương trình (1) trở thành:
2

x 1
�
� 1�
�
2 x  3x  1  0 �
� S2  �
1; � S1
1
�
x
�2
� 2
Phương trình (2) trở thành
2

Vậy hai phương trình tương đương.
+ Với m  5 :
� 7
x
�7 �
5 x  12 x  7  0 � � 5 � T1  � ;1�
�
�5
x 1

�
Phương trình (1) trở thành:
2

� 10
x
�10 �
7 x  3x  10  0 � �
7 � T2  � ;1�
�
�7
x 1
�
Phương trình (2) trở thành:
2

Vậy T1 �T2 � Hai phương trình không tương đương.
Vậy m  4 thỏa mãn đề bài.
Đáp án

C.

14