CHUN ĐỀ 6. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Củng cố số đo cung và góc trên đường tròn lượng giác.
+ Biểu diễn được một cung trên đường tròn lượng giác.
+ Nắm được các giá trị lượng giác của một cung.
 Kĩ năng
+ Xác định được dấu của giá trị lượng giác các cung đặc biệt.
+ Tính được giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
+ Tính được giá trị của các biểu thức lượng giác với điều kiện cho trước.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Giá trị lượng giác của cung α
Ð
Ð
- Trên đường trịn lượng giác cho cung AM có sđ AM = α .
Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sinα .
sinα = OK .
Hoành độ x = OH của điểm M gọi là cơsin của α và kí hiệu là cosα .
cosα = OH .
Nếu cosα ≠ 0, tỉ số

sinα
được gọi là tang của α và kí hiệu là tanα
cosα

(hoặc tgα ).

tanα =
Nếu sinα ≠ 0, tỉ số

sinα
cosα

cosα
được gọi là cơtang của α và kí hiệu là cotα
sinα

(hoặc cotgα ).
cotα =

cosα
.
sinα

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
- Với hai cung đối nhau: α và −α .
cos( −α ) = cosα ;

sin( −α ) = − sinα ;

tan( −α ) = − tanα ;

cot ( −α ) = − cotα .

- Với hai cung bù nhau: α và π − α .
sin( π − α ) = sinα ;


cos( π − α ) = − cosα ;

tan( π − α ) = − tanα ;

cot ( π − α ) = − cotα .

π

- Với hai cung phụ nhau: α và  − α ÷.
2

π

sin − α ÷ = cosα ;
2


π

cos − α ÷ = sinα ;
2


π

tan − α ÷ = cotα ;
2


π


cot  − α ÷ = tanα .
2


- Với hai cung hơn kém π : α và ( π + α ) .
sin( π + α ) = − sinα ;

cos( π + α ) = − cosα ;
Trang 2


tan( π + α ) = tanα ;

cot ( π + α ) = cotα .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
Phương pháp giải

Ví dụ:

Để xác định dấu của giá trị lượng giác của góc (cung), ta thực
hiện các bước sau:

a) Xét dấu của sin

3π
.
4


- Xác định xem điểm ngọn cung thuộc góc phần tư nào của mặt b) Xét dấu của sin30°.cos100°.
Hướng dẫn giải

phẳng tọa độ.

a) Ta có

π 3π
<
< π nên điểm ngọn
2 4

IV

của cung

+
_
_
_

3π
thuộc góc phần tư II nên
4

sin

- Dùng định nghĩa giá trị lượng giác xác định dấu của các giá trị
lượng giác cần xét dấu.

Góc
phần tư
cosα
sinα
tanα
cotα

I

II

+
+
+
+

_

III
_
_

+
_
_

+
+

3π

> 0.
4

b) Vì 0° < 30° < 90° nên điểm ngọn
của cung 30° thuộc góc phần tư thứ I.
Do đó sin30° > 0.
Vì 90° < 100° < 180° nên điểm ngọn
của cung 100° thuộc góc phần tư thứ
II. Do đó cos100° < 0.
Vậy sin30°.cos100° < 0.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét dấu của các biểu thức sau
a) tan

4π
.
3

11π
b) sin100°.cos
.
4

Hướng dẫn giải
a) Vì π <
Vậy tan

4π 3π
4π
nên điểm ngọn của cung

thuộc góc phần tư thứ III.
<
3
2
3

4π
> 0.
3

b) Vì 90° < 100° < 180° nên điểm ngọn của cung 100° thuộc góc phần tư thứ II
⇒ sin100° > 0.

Trang 3


11π 3π
π 3π
11π
thuộc góc phần tư thứ II
=
+ 2π . Mà
<
< π nên điểm ngọn của cung
4
4
2 4
4

Ta có


11π
⇒ cos
< 0.
4
11π
Vậy sin100°.cos
< 0.
4
Ví dụ 2. Khẳng định nào sau đây đúng?
 500π
A. cot  −
3



÷ < 0.


B. sin( −2450° ) < 0.

 500π 
o
C. sin −2450 .cot  −
÷ < 0.
3 


(


)

 500π 
D. cot  −
÷ > 0.
3 


Hướng dẫn giải
Ta có −2450° = 70° − 7.360°.
Vì 0° < 70° < 90° nên điểm ngọn cung −2450° thuộc góc phần tư thứ I
⇒ sin( −2450° ) > 0 .
Ta có −
Vì π <

500π 4π
=
− 84.2π .
3
3

4π 3π
500π
nên điểm ngọn cung −
thuộc góc phần tư thứ III.
<
3
2
3


 500π
⇒ cot −
3



÷ > 0.


 500π
Do đó sin( −2450° ) .cot −
3



÷ > 0.


Chọn D.
Ví dụ 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin400°.cos( −3700° ) .cot ( −8800° ) > 0.
B. sin400° < 0.
C. cos( −3700° ) .cot ( −8800° ) < 0.
D. cot ( −8800° ) < 0.
Hướng dẫn giải
Cách 1.
Ta có 400° = 40° + 360°. Vì 0 < 40° < 90° nên điểm ngọn cung 400° thuộc góc phần tư thứ I
⇒ sin400° > 0 (B sai).

Trang 4



Ta có −3700° = 260° − 11.360°. Vì 180° < 260° < 270° nên điểm ngọn cung −3700° thuộc góc phần tư
thứ III ⇒ cos( −3700° ) < 0.
Ta có −8800° = 200° − 25.360°. Vì 180° < 200° < 270° nên điểm ngọn cung −8800° thuộc góc phần tư
thứ III ⇒ cot( −8800° ) > 0 (D sai).
Vậy sin400°.cos( −3700° ) .cot ( −8800° ) < 0 (A sai); cos( −3700° ) .cot ( −8800° ) < 0 (C đúng).
Chọn C.
Cách 2. Ngoài sử dụng phương pháp như trên, ta có thể nhờ sự hỗ trợ từ máy tính bỏ túi fx-570VN. Thao
tác bấm như sau:

- Reset máy tính:

- Chuyển về hệ độ:
- Ở đây để ý rằng trong máy tính bỏ túi khơng có hàm cot.
Do đó khi gặp hàm cot ta sẽ chuyển thành hàm

1
tan(

)

.

Ta lần lượt kiểm tra các đáp án.
Ví dụ đáp án A, ta bấm các phím trên máy tính lần lượt như sau:

- Kết quả ra được là −0,366703992 < 0.
Vậy sin400°.cos( −3700° ) .cot ( −8800° ) < 0. Do đó A sai.
Các đáp án khác kiểm tra tương tự.

Chọn C.
Ví dụ 4. Cho 0° < α < 90°. Xét dấu của
a) sin( α + 360° ) .

b) sin( α + 90° ) .

Hướng dẫn giải
a) Ta có sin( α + 360° ) = sinα .
Trang 5


Vì 0° < α < 90° nên điểm ngọn cung α thuộc góc phần tư thứ I.
Vậy sin( α + 360° ) > 0.
b) Ta có 0° < α < 90° ⇒ 0° + 90° < α + 90° < 90° + 90° ⇒ 90° < α + 90° < 180° nên điểm ngọn cung

α + 90° thuộc góc phần tư thứ II.
Vậy sin( α + 90° ) > 0.
Ví dụ 5. Cho tan x = −
A. −

5
.
5

1
2013π
2015π
và
< x<
. Giá trị của sinx là

2
2
2

B.

5
.
5

C. −

2 5
.
5

D.

2 5
.
5

Hướng dẫn giải
Ta có

2013π
2015π
π
π
π

3π
< x<
⇔ 1006π + < x < 1006π + π + ⇔ < x <
.
2
2
2
2
2
2

Do đó x thuộc góc phần tư thứ II và thứ III ⇒ cos x < 0.
Mà 1+ tan2 x =

1
2 5
1
=−
.
nên cos x = −
2
5
cos x
1+ tan2 x

Suy ra sin x = cos x.tan x =
Vậy sin x =

−2 5 −1
5

. =
.
5
2
5

5
.
5

Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Giá trị lượng giác nào sau đây mang dấu dương?
 3π
A. sin
 4


÷.


 11π
B. cos
 4


÷.



π 
C. cos ÷.
 2

 33π
D. cot  −
 4


÷.


Câu 2: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, tan trái dấu?
A. 30°.

B.

π
.
4

C. 359°.

D. 91°.

Câu 3: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị cos, cot cùng dấu?
A. 361°.

B. 181°.


C.

4π
.
3

D.

6π
.
5

D.

15π
.
4

Câu 4: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, cot của nó trái dấu?
A. 405°.

B.

25π
.
6

C.

20π

.
3

Câu 5: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, cos của nó trái dấu?
Trang 6


A. −45°.

B. −315°.

C.

2π
.
3

D. 91°.

Bài tập nâng cao
Câu 6: Cho sin x =
A. cos x =

15
.
4

Câu 7: Cho tanx =
A. sin x =


1
π
với < x < π . Khẳng định đúng trong các khẳng định sau là
4
2
B. cot x = 15.

1

C. tan x =

15

.

D. tan x = −

1
15

.

−4
2017π
2019π
và
< x<
. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
3
2

2

−3
.
5

Câu 8: Cho sin x =

3
B. sin x = .
5

C. sin x =

−4
.
5

4
D. sin x = .
5

π
6+ 2
với < x < π . Khi đó giá trị tanx là
2
4

A. 2 + 3
Câu 9: Cho sin x = −


B. −2− 3.

D. −2 + 3.

3π
6+ 2
với π < x <
. Khi đó giá trị cot x là
2
4

A. 2 + 3.
Câu 10: Cho sin x = −

C. 2 − 3.

B. −2− 3.

C. 2 − 3.

D. −2 + 3.

3π
6+ 2
với
< x < 2π . Khi đó giá trị cot x là
2
4


A. 2 + 3.

B. −2− 3.

C. 2 − 3.

D. −2 + 3.

Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Phương pháp giải

4
Ví dụ: Cho sin x = − ;180° < x < 270°.
5
Để tính các giá trị lượng giác của một góc (cung),
ta sẽ dùng các hệ thức lượng giác cơ bản biểu diễn Tính cos x, tan x, cot x.
giá trị lượng giác cần tính về giá trị lượng giác đã Hướng dẫn giải
Ta có

biết.

3
sin2 x + cos2 x = 1⇒ cos x = ± 1− sin2 x = ± .
5
Vì 180° < x < 270° nên cos x < 0
3
sin x 4
⇒ cos x = − ⇒ tan x =
=
5

cos x 3
⇒ cot x =

1
3
= .
tan x 4

3
4
3
Vậy cos x = − ; tan x = ; cot x = .
5
3
4
Ví dụ mẫu
Trang 7


Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác sau.
a) sin

3π
.
4

b) cot60°.

Hướng dẫn giải
a) sin


3π
.
4

Để tính giá trị của sin

3π
, ta có thể thực hiện bằng máy tính bỏ túi như dạng 1 Ví dụ 3.
4

- Reset máy tính:

- Chuyển về hệ rađian:
Do vậy ta bấm các phím trên máy tính lần lượt như sau:

- Kết quả ra được là
Vậy sin

2
2

3π
2
=
.
4
2

b) cot60°.


- Reset máy tính:

- Chuyển về hệ độ:
- Ở đây để ý rằng trong máy tính bỏ túi khơng có hàm cot. Do đó khi gặp hàm cot ta chuyển thành hàm
1
tan(

)

.

Do đó ta bấm các phím trên máy tính như sau:

- Kết quả ra được là
Vậy cot60° =

3
.
3

3
.
3
Trang 8


Ví dụ 2. Cho cos x = −
A. sin x =


5
, biết rằng 180° < x < 270°. Khẳng định nào sau đây đúng?
13

12
.
13

C. cot x = −

5
.
12

B. tan x =

12
.
5

D. sin x =

17
.
12

Hướng dẫn giải
Ta có sin2 x + cos2 x = 1⇒ sin x = ± 1− cos2 x = ±

12

.
13

Vì 180° < x < 270° nên điểm ngọn góc x thuộc góc phần tư thứ III ⇒ sin x < 0
⇒ sin x = −

12
sin x 12
1
5
⇒ tan x =
=
⇒ cot x =
= .
13
cos x 5
tan x 12

Vậy sin x = −

12
12
5
; tan x = ; cot x = − .
13
5
12

Chọn B.
3

Ví dụ 3. Cho tan x = − , biết rằng 90° < x < 180°. . Khẳng định nào sau đây đúng?
2
2
A. cot x = .
3
C. sin x =

3 13
.
13

B. cos x =

2 13
.
13

D. cos x =

13
.
13

Hướng dẫn giải
Ta có cot x =

1
2
=− .
tan x

3

Ta có 1+ tan2 x =

1
1
2 13
⇒
cos
x
=
±
=
±
.
13
cos2 x
1+ tan2 x

Vì 90° < x < 180° nên ngọn cung x thuộc góc phần tư thứ II
⇒ cos x < 0 ⇒ cos x =
Ta có tan x =
Vậy sin x =

−2 13
.
13

sin x
−2 13 −3 3 13

⇒ sin x = cos x.tan x =
. =
.
cos x
13
2
13

3 13
−2 13
−2
; cos x =
; cot x =
.
13
13
3

Chọn C.
Ví dụ 4. Cho giá trị lượng giác cot75° = 2 − 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. tan75° = 2 − 3.

B. tan75° = −2 − 3.
Trang 9


C. cos75° =

6− 2
.

4

D. cos75° =

− 6+ 2
.
4

Hướng dẫn giải
Cách 1.
Ta có tan75° =

1
1
=
= 2 + 3.
cot75° 2 − 3

Lại có
1+ tan2 75° =

1
1
2− 3
6− 2
⇒
cos75
°
=
±

=
±
=
±
4
4
cos2 75°
1+ tan2 75°

Vì 0° < 75° < 90° nên điểm ngọn cung 75° thuộc góc phần tư thứ I
⇒ cos75° > 0 ⇒ cos75° =
Ta có tan75° =

6− 2
.
4

sin75°
6+ 2
⇒ sin75° = tan75°.cos75° =
.
cos75°
4

Chọn C.
Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi.

- Reset máy tính:

- Chuyển về hệ độ:

- Bấm các giá trị lượng giác ở các đáp án

+ Bấm các phím
Ta được kết quả 2 + 3. Do đó loại đáp án A. và B.

+ Bấm các phím
Ta được kết quả

6− 2
. Do đó loại đáp án D.
4

Chọn C.
Ví dụ 5. Cho 4sin x − 2cos x = 1 và 0 < x <

π
. Khẳng định nào sau đây đúng?
2

A. sin x =

−2 − 19
.
10

B. cos x =

C. tan x =

8+ 19

.
15

D. cot x =

−2 − 304
.
20
−15
8+ 19

.
Trang 10


Hướng dẫn giải

π
nên sin x > 0 ⇒ sin x = 1− cos2 x (do sin2 x + cos2 x = 1).
2

Vì 0 < x <

Mà 4sin x − 2cos x = 1 nên 4 1− cos2 x = 2cos x + 1.( 1)
Vì 0 < x <

)

(


2
2
π
nên cos x > 0 ⇒ ( 1) ⇔ 4 1− cos2 x = ( 2cos x + 1)
2

(

)

⇒ 16 1− cos2 x = 4cos2 x + 4cos x + 1

−2 + 304
 cos x =
−2 + 304
20
⇒ 20cos2 x + 4cos x − 15 = 0 ⇒ 
⇒ cos x =

20
−2 − 304
 cos x =
20

(do cos x > 0).
Vì sin x > 0 nên sin x = 1− cos2 x =
⇒ tan x =

2 + 19
10


sin x 8+ 19
1
15
=
⇒ cot x =
=
.
cos x
15
tan x 8+ 19

Vậy sin x =

2 + 19
−2 + 304
8+ 19
15
; cos x =
; tan x =
; cot x =
.
10
20
15
8+ 19

Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản

13π
Câu 1: Giá trị của cos
là
6
A.

2
.
2

B. −

Câu 2: Giá trị của cot
A.

3.

2
.
2

C.

3
.
2

D. −

3

.
2

C.

3
.
3

D. −

3
.
3

−17π
là
6
B. − 3.

Câu 3: Giá trị của sin45° là
A.

2.

Câu 4: Cho sin x =
A. −2 2.

B. − 2.


C. −

2
.
2

D.

2
.
2

1
π
với < x < π . Khi đó giá trị lượng giác cot x bằng
3
2
B. 2 2.

C. −8.

D. 8.
Trang 11


Câu 5: Cho tan x = −
A. sin x =

1
3π

với
< x < 2π . Khi đó các giá trị lượng giác còn lại bằng
2
2

− 5
.
5

B. cos x =

−2 5
.
5

Câu 6: Cho cot x = a, a > 0 với π < x <
A.

a2
.
a2 + 1

B. −

a2
.
a2 + 1

5
.

5

D. sin x =

C. cot x = 5.

3π
. Khi đó giá trị lượng giác của cosx bằng
2
C.

a2 + 1
.
a2

a2 + 1
.
a2

D. −

µ ,C
µ là các góc của tam giác ABC. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Câu 7: Biết µA, B

(

)

(


µ
µ µ
A. sinC = − sin A + B .

(

)

)

µ
µ µ
B. tanC = tan A + B .

µ
µ µ
C. cosC = cos A + B .

(

)

µ
µ µ
D. cotC = − cot A + B .

Câu 8: Cho tam giác ABC. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.
µ µ
µ

A. sin A + C = cos B .
2
2

µ µ
µ
B. cos A + C = sin B .
2
2

µ µ
µ
C. sin A + B = sinC.

µ µ
µ
D. cos A + B = cosC.

(

)

)

(

Bài tập nâng cao
x
x
a− 1

Câu 9: Nếu x là góc nhọn thì sin =
thì tan bằng
2
2
2a
A.

a− 1
.
a+ 1

B.

a+ 1
.
a− 1

C.

1
a+ 1

.

D.

.

D.


1
a− 1

.

x
x
a− 1
Câu 10: Nếu x là góc nhọn thì sin =
thì cot bằng
2
2
2a
A.

a− 1
.
a+ 1

B.

a+ 1
.
a− 1

C.

1
a+ 1


1
a− 1

Câu 11: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c thỏa mãn hệ thức sau

.

1+ cosB 2a + c
=
.
1− cosB 2a − c

Tam giác ABC là tam giác gì?
A. ∆ABC cân tại A.

B. ∆ABC cân tại B.

C. ∆ABC cân tại C.

D. ∆ABC đều.

Trang 12


Dạng 3: Tính các giá trị của các biểu thức lượng giác
Ví dụ: Cho tan x = 3, tính giá trị của biểu thức sau

Phương pháp giải
Để tính các giá trị của các biểu thức lượng giác, ta


A=

dùng các hệ thức lượng giác cơ bản biểu diễn giá trị

2sin2 x − 3sin x.cos x
3cos2 x − 2sin2 x

lượng giác trong biểu thức cần tính về giá trị lượng Hướng dẫn giải
giác đã biết.

Nhận thấy bậc tử số và mẫu số đều bằng nhau và
bằng 2 nên ta chia cả tử và mẫu của A cho cos2 x,
ta được
2tan2 x − 3tan x 2.32 − 3.3
3
A=
=
=− .
2
2
5
3− 2tan x
3− 2.3

Ví dụ mẫu
1
Ví dụ 1. Cho sin x + cos x = . Tính các giá trị của các biểu thức sau
2
a) A = sin x.cos x;


b) B = sin3 x + cos3 x.

Hướng dẫn giải
a) Ta có
sin x + cos x =

2
1
1
1
⇒ ( sin x + cos x) = ⇒ sin2 x + cos2 x + 2sin x.cos x =
2
4
4

⇒ 1+ 2sin x.cos x =

1
3
⇒ sin x.cos x = − .
4
8

3
Vậy A = sin x.cos x = − .
8
b) Ta có
1   3  11
sin3 x + cos3 x = ( sin x + cos x) sin2 x + cos2 x − sin x.cos x = . 1−  − ÷ = .
2   8  16


(

Vậy B =

)

11
.
16

Ví dụ 2. Cho tan x = 3. Giá trị của biểu thức A =
A.

−7
.
8

B.

−9
.
8

C.

2sin x + 3cos x
là
cos x − 3sin x


7
.
8

D.

9
.
8

Hướng dẫn giải
Cách 1.
Nhận thấy bậc tử số và mẫu số đều bằng nhau và bằng 1, ta chia cả tử và mẫu của A cho cos x, ta được

Trang 13


sin x
sin x
+3
2sin x + 3cos x
cos x = 2tan x + 3 = 2.3+ 3 = − 9 .
A=
= cos x
cos x
sin x
cos x − 3sin x
1− 3tan x 1− 3.3
8
−3

cos x
cos x
2

9
Vậy A = − .
8
Chọn B.
Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi (CASIO fx-500ES PLUS)

Bước 1: Reset máy tính:
Bước 2:
+ Bấm các phím để có biểu thức A:

2sin x + 3cos x
cos x − 3sin x

+ Bấm phím:
9
+ Kết quả ra − .
8
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho tan x + cot x = m; m> 2. Khi đó giá trị của biểu thức tan x − cot x là bao nhiêu?
A. − m2 − 4.

B.

4 − m2 .

C.


m2 − 4.

D. − 4− m2 .

Hướng dẫn giải
Ta có
tan x + cot x = m⇒ ( tan x + cot x) = m2 ⇒ tan2 x + 2tan x.cot x + cot2 x = m2
2

⇒ tan2 x + cot2 x + 2 = m2 ⇒ tan2 x − 2 + cot2 x + 2 + 2 = m2
⇒ ( tan x − cot x) = m2 − 4
2

⇒

( tan x − cot x)

2

= m2 − 4 ⇒ tan x − cot x = m2 − 4.

Vậy tan x − cot x = m2 − 4.
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho sin x + cos x = −

2
. Khi đó giá trị của sin x.cos x bằng

2

Trang 14


A.

1
.
4

B.

−1
.
4

C.

1
.
2

D.

−1
.
2

Câu 2: Đơn giản biểu thức A = ( tan x + cot x) − ( tan x − cot x) ta được

2

A. A = −4.

B. A = 4.

2

C. A = tan x.

Câu 3: Cho tan x = 5. Khi đó giá trị của biểu thức P =
A. 2.

B. 3.

Câu 4: Cho sin x + cos x =
A. sin x cos x =

D. A = − tan x.

sin x + cos x
là
sin x − 2cos x

C. 4.

D. 5.

2
. Kết quả nào sau đây sai?

2

−1
.
4

B. sin x − cos x =

7
C. sin4 x + cos4 x = .
8

± 6
.
2

D. tan2 x + cot2 x = 12.

1
sin x − 2cos x
Câu 5: Cho cot x = . Giá trị của biểu thức P =
là
3
3sin x + 4cos x
A.

1
.
13


B.

−1
.
3

Câu 6: Cho tan x = m. Khi đó
A.

a.m− b
.
− d.m+ c

B.

C.

D.

a.m+ b
.
cm+ d

D. Đáp số khác.

1
.
3

a.sin x − b.cos x

bằng
c.cos x − d.sin x

a.m− b
.
c.m− d

Câu 7: Cho tan x = m. Khi đó giá trị biểu thức
a.m2 + 2bm
. +c
.
A.
2
d.m − 3em+ 8f
C.

−1
.
13

C.

a.sin2 x + 2b.sin x.cos x + c.cos2 x
bằng
d.cos2 x − 3esin x.cos x + 8f .sin2 x
a.m2 + 2bm
. +c
.
B.
d − 3em+ 8f .m2


a.m2 + 2bm
. +c
.
− d − 3em+ 8f .m2

D.

a.m2 − 2bm
. +c
.
d − 3em+ 8f .m2

Câu 8: Giá trị của biểu thức P = sin6 x + cos6 x + 3sin2 x.cos2 x là
A. −1.

B. 1.

Câu 9: Nếu sin x + cos x =
A.

7 6+ 2
.
4

2
thì giá trị của biểu thức P = 4sin x − 3cos x là
2

B.


7 6− 2
.
4

Câu 10: Nếu 3sin4 x + 2cos4 x =
A.

607
.
407

D. −4.

C. 4.

B.

C.

−7 6 − 2
.
4

D.

7 6+ 2
.
8


98
thì giá trị của biểu thức P = 2sin4 x + 3cos4 x là
81

108
.
81

C. −

108
.
81

D.

607
.
405
Trang 15


Bài tập nâng cao
Câu 11: Biết tan x =
A. a − c.

2b
. Giá trị biểu thức A = a.cos2 x + 2b.sin x.cos x + c.sin2 x là
a− c
B. 2b.

C. 2c.
D. a.

sin8 x cos8 x
sin4 x cos4 x
1
A
=
+
Câu 12: Nếu
thì giá trị của biểu thức
là
+
=
a
b
a+ b
a3
b3
A.

1

( a + b)

3

.

B.


−1

( a + b)

Câu 13: Nếu 3sin4 x + 2cos4 x =
A.

113
.
400

3

C. ( a + b) .

.

D. − ( a + b) .

3

3

98
thì giá trị của biểu thức P = 2tan4 x − cot4 x là
81
2

2


 16   29 
B. 2. ÷ −  ÷ .
 29   16 

2

2

 29   16 
C. 2. ÷ −  ÷ .
 16   29 

D.

400
.
113

Câu 14: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?
2

tan x + tan y
= tan x.tan y.
A.
cot x + cot y

 1+ sin x
1− sin x 
B. 

−
÷ = 4tan2 x.
 1− sin x
÷
1
+
sin
x



sin x
sin x
1− cot2 x
−
=
.
C.
cos x + sin x cos x − sin x 1+ cot2 x

 sin x + tan x 
1
D. 
.
÷ + 1=
cos2 x
 cos x + 1 

2


Dạng 4: Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
Phương pháp giải

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau

Để tính các giá trị lượng giác của các góc a) A = tan225° + cot150°.
(cung) có liên quan đặc biệt, ta thực hiện b) B = sin240° + tan300°.cos( −780° ) .
theo các bước sau:
Hướng dẫn giải
- Dùng cung liên kết đưa về cung ở góc
a) tan225° + cot150° = tan( 45° + 180° ) + cot ( −30° + 180° )
phần tư thứ nhất.
- Dùng công thức lượng giác để thu gọn
biểu thức.

(

)

= tan45° + cot ( −30° ) = 1+ − 3 = 1− 3.
Vậy A = 1− 3.
b) sin240° + tan300°.cos( −780° )
= sin( 60° + 180° ) + tan( −60° + 360° ) .cos( −60° − 720° )
= − sin60° + tan( −60° ) .cos( −60° ) =

(

)

− 3

1
+ − 3.
2
2

= − 3.
Vậy B = − 3.
Ví dụ mẫu
Trang 16


Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau
a) A = tan240° + cot225°.

b) B = sin210° + tan330°.cot495°.

Hướng dẫn giải
a) Ta có
tan240° = tan( 60° + 180° ) = tan60° = 3;
cot225° = cot( 45° + 180° ) = cot45° = 1.
Vậy A = tan240° + cot225° = 1+ 3.
b) Ta có
sin210° = sin( 30° + 180° ) = − sin30° =

−1
.
2

tan330° = tan( −30° + 360° ) = tan( −30° ) = − tan30° =


− 3
.
3

cot495° = cot( −45° + 3.180° ) = cot ( −45° ) = − cot45° = −1.
Vậy B =

−1 − 3
1
3
+
−1) = − +
.
(
2
3
2 3

Ví dụ 2. Giá trị của biểu thức sau là

Ghi nhớ:

 9π

 13π

 17π

 21π


A = tan
− x÷+ cot 
− x÷+ tan
+ x÷+ cot
+ x÷.
 2

 2

 2

 2

A. −1.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Ta có:
 9π

π

π

tan

− x÷ = tan + 4π − x÷ = tan − x÷ = cot x.
 2

2

2

 13π

π

π

cot 
− x÷ = cot  + 6π − x÷ = cot  − x÷ = tan x.
 2

2

2


π

sin + x÷ = cos x
2

π

cos + x÷ = − sin x

2

π

tan + x÷ = − cot x
2

π

cot  + x÷ = − tan x
2


 17π

π

π

tan
+ x÷ = tan + 8π + x÷ = tan + x÷ = − cot x.
 2

2

2

 21π

π


π

cot 
+ x÷ = cot  + 10π + x÷ = cot  + x÷ = − tan x.
 2

2

x

Vậy A = cot x + tan x − cot x − tan x = 0.
Chọn B.
Ví dụ 3. Thu gọn biểu thức
A = cos( 270° + x) − 3sin( x − 450° ) + cos( x − 900° ) + 4sin( 720° + x) ta được kết quả nào sau đây?
A. 5sin x + 2cos x.

B. 5sin x − 4cos x.
Trang 17


C. 3sin x + 2cos x.

D. 3sin x − 4cos x.

Hướng dẫn giải
Ta có
cos( 270° + x) = cos( 90° + 180° + x) = − cos( 90° + x) = sin x.
sin( x − 450° ) = sin( x + 90° − 3.180° ) = − sin( x + 90° ) = − cos x.
cos( x − 900° ) = cos( x − 5.180° ) = − cos x.

sin( 720° + x) = sin( 4.180° + x) = sin x.
Vậy A = sin x − 3( − cos x) + ( − cos x) + 4sin x = 5sin x + 2cos x.
Chọn A.
Ví dụ 4. Giá trị của biểu thức
A = sin2

2π
3π
4π
5π
6π
7π
là
+ sin2
+ sin2
+ sin2
+ sin2
+ sin2
18
18
18
18
18
18

A. A = 0.

B. A = 1.

C. A = 2.


D. A = 3.

Hướng dẫn giải
2
Ta có sin

 π 2π 
2π
7π
2π
2π
2 2π
+ sin2
= sin2
= sin2  −
+ cos2
= 1.
÷ = sin
18
18
18
18
18
 2 18 

Tương tự: sin2

3π
6π

4π
5π
+ sin2
= 1; sin2
+ sin2
= 1.
18
18
18
18

Do đó

2π
7π   2 3π
6π   2 4π
5π 
A =  sin2
+ sin2
+ sin2
+ sin2
÷+  sin
÷+  sin
÷ = 1+ 1+ 1= 3.
18
18  
18
18  
18
18 


Vậy A = 3.
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 4
Bài tập cơ bản
 3π

− x÷− cos( x + 9π ) là
Câu 1: Giá trị sin
 2

A. 0.

B. −2cos x.

C. 2cos x.

D. 1.

 13π

 7π

 9π


5π 
− x÷+ cot 
− x÷− tan
− x÷− cot x −

Câu 2: Giá trị của biểu thức tan
÷ là
2
 2

 2

 2


A. 2tan x.

B. −2tan x.

C. 2cot x.


11π
Câu 3: Giá trị biểu thức sin( x + π ) − cos( 7π − x) + sin x −
2

Khi đó giá trị của P = a + 2b là

D. 0.

 15π

+ x÷ là a.sin x + b.cos x.
÷+ cos


 2


Trang 18


A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 4: Giá trị của biểu thức

π
2π
3π
4π
5π
6π
7π
8π
9π
là
cos + cos + cos + cos − cos − cos − cos − cos − cos
5
5
5

5
5
5
5
5
5
A. −1.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

π
2π
3π
8π
Câu 5: Giá trị của biểu thức P = tan + tan + tan + ... + tan
là
9
9
9
9
A. −1.

B. 1.

C. 0.


D. 2.

Bài tập nâng cao
Câu 6: Cho biểu thức sau sin( x − π ) + cos( 3π − x) + tan( x + 4π ) − cot ( x − 5π )

có giá trị bằng

a.sin x + b.cos x + c.tan x + d.cot x. Khi đó giá trị của P = a + b − c + 2d là
A. P = 0.

B. P = −1.

C. P = −3.

D. P = −5.


 9π



π
17π 
5π 
− x÷+ tan x −
Câu 7: Cho biểu thức sau sin x − ÷+ cos
÷− cot x −
÷ có giá trị bằng
2
2 

2

 2



a.sin x + b.cos x + c.tan x + d.cot x. Khi đó giá trị của P = a + b + c + 2d là
A. P = 0.

B. P = −1.

C. P = −3.

(

D. P = −5.

) (

)

2

Câu 8: Biểu thức A = 2 sin4 x + cos4 x + sin2 x.cos2 x − sin8 x + cos8 x có giá trị bằng
B. −2.

A. 2.

D. −1.


C. 1.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Xác định dấu của các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1-A

2-D

3-A

4-C

5-B

6-D

7-D

8-B

9-C

10-D

Câu 6. Chọn D.
2

 1
15
Cách 1. sin x + cos x = 1⇒ cos x ± 1− sin x = ± 1−  ÷ = ±

.
4
 4
2

2

2

1
sin
x
4 = −1 ⇒ cot x = 1 = − 15.
π
− 15
Vì < x < π ⇒ cos x =
. Từ đó suy ra tan x = cos x =
tan x
− 15
15
2
4
4
Vậy cos x =

− 15
−1
; tan x =
; cot x = − 15.
4

15

Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi CASIO fx-570VN-PLUS.

Bước 1: Reset máy tính:
Bước 2: Tìm x và gán x cho A:

Trang 19


Bước 3:

- Tìm các giá trị cịn lại bình thường, ví dụ tìm giá trị lượng giác như sau:

- Nếu kết quả ra số lẻ, ta chỉ việc bình phương lên rồi căn xuống lại là sẽ ra số đẹp:
Kết quả ra

π
15
. Tuy nhiên chúng ta cần lưu ý rằng < x < π nên ngọn cung x thuộc cung phần tư thứ II
2
4

⇒ cos x < 0 ⇒ cos x =

− 15
.
4

- Thực hiện tương tự với các giá trị lượng giác cịn lại.

Câu 7. Chọn D.
Ta có

2017π
2019π
π
3π
π
3π
nên suy ra cos x < 0.
< x<
⇔ 1008π + < x < 1008π +
⇔ < x<
2
2
2
2
2
2

Do đó cos x = −

1
1+ tan2 x

=

−3
−3 −4 4
⇒ sin x = cos x.tan x = . = .

5
5 3 5

4
Vậy sin x = .
5
Câu 8. Chọn B.
2

 6+ 2
π
2− 6
Vì < x < π nên cos x < 0 ⇒ cos x = − 1− sin2 x = − 1− 
÷ =

÷
2
4
4


6+ 2
4
= −2− 3. Vậy tan x = −2 − 3.
2− 6
4

sin x
⇒ tan x =
=

cos x
Câu 9. Chọn C.
3π
Vì π < x <
nên
2

cot x > 0 ⇒ cot x =

1
1
−1=
− 1 = 2 − 3.
2
2
sin x


6+ 2
−
÷

4 ÷



Câu 10. Chọn D.

Vì


3π
< x < 2π nên
2

cot x < 0 ⇒ cot x = −

1
1
−1= −
− 1 = 3 − 2.
2
2
sin x


6+ 2
−
÷

4 ÷


Trang 20


Dạng 2. Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
1-C
11-C

2-A


3-D

4-A

5-A

6-B

7-D

8-D

9-A

10-B

Câu 9. Chọn A.
Vì x là góc nhọn nên 0° < x < 90° ⇒ 0° <
Ta có sin2

 x
 x
x
< 45° ⇒ sin ÷ > 0; cos ÷ > 0.
2
 2
 2

x

x
x
x
a−1 a+ 1
a+1
+ cos2 = 1⇒ cos2 = 1− sin2 = 1−
=
⇒ cos x =
.
2
2
2
2
2a
2a
2a

x
x
2=
Từ đó ta tính được tan =
x
2
cos
2
sin

a−1
2a = a − 1.
a+ 1

a+ 1
2a

x
a− 1
Vậy tan =
.
2
a+ 1
Câu 10. Chọn B.
x
1
a+ 1
x
a− 1
cot =
=
.
Theo câu a, ta có: tan =
. Suy ra
x
2
a− 1
tan
2
a+ 1
2
Câu 11. Chọn C.
Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có b2 = a2 + c2 − 2ac.cosB ⇒ cosB =
Ta có


a2 + c2 − b2
.
2ac

1+ cosB 2a + c
=
⇒ ( 1+ cosB) ( 2a − c) = ( 1− cosB) ( 2a + c)
1− cosB 2a − c

⇒ 2a − c + 2a.cosB − c.cosB = 2a + c − 2a.cosB − c.cosB
⇒ 2a.cosB = c.
Từ đó suy ra 2a .

a2 + c2 − b2
2ac

= c ⇒ a2 + c2 − b2 = c2 ⇒ a = b ⇒ CB = CA.

Vậy tam giác ABC cân tại C.
Dạng 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác
1-B
2-B
11-D
12-A
Câu 11. Chọn D.
Ta có tan x =

3-A
13-B


4-D
14-C

5-A

6-A

7-B

8-B

9-A

10-D

2b
.
a− c

Nhận thấy bậc của các số hạng trong biểu thức A bằng nhau và bằng 2 nên ta tiến hành chia cả hai vế cho
cos2 x. Ta có
Trang 21


2

 2b 
A
cos2 x

sin x.cos x
sin2 x
2b
2
=
a
+
2
b
+
c
.
=
a
+
2
b
.tan
x
+
c
.tan
x
=
a
+
2
b
.
+

c

÷
a− c  a− c 
cos2 x
cos2 x
cos2 x
cos x.cos x

(

2

)

⇒ A 1+ tan x =
2

a( a − c) + 4b2 ( a − c) + c.4b2

( a − c)

2

(

  2b 2  a3 − 2a2c + ac2 + 4ab2
⇒ A. 1+ 
÷=
2

  a − c  
( a − c)

)

(

 ( a − c) 2 + 4b2  a a2 − 2ac + c2 + 4b2
 2
2
2
a2 − 2ac + c2 + 4b2
a
−
2
ac
+
c
+
4
b
=
 = a.
⇒ A. 
⇒ A. 
2
2
2
 ( a − c) 2 



a
−
c
a
−
c
a
−
c
(
)
(
)
(
)





)

⇒ A = a.
Câu 12. Chọn A.
Đặt sin2 x = u ⇒ cos2 x = 1− u.
4
4
2
1− u)

2
1
ab
Ta có sin x + cos x = 1 ⇒ u + (
=
⇒ u2b + ( 1− u) a =
a
b
a+ b
a
b
a+ b
a+ b
2

⇒ u2b + a − 2ua + u2a =

2
ab
ab
⇒ u2 ( a + b) − 2ua + a =
⇒ u2 ( a + b) − 2ua( a + b) + a( a + b) − ab = 0
a+ b
a+ b

⇒ u2 ( a + b) − 2ua( a + b) + a2 = 0 ⇒ u( a + b) − a = 0 ⇒ u =
2

2


Do đó sin2 x = u =

a
.
a+ b

a
b
;cos2 x = 1− u =
.
a+ b
a+ b
4

4

 a   b 

÷ 
÷
8
8
sin x cos x  a + b   a + b 
a
b
1
Từ đó thế vào A ta được:
A= 3 +
=
+

=
+
=
.
3
3
3
4
4
3
a
b
a
b
( a + b) ( a + b) ( a + b)
Vậy A =

1

( a + b)

3

.

Câu 13. Chọn B.
Ta có 3sin4 x + 2cos4 x =

(


)

2
98
98
98
⇒ 3 1− cos2 x + 2cos4 x =
⇒ 5cos4 x − 6cos2 x + 3 = .
81
81
81

 2
29
cos x =

145
45.
⇒ 5cos4 x − 6cos2 x +
= 0⇒ 
81
 cos2 x = 5

9
Trường hợp 1:

cos2 x =

29
1

1
16
29
⇒ tan2 x =
− 1=
− 1=
⇒ cot2 x = .
2
29
45
29
16
cos x
45
2

2

 16   29 
Do đó P = 2tan x − cot x = 2. ÷ −  ÷ .
 29   16 
4

4

Trang 22


Trường hợp 2:


cos2 x =

5
1
1
4
5
2
⇒ tan2 x =
−
1
=
−
1
=
⇒
cot
x
=
.
5
9
5
4
cos2 x
9
2

2


 4  5
−113
Do đó P = 2tan x − cot x = 2. ÷ −  ÷ =
.
400
 5  4 
4

4

2
2

 16   29 
 P = 2. ÷ −  ÷
 29   16  .
Vậy 

 P = −113
400


Câu 14. Chọn C.
sin x sin y sin x.cos y + sin y.cos x
+
tan x + tan y cos x cosy
sin x.sin y
cos x.cosy
=
=

=
= tan x.tan y.
cot x + cot y cos x cosy cos x.sin y + sin x.cos y cos x.cosy
+
sin x sin y
sin x.sin y

(

) ÷ = 

2

 1+ sin x
1− sin x   1 + sin x − 1 − sin x
−
=

÷

 1− sin x
1+ sin x ÷

  1− sin x. 1+ sin x

2

÷
÷



2

2sin x 
4sin2 x
=
= 4tan2 x.
÷
2

÷
2
cos x
 1− sin x 

sin x( cos x − sin x) − sin x( cos x + sin x)
sin x
sin x
−2sin2 x
−
=
=
cos x + sin x cos x − sin x
cos2 x − sin2 x
( cosx + sin x) ( cosx − sin x)
=

−2
2
=

2
cot x − 1 1− cot2 x

(

2
 sin x. cos x + 1


sin
x

2
sin
x
+

÷
 sin x + tan x 
cos x ÷ + 1= 
cos x

÷ + 1= 

cos
x
+
1
cos
x

+
1
cos x+ 1



÷

÷





) ÷

2
2

 sin x 
1
÷
2
÷ + 1=  cos x ÷ + 1= tan x + 1= cos2 x .


÷
÷



Dạng 4. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
1-A

2-A

3-C

4-B

5-C

6-D

7-B

8-C

Câu 6. Chọn D.
Ta có sin( x − π ) + cos( 3π − x) + tan( x + 4π ) − cot ( x − 5π )
= − sin x + ( − cos x) + tan x − cot x = − sin x − cos x + tan x − cot x.
Do đó a = b = d = −1, c = 1⇒ P = a + b − c + 2d = −5.
Câu 7. Chọn B.

 9π


π
17π
− x÷+ tan x −
Ta có sin x − ÷+ cos

2
2

 2





5π 
÷− cot x −
÷
2


Trang 23


= ( − cos x) + sin x + ( − cot x) − ( − tan x) = sin x − cos x + tan x − cot x.
Do đó a = 1, b = −1,c = 1,d = −1⇒ P = a + b + c + 2d = −1.
Câu 8. Chọn C.

(

) (

)

2


Ta có A = 2 sin4 x + cos4 x + sin2 x.cos2 x − sin8 x + cos8 x

(

2

)

(

)

2
2
= 2 sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x − sin4 x + cos4 x + 2sin4 x cos4 x



(

)

(

) (

2

(


)

2

= 2 1− sin2 xcos2 x −  sin2 x + cos2 x − 2sin2 xcos2 x + 2sin4 xcos4 x


2

)

2

= 2 1− sin2 xcos2 x − 1− 2sin2 xcos2 x + 2sin4 xcos4 x
= 2 − 4sin2 x cos2 x + 2sin4 xcos4 x − 1+ 4sin2 xcos2 x − 4sin4 xcos4 x + 2sin4 xcos4 x = 1.

Trang 24