CHƯƠNG 5:
BÀI 2: SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VỊ. MỐT
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được ý nghĩa của số trung bình cộng, số trung vị, mốt.
+ Nắm vững cách tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt.
 Kĩ năng
+

Tính được số trung bình cộng, số trung vị.

+

Tìm được mốt của bảng phân bố tần số.

+

Nêu được ý nghĩa của số trung vị và mốt tìm được.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Số trung bình
Cho một bảng thống kê số liệu (các giá trị) của một
dấu hiệu x.
Tỉ số của tổng tất cả các giá trị của bảng đối với các
giá trị của bảng là số trung bình, kí hiệu là x .
Cơng thức tính số trung bình như sau:
a) Đối với bảng phân bố tần số rời rạc
1

x  .  n1 x1  n2 x2  ...  nk xk   f1 x1  f 2 x2  ...  f k xk
n
trong đó n1 ; f i  i  1; 2;....; k  lần lượt là tần số, tần suất
của giá trị xi ; n là các số liệu thống kê với
n1  n2  ...  nk  n .
b) Đối với bảng phân bố tần số ghép lớp
1
x   n1C1  n2C2  ...  nk Ck   f1C1  f 2C2  ...  f k Ck
n

Giá trị đại diện của lớp ghép thường sẽ lấy
trung bình cộng của giá trị đầu và cuối lớp.

trong đó Ci , ni , f i theo thứ tự là giá trị đại diện, tần số,
tần suất của lớp thứ i  i  1, 2,......., k  .
Số trung vị

Khi số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì

Sắp thứ tự các giá trị thống kê theo thứ tự không giảm

số trung bình cộng khơng đại diện được cho

hoặc khơng tăng.

các số liệu đó. Khi đó ta chọn số trung vị để

- Nếu có n số liệu, n lẻ  n  2k  1 thì M e  xk 1

đại diện.


được gọi là trung vị.
- Nếu n chẵn
Me 

 n  2k  ,

thì số trung vị là

xk  xk 1
.
2
Mốt

Trong bảng phân bố tần số rời rạc, giá trị có tần số lớn
nhất được gọi là mốt của bảng phân bố, kí hiệu M 0 .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính số trung bình của một bảng số liệu
Phương pháp giải
Trang 2


Sử dụng bảng phân bố tần số và tần suất ghép

Ví dụ: Trong các số liệu thống kê dưới đây, người

lớp, ta tính gần đúng giá trị trung bình của các

ta cho biết thành tích chạy 50m của học sinh lớp


giá trị trong bảng số liệu.

10A ở một trường THPT (đơn vị: giây)
63 66 74 71
65 70 72 75
69 72 70 76
86 85 81 87
a) Lập bảng phân bố

76
78
77
90
tần

62
68
82

67
71
83

73
71
84

73
75
87


77
75
78

số ghép lớn và bảng phân

bố tần suất ghép lớp, với các lớp:

 66;65 ;  65;70  ;  70;75  ;  75;80  ;  80;85  ;  85;90  .
b) Tính số trung bình của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
a) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp và bảng phân
bố tần suất ghép lớp
Lớp thành
tích (giây)
 60;65

 65;70 
 70;75
 75;80 
 80;85 
 85;90 

b) Cách 1. x 


Tần suất (%)

2


5,7

5

14,3

10

28,6

9

25,7

4

11,4

5
N  35

14,3
100%

1
 x1  x2  ....  xn 
n
1
 63  66  ...  90 

35

�75,1.

Cách 1. Áp dụng công thức tính số trung bình
cộng.

Tần số (n)

Cách 2. Tính thơng qua bảng tần số ghép lớp
x


Cách 2. Sử dụng bảng phân bố tần số ghép

n1.c1  n2 .c 2  ...  ni .ci
n
2.62,5  5.67,5  ...  5.87,5
35

�75, 79.

lớn.
Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Điều tra về tuổi nghề của công nhân trong một phân xưởng người ta thu được mẫu số liệu sau:
Trang 3


20

18
4
5
6
4
5
5
Tính số trung bình của mẫu số liệu trên.

6
1

2
15

6
16

5
5

8
5

5
4

Hướng dẫn giải
Số trung bình của mẫu số liệu là x 


1
 x1  x2  ...  xn   7, 25.
n

Ví dụ 2. Điểm trung bình thi học kì mơn Toán và sĩ số học sinh khối 10, 11, 12 của một trường THPT
được thống kê trong bảng sau
Khối 10
Điểm TB mơn Tốn
6,4
Sĩ số
610
Tính điểm trung bình của học sinh tồn trường.

Khối 11
6,8
540

Khối 12
7,2
520

Hướng dẫn giải
Ta có điểm trung bình của học sinh toàn trường là
x

x1.n1  x2 .n2  x3 .n3 6, 4.610  6,8.540  7, 2.520

�6,8.
n1  n2  n3
1670


Ví dụ 3. Cho mẫu số liệu thống kê  8,10,12,14,16 . Số trung bình của mẫu số liệu trên là
A. 12.

B. 14.

C. 13.

D. 12,5.

Hướng dẫn giải
Số trung bình của mẫu số liệu trên là
x

8  10  12  14  16
 12 .
5

Chọn A.
Ví dụ 4. Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:
Nhóm
1
2
3
4
5
6

Chiều cao (cm)
 150;152 


 152;154 
 154;156 
 156;158
 158;160 
 160;162 

Số học sinh
5
18
40
26
8
3
N  100

Số trung bình là
A. 155,46.

B. 155,12.

C. 154,98.

D. 154,75.

Hướng dẫn giải
Số trung bình của mẫu số liệu trên là
x

n1.c1  n2 .c2  ....  n6 .c6

n
Trang 4




5.151  18.153  40.155  26.157  8.159  3.161
100

 155, 46.
Chọn A.
Ví dụ 5. Nghiên cứu cân nặng của trẻ sơ sinh thuộc nhóm có bố khơng hút thuốc lá và nhóm có bố nghiện
thuốc lá của một tỉnh A, ta có kết quả sau (đơn vị: kg)
Nhóm trẻ có bố khơng hút thuốc lá:
3,8
4,1
3,8
3,6
3,3
4,1
3,3
3,6
Nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc lá:

3,8
3,5

3,5
2,9


3,6

4,1

3,6

3,8

3,3
2,9
2,9
3,3
3,6
3,8
3,6
3,5
2,6
2,6
Nhóm trẻ nào có cân nặng trung bình lớn hơn?

3,5
2,1

3,3

2,9

2,6

3,6


Hướng dẫn giải
Số trung bình cân nặng của nhóm trẻ có bố khơng hút thuốc là
x

x1  x2  ...  nn
 3, 65 .
n

Số trung bình cân nặng của nhóm trẻ có bố hút thuốc là
y

y1  y2  ...  yn
�3,13.
n

Ta thấy cân nặng trung bình của nhóm trẻ có bố khơng nghiện thuốc lá lớn hơn cân nặng trung bình của
nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc là.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20). Kết quả như sau:
Điểm
9
Tần số
1
Số trung bình là
A. 15,20.

10
1


11
3

12
5

13
8

B. 15,21.

14
13

15
19

16
24

17
14

C. 15,23.

18
10

19
2


N  100

D. 15,25.

Câu 2: Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong
bảng số liệu sau:
Sản lượng
20
21
Tần số
5
8
Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là
A. 22,1 tạ.

B. 22,2 tạ.

22
11

23
10

24
6

C. 22,3 tạ.

N  40

D. 22,4 tạ.

Câu 3: Điều tra về chiều cao của 100 học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:
Nhóm
1
2
3

Chiều cao (cm)
 150;152 

 152;154 
 154;156 

Số học sinh
5
18
40
Trang 5


 156;158
 158;160 
 160;162 

4
5
6

26

8
3
N  100

Số trung bình là
A. 155,46.

B. 155,12.

C. 154,98.

D. 154,75.

Câu 4: Giá bán của 60 mặt hàng ở một cửa hàng được thống kê trong bảng tần số ghép lớp sau đây (đơn
vị nghìn đồng).
Lớp giá (nghìn đồng)
 40; 49

Tần số
3

 50;59
 60;69
 70;79
 80;89

6
19
23
9

N  60

Tính số trung bình của bảng số liệu trên.
Câu 5: Để được cấp chứng chỉ Anh văn của một trung tâm ngoại ngữ, học viên phải trải qua 6 lần kiểm
tra trắc nghiệm, thang điểm mỗi lần kiểm tra là 100 và phải đạt điểm trung bình từ 70 điểm trở lên. Qua 5
lần thi Minh đạt điểm trung bình là 64,5 điểm. Hỏi trong lần kiểm tra cuối cùng Minh phải đạt ít nhất là
bao nhiêu điểm để được cấp chứng chỉ?
Câu 6: Tiền lãi (nghìn đồng) trong 30 ngày khảo sát ở một quầy bán báo được cho trong bảng sau.
81

37

74

65

31

63

58

82

67

77

63


46

30

53

73

51

44

52

92

93

53

85

77

47

42

57


57

85

55

64

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất theo các lớp như sau:

 29,5; 40,5 ,  40,5;51,5  ,  51,5;62,5 ,  62,5;73,5  ,  73,5;84,5 ,  84,5;95,5  .
b) Tính số trung bình cộng.
Dạng 2: Tính số trung vị và mốt của một bảng số liệu
Phương pháp giải
Sắp xếp các phần tử trong bảng theo thứ tự không giảm sau đó chọn số trung vị M e theo định nghĩa.
Dựa vào bảng phân bố tần số ta chọn giá trị có tần số lớn nhất làm mốt. Kí hiệu M 0 . Một mẫu số liệu có
thể có nhiều mốt.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân. Kết quả thu được mẫu số liệu như sau:
21
17
20
18
15
12
18
17
16
20
14

18
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất.

20
15
19

17
16
13

15
21
16

13
15
19

15
12
18

20
18
17

b) Tính số trung bình.
Trang 6



c) Tìm mốt.
Hướng dẫn giải
a) Bảng phân bố tần số - tần suất
Tuổi của bệnh nhân
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
b) Ta có số trung bình x 

Tần số (n)
2
2
1
5
3
4
5
2
4
2
N  30


x1n1  x2 n2  ...  xk nk
 16,8 .
N

Tần suất (%)
6,67
6,67
3,33
16,67
10
13,33
16,67
6,67
13,33
6,67
100%

c) Trong bảng trên ta thấy giá trị có tần số lớn nhất là 15 và 18.
1
2
Vậy mẫu số liệu có hai mốt M 0   15; M 0   18.

Ví dụ 2. Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình.
111
112
112
113
112
113
113

114
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất.

114
115

114
114

115
116

114
117

115
113

116
115

b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt.
Hướng dẫn giải
a) Bảng phân bố tần số - tần suất:
Giá trị x
111
112
113
114
115

116
117

Tần số
1
3
4
5
4
2
1
N  20

Tần suất (%)
5
15
20
25
20
10
5
100

b) Số trung bình là
x

1
 1.111  3.112  4.113  5.114  4.115  2.116  1.117   113,9 .
20


Sắp xếp bảng theo thứ tự khơng giảm.
Do kích thước mẫu N  20 là một số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng thứ
N
N
 10 và
 1  11 . Đó là giá trị 114 và 114.
2
2
Vậy M e  114 .
Trang 7


Do vậy giá trị 114 có tần số lớn nhất là 5 nên ta có M 0  114 .
Ví dụ 3. Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là
A. mốt.

B. số trung bình.

C. số trung vị.

D. độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ví dụ 4. Người ta xác định cân nặng của 10 học sinh và xếp thứ tự tăng dần. Số trung vị của 10 học sinh
là
A. khối lượng của học sinh thứ năm.
B. khối lượng của học sinh thứ sáu.
C. khơng tìm được trung vị.
D. khối lượng trung bình của em thứ năm và thứ sáu.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Bảng phân phối thực nghiệm đo chiều cao của 50 cây lim.
X i  m

9

10

11

12

13

14

ni

6

7

10

10

9


8

50

a) Tính chiều cao trung bình của 50 cây lim.
b) Tính trung vị và mốt của mẫu số liệu trên.
Câu 2: Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh mơn Tốn trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của
trường A, người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó. Điểm mơn Tốn
(thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây:
Điểm

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9


10

Tần số

1

1

3

5

8

13

19

24

14

10

2

N  100

a) Tìm mốt, số trung vị.

b) Tìm số trung bình.
Câu 3: Có tài liệu về tuổi nghề của cơng nhân hai tổ trong một xí nghiệp cơ khí như sau:
Tổ I

2

2

5

7

9

9

9

10

10

11

Tổ II

2

3


4

4

4

5

5

7

7

8

12

Trong mỗi tổ, tính tuổi nghề bình qn, số mốt và số trung vị?
Câu 4: Kết quả bài kiểm tra mơn tốn của 36 học sinh được cho trong mẫu số liệu sau:
2

4

6

7,5

8,5


7

9,5

5

6,5

3

7

5,5

6,5

7

7,5

5,5

7

2,5

7,5

8,5


6

7

1,5

9

6

7,5

1

6,5

6

7

9

7,5

6

8

7


6,5

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp (chính xác một chữ số thập phân sau dấu phẩy) sử dụng 5
lớp sau:  0;2  ;  2; 4  ;  4;6  ;  6;8  ;  8;10  .
b) Tính số trung bình, trung vị và mốt của bảng số liệu trên.
Trang 8


Câu 5: Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0, biết số trung bình là 6 và số trung vị là
5. Tìm các giá trị của mẫu số liệu đó sao cho hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án
Dạng 1. Tính số trung bình của một bảng số liệu
1-C

2-A

3-A

HƯỚNG DẪN GIẢI TỰ LUẬN
Câu 4.
Từ bảng tần số ghép lớp, ta thêm cột tần suất ghép lớp:
Lớp giá (nghìn đồng)
 40; 49

Tần số
3

Tần suất (%)
5%


6

10%

19

32%

23

38%

9
60

15%

 50;59
 60;69
 70;79
 80;89

100%

Ta có số trung bình là x  f1.c1  f 2 .c2  ...  f k .ck  69,3 .
Câu 6.
a) Bảng phân bổ tần số - tần suất ghép lớp.
Lớp tiền lãi (nghìn đồng)
 29,5; 40,5 


Tần số (n)
3

Tần suất (%)
10

5

16,7

7

23,3

6

20

5

16,7

 40,5;51,5 
 51,5;62,5
 62,5;73,5
 73,5;84,5 
 84,5;95,5 

4

N  30
b) Ta lập bảng giá trị đại diện tương ứng với bảng phân bố ở câu a.
Lớp tiền lãi

 29,5; 40,5
 40,5;51,5 
 51,5;62,5
 62,5;73,5
 73,5;84,5 
 84,5;95,5 

13,3
100%

3

Giá trị đại diện  ci 
35

5

46

7

57

6

68


5

79

4

90

Tần số

Trang 9


Số trung bình cộng là x 

c1.n1  c2 .n2  ....  ck .nk
�63, 2 .
N

Dạng 2. Tính số trung vị và mốt của một bảng số liệu.
Câu 1.
a) Chiều cao trung bình của 50 cây lim là: x 

x1n1  x2 n2  ...  xk nk
 11,6  m  .
n

b) Kích thước mẫu là 50 là chẵn nên trung vị là trung bình cộng ở hai vị trí 25 và 26. Ta có
Me 


x25  x26
 12 . Giá trị có tần số lớn nhất là 11 và 12 . Mẫu số liệu có hai mốt là M 0 1  11, M 0 2  12 .
2

Câu 2.
a) Ta có giá trị có tần số lớn nhất: M o  7
Kích thước mẫu là số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng hai số đứng giữa.
Vậy M e 

67
 6,5 .
2

b) Ta có số trung bình cộng là x 

x1n1  x2 n2  ...  xk nk 0.1  1.1  ...  10.2

 6, 23
N
100

Câu 3.
+) Tổ I
Tuổi nghề bình quân của các công nhân x 

x1n1  x2 n2  ...  xk nk
�7,8 .
N


Mẫu số liệu có 11 phần tử nên số trung vị là M e  x6  9 .
Giá trị có tần số lớn nhất là 9. Vậy mốt M o  9 .
+) Tổ II
Tuổi nghề bình quân là x 

x1n1  x2 n2  ...  xk nk
�4,9 .
N

Mẫu số liệu có 10 phần tử nên số trung vị là M e 

1
45
 4,5 .
 x5  x6  
2
2

Giá trị có tần số lớn nhất là 4. Vậy mốt M 0  4 .
Câu 4.
a) Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp:
Lớp điểm KT
 0; 2 

 2; 4 
 4;6 
 6;8 
 8;10 

Tần số

2

Tần suất
5,6%

3

8,3%

4

11,1%

21

58,3%

6
N  36

16,7%
100%
Trang 10


b) Ta có số trung bình là
x  f1.c1  f 2 .c2  ...  f k .ck  0, 056.1  0, 083.3  ...  0,167.9  6, 444 .
+) Ta có bảng sắp xếp thứ tự khơng giảm của mẫu số liệu:
1
1,5

2
2,5
6
6
6
6
7
7
7
7
8
8,5
8,5
9
Vì kích thước mẫu là số chẵn nên
Me 

3
6,5
7
9

4
6,5
7,5
9,5

5
6,5
7,5


5,5
6,5
7,5

5,5
7
7,5

6
7
7,5

x18  x19 6,5  7

 6, 75.
2
2

Giá trị có tần số lớn nhất là 7. Vậy mốt của mẫu số liệu trên là 7.
Câu 5.
Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là a, b, c, d với 0  a  b  c  d ; a, b, c, d �N .
Ta có M e 

bc
 5 � b  c  10 .
2

Mà x  6 nên a  b  c  d  24 � a  d  14 .
abc

b 1
�
�
��
� 1  b  5, b �N � b � 2;3; 4 .
Ta có �
b  c  10 �
10  2b
�
+) Nếu b  2 thì c  8 , mà 0  a  b, a �N � a  1, d  13 .
Khi đó các giá trị của mẫu số liệu là 1; 2;8;13 .
�a  1 � d  13
+) Nếu b  3 thì c  7 , mà 0  a  b, a �� thì �
�a  2 � d  12
Khi đó có hai mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là 1; 3; 7; 13 và 2; 3; 7; 12.
a  1 � d  13
�
�
a  2 � d  12
+) Nếu b  4 thì c  6 , mà 0  a  b, a �� thì �
�
a  3 � d  11
�
Khi đó có ba mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là (1;4;6;13),  2; 4;6;12  và  3; 4;6;11 .
Suy ra với mẫu số liệu có các giá trị là 3; 4; 6; 11 thì hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu
số liệu đạt giá trị nhỏ nhất.

Trang 11