<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỐ CHÍNH PHƯƠNG</b>

<b>I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số ngun.</b>
<b>II. TÍNH CHẤT:</b>

1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; khơng thể có chữ số
tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số ngun tố với số
mũ chẵn.

3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Khơng có số chính
phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).

4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Khơng có số chính
phương nào có dạng 3n + 2 (n N).

5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

<b>III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG</b>

<b>A.</b> <i><b>DẠNG1</b><b> : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG </b></i>

<b>Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì </b>

<i> A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4_{là số chính phương.}</i>
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

_{= (x}2_{+ 5xy + 4y}2_{)( x}2_{+ 5xy + 6y}2_{) + y}4
Đặt x2_{+ 5xy + 5y}2_{= t ( t} _{Z) thì}

A = (t - y2_{)( t + y}2_{) + y}4_{= t}2_–y4_{+ y}4_{= t}2_{= (x}2_{+ 5xy + 5y}2)2

V ì x, y, z Z nên x2 _{Z, 5xy} _{Z, 5y}2 _Z <i>⇒</i> _x2_{+ 5xy + 5y}2 _Z
Vậy A là số chính phương.

<b>Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 ln là số chính phương.</b>
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta có

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2_{+ 3n)( n}2_{+ 3n + 2) + 1 (*)}

Đặt n2_{+ 3n = t (t} _{N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t}2_{+ 2t + 1 = ( t + 1 )}2
= (n2_{+ 3n + 1)}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)</b>
<i> Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .</i>

Ta có k(k+1)(k+2) = 1₄ k(k+1)(k+2).4 = 1₄ k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
= 1

4 k(k+1)(k+2)(k+3) -
1

4 k(k+1)(k+2)(k-1)

<i>⇒</i> S = 1₄ .1.2.3.4 - 1₄ .0.1.2.3 + 1₄ .2.3.4.5 - 1₄ .1.2.3.4 +…+ 1₄ k(k+1)(k+2)
(k+3) - 1

4 k(k+1)(k+2)(k-1) =
1

4 k(k+1)(k+2)(k+3)

4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quả bài 2 <i>⇒</i> k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.

<b>Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …</b>

<i> Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng </i>
<i>minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.</i>

Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n_{+ 8 . 11…1 + 1}

n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n
chữ số 1

= 4. 10<i>n−</i>1

9 . 10

n _{+ 8.} 10<i>n−</i>1

9 + 1

= 4 . 102<i>n−</i>4 . 10<i>n</i>+8 .10<i>n−</i>8+9

9 =

4 . 102<i>n</i>+4 . 10<i>n</i>+1

9

=

(

2. 10
<i>n</i>

+1

3

)

Ta thấy 2.10n_{+1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3}
n-1 chữ số 0

<i>⇒</i>

(

2. 10<i>n</i>+1

3

)

Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.

<b>Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:</b>
<i> A = 11…1 + 44…4 + 1 </i>

<i> </i>

<i> 2n chữ số 1 n chữ số 4</i>

B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8
<i> </i>

<i> 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6</i>
<i> </i>

<i> C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7 </i>
<i> </i>

<i> 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8</i>

Kết quả: A =

2
10 2

3
<i>n</i>

  

 

  _{; B =}

2
10 8

3
<i>n</i>

  

 

  _{; C =}

2
2.10 7

3
<i>n</i>

  

 

 

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:</b>

<i> a. A = 22499…9100…09</i>

<i>n-2 chữ số 9 n chữ số 0</i>
<i> b. B = 11…155…56</i>

<i> n chữ số 1 n-1 chữ số 5</i>
a. A = 224.102n_{+ 99…9.10}n+2_{+ 10}n+1_{+ 9}
= 224.102n_{+ ( 10}n-2_{– 1 ) . 10}n+2_{+ 10}n+1_{+ 9}
= 224.102n_{+ 10}2n_{– 10}n+2_{+ 10}n+1_{+ 9}
= 225.102n_{– 90.10}n_{+ 9}

= ( 15.10n_{– 3 )}2

<i>⇒</i> A là số chính phương

b. B = 111…1555…5 + 1 = 11…1.10n_{+ 5.11…1 + 1}

n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1

= 10<i>n−</i>1

9 . 10

n_{+ 5.} 10<i>n−</i>1

9 + 1 =

102<i>n₋</i>₁₀<i>n</i>

+5 .10<i>n−</i>5+9

9

=

102<i>n</i>+4 . 10<i>n</i>+4

9 ₌

2
10 2

3
<i>n</i>

  

 

  _{là số chính phương ( điều phải chứng minh)}

<b>Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một </b>
<i>số chính phương</i>

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ).
Ta có ( n-2)2_{+ (n-1)}2_{+ n}2_{+ ( n+1)}2 _{+ ( n+2)}2_{= 5.( n}2₊₂₎

Vì n2 _{khơng thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n}2_{+2 khơng thẻ chia hết cho 5}
<i>⇒</i> _{5.( n}2_{+2) không là số chính phương hay A khơng là số chính phương}

<b>Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n</b><i>6_{– n}4_{+ 2n}3_{+ 2n}2 _{trong đó n}</i> <i>_{N và n>1 khơng phải}</i>
<i>là số chính phương</i>

n6_{– n}4_{+ 2n}3_+2n2_{= n}2_{.( n}4_{– n}2_{+ 2n +2 ) = n}2_{.[ n}2_{(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]}
= n2_{[ (n+1)(n}3_{– n}2_{+ 2) ] = n}2_{(n+1).[ (n}3_{+1) – (n}2_{-1) ]}

= n2_{( n+1 )}2_{.( n}2_–2n+2)

Với n N, n >1 thì n2_{-2n+2 = (n - 1)}2 _{+ 1 > ( n – 1 )}2
và n2_{– 2n + 2 = n}2_{– 2(n - 1) < n}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị
<i>đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính</i>
<i>phương</i>

Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của
nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của
chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52_{là số chính phương}

Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2_{có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng}
của a là 4 hoặc 6 <i>⇒</i> a ⋮ 2 <i>⇒</i> a2 ⋮ ₄

Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96
<i>⇒</i> _{Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5}2_{là số chính phương.}

<b>Bài 10: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ khơng phải là một số chính </b>
<i>phương.</i>

a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)

<i>⇒</i> _a2_{+ b}2 _{= (2k+1)}2_{+ (2m+1)}2_{= 4k}2_{+ 4k + 1 + 4m}2_{+ 4m + 1}
= 4(k2_{+ k + m}2_{+ m) + 2 = 4t + 2 (Với t} _N)

Khơng có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t N) do đó a2_{+ b}2 _{khơng thể là số chính}
phương.

<b>Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 khơng thể </b>
<i>là các số chính phương.</i>

Vì p là tích của n số ngun tố đầu tiên nên p ⋮ 2 và p không chia hết cho 4 (1)
a. Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2_(m _N)

Vì p chẵn nên p+1 lẻ <i>⇒</i> m2_lẻ <i>⇒</i> _{m lẻ.}

Đặt m = 2k+1 (k N). Ta có m2 _{= 4k}2_{+ 4k + 1} <i>⇒</i> _{p+1 = 4k}2_{+ 4k + 1}
<i>⇒</i> _{p = 4k}2_{+ 4k = 4k(k+1)} ⋮ _{4 mâu thuẫn với (1)}

<i>⇒</i> _{p+1 là số chính phương}

b. p = 2.3.5… là số chia hết cho 3 <i>⇒</i> p-1 có dạng 3k+2.

Khơng có số chính phương nào có dạng 3k+2 <i>⇒</i> p-1 khơng là số chính phương .
Vậy nếu p là tích n số ngun tố đầu tiên thì p-1 và p+1 khơng là số chính phương
<b>Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.</b>

<i>Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 khơng có số nào là số chính</i>
<i>phương.</i>

a. 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1

Có 2N ⋮ 3 <i>⇒</i> 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k N)
<i>⇒</i> _{2N-1 khơng là số chính phương.}

b. 2N = 2.1.3.5.7…2007

Vì N lẻ <i>⇒</i> N không chia hết cho 2 và 2N ⋮ 2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 <i>⇒</i> 2N khơng là số chính phương.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4

2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1
<i>⇒</i> _{2N+1 không là số chính phương.}

<b>Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05</b>
<i> </i>

<i> 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0</i>
<i> Chứng minh </i>

_√

ab+1 <i> là số tự nhiên.</i>

Cách 1: Ta có a = 11…1 = 102008<i>−</i>1

9 ; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 10

2008_{+ 5}

<i> 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0</i>
<i>⇒</i> ab+1 = (102008<i>−</i>1)(102008+5)

9 + 1 =

102008

¿2+4 .102008<i>−</i>5+9

¿
¿
¿

=

(

102008+2

3

)

_√

ab+1 <i> = </i>

√

(

10

2008

+2

3

)

=

102008

+2

3

Ta thấy 102008_{+ 2 = 100…02} _⋮ _{3 nên} 102008+2

3 N hay

√

ab+1 <i> là số tự nhiên.</i>

2007 chữ số 0

Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +6
<i> </i>

<i> 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9</i>
<i>⇒</i> ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2_{+ 6a + 1 = (3a+1)}2

<i>⇒</i>

_√

ab+1 <i> = </i> 3<i>a</i>+1¿

2
¿

√¿ = 3a + 1 N

<b>B.</b> <i><b>DẠNG 2</b><b> : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG</b></i>
<b>Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:</b>

<i>a. n2_{+ 2n + 12 b. n ( n+3 )}</i>
<i>c. 13n + 3 d. n2 _{+ n + 1589}</i>

Giải

a. Vì n2_{+ 2n + 12 là số chính phương nên đặt n}2_{+ 2n + 12 = k}2 _(k _N)

<i>⇒</i> (n2_{+ 2n + 1) + 11 = k}2 <i>⇔</i> _k2 _{– (n+1)}2_{= 11} <i>⇔</i> _{(k+n+1)(k-n-1) = 11}
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1 <i>⇔</i> k+n+1 = 11 <i>⇔</i> k = 6

k – n - 1 = 1 n = 4

b. Đặt n(n+3) = a2 _(n _N) <i>⇒</i> _n2_{+ 3n = a}2 <i>⇔</i> _4n2_{+ 12n = 4a}2
<i>⇔</i> _(4n2_{+ 12n + 9) – 9 = 4a}2
<i>⇔</i> _{(2n + 3)} _❑2 _{- 4a}2_{= 9}

<i>⇔</i> (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể
viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 <i>⇔</i> 2n + 3 + 2a = 9 <i>⇔</i> n = 1

2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c. Đặt 13n + 3 = y2_{( y} _N) <i>⇒</i> _{13(n – 1) = y}2_{– 16}

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>⇔</i> 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)

<i>⇒</i> _{(y + 4)(y – 4)} _⋮ _{13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4} _⋮ _{13 hoặc y – 4} _⋮ ₁₃
<i>⇒</i> _{y = 13k} <i>±</i> _{4 (Với k} _N)

<i>⇒</i> _{13(n – 1) = (13k} <i>±</i> _{4 )}2_{– 16 = 13k.(13k} <i>±</i> ₈₎
<i>⇒</i> _{n = 13k}2 <i>±</i> _{8k + 1}

Vậy n = 13k2 <i>±</i> _{8k + 1 (Với k} _{N) thì 13n + 3 là số chính phương.}
d. Đặt n2 _{+ n + 1589 = m}2 _(m _N) <i>⇒</i> _(4n2 _{+ 1)}2_{+ 6355 = 4m}2

<i>⇔</i> (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355

Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m
+ 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.
<b>Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:</b>

<i>a.</i> <i>a2 _{+ a + 43}</i>
<i>b.</i> <i>a2_{+ 81}</i>

<i>c.</i> <i>a2_{+ 31a + 1984}</i>
Kết quả: a. 2; 42; 13

b. 0; 12; 40

c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728

<b>Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương .</b>
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12_{là số chính phương .}

Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 khơng là số chính phương

Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32_{là số chính phương}

Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng
bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó khơng phải là số chính
phương .

Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.
<b>Bài 4: Tìm n </b> <i> N để các số sau là số chính phương: </i>

<i>a. n2 _{+ 2004 ( Kết quả: 500; 164)}</i>

<i>b. (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)</i>
<i>c. n2_{+ 4n + 97}</i>

<i>d. 2n_{+ 15}</i>

<b>Bài 5: Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n</b><i>2_{là số chính phương.}</i>
Giả sử 2006 + n2_{là số chính phương thì 2006 + n}2_{= m}2 _(m <i>_N)</i>
Từ đó suy ra m2_{– n}2_{= 2006} <i>⇔</i> _{(m + n)(m - n) = 2006}

Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)

Mặt khác m + n + m – n = 2m <i>⇒</i> 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) <i>⇒</i> m + n và m – n là 2 số chẵn

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>⇒</i> Điều giả sử sai.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 _{là số chính phương.}

<b>Bài 6: Biết x </b> <i> N và x>2. Tìm x sao chox x</i>



1 .

 

<i>x x</i>1







<i>x</i> 2



<i>xx x</i>



 1



<i> </i>
Đẳng thức đã cho được viết lại như sau:













2

x x 1 x 2 xx x 1   

Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương .

Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có
thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)

Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 < x ≤ 9 (2)
Từ (1) và (2) <i>⇒</i> x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7.

Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762_{= 5776}

<b>Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương.</b>
Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được
25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.

Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40

<b>Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính </b>
<i>phương thì n là bội số của 24.</i>

Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k2_{, 2n+1 = m}2_{(k, m} <i>_N)</i>
Ta có m là số lẻ <i>⇒</i> m = 2a+1 <i>⇒</i> m2_{= 4a (a+1) + 1}

<i>⇒</i> n = <i>m</i>2<i>−</i>1

2 =

4<i>a</i>(<i>a</i>+1)

2 = 2a(a+1)

<i>⇒</i> _{n chẵn} <i>⇒</i> _{n+1 lẻ} <i>⇒</i> _{k lẻ} <i>⇒</i> _{Đặt k = 2b+1 (Với b} _N) <i>⇒</i> _k2 _{= 4b(b+1)}
+1

<i>⇒</i> n = 4b(b+1) <i>⇒</i> n ⋮ 8 (1)

Ta có k2_{+ m}2_{= 3n + 2} _{2 (mod3)}

Mặt khác k2_{chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m}2 _{chia cho 3 dư 0 hoặc 1.}
Nên để k2_{+ m}2 _{2 (mod3) thì k}2 _{1 (mod3)}

m2 _{1 (mod3)}

<i>⇒</i> _m2_{– k}2 ⋮ _{3 hay (2n+1) – (n+1)} ⋮ ₃ <i>⇒</i> _n ⋮ _{3 (2)}
Mà (8; 3) = 1 (3)

Từ (1), (2), (3) <i>⇒</i> n ⋮ 24.

<b>Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 2</b><i>8_{+ 2}11_{+ 2}n_{là số chính phương .}</i>
Giả sử 28_{+ 2}11_{+ 2}n_{= a}2_(a <i>_{N) thì}</i>

2n_{= a}2_{– 48}2_{= (a+48)(a-48)}

2p_.2q _{= (a+48)(a-48) Với p, q} <i>_{N ; p+q = n và p > q}</i>
<i>⇒</i> a+48 = 2p <i>⇒</i> ₂p_{– 2}q_{= 96} <i>⇔</i> ₂q₍₂p-q_{-1) = 2}5_.3

a- 48 = 2q

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i>⇒</i> n = 5+7 = 12

Thử lại ta có: 28_{+ 2}11_{+ 2}n _{= 80}2

<i><b>C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG </b></i>

<b>Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn </b>
<i>vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.</i>

Gọi A = abcd = k2_{. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số}
B =



a 1 b 1 c 1 d 1

 



 



 





= m2_{với k, m} <i>_{N và 32 < k < m < 100}</i>
a, b, c, d <i> N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9</i>

<i>⇒</i> _{Ta có A =}abcd_{= k}2
_{B =}abcd_{+ 1111 = m}2

<i>⇒</i> _m2_{– k}2 _{= 1111} <i>⇔</i> _{(m-k)(m+k) = 1111 (*)}

Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương.
Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101

Do đó m – k == 11 <i>⇔</i> m = 56 <i>⇔</i> A = 2025
m + k = 101 n = 45 B = 3136

<b>Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2</b>
<i>chữ số sau 1 đơn vị.</i>

Đặt abcd = k2_{ta có}ab – cd 1 _ _{và k} _{N, 32 ≤ k < 100}

Suy ra 101cd = k2_{– 100 = (k-10)(k+10)} <i>⇒</i> _{k +10} ⋮ _{101 hoặc k-10} ⋮ ₁₀₁
Mà (k-10; 101) = 1 <i>⇒</i> k +10 ⋮ 101

Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 <i>⇒</i> k+10 = 101 <i>⇒</i> k = 91
<i>⇒</i> _{abcd = 91}2 _{= 8281}

<b>Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối </b>
<i>giống nhau.</i>

Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2_{với a, b} _{N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9}
Ta có n2₌aabb_{= 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)}

Nhận xét thấy aabb ⋮ 11 <i>⇒</i> a + b ⋮ 11

Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 <i>⇒</i> a+b = 11

Thay a+b = 11 vào (1) được n2_{= 11}2_{(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương .}
Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn <i>⇒</i> b = 4
Số cần tìm là 7744

<b>Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.</b>

Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương
nên đặt abcd = x2_{= y}3_{Với x, y} <i>_N</i>

Vì y3_{= x}2_{nên y cũng là một số chính phương .}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bài 5: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc
<i>hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.</i>

Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b,c,d ≤ 9

abcd_{chính phương} <i>⇒</i> _d _{{ 0,1,4,5,6,9}}
d nguyên tố <i>⇒</i> d = 5

Đặt abcd = k2_{< 10000} <i>⇒</i> _{32 ≤ k < 100}

k là một số có hai chữ số mà k2_{có tận cùng bằng 5} <i>⇒</i> _{k tận cùng bằng 5}
Tổng các chữ số của k là một số chính phương <i>⇒</i> k = 45

<i>⇒</i> _{abcd = 2025}
Vậy số phải tìm là 2025

<b>Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bởi</b>
<i>hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương</i>

Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b N, 1 ≤ a,b ≤ 9 )
Số viết theo thứ tự ngược lại ba

Ta có ab - ba _{= ( 10a + b )}2_{– ( 10b + a )}2_{= 99 ( a}2_{– b}2₎ ⋮ ₁₁ <i>⇒</i> _a2 _{- b}2 ⋮ ₁₁
Hay ( a-b )(a+b ) ⋮ 11

Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b ⋮ 11 <i>⇒</i> a + b = 11
Khi đó ab ba  _{= 3}2_{. 11}2_{. (a - b)}

Để ab 2  ba 2 _{là số chính phương thì a - b phải là số chính phương do đó a-b = 1 hoặc a - b}
= 4

 Nếu a-b = 1 kết hợp với a+b = 11 <i>⇒</i> a = 6, b = 5, ab = 65
Khi đó 652_{– 56}2_{= 1089 = 33}2

 Nếu a - b = 4 kết hợp với a+b = 11 <i>⇒</i> a = 7,5 ( loại )
Vậy số phải tìm là 65

<b>Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được </b>
<i>một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu </i>

( Kết quả: 1156 )

<b>Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số </b>
<i>của nó. </i>

Gọi số phải tìm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9
Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3

<i>⇔</i> (10a+b)2_{= ( a + b )}3

<i>⇒</i> _{ab là một lập phương và a+b là một số chính phương}
Đặt ab = t3_{( t} _{N ) , a + b = l}2_{( l} _{N )}

Vì 10 ≤ ab ≤ 99 <i>⇒</i> ab = 27 hoặc ab = 64
 Nếu ab = 27 <i>⇒</i> a + b = 9 là số chính phương

 Nếu ab = 64 <i>⇒</i> a + b = 10 không là số chính phương <i>⇒</i> loại
Vậy số cần tìm là ab = 27

2 2

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.</b>
Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N)

Ta có A= ( 2n-1 )2_{+ ( 2n+1)}2_{+ ( 2n+3 )}2_{= 12n}2_{+ 12n + 11}

Theo đề bài ta đặt 12n2_{+ 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và 1 ≤ a ≤ 9}
<i>⇒</i> 12n( n + 1 ) = 11(101a – 1 )

<i>⇒</i> 101a – 1 ⋮ 3 <i>⇒</i> 2a – 1 ⋮ 3

Vì 1 ≤ a ≤ 9 nên 1 ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nên 2a – 1 { 3; 9; 15 }
<i>⇒</i> a { 2; 5; 8 }

Vì a lẻ <i>⇒</i> a = 5 <i>⇒</i> n = 21
3 số càn tìm là 41; 43; 45

<b>Bài 10: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập </b>
<i>phương các chữ số của số đó.</i>

<i> ab (a + b ) = a</i>3_{+ b}3

<i>⇔</i> _{10a + b = a}2_{– ab + b}2_{= ( a + b )}2_{– 3ab}
<i>⇔</i> _{3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 )}
a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó
a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a
a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b
<i> </i> <i>⇒</i> a = 4 , b = 8 hoặc a = 3 , b = 7
Vậy ab = 48 hoặc ab = 37.

... Ht .
<i><b>Số nguyên tố</b></i>

<i><b>I. Kiến thức cần nhớ:</b></i>
<i><b>1. Dịnh nghĩa: </b></i>

* Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ớc là 1 và chính nó.
* Hợp số là số tự nhiên lớn h¬n 1, cã nhiỊu h¬n hai íc.

<i><b>2. TÝnh chÊt:</b></i>

* NÕu sè nguyªn tè p chia hÕt cho sè nguyªn tè q th× p = q.

* NÕu tÝch abc chia hÕt cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa sè cđa tÝch abc chia hÕt
cho sè nguyªn tè p.

* Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên
tố p .

<i><b>3. Cách nhận biết một số nguyªn tè:</b></i>

a) Chia số đó lần lợt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn.
- Nếu có một phép chia hết thì số đó khơng phải là số nguyên tố.

- Nếu chia cho đến lúc số thơng nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số d thì ssó đó
là số ngun tố.

b) Một số có 2 ớc số lớn hơn 1 thì số đó khơng phải là số ngun tố.

<i><b>4. Ph©n tÝch mét sè ra thõa sè nguyªn tè:</b></i>

* Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dới dạng một tích
các thừa số nguyên tố.

- Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số ngun tố là chính số đó.
- Mọi hợp số đều phân tích đợc ra thừa số nguyờn t.

. ...

ới , , à những số nguyên tè.

, , ..., N vµ , , ..., 1

<i>A</i> <i>a b</i> <i>c</i>

<i>V</i> <i>a b c l</i>

  



      

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

+1 1 1
¶ sư . ...

íi , , à những số nguyên tố.
, , ..., N vµ , , ..., 1

1. Sè các ớc số của A là: ( +1)( +1)...( +1).

a 1 1 1

2. Tỉng c¸c íc sè cđa A lµ: . ...

1 1 1

<i>Gi</i> <i>A</i> <i>a b</i> <i>c</i>

<i>V</i> <i>a b c l</i>

<i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

  

  



     

  

  

  

<i><b>6. Sè nguyªn tè cïng nhau: </b></i>

* Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.
Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1.
Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1.

Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau  ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a)
=1.

<i><b>II. C¸c vÝ dơ:</b></i>

<i><b>VD1: </b></i>Ta biÕt r»ng cã 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn hay số

lẻ.

<i><b>HD:</b></i>

Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số
ngun tố cịn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn.

<i><b>VD2:</b></i> Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số ngun tố đó.

<i><b>HD:</b></i>

Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số ngun tố đó tồn tại ít nhất một số
ngun tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên
tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2.

<i><b>VD3:</b></i> Tỉng cđa 2 sè nguyªn tè cã thĨ bằng 2003 hay không? Vì sao?

<i><b>HD:</b></i>

Vỡ tng ca 2 s nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn.
Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3
và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phi l s nguyờn t.

<i><b>VD4:</b></i> Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 vµ p + 4 cịng là các số nguyên tố.

<i><b>HD:</b></i>

Giả sử p là số nguyên tè.

- Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố.

- Nếu p  3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
+) Nếu p = 3k  p = 3  p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.

+) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)  p + 2  3 và p + 2 > 3. Do đó
p + 2 là hợp số.

+) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)  p + 4  3 và p + 4 > 3. Do đó
p + 4 là hợp số.

VËy víi p = 3 th× p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.

<i><b>VD5:</b></i> Cho p và p + 4 là các số nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 8 là hợp số.

<i><b>HD:</b></i>

Vỡ p l s nguyờn t v p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)  p + 4  3 và p + 4 > 3. Do đó

p + 4 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố).

- Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3)  p + 8  3 và p + 8 > 3. Do đó
p + 8 là hp s.

Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + 1 thì p + 8 là hợp số.

<i><b>VD6:</b></i> Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1.

<i><b>HD:</b></i>

Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số d: 0; 1; 2; 3. Do đó mọi số tự nhiên n
đều có thể viết đợc dới 1 trong 4 dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3

víi k N*.

- NÕu n = 4k  n4  n lµ hỵp sè.
- NÕu n = 4k + 2  n2 n là hợp số.

Vy mi s nguyờn t ln hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k – 1. Hay mọi số nguyên tố lớn hơn
2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1 với n N*.

<i><b>VD7:</b></i> Tìm ssó ngun tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số
ngun tố.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

¶ sư a, b, c, d, e là các số nguyên tố và d > e.
Theo bµi ra: a = b + c = d - e (*).

Tõ (*) a > 2 a là số nguyên tố lẻ.
b + c và d - e là số lẻ.

Do b, d là các số nguyên tố b, d là số lẻ c, e

<i>Gi</i>

là số chẵn.
c = e = 2 (do c, e là các số nguyên tố).

a = b + 2 = d - 2 d = b + 4.

Vậy ta cần tìm số nguyên tố b sao cho b + 2 vµ b + 4 cịng lµ các số nguyên tố.

<i><b>VD8:</b></i> Tìm tất cả các số nguyªn tè x, y sao cho: x2 _{– 6y}2_{= 1.}

<i><b>HD:</b></i>

2 2 2 2 2

2

2 2

2

ã: x 6 1 1 6 ( 1)( 1) 6
6 2 ( 1)( 1) 2

µ x - 1 + x + 1 = 2x x - 1 vµ x + 1 cã cïng tính chẵn lẻ.
x - 1 và x + 1 là hai số chẵn liên tiếp

( 1)( 1) 8 6 8 3 4

2 2 2 5

<i>Ta c</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>Do y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>M</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i>

        

  




    

     

 

  

 

<i><b>VD9:</b></i> Cho p vµ p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh r»ng p + 16.

<i><b>HD:</b></i>

Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)  p + 2  3 và p + 2 > 3. Do đó

p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1).

Do p là số nguyên tố và p > 3  p lỴ  k lỴ  k + 1 ch½n  k + 12 (2)
Tõ (1) vµ (2)  p + 16.

<i><b>II. Bµi tËp vËn dụng:</b></i>

<i><b>Bài 1:</b></i> Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a) p + 2 vµ p + 10.

b) p + 10 vµ p + 20.
c) p + 10 vµ p + 14.
d) p + 14 vµ p + 20.
e) p + 2vµ p + 8.
f) p + 2 vµ p + 14.
g) p + 4 vµ p + 10.
h) p + 8 vµ p + 10.

<i><b>Bài 2:</b></i> Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.

b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.
c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24.

f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.
g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.

<i><b>Bµi 3:</b></i>

a) Cho p vµ p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số.
b) Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 4p + 1 là hợp số.
c) Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số.
d) Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số.
e) Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chøng minh r»ng: 2p + 1 lµ hợp số.
f) Cho p và 5p + 1 là các sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 10p + 1 là hợp số.
g) Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp số.
h) Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp số.
i) Cho p và 8p2_{- 1 là các số nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p}2_{+ 1 là hợp số.}
j) Cho p và 8p2_{+ 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p}2_{- 1 là hợp số.}

<i><b>Bài 4:</b></i> Chứng minh rằng:

Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2_q2 _24.

<i><b>Bài 5: </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

b) Mét sè nguyªn tè chia cho 30 cã sè d r. T×m sè d r biÕt r»ng r không là số nguyên tố.

<i><b>Bi 6:</b></i> Hai s nguyờn tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh
rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đơi thì chia hết cho 6.

<i><b>Bài 7:</b></i> Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trớc là d đơn vị. Chứng minh
rằng d chia hết cho 6.

<i><b>Bài 8:</b></i> Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngợc lại thì ta đợc một
số là lập phơng của một số tự nhiên.

<i><b>Bài 9:</b></i> Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm
bằng chữ số hàng chục và số đó viết đợc dới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp.

<i><b>Bài 10:</b></i> Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tip u l cỏc s nguyờn t.

<i><b>Bài 11:</b></i> Tìm 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp p, q, r sao cho p2_{+ q}2_{+ r}2_{cũng là số nguyên tố.}

<i><b>Bài 12:</b></i> Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a.

<i><b>Bài 13:</b></i> Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq_{+ q}p_{= r.}

<i><b>Bài 14:</b></i> Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mÃn xy_{+ 1 = z.}

<i><b>Bài 15:</b></i> Tìm số nguyên tố

2

, à các số nguyên tố và b .

<i>abcd sao cho ab ac l</i> <i>cd</i> <i>b c</i>

<i><b>B i 16:</b><b>à</b></i> Cho c¸c sè p = bc_{+ a, q = a}b_{+ c, r = c}a_{+ b (a, b, c}_{N*) là các số nguyên tố. Chứng}
minh rằng 3 sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng nhau.

<i><b>Bài 17:</b></i> Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho:
a) x2 _{– 12y}2_{= 1.}

b) 3x2 _{+ 1 = 19y}2_.
c) 5x2 _{– 11y}2_{= 1.}
d) 7x2 _{– 3y}2_{= 1.}
e) 13x2 _{– y}2_{= 3.}
f) x2_{= 8y + 1.}

<i><b>Bài 18:</b></i> Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng.
<b>Chuyên đề tìm chữ số tận cùng</b>

<b>I. Tìm một chữ số tận cùng</b>

<b>Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ</b>
<i>số tận cùng vẫn khơng thay đổi. </i>

<i>b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn</i>
<i>khơng thay đổi. </i>

<i>c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận</i>
<i>cùng là 1. </i>

<i>d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận</i>
<i>cùng là 6. </i>

<i>e) Tích của một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5 với bất kì số tự nhiên lẻ nào cũng cho ta</i>
<i>số có chữ số tận cùng là 5.</i>

<b>Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận</b>
<i>cùng vẫn khơng thay đổi. </i>

<b>Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận</b>

<i>cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là</i>
<i>3. </i>

<i>b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số</i>
<i>có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. </i>

<i>c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ khơng</i>
<i>thay đổi chữ số tận cùng. </i>

<b>Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số:</b> a) 799 _b)141414
c) 4567

<b>Giải:</b> a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4: 99_{− 1 = (9 − 1)(9}8_{+ 9}7_{+ … + 9 + 1)}
chia hết cho 4  99 = 4k + 1 (k  N)  799_{= 7}4k + 1_{= 7}4k_.7

Do 74k_{có chữ số tận cùng là 1  7}99_{có chữ số tận cùng là 7.}
b) Dễ thấy 1414_{= 4k (k  N)  14}1414_{= 14}4k_{có chữ số tận cùng là 6.}

c) Ta có 567_{− 1}__{4  5}67_{= 4k + 1 (k  N)  4}567_{= 4}4k + 1_{= 4}4k_{.4  4}4k_{có chữ số tận cùng là 6}
nên 4567_{có chữ số tận cùng là 4.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

a) 71993 _{b) 2}1000 _{c) 3}1993 _{d) 4}161 _e)234 _g)999
h) 1981945 i) 321930

<b>Bài 3: Chứng minh rằng: a) 8</b>102_{− 2}102_₁₀ _{b) 17}5_{+ 24}4 _{− 13}21_₁₀
c) 4343_{− 17}17_₁₀

<b>Bài 4: Tìm các số tự nhiên n để n</b>10_{+ 1}_ ₁₀

<b>Bài 5: Có tồn tại hay không số tự nhiên n để n</b>2_{+ n + 2 chia hết cho 5?}

<b>Bài 11: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a) 2</b>2003_{b) 7}99

<b>Bài 12: Tìm số dư của phép chia 3</b>517_{cho 25.}

<b>Bài 18: Chứng minh 9</b>20002003_{, 7}20002003_{có chữ số tận cùng giống nhau.}
<b>Bài 19: Tìm hai chữ số tận cùng của: </b>

a) 3999_{b) 11}1213

D·y sè cã qui luËt

<b>I > Ph¬ng pháp dự đoán và quy nạp :</b>

Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
Sn = a1 + a2 + .... an (1)

Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết
quả). Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc .

<b>VÝ dơ 1</b> : TÝnh tỉng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )
Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = 1

S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32
... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2

Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng

gi¶ sư víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k 2 (2)
ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3)
ThËt vËy céng 2 vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2_{+ (2k +1)}
v× k2_{+ ( 2k +1) = ( k +1)}2_{nªn ta cã (3) tøc lµ S}

k+1 = ( k +1) 2
theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh

vËy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2

T¬ng tù ta cã thĨ chøng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + .... + n = <i>n</i>(<i>n</i>+1)

2

2, 12_{+ 2} 2_{+ ... + n}2₌ <i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6

3, 13₊₂3_{+ ... + n}3₌

[

<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2

]

2

4, 15 _{+ 2}5_{+ .... + n}5 ₌ 1

12 .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )

<b>II > Ph ơng pháp khử liên tiếp :</b>

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diƠn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiƯu hai số hạng liên tiếp
của 1 dÃy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

khi đó ta có ngay :

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ... + ( bn – bn + 1 )
= b1 – bn + 1

VÝ dô 2 : tÝnh tæng :

S = _{10 .11}1 +_11.121 +_{12 .13}1 +.. .. . ..+_{99 . 100}1
Ta cã : 1

10 .11=

1

10<i>−</i>

1

11 ,
1

11.12=

1

11 <i>−</i>

1

12 ,
1

99 .100=

1

99 <i>−</i>

1
100

Do đó :
S = 1

10 <i>−</i>
1
11+
1
11 <i>−</i>
1

12+. .. .. . .+
1

99 <i>−</i>
1
100=
1
10 <i>−</i>
1
100=
9
100

 D¹ng tỉng qu¸t
Sn =

1
1 . 2+

1

2. 3+.. . .. .+
1

<i>n</i>(<i>n</i>+1) ( n > 1 )
= 1- 1

<i>n</i>+1=
<i>n</i>
<i>n</i>+1
VÝ dơ 3 : tÝnh tỉng

Sn =

1
1 . 2. 3+

1
2 .3 . 4+

1

3 . 4 . 5+. . .. ..+

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)
Ta cã Sn =

1
2

(

1

1. 2<i>−</i>

1
2 .3

)

+

1
2

(

1

2. 3<i>−</i>

1

3 . 4

)

+. .. .. . ..+
1
2

(

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)<i>−</i>

1

(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

Sn =

1
2

(

1

1. 2<i>−</i>

1

2 .3+

1

2. 3<i>−</i>

1

3 . 4+. . .. ..+
1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)<i>−</i>

1

(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

Sn =

1
2

(

1

1. 2<i>−</i>

1

(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

=

<i>n</i>(<i>n</i>+3)

4(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

<b>III > Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn là tổng cần tính: </b>

Ví dụ 6 : Tính tổng

S = 1+2+22_{+... + 2}100 _{( 4)}
ta viÕt l¹i S nh sau :

S = 1+2 (1+2+22_{+... + 2}99 ₎

S = 1+2 ( 1 +2+22_{+ ... + 2}99 _{+ 2} 100 _{- 2}100 ₎
=> S= 1+2 ( S -2 100 _{) ( 5)}

Tõ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101
 S = 2101_-1

VÝ dơ 7 : tÝnh tỉng

Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ... + pn ( p 1)
Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau :

Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )

Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +... + p n-1 + p n –p n )
 Sn = 1+p ( Sn –pn )

 Sn = 1 +p.Sn –p n+1
 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1
 Sn = <i>P</i>

<i>n+</i>1<i>₋</i>₁

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>V-Vận dụng trực tiếp cơng thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp</b>
<b>6 ) </b>

 C¬ së lý thuyÕt :

+ để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta
dùng cơng thức:

Sè sè h¹ng = (số cuối số đầu) : ( khoảng cách ) + 1

+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta
dùng công thức:

Tæng = ( sè đầu số cuối ) .( số số hạng ) :2
VÝ dơ 12 :

TÝnh tỉng A = 19 +20 +21 +.... + 132

Sè sè h¹ng cđa A lµ : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( sè h¹ng )m
A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607

VÝ dơ 13 : TÝnh tỉng

B = 1 +5 +9 +...+ 2005 +2009

số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503
B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515
VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh đợc vào làm tốn

Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )
Từ đó tính tổng S = 1.2+2.3 + 3.4 +... + n (n + 1)

Chøng minh : c¸ch 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1)
= k( k+1)

_[

(<i>k</i>+2)<i>−</i>(<i>k −</i>1)

]

= k (k+1) .3
= 3k(k+1)

C¸ch 2 : Ta cã k ( k +1) = k(k+1). (<i>k</i>+2)<i>−</i>(<i>k −</i>1)

3

= <i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)

3 <i>−</i>

<i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k −</i>1)

3 *

 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)

=> 1.2 =

1.2.3 0.1.2
3  3

2.3.4 1.2.3
2.3

3 3

...

( 1)( 2) ( 1) ( 1)
( 1)

3 3

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n n</i>

<i>n n</i>

 

   

  

S =

1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)

3 3 3

<i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <i>n n</i>

    

 

VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng :

k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)
từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Rót ra : k(k+1) (k+2) = <i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)(<i>k</i>+3)

4 <i>−</i>

(<i>k −</i>1)<i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)

4

¸p dông : 1.2.3 = 1 . 2. 3 . 4

4 <i>−</i>

0. 1 .2 .3
4

2.3.4 = 2 . 3. 4 .5

4 <i>−</i>

1. 2. 3 . 4
4

...
n(n+1) (n+2) = <i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)

4 <i>−</i>

(<i>n −</i>1)<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

4

Cộng vế với vế ta đợc S = <i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)

4

<b>* Bài tập đề nghị :</b>

TÝnh c¸c tỉng sau

1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ... + 202
2, a, A = 1+2 +22₊₂3_{+...+ 2}6.2 _{+ 2} 6 3
b, S = 5 + 52_{+ 5}3 _{+ ... + 5} 99 _{+ 5}100
_{c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76}
3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169

4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,....
5, S = 1

1 . 2+
1

2. 3+

1

3 . 4+. . .. .. . .+
1
99. 100

6, S = 4

5 . 7+
4

7 . 9+.. . .+
4
59 . 61

7, A = 5

11.16+

5

16 .21+

5

21. 26+. .. . ..+
5
61 .66

8, M = 1

30+
1
31+

1

32+.. .. .+
1
32005

9, Sn =

1
1 . 2. 3 .+

1

2. 3 . 4+. .. ..+

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)
10, Sn = 2

1 . 2. 3+
2

2 .3 . 4+. . .. .+
2
98 . 99. 100

11, Sn =

1
1 . 2. 3 . 4+

1

2 . 3. 4 .5+. .. .. .+

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)
12, M = 9 + 99 + 999 +... + 99... ...9

50 ch÷ sè 9
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9

S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14
TÝnh S100 =?

Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tơi đã kết hợp các dạng tốn có liên quan đến dạng
tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng tốn tìm x :

14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +... + ( x+100 ) = 5070
b, 1 + 2 + 3 + 4 +...+ x = 820

c, 1 + 1

3+

1

6+

1

10+. .. .. .+
2

<i>x</i>(<i>x</i>+1)=1

1989
1991

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

15, Chøng minh : a, A = 4+ 22₊₂3₊₂4 _{+... + 2}20_{lµ luü thõa cña 2}
b, B =2 + 22_{+ 2} 3_{+ ... + 2} 60 ⋮ _{3 ; 7; 15}
c, C = 3 + 33₊₃5_{+ ....+ 3}1991 ⋮ _{13 ; 41}
d, D = 119_{+ 11}8₊₁₁7_{+...+ 11 +1} ⋮ ₅

<b>Chøng minh mét sè không phải là số chính phơng</b>

<b>Phơng pháp 1</b>.
Nhìn chữ số tËn cïng:

- Vì số chính phơng bằng bình phơng của một số nên suy ra.Số chính phơng phải có chữ số tận
cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9. Từ đó ta có thể giải đợc các bài tốn dạng sau đây:

<i>Bài toán 1</i>.

Chøng minh sè: n = 20042 _{+ 2003}2 _{+ 2002}2 _{- 2001}2_{. Không là số chính phơng.}
LG.

- Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 20042_,20032_,20022_,20012_{lần lợt là 6,9,4,1. Do đó n có chữ}
số tận cùng là 8. Nên n khơng phải là số chính phơng.

<i>Chú ý: </i>Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số: 0,1,4,5,6,9 nhng vẫn khơng
phải là số chính phơng, khi đó ta phải lu ý thêm: Nếu một số chính phơng chia hết cho số ngun
tố p thì nó phải chia hết cho p2

<i>Bài toán 2.</i>

Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chÝnh ph¬ng.
LG.

- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhng khơng chia hết cho 25
(vì hai chữ số tận cùng bằng 90). Do đó số 1234567890 khơng phải là số chính phơng.

<i>Chó ý:</i>

- Cã thÓ luËn r»ng: Sè 1234567890 chia hÕt cho 2 nhng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận
cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phơng.

<i>Bài toán 3</i>.

Chng minh rng xnu mt s cú tng các chữ số là 2004 thì số đó khơng phải là số chính
phơng.

LG.

Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại khơng chia hết cho 9.
Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà khơng chia hết cho 9. Do đó số này
khụng phi l s chớnh phng.

<b>Phơng pháp 2</b>.

Dùng tính chất của số d.
<i>Bài toán 4.</i>

Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính ph¬ng
LG.

- ở đây ta khơng gặp trờng hợp nh bài toán 3 nên ta phải nghĩ đến phơng pháp khác.
Ta thấy chắc chắn số này chia cho 3 d 2 nên ta có lời giải sau:

- Vì số chíng phơng khi chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1 mà thôi ( đây là kết quả của bài toán mà
ta dễ dàng chứng minh đợc).

- Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 d 2. Nên số đó khơng phải l s
chớnh phng.

<i>Bài toán 5</i>. ( <i>Tơng tự bài to¸n 4</i>)

Chứng minh tổng các số tự nhien liên tiếp từ 1 đến 2005 khơng phải là số chính phơng.
<i>Bài toán 6.</i>

Chøng minh sè: 20044 _{+ 2004}3 _{+ 2004}2 _{+ 23 không phải là số chính phơng.}

<b>Phơng pháp 3.</b>

Tình huống chứng minh n không là số chính phơng nhng n chia cho 3 vẫn d 0 hoặc 1.
VD: Bài to¸n 7.

Chøng minh sè: n = 44 _{+ 44}4 _{+ 444}4 _{+ 4444}4 _{+ 15 không là số chính phơng.}
<i>Nhận xÐt:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

- Nếu xét chữ số tận cùng ta thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên khơng giải đợc theo cách
của bài tốn 1,2.

VËy ở đây ta phải dựa vào nhận xét sau (ta cã thĨ cm):

Một số chính phơng khi chia cho 4 thì số d chỉ có thể là 0 hoặc 1. Lỳc ú ta s gii c bi toỏn
ny.

<b>Phơng pháp 4</b>.

Phơng pháp kẹp giữa hai số chính phơng liên tiếp: n2_{và (n+1)}2_.

Ta thy: Nu n v k N và thỏa mãn điều kiện: n2_{< k < (n+1)}2_{thì lúc đó k khơng phải là s}
chớnh phng.

Bài toán 8.

Chứng minh số 4014025 không phải là số chính phơng.
<i>Nhận xét</i>:

Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 d 1 và chia cho 4 cũng d 1, nên không thể áp
dụng bằng cách trên.

LG.

Ta thấy: 20032 _{= 401209; 2004}2_{= 4016016. Nên 2003}2_{< 4014025 < 2004}2_{. Chứng tỏ số 4014025}
không phải là số chính phơng.

<i>Bài toán 9.</i>

Chứng minh:

A = n(n+1)(n +2)(n+3) không là số chính phơng với mọi n N, n 0

<i>Nhận xét</i>: Nếu đã quen dạng này ta có thể thấy A+1 phải là số chính phơng ( bài tốn lớp 8)
nh-ng lớp 6,7 có thể giải theo cách sau.

LG.

Ta cã: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + 1
= (n2 _{+ 3n)(n}2 _{+ 3n + 2) + 1}
= (n2 _{+ 3n)}2 _{+ 2(n}2 _{+ 3n) + 1}
= (n2_{+3n +1)}2

Mặt khác (n2 _{+ 3n)}2 _{< (n}2 _{+ 3n)}2 _{+ 2(n}2 _{+ 3n) = A}
Điều này hiển nhiên đúng vì: n > 1. Chứng tỏ

(n2 _{+ 3n)}2_{< A < A+1= (n}2_{+3n +1)}2_{. Suy ra A không phải là số chính phơng.}
<i>Một số bài toán khác</i>.

<i>Bài 10</i>.

Chng tỏ số: 235₊₂₃12₊₂₃2003_{khơng là số chính phơng.}
Gợi ý: Nghĩ ngay đến phép chia cho 3 hoặc chia cho 4

<i>Bµi 11</i>.

Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh đợc ghi một trong các số từ 1 đến 1001
(khơng có mảnh nào ghi khác nhau). Chứng minh rằng khơng thể ghép tất cả các mảnh bìa đó
liền nhau để đợc một số chính phơng.

<i>Bµi 12</i>.

Chøng minh rằng tổng bình phơng của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính
ph-ơng.

<i>Gi ý</i>: Ngh n phộp chia cho 4

<b>Một số bài toán liên quan về số chính phơng</b>

<i>Bài 1</i>. Chứng minh rằng tổng của n số lẻ đầu tiên là một số chính phơng.
LG.

Ta tính tổng n số lẻ đầu tiên:

S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1).

Lúc này ta phải xét hai trờng hợp: n chẵn và n lẻ.
<i>Trờng hợp 1</i>: n ch½n

S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+... Cã n/2 số hạng , mà mỗi số hạng có giá trị lµ 2n
VËy S = 2n. <i>n</i>

2 = n2.

<i>Trêng hợp 2</i>: n lẻ

tớnh S ta cng ghộp nh trờng hợp trên nhng ta đợc <i>n−</i>1

2 sè hạng, mỗi số hạng

có giá trị là 2n. Nên tổng S = <i>n−</i>1

2 .2n + n = 2n
2

<i>−</i>2n+2n

2 = n

2

VËy S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1) = n2_{nên S là một số chính phơng.}
Từ bài toán trên ta cũng có nhận xét tổng quát:

Tổng các số lẻ đầu tiên thì bằng bình phơng của số các số ấy
<i>Bài 2.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<i>Bài 3.</i>

Bin s xe máy của bạn Hùng là một số có 4 chữ số, có đặc điểm nh sau:

Số đó là số chính phơng, nếu lấy số đầu trừ đi 3 và số cuối cộng thêm 3 thì đợc một số cũng l s
chớnh phng. Tỡm s xe ca bn Hựng.

1. <b>Định lý về phép chia hết:</b>

<i><b>a) Định lý</b></i>

Cho <i>a, b</i> là các số nguyên tuỳ ý, <i>b</i>0, khi đó có 2 số nguyên q, r duy nhất sao cho :

<i>a bq r</i>  _víi0 <i>r</i> <i>b</i> _,<i>_a</i>_{là só bị chia, b là số chia, q là thơng số và r là sè d.}

Đặc biệt với r = 0 thì <i>a = b.q</i> Khi đó ta nói <i>a</i> chia hết cho b hay b là ớc của <i>a</i>, ký hiệu

<i>a b</i> _.
VËy

<i><b>b) TÝnh chÊt</b></i>

<b> </b> a) Nếu <i>a b</i> và <i>b c</i> thì <i>a c</i>
b) Nếu <i>a b</i> và <i>b a</i> thì <i>a = b</i>

c) NÕu <i>a b</i> , <i>a c</i> vµ (b,c) = 1 thì <i>a bc</i>
d) Nếu <i>ab c</i> và (c,b) = 1 th× <i>a c</i>

2<b>. TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch.</b>

- NÕu

¿

<i>a</i>_⋮<i>m</i>
<i>b</i>_⋮<i>m</i>
}

¿

<i>→ a</i>+<i>b</i>⋮<i>m</i>

- NÕu

¿

<i>a</i>_⋮<i>m</i>
<i>b</i>⋮<i>m</i>
}

¿

<i>→ a− b</i>⋮<i>m</i>

- NÕu

¿

<i>a</i>⋮<i>m</i>
<i>b</i>⋮<i>m</i>
}

¿

<i>→ a</i> .b ⋮<i>m</i>

- NÕu <i>a</i>_⋮<i>m→</i> a _❑<i>n</i>_⋮ _{m (n lµ sè tự nhiên)}

<b>3</b>. <b>Đồng d thức </b>

<b> </b>a) <i><b>Định nghĩa</b></i> : Cho số nguyên m > 0. Nếu 2 số nguyên a, b cho cùng số d khi chia cho m
thì ta nói a đồng d với b theo môđun m .

KÝ hiÖu : <i>a b</i> (mod )<i>m</i>
b) <i><b>TÝnh chÊt</b></i>

a) <i>a b</i> (mod )<i>m</i>  <i>a c b c</i>   (mod )<i>m</i>

<i><b>b)</b>a b</i>(mod )<i>m</i>  <i>na nb</i> (mod )<i>m</i>

c) (mod ) (mod )
<i>n</i> <i>n</i>

<i>a b</i> <i>m</i>  <i>a</i> <i>b</i> <i>m</i>

d) <i>a b</i> (mod )<i>m</i>  <i>ac bc</i> (mod )<i>m</i>

<b>Vn 1</b>:

<b>Ph</b>

<b> ơng pháp 1</b>: <i><b>Dïng tÝnh chÊt</b></i>

Trong n ( <i>n</i>1)sè nguyªn liªn tiÕp cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho n.

<b>VÝ dô 1</b>: a) TÝch 5 sè tù nhiªn liªn tiÕpchia hÕt cho 120.
b) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên n thì <i>n</i>311 6<i>n</i>

<b>Giải</b>

a) Ta có 120 = 2 .3.53

<i>a b</i>  _{cã sè nguyªn q sao cho a = b.q}

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Trong 5 sè nguyên liên tiếp phải có 2 số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho 8. Mặt khác trong 5
sè nguyªn liªn tiÕp cã 1 sè chia hÕt cho 3 và 1 số chia hết cho 5 nên tích chia hÕt cho 3. 5 mµ
(3,5,8) = 1 .

VËy tÝch 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120.
b) Ta cã :

3 ₁₁ 3 ₁₂

( 1)( 1) 12 6

<i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>

   

    

V<i>× n-1, n, n+1</i> là 3 số nguyên liên tiếp nên tích ( n-1) n (n+1) 6

<b>Ph</b>

<b> ơng pháp 2</b>: <i><b>Dïng c«ng thøc khai triĨn</b></i>

,( )
<i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i>  <i>b a b a b n N</i>    

<i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i> <i>b a b</i>  _{nÕu n lỴ}
<i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i>  <i>b a b</i>  _{nÕu n ch½n}(<i>a</i><i>b</i>)
(<i>_{a b}</i>)<i>n</i> <i>_bn</i>(mod )<i>_a</i>

 

<b>VÝ dô 2</b> <b>a)</b> Víi n ch½n, chøng minh r»ng 20<i>n</i> 16<i>n</i> 3<i>n</i> 1 323
b) Chøng minh r»ng : 22225555555522227

<b>Giải</b>:

a) Ta có 323 = 17 . 19 và 20 16 3 1 (20 1) (16 3 ) 19

<i>n</i> <i>n</i> <i>_n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

        ₍₁₎
V× 20<i>n</i>1 20 1 19   vµ 16<i>n</i> 3 19<i>n</i> do n chẵn.

Mặt khác : 20 16 3 1 (20 3 ) (16 1) 17
<i>n</i> <i>n</i> <i>_n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

        ₍₂₎
V× (20<i>n</i>  3 ) 20 3;(16<i>n</i>   <i>n</i>1) 16 1 17 do n chẵn.

Từ (1) và (2) suy ra 20<i>n</i>16<i>n</i> 3<i>n</i>1 17.19 323 
b) Ta cã : 22224(mod 7);55554(mod 7) 

5555 2222 5555 2222

2222 5555  ( 4) 4 0(mod 7)
V× ( 4) 555542222 42222(433331) 431 63 7 

<b>Ph</b>

<b> ơng pháp 3:</b> <i><b>Dùng định lý về phép chia có d</b></i>

§Ĩ chøng minh <i>A pn</i> _{ta xÐt vÒ mäi trêng hỵp vỊ sè d. Khi chia n cho p cã thể d là}
0; 1; 2; ...; p - 1 hoặc là

1
1; 2;...;

2

<i>p</i>

nếu p lẻ.

<b>Ví dụ 3: </b> Chøng minh r»ng nÕu <i>n</i>3 th× 32<i>n</i>3<i>n</i>  1 13

<b>Giải:</b>

Vì <i>n</i>3 nên n = 3k + 1 hc n = 3k + 2
1) NÕu n = 3k + 1 th×

2 6 2 3 1 2

3 <i>n</i> 3<i>n</i> 1 3<i>k</i> 3<i>k</i> 1 9.27 <i>k</i> 3.27<i>k</i> 1 9 3 1 0(mod13)

           

V× 27 1(mod13)

2) NÕu n = 3k + 2 th× 32<i>n</i> 3<i>n</i> 1 36<i>k</i>433<i>k</i>2 1 81.272<i>k</i>9.27<i>k</i>  1 81 9 19(mod13) 
VËy <i>n</i>3 th× 32<i>n</i> 3<i>n</i> 1 13

<b>Ph</b>

<b> ơng pháp 4:</b> <i><b>Sử dụng nguyên tắc Đirichlet</b></i>

Nếu đem n + 1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ 2 vật

trở lên.

<b>Ph</b>

<b> ơng pháp 5: </b><i><b>Dùng quy nạp toán học</b></i>

Ta cÇn chøng minh <i>A n p</i>( ) (1) víi n = 1; 2; ...

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

3) Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1 , nghĩa là phải chứng minh <i>A k</i>(  1) <i>p</i>

<b>VÝ dô 5</b>: Chøng minh r»ng víi mäi <i>n</i>1: 4<i>n</i>15<i>n</i> 1 9

<b>Gi¶i:</b>

Víi n = 1 ta cã: 4 15.1 1 18 91   

Gi¶ sư víi n = k, ta cã: 4<i>k</i> 15<i>k</i>  1 9 4<i>n</i>15<i>n</i>1 9 <i>m</i> ( 1) víi m <i>Z</i>
Víi n = k + 1 ta cã: 4<i>k</i>115(<i>k</i>1) 1 4.4  <i>k</i> 15<i>k</i>14 (2)

Tõ (1) suy ra: 4<i>k</i> 9<i>m</i>15<i>k</i>1, thay vµo (2) ta cã:

1

4 15( 1) 1

4(9 15 1) 15 14
36 45 18 9

<i>k</i> <i>_k</i>

<i>m</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>m</i> <i>k</i>



  

    

   

VËy <i>n</i>1: 4<i>n</i>15<i>n</i> 1 9

<b>Ph</b>

<b> ơng pháp 6</b>: <i><b>Dùng định lý Fermat</b></i>

Víi P là số nguyên tố ta có: <i>ap</i> <i>p</i>(mod )<i>p</i>
Đặc biệt nếu (a,p) =1 th×

1 _{1(mod )}
<i>p</i>

<i>a</i>  <i>p</i>



<b> VÝ dô 6:</b> Chøng minh r»ng

1199121991... 1991 199111

<b>Gi¶i</b>:

Theo định lýFermat : <i>a</i>11 <i>a</i>(mod11) <i>a</i>1991<i>a</i>(mod11)
Do đó :

1991 1992 1991
1 2 ... 1991

1 2 ... 1991
1991.966 0(mod11)

  

   

 

<b>Vấn đề 2</b>:

*Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó đồng thời chia hết cho 2 và
cho 3.

<b>1) Các dấu hiệu chia hết đơn giản</b>
<b> </b>a<i><b>. Chia hết cho 2, 5, 4, 25 và 8; 125</b></i>.

<i>a an n</i>1...<i>a a</i>1 02 <i>a</i>02 <i>a</i>0 0; 2; 4;6;8.
<i>a an n</i>1...<i>a a</i>1 05 <i>a</i>0 0;5

1... 1 0 4
<i>n n</i>

<i>a a</i>  <i>a a</i>  _{( hc 25)} <i>a a</i>1 04_{( hc 25)}
<i>a an n</i>1...<i>a a</i>1 08_{( hc 125)} <i>a a a</i>2 1 08_{( hc 125)}
b<i><b>) Chia hÕt cho 3; 9</b></i>.

<i>a an n</i>1...<i>a a</i>1 03_{(hc 9)} <i>a</i>0<i>a</i>1...<i>an</i>3_{( hc 9)}

NhËn xÐt: D trong phÐp chia N cho 3 ( hoặc 9) cũng chính là d trong phép chia tổng các chữ số
của N cho 3 ( hc 9).

<b>Ví dụ 7</b>: Tìm các chữ số x, y để:
a) 134 4 45<i>x y</i>
b) 1234<i>xy</i>72

<b>Giải:</b>

a) Để 134 4 45<i>x y</i> ta phải có 134 4<i>x y</i> chia hÕt cho 9 vµ 5  y = 0 hc y = 5
Víi y = 0 thì từ 134 40 9<i>x</i> ta phải cã 1+3+5+x+4 9 <i>x</i>4 9  <i>x</i>5

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

khi đó ta có số 13554

víi x = 5 th× tõ : 134 4 9<i>x y</i> ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 +59

9 0; 9

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

     _{lúc đóta có 2 số: 135045; 135945.}

b) Ta cã 1234<i>xy</i>123400<i>xy</i>72.1713 64 <i>xy</i>72 64<i>xy</i>72
V× 64 64 <i>xy</i>163 nên 64<i>xy</i> bằng 72 hoặc 144.

+ Với 64<i>xy</i>=72 th× <i>xy</i>=08, ta cã sè: 123408.
+ Víi 64<i>xy</i>=14 th× <i>xy</i>=80, ta cã sè 123480

<b>2. Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt kh¸c</b>

a) <i><b>DÊu hiƯu chia hÕt cho 11</b></i>:
Cho <i>A</i>...<i>a a a a a a</i>5 4 3 2 1 0

<i>A</i>11 



<i>a</i>0<i>a</i>2<i>a</i>4...

 

 <i>a</i>1<i>a</i>3<i>a</i>5... 11





<b>Ví dụ 8 T</b>ìm các chữ số x, y để <i>N</i> 7 36 5 1375<i>x</i> <i>y</i> 
<b>Giải:</b>

Ta cã: 1375 = 11.125.



 



125 6 5 125 2

7 3625 11 5 6 2 3 7 12 11 1

<i>N</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>N</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

      

Vậy số cần tìm là 713625

<b>Vấn đề 3 </b>

1) <b>Chøng minh kh«ng chia hÕt</b>

- Nếu <i>a b</i> và <i>b c</i> thì <i>a c</i>
- Nếu <i>a c</i> và <i>b c</i> thì <i>c b c</i> 

- NÕu <i>ab p</i> th× <i>a p</i> hoặc <i>b p</i> với p là số ngyuên tố.

- Số chính phơng( là bình phơng của số tù nhiªn ) chia hÕt cho sè nguyªn
tè p th× sÏ chia hÕt cho p2_.

VËy nÕu <i>n p</i> nhng <i>n p</i> 2thì n là số chính phơng.

<b>Ví dô </b>11 Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n :
a) <i>n</i>2  <i>n</i> 1 9

b) <i>n</i>211<i>n</i>39 49

<b>Gi¶i:</b>

a)Với n = 3k thì <i>n</i>2  <i>n</i> 1 3 do đó <i>n</i>2  <i>n</i> 1 9
Với n = 3k + 1 thì

2 _{1 (3} ₁₎2 ₍₃ _{1) 1 9(} 2 _{) 3 9}

<i>n</i>   <i>n</i> <i>k</i>  <i>k</i>   <i>k</i> <i>k</i>  
Víi n = 3k+2 th×

2 _{1 1(mod 3)}

<i>n</i>   <i>n</i> _{do đó}<i>n</i>2  <i>n</i> 1 9

VËy <i>n</i>2   <i>n</i> 1 9 ví mäi n.

2) <b>Tìm số tự nhiênn để a(n)</b><i>B n</i>( )

<b>Ph ơng phá p: </b>Giả sử có A(n),ta biến đổi hoặc dùng phép chia đa thức đẻ đi đến hằng số m

( )

<i>B n</i>

 _{, từ đó suy ra n.}

Kiểm nghiệm các giá trị tìm đợc n.

<b>VÝ dơ 12</b>: a) T×m n > 0 sao cho <i>n</i>21 chia hÕt cho n +1
b) T×m n > 0 và <i>n</i>4 sao cho 3n - 8 <i>n</i> 4

<b>Giải:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Thư l¹i víi n = 2 ta cã : 2 = 2.
VËy <i>n</i>21<i>n</i>1 , n > 0
b) Gi¶ sư

3 8 4 3 8 3( 4) 4 4 4 4
4 4; 2; 1 8;6; 2;5;3

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

         

      

  

VËy 3n - 8 <i>n</i> 4 víi n > 0; <i>n</i>4

<b>3)Bµi tËp vỊ sè chÝnh ph ¬ng</b>

<b>Ph ơng pháp 1</b>: Dùng tính chẵn lẻ

<b>Vớ d 13 </b>Chứng minh rằng số chính phơng có chứa chữ số lẻ ở hàng chục thì chữ số hàng đơn
vị ln bằng 6.

<b>Gi¶i:</b>

Gi¶ sư sè chính phơng có dạng

2 ₍₁₀ _{) ,}2 _; ₉ 2 ₁₀₀ 2 ₂₀ 2 _{20 (5} ₎ 2

<i>nb</i>  <i>n b</i> <i>n N b</i>   <i>nb</i>  <i>n</i>  <i>nb b</i>  <i>n n b</i> <i>b</i>

Chữ số hàng chục của 20n(5n + b) là chẵn nên theo giả thiết chữ số hàng chục của b2_{phải lẻ, từ}
đó suy ra b = 6; 4.

Khi đó b2_{= 36; 16 nên chữ số hàng đơn vị của}<i>nb</i>2_{luôn bng 6.}

<b>Ph</b>

<b> ơng pháp 2: </b> Sư dơng chia hÕt vµ chia cã d

<b>VÝ dụ 14:</b> Tìm số chính phơng <i>abcd</i> biÕt <i>ab cd</i> 1

<b>Gi¶i</b>:
Gi¶ sư

2 ₁₀₀ ₁₀₀₍₁ ₎

<i>n</i> <i>abcd</i> <i>ab cd</i>  <i>cd</i> <i>cd</i>

101<i>cd</i>100 101<i>cd</i><i>n</i>2100
= ( n - 10 )( n +10)

V× n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy ra n = 91.
Thư l¹i : <i>abcd</i>= 912_{= 8281 cã 82 - 81 = 1}

<b>Ph</b>

<b> ơng pháp </b>3 Sử dông tÝnh chÊt

a) Nếu a là số chính phơng và ( a, b) = 1 thì a và b đều là số chính phơng

b) NÕu cã sè nguyªn m sao cho <i>m</i>2 <i>n</i>(<i>m</i>1)2 thì n không thể là số chính phơng.

<b>Ví dụ 15</b> Chøng minh r»ng tÝch của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phơng.
<b>Giải</b>:

Ta cã A = n(n+1)(n+2)(n+3)

= (<i>n</i>23 )(<i>n n</i>23<i>n</i>2) ( <i>n</i>23 )<i>n</i> 22(<i>n</i>23 )<i>n</i>

2 2 2 2

(<i>n</i> 3 )<i>n</i> <i>A</i> (<i>n</i> 3<i>n</i> 1)

     

VËy A không thể là số chính phơng.

<b>III)Các bài tập về chia hÕt</b>

1.Chøng minh r»ng:
a) 16<i>n</i>15<i>n</i> 1 225
b) 92<i>n</i> 14 5

2. Tìm số tự nhiên n để <i>n</i>7 <i>n</i>42
3. Với 4 số nguyên a,b,c, d .

Chøng minh r»ng: (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)12
4. Chøng minh r»ng víi mäi n 1:

a) 33<i>n</i>3 26<i>n</i> 27 169
b)112<i>n</i>122<i>n</i>1133

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

b) <i>n</i>2  <i>n</i> 2 15

</div>

<!--links-->