CHƯƠNG 2
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 0�ĐẾN 180�
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được các kiến thức cơ bản về việc xác định giá trị lượng giác của một góc dựa vào
nửa đường trịn đơn vị.
+

Phát biểu và vận dụng được các tính chất về giá trị lượng giác của các góc bù nhau.

+ Ghi nhớ được bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
+ Xác định được góc giữa hai vectơ.
 Kĩ năng
+

Tính được giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hoặc một góc bất kì khi biết một số giả thiết.

+ Tính được giá trị của một biểu thức lượng giác với giả thiết cho trước.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa
�   và
) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM
Với mỗi góc  (0�� �180�
giả sử điểm M có tọa độ M  xo ; yo  . Khi đó
•

Tung độ y0 của điểm M gọi là sin của góc  , kí hiệu là sin  y0 ;

•

Hồnh độ x0 của điểm M gọi là cơsin của góc  , kí hiệu là
cos  x0 ;

•

Tỉ số

y0
 x0 �0  gọi là tang của góc  .
x0

Kí hiệu là tan  .
•

Tỉ số

x0
 y0 �0  gọi là cơtang của góc  .
y0

Kí hiệu là cot  .
Các số sin , cos , tan , cot gọi là các giá trị lượng giác của góc  .
Tính chất giá trị lượng giác của các góc bù nhau
sin   sin  180�  
cos    cos  180�  
tan    tan  180�  

cot    cot  180�  

� 
Cho MN / /Ox, nếu xOM
�  180�  . Khi đó
thì xON
yM  y N  y0 , xM   x N  x0

Góc giữa hai vectơ
r
r
r
Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Từ một điểm O bất
uuu
r r
uuu
r r
kì ta vẽ OA  a và OB  b . Góc �
AOB với số đo từ 0° đến 180°
r
r
được gọi là góc giữa hai vectơ a và b .
r r
Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ là a , b .





r

r r
r
Nếu a , b = 90° thì ta nói rằng a và b vng góc với nhau, kí hiệu





r r
r r
là a  b hoặc b  a .
r r
r r
Chú ý: a , b  b , a .



 



Trang 2


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Phương pháp giải
Dựa vào định nghĩa, tìm tung độ y0 và hồnh Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc  , biết
 = 135°.
độ x0 của điểm M trên nửa đường trịn đơn vị

Hướng dẫn giải
�   và từ đó ta có các giá trị
với góc xOM
Cách 1.
lượng giác
sin  y0 ; cos  x0 ; tan  

y0
x0
; cot  
x0
y0

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
�  135°.
xOM
Khi đó ta có �
yOM  45�
� 2 2�

;
Từ đó suy ra M �
�
�
2
2 �
�
�
 Dựa vào tính chất hai góc bù nhau:
sin   sin  180�  

cos    cos  180�  
tan    tan  180�  
cot    cot  180�  

Vậy sin135�

2
2
;cos135� 
2
2

tan135� 1;cot135� 1
Cách 2.
Ta có 135�và 180� 135�bù nhau
nên sin135� sin  180� 135�
  sin 45�

2
;
2

cos135�  cos  180� 135�
   cos 45� 
tan135�

sin135�
 1 ;
cos135�


cot135�

1
 1 .
tan135�

2
;
2

Trang 3


Ví dụ mẫu
. Hãy tính sin , cos , tan và cot .
Ví dụ 1. Cho góc   150�

Hướng dẫn giải
Vi 150�và 180� 150�bù nhau nên
sin150� sin  180� 150�
  sin 30�

1
;
2

cos150�  cos  180� 150�
  cos 30� 
tan150�


3
;
2

sin150�
3
1

;cot150�
 3.
cos150�
3
tan150�

�  15�
�  45�. Giá trị của sin A và tan A là
Ví dụ 2. Cho ABC có B
;C
1
A. sin A  ; tan A   3
2
C. sin A 

3
3
; tan A  
2
3

B. sin A 


3
; tan A   3
2

1
3
D. sin A  ; tan A  
2
3

Hướng dẫn giải
Ta có Aˆ  180� ( Bˆ  Cˆ )  180� 60� 120�
Vì 120�và 180� 120�bù nhau nên
sin A  sin120� sin  180� 120�
  sin 60�

3
;
2

cos A  cos120�  cos  180� 120�
   cos 60� 

1
2

tan A   3
Chọn đáp án B.


uuu
r uuur
uuur uuur
Ví dụ 3. Cho ABC dều. Giá trị của sin( AB, AC ) và cos( AB, BC ) là
uuu
r uuur 1
uuu
r uuur
3
A. sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )  
2
2

uuu
r uuur
uuu
r uuur
3
3
B. sin( AB, AC ) 
;cos( AB, BC )  
2
2

uuu
r uuur 1
uuu
r uuur
1
C. sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )  

2
2

uuu
r uuur
uuu
r uuur
3
1
D. sin( AB, AC ) 
;cos( AB, BC )  
2
2

Hướmg dẫn giải
uuu
r uuur
uuu
r uuur
�  60�� sin( AB, AC )  sin 60� 3 .
Ta có ( AB, AC )  BAC
2
uuu
r uuur
uuu
r uuur
Ta có ( AB, BC )  120�� cos( AB, BC )  cos120�.
Mà 120�và 60�là hai góc bù nhau nên

Trang 4



uuu
r uuur
1
cos( AB, BC )  cos60�  .
2
uuu
r uuur
uuu
r uuur
3
1
Vậy sin( AB, AC ) 
;cos( AB, BC )   .
2
2
Chọn đáp án D.

Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
. Giá trị lượng giác tan  , cot  là
Câu 1. Cho góc   135�
A. tan   1;cot   1

B. tan   3;cot  

3
3


3
3
uuur uuur
Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại B có AC  2 BC . Giá trị của tan ( AC , BC ) là
C. tan   1;cot   1

D. tan    3;cot   

uuur uuur
A. tan( AC , BC )   3

uuur uuur
3
B. tan( AC , BC ) 
3

uuur uuur
C. tan( AC , BC )  3

uuur uuur
3
D. tan( AC , BC )  
3

�  150�. Tọa
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ xOy, lấy điểm M trên nừa đường tròn đơn vị sao cho xOM
độ điểm M là
�1
3�
;


A. M �
�
�2
2 �
�
�

�3 1�
B. M �
�2 ; 2 �
�
�
�

� 3 1�
C. M �
� 2 ;  2 �
�
�
�

� 3 1�
D. M �
� 2 ; 2 �
�
�
�

Câu 4. Cho hình thoi ABCD có Aˆ  60�. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

uuur uuur 1
uuur uuur 1
uuur uuur
uuu
r uuur
3
3
A. cos( BD, BC ) 
B. cos( BD, BC ) 
C. cos( AC , AD) 
D. cos( AB, AD) 
2
2
2
2
Câu 5. Cho ABC đều có đường cao AH . Tìm mệnh đề đúng.
� 
A. sin BAH

3
2

� 
B. cos BAH

1
3

C. sin �
ABC 


3
2

AHC 
D. sin �

1
2

Câu 6. Cho hình vng ABCD. Mệnh đề nào dưới đây sai?
uuur uuu
r
2
A. cos( AC , BA)  
2
uuur uuur
C. cos( AB, CD)  1

uuur uuur
B. sin( AC , BD)  1
uuu
r uuur
D. sin( AB, CD)  1

�  135�. Gọi N
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM
� . Tính cot  .
là điểm đối xứng của M qua trục tung và đặt   xON


Trang 5


A. cot   1

B. cot   1

C. cot   3

D. cot  không tồn tại.

Câu 8. Cho hình bình hành ABCD. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
A. tan( AB, DC )  0
B. sin( AB, AD)  sin( DA, DC )
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
C. cos( AB, AD )  cos( DA, DC )  0
D. cos( AB, CD)  1

uuur uuu
r
Câu 9. Cho hình thang ABCD vng tại A và D biết AB  AD  a, CD  2a. Tính cos( BD, CB)
uuur uuu

r 1
uuur uuu
r
2
A. cos( BD, CB) 
B. cos( BD, CB) 
2
2

uuur uuu
r
C. cos( BD, CB)  0

uuuuuuuuur 1
A. cos( BM , MC ) 
2

uuuu
r uuuu
r
2
B. cos( BM , MC )  
2
uuuu
r uuuu
r
1
D. cos( BM , MC )  
2


uuur uuu
r  2
D. cos( BD, CB) 
2
uuuu
r uuuu
r
Câu 10. Cho ABC cân tại A, Aˆ  20�
. Gọi BM là đường phân giác trong của �
ABC. Tính cos( BM , MC )

uuuuuuuuur
2
C. cos( BM , MC ) 
2

uuu
r uu
r
Câu 11. Cho ABC đều có I, J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó giá trị cos( AB, IJ ) bằng
A.

1
2

B. 

1
2


C.

3
2

D. 

3
2

Bài tập nâng cao

uuu
r uuu
r
Câu 12. Cho ABC đều có trọng tâm G. Giá trị của tan( AB, GA) là
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
1
A. tan( AB, GA) 
B. tan( AB, GA)  3
3

uuu
r uuu
r

1
C. tan( AB, GA)  
3

uuu
r uuu
r
D. tan( AB, GA)   3

Câu 13. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a 2, AD  a . Gọi M là trung điểm cạnh CD,  là góc giữa
uuuu
r
uuur
hai vectơ AM và BD . Tính tan  .
A. tan  

2
2

B. tan   2

C. tan   0

D. tan  khơng tồn tại.

Dạng 2. Tính các giá trị lượng giác của một góc khi biết một giá trị lượng giác bất kì
Bài tốn 1. Chứng minh các hệ thức về giá trị lượng giác
Ví dụ mẫu
) ta có sin 2  cos 2  1.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi góc  (0�� �180�

Hướng dẫn giải

� 
Vẽ nửa đường tròn đơn vị  O;1 . Lấy điểm M  xo ; yo  trên nửa đường tròn đó sao cho xOM
Trang 6


Khi đó sin   y0 ; cos  x0 . Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có
x0 2  y0 2  OM 2  1 � sin 2   cos2  1 (điều phải chứng minh).
. Chứng minh rằng
Ví dụ 2. Cho góc  thỏa mãn 0�� �180�
2
a) 1  tan  

1
(với  �90�)
cos 2 

2
b) 1  cot  

1
; �180�
(với  �0�
)
sin 2 

Lưu ý:

Huớng dẫn giải


Chúng ta áp dụng kết quả của

sin 2  cos 2   sin 2 
1
a) Ta có 1  tan   1 


2
2
cos 
cos 
cos 2 

ví dụ 1 “ sin 2   cos2  1 ” để

2

chứng minh các hệ thức về giá
trị lượng giác một cách nhanh

(điều phải chứng minh).

chóng mà khơng cần sử dụng
hình học.

cos 2  sin 2   cos 2 
1
b) Ta có 1  cot   1 



2
2
sin 
sin 
sin 2 
2

(điều phải chứng minh).
Ví dụ 3. Cho góc  bất kì. Chứng minh rằng sin 6   cos 6   3sin 2  cos 2   1
Huớng dẫn giải
Ta có VT  sin 6  cos 6  3sin 2 cos 2
  sin 2  cos 2   sin 4  sin 2 cos 2  cos 4   3sin 2 cos 2
 sin 4  sin 2 cos 2  cos 4  3sin 2 cos 2
 sin 4  2sin 2 cos 2  cos 4
  sin 2  cos 2   1 (điều phải chứng minh)
2

Bài tốn 2. Tính các giá trị lượng giác của một góc khi biết một giá trị lượng giác bất kì
Phương pháp giải
• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của
góc  và các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các
giá trị đó như
sin 
cos 
;cot  
cos 
sin 
1
1

1  tan 2  
;1  cot 2  
2
cos 
sin 2 
sin 2   cos 2   1; tan  

Ví dụ:
Cho sin  

1
và 0�   90�
3

Tính các giá trị lượng giác cos  , tan  , cot  .
Hướng dẫn giải

Trang 7


2
2
Ta có sin   cos   1 �

� cos 2  

1
 cos 2   1
9


8
2 2
� cos   �
9
3

Vì 0�   90�nên cos   0
Vậy
1
2 2
2
sin   ;cos  
; tan  
;cot   2 2
3
3
4
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho sin  
A. cos   

1
. Giá trị của cos  và tan  là
và 90�   180�
2

3
3
; tan   
2

3

1
3
B. cos    ; tan   
2
3
1
C. cos    ; tan    3
2
D. cos   

3
; tan    3
2

Hướng dẫn giải
�
3
cos  
�
1 3
2
2
2
2
2
Ta có sin   cos   1 � cos   1  sin   1   � �
4 4 �
3

cos   
�
�
2
Vì 90�   180�nên cos   0
Vậy cos   

3
sin 
3
; tan  

2
cos 
3

Chọn đáp án A.
Ví dụ 2. Cho góc  , biết 0�   90�và tan  
A. cos  

24
1
;sin  
5
5

1
24
C. cos   ;sin   .
5

5

3
. Giá trị của sin  và cos  là
4

3
4
B. cos   ;sin  
5
5
4
3
D. cos   ;sin  
5
5
Trang 8


Hướng dẫn giải
4
�
cos  
�
1
1
9 25
16
5
2

�
 1 
� cos2  
��
Ta có 1  tan  
2
2
4
cos 
cos 
16 16
25 �
cos   
�
5
�
Vì 0�   90�nên cos   0 .
4
4 3 3
Vậy cos   ;sin   cos  .tan   � 
5
5 4 5
Chọn đáp án D.
Ví dụ 3. Cho biết sin15�

6 2
. Giá trị của cos15� và tan15� là
4

A. cos15�


 6 2
; tan15� 2  3
4

B. cos15�

 6 2
; tan15� 2  3
4

C. cos15�

6 2
; tan15� 2  3
4

D. cos15�

6 2
; tan15� 2  3
4

Huớng dẫn giải
2

�cos
�=15
�1cos 15
Ta có sin 15=

2

2

2

2

1 sin 15

� 6  2 � 2 3
1 �
�
� 4
�
4
�
�

�
6 2
cos15�
�
4
��
�
6 2
cos15� 
�
�

4
Vi 0� 15� 90�nên cos15� 0
Vậy cos15�

6 2
sin15�
; tan15�
 2 3
4
cos15�

Chọn đáp án C.
Ví dụ 4. Tính các giá trị lượng giác của  , biết sin   cos   2
Huớng dẫn giải
Theo bài ra, ta có
�
�
�
cos   2  sin 
sin   cos   2
cos   2  sin 
�
�
�
�
�
� 2
�
� 2
2

2
2
sin   cos   1 �
sin   cos   1 �
sin   ( 2  sin  ) 2  1
�
�
� 2sin 2   2 2 sin   1  0 � sin  

2
2
Trang 9


2
2
2
;
;cos   2  sin   2 

2
2
2

Vậy sin  
tan  

sin 
1
 1;cot  

 1.
cos 
tan 

Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
2
Câu 1. Cho góc nhọn  có sin  
. Giá trị của tan  là
3
A. tan  

2
7

2
7

B. tan   

2
7

C. tan  

2
7

D. tan   


. Giá trị của sin  là
Câu 2. Cho cot   3 và 90�   180�

10
10

A. sin  

10
10

B. sin   

C. sin  

1
3

D. sin   

1
3

. Giá trị của cos x là
Câu 3. Cho cos x  2sin x  0, với 90� x  180�
A. cos x 

2 5
5


B. cos x  

2 5
5

C. cos x 

5
2

D. cos x  

5
2

D. cos   

5
5

1
. Giá trị của cos  là
Câu 4. Cho tan  180�     , với 0�   90�
2
A. cos  

5
5

B. cos   


2 5
5

C. cos  

2 5
5

Câu 5. Trên nửa đường tròn đơn vị, cho điểm M như hình vẽ.
�   3 , diện tích AOM là
Biết cos xOM
4
A. S AOM 
C. S AOM 

1
4

B. S AOM 

7
4

D. S AOM 

1
8
7
8


Câu 6. Cho biết sin   cos   m . Giá trị của sin  .cos  là
B. sin  .cos   2m

A. sin  .cos   m 2
C. C.sin  .cos  

1  m2
2

D. sin  .cos  

m2  1
2

Bài tập nâng cao
Câu 7. Cho 0�� �180�thỏa mãn sin  

1
cos  . Xét ABC cân tại C có AB  sin  , AC  cos 
3

Chu vi ABC là
A.

1 2 3
2

B.


1 3 2
2

C.

2

D. 2 2
Trang 10


Câu 8. Trên nửa đường tròn đơn vị, cho các điểm M, N, A như hình vẽ.
�  135�
Biết xOM
, tính diện tích MNA .
A. S MNA 

1
4

B. S MNA 

C. S MMA 

1
2

D. S AMNA 

1

2
2
4

�  15�
Câu 9. Cho ABC cân tại A có AB  2 và các đường cao AH , BK . Giả sử BAH
. Tính tích
AK .BK .
A. AK .BK 

3
2

C. AK .BK  3

B. AK .BK  2

D. AK .BK  4

Dạng 3. Tính giá trị của một biểu thức lượng giác
Phương pháp giải
Dùng cơng thức lượng giác tính các giá trị
lượng giác có trong biểu thức lượng giác cần
tính hoặc biến đổi biểu thức lượng giác cần tính
về giá trị lượng giác đã biết.

Ví dụ: Cho tan x  2 . Khi dó
sin 2 x  2sin x.cos x
sin 2 x  2sin x.cos x
cos 2 x

A

cos 2 x  3sin 2 x
cos 2 x  3sin 2 x
cos 2 x
tan 2 x  2 tan x 22  2.2


0
1  3 tan 2 x
1  3.2 2

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tan x  2. Giá trị của biểu thức M 
B. 5

A. 4

2sin x  3cos x
bằng
sin x  cos x
C. 6

D. 7

Hướng dẫn giải
2sin x  3cos x
2sin x  3cos x
2 tan x  3 2.2  3
cos x




7
Ta có M 
sin x  cos x
sin x  cos x
tan x  1
2 1
cos x
Vậy M  7
Chọn đáp án D.
3
cot x  tan x
Ví dụ 2. Cho sin x  . Giá trị của biểu thức Q 
bằng
5
cot x  2 tan x
A. 

5
37

B. 

25
2

C.


25
2

D.

5
37

Trang 11


Hướng dẫn giải
Ta có sin 2   cos 2   1 �

9
16
sin 2 
9
 cos2   1 � cos 2  
� tan 2 x 

2
25
25
cos  16

cot x  tan x
9
1
2

cot x  tan x
1

tan
x
cot x
16   25



Do đó Q 
2
cot x  2 tan x cot x  2 tan x 1  2 tan x 1  2. 9
2
cot x
16
Vậy Q  

25
2

Chọn đáp án B.
Ví dụ 3. Cho tan x  2 cot x  1 và 90� x  180�.
Giá trị biểu thức A  tan 2 x  cot 2 x bằng
B. 

A. 15

15
4


C.

15
4

D. 15

Hướng dẫn giải
�tan x  2 cot x  1 �tan x  1  2 cot x
��
� (1  2cot x).cot x  1
Ta có �
tan
x
.cot
x

1
tan
x
.cot
x

1
�
�
cot x  1
�
�

� 2cot x  cot x  1  0 �
1.
�
cot x  
�
2
2

Vì 90� x  180� nên cot x  0
1
1
 2
Suy ra cot x   � tan x 
2
cot x
2

� 1 � 15
Vậy A  tan x  cot x  (2)  �
 � .
� 2� 4
2

2

2

Chọn đáp án C.
Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác chứa các góc đặc biệt
Phương pháp giải

 Sử dụng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức
P  sin 30�
cos 30� sin 45�
cos 45�

Hướng dẫn giải
cos 30� sin 45�
cos 45�
Ta có P  sin 30�

Trang 12




Vậy P 
 Sử dụng tính chất giá trị lượng giác của các góc
bù nhau

1 3
2 2
3 1
3 2
� 
� 
 
2 2
2 2

4 2
4
32
4

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức
P  cos 60� cos80�
 cos100� cos120�

sin   sin  180�  
cos    cos  180�  
tan    tan  180�  
cot    cot  180�  

Hướng dẫn giải

   cos120�;
Ta có cos 60�  cos  180� 60�
cos80�  cos  180� 80�
   cos100�
� P  cos 60� cos80� cos100� cos120�

  cos 60� cos120�
   cos80� cos100�
 00  0
Ví dụ mẫu
. cos 45�
.sin 60� cos 30�
.sin 45�
.cos 60�là

Ví dụ 1. Giá trị của biểu thức sin 30�

B. 1

A. 1

C. 0

D. 2

Hướng dẫn giải
. cos 45�
.sin 60� cos 30�
.sin 45�
.cos 60�
Ta có sin 30�


1 2 3
3 2 1
� � 
� �0
2 2 2
2 2 2

Chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Giá trị của biểu thức:
P  cos 0� cos1� cos 2� �.  cos178� cos179� cos180�thuộc khoảng nào sau đây?
B. (1;1)


A. (0;1)

C.  1; 2 

D. (1;0)

Hướng dẫn giải

   cos180�;
Ta có cos 0�  cos  180� 0�
cos1�  cos  180� 1�
   cos179�
cos 2�  cos  180� 2�
   cos178�
……………………………………
Suy ra P  cos 0� cos1� cos 2� �.  cos178� cos179� cos180�
  cos 0� cos180�
   cos1� cos179�  �   cos89� cos 91�  cos 90�
 0  0  0  � 0  0
Trang 13


Chọn đáp án B.
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
.cos 60� sin 60�
.cos 30�là
Câu 1. Giá trị biểu thức P  sin 30�
B. P  0


A. P  1
Câu 2. Cho cos x 
A. P 

13
4

C. P  3

1
. Giá trị biểu thức P  3sin 2 x  4 cos 2 x là
2
B. P 

7
4

C. P 

Câu 3. Biết tan   2. Giá trị biểu thức B 

11
4

D. P 

15
4

 cos   sin 

là
cos   3sin 

2
2
D. B  
9
9
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
Câu 4. Cho ABC đều. Tính giá trị biểu thức M  cos AB, AC  cos BA, BC  cos CB, CA
A. B  

3
7

D. P   3

B. B  

7
3

C. B 




A. M 

3 3
2

B. M 

3
2

Câu 5. Cho tan   2 . Tính giá trị biểu thức P 
A. P 

45 2
6

2
8

B. P 



C. M  



3

2







D. M  

3
2

sin   cos 3 
sin   2 cos 
C. P 

2
3

4  5 2
6

D. P 

1
3

D. B  


2
cot x  tan x
Câu 6. Cho sin x  . Giá trị biểu thức B 
là
3
cot x  tan x
A. B 

1
9

B. B  

4
4
Câu 7. Cho 3sin x  cos x 

A. A  0
Câu 8. Biết sin  
A. P 

91
72

1
9

C. B 

1

3

1
. Tính giá trị của biểu thức A  sin 4 x  3cos 4 x
2

B. A  1

C. A  2

D. A  1

1
. Tính P  cos 2   3tan 2  .
3
B. P 

5
6

C. P 

8
9

D. P 

67
72


Câu 9. Tính giá trị biểu thức A  cos3 1� cos3 2� cos 3 3� �  cos 3 180�
A. A  0

B. A  1

C. A  1

D. A  2

Câu 10. Tính giá trị của biểu thức Q  sin 2 0� sin 2 1� sin 2 2� �  sin 2 90�
A. Q  45

B. Q 

91
2

C. Q 

89
2

D. Q  90
Trang 14


Bài tập nâng cao
Câu 11: Biết tan   cot   6. Giá trị của biểu thức P  tan 4   cot 4  là
A. P  1154


B. P  34

C. P  36

D. P  1156

2
Câu 12. Cho sin   cos   . Giá trị của biểu thức sin 6   cos6  là
3
16
25

A.

B.

71
121

C.

83
108

D.

23
48

Câu 13. Cho sin x  cos x  m. Tính P  sin 3 x  cos 3 x theo m

3 2 3
3
B. P  m  m 
2
2

A. P  m3

1 3 3
C. P   m  m
2
2

1 3 3
D. P   m  m
2
2





6
6
4
4
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức P  sin x  cos x  m sin x  cos x có giá trị khơng

phụ thuộc vào x .
3

2

A. m 

C. m 

B. m  0

Câu 15. Cho 6 cos 2   cos   2  0. Biết A 

3
hoặc m  0
2

D. Không tồn tại m

2sin  cos   sin 
 a  b tan  với a, b ��. Giá trị của
2 cos   1

a  b là

A. a  b  

1
3

B. a  b 

2

3

C. a  b 

1
3

D. a  b  

2
3

PHẦN ĐÁP ÁN
BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0�ĐẾN 180�
Dạng 1. Tính giá trị lượng giác của một góc đặc biệt
Đáp án trắc nghiệm
1-C
11 - B

2-C
12 - C

3-D
13 - D

4-B

5-C

6-D


7 -A

8-D

9-C

10 – D

Hướng dẫn giải
Câu 12.
Xét tam giác ABC đều có G là trọng tâm tam giác, suy ra AG vừa là trung tuyến, vừa là đường cao,
�
�  BAC  60� 30�.
đường phân giác kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC � BAG
2
2
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
3
�
Mà AB, GA và BAG
là hai góc bù nhau nên tan AB, GA   tan 30� 
.
3










Chọn đáp án C.
Câu 13.
Gọi N là giao điểm cùa AM và BD .

Trang 15


Xét ADM vng tại D , ta có:

tan �
AMD 

Xét ADB vng tại A , ta có tan �
ADB 

AD
a

 2
DM a 2
2

AB a 2


 2
AD
a

Từ đó suy ra �
AMD  �
ADB � AM  DB � ( AM , BD)  90�
Suy ra tan  không tồn tai.
Chọn đáp án D.
Dạng 2. Tính các giá trị lượng giác của một góc khi biết một giá trị lượng giác bất kì
Đáp án trắc nghiệm
1 -C

2-A

3-B

4-C

5-D

6-D

7-A

8-C

9-C


Hướng dẫn giải
Câu 7.
�
�
1
�
1
sin


�
�
�
sin  
cos 
cos   3 sin 
�
�
2
�� 2
� 4sin 2   1 � �
3
Ta có: �
2
1
sin   cos   1
�
�
sin   
sin 2   cos 2   1 �

�
�
�
2
�

Vì 0�� �180� nên sin   0
1
3
Suy ra AB  sin   ; AC  cos  
2
2

Vậy CABC  2CA  AB  2 cos   sin  

1 2 3
2

Chọn đáp án A.
Câu 8.
�
�
2
�  sin135� 2
sin xOM
�
�yM 
�
2
2

�  135�� �
��
Ta có xOM
�
�
�x   2
�  cos135�  2
cos xOM
M
�
�
2
2
�
�
1
1
2 2 1
Suy ra S MNA  S MNO  .2 xM . yM  ��
2
�  .
2
2
2 2
2
Chọn đáp án C.
Câu 9.

�  15�� BAC
�  30�.

Ta có: BAH
Suy

ra

�  2.cos 30� 3
AK  AB.cos BAK

và

�  2.sin 30� 1 .
BK  AB.sin BAK
Trang 16


Vậy AK .BK  3.1  3 .
Dạng 3. Tính giá trị của một biểu thức lượng giác
Đáp án trắc nghiệm 3
1 -A

2 -A

3 -A

4-B

5-C

6 -A


11 -A

12-C

13-C

14-A

15-D

7-B

8-A

9-C

10-B

Hướng dẫn giải
Câu 11.



Ta có: P  tan 4   cot 4   tan 2   cot 2 



2

 2 tan 2  .cot 2 


2

2
2
�
(tan   cot  ) 2  2 tan  .cot  �
�
� 2 tan  .cot 





2

 62  2  2  1154 .
Chọn đáp án A.
Câu 12.
Ta có sin   cos  

2
4
4
5
� (sin   cos  ) 2  � 1  2sin  cos   � sin  cos   
3
9
9
18


6
6
2
2
4
2
2
4
Suy ra sin   cos    sin   cos    sin   sin  .cos   cos  
2
  sin 2   cos 2   �
 sin 2   cos 2    3sin 2  .cos 2  �
�
�
2

� 5 � 83
 1  3sin 2  .cos 2   1  3 �
 �
�
� 18 � 108
Chọn đáp án C.
Câu 13.
Ta có sin x  cos x  m � (sin x  cos x) 2  m 2 � 1  2sin x cos x  m 2 � sin x.cos x 

m2  1
2

� m 2  1 � m3  3m

3
3
2
2
P

sin
x

cos
x

sin
x

cos
x
sin
x

sin
x
,
cos
x

cos
x

m

.


Suy ra
 �1  2 � 2
�
�
Chọn đáp án C.
Câu 14.
6
6
4
4
Ta có: P  sin x  cos x  m  sin x  cos x 

2
  sin 2 x  cos 2 x   sin 4 x  sin 2 x.cos 2 x  cos 4 x   m �
 sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x.cos 2 x �
�
�
2
�
  sin 2   cos 2   �
 sin 2   cos2    3sin 2  .cos2  �
 sin 2 x  cos2 x   2sin 2 x.cos2 x �
�
� m �
�

Trang 17



 1  3sin 2 x.cos 2 x  m  1  2sin 2 x.cos 2 x    m  1  (2m  3) sin 2 x.cos 2 x

3
P khơng có giá trị phụ thuộc vào x khi và chỉ khi 2m  3  0 � m  .
2
Chọn đáp án A.
Câu 15.

1 0
Điều kiện: 2 cos  �۹

cos 

1
2

1
�
cos  
�
2
2
Ta có 6 cos   cos   2  0 � �
2
�
cos   
�
3

�

1
2
Do cos  � nên cos   
2
3
Mặt khác A 

2sin  cos   sin 
2
 sin   cos  .tan    tan 
2 cos   1
3

2
2
Từ đó suy ra a  0, b   � a  b   .
3
3
Chọn đáp án D.
BÀI 2. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Dạng 1. Tính tích vơ hướng của hai vectơ
Đáp án trắc nghiệm
1-B

2-A

3-C


4-B

5-A

11 -D

12-D

13-B

14-A

15-D

6-A

7-B

8-D

9-B

10-D

Hướng dẫn giải
Câu 14.

u
r

r
r
r r
r
Ta có vecto x  a  2b vng góc vói vectơ y  5a  4b nên
ru
r
r
r
r2
rr
rr
rr 1
r
r
r2
x. y  0 � a  2b . 5a  4b  0 � 5 a  8 b  6a.b  0 � 5.12  8.12  6a.b  0 � a.b 
2







1
rr
r
r
a

.
b
Từ đó suy ra cos a, b  r r  2  1 � ar, br  60�.
| a | . | b | 1.1 2

 





Chọn đáp án A.
Câu 15.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên.
Trang 18


Khi đó A(0;0), B(4a;0), N (0; 2a ), D(0;3a), C (2a;3a) .
uuur
uuur
uuur
Suy ra NB  (4a; 2a ), NC  (2a; a), DC  (2a;0) .
uuur
Suy ra NB  NC  (6a; a ) .
uuur uuur uuur
Vậy T  ( NB  NC ).DC  6a.2a  ( a).0  12a 2 .
Chọn đáp án D.
Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức có liên quan đến tích vơ hướng
Đáp án trắc nghiệm
1 -A


2-B

11 -A

12 -C

3-B

4-A

5-B

6-B

7-D

8-C

9-B

10-D

Hướng dẫn giải
Bài tập nâng cao
Câu 8.
Gọi I là trung điểm của AB .
uuur uuur uuuu
r uuur
uuu

r uuur
Ta có ( MA  MB).( MC  MB)  0 � 2 MI BC  0 � MI  BC
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điềm của AB và vng góc với BC.
Chọn đáp án C.
Câu 9.
Ta có
uuu
r uu
r
uuu
r uur
uuu
r uu
r uur
1
1
MA2  MB 2  ( MI  IA)2  ( MI  IB)2  2MI 2  2MI .( IA  IB)  IA2  IB 2  2MI 2  AB 2  2MI 2  a 2
2
2
Mà MA2  MB 2  a 2
1
a2
a
Suy ra 2 MI 2  a 2  a 2 � MI 2 
� MI 
2
4
2
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I , bán kính


a
.
2

Chọn đáp án B.
Câu 10.
uuur2 uuur uuu
r
uuu
r uuur
Ta có BC  ( AC  AB ) 2 � BC 2  AC 2  2 AB. AC  AB 2

uuu
r uuur AB 2  AC 2  BC 2 c 2  b 2  a 2
� AB. AC 

2
2
uuu
r uuur 1 2
2
2
Vậy AB. AC  b  c  a
2





Chọn đáp án D.

Trang 19


Câu 11.

uuuu
r
uuu
r
uuur
Ta có AM  x. AB  y. AC � AM 2  x 2 . AB 2  y 2 . AC 2 � 9  x 2  4 y 2
uuuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
Mặt khác AM  BC � AM .BC  0 � x. AB.BC  y. AC .BC  0

uuu
r uuur uuu
r
uuur uuur uuu
r
� x. AB. AC  AB  y. AC. AC  AB  0 �  x  4 y  0










�
�
�2 144
144
2
2
2
�
�
�x  20
x

x

4
y

9
�
�
�
��
20 � �
Từ đó ta có hệ phương trình �

x


4
y

0
�
�x  4 y
�y 2  9
�
�
�
20
�
2
2
Vậy T  x  y 

153
20

Chọn đáp án A.
Câu 12.
�uuuur 1 uuur uuur
MH  ( BH  CH )
�
�
2
Vì M là trung điểm của cạnh BC nên �uuur
uuu
r uuu
r

1
�MA  ( BA  CA)
�
2

uuur 1 uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
Suy ra MH .MA  BA.BH  CA.BH  BA.CH  CA.CH
4
r uuur uuu
r uuur
1 uuu
 BA.BH  CA.CH
4
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuur
1 uuu
 �
BA. BC  CH  CA. CB  BH �
�
4�
















r uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur
1 uuu
BA.BC  BA.CH  CA.CB  CA.BH
4
r uuur
1 uuur uuu
1 uuur2 1
 �
BC. BA  AC � BC  BC 2 .
� 4
4�
4













Chọn đáp án C.
Dạng 3. Chứng minh hai vectơ, hai đường thẳng vng góc
Đáp án trắc nghiệm
1-D

2-A

3-B

4-B

5-D

6-C

7-B

8-B

9-D

Hướng dẫn giải

Bài tập nâng cao
Câu 8.

Trang 20


uuur uuur uuu
r 1 uuur x uuur
AB ;
Ta có PN  AN  AP  AC 
3
3a
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur uuu
r 2 uuu
r 1 uuur
AM  AB  BM  AB  BC  AB  ( AC  AB)  AB  AC
3
3
3
3
Do đó AM  PN khi và chỉ khi
uuuu
r uuur
r 1 uuur ��1 uuur x uuu
r�

�2 uuu
AM .PN  0 � � AB  AC �
. � AC 
AB � 0
3
3a
�3
��3
�
r uuur
2 uuur uuur 2 x uuur2 1 uuur 2 x uuu
� AB. AC 
AB  AC 
AB. AC  0
9
9a
9
9a

�

2
2x
1
x
AB. AC.cos 60� (3a ) 2  (3a ) 2 
AB. AC.cos 60� 0
9
9a
9

9a

5
4a
� 2a 2  ax  0 � x 
2
5
Vậy x 

4a
thì AM  PN
5

Chọn đáp án B.
Câu 9.

uuur uuuur uuur
uuur uuuu
r uuur 1 uuur uuuu
r
Ta có NE  NM  ME  k MP  MN ; MF  ( MP  MN ) .
2
uuur uuur
Do đó NE  MF � NE.MF  0
uuur uuuu
r 1 uuur uuuu
r
� (k .MP  MN ) � ( MP  MN )  0
2
uuur uuuu

r uuur uuuu
r
� (k .MP  MN ).( MP  MN )  0
uuur uuuu
r uuuu
r uuur
� k .MP 2  k .MP.MN  MN .MP  MN 2  0
� k .82  (k  1).8.4.cos 60� 4 2  0
� 80k  32  0

�k

2
5

Vậy k 

2
.
5

Chọn đáp án B.
Câu 10.

uuuu
r uuu
r uuuu
r
uuur 1 uuur uuuu
r uuur uuur

uuur uuur
Ta có CM  CB  BM   AD  AB; BN  BA  AN  AB  k AD
2
Theo

giả

thiết,

ta

có

uuuu
r uuur
r � uuu
r uuur
1
1
� uuur 1 uuu
CM  BN � CM.BN  0 � �
 AD  AB �
.  AB  k AD  0 � 16k  .4  0 � k 
2
2
8
�
�






Trang 21


�1 1 �
Vậy k �� ; �.
�9 6 �

Chọn đáp án D.
Dạng 4. Ứng dụng của tích vơ hướng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc
giữa hai vectơ
Đáp án trắc nghiệm
1-D

2-A

3-B

4-D

5-A

11 - C

12 - B

13 - C


14 - C

15 - A

6-C

7-C

8-B

9-B

10 - D

Hướng dẫn giải
Bài tập nâng cao
Câu 13.
Vì I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA  IB  IC . Từ đó, ta có hệ phương trình

�
�
14a  2b  46
a3
(a  6) 2  (b  6) 2  ( a  1) 2  (b  5) 2
�
�
�
�
�
�

8a  16b  8 �
b  2
(a  1) 2  (b  5) 2  ( a  3) 2  (b  3) 2
�
�
Vậy a  b  1
Chọn đáp án C.
Câu 14.
uuuu
r uuur uuu
r uuuu
r uuur uuu
r uuur uuuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur 8a 2
Ta có AM .BC  ( AB  BM ).BC  AB.BC  BM .BC  AB.BC  BM .BC.cos 0� AB.BC 
3

uuu
r uuur 8a 2
uuur uuur
uuuur uuur
5a 2
Mà AM .BC  a 2 nên AB.BC 
 a 2 � AB.BC  
3
3
uuur 2 uuu

r uuur
uuu
r uuur
Ta lại có AC 2  AC  ( AB  BC )2  AB 2  BC 2  2 AB.BC

� 5a 2 �
2a 2
2
 AB 2  4a 2  2. �

� AB 
3
� 3 �
Mặt khác AB 2  AC 2  BC 2  4a 2 . (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB 2 

Vậy AC 

5a 2
7a 2
, AC 2 
3
3

a 21
3

Chọn đáp án C.
Câu 15.
Trang 22



Gọi tọa độ đỉnh C là (x; y).
uuur
uuur
uuur
uuur
Ta có AC  ( x  3; y  2), BC  ( x  5; y  2), AH  (8; 2), BH  (0; 2)

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
uuur uuur
�
�
�
AH

BC
8( x  5)  2( y  2)  0
�x  6
�
�AH .BC  0
� �uuur uuur
��
��
�
BH  AC
�y  2
�BH . AC  0
�2( y  2)  0
�

Vậy C (6; 2)
Chọn đáp án A.
BÀI 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Dạng 1. Giải tam giác
Đáp án trắc nghiệm
1-B

2 -A

3-C

4 -A

5-B

11 - C

12 - A

13 - C

14 - B

15 - D

6-C

7-C


8-B

9-B

10 - D

Hướng dẫn giải
Câu 11.
2
2
2
2
Ta có BC  AB  AC  3  8  73; cos B 

Do BM  2MC nên BM 

AB
3

BC
73

2
2 73
BC 
3
3

Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABM ta có
AM 2  BA2  BM 2  2 BA.BM .cos B

2

�2 73 �
2 73 3
3 �
� 3 �
� 2.3. 3 . 73
�
�
2



265
9

Vậy AM 

265
3

Chọn đáp án C
Câu 12.
Đặt AB  x, AC  y  x, y  0 
Trang 23


Goi  G  CN �BM ;  l   AG �BC . Khi đó G là trọng tâm tam
giác ABC và I là trung điềm của BC .
Tam giác BGC vuông tại G nên IG  IB  IC 

Suy ra AI  3IG 

BC 3

2
2

9
2

Theo công thức trung tuyến, ta có
AI 2 

AB 2  AC 2 BC 2
81 x 2  y 2 9

� 
 � x2  y 2  45.  1
2
4
4
2
4

.  2 .
Theo định lý cơsin, ta có BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos A � 9  x 2  y 2  2 xy cos30�
Từ  1 và  2  suy ra xy  12 3 .
Diện tích tam giác ABC là S ABC 

1

1
AB. AC.sin A  xy.sin 30� 3 3 .
2
2

Vậy SABC  3 3 .
Chọn đáp án A.
Câu 13.
Ta có S 

1
1 2
1
(a  b  c )(a  b  c )  �
a  (b  c) 2 �
 a 2  b 2  c 2  2bc
�
�
4
4
4





2
2
2
bc � 1

1� b c a  �
� bc �
 �
bc 
(1  cos A)
� 2
2�
2bc
�
�

1
1
1
2
2
Mặt khác S  bc sin A � bc.(1  cos A)  bc sin A � sin A  1  cos A � sin A  (1  cos A)
2
2
2
Do sin 2  cos 2 A  1 nên 1  cos 2 A  1  2 cos A  cos 2 A � 2 cos2 A  2 cos A  0

cos A  0
�
� 2 cos A(cos A  1)  0 � �
cos A  1
�
Do 0� �
A  180�nên cos A  0 � Aˆ  90�
Chọn đáp án C.

Câu 14.

Trang 24


180� 100�
ABC  �
ACB 
 40�
Ta có �
2
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có

�
BC
AB
AB.sin BAC
5.sin100�

� BC 

�
�
�
sin 40�
sin BAC sin ACB
sin ACB
�  180� PBC
�  PCB
�  180� 20� 30� 130�

Ta có BPC
Áp dụng định lý sin trong tam giác BPC ta có

BC
BP

�
�
sin BPC sin PCB

5.sin100�
.sin 30�
�
BC.sin PCB
� BP 
 sin 40�
5
�
sin130�
sin BPC
Chọn đáp án B.
Câu 15.
Theo định lý cơsin ta có

AC 2  AB 2  BC 2  2 BA.BC.cos B
2

�6 2�
6 2
�

. 3.cos 45�
�
� 2
� 3  2.
2
�
�
2
Suy ra AC  2 .
Theo định lý sin ta có

BC
AC
BC.sin B
3.sin 45� 3

� sin A 


sin A sin B
AC
2
2
� �
Do BC  AB nên BAC
ACB .
�  120�� CAM
�  60�
Suy ra BAC
Theo tính chất đường phân giác ta có


� 3 1 �
BM AB
3 1


� BM  �
� 2 �
�MC
MC AC
2
�
�

� 3 1 �
Mà BM  MC  BC nên �
� 2 �
�MC  MC  BC � MC  3  3
�
�

Trang 25