parabol 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (256.03 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI 6. ĐƯỜNG PARABOL

I. CÁC DẠNG PARABOL VÀ ĐẶC ĐIỂM

TĐX Trục

thực Hình dạng Hypecbol Phương trình và các yếu tố trong Parabol

O
(0; 0) Ox

2 2

y = px; Tiêu điểm

( )

; 0
2
p

F ∈ Ox.
Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆):

2
p
x= −
Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M
p
M∈P ⇔MF= +x

(0; 0) Ox

2 2

y = − px; Tiêu điểm

(

; 0

)

2
p

F − ∈ Ox.
Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆):

2
p
x=
Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M
p
M∈P ⇔MF= −x

(0; 0) Oy

2
2

x = py; Tiêu điểm

( )

0;
2
p

F ∈ Oy.
Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆):

2
p
y= −
Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M

p
M∈P ⇔MF= +y

(0; 0) Oy

2 2

x = − py; Tiêu điểm

(

)

2
p

F − ∈ Oy.
Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆):

2
p
y=

Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M

p
M∈P ⇔MF= −y

S(a; b) y = b

Phương trình:

(

y−b

)

2 =2p x( −a);
Tiêu điểm ( ; )

2
p

F a+ b ∈ (y = b) // Ox.
Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆):

2
p
x=a−
Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M

p

MF = −a + x

S(a; b) x = a

Phương trình: (x−a)2 =2p y

(

−b

)

;
Tiêu điểm ( ; )

2
p

F a b+ ∈ (x = a) // Oy.
Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆):

2
p
y=b−
Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M

p

MF = −b + y

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

II. XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA PARABOL

Bài 1. VPT chính tắc của (P) với đỉnh là gốc tọa độ O và biết:
Tiêu điểm F(4; 0) Tiêu điểm F(0; 2)

Đường chuẩn x= 3 Đường chuẩn y= 1/2
Đi qua A(−2; 1) và nhận Oy làm trục đối xứng.
Nhận Ox làm trục ĐX và chắn trên y=xđoạn 2 2

Bài 2. Lập phương trình chính tắc của Parabol (P) đỉnh O biết (P) có:
Trục Ox, khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 2.

Trục Oy, tiêu điểm F(0; −1)
Trục Oy và (P) đi qua A(−1; 1)
Trục Ox và (P) đi qua A 2; 2 2

(

−

)

Đường chuẩn là 2x− 7 = 0

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, lập PT của Parabol (P)
Tiêu điểm F(3; 2), đường chuẩn là trục Ox.

Đỉnh S(2; 1), đường chuẩn là trục Oy.
Tiêu điểm F

(

3; 2

)

− , đường chuẩn là: y+ 1 = 0.
Tiêu điểm O(0; 0), đường chuẩn: 3x− 4y− 10 = 0.
Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, lập PT của Parabol (P)
Đỉnh S(−1; 1), tiêu điểm F(2; 1)

Tiêu điểm F(2; −4), đường chuẩn: y− 4 = 0
Đỉnh S(−1; 2), đường chuẩn Oy.

Đỉnh S(1; −2), đi qua O; trục cùng phương trục tọa độ.

Trục là đường x= 1, đỉnh S ∈đường y+ 1 = 0 và (P) chắn trên y= x− 2 một

đoạn có đọ dài 4 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 5. Lập phương trình của Parabol (P) có:
Tiêu điểm là O, đường chuẩn: x− y− 2 = 0
Đỉnh S(2; 1), tiêu điểm F(3; 2)

Đỉnh S(1; 3), đường chuẩn (D): x− 2y= 0

Đỉnh O, trục Oy, tiêu điểm F, dây AB = 1 ⊥ Oy tại I là trung điểm OF.
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy cho (P): y2 =4x

Tìm M∈(P) có bán kính qua tiêu điểm MF = 10; yM > 0
Tìm thêm N∈(P) sao cho ∆OMN vng tại O.
Tìm A, B ∈ (P) sao cho ∆OAB đều.

Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P): y2 =2px

(

p>0

)

Tính độ dài dây MN ⊥ Ox tại tiêu điểm F.

Tìm 2 điểm A, B ∈(P) sao cho ∆OAB đều.

Bài 8. VPT các cạnh của một tam giác nội tiếp Parabol (P): y2 =8x, biết 1

đỉnh là gốc tọa độ O và trực tâm của tam giác là tiêu điểm của (P)
Bài 9. Cho (P): x2 −4y và (D): x−2y+4=0

Tìm tọa độ giao điểm A, B của ( )P ∩( )D

Tìm M trên cung AB của (P) sao cho tổng diện tích hai phần hình phẳng giới
hạn bởi (P) và hai dây MA, MB là nhỏ nhất.

Bài 10.Tìm điểm M∈(P): y2 =64x sao cho khoảng cách từ M đến (D):
4x+3y+86=0 nhỏ nhất.

Bài 11.Cho (P): y2 =x và (D): y= mx (m≠ 0)

Đường (D) cắt (P) tại M ≠ O. Đường (D’) ⊥ (D) cắt (P) tại N ≠ O.
Chứng minh rằng: Đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cốđịnh ∀m.
Bài 12.Cho (D):Ax+By+C=0 với A2 +B2 >0 và (P): y2 =2px p

(

)

.
Biện luận theo A, B, C, p số giao điểm của (D) với (P).

Bài 13.Cho (P): y=x2 và A(−1; 1), B(3; 9).

Tìm M∈(P) sao cho diện tích ∆ABM đạt Max.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

III. TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH CỦA PARABOL 
III.1. Tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc Parabol

1. M(x0, y0) ∈ (P1):
2

y = px ⇒ (t): yy0 = p x

(

+x0

)

2. M(x0, y0) ∈ (P2):

2
2

y = − px ⇒ (t): yy0 = −p x

(

+x0

)

3. M(x0, y0) ∈ (P3):

x = py ⇒ (t): xx0 = p y

(

+ y0

)

4. M(x0, y0) ∈ (P4):

2
2

x = − py ⇒ (t): xx0 = −p y

(

+ y0

)

III.2. ĐK cần và đủđể (∆∆∆∆): Ax+By+C=0 tiếp xúc (P)

1. (∆) tiếp xúc (P1):
2

y = px ⇔ pB2 =2 .A C
2. (∆) tiếp xúc (P2):

2
2

y = − px ⇔ 2

2 .
pB = − A C
3. (∆) tiếp xúc (P3):

2
2

x = py ⇔ pA2 =2 .B C
4. (∆) tiếp xúc (P4):

2
2

x = − py ⇔ 2

2 .
pA = − B C

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (P): y2 +4x=0 tại các giao điểm của
(P) với (C): x2 + y2 +5x+2y−4=0

Bài 2. Viết PT tiếp tuyến của (P): y2 =8x // (D): 2x− y= 0
Bài 3. Viết PT tiếp tuyến của (P): x2 +2y=0 với hệ số góc k= 2.
Bài 4. Viết PT tiếp tuyến của (P): x2 =36y đi qua điểm A(9; 2)
Bài 5. Viết PT tiếp tuyến chung của (P): y2 =12x và elip (E):

2
2

8 6

y

x + =

Bài 6. Viết PT tiếp tuyến chung của (P): y2 =4x và (C): x2 + y2 −2x− =3 0
Bài 7. Cho (P): y2 +2px=0

(

p>0

)

. CMR: ∀ ∈m từ ,

2
p
A m

  luôn kẻđược

2 tiếp tuyến vng góc nhau. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2
tiếp điểm và chứng minh nó đi qua một điểm cốđịnh.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

IV. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1. Cho (P): y2 =2px và M ∈(P).

Đường (∆) đi qua M cắt Ox tại A,
cắt tiếp tuyến tại đỉnh ở B và cắt
(P) tại M, N. CMR: BA2 =BM BN.

Giải

Kẻ MH và NK vng góc Oy⇒ BA BM BN
OA=MH = NK ⇒

2
2

.
BM BN
BA

MH NK

OA = (1)

Đặt xM =m x; N = ≠n m x; A =a ⇒

2 2 , 2 2

M N

y = pm y = pn. Do AM∆ m~ AN∆ n
suy ra

M N

m a n a

y y

− = − ⇒ ( )2 ( )2 ( )

(

)

0

2 2

m a n a

m n mn a

pm pn

− = − ⇔ − − =

.
Do m≠ n⇒ mn=a2 ⇒ MH NK. =OA2 (2). Suy ra BA2 =BM BN.
Bài 2. Cho (P): y2 =2px p

(

)

có ; 0

2
p
F 

  và đường chuẩn (∆): 2
p
x= − .
Tiếp tuyến (D) của (P) tại M cắt Ox, Oy tại N, I.

a. CMR: I là trung điểm MN; FI ⊥ (D) và điểm đối xứng của F qua (D) thuộc (∆)
b. Gọi K≡( )D ∩( )∆ . Đường thẳng qua F và ⊥ Ox cắt (D) tại L. CMR: FK = FL

Giải

Kẻ MG ⊥ (∆) ⇒ MG = NF.

Theo định lý Pascal thì FMN=FNM

⇒ FM =FN ⇒ MFNG là hình thoi.
Mà G, F cách đều Oy 1 khoảng

2
p

nên tâm hình thoi I ∈ Oy

Ta có LF ⊥ Ox⇒ IFL=IGK ⇒∆IFL = ∆IGK ⇒ FL = GK
mà K∈(D) chính là trung trực của GF nên GK = FK ⇒ FK = FL

O x

y

n
m

x

y

B

p/2
I
K
−p/2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 3. Cho (P) có tiêu điểm F. Từđiểm I vẽ 2 tiếp tuyến IM, IN đến (P)
a. CMR: FI2 =FM FN. và 2

IM FM

FN
IN =
b. Một tiếp tuyến (d) tuỳ ý của (P) tiếp
xúc (P) tại T và cắt IM, IN tại Q, Q’

CMR: FQ FQ.

FT

′

khơng phụ thuộc vị trí của (d)

Giải

Chọn hệ Oxy sao cho (D): y2 =2px (p > 0)

Theo định lý Pascal ⇒ KMH=KMF⇒∆KMH= ∆KML⇒MH=ML=xM
Mà

2
M

p

MF=x + =MH +OF⇒MF−MH=OF ⇒FL=OF
FKO KFL

⇒∆ = ∆ ⇒KFL=KFO⇒MKF=90°⇒OKF=KMF.

Tương tự ta có: FJ ⊥IN và FNJ =FJO

a. FKI=FJI =90° ⇒ IKFJ nội tiếp ⇒ FKJ =FIJ, KIF=KJF

⇒ FMI=FIN , FIM=FNI ⇒∆FIM ~ ∆FNI ⇒
2
2

2
. và

FI FM IM FI FM FN IM FI FM FM

FN = FI = IN ⇒ = IN = FN ⋅ FI = FN
b. Coi d và d1 là 2 tiếp tuyến xuất phát từ Q, Q’

⇒ FQ2 =FM FT. và FQ′2 =FN FT.

⇒ 2 2 2 2 2 .

. . . FQ FQ

FQ FQ FM FN FT FI FT FQ FQ FI FT FI

FT
′

′ = = ⇒ ′= ⇒ =

Bài 4. Cho parabol (P): 2

(

)

2 0

y = px p> . Giả sử chùm đường thẳng ( ) luôn

đi qua tiêu điểm F và luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. CMR: Tích các
khoảng cách từ M, N đến trục hồnh Ox khơng phụ thuộc vào vị trí của (∆)

Giải 
Xét (∆) đi qua ; 0

2
p
F 

  và cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N theo 2 khả năng:

x

y

K
H

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

i ( ):

2
p
x

∆ = ; ( )∆ ∩( )P tại M ; , N ;

2 2
p p
p p
   
−
   
    ⇒

(

) (

)

2
; . ;

d M Ox d N Ox = p

i ( ):

2
p
y k x 
∆ =  − 

 , k≠0. Tọa độ của M(x y1, 1), N(x2,y2) là nghiệm của hệ:
2
2
2
y px
kp
y kx
 =



= −


⇔
2
2 2
2
2 0
y
x
p

ky py kp


=



− − =


⇒ 2 2

1 2
kp

y y p

k

−

= = −

Ta có d M Ox d N Ox

(

) (

)

= y1 . y2 = y y1. 2 = −p2 = p2.

Bài 5. Cho parabol (P) y2 =2px. Giả sử trên (P) lấy điểm A cốđịnh và hai

điểm B, C di động có tung độ lần lượt là a, b, c sao cho AB ⊥ AC. CMR:

Đường thẳng nối B, C luôn đi qua một điểm cốđịnh.

Giải

Các điểm A, B, C lần lượt có tọa độ là 2 ; , 2 ; , 2 ;

2 2 2

a b c

A a B b C c

p p p

     

     

     .

2 2

; // ; 1

2 2

b a b a

AB b a u

p p

 −   + 

= −   

   

; 2 2; // ; 1

2 2

c a c a

AC c a v

p p
 −   + 

= −   
   

.

Do AB ⊥ AC nên AB AC. =0 ⇔ ( ) ( )

2 1 0

4
b a c a

p

+ + + = 4p2

c a

a b
−

⇒ = −

+ (1).

Đường thẳng nối B, C có phương trình 2px−c2 =(b+c y) −(b+c c) (2)
Thay (1) vào (2) ta có:

2 2

4 4

2px b p a y b a p 0

a b a b

   

− − −  −  + =

+ +

   

⇔ 2p a( +b x) −

(

b2 −a2

)

−4p2y−ba a( +b)−4p b2 =0

  (3)

Giả sử họ (3) luôn đi qua điểm định I x y

(

)

với mọi b. Khi đó:

(

)

(

)

2 2 4 2 2 2 2 4 2 0 ,

b y a b px p a pax a y p y b

− + + − − + + + = ∀

⇔ 2 2 2

2 2

2 4 0

2
2

2 4 0

y a y a

px p a a

x p

p
pax a y p y

+ =
  = −
 
= − = ⇔
 
= +
 
+ + =


⇒điểm cốđịnh 2 2 ;

2
a

U p a

p

 

+ −

 

 

Bài 6. Giả sử hai parabol y=ax2 +b; x=cy2 +d ac( ≠0) cắt nhau tại 4 điểm
phân biệt. Chứng minh rằng: Các giao điểm này nằm trên một đường tròn.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Giả sử y=ax2 +b; x=cy2 +d ac( ≠0)cắt nhau tại Mk

(

xk; yk

)

(

k =1, 4

)

Ta có

2
k k

k k

y ax b
x cy d

 = +




= +



⇔

( )
( )
2

1
2
k

k

k
k

y b

x

a a

x d

y

c c



= +




 = +



. Cộng các vế của (1), (2) với nhau:

2 2 2 2 0

k k k k

y x b d x y b d

x y x y

a + c = + +a + c ⇒ − c + − a +a + c =

(

) (

)

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

k k

b d

x y

c a c a a c

⇒ − + − = + − − . Do hai parabol cắt nhau tại
bốn điểm phân biệt nên

2 2

1 1 0

2 2

b d
a c

c + a − − > . Từđó Mk

(

xk; yk

)

(

k=1, 4

)

nằm trên đường tròn tâm

(

1 ; 1

)

2 2
I

c a và bán kính 2 2

1 1

2 2

b d
R

a c

c a

= + − − .

Bài 7. Viết PT các cạnh tam giác nội tiếp trên parabol (P):y2 =8x biết một

đỉnh là tâm O và trực tâm là tiêu điểm của (P)

HD: Trực tâm F(2; 0), Vì OF ⊥ AB ⇒ A, B đối xứng nhau qua Ox.

Gọi A(x, y); B(x; −y) ⇒ OA⊥FB

⇒ A

(

10; 4 5 ,

) (

B 10; 4 5−

)

Bài 8. Cho (P):y2=2px p

(

)

; (D) đi qua tiêu điểm F của (P) cắt (P) tại M,
N. Đặt

(

O , FMx

)

= α

[

0; 2π

]

. a. Tính FM, FN theo p, α.

b. CMR: 1 1 const

FM + FN = c. CMR: FM.FN nhỏ nhất khi (D) ⊥ Ox.

HD: a. ;

1 cos 1 cos

p p

FM = FN=

− α + α

Bài 9. Cho (P): y2 =2px p

(

)

. Lấy M∈(P) ≠ O. Gọi N, K là hình chiếu của
M lên Ox, Oy. CMR: Đường thẳng đi qua K và ⊥ OM luôn đi qua một

điểm cốđịnh. Đường thẳng đi qua K và ⊥ NK luôn đi qua 1 điểm cố
định. Đường thẳng NK luôn tiếp xúc với một parabol cốđịnh.

Bài 10.Cho (P): y2 =4ax a( >0) tiêu điểm F. Gọi M ∈ (P). Tiếp tuyến (d) của

(P) tại M cắt Oy tại N. Đường thẳng (∆) qua M ⊥ (d); K là hình chiếu
của F lên (∆). CMR: FN ⊥ MN và FN2 const

</div>

parabol 2

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

<i><sub>x</sub></i>

<i>y</i>

B

(

)

<i><sub>x</sub></i>

<i>y</i>

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

(

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về