BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTO
MỤC TIÊU
 Kiến thức
+ Hiểu cách xác định tổng, các tính chất của tổng vecto: giao hốn, kết hợp, tính chất của vecto –
khơng.
+

Nắm được quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành.

+ Hiểu được khái niệm vecto đối, cách xác định hiệu hai vecto.
 Kỹ năng
+

Vận dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành khi tính tổng các vecto.

+

Vận dụng quy tắc trừ vecto để chứng minh các đẳng thức vecto.

+

Tính độ dài tổng và hiệu các vecto.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa

r
r
uuu
r r
Quy

Cho hai vecto a và b . Lấy một điểm A tùy ý. Vẽ AB = a và Mở rộng:
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
uuur r
uuur
r
r
BC = b . Khi đó vecto AC được gọi là tổng của hai vecto a và b AB + BC = AC

tắc

ba

điểm

.

uuur uuu
r uuur r r
Kí hiệu: AC = AB + BC = a + b


Quy tắc hình bình hành

uuu
r uuur uuur
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC .
Tính chất phép cộng các vecto
r r r
Với ba vecto a, b,c tùy ý, ta có
r r r r
Tính chất giao hốn a + b = b + a
r r r r r r
Tính chất kết hợp a + b + c = a + b + c

(

)

(

)

r r r r r
Tính chất của vecto – không a + 0 = 0+ a = a
Vecto đối

r
r
r
Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto a được gọi là Chú ý: Vecto đối của 0 là 0.

r
r
vecto đối của vecto a , kí hiệu −a .
Hiệu hai vecto

uuu
r uuur uuu
r
r r
r
r
Mở
rộng:
Quy
tắc
AB
−
AC
=
CB
Cho hai vecto a, b . Ta gọi hiệu của hai vecto a và b là vecto
Trang 1


r
r
r r
a + −b , kí hiệu a − b

( )


Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
uur uur r
Điểm I là trung điểm đoạn AB khi và chỉ khi IA + IB = 0
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
uuu
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0
Sơ đồ lí thuyết
Quy tắc hình bình hành

Quy tắc ba điểm:

Tổng và hiệu
hai vecto
Hiệu hai vecto:
Tính chất

Điểm I là trung điểm của đoạn AB
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm tổng của hai vecto và tổng của nhiều vecto
Bài toán 1. Sử dụng quy tắc ba điểm tính tổng các vecto
Phương pháp giải
Sử dụng quy tắc ba điểm

Ví dụ: cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là
trung điểm của AB, BC, CA. Khi đó


Áp dụng: Khi điểm cuối của vecto này là điểm đầu
của vecto kia.

Trang 2


uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
AB + CA + BC = AB + BC + CA
uuur uuu
r
= AC + CA
a)
uuu
r
= AA
r
=0
uuur uuu
r uuur
b) AM + AP = AN (quy tắc hình bình hành).
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r r
c) AM + BN + CP = AM + MP + PA = AA = 0

(


Ví dụ mẫu

)

Mẹo: Khi cộng hai vecto

Ví dụ 1: Cho bốn điểm M, N, P, Q bất kỳ. Xác định vecto tổng
uuuur uuur uuur
a) MN = PQ + NP
uuur uuur uuur uuuu
r
b) MP + NQ + PN + QM

ta khơng cần vẽ hình chỉ
cần chọn những cặp vecto
có điểm đầu vecto này là

điểm cuối vecto kia để tìm
Hướng dẫn giải
vecto tổng.
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuu
r
a) Ta có MN + PQ + NP = MN + NP + PQ = MP + PQ = MQ
uuur uuur uuur uuuu
r uuur uuur
uuur uuuu
r uuuur uuuu
r uuuur r
b) Ta có MP + NQ + PN + QM = MP + PN + NQ + QM = MN + NM = MM = 0.


(

)

(

) (

)

Ví dụ 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tính tổng của các vecto
uuu
r uuur
a) AB + OE
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
b) OA + OB + OC + OD + OE + OF
uuur uuur uuur
c) BC + OF + DO
Hướng dẫn giải

uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
a) AB + OE = AB + BO = AO
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur uuu

r uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
OA + OB + OC + OD + OE + OF = OA + OD + OB + OE + OC + OF

(

) (

) (

)
Trang 3


r r r r
= 0+ 0+ 0 = 0 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r
c) BC + OF + DO = BC + CO + OA = BO + OA = BA.
Bài toán 2. Sử dụng quy tắc hình bình hành
Phương pháp giải
Quy tắc hình bình hành

uuu
r uuur uuur
AB + AD = AC

Áp dụng: Khi hai vecto có chung điểm đầu.
Ví dụ mẫu

uuu
r uuur
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tính tổng AB + AC
Hướng dẫn giải

uuu
r uuur uuur
Vẽ hình bình hành ABDC, suy ra AB + AC = AD .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Hãy xác định vecto tổng của các vecto.
uuu
r uuur
a) AB + AM với M là trung điểm của BC.
uuu
r uuur
b) AB + AC
uuu
r uuur
c) AB + NC với N là trung điểm AC.
Hướng dẫn giải

uuu
r uuur uur
a) Vẽ hình bình hành ABIM, suy ra AB + AM = AI
uuu
r uuur uuur
b) Vẽ hình bình hành ABDC, suy ra AB + AC = AD


uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
c) Vẽ hình bình hành ABJN, (J là trung điểm B), suy ra AB + NC = AB + AN = AJ .
Bài tập tự luyện dạng 1
uuu
r uuur
Câu 1: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tổng CB + AC bằng
uuu
r
r
uuu
r
A. BA .
B. 0.
C. AB.

uuu
r
D. − AB.

Câu 2: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, O. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu

r uuu
r
uuu
r uuur uuur
A. OA = OB + AB.
B. AB = OB + OA.
C. AB = AC + BC.

uuu
r uuu
r uuur
D. OA = CA + OC.

Câu 3: Chọn kết quả sai.
Trang 4


uuu
r uuur uuu
r
uuuur uuur uuur
C. CA + BC = BA.
D. MN + NX = MX.
uuu
r uuur
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó OA + BO bằng
uuur uuu
r
uuur uuur
uuur

uuu
r
A. OC + OB.
B. AB.
C. OC + DO.
D. CD.
r uuur uuur uuur uuur
Câu 5: Cho năm điểm bất kỳ A, B, C, D, O và vecto x = CD + DA + AO + OC .Khẳng định nào sau đây
đúng?
r uuu
r
r uuu
r
r uuur
r r
A. x = CB.
B. x = BD.
C. x = CA.
D. x = 0.
uuuur uuur uuur uuur uuu
r
Câu 6: Tổng vecto MN + PQ + RN + NP + QR bằng
uuuu
r
uuur
uuur
uuuur
A. MR.
B. MQ.
C. MP.

D. MN.
uuu
r uuu
r r
A. BA + AB = 0.

uuu
r uuur uuu
r
B. CA + AC = AB.

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức vecto nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuu
r
uuur uuur uuur
A. DA + DC = DB.
B. BA + BD = BC.
C. DA + DB = DC.

uuu
r uuur uuur
D. AB + AC = AD.

Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
uuu
r uuu
r uuur uuur
uuur uuur

A. OA = OB = OC = OD.
B. AC = BD.
uuu
r uuu
r uuur uuur r
uuur uuur uuu
r
C. OA + OB + OC + OD = 0.
D. AC + DA = AB.
uuu
r uuur uuu
r
Câu 9: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F bất kì. Tổng vecto AB + CD + EF bằng
uuur uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur
uuur uuu
r uuu
r
uuur uuu
r uuur
A. AF + CE + DB.
B. AE + CB + DF .
C. AD + CF + EB.
D. AE + BC + DF .
Dạng 2: Tìm vecto đối và hiệu của hai vecto
Phương pháp giải
r
- Vecto đối của vecto a là vecto cùng phương, Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Khi đó

r
ngược hướng và cùng độ dài với a .
r
Kí hiệu: −a.

uuur
uuur uuur uuur
a) Các vecto bằng OC là FO , AB , ED .
uuur
uuur uuur uuu
r uuur
r
r r
r
b)
Các
vecto
đối
của
là
,
,
, DE
OC
CO
OF
BA
- Với mọi vecto a ta có a + −a = 0.
uuur
uuu

r
c) Hiệu của vecto AB và EO là
uuu
r
uuu
r
- Một vecto đối của vecto AB là vecto BA.
uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
uuu
r
uuu
r
AB − EO = AB + OE = AB + BO = AO
- Nhận xét: AB = − BA .
uuu
r uuur uuu
r
r
r
d) Tổng hiệu của các vecto AB + CD − EF là
- Hiệu hiệu của hai vecto a và b là tổng của vecto
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur
r

r
AB
+
CD
−
EF
=
AB
+
BO
+
FE
= AO + OD = AD .
a và vecto đối của vecto b.
r r r
r
a − b = a = −b

( )

(

)

( )

- Các quy tắc tìm hiệu hai vecto
Quy tắc 1: Hiệu hai vecto có chung điểm đầu.
Trang 5



uuu
r uuur uuu
r
AB − AC = CB .
Quy tắc 2: Hiệu hai vecto có chung điểm cuối.
uuur uuur uuu
r
AC − BC = AB.
Ví dụ mẫu
r r r
r r r
r r r
Ví dụ 1. Cho các vecto a, b,c bất kỳ. Chứng minh a + b = c ⇔ a = c − b.
Hướng dẫn giải
r r r
r
Giả sử a + b = c . Cộng vecto −b vào cả hai vế ta được
r r
r r
r
r r r r r
r r r
a + b + −b = c + − b ⇔ a + b − b = c − b ⇔ a = c − b (1)

(

) ( )

( )


(

r r r
Ngược lại a = c − b, cộng vecto
r r r r r
r r r
a+ b = c− b + b ⇔ a+ b = c+

(

)

(

)

r
b vào cả hai vế ta được
r r
r r r
b − b ⇔ a + b = c (2)

)

Lưu

ý:

Công


thức

r r r
r r r
a+ b = c ⇔ a = c− b
được gọi là quy tắc chuyển
vế - đổi dấu đối với vecto.
Từ bài toán này trở đi, ta
sẽ áp dụng tính chất này
và khơng chứng minh lại.

r r r
r r r
Từ (1) và (2) ta suy ra a + b = c ⇔ a = c − b
Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.
uuuur
a) Tìm các vecto đối của vecto MN .
uuuur
uuu
r
b) Tìm hiệu của hai vecto MN và AB .
uuur uuu
r uuu
r
c) Xác định vecto AM + CB − AP
Hướng dẫn giải

uuuu
r uuu

r uuu
r
uuuur
a) Các vecto đối của MN là NM, PA,CP .

uuur uuu
r uuur
b) Áp dụng quy tắc tìm hiệu của hai vecto chung điểm đầu, ta có AM − AB = BM .
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
c) Ta có AM + CN − AP = AM − AP + CN = PM + CN = NB + CN = CN + NB = CB.

(

)

Ví dụ 3: Cho bốn điểm M, N, P, Q bất kỳ. Xác định các vecto sau
uuuu
r uuur
a) MQ − NQ.
uuuur uuur uuur
b) MN − MP + NP.
uuuur uuur uuur
c) MN − PQ + NQ.
Hướng dẫn giải

uuuu
r uuur uuuur

a) Áp dụng quy tắc tìm hiệu hai vecto chung nhau điểm cuối, ta có MQ − NQ = MN .
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuu
r r
b) Ta có MN − MP + NP = MN − MP + NP = PN + NP = PP = 0

(

)

Trang 6


uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuu
r uuur uuur
c) Ta có MN − PQ + NQ = MN + NQ − PQ = MQ − PQ = MP

(

)

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm các vecto sau
uuur uuu
r
a) BD − BA.
uuur uuur uuu
r
b) BC − BD + BA.
uuur uuu
r uuur
c) OC + AB − DO.

uuur uuu
r uuur
d) AD − BA − AO.
Hướng dẫn giải

uuur uuu
r uuur
a) Theo quy tắc tìm hiệu hai vecto, ta có BD − BA = AD .
uuur uuur uuu
r
b) Ta có BC − BD + BA (tìm hiệu hai vecto có chung điểm đầu)
uuur uuu
r uuur uuur uuur r
= DC + BA = DC + CD = DD = 0.
uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
c) Ta có OC + AB − DO = AB + OC − OB (hiệu hai vecto có chung điểm đầu)
uuu
r uuu
r uuur
= AB + BC = AC.
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
d) Ta có AD − BA − AO = AD − AO − BA (hiệu hai vecto có chung điểm đầu)
uuur uuur uuur
= OD − CD = OC (hiệu hai vecto có chung điểm cuối).


(

)

(

(

)

)

Ví dụ 5: Cho hai điểm cố định A, B. Gọi I là trung điểm AB. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
uuur uur uuur uuur
vecto MA − IA = MA − MB
Hướng dẫn giải
uuur uur uuur uuur
uuu
r uuu
r
Ta có MA − IA = MA − MB ⇔ MI = BA ⇔ MI = BA = R.
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = AB .

Bài tập tự luyện dạng 2
r
r
r
r
r
Câu 1: Cho a và b là các vecto khác 0 với a là vecto đối của b . Khẳng định nào sau đây sai?

Trang 7


r r
A. Hai vecto a, b cùng phương.
r r
C. Hai vecto a, b cùng độ dài.

r r
B. Hai vecto a, b ngược hướng.
r r
D. Hai vecto a, b chung điểm đầu.

Câu 2: Cho hai đểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là
uur
uur
uur uur
uur uur
A. IA = − IB.
B. AI = BI .
C. IA = IB.
D. IA = IB.
Câu 3: Chọn khẳng định sai.

uur uur r
A. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA − IB = 0.
uur uur uuu
r
B. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI − BI = AB.
uur uur r

C. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI − IB = 0.
uur uur r
D. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA − BI = 0.

Câu 4: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Khi đó, các vecto đối của
uuur
vecto PN từ các điểm đã cho là
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
A. AM, MB, NP.
B. MA, MB,NP.
C. MB, AM.
D. MA, BM,NP.
Câu 5: Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là trung
điểm của BC.
uuur uuur r
uuur uuu
r uuur r
A. MA − CM = 0.
B. AG − GB − GC = 0.
uuu
r uuur uuu
r r
uuu
r uuu
r uuur r
C. GB + GC − GA = 0.
D. GA − GB − GC = 0.

uuu
r uuu
r
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó OA − OB bằng
uuur uuu
r
uuur uuur
uuur
uuu
r
A. OC + OB.
B. AB.
C. OC − OD.
D. CD.
Câu 7: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Đằng thức nào sau đây sai?
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur uuu
r
A. OA − OB = CD.
B. OB − OC = OD − OA.
uuur uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
C. AB − AD = DB.
D. BC − BA = DC − DA.
uuur

Câu 8: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Các vecto đối của vecto OD là
uuu
r uuur uuu
r uuu
r
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
A. OA, DO, EF , CB.
B. OA, DO, EF ,OB, DA.
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
uuur uuu
r uuu
r uuur
C. OA, DO, EF , CB, DA.
D. DO, EF , CB, BC.
uuur uuuu
r uuur uuu
r
Câu 9: Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MB − MC = BM − BA là
A. Đường thẳng AB.

B. Trung trực đoạn BC.

C. Đường trịn tâm A, bán kính BC.


D. Đường thẳng A và song song với BC.
uuur uuur
Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, AB = 8cm, AD = 6cm. Tập hợp điểm M thỏa AO − AD = MO
là
A. Đường trịn tâm O có đường kính 10cm.

B. Đường trịn tâm O có đường kính 5cm.

C. Đường thẳng BD.

D. Đường thẳng AC.

Dạng 3: Tính độ dài của vecto tổng và vecto hiệu của hai vecto
Phương pháp giải
Để tìm độ dài của một vecto là tổng hoặc hiệu của Ví dụ: Cho hình vng ABCD cạnh a. Vẽ hình
hai hay nhiều vecto ta thực hiện các bước sau.

bình hành ABDM và gọi I là trung điểm AD.
Trang 8


uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
Tính độ dài các vecto AB + BC; AB − AD; BA + BD .
Hướng dẫn giải

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Ta có AB + BC = AC ; AB − AD = DB;

uuu
r uuur uuur
uur
BA
+
BD
=
BM
=
2
BI
Bước 1: Tình tổng, hiệu của hai hay nhiều vecto để
Khi đó
đưa về một vecto duy nhất.
uuu
r uuu
r
2
2
2
2
Bước 2: Tính độ dài của vecto đó (khoảng cách từ AB + BC = AC = AB + BC = a + a = a 2;
uuu
r uuur uuur
điểm đầu đến điểm cuối)
AB − AD = DB = DB = AC = a 2;
r r r
uuu
r
2

a − b + c + ... = AB = AB
uuu
r uuur
 a
2
BA + BD = BM = 2BI = 2 a +  ÷ = a 5.
 2
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng tại B; AB = 3a; BC = 4a.
uuur uuur
a) Hãy dựng điểm D sao cho AD = BC
uuu
r uuur
b) Tính độ dài của vecto BA + BC theo a.
Hướng dẫn giải
uuur uuur
a) Vẽ hình chữ nhật ABCD. Khi đó D là điểm thỏa mãn AD = BC .

uuu
r uuur uuur
b) Ta có BA + BC = BD = BD = AB2 + AD2 =

( 3a)

2

+ ( 4a) = 5a.
2

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a. Tính độ dài các vecto sau theo a.

uuu
r uuur
a) AB − AC.
uuu
r uuur
b) AB + AC.
Trang 9


uuur uuur
c) AC − AM với M là trung điểm AB.
Hướng dẫn giải

uuu
r uuur uuu
r
a) Ta có AB − AC = CB = CB = AB2 + AC 2 =

( 6a)

2

+ ( 8a) = 10a
2

b) Vẽ hình chữ nhật ABCD
uuu
r uuur uuur
Ta có AB + AC = AD = AD = BC = 10a.
uuur uuur uuuu

r
c) Ta có AC − AM = MC = MC = AC2 + AM 2 =

( 8a)

2

+ ( 3a) = a 73.
2

Ví dụ 3: Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tính độ dài các vecto sau theo a.
uuu
r uuur
a) AB − AC.
uuu
r uuur
b) AB + AC.
uuu
r uuur
c) AB + AH với H là trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải

uuu
r uuur uuu
r
a) Ta có AB − AC = CB = CB = a
b) Vẽ hình bình hành ABDC.
2

a 3

 a
Ta có AH = AB − BH = a −  ÷ =
.
2
 2
2

2

2

uuu
r uuur uuur
a 3
AB + AC = AD = AD = 2AH = 2.
=a 3
2
Trang 10


c) Vẽ hình bình hành ABKH. Gọi I là giao điểm của AK và BH.
Suy ra HI =

BH BC a
=
= .
2
4 4
2


uuu
r uuur uuur
 a 3   a 2 a 13
2
2
Ta có AB + AH = AK = AK = 2AI = 2 AH + HI = 2 
.
=
 2 ÷
÷ +  4 ÷
2



uu
r uuur uu
r uuur uu
r uuuu
r
Ví dụ 4: Cho ba lực F1 = MA, F2 = MB, F3 = MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên.
uu
r
uu
r
uu
r
Cho biết cường độ của F1 là 30N, cường độ của lực F2 là 40N và ·AMB = 90o . Tìm cường độ của lực F3
Hướng dẫn giải

uuur uu

r uuur uu
r uuuu
r uu
r
Gọi A, B, C là các điểm sao cho MA = F1, MB = F2, MC = F3 . Vẽ hình chữ nhật AMBD.
Vì vật đứng n nên ta có
uu
r uu
r uu
r r
uuur uuur uuuu
r r
uuuu
r uuuu
r r
uuuu
r
uuuu
r
F1 + F2 + F3 = 0 ⇔ MA + MB + MC = 0 ⇔ MD + MC = 0 ⇔ MC = − MD
uuuu
r uuuu
r
⇔ MC = DM.
uu
r
Cường độ của lực F3 là
uu
r uuuu
r uuuu

r
F3 = MC = DM = DM = AM 2 + AD2 = 302 + 402 = 50( N ) .
Bài tập tự luyện dạng 3

uuu
r uuur
Câu 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB = 2. Tính độ dài của AB + AC
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
A. AB + AC = 5.
B. AB + AC = 2 5.
C. AB + AC = 3.
D. AB + AC = 2 3.
uuu
r uuur
·
Câu 2. Cho tam giác ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB = 2a, ACB
= 30o . Khi đó AB + AC bằng
A. a 3.

B. a.

C. 2a 3.


D. 4a.
uuu
r uuur
Câu 3. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12. Vecto GB − CG có độ dài bằng

A. 2.

B. 4.

C. 8.

A. a 3.

B. 2a

C.

bao nhiêu?
D. 2 3.
uuur uuur
Câu 4. Cho tam giác ABC đều cạnh a, có AH là đường trung tuyến. AC + AH bằng
a 13
.
4

D.

a 13
.
2

Trang 11


Câu 5. Cho tam giác đều ABC cạnh 2a có I, J, K lần lượt là trung điểm BC, CA và AB. Giá trị của
uur uuur uur
AI + CK + IC là
A. 0.

B. a.

C.

a 3
.
2

D. 2a.

uuu
r uuur
·
Câu 6. Tam giác ABC có AB = AC = a và BAC
= 120o . Tính AB + AC
uuu
r uuur
A. AB + AC = a 3.

uuu
r uuur a
B. AB + AC = .

2

uuu
r uuur
C. AB + AC = a.

uuu
r uuur
D. AB + AC = 2a.

Câu 7. Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng 2018 và góc A bằng 60o. Kết luận nào sau đây đúng?
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r
A. OA = 1009 3.
B. OA = 2018.
C. OA = OB .
D. OA = 1009 2.
uu
r
uu
r
uu
r

uu
r
Câu 8. Cho hai lực F1 và F2 có điểm đặt O và tạo với nhau góc 60o . Cường độ của hai lực F1 và F2
đều là 100N. Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là
A. 100N.

B. 100 3N.
C. 50N.
D. 50 3N.
uu
r uuur uu
r uuur uu
r uuuu
r
Câu 9. Cho ba lực F1 = MA, F2 = MB, F3 = MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên
uu
r
uu
r
o
·
F
như hình vẽ. Biết cường độ của lực F1 là 50N, ·AMB = 120o, AMC
Cường
độ
của
lực
= 150 .
3 là


A. 50 3N.

B. 25 3N.

C. 25N.

D. 50N.
uuur uuur uuur uuur
Câu 10. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA + MB = MA − MB . Gọi
uuur uuur
H là hình chiếu của M lên AB. Độ dài lớn nhất của vecto AH − AM là
A.

a
.
2

B.

a 3
.
2

C. a.

D. 2a.

Dạng 4. Chứng minh đẳng thức vecto
Phương pháp giải
Để chứng minh một đẳng thức vecto, ta thường

•

Áp dụng các quy tắc tìm tổng hai vecto.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý.
uuur uuuu
r uuur uuuu
r
Chứng minh rằng MA + MC = MB + MD

•

Áp dụng các quy tắc tìm hiệu hai vecto.

Hướng dẫn giải

•

Tính chất của tổng hai vecto.

•

Quy tắc chuyển vế đổi dấu đối với vecto.
Trang 12


Việc chứng minh thường được tiến hành theo một
trong ba cách:
•


Cách 1: Đi từ vế trái sang vế phải.

•

Cách 2: Đi từ vế phải sang vế trái.

Cách 3: Biến đổi tương đương cả hai vế của Cách 1. Áp dụng quy tắc chuyển vế, đổi dấu đối
với vecto ta có
đẳng thức vecto.
uuur uuuu
r uuur uuuu
r
MA + MC = MB + MD
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
⇔ MA − MB = MD − MC
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
⇔ BA = CD ⇔ BA = BA (hiển nhiên).
uuur uuuu
r uuur uuuu
r
Vậy MA + MC = MB + MD
•

Cách 2. Ta có

uuur uuuu
r uuur uuu
r
uuuu
r uuur
MA + MC = MB + BA + MD + DC
uuur uuuu
r
uuu
r uuur uuur uuuu
r
= MB + MD + BA + DC = MB + MD

(

(

) (

) (

)

)

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
uuur uuur uuu
r r
a) Chứng minh AM + BN + CP = 0.

uuur uuu
r uuur r
b) Chứng minh AN + BP + CM = 0.
uur uur uur uuu
r uur uur
c) Chứng minh với điểm I bất kỳ ta có IA + IB + IC = IM + IN + IP
Hướng dẫn giải

uuur uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r r
a) Ta có AM + BN + CP = AM + MP + PA = AA = 0
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r
uuur uuur
uuur uuu
r
AN
+
BP
+
CM
=
AM
+
AP
+
BN

+
BM
+
CN
+
CP
b) Ta có

(

) (

) (

)

(theo quy tắc hình bình hành)
uuur uuur
uuur uuur
uuu
r uuu
r r r r r
= AM + BM + BN + CN + AP + CP = 0+ 0+ 0 = 0

(

) (

) (


)
uur uur uur uuu
r uur uur
uur uuu
r
uur uur
uur uur r
c) Ta có IA + IB + IC = IM + IN + IP ⇔ ( IA − IM ) + ( IB − IN ) + ( IC − IP ) = 0
uuur uuur uuur r
⇔ MA + NB + PC = 0
uuur uuur uuu
r r
uuur uuu
r uuur r
uuuur r
⇔ MA + PM + AP = 0 ⇔ MA + AP + PM = 0 ⇔ MM = 0 (hiển nhiên).
uur uur uur uuu
r uur uur
Vậy IA + IB + IC = IM + IN + IP với I là điểm bất kỳ.

Trang 13


Ví dụ 2. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh
uuu
r uuur uuur uuur
a) AB + CD + BC = AD .
uuu
r uuur uuur uuur r
b) AB + BC + CD + DA = 0 .

uuur uuu
r uuur uuur
c) DC + AB + BD = AC .
uuu
r uuur uuur uuu
r r
d) AB − AD + CD − CB = 0 .
uuu
r uuur uuur uuu
r
e) AB + CD = AD + CB .
uuu
r uuur uuur uuur r
f) AB + BC + DA − DC = 0 .
uuu
r uuur
g) AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của AD và BC trùng nhau.
Hướng dẫn giải
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
a) Ta có AB + CD + BC = AB + BC + CD = AC + CD = AD .

(

)

uuu
r uuur uuur uuur uuu

r uuur
uuur uuur uuur uuu
r uuu
r r
b) Ta có AB + BC + CD + DA = AB + BC + CD + DA = AC + CA = AA = 0.
uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
c) Ta có DC + AB + BD = AB + BD + DC = AD + DC = AC .
uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuur r
d) Ta có AB − AD + CD − CB = DB + BD = DD = 0.

(

(

) (

) (

)

)

e)
Cách 1.
uuur uuur uuur uuu

r
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuur uuur
Ta có AB + CD = AD + CB ⇔ AB − AD = CB − CD ⇔ DB = DB (hiển nhiên).
Cách 2.
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur
uuur uuu
r
uuur uuur uuur uuu
r
AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + DB + BD = AD + CB

(

) (
) (
) (
uuu
r uuu
r
uuur uuur uuur uuu
r uuu
r r
f) Ta có ( AB + BC ) + ( DA − DC ) = AC + CA = AA = 0


)

uur uur uur uur
g) Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm BC. Suy ra AI = ID, BJ = J C
uuu
r uuur
uur uu
r uur uur uu
r uur
Ta có AB = CD ⇔ AI + IJ + J B = CJ + J I + ID
uu
r uu
r
⇔ IJ = J I ⇔ I ≡ J (điều phải chứng minh).

(*)

Ví dụ 3. Cho năm điểm A, B, C, D và E bất kỳ. Chứng minh rằng
uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r
AC + DE − DC − CE + CB = AB
Hướng dẫn giải
Áp dụng quy tắc tìm hiệu hai vecto có chung điểm cuối và quy tắc ba điểm, ta có
uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuu

r
AC + DE − DC − CE + CB = AC − DC + DE − CE + CB
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r
= AD + DC + CB = AC + CB = AB

(

)

(

) (

)

Ví dụ 4. Cho sáu điểm bất kỳ A, B, C, D, E, F. Chứng minh các đẳng thức sau
uuu
r uuur uuur uuu
r
a) AB + DA + CD = CB
Trang 14


uuu
r uuur uuur uuur
b) AB + DC = AC + DB .
uuur uuu

r uuu
r uuur uuur uuu
r
c) AD + BE + CF = AF + BD + CE .
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
d) AE + BC + DF = AC + BF + DE .
Hướng dẫn giải
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
a) Ta có AB + DA + CD = CD + DA + AB = CA + AB = CB

(

)

b) Cách 1.
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r
Ta có AB + DC = AC + DB ⇔ AB − AC = DB − DC ⇔ CB = CB (hiển nhiên).

uuu
r uuur uuur uuur
Vậy AB + DC = AC + DB .
Cách 2.
uuu
r uuur uuur uuu
r
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
AB + DC = AC + CB + DB + BC = AC + DB + CB + BC = AC + DB

(

) (

)

(

uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r
c) Ta có AD + BE + CF = AF + BD + CE
uuur uuu
r
uuu
r uuur

uuu
r uuu
r r
⇔ AD − AF + BE − BD + CF − CE = 0

(

) (

) (

) (

) (

)

Chú ý: Ý c, d có thể làm hai cách
tương tự cách làm ý b. Ta sử dụng
quy tắc 3 điểm tách các vecto ở vế
trái thành tổng hai vecto.

)

uuur uuur uuu
r r
⇔ FD + DE + EF = 0
uuu
r r
⇔ FF = 0 (hiển nhiên).

uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r
Vậy AD + BE + CF = AF + BD + CE
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
d) Ta có AE + BC + DF = AC + BF + DE
uuu
r uuur
uuur uuu
r
uuur uuur r
⇔ AE − AC + BC − BF + DF − DE = 0
uuu
r uuur uuu
r r
⇔ CE + FC + EF = 0
uuu
r uuu
r uuur r
uuur r
⇔ CE + EF + FC = 0 ⇔ CC = 0 (hiển nhiên)
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
Vậy AE + BC + DF = AC + BF + DE

(


)

Ví dụ 5. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức vecto
uuu
r uuur uuu
r uuur
AB + AC = AB − AC thì tam giác ABC vng tại A.
Hướng dẫn giải
Vẽ hình bình hành ABCD và gọi I là giao điểm của AD và BC.

Trang 15


Ta có
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuur uuu
r
BC
AB + AC = AB − AC ⇔ AD = CB ⇔ AD = BC ⇔ 2AI = BC ⇔ AI =
2
Vì tam giác ABC có trung tuyến AI ứng với cạnh BC và bằng nửa độ dài cạnh BC nên tam giác ABC
vuông tại A (điều phải chứng minh).
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1. Cho hình vng ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r uuur uuur
uuu

r uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur
A. AD + AB = DB . B. BA + BC = BD .
C. CA + CB = CD.

uuur uuur uuur
D. DA + DB = BC.

Câu 2. Cho bốn điểm A, B, C, D. Đằng thức nào sau đây đúng?
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuur
A. AB + CD = AC + BD.
B. AB + CD = AD + BC.
uuu
r uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuur
C. AB + CD = AD + CB.
D. AB + CD = DA + BC.
Câu 3. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai?
uuu
r uuu
r uuur uuur r
uuur uuu
r uuur

A. OA + OB + OC + OD = 0.
B. AC = AB + AD.
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuu
r uuu
r
C. BA + BC = DA + DC .
D. AB + CD = AB + CB.
Câu 4. Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khẳng định sau đây sai?
uuu
r uuur uuu
r r
uuu
r uuur uuur r
A. AB + BC + CA = 0.
B. AP + BM + CN = 0.
uuu
r uuuu
r uuur
uuuur uuur uuur r
C. MN + NP + PM = 0.
D. PB + MC = MP.
Câu 5. Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r uuur uuur
uuur uuur uuur r
uuur uuur r
uuu

r uuur
A. AB + AC = AH.
B. HA + HB + HC = 0.
C. HB + HC = 0.
D. AB = AC.
Câu 6. Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uuur uuuu
r uuu
r
uuur uuur uuuu
r uuu
r
A. MA − BC = MC − BA.
B. MA + BC = MC + BA.
uuur uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuur
C. AC − BM = AM − BC.
D. AB + CM = AM + BC.
Câu 7. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đẳng thức vecto nào
dưới đây sai?
uuur uuur uuur uuuu
r r
A. NA + MB − CN − DM = 0.
uuur uuur uuuu
r uuur
C. NA + MB = MC + ND.

uuur uuur uuur uuuu

r
B. MA + MB = CN + DN.
uuur uuur uuur uuuu
r r
D. NA − BN − CM + MD = 0.

Câu 8. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur r
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
A. AB + CD + FA + BC + EF + DE = 0
B. AB + CD + FA + BC + EF + DE = AF
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuur
C. AB + CD + FA + BC + EF + DE = AE.
D. AB + CD + FA + BC + EF + DE = AD.
Câu 9. Cho các điểm phân biệt A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây sai?
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur uuu

r
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r
A. AB + CD + EF = AF + ED + BC.
B. AB + CD + EF = AF + ED + CB.
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
C. AE + BF + DC = DF + BE + AC.
D. AC + BD + EF = AD + BF + EC.

Trang 16


ĐÁP ÁN
BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Dạng 1. Xác định một vecto, sự cùng phương và cùng hướng của hai vecto
Đáp án trắc nghiệm
1-C
2-D
Hướng dẫn giải

3-B


4-D

5-D

6-D

7-A

8-D

9-C

Câu 8.

Trang 17


uuur uuur uuur uuu
r uuu
r
Ta có AC + DA = AC + CB = AB
Đáp án C sai vì độ dài vecto phải bằng 0.
Câu 9.
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuur

Ta có AB + CD + EF = AD + DB + CF + FD + EB + BF = AD + CF + EB + DB + BF + FD

(

) (

) (

uuur uuu
r uuu
r r uuur uuu
r uuu
r
= AD + CF + EB + 0 = AD + CF + EB .

) (

) (

)

Dạng 2. Tìm vecto đối và hiệu của hai vecto
Đáp án trắc nghiệm
1-D

2-A
3-A
Hướng dẫn giải

4-A


5-B

6-D

7-B

8-A

9-C

10-A

Câu 9.
uuur uuuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuur
Ta có MB − MC = BM − BA ⇔ CB = AM ⇔ AM = BC = R
Mà A, B, C cố định nên tập hợp điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R = BC.
Câu 10.

AB2 + AD2
82 + 62
=
=5
2
2
uuur uuur

uuur
AO − AD = MO ⇔ DO = MO ⇔ MO = DO ⇔ MO = 5

Ta có DO =

BD
=
2

Vì O cố định nên tập hợp các điểm M là đường trịn tâm O, bán kính 5cm (tức đường kính 10cm).
Dạng 3. Tính độ dài của một vecto tổng và vecto hiệu của hai vecto
Đáp án trắc nghiệm
1-A

2-D

3-B

4-D

5-B

6-C

7-A

8-B

9-B


10-A

Hướng dẫn giải
Câu 3.
Trang 18


Vẽ hình bình hành BGCD và gọi I là trung điểm BC.
BC 12
=
=6
2
2
uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
2
2
GB − CG = GB + GC = GD = GD = AI = .6 = 4
3
3

Ta có AI =

Câu 6.
Vẽ hình thoi ABCD.
·
·
Vì BAC
= 120o ⇒ ABD

= 60o
 BA = BD
⇒ ∆ABD đều cạnh a ⇒ AD = a.
Ta có  ·
o
 ABD = 60
uuu
r uuur uuur
Vậy AB + AC = AD = AD = a.
Câu 7.
 AB = AD = 2018
⇒ ∆ABD đều cạnh bằng 2018.
Ta có  ·
o
 BAD = 60
2
uuu
r
 2018
2
2
OA = OA = AB − BO = 2018− 
÷ = 1009 3.
 2 

Câu 8.
uu
r uuu
r uu
r uuu

r
Lực F1 = OA, F2 = OB . Vẽ hình thoi OADB.
ur uu
r uu
r uuu
r uuu
r uuur
Suy ra tổng hợp lực F = F1 + F2 = OA + OB = OD
OA = OB
⇒ ∆OAB đều
Ta có  ·
o
 AOB = 60
Gọi H là giao điểm của OD và AB
Trang 19


ur uu
r uu
r uuur
F = F1 + F2 = OD = OD = 2OH = 2 OA2 − AH 2
= 2 1002 − 502 = 100 3( N )
Câu 9.
Ta có
·AMB = 120o, AMC
·
·
= 150o ⇒ BMC
= 360o − 120o − 150o = 90o
Vẽ hình chữ nhật MCDB

·
·
CMD
= 180o − AMC
= 180o − 150o − 30o
Vì vật đứng yên nên tổng hợp lực tác động vào vật bằng
0 ⇒ MD = MA = 50

·
cosCMD
=

MC
3
⇒ MC = MD.cos30o = 50.
= 25 3
MD
2

uu
r
Vậy F3 = F3 = MC = 25 3 .
Câu 10.

uuur uuur uuuur
Vẽ hình bình hành MANB. Khi đó MA + MB = MN
uuur uuur uuur uuur
uuuur uuu
r
Ta có MA + MB = MA − MB ⇔ MN = BA hay MN = AB.

Vì MANB là hình bình hành có MN = AB suy ra MANB là
hình chữ nhật ⇒ ·AMB = 90o.
Do đó M nằm trên đường trịn tâm O đường kính AB.
uuur uuur uuuu
r
Độ dài của vecto AH − AM = MH lớn nhất khi MH lớn nhất .
Khi đó H trùng với tâm O.
AB a
= .
2 2
Dạng 4. Chứng minh đẳng thức vecto
Do đó MH = MO =

Đáp án trắc nghiệm
1-B

2-C

3-D

4-D

5-C

6-B

7-C

8-A


9-A

Hướng dẫn giải
Câu 7.

Xét đáp án A.
Trang 20


uuur uuur uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuur uuur uuur r
NA + MB − CN − DM = NA + AM + NC + MD = NM + MD + NC = ND + NC = 0

(

)

(

)

uuur uuur r
r
 MA + MB = 0 uuur uuur uuur uuuu
r r ⇒ MA + MB = CN + DN
Xét đáp án B. Ta có  uuur uuuu
CN + DN = 0

uuu
r uuur uuuu
r uuur
uuu
r uuur uuuu
r uuur
uuur uuur
Xét đáp án C. NA + MB = MC + ND ⇔ NA − ND = MC − MB ⇔ DA = BC (vô lý)
uuur uuur uuur uuuu
r uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur uuuu
r
uuur uuuu
r r r r
Xét đáp án D. NA − BN − CM + MD = NA + NB + MC + MD = NA + MC + NB + MD = 0+ 0 = 0

(

) (

)

Câu 8.
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu

r uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r r
Ta có AB + CD + FA + BC + EF + DE = AB + BC + CD + DE + EF + FA = AA = 0.
Câu 9.
Khẳng định ở câu A sai vì
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r uuur r
AB + CD + EF = AF + ED + BC ⇔ AB − AF + CD − ED + EF − BC = 0

(

) (
)
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r r
uuu
r uuu
r uuu

r uuu
r r
uuu
r uuu
r r
⇔ FB + CE + EF + CB = 0 ⇔ ( CE + EF + FB) + CB = 0 ⇔ CB + CB = 0 ⇔ C ≡ B

(vơ lý vì B, C phân

biệt).

Trang 21