To hop Nhi thuc Niu ton trong cac de thi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (219.58 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1

CHUYÊN ðỀ: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Chủ ñề 1: Các ñại lượng tổ hợp

Bài: DB KB 02. Tìm số n nguyên dương thỏa mãn BPT An3+2Cnn−2≤9 ðS:

n

=

3,

n

=

4

Bài:DB KD 03. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C Cn2 nn−2.2C Cn2 n3+C Cn3 nn−3=100 ðS:

n

=

4

Bài:KD 05. Tính giá trị của biểu thức

4 3

1 3
( 1)!

n n

A A

M
n
+ +
=

+ , biết rằng

2 2 2 2

1 2 2 2 3 4 149

n n n n

C + + C + + C + +C + =

ðS:

5,

3

4 n

=

M

=

Bài: DB KB 05. Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn 2Pn+6An2−P An n2 =12 ðS:

n

=

3,

n

=

2

Bài: DB-KB-07. Tìm x y, ∈N thỏa mãn

2 3
3 2

22
66

x y

y x

A C

 + =




+ =



Bài:KB-08. Chứng minh:

1 1

1 1 1 1

2 nk nk nk

n

n C + C ++ C

 

+ =

 

+  

Chủ đề 2: Bài tốn đếm

Bài:KB 02. Cho ña giác ñều A A1 2...A2n (n≥2) nội tiếp đường trịn (O). Biết rằng số tam giác có các
ñỉnh là 3 trong số 2n ñỉnh A A1, 2,...A2nnhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các ñỉnh là 4 trong số 2n

ñỉnh A A1, 2,...A2n. Tìm n. ðS: n=8

Bài:TK 02. ðội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong ñó có 7 học sinh khối 12, 6 học 
sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 em trong ñội ñi dự trại hè sao cho mỗi

khối có ít nhất một em ñược chọn ðS: 41811

Bài:TK KA 03. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau. ðS: 952 
Bài:TK 03. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số

khác nhau và chữ số 2 ñứng cạnh chữ số 3. ðS: 192

Bài:TK KB 03. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 6 chữ số và 
thỏa mãn ñiều kiện : 6 chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số ñầu nhỏ

hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 ñơn vị. ðS: 108

Bài:TK 03. Trong một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam, cần chọn ra 6 em trong ñó số học sinh 
nữ nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. ðS: 462 
Bài:TK 03. Từ 9 chữ số 0,1,2…8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số

khác nhau. ðS: 90720

Bài:KB 04. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi 
trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu ñề kiểm tra, mỗi ñề gồm 5 câu
hỏi khác nhau , sao cho mỗi ñề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi: khó, TB, dễ và số câu hỏi dễ khơng

ít hơn 2. ðS: 56875

Bài:TK KA 04. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥7). Tìm n biết số tập con gồm 7 phần tử của A
bằng 2 lần số tập con gồm 3 phần tử của A ðS:

n

=

11

Bài:KB 05. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách 
phân cơng đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam, 1 nữ.

ðS: 207900 
Bài:TK 05. Từ các chữ số 1,2,…,9 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác 
nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. ðS:1440 
Bài: TK 04. Cho tập hợp A gồm n phần tử n>4. Tìm n, biết rằng trong số các tập con của A có đúng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2

Bài:DB KD 04. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: gồm ñúng 4 chữ số 
đơi một khác nhau, là số chẵn; nhỏ hơn 2158 ðS: 
Bài:TK 05. Từ các chữ số 1,2..7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác 
nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 5. ðS:1200 
Bài:TK 05. Một ñội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm 
đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. ðS:3690 
Bài:TK 06. Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau? 
Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. ðS: a) 96 b) 2599980

Bài:KD 06.ðội thanh niên xung kích của một trường PT có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học 
sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh ñi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc

không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. (03 cách) ðS: 225 
Bài:TK 06. Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học 
sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao

nhiêu cách chia như vậy. ðS: 43068078553500

Bài:TK 06. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác 
nhau mà mỗi số lập ñược ñều nhỏ hơn 25000. ðS: 360 
Bài:KB 06. Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần
số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈

{

1, 2,...n

}

sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất.
ðS: k=9

Bài:TK 06. Từ các chữ số 0,1,...6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau 
trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau. ðS:360 
Bài:TK 06. Cho hai ñường thẳng song song d d1, 2. Trên đường d1có 10 điểm phân biệt, trên đường

d có n điểm phân biệt (n≥2). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n
ðS: n=20 
Bài:Cð KA 04. Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 03 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 
em trong lớp để trực tuần sao cho trong 3 em đó ln có cán bộ lớp. ðS:1135 
Bài:CðTCKT IV 05. Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có các

chữ số khác nhau. ðS:325

Bài:CðKTKT 05. Từ các số 0,1,2,...6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác

nhau. ðS: 3000

Bài:CðSPHN 05. Trong một tổ HS của lớp 12A có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn 3 học sinh 
để trực nhật, trong đó phải có ít nhất một học sinh nam. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn.

ðS: 216 
Bài:CðCKLK 06. Cĩ 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đồn cơng 
tác 3 người cần cĩ cả nam và nữ, cần cĩ nhà tốn học và nhà vật lí. Hỏi cĩ bao nhiêu cách.

ðS: 90 
Bài:DB KD 07. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số
gồm 4 chữ số khác nhau.

Bài:DB KA 07. Trên các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vng ABCD lẫn lượt cho 1,2,3 và n ñiểm 
phân biệt khác A,B,C,D. Tìm n biết số tam giác có 3 ñỉnh lấy từ n+6 ñiểm ñã cho là 439.

Bài:DB KA 07. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau. 
Bài:DB KA 08. Cho tập hợp E=

{

0,1, 2,3, 4, 5, 7

}

. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số
khác nhau ñược thành lập từ các chữ số của E.

Chủ ñề 2: Nhị thức Niuton

Bài:KA-02. Cho khai triển

1 1 1

0 1

3 3 3

2 2 2

2 2 2 2 .2 ... 2

n n n n

x x x

n

n n n

C C C

−

− − − − − −

       

 +  =   +   +  

   

       

   

.
*

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3

ðS:

7

4 n

x

=





=



Bài:KD-02. Tìm n∈N*sao cho Cn0+2Cn1+4Cn2+ +... 2nCnn =243 ðS: n=5

Bài:TK-02. Giả sử n∈N*và (1+x)n =a0+a x1 +...a xn n. Biết rằng tồn tại k∈Z(1≤ ≤ −k n 1) sao cho

1 1

2 9 24

k k k

a − a a +

= = . Tính n. ðS:

n

=

10

Bài:TK-02. Gọi a a1, 2,...a11là các hệ số trong khai triển (x+1) .(10 x+2)=x11+a x1 10+a x2 9+ +... a11.

Tính hệ số a5 ðS: 672

Bài:KA-03. Tìm hệ số của số hạng chứa x8trong khai triển 5
3

1 n

x
x

 + 

 

  , biết

4 3 7( 3)

n n

C ++ −C + = n+

ðS:

n

=

12, he so cua so hang chua la C

x

8 124

=

495

Bài:KB-03. Cho n∈N*. Tính tổng

2 3 1

0 2 1 1 2 1 2 ... 2 1

2 3 1

n

n n n n

C C C C

n
+

− − −

+ + + +

ðS:

1 1

3

2

1

n n

S

n

−

=

+

Bài:KD-03. Cho n∈N*, gọi a3n−3là hệ số của x3n−3trong khai triển thành ña thức của
2

(x +1) (n x+2)n. Tìm n để a3n−3 =26n ðS: n=5 
Bài:KD-04. Tìm hệ số khơng chứa x trong khai triển

7
3

4
1

, 0

x x

x

 +  >

 

  ðS:

4
7

35 C

=

Bài:KA-05.Tìm số nguyên dương n sao cho

1 2 2 3 3 4 2 2 1

2n 1 2.2 2n 1 3.2 2n 1 4.2 2n 1 ... (2 1).2 n 2nn 1 2005

C + − C + + C + − C + + + n+ C ++ = ðS: n=1002

Bài:TK-05. Tìm hệ số x7trong khai triển (2 3 )− x 2n trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn

1 3 5 2 1

2n 1 2n 1 2n 1 ... 2nn1 1024

C + +C + +C + + +C ++ = ðS:

−

C

107

.2 .3

3 7

Bài:TK-04. Giả sử (1 2 )+ x n =a0+a x1 + +... a xn n. Biết a0+a1+ +... an =729. Tìm n và số lớn nhất

trong các số a a0, 1,...,an ðS:

n

=

6, max

=

a

4

=

240

Bài:KA-06. Tìm hệ số của số hạng chứa x26trong khai triển 7
4

1 n

x
x

 + 

 

  , biết rằng

1 2 20

2n 1 2n 1 ... 2nn 1 2 1

C + +C + + +C + = − ðS:

k

=

6, he so cua x la C =210

26 106
Bài:TK-06. Áp dụng khai triển Niuton của (x2+x)100. Chứng minh rằng:

99 100 198 199

2 100 0 1 99 100

100 100 100 100

1 1 1 1

( ) 100 101 ... 199 . 200 0

2 2 2 2

x +x = C    − C    + − C    + C    =

       

Bài:Cð SP –KA. Tìm hạng tử lớn nhất trong khai triển của (1 0, 2)+ 1000 ðS: số hạng thứ 167
Bài:CðGT-04. Trong khai triển

21
3

a b

b a

 

 

  , tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng

nhau. ðS:

C

219

=

293930

Bài:Cð AB-05. CMR với mọi số n∈N*(Cn0 2) +(C1 2n) + +... (Cnn)2 =C2nn ðS: 
Bài:CðXD III-05. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển

12
3
3

x
x

 − 

 

  ðS:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4

Bài:Cð GT 05. Tổng các hệ số của khai triển 1 3

n

x
x

 + 

 

  bằng 1024. Tìm hệ số của

x trong khai

triển. ðS:

C

104

=

210

Bài:Cð KTTC-05. Tìm hệ số khơng chứa x trong khai triển

20
3

2 x ,x 0

x

 +  >

 

  ðS:

12 8 12
20

.2 .3

C

Bài:ðHHP 06. Tìm hệ số của số hạng chứa x7trong khai triển

15
1

x
x

 + 

 

  ðS:

1365

C

=

Bài:Cð TDTT ðN 06. Tìm hệ số khơng chứa x trong khai triển

10
3

2
1

2x ,x 0

x

 +  ≠

 

 

ðS:

C

106

.2

=

3360

Bài:Cð YT I 06. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C20n+C22n.32+ +... C22nk32k+ +... C22nn.32n =2 (215 16+1)
ðS: n=8

Bài:CðSP HD 06. CMR:

1 2

1 1 1 2 1

1 ...

2 3 1 1

n
n

n n n

C C C

n n

+ −

+ + + + =

+ +

Bài:CðKTKT ð Du 06. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển

12
5
3
1

x
x

 + 

 

 

ðS:

C

124

=

495

Bài:CðSP QB 06. Chứng minh: C1n+2Cn2+3Cn3+ +... nCnn =n.2n−1

Bài:CðSP QNg 06. Tìm hệ số của số hạng chứa x5trong khai triển

(

1+ +x x2+x3

)

10 ðS: 1902
Bài:CðSP T Ninh 06. Tìm tất cả các số hạng hữu tỉ trong khai triển ( 2+33)20

ðS:

T

1

=

1024,

T

7

=

1152

C

202

,

T

12

=

1296

C

2012

,

T

19

=

1458

C

2018
Bài: Cð Btre 06. Trong khai triển 1

n

x
x

 + 

 

  , hệ số của số hạng thứ 3 lớn hơn hệ số của số hạng thứ 2

là 35. Tìm số hạng không chứa x. ðS:

C

105

=

252

Bài:TK-04. Biết (2+x)100 =a0+a x1 +...a100x100.CM: a2 <a3. Với giá trị nào của k (0≤ ≤k 99) thì

1
k k

a <a + ðS:

0 ≤ ≤

k

32

Bài:TK-05. Biết rằng trong khai triển 1
n

x
x

 + 

 

  , tổng các hệ số của hai số hạng ñầu bằng 24. Tính

tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x và chứng tỏ rằng tổng này là số chính

phương. ðS:

S

=

2

Bài:DB KA 05. Tìm k∈

{

0,1, 2...2005

}

sao cho C2005k ñạt giá trị lớn nhất.

ðS:

max

C

2005k

⇔ =

k

1002,

k

=

1003

Bài:KA-07. Chứng minh:

1 3 5 2 1

2 2 2 2

1 1 1 1 2 1

...

2 4 6 2 2 1

n

n n n n

C C C C

n n

− −

+ + + + =

Bài:KB-07. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của (2+x)n, biết

0 1 1 2 2

3nCn −3n− Cn+3n− Cn + + −... ( 1)nCnn =2048 ðS:

n

=

11, he so cua so hang chua x la 22

Bài:KD-07. Tìm hệ số của x5trong khai triển x(1 2 )− x 5+x2(1 3 )+ x10 ðS: 3320 
Bài:Cð KA-08. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

18
5

2x ,x 0

x

 

+ >

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

5

Bài:KA-08. Cho khai triển (1 2 )+ x n =a0+a x1 + +... a xn n, n∈N*và các hệ số a a0, 1,...,an thỏa mãn

0 ... 4096

2 2

n
n

a
a

a + + + = . Tìm số lớn nhất trong các số a a0, 1,...,an ðS:

a

8

=

126720

Bài: KD-08. Tìm n∈N*thỏa mãn hệ thức C12n+C23n+ +... C22nn−1=2048 ðS: n=6

Bài:DB KD 07. CMR với mọi n nguyên dương chẵn 
0 ( 1) 1 ( 2) 2 ... 2 n 2 n 1 0

n n n n n

nC − n− C + n− C − + C − −C − =

Bài:DB KB 07. Tìm hệ số của x8trong khai triển (x2+2)nbiết An3−8Cn2+Cn1 =49
Bài:DB KB-08. Cho số nguyên dương n thỏa mãn

3 3

35 ( 3)
( 1)( 2)

n n

A C

n

n n

= ≥

− − . Tính tổng:

2 2 2 3 2

2 n 3 n ... ( 1)n nn

S= C − C + + − n C

Bài:DB KB-08. Chứng minh với mọi n∈N*

0 1 1 0 1

2 2 2 3 1

...

1 1 2( 1)

n n n n

n n n

C C C

n n n

− + −

+ + + =

+ +

Bài:DB KD 08. Chứng minh với mọi n∈N*: n2nCn0+(n−1)2n−1Cn1+ +... 2Cnn−1=2 .3n n−1

</div>

To hop Nhi thuc Niu ton trong cac de thi

1

<i>n</i>

=

3,

<i>n</i>

=

4

<i>n</i>

=

4

5,

3

4

<i>n</i>

=

<i>M</i>

=

<i>n</i>

=

3,

<i>n</i>

=

2

<i>n</i>

=

11

2

{

}

{

}

3

7

4

<i>n</i>

<i>x</i>

=





<sub>=</sub>



<i>n</i>

=

10

<i>n</i>

=

12, he so cua so hang chua la C

<i>x</i>

=

495

3

2

1

<i>S</i>

<i>n</i>

<sub>−</sub>

=

+

35

<i>C</i>

=

−

<i>C</i>

.2 .3

<i>n</i>

=

6, max

=

<i>a</i>

=

240

<i>k</i>

=

6, he so cua x la C =210

<i>C</i>

=

293930

4

<i>C</i>