CHUYÊN ĐỀ
BÀI 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. GIẢI TAM GIÁC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được các hệ thức lượng trong tam giác.
+ Nắm được các công thức tính diện tích tam giác.
+ Nhận biết được các vấn đề trong toán học được nghiên cứu từ những bài tốn thực tế.
 Kĩ năng
+

Tính được cạnh, góc, diện tích tam giác dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác.

+

Giải tam giác và tính tốn được một số bài toán đo đạc.

+

Chứng minh được các hệ thức về mối quan hệ giữa các thành phần trong tam giác.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí cơsin

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AC = 5 , AB = 6

Trong ∆ABC bất kì với BC = a , CA = b , AB = c ,

� = 60o .

và BAC

ta có
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc. cos A ;
b 2 = a 2 + c 2 - 2ac.cos B ;
c 2 = a 2 + b2 - 2ab.cos C .
Khi đó, ta có
�
BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC.cos BAC
= 52 + 62 - 2.5.6.cos 60�= 31
� BC = 31 .
Hệ quả
cos A =

b2 + c 2 - a 2
;
2bc

31 + 52 - 62
cos C �޻==
2. 31.5

2 31
31

�
C

69 ;


cos B =

a 2 + c2 - b2
;
2ac

31 + 6 2 - 52
cos B �޻==
2. 31.6

7 31
62

�
B

51 .

a 2 + b2 - c 2
2ab
Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.
cos C =

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a , CA = b ,
AB = c . Gọi ma , mb , mc lần lượt là độ dài các đường

Độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A là
52 + 62 31 91
91
.

m =
= � ma =
2
4
4
2
2
a

trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Khi đó,
ta có
b2 + c 2 a 2
;
m =
2
4
2
a

a 2 + c2 b2
;
m =
2
4
2
b

a 2 + b2 c2
.
m =

2
4
Định lí sin

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 7 , BC = 6 và

Trong ∆ABC bất kì với BC = a , CA = b , AB = c và

bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC là R = 5 .

2
c

R là bán kính đường trịn ngoại tiếp, ta có
a
b
c
=
=
= 2R .
sin A sin B sin C

Trang 2


Cơng thức tính diện tích tam giác

Khi đó, ta có:

Cho ∆ABC có các cạnh BC = a , CA = b , AB = c .


6
7
=
= 2 R = 2.5 = 10
sin A sin C

Gọi S là diện tích ∆ABC, R và r lần lượt là bán kính
đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác; ha ; hb ; hc
lần lượt là đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam
giác và p =

a +b +c
là nửa chu vi của tam giác. Khi
2

�
3
�
sin A =
�
�
�
�
5
�A �37�
��
��
�
�

� �44�
7
C
�
�
�
sin C =
�
�
10
�
�Bˆ�180
� �
37


44

99 ;

đó, diện tích S của ∆ABC được tính theo cơng thức sau

AC = 2 R.sin B = 2.5.sin 99��9,9 ;

1
1
1
S = ab sin C = bc sin A = ac sin B ;
2
2

2

Diện tích tam giác ABC là

S=

1
SD ABC = BA.BC.sin B
2

abc
;
4R

1
= .7.6.sin 99�
2

S = pr ;
S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c) (công thức Hê-rông).

�20, 7 (đvdt)

Sơ đồ
Diện tích tam giác ABC
;
;
;

Cơng thức tính độ dài

đường trung tuyến
;
;
.

.

Tam giác ABC có nửa
chu vi p, ;;
R, r lần lượt là bán
kính đường trịn ngoại
tiếp, nội tiếp tam giác
ABC.

Định lí Cơsin
;
;
.

Định lí sin

Hệ quả
;
;
.

Trang 3


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Giải tam giác
Phương pháp giải
Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác

Ví dụ:

khi cho biết các yếu tố khác.

� = 60�.
Cho ∆ABC biết AB = 6 , AC = 8 và BAC

Ta thường gặp các bài tốn sau đây:

Tính các cạnh và các góc cịn lại của ∆ABC.

 Biết một cạnh và hai góc: Ta sử dụng định lý

Hướng dẫn giải

sin để tính các cạnh cịn lại.
 Biết hai cạnh và góc xen giữa: Ta sử dụng
định lý cơsin để tính cạnh thứ ba và định lý
sin để tính các góc cịn lại.
 Biết ba cạnh: Ta sử dụng định lý cơsin để
tính các góc.

Tam giác đã cho có độ dài hai cạnh và số đo góc
xen giữa, vì vậy ta sử dụng định lý cơsin để tính

Chú ý các cơng thức tính diện tích tam giác,


cạnh thứ ba và định lý sin để tính các góc cịn lại.

định lý “tổng ba góc của một tam giác bằng

Ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC. cos A

“180” và đặc biệt có thể sử dụng hệ thức lượng

= 62 + 82 - 2.6.8.cos 60�= 52 .

trong tam giác vuông.

Suy ra BC = 2 13 .
BC
AC
AB
2 13
8
6
=
=
�
=
=
sin A sin B sin C
sin 60� sin B sin C
�
2 39
�

sin B =
�
�B
� �74�
�
13
��
��
.
�
�
�
�
� �46�
3 39
C
�
�
�
�
sin C =
�
26
�
� �74�và C
� �46�.
Vậy BC = 2 13 , B

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 1 , AC = 2 và �

A = 120�.
a) Tính BC và diện tích tam giác ABC.
b) Tính độ dài đường cao AH và trung tuyến BK của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải

Trang 4


a) Theo định lý cơsin ta có
BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC.cos A = 12 + 22 - 2.1.2.cos120�= 7 .
Suy ra BC = 7 .
Diện tích tam giác ABC là SD ABC =
Vậy BC = 7 và SD ABC =
b) Ta có SD ABC =

1
1
3
(đvdt).
AB. AC.sin A = .1.2.sin120�=
2
2
2

3
(đvdt).
2

1
1

3
21
.
AH .BC � AH .BC =
� AH . 7 = 3 � AH =
2
2
2
7

Theo công thức trung tuyến, ta có
2

BK =

2 ( BA2 + BC 2 ) - AC 2

Vậy AH =

4

=

2.( 1 + 7) - 4
= 3 � BK = 3 .
4

21
và BK = 3 .
7


Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB = 4 , AC = 5 và BC = 6 .
�.
� ,C
a) Tính các góc �
A, B
b) Tính độ dài đường trung tuyến và diện tích của ∆ABC.
c) Tính bán kính đường trịn nội tiếp và ngoại tiếp của ∆ABC.
Hướng dẫn giải
a) Theo định lý cơsin ta có
AB 2 + AC 2 - BC 2
cos A �޻===
2 AB. AC

4 2 + 52 - 6 2
2.4.5

1
8

BC 2 + AB 2 - AC 2
cos B �޻===
2 AB.BC

6 2 + 4 2 - 52
2.6.4

9
16


CA2 + CB 2 - AB 2
cos C �޻===
2CA.CB

52 + 6 2 - 42
2.5.6

3
4

�
A
�
B
�
C

83 ;
56 ;
41 .

� �56�, C
� �41�.
Vậy Aˆ �83�, B
b) Gọi ma , mb , mc lần lượt là độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Theo công thức trung tuyến, ta có
2

ma =
2


mb =
mc 2 =

2 ( AB 2 + AC 2 ) - BC 2
4
2 ( BA2 + BC 2 ) - AC 2
4
2 ( CA2 + CB 2 ) - AB 2
4

=
=
=

2 ( 42 + 52 ) - 6 2
4
2 ( 4 2 + 6 2 ) - 52
4

2 ( 52 + 6 2 ) - 4 2
4

=

23
46 ;
� ma =
2
2


=

79
79 ;
� mb =
4
2

=

53
106 .
� mc =
2
2
Trang 5


Vậy ma =

46
79
106
, mb =
, mc =
.
2
2
2


Nửa chu vi tam giác ABC là p =

AB + BC + CA 4 + 6 + 5 15
=
= .
2
2
2

Theo công thức Hê-rông, ta có diện tích tam giác ABC là
SD ABC = p ( p - AB ) ( p - AC ) ( p - BC ) =

15 7
(đvdt).
4

c) Gọi r, R lần lượt là bán kính đường trịn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC.
Ta có SD ABC =

AB. AC.BC 15 7 4.5.6.
8 7
.
�
=
�R=
4R
4
4R
7


SD ABC = pr �

15 7 15
7
.
= .r � r =
4
2
2

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có BC = 12 , CA = 13 , trung tuyến AM = 8 . Khi đó diện tích tam giác ABC
bằng
A. SD ABC =

9 30
.
2

B. SD ABC =

55
.
2

C. SD ABC =

30
.
2


D. SD ABC =

9 55
.
2

Hướng dẫn giải
Theo công thức trung tuyến ta có
MA2 =

AB 2 + AC 2 BC 2
� 4MA2 = 2 AB 2 + 2 AC 2 - BC 2
2
4

� 4.82 = 2 AB 2 + 2.132 - 12 2 � AB 2 = 31 .
Mà AB > 0 nên AB = 31 .
Nửa chu vi tam giác ABC là p =

AB + BC + CA
31 +13 +12
31 + 25
.
=
=
2
2
2


Theo cơng thức Hê-rơng, ta có diện tích tam giác ABC là
SD ABC = p ( p - AB ) ( p - AC ) ( p - BC ) =

9 55
(đvdt).
2

Chọn đáp án D.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có AC = 8 , �
A = 60�và diện tích SD ABC = 20 (đvdt). Khi đó độ dài đường
cao AH của tam giác ABC bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
A. AH = 5, 2 .

B. AH = 5, 6 .

C. AH = 5,9 .

D. AH = 5 .

Hướng dẫn giải

Trang 6


Ta có SD ABC = 20 �
� AB =

40
�
AC.sin A


1
� = 20 � AB. AC.sin A
� = 40
AB. AC.sin A
2

=

10 3
.
3

Theo định lý cơsin ta có
2

�
� 2
�
10 3 �
10 3 �
�
�
�
�
BC = AB + AC - 2 AB. AC.cos A = �
+
8
2.
.8.cos 60�

�
�
�
�3 �
�3 �
�
�
�
�
�
2

-

=

2

292
3

80 3
3

2

BC

7, 2 .


1
1
40
�5, 6 .
Ta có SDABC = AH .BC � 20 = AH .BC � AH =
2
2
BC
Chọn đáp áp B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1. Diện tích của tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 5cm, 7cm và 8cm là
A. S = 140 cm2.

B. S = 10 3 cm2.

C. S = 20 cm2.

D. S = 60 13 cm2.

� = 45�và AC = 10 2 . Độ dài cạnh BC là
Câu 2. Cho tam giác ABC có �
A = 30�, B
A. 10.

B. 5 2 .

C.

5

.
2

D. 5.

� = 45�, C
� = 75�và BC = 5 . Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
Câu 3. Cho tam giác ABC có B
giác ABC là
A. 5.

B.

5
.
2

C.

5 3
.
3

D.

5 3
.
2

Câu 4. Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 3 cm và BC = 6 cm. Độ dài trung tuyến kẻ từ C của tam

giác ABC là
57
cm.
2
uuu
r uuur
Câu 5. Cho tam giác DEF có DE = 5a , EF = 7a và DF = 9a . Tích vơ hướng DE.DF bằng
A.

74
cm.
2

105a 2
A.
.
2

B.

65
cm.
2

57a 2
B.
.
2

C.


61
cm.
2

7a 2
C. .
2

D.

155a 2
D.
.
2

Câu 6. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm và AB = 5 cm, BC = 7 cm và AC = 9 cm. Giá trị của
GA2 + GB 2 + GC 2 bằng
A.

145
cm.
3

B.

155
cm.
3


C.

465
cm.
3

D.

175
cm.
3

Câu 7. Cho tam giác ABC có BC = 2 3 , AC = 2 AB và độ dài đường cao AH = 2 . Độ dài cạnh AB
bằng
Trang 7


A. AB = 2 .
C. AB = 2 hoặc AB =

B. AB =
2 21
.
3

Câu 8. Cho tam giác HIK có
A. KI = a 3 .

2 3
.

3

D. AB = 2 hoặc AB =

2 3
.
3

sin K 1
= và HI 2 + IK 2 = 45a 2 . Tính độ dài cạnh KI theo a.
sin H 2

B. KI = 6a .

C. KI = a 6 .

D. KI = 3a .

Câu 9. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 24, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác là 5. Tính tổng
S = sin A + sin B + sin C .
A. S = 4,8 .

B. S = 2, 4 .

D. S = 1, 4 .

C. S = 2 .

Câu 10. Cho tam giác ABC vng tại A có AB = AC = 30 cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau
tại G. Diện tích tam giác GFC bằng

A. 50cm 2 .

C. 15 105cm 2 .

B. 50 2cm 2 .

D. 75cm 2 .

Bài tập nâng cao
Câu 11. Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 3 , AC = 8 . Gọi M là điểm trên cạnh BC thỏa
BM = 2MC . Độ dài đoạn thẳng AM bằng
A. 17 .

B.

29 - 12 5 .

C.

265
.
3

D.

35 .

Câu 12. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vng góc với nhau và có BC = 3 ,
� = 30�. Diện tích tam giác ABC bằng
BAC

A. 3 3 .

B. 6 3 .

C. 9 3 .

Câu 13. Cho tam giác ABC có

BC = a ,

AB = c ,

D.
AC = b

3 3
.
2

và diện tích là S. Biết

1
S = ( a + b - c) ( a - b + c ) . Tìm số đo góc A.
4
A. �
A = 30�.

B. �
A = 60�.


C. �
A = 90�.

D. �
A = 120�.

Câu 14. Cho tam giác ABC cân tại A có �
A = 100�. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho
� = 20�và PCB
� = 30�. Biết AB = 5 , độ dài cạnh BP là
PBC
A. 10.

B. 5.

C. 5 3 .

Câu 15. Cho tam giác ABC có BC = 3 , AB =

D.

5
.
2

6- 2
và �
ABC = 45�. Gọi AM là đường phân giác
2


� ( M �BC ) . Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC là
trong của BAC
A. R = 2 3 - 2 .

B. R =

1
2

(

)

3- 1 .

C. R = 3 .

D. R = 3 - 1 .
Trang 8


Dạng 2. Ứng dụng vào việc đo đạc
Bài toán 1. Đo chiều cao của các vật rất cao
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Để đo chiều cao của một tòa nhà, người ta lấy hai điểm A và D trên mặt
đất có khoảng cách AD = 10 m cùng thẳng hàng với chân B của tòa nhà. Người ta
� = 35�, CAB
� = 40�.
đo được các góc CDB
Chiều cao BC của tòa nhà là

A. CB �40,3 m.
B. CB �41,3 m.
C. CB �42,3 m.
D. CB �44,3 m.
Hướng dẫn giải
� = CDA
� + DCA
�
Ta có CAB
� = CAB
� - CDA
� = 40�
� DCA
- 35�= 5�.
Áp dụng định lý sin vào tam giác CDA, ta có
AD
AC
AD.sin D 10.sin 35�
=
� AC =
=
(m).
sin C sin D
sin C
sin 5�
Xét tam giác ABC vng tại B, ta có
BC = AC.sin A =

10.sin 35�
.sin 40��42,3 (m).

sin 5�

Vậy chiều cao của tịa nhà khoảng 42,3m.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Muốn đo chiều cao của một cái cây mà không thể đến được gốc cây,
người ta lấy hai điểm M, N trên mặt đất có khoảng cách MN = 5 m cùng thẳng
hàng với gốc cây để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao
MA = NB = 1, 2 m. Lấy điểm D trên thân cây sao cho A, B, D thẳng hàng. Người
� = b = 41�.
� = a = 36�và CBD
ta đo được CAD
Chiều cao của cây bằng
A. h �23,3 m.
B. h �24,3 m.
C. h �25,3 m.
D. h �26,3 m.
Hướng dẫn giải
Ta có b = a + �
ACB � �
ACB = b - a = 41�
- 36�= 5�.
Trang 9


Áp dụng định lý sin vào tam giác CAB, ta có
AB
BC
AB.sin A 5.sin 36�
=
� BC =

=
(m).
sin C sin A
sin C
sin 5�
Xét tam giác BCD vng tại D, ta có
sin B =

CD
5.sin 36�
� CD = CB.sin B =
.sin 41��22,1 (m).
CB
sin 5�

Vậy chiều cao của cái cây là h �22,1+1, 2 = 23,3 m.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 3. Trên nóc một tịa nhà có một cột ăng-ten thẳng BC cao 4m. Từ vị trí quan
sát A cao 7m so với mặt đất, người ta nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột lần lượt
dưới góc 50 và 40 so với phương nằm ngang.
Chiều cao CH của tòa nhà bằng
A. CH �14,5 m.
B. CH �15,5 m.
C. CH �16,5 m.
D. CH �17,5 m.
Hướng dẫn giải
� = 90�
Ta có �
ABD = 90�
- BAD

- 50�= 40�,
� = BAD
� - CAD
� = 50�
BAC
- 40�= 10�.
Áp dụng định lý sin vào tam giác CAB, ta có
BC
AC
BC .sin B 4.sin 40�
=
� AC =
=
(m).
sin A sin B
sin A
sin10�
Xét tam giác ACD vng tại D, ta có
sin A =

CD
4.sin 40�
� CD = AC.sin A =
.sin 40��9,5 (m).
AC
sin10�

CH = CD + DH �9,5 + 7 = 16,5 (m).
Vậy chiều cao của tịa nhà khoảng 16,5m.
Chọn đáp án C.

Bài tốn 2. Tính khoảng cách
Phương pháp giải
Ta chuyển khoảng cách cần tính về việc tính độ dài cạnh trong tam giác rồi áp dụng hệ thức lượng trong
tam giác để giải.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trên biển một con thuyền thả neo ở vị trí A. một người đứng ở vị trí K
trên bờ biển muốn đo khoảng cách từ người đó đến con thuyền, người đó đã chọn
Trang 10


một điểm H trên bờ với K và đo được KH = 380 m, �
AKH = 50�, �
AHK = 45�.
Khoảng cách KA từ người đó đến con thuyền bằng
A. KA �270 m.

B. KA �280 m.

C. KA �290 m.

D. KA �300 m.

Hướng dẫn giải

�- K
� = 180�
∆AHK có �
A = 180�
- H
- 45�

- 50�= 85�.
Áp dụng định lý sin vào tam giác AHK, ta có
AK
HK
HK .sin H 380.sin 45�
=
� AK =
=
�270 (m).
sin H sin A
sin A
sin 85�
Vậy từ người đó đến con thuyền khoảng 270m.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2. Một tàu khách và một tàu hàng cùng xuất phát từ một vị trí ở bến tàu, đi
thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 55. Tàu hàng chạy với tốc độ 22 hải
lý một giờ, tàu khách chạy với tốc độ 35 hải lý một giờ. Sau 2 giờ, khoảng cách
giữa hai con tàu gần với đáp án nào nhất?
A. 37 hải lý.

B. 47 hải lý.

C. 57 hải lý.

D. 67 hải lý.

Hướng dẫn giải
Gọi bến tàu ở vị trí A.
Tàu khách và tàu hàng sau 2 giờ lần lượt ở vị trí C và B.
Do tàu hàng chạy với tốc độ 22 hải lý một giờ nên AB = 22.2 = 44 (hải lý).

Do tàu khách chạy với tốc độ 35 hải lý một giờ nên AC = 35.2 = 70 (hải lý).
Áp dụng định lý côsin vào ∆ABC, ta có
BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC.cos A
= 442 + 702 - 2.44.70.cos 55��3303
޻ BC

57 .

Vậy sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 57 hải lý.
Chọn đáp án C.
Bài tập tự luyện dạng 2
Trang 11


Bài tập cơ bản
Câu 1. Để đo khoảng cách từ một vị trí N trên bờ sơng đến một gốc cây tại
A trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm M cùng ở trên bờ với N.
Biết ta đo được MN = 32 m, �
, �
AMN = 30�
ANM = 42�. Khoảng cách từ N
đến gốc cây A bằng
A. AN �14,82 m.

B. AN �15,82 m.

C. AN �16,82 m.

D. AN �17,82 m.


Câu 2. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 80 m, người ta nhìn thấy hai điểm
A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn 60 và 45 (như hình vẽ). Biết ba
điểm A, B, C thẳng hàng. Tính khoảng cách AB.
A. AB = 160

(

)

3 - 1 m.

B. AB = 160 3 m.
C. AB = 160 m.
D. AB = 160

(

)

3 +1 m.

Câu 3. Khoảng cách từ A đến C khơng thể đo trực tiếp được vì phải qua một
đầm lầy nên người ta làm như sau: Xác định một điểm B có khoảng cách
AB = 15 m và đo được góc �
ACB = 42�. Biết rằng BC = 7 m, tính khoảng
cách AC.
A. AC �18, 45 m.

B. AC �19, 45 m.


C. AC �20, 45 m.

D. AC �21, 45 m.

Câu 4. Một cây cột điện cao 20m được đóng trên một triền dốc thẳng
nghiêng hợp với phương nằm ngang một góc 17 (quan sát hình vẽ bên).
Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc, biết đoạn đường từ
đáy cọc đến cuối dốc bằng 72m. Chiều dài AD của đoạn cáp bằng
A. AD �83, 4 m.

B. AD �84, 4 m.

C. AD �85, 4 m.

D. AD �86, 4 m.

Câu 5. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng
hợp với nhau một góc 60. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai
chạy với tốc độ 40km/h. Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu ki-lômét?
A. 5200km.

B. 20 13 km.

C. 10 13 km.

D. 1300km.

Bài tập nâng cao
Câu 6. Một ô tô muốn đi từ A đến C nhưng giữa A và C là một ngọn núi cao
nên ô tô phải đi thành hai đoạn từ A đến B rồi từ B đến C, các đoạn đường

tạo thành tam giác ABC có AB = 15 km, BC = 20 km và �
ABC = 120�. Giả
sử ô tô chạy 5km tốn một lít xăng. Nếu người ta làm một đoạn đường hầm
xuyên núi chạy thẳng từ A đến C. Biết rằng giá 1 lít xăng có giá 20000
Trang 12


đồng, khi đó ơ tơ chạy trên con đường này sẽ tiết kiệm được số tiền so với
chạy trên đường cũ là
A. 92000 đồng.

B. 140000 đồng.

C. 18400 đồng.

D. 121600 đồng.

Dạng 3. Chứng minh các hệ thức và mối quan hệ
Phương pháp giải
Để chứng minh một hệ thức, ta có thể biến đổi vế này
thành vế kia, biến đổi hai vế cùng bằng một biểu thức
trung gian hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh
tương đương với một hệ thức đã biết là đúng.
Khi chứng minh cần khai thác giả thiết và kết luận để
tìm được các hệ thức thích hợp làm trung gian cho q
trình biến đổi.

Ví dụ:
Gọi S là diện tích và R là bán kính đường
trịn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng

S = 2 R 2 sin A.sin B.sin C .
Hướng dẫn giải
Trong hệ thức cần chứng minh có xuất hiện
S, R và giá trị sin của các góc, do đó ta sẽ
khai thác các cơng thức có liên quan đến
các giá trị này.
Ta có VT = S =
Mặt khác

abc
.
4R

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

� sin A =

a
b
c
; sin B =
; sin C =
.
2R

2R
2R

VP = 2 R 2 .sin A.sin B.sin C
= 2R 2 .

a b c
abc
. .
=
.
2R 2R 2R 4R

Vậy S = 2 R 2 sin A.sin B.sin C .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = c , BC = a , CA = b . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

cos A cos B cos C a 2 + b 2 + c 2
.
+
+
=
a
b
c
2abc

B.


cos A cos B cos C a 2 - b 2 + c 2
.
+
+
=
a
b
c
2abc

C.

cos A cos B cos C a 2 + b 2 - c 2
.
+
+
=
a
b
c
2abc

D.

cos A cos B cos C a 2 - b 2 - c 2
.
+
+
=
a

b
c
2abc

Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC, ta có
cos A cos B cos C b 2 + c 2 - a 2 a 2 + c 2 - b 2 a 2 + b 2 - c 2
+
+
=
+
+
a
b
c
2abc
2abc
2abc

Trang 13


Vậy

=

b 2 + c 2 - a 2 + a 2 + c2 - b2 + a 2 + b 2 - c 2
2abc

=


a 2 + b2 + c 2
.
2abc

cos A cos B cos C a 2 + b 2 + c 2
(điều phải chứng minh).
+
+
=
a
b
c
2abc

Chọn đáp án A.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi a = BC , b = CA , c = AB và ma , mb , mc lần lượt là
đường trung tuyến hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng
2
2
2
2
2
2
a) 4 ( ma + mb + mc ) = 3( a + b + c ) .
2
2
2
b) GA + GB + GC =


1 2
( a +b2 + c2 ) .
3

Hướng dẫn giải
a) Theo công thức trung tuyến ta có
ma 2 =

b2 + c 2 a 2
a 2 + c2 b2
a 2 + b2 c 2
; mb 2 =
; mc 2 =
.
2
4
2
4
2
4

2
2
2
Suy ra ma + mb + mc =

3 2
( a +b2 + c2 ) .
4


2
2
2
2
2
2
Vậy 4 ( ma + mb + mc ) = 3( a + b + c ) (điều phải chứng minh).

2
4 2
2
4 2
2
4 2
2
2
2
b) Ta có GA = ma � GA = ma ; GB = mb � GB = mb ; GC = mc � GC = mc .
3
9
3
9
3
9
4
4
4
GA2 + GB 2 + GC 2 = ma 2 + mb 2 + mc 2
9
9

9
=

4
( ma 2 + mb 2 + mc 2 )
9

=

1 2
( a +b2 + c 2 ) .
3

2
2
2
Vậy GA + GB + GC =

1 2
( a +b2 + c 2 ) (điều phải chứng minh).
3

Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1. Cho tam giác ABC có AB = c , BC = a , AC = b và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.

a
b

c
=
=
=R.
sin A sin B sin C

B.

a
b
c
=
=
= 2R .
sin A sin B sin C

C.

a
b
c
1
=
=
=
.
sin A sin B sin C 2 R

D.


a
b
c
1
=
=
= .
sin A sin B sin C R

Câu 2. Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b và BC = a . Trung tuyến AM có độ dài là

Trang 14


1
2b 2 + 2c 2 - a 2 .
2

A. AM = b 2 + c 2 - a 2 .

B. AM =

C. AM = 3a 2 - 2b 2 - 2c 2 .

D. AM = 2b 2 + 2c 2 - a 2 .

Câu 3. Cho tam giác ABC có sin 2 C = sin 2 A + sin 2 B . Tam giác ABC là tam giác gì?
A. Tam giác ABC vuông tại A.

B. Tam giác ABC vuông tại B.


C. Tam giác ABC vuông tại C.

D. Tam giác ABC đều.

Câu 4. Cho tam giác ABC có diện tích S = 2 R 2 .sin B.sin C , với R là bán kính đường trịn ngoại tiếp của
tam giác ABC. Tìm số đo góc A.
A. �
A = 30�.

B. �
A = 45�.

C. �
A = 60�.

D. �
A = 90�.

Câu 5. Cho tam giác ABC có ha , hb , hc lần lượt là đường cao hạ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Biết
2ha = hb + hc . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

2
1
1
=
+
.
sin A sin B sin C


B. 2sin A = sin B + sin C .

C. sin A = 2sin B + 2sin C .

D.

2
1
1
=
.
sin A sin B sin C

Bài tập nâng cao
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường trịn tâm O bán kính R. Gọi r là bán
kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỷ số
A. 1 + 2 .

B.

2+ 2
.
2

R
bằng
r
C.


2- 1
.
2

D.

1+ 2
.
2

Câu 7. Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm hai đường chéo AC, BD. Khẳng định nào đúng trong các
khẳng định sau?
A. AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 + 4EF 2 .
B. AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 .
C. AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 + 2 EF 2 .
D. AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 + 6 EF 2 .

Trang 15


ĐÁP ÁN
Dạng 1. Giải tam giác
Đáp án trắc nghiệm
1–B

2 –A

3–C

4 –A


5–B

6–C

11 – C

12 – A

13 – C

14 – B

15 – D

7–C

8–B

9–B

10 – D

Hướng dẫn giải
Câu 11.
AB
3
=
Ta có BC = AB 2 + AC 2 = 32 + 82 = 73 ; cos B =
.

BC
73
2
2 73
Do BM = 2MC nên BM = BC =
.
3
3
Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABM ta có
AM 2 = BA2 + BM 2 - 2 BA.BM .cos B
2

�
2 73 �
2 73 3
�
�
= 3 +�
2.3.
.
�
.
�
�
�
�
3
73
�3 �
2


=

265
.
9

Vậy AM =

265
.
3

Chọn đáp án C.
Câu 12.
Đặt AB = x , AC = y ( x, y > 0) .
Gọi { G} = CN �BM ; { I } = AG �BC . Khi đó G là trọng tâm tam giác ABC
và I là trung điểm của BC.
Tam giác BGC vuông tại G nên IG = IB = IC =

BC 3
= .
2
2

9
Suy ra AI = 3IG = .
2
Theo công thức trung tuyến, ta có
AI 2 =


AB 2 + AC 2 BC 2
81 x 2 + y 2 9
� =
- � x2 + y 2 = 45 . (1)
2
4
4
2
4

Theo định lý cơsin, ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC.cos A � 9 = x 2 + y 2 - 2 xy.cos 30�. (2)
Từ (1) và (2) suy ra xy = 12 3 .
Diện tích tam giác ABC là SD ABC =

1
1
AB. AC.sin A = xy.sin 30�= 3 3 .
2
2

Vậy SD ABC = 3 3 .
Chọn đáp án A.
Trang 16


Câu 13.
1
1 2
1

2
a - ( b - c) �
= ( a 2 - b 2 - c 2 + 2bc)
Ta có S = ( a + b - c ) ( a - b + c ) = �
�
�
�
�
4
4
4
b 2 + c 2 - a 2 ) .bc �
(
�
1�
1
�
�
= �
bc = bc.( 1- cos A) .
�
�
�
2�
2bc
� 2
�
�
�
1

1
1
2
2
Mặt khác S = bc sin A � bc.( 1- cos A) = bc sin A � sin A =1- cos A � sin A = ( 1- cos A)
2
2
2
Do sin 2 A + cos 2 A = 1 nên 1- cos 2 A = 1- 2cos A + cos 2 A � 2 cos 2 A - 2cos A = 0
�
cos A = 0
� 2 cos A ( cos A - 1) = 0 � �
.
�
cos A = 1
�
� = 90�.
Do 0�< �
A <180�nên cos A = 0 � A
Chọn đáp án C.
Câu 14.
- 100�
� = 180�
ABC = ACB
= 40�.
Ta có �
2
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có
�
BC

AB
AB.sin BAC
5.sin100�
=
� BC =
=
.
�
�
�
sin 40�
sin BAC
sin ACB
sin ACB
� = 180�
� - PCB
� = 180�
Ta có BPC
- PBC
- 20�
- 30�= 130�.
Áp dụng định lý sin trong tam giác BPC ta có

BC
BP
=
�
�
sin BPC sin PCB


5.sin100�
.sin 30�
�
BC.sin PCB
sin
40
�
� BP =
=
=5.
�
sin130
�
sin BPC
Chọn đáp án B.
Câu 15.
Theo định lý cơsin ta có
AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 BA.BC.cos B
2

�6 - 2�
�
6- 2
�
=�
+ 3 - 2.
. 3.cos 45�
�
�
�

�
� 2
2
�
�
=2.
Suy ra AC = 2 .
Theo định lý sin ta có
BC
AC
BC.sinB
3.sin 45� 3
=
� sin A =
=
=
.
sin A sin B
AC
2
2
� > ACB
� .
Do BC > AB nên BAC
Trang 17


� = 120�� CAM
� = 60�.
Suy ra BAC

Theo tính chất đường phân giác ta có
�3 �
Mà BM + MC = BC nên �
�
�
� 2

�3BM
AB
3- 1
�
=
=
� BM =�
�
�
MC AC
2
� 2

�
1�
�
MC + MC = BC � MC = 3 �
�
�

Áp dụng định lý sin vào tam giác AMC, ta có

�

1�
�
MC .
�
�
�

3.

MC
MC
3- 3
= 2R � R =
=
= 3 - 1.
�
�
2sin 60�
sin CAM
2sin CAM

Chọn đáp án D.
Dạng 2. Ứng dụng vào việc đo đạc
Đáp án trắc nghiệm
1–C

2 –A

3–B


4 –A

5–B

6–C

Hướng dẫn giải
Câu 6.
Quảng đường ô tô đi từ A đến C qua B là S1 = AB + BC = 15 + 20 = 35 (km).
Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC, ta có
AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB.BC.cos �
ABC = 152 + 202 - 2.15.20.cos120�= 925 � AC = 5 37 (km).
Nếu đi theo đường hầm thì qng đường ơ tơ phải đi ít hơn là S = S1 - AC = 35 - 5 37 �4, 6 (km).
Ơ tơ tiết kiệm được số tiền là 4, 6 : 5.20000 =18400 (đồng).
Chọn đáp án C.
Dạng 3. Chứng minh các hệ thức và mối quan hệ
Đáp án trắc nghiệm
1–B

2–B

3–C

4–D

5–A

6–A

7 –A


Hướng dẫn giải
Bài tập nâng cao
Câu 6.
Đặt AB = c . Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AC = c , BC = c 2 .
Nửa chu vi tam giác ABC là p =
Diện tích tam giác ABC là SD ABC
Ta có SD ABC =

AB + AC + BC c + c + c 2
c 2
.
=
=c+
2
2
2

1
c2
= AB. AC = .
2
2

c2 �
c 2�
c
�
AB. AC.BC
c2 c2 2

c 2 S
�
�
=
pr
�
=
c
+
r�r=
�
;
.
� =
�R=
�
D ABC
�
�
2 �
2 �
2+ 2
�
4R
2
4R
2

Trang 18



R
Vậy =
r

c 2
2 =1+ 2 .
c
2+ 2

Chọn đáp án A.
Câu 7.
Áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có
AB 2 + AD 2 BD 2
CB 2 + CD 2 DB 2
2
; CE =
;
AE =
2
4
2
4
2

AE 2 + CE 2 AC 2
EF =
� 4 EF 2 = 2 ( AE 2 + CE 2 ) - AC 2
2
4

2

BD 2
BD 2
2
2
= AB + AD + BC + CD - AC 2
2
2
2

2

� AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 + 4 EF 2 .
Chọn đáp án A.

Trang 19